Strona główna › Podstawa programowa › Podstawa programowa z matematyki — liceum i technikum, zakres podstawowy

Podstawa programowa z matematyki — liceum i technikum, zakres podstawowy

Wymagania szczegółowe z matematyki, które obowiązują każdego ucznia liceum i technikum — wszystkie 73 punktów w trzynastu działach, w brzmieniu dokumentu. Przy każdym dziale dopinamy punkty do naszych stron z wzorami i zadaniami.

Dział: Podstawa programowaPoziom: szkoła ponadpodstawowa, zakres podstawowy

1Co to za dokument

Poniżej pełne, dosłowne brzmienie wymagań szczegółowych zakresu podstawowego z matematyki dla szkoły ponadpodstawowej — wszystkie 73 punktów w trzynastu działach, w numeracji z dokumentu. Zakres podstawowy obowiązuje każdego ucznia liceum i technikum; kto zdaje maturę rozszerzoną, realizuje go w całości i dodatkowo zakres rozszerzony.

2Cele kształcenia — wymagania ogólne

Cztery cele ogólne są wspólne dla obu zakresów — dokument nie różnicuje ich na podstawowy i rozszerzony. Warto zauważyć proporcje: rozumowaniu i argumentacji poświęcono cztery podpunkty, tyle samo co wykorzystaniu i interpretowaniu reprezentacji, a sprawności rachunkowej — jedno zdanie.

Cele kształcenia — wymagania ogólne

I. Sprawność rachunkowa.

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.

4. Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań.

IV. Rozumowanie i argumentacja.

1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

2. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.

4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.

3Dział I. Liczby rzeczywiste

Dziewięć punktów zakresu podstawowego, w tym jeden, który zaskakuje w tym miejscu: punkt 2 każe przeprowadzać dowody dotyczące podzielności i reszt z dzielenia, i podaje dwa konkretne przykłady. To nie jest wymaganie „rozszerzone przemycone do podstawy” — stoi w zakresie podstawowym, dziale pierwszym.

I. Liczby rzeczywiste. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
• 2)przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.: a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej;
• 3)stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
• 4)stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
• 5)stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli $x < y$ oraz $a > 1$, to $a^x < a^y$, zaś gdy $x < y$ i $0 < a < 1$, to $a^x > a^y$;
• 6)posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
• 7)stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: $|x + 4| = 5$;
• 8)wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
• 9)stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

4Dział II. Wyrażenia algebraiczne

Cztery punkty w zakresie podstawowym, sześć dodatkowych w rozszerzonym. Rozdział jest tu ostry: w zakresie podstawowym uczeń mnoży i dzieli wyrażenia wymierne, a dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych to już zakres rozszerzony (punkt 6, z trzema wypisanymi przykładami).

II. Wyrażenia algebraiczne. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)stosuje wzory skróconego mnożenia na: $(a + b)^2$, $(a - b)^2$, $a^2 - b^2$;
• 2)dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
• 3)wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
• 4)mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

5Dział III. Równania i nierówności

Pięć punktów podstawowych i siedem rozszerzonych — największa dysproporcja w całym dokumencie. W zakresie podstawowym równania wielomianowe rozwiązuje się wyłącznie dla wielomianów już doprowadzonych do postaci iloczynowej; doprowadzanie do niej i nierówności wielomianowe są w rozszerzeniu.

III. Równania i nierówności. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie $\frac{5}{x+1} = \frac{x+3}{2x-1}$;
• 2)interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe;
• 3)rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
• 4)rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
• 5)rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

6Dział IV. Układy równań

Najmniejszy dział podstawy dla szkoły ponadpodstawowej: dwa punkty. W rozszerzeniu dochodzi jedno wymaganie, za to z wypisanym wprost ograniczeniem trudności — układ nie ma być trudniejszy niż podany wzór.

IV. Układy równań. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
• 2)stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

7Dział V. Funkcje

Czternaście punktów zakresu podstawowego, najwięcej ze wszystkich działów. Punkt 4 jest w praktyce spisem treści dla odczytu z wykresu i wart osobnej uwagi — wymienia siedem różnych rzeczy, które uczeń ma umieć odczytać.

V. Funkcje. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
• 2)oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
• 3)odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
• 4)odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
• 5)interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
• 6)wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
• 7)szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
• 8)interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
• 9)wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
• 10)wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
• 11)wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
• 12)na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = f(x - a)$, $y = f(x) + b$;
• 13)posługuje się funkcją $f(x) = \frac{a}{x}$, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
• 14)posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

8Dział VI. Ciągi

Siedem punktów podstawowych. Granice ciągów i szeregi geometryczne należą do zakresu rozszerzonego — w podstawowym ciąg jest obiektem, który się bada, a nie do którego się przechodzi z granicą.

VI. Ciągi. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
• 2)oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;
• 3)w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
• 4)sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
• 5)stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
• 6)stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
• 7)wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

9Dział VII. Trygonometria

Cztery punkty podstawowe i aż osiem rozszerzonych. W zakresie podstawowym funkcje trygonometryczne są zdefiniowane dla kątów od 0° do 180° i służą do rozwiązywania trójkątów; miara łukowa, okresowość, wykresy i równania trygonometryczne to dopiero rozszerzenie.

VII. Trygonometria. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
• 2)korzysta z wzorów $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$;
• 3)stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$;
• 4)oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

10Dział VIII. Planimetria

Dwanaście punktów podstawowych — po dziale V najobszerniejszy zestaw zakresu podstawowego. Punkt 11 brzmi po prostu „przeprowadza dowody geometryczne” i jest jednym z najkrócej zapisanych, a zarazem najszerszych wymagań w całym dokumencie.

VIII. Planimetria. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
• 2)rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
• 3)rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
• 4)korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
• 5)stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
• 6)stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
• 7)stosuje twierdzenie Talesa;
• 8)korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
• 9)wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
• 10)wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
• 11)przeprowadza dowody geometryczne;
• 12)stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

11Dział IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Pięć punktów podstawowych. Wektory NIE należą do zakresu podstawowego — pojęcie wektora, jego współrzędne, długość i działania na wektorach to punkt 3 zakresu rozszerzonego.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
• 2)posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej);
• 3)oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
• 4)posługuje się równaniem okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$;
• 5)wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

12Dział X. Stereometria

Sześć punktów podstawowych obejmujących wszystkie bryły naraz, łącznie z kulą, i to „również z wykorzystaniem trygonometrii”. Przekroje brył są w rozszerzeniu.

X. Stereometria. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
• 2)posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
• 3)rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
• 4)rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
• 5)oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii;
• 6)wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

13Dział XI. Kombinatoryka

Dwa punkty podstawowe, oba o zliczaniu. Wzorów na permutacje, kombinacje i wariacje w zakresie podstawowym NIE MA — są w rozszerzeniu. W podstawowym liczy się regułami mnożenia i dodawania, a dokument podaje dwa rozpisane przykłady tego, o jaki poziom trudności chodzi.

XI. Kombinatoryka. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
• 2)zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.: a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2, b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

14Dział XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dwa punkty podstawowe: prawdopodobieństwo klasyczne oraz średnie, mediana i dominanta. Odchylenia standardowego w tym dokumencie nie ma w żadnym z zakresów.

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zakres podstawowy. Uczeń:

• 1)oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
• 2)oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

15Dział XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dział o jednym zdaniu w zakresie podstawowym i sześciu punktach w rozszerzonym — jedyny tak zbudowany. W zakresie podstawowym optymalizacja to wyłącznie sytuacje dające się opisać funkcją kwadratową, czyli bez pochodnej.

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zakres podstawowy. Uczeń:

• —Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

16Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-04. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.