Strona główna › Funkcje › Funkcja liniowa

Funkcja liniowa

Q: Czy funkcja stała jest liniowa?

Tak. Wzór f(x) = b powstaje z ogólnego przy a = 0 i spełnia definicję, bo zmienna nadal występuje najwyżej w pierwszej potędze. Nie jest natomiast ani rosnąca, ani malejąca.

Q: Ile danych trzeba, żeby wyznaczyć wzór funkcji liniowej?

Dwie niezależne informacje, bo szukane liczby są dwie: a i b. Mogą to być dwa punkty, punkt i współczynnik kierunkowy albo opis zjawiska podający tempo zmian i stan początkowy.

Q: Czym różni się funkcja liniowa od proporcjonalności prostej?

Proporcjonalność prosta to szczególny przypadek funkcji liniowej z zerowym wyrazem wolnym. Każda proporcjonalność prosta jest funkcją liniową, ale nie odwrotnie — wykres tej pierwszej musi przechodzić przez początek układu.

Q: Jak sprawdzić, czy tabela opisuje funkcję liniową?

Policzyć ilorazy przyrostów wartości przez przyrosty argumentów dla kolejnych par. Jeśli wszystkie wychodzą równe, funkcja jest liniowa, a ten wspólny iloraz jest jej współczynnikiem kierunkowym.

Q: Czy w zadaniu tekstowym dziedziną jest zawsze zbiór liczb rzeczywistych?

Nie. Wzór działa wszędzie, ale zjawisko zwykle nie: liczba sztuk bywa naturalna, czas nieujemny, a pojemność naczynia ogranicza argument z góry. Dziedzinę wyznacza treść, nie wzór.

Funkcja liniowa opisuje wszystko, co zmienia się równomiernie: koszt rosnący o stałą kwotę za sztukę, temperaturę spadającą o tyle samo co godzinę, masę bańki rosnącą o tyle samo z każdym litrem mleka. Zadania maturalne rzadko proszą o narysowanie jej wykresu — najczęściej dają garść danych i każą odtworzyć wzór. Ta strona jest o tym, jak to zrobić, niezależnie od tego, w jakiej postaci dane przyszły.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 21

Przejdź od razu do zadań (21) ↓

1Wzór i co znaczą jego litery

Funkcja liniowa to funkcja, którą da się zapisać w postaci:

f(x) = ax + b

gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi liczbami, a zmienna $x$ występuje najwyżej w pierwszej potędze. Słowo „najwyżej" jest tu potrzebne: przy $a = 0$ zmienna nie występuje wcale, a funkcja stała nadal jest liniowa. To ostatnie zastrzeżenie odsiewa większość funkcji ze szkoły średniej: $x^2$ , $\sqrt{x}$ czy $\frac{1}{x}$ liniowej nie dają.

$a$ — współczynnik kierunkowy. Mówi, o ile zmienia się wartość, gdy argument rośnie o jeden. To „tempo” opisywanego zjawiska.
$b$ — wyraz wolny. Wartość funkcji dla argumentu zero, czyli „stan początkowy”.

Warto zapamiętać $a$ jako przyrost na jednostkę, a nie jako „liczbę przy iksie”. Ta pierwsza interpretacja od razu tłumaczy, dlaczego funkcja liniowa opisuje zjawiska o stałym tempie zmian — i skąd bierze się jej wzór w zadaniach tekstowych.

Dwa przypadki szczególne, które mają własne nazwy

$b = 0$ — wzór upraszcza się do $f(x) = ax$ , a to jest dokładnie proporcjonalność prosta. Wykres przechodzi wtedy przez początek układu, a iloraz $\frac{f(x)}{x}$ jest stały dla każdego $x \neq 0$ .

$a = 0$ — zostaje $f(x) = b$ , czyli funkcja stała. Nadal jest liniowa, choć niczego nie „nachyla”.

Nie myl proporcjonalności prostej z odwrotną: tam stały jest iloczyn, a wykresem jest hiperbola, nie prosta.

Wykres funkcji liniowej — prosta, jej nachylenie i odczyt współczynników z rysunku — opisuję osobno. Tutaj rysunek jest tylko jednym z możliwych źródeł danych, a nie tematem.

2Jakie dane, taka droga do wzoru

Wyznaczenie wzoru to zawsze znalezienie dwóch liczb: $a$ i $b$ . Potrzebne są więc dwie niezależne informacje — nigdy mniej. Różnica polega tylko na tym, w jakiej postaci przychodzą.

co daje zadanie	jak wyznaczyć wzór
dwa punkty $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$	$a$ z ilorazu przyrostów, potem $b$ przez podstawienie
miejsce zerowe i wartość w punkcie	to też dwa punkty — miejsce zerowe to punkt $(x_0, 0)$
współczynnik $a$ i jeden punkt	podstawić punkt do $y = ax + b$ i wyliczyć $b$
wykres	odczytać $b$ z osi $Oy$ , $a$ z dwóch punktów kratowych
opis słowny zjawiska	$a$ z tempa zmian, $b$ ze stanu początkowego

Drugi wiersz jest tym, którego uczniowie najczęściej nie rozpoznają. Zdanie „miejscem zerowym jest $-3$ ” jest informacją o punkcie: wykres przechodzi przez $(-3, 0)$ . Po takim przetłumaczeniu zadanie staje się zwykłym „wyznacz wzór z dwóch punktów”.

Ostatni wiersz to serce zadań tekstowych i wrócę do niego w osobnej sekcji.

Kontrola, która sprawdza oba współczynniki naraz

Po wyznaczeniu wzoru podstaw drugi punkt — ten, którego nie użyłeś do wyliczenia $b$ .

Jeśli równość się zgadza, wzór jest poprawny; jeśli nie, błąd jest w $a$ albo w znaku.

Ta kontrola kosztuje jedną linijkę i sprawdza oba współczynniki naraz. Nie wykryje natomiast źle odczytanej danej: kto weźmie „miejscem zerowym jest $1$ " za punkt $(0, 1)$ zamiast $(1, 0)$ , dostanie $f(x) = -3x + 1$ i podstawienie drugiego punktu przejdzie — mimo że poprawna odpowiedź to $f(x) = -2x + 2$ . Rachunek kontroluje rachunek, nie odczyt treści.

Jeżeli danych jest więcej niż dwie — na przykład trzy punkty — to nadwyżka służy właśnie do sprawdzenia. Gdy trzeci punkt nie leży na wyznaczonej prostej, zadanie było o czymś innym albo gdzieś jest pomyłka rachunkowa.

3Funkcja liniowa jako model zjawiska

Podstawa programowa wymienia to jako osobną umiejętność (dział V, zakres podstawowy, punkt 11: „wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym”).

Zjawisko da się opisać funkcją liniową dokładnie wtedy, gdy przyrost jest stały: każda kolejna jednostka argumentu zmienia wynik o tyle samo. Wtedy:

$b$ to wartość na starcie, przy argumencie zero — masa pustego naczynia, opłata stała, początkowy stan licznika;
$a$ to zmiana na jednostkę — masa jednego litra, cena za sztukę, ubytek na godzinę.

Rozpoznanie tych dwóch liczb w treści zadania jest całą pracą; reszta to podstawienie. Warto wypisać je osobno, zanim zacznie się cokolwiek liczyć — wtedy widać od razu, czy któraś nie została w treści przemilczana.

Uwaga na dziedzinę. We wzorze $x$ może być dowolną liczbą rzeczywistą, ale w zjawisku zwykle nie: litrów mleka nie bywa ujemnie wiele, a sztuk towaru — ułamkowo. Model jest liniowy, lecz sensowny tylko na fragmencie prostej, i zadania potrafią o ten fragment zapytać wprost.

Drugie ograniczenie jest fizyczne: bańka o pojemności dziesięciu litrów przestaje być modelem liniowym przy jedenastym litrze, bo tyle się w niej nie zmieści. Model liniowy prawie nigdy nie obowiązuje bez końca — i to jest odpowiedź na pytanie „do jakiego argumentu wzór ma sens”.

4Czy to na pewno funkcja liniowa

Zadania lubią sprawdzać, czy uczeń odróżni funkcję liniową od czegoś, co ją przypomina. Trzy sytuacje wracają najczęściej:

Wzór do uporządkowania. $f(x) = 3(x - 2) + 5$ wygląda na coś więcej, ale po rozwinięciu daje $3x - 1$ — jest liniowa.
Wzór z $x$ w mianowniku albo pod pierwiastkiem. Nie jest liniowa i żadne przekształcenie tego nie zmieni.
Wzór z parametrem przy $x^2$ . $f(x) = (m-2)x^2 + 3x$ jest liniowa tylko dla $m = 2$ — i o to zwykle pyta treść.

Przy funkcji zadanej tabelą kryterium jest inne: sprawdzamy, czy równym przyrostom argumentu odpowiadają równe przyrosty wartości. Jeśli argumenty rosną co $2$ , a wartości za każdym razem o $6$ , to funkcja jest liniowa o współczynniku $a = 3$ .

Trzeba tylko uważać, żeby argumenty w tabeli rzeczywiście były równo oddalone. Przy nierównych odstępach porównuje się nie same przyrosty wartości, ale ich ilorazy przez przyrosty argumentów — czyli dokładnie to, co liczy wzór na $a$ .

O tym, jak z gotowego wzoru odczytać kierunek i przypadki szczególne, piszę na stronach o monotoniczności i o miejscu zerowym. Kierunek zmian i to, czy miejsce zerowe istnieje, rozstrzyga ta sama liczba $a$ ; jego położenie zależy już także od $b$ — funkcje $2x + 7$ i $2x - 7$ mają wspólny współczynnik kierunkowy, a miejsca zerowe $-3{,}5$ oraz $3{,}5$ .

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wzór z miejsca zerowego i wartości, wzór z opisu zjawiska, badanie tabeli i wzór z parametrem.

Przykład 1 Wzór z miejsca zerowego i jednej wartości

Miejscem zerowym funkcji liniowej $g$ jest liczba $-3$ , a dla argumentu $0$ funkcja przyjmuje wartość $\frac{3}{2}$ . Wyznacz wzór funkcji $g$ .

Tłumaczę dane na punkty: miejsce zerowe daje punkt $(-3, 0)$ , druga informacja — punkt $(0, \frac{3}{2})$ .
Punkt o pierwszej współrzędnej zero od razu podaje wyraz wolny: $b = \frac{3}{2}$ .
Współczynnik kierunkowy: $a = \frac{\frac{3}{2} - 0}{0 - (-3)} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{1}{2}$ .
Wzór: $g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ .
Kontrola drugim punktem: $g(-3) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$ ✓ — miejsce zerowe się zgadza.

Odpowiedź: $g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

Drugi krok to skrót, który warto widzieć: gdy jednym z punktów jest $(0, \text{coś})$ , wyraz wolny mamy za darmo i zostaje tylko $a$ . Bez tego skrótu trzeba rozwiązać układ dwóch równań — wynik ten sam, pracy dwa razy więcej.

Przykład 2 Wzór z opisu zjawiska

Pusta bańka na mleko ma masę $6{,}5$ kg, a jeden litr mleka waży $1{,}03$ kg. Zapisz wzór na masę bańki z $x$ litrami mleka i oblicz masę przy $10$ litrach.

Stan początkowy, czyli masa przy zerze litrów: $b = 6{,}5$ .
Przyrost na jednostkę, czyli masa jednego litra: $a = 1{,}03$ .
Wzór: $m(x) = 1{,}03x + 6{,}5$ .
Dla dziesięciu litrów: $m(10) = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8$ kg.
Kontrola inaczej: samo mleko waży $10{,}3$ kg, bańka $6{,}5$ kg, razem $16{,}8$ kg ✓
Kontrola sensu dziedziny: bańka mieści $10$ litrów, więc wzór obowiązuje dla $x \in \langle 0, 10 \rangle$ ✓

Odpowiedź: $m(x) = 1{,}03x + 6{,}5$ ; dla $10$ litrów masa wynosi $16{,}8$ kg.

Ostatni krok bywa treścią osobnego podpunktu. Wzór sam z siebie działa dla dowolnego $x$ , ale zjawisko kończy się przy pojemności naczynia — i o to zadania pytają.

Przykład 3 Czy tabela opisuje funkcję liniową

Sprawdź, czy tabela opisuje funkcję liniową, i podaj jej wzór. $x$ : $1$ , $3$ , $5$ , $7$ ; $f(x)$ : $4$ , $10$ , $16$ , $22$ .

Argumenty rosną równomiernie, co $2$ .
Przyrosty wartości: $10 - 4 = 6$ , $16 - 10 = 6$ , $22 - 16 = 6$ — wszystkie równe.
Równym przyrostom argumentu odpowiadają równe przyrosty wartości, więc funkcja jest liniowa.
$a = \frac{6}{2} = 3$ .
Wyraz wolny z pierwszego punktu: $4 = 3 \cdot 1 + b$ , czyli $b = 1$ .
Kontrola ostatnim punktem: $3 \cdot 7 + 1 = 22$ ✓

Odpowiedź: Tak; $f(x) = 3x + 1$ .

Uwaga na krok czwarty: $a$ to przyrost wartości podzielony przez przyrost argumentu, a nie sam przyrost wartości. Gdyby argumenty rosły co $1$ , obie liczby byłyby równe — i stąd bierze się nawyk pomijania dzielenia.

Przykład 4 Kiedy wzór z parametrem jest liniowy

Dla jakiej wartości $m$ funkcja $f(x) = (m - 4)x^2 + 5x - 1$ jest funkcją liniową?

Funkcja liniowa nie może mieć składnika z $x^2$ , więc współczynnik przy nim musi być zerem.
$m - 4 = 0$ , czyli $m = 4$ .
Sprawdzam, co wtedy zostaje: $f(x) = 5x - 1$ — rzeczywiście liniowa ✓
Sprawdzam przypadek odwrotny: dla $m = 5$ mamy $f(x) = x^2 + 5x - 1$ , czyli funkcję kwadratową ✓
Kontrola dodatkowa: przy $m = 4$ współczynnik przy $x$ wynosi $5 \neq 0$ , więc funkcja nie degeneruje się do stałej ✓

Odpowiedź: $m = 4$

Ostatni krok wart jest zapisania: gdyby przy $x$ też stał parametr, mogłoby się okazać, że dla tej samej wartości znika również składnik liniowy. Wtedy odpowiedź wymagałaby dodatkowego zastrzeżenia.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą wyznaczania wzoru, trzy kolejne — rozpoznawania funkcji liniowej i modelu.

Nierozpoznanie miejsca zerowego jako punktu wykresu.

Skąd się bierze: „Miejscem zerowym jest $-3$ ” brzmi jak informacja o liczbie, a nie o punkcie.

Jak zrobić dobrze: Przetłumacz to na punkt $(-3, 0)$ . Wtedy zadanie zamienia się w zwykłe wyznaczanie wzoru z dwóch punktów.

Przyjęcie przyrostu wartości za współczynnik $a$ przy nierównych krokach argumentu.

Skąd się bierze: Przy argumentach rosnących co jeden obie liczby są równe, więc nawyk przenosi się dalej.

Jak zrobić dobrze: $a$ to iloraz przyrostów: przyrost wartości podzielony przez przyrost argumentu. Przy kroku $2$ i przyroście $6$ wychodzi $3$ , nie $6$ .

Uznanie wzoru z nawiasem za nieliniowy.

Skąd się bierze: Wzór $3(x-2) + 5$ wygląda na złożony, więc bywa odrzucany bez sprawdzenia.

Jak zrobić dobrze: Najpierw uporządkuj. Po rozwinięciu zostaje $3x - 1$ , czyli funkcja liniowa jak każda inna.

Mylenie proporcjonalności prostej z odwrotną.

Skąd się bierze: Obie nazwy zawierają słowo „proporcjonalność”, a obie zależności opisują związek dwóch wielkości.

Jak zrobić dobrze: Prosta to $y = ax$ , stały iloraz, wykresem prosta przez początek układu. Odwrotna to $y = \frac{a}{x}$ , stały iloczyn, wykresem hiperbola.

Stosowanie modelu liniowego poza zakresem, w którym ma sens.

Skąd się bierze: Wzór działa dla każdej liczby, więc podstawia się do niego dowolny argument.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź ograniczenia zjawiska: pojemność naczynia, liczbę sztuk, nieujemność czasu. Wzór obowiązuje tylko tam, gdzie opis pozostaje prawdziwy.

Zadania maturalne — wyznaczanie wzoru funkcji liniowej z warunków

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Funkcja liniowa

f(x) = ax + b

ma dwa niewiadome współczynniki, więc do jej wyznaczenia potrzeba dwóch warunków — każdy daje jedno równanie. Warunek to zwykle jedna z trzech rzeczy: punkt na wykresie (podstawiamy jego współrzędne), miejsce zerowe (czyli punkt o drugiej współrzędnej

0

) albo wartość dla konkretnego argumentu. Punkt postaci

(0, b)

jest najwygodniejszy — daje

b

od razu.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 19 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Miejscem zerowym funkcji liniowej

g

jest liczba

(-3)

. Dla argumentu

0

funkcja

g

przyjmuje wartość

\left(-\dfrac{3}{2}\right)

. Funkcja

g

jest określona wzorem

A. $g(x) = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}$
B. $g(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$
C. $g(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}$
D. $g(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Drugi warunek jest wyjątkowo wygodny — dotyczy argumentu $0$ , a to daje wyraz wolny natychmiast.
Krok 1 — wyraz wolny z argumentu zero. Dla $x = 0$ zostaje sam wyraz wolny:
$g(0) = a \cdot 0 + b = b = \textcolor{#16A06A}{-\tfrac32} \quad \Longrightarrow \quad b = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac32}$
Krok 2 — współczynnik kierunkowy z miejsca zerowego. Miejsce zerowe to $x = \textcolor{#16A06A}{-3}$ , czyli $g(\textcolor{#16A06A}{-3}) = 0$ :
$a \cdot \textcolor{#16A06A}{(-3)} + \textcolor{#E0453A}{\left(-\tfrac32\right)} = 0$
$-3a = \tfrac32 \quad \Longrightarrow \quad a = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}$
Krok 3 — składamy wzór.
$g(x) = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}x \textcolor{#E0453A}{- \tfrac32}$
Odpowiedź: $g(x) = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}$ , czyli A.
Kontrola oba warunki: $g(0) = -\tfrac32$ ✓ oraz $g(-3) = -\tfrac12 \cdot (-3) - \tfrac32 = \tfrac32 - \tfrac32 = 0$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy w treści pojawia się „dla argumentu $0$ funkcja przyjmuje wartość…”, masz wyraz wolny podany wprost — zawsze zacznij od tego warunku. Drugi warunek posłuży wtedy tylko do wyznaczenia jednej niewiadomej.

⚠ Najczęstszy błąd: zgubienie znaku przy przenoszeniu i otrzymanie $a = \tfrac12$ , czyli odpowiedzi C. Z $-3a - \tfrac32 = 0$ wynika $-3a = \tfrac32$ , więc $a$ jest ujemne. Warto podstawić wynik do obu warunków — dwie kontrole to dwie szanse na wyłapanie błędu.

Zadanie 2 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Pusta bańka na mleko o pojemności

10

litrów ma masę

6{,}5

kg. Jeden litr mleka ma masę

1{,}03

kg. Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

f(x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in \langle 0, 10 \rangle

. Funkcja

f

jest określona wzorem

A. $f(x) = 6{,}5x + 1{,}03$
B. $f(x) = 1{,}03x + 10$
C. $f(x) = 10x + 1{,}03$
D. $f(x) = 1{,}03x + 6{,}5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Tu nie ma rachunków — cała trudność polega na tym, żeby przypisać liczby do właściwych miejsc we wzorze. Zapytajmy więc, co znaczy każdy współczynnik.
Wyraz wolny to wartość dla $x = 0$ , czyli masa bańki bez mleka:
$b = \textcolor{#16A06A}{6{,}5}$ kg
Współczynnik kierunkowy to przyrost masy na każdy dodatkowy litr, czyli masa jednego litra mleka:
$a = \textcolor{#16A06A}{1{,}03}$ kg na litr
Składamy wzór. Masa bańki z mlekiem = masa mleka + masa pustej bańki:
$f(x) = \textcolor{#16A06A}{1{,}03}x + \textcolor{#16A06A}{6{,}5}$
Odpowiedź: $f(x) = 1{,}03x + 6{,}5$ , czyli D.
Kontrola na krańcach przedziału: dla $x = 0$ mamy $f(0) = 6{,}5$ kg — pusta bańka ✓. Dla $x = 10$ mamy $f(10) = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8$ kg — pełna bańka waży prawie 17 kg, co ma sens ✓
Liczba $\textcolor{#16A06A}{10}$ z treści to pojemność bańki i nie wchodzi do wzoru — służy tylko do określenia dziedziny $x \in \langle 0, 10 \rangle$ .

💡 Wskazówka: Sprawdź wzór na wartościach skrajnych: podstaw $x = 0$ i zapytaj, czy wynik ma sens fizyczny. Dla odpowiedzi A wyszłoby, że pusta bańka waży $1{,}03$ kg, a dla B i C — $10$ i $1{,}03$ kg. Tylko D daje $6{,}5$ kg, czyli to, co mówi treść.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli zamiana miejscami obu współczynników. Liczba przy $x$ musi być tym, co przyrasta wraz z $x$ — a przyrasta masa mleka, nie masa bańki. Drugi częsty błąd: wstawienie do wzoru pojemności $10$ zamiast masy bańki $6{,}5$ (odpowiedź B), przez pomylenie litrów z kilogramami.

Zadanie 3 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba

1

. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt

(-1, 4)

. Wzór funkcji

f

ma postać

A. $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 1$
B. $f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}$
C. $f(x) = -2x + 2$
D. $f(x) = -3x + 1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Dwa warunki, dwie niewiadome — układamy układ równań. Miejsce zerowe $1$ to po prostu punkt $(1, 0)$ na wykresie.
Krok 1 — zapisujemy oba warunki.
z miejsca zerowego: $f(\textcolor{#16A06A}{1}) = 0 \quad \Longrightarrow \quad a + b = \textcolor{#16A06A}{0}$
z punktu $(\textcolor{#16A06A}{-1}, \textcolor{#16A06A}{4})$ : $\quad -a + b = \textcolor{#16A06A}{4}$
Krok 2 — odejmujemy równania. Wyrazy $b$ się skracają:
$(a + b) - (-a + b) = \textcolor{#16A06A}{0} - \textcolor{#16A06A}{4}$
$2a = \textcolor{#E0453A}{-4} \quad \Longrightarrow \quad a = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Krok 3 — wracamy do pierwszego równania.
$\textcolor{#E0453A}{-2} + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad b = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: $f(x) = -2x + 2$ , czyli C.
Kontrola: $f(1) = -2 + 2 = 0$ ✓ oraz $f(-1) = 2 + 2 = 4$ ✓

💡 Wskazówka: Miejsce zerowe zamień od razu na punkt: „miejscem zerowym jest $1$ ” znaczy „wykres przechodzi przez $(1, 0)$ ”. Wtedy oba warunki są tego samego typu i układ równań pisze się mechanicznie.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie punktu $(-1, 4)$ odwrotnie, czyli $x = 4$ i $y = -1$ . Pierwsza współrzędna to zawsze argument, druga — wartość. Warto zawsze podstawić wynik do obu warunków; jeden spełniony to za mało.

Zadanie 4 (pokazowy 2023)1 pkttrudniejsze

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny

P

swojego produktu na liczbę

Q

kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o

1

jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o

3

jednostki. Ponadto przy cenie równej

5

jednostek liczba kupujących jest równa

12

jednostek.
Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

A. $Q = -0{,}9P^2 + 6{,}9$
B. $Q = -3P + 27$
C. $P = -0{,}9Q^2 + 6{,}9$
D. $P = -3Q + 27$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie sprawdza dwie rzeczy naraz: czy potrafisz odczytać współczynnik kierunkowy z opisu słownego i czy uważasz, która zmienna zależy od której.
Krok 1 — co zależy od czego. Treść mówi: „zależność liczby kupujących od ceny” — czyli $\textcolor{#16A06A}{Q}$ jest funkcją $\textcolor{#16A06A}{P}$ . Zapis musi mieć postać $Q = \ldots P \ldots$ , a nie odwrotnie.
To od razu wyklucza odpowiedzi C i D.
Krok 2 — współczynnik kierunkowy z opisu. „Zwiększenie ceny o $\textcolor{#16A06A}{1}$ powoduje spadek liczby kupujących o $\textcolor{#16A06A}{3}$ ” — czyli przyrost o 1 na wejściu daje przyrost $-3$ na wyjściu:
$a = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Krok 3 — wyraz wolny z podanego punktu. Przy cenie $\textcolor{#16A06A}{5}$ liczba kupujących to $\textcolor{#16A06A}{12}$ , czyli punkt $(P, Q) = (\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{12})$ :
$\textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{-3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} + b \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#16A06A}{12} = -15 + b \quad \Longrightarrow \quad b = \textcolor{#E0453A}{27}$
Odpowiedź: $Q = -3P + 27$ , czyli B.
Kontrola sensu: przy cenie $5$ kupuje $12$ osób ✓, przy cenie $6$ — $9$ osób (spadek o 3) ✓. A przy cenie $9$ liczba kupujących spada do zera — model przestaje mieć sens powyżej tej ceny, co jest typowe dla modeli liniowych.

💡 Wskazówka: Odpowiedzi C i D różnią się od A i B tylko tym, która litera stoi po lewej stronie. Zawsze przeczytaj dokładnie, co jest funkcją czego — słowo „od” w zdaniu „zależność $X$ od $Y$ ” wskazuje zmienną niezależną, czyli tę po prawej stronie wzoru.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli poprawny rachunek zapisany z zamienionymi zmiennymi. Współczynniki wyszłyby te same, ale wzór opisywałby cenę jako funkcję liczby kupujących — czyli odpowiadałby na inne pytanie niż zadane.

Zadanie 5 (sierpień 2019)1 pktłatwe

Punkt

A = (a, 3)

leży na prostej określonej równaniem

y = \dfrac{3}{4}x + 6

. Stąd wynika, że

A. $a = -4$
B. $a = 4$
C. $a = \dfrac{33}{4}$
D. $a = \dfrac{39}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Punkt leży na prostej, więc jego współrzędne spełniają równanie. Podstawiamy je i rozwiązujemy.
Krok 1 — podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{a}$ i $y = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
$\textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{\tfrac34} \cdot \textcolor{#16A06A}{a} + \textcolor{#16A06A}{6}$
Krok 2 — przenosimy wyraz wolny.
$\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{6} = \tfrac34 a \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#E0453A}{-3} = \tfrac34 a$
Krok 3 — mnożymy przez odwrotność ułamka.
$a = \textcolor{#E0453A}{-3} \cdot \dfrac{4}{3} = \textcolor{#E0453A}{-4}$
Odpowiedź: $a = -4$ , czyli A.
Kontrola: $\tfrac34 \cdot (-4) + 6 = -3 + 6 = 3$ ✓ — druga współrzędna się zgadza.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że szukana litera jest tu pierwszą współrzędną, czyli argumentem. Odpowiedzi C i D ( $\tfrac{33}{4}$ , $\tfrac{39}{4}$ ) powstają z podstawienia liczb odwrotnie — jako $x = 3$ — więc warto sprawdzić kolejność przed rachunkiem.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $4$ ), czyli zgubienie minusa. Z $3 - 6 = -3$ wychodzi liczba ujemna, a więc i $a$ jest ujemne — bo współczynnik $\tfrac34$ jest dodatni.

Zadanie 6 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Punkt

\left(1, \sqrt{3}\right)

należy do wykresu funkcji

y = 2\sqrt{3}\,x + b

. Wtedy współczynnik

b

jest równy

A. $7$
B. $3\sqrt{3}$
C. $-5$
D. $-\sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — podstawiamy współrzędne punktu. Argument to $\textcolor{#16A06A}{1}$ , wartość to $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}$ :
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + b$
Krok 2 — upraszczamy prawą stronę. Mnożenie przez jedynkę nic nie zmienia:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3} + b$
Krok 3 — wyznaczamy $b$ . Odejmujemy wyrazy podobne — oba mają ten sam pierwiastek, więc odejmujemy współczynniki:
$b = \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} - \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3} = (1 - 2)\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt3}$
Odpowiedź: $-\sqrt3$ , czyli D.
Kontrola: $2\sqrt3 \cdot 1 - \sqrt3 = \sqrt3$ ✓

💡 Wskazówka: Wyrazy z tym samym pierwiastkiem odejmuje się jak wyrazy podobne w algebrze: $\sqrt3 - 2\sqrt3 = -\sqrt3$ , tak samo jak $t - 2t = -t$ . Nie trzeba niczego przybliżać ani liczyć numerycznie.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $3\sqrt3$ ), czyli dodanie zamiast odjęcia. Drugi częsty: odpowiedź C ( $-5$ ), z próby przybliżenia $\sqrt3 \approx 1{,}7$ i zaokrąglenia po drodze — przy pierwiastkach zostaw wynik w postaci dokładnej, bo odpowiedzi też są dokładne.

Zadanie 7 (sierpień 2016)1 pkttrudniejsze

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych

(m - 1,\, 2m + 5)

, gdzie

m

jest dowolną liczbą rzeczywistą?

A. $y = 2x + 5$
B. $y = 2x + 6$
C. $y = 2x + 7$
D. $y = 2x + 8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Współrzędne zależą od parametru $m$ . Żeby dostać równanie prostej, trzeba wyrugować parametr — czyli wyrazić $y$ przez $x$ , bez $m$ .
Krok 1 — wyznaczamy $m$ z pierwszej współrzędnej.
$x = \textcolor{#16A06A}{m - 1} \quad \Longrightarrow \quad m = \textcolor{#E0453A}{x + 1}$
Krok 2 — wstawiamy to do drugiej współrzędnej.
$y = \textcolor{#16A06A}{2m + 5} = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{(x + 1)} + \textcolor{#16A06A}{5}$
Krok 3 — rozwijamy i porządkujemy.
$y = 2x + 2 + \textcolor{#16A06A}{5} = 2x + \textcolor{#E0453A}{7}$
Odpowiedź: $y = 2x + 7$ , czyli C.
Kontrola na dwóch wartościach parametru: dla $m = 0$ punkt to $(-1, 5)$ , a $2 \cdot (-1) + 7 = 5$ ✓. Dla $m = 1$ punkt to $(0, 7)$ , a $2 \cdot 0 + 7 = 7$ ✓

💡 Wskazówka: Wszystkie odpowiedzi mają współczynnik kierunkowy $2$ , więc różnią się tylko wyrazem wolnym — a to znaczy, że wystarczy jeden punkt, żeby wybrać właściwą. Podstaw $m = 1$ : punkt to $(0, 7)$ , czyli wyraz wolny wynosi $7$ . To najkrótsza droga.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A ( $y = 2x + 5$ ), czyli przepisanie wyrazu wolnego wprost z $2m + 5$ , bez uwzględnienia, że podstawienie $m = x + 1$ dorzuca jeszcze $2$ . Ta dodatkowa dwójka bierze się z pomnożenia jedynki przez współczynnik $2$ .

Zadanie 8 (maj 2015)1 pktśrednie

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem

f(x) = (m - 1)x + 3

leży punkt

S = (5, -2)

. Zatem

A. $m = -1$
B. $m = 0$
C. $m = 1$
D. $m = 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — podstawiamy współrzędne punktu. Argument $\textcolor{#16A06A}{5}$ , wartość $\textcolor{#16A06A}{-2}$ :
$\textcolor{#16A06A}{-2} = (m - 1) \cdot \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{3}$
Krok 2 — przenosimy trójkę.
$\textcolor{#16A06A}{-2} - \textcolor{#16A06A}{3} = 5(m-1) \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#E0453A}{-5} = 5(m-1)$
Krok 3 — dzielimy przez 5.
$m - 1 = \textcolor{#E0453A}{-1}$
Krok 4 — wyznaczamy $m$ .
$m = \textcolor{#E0453A}{-1} + 1 = 0$
Odpowiedź: $m = 0$ , czyli B.
Kontrola: dla $m = 0$ wzór to $f(x) = -x + 3$ , a $f(5) = -5 + 3 = -2$ ✓

💡 Wskazówka: Traktuj cały nawias $(m-1)$ jako jedną niewiadomą do końca rachunku — wyznacz najpierw, ile wynosi, a dopiero na końcu wylicz $m$ . To oszczędza rozwijania nawiasu i mnożenia przez 5.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A ( $m = -1$ ), czyli zatrzymanie się na wartości nawiasu $m - 1 = -1$ i podanie jej jako odpowiedzi. Zadanie pyta o $m$ , więc trzeba jeszcze dodać jedynkę.

Zadanie 9 (maj 2015)1 pkttrudniejsze

Funkcja liniowa

f

określona wzorem

f(x) = 2x + b

ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa

g(x) = -3x + 4

. Stąd wynika, że

A. $b = 4$
B. $b = -\dfrac{3}{2}$
C. $b = -\dfrac{8}{3}$
D. $b = \dfrac{4}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kolejność jest tu jednoznaczna: najpierw policz miejsce zerowe funkcji, która jest w pełni znana, a potem wykorzystaj je do drugiej.
Krok 1 — miejsce zerowe funkcji $g$ .
$-\textcolor{#16A06A}{3}x + \textcolor{#16A06A}{4} = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3x = \textcolor{#16A06A}{4} \quad \Longrightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}}$
Krok 2 — to samo miejsce zerowe ma funkcja $f$ . Czyli $f\left(\textcolor{#E0453A}{\tfrac43}\right) = 0$ :
$\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} + b = 0$
Krok 3 — wyznaczamy $b$ .
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac{8}{3}} + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad b = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{8}{3}}$
Odpowiedź: $b = -\dfrac{8}{3}$ , czyli C.
Kontrola: $f(x) = 2x - \tfrac83$ , więc $f\left(\tfrac43\right) = \tfrac83 - \tfrac83 = 0$ ✓ — obie funkcje zerują się w tym samym punkcie.

💡 Wskazówka: „Takie samo miejsce zerowe” znaczy, że oba wykresy przecinają oś $x$ w tym samym punkcie — ale poza tym są zupełnie różne (mają inne nachylenie). Nie próbuj przyrównywać całych wzorów; wspólny jest tylko jeden punkt.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $\tfrac43$ ), czyli podanie miejsca zerowego zamiast szukanego $b$ . To poprawny wynik pośredni, ale nie odpowiedź na pytanie. Odpowiedź A ( $4$ ) to przepisany wyraz wolny funkcji $g$ .

Zadanie 10 (czerwiec 2014)1 pktłatwe

Na prostej o równaniu

y = ax + b

leżą punkty

K = (1, 0)

L = (0, 1)

. Wynika stąd, że

A. $a = -1$ i $b = 1$
B. $a = 1$ i $b = -1$
C. $a = -1$ i $b = -1$
D. $a = 1$ i $b = 1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Jeden z punktów ma pierwszą współrzędną równą zeru — a taki punkt daje wyraz wolny natychmiast, bez żadnego układu równań.
Krok 1 — punkt $L = (\textcolor{#16A06A}{0}, \textcolor{#16A06A}{1})$ leży na osi $Oy$ .
$\textcolor{#16A06A}{1} = a \cdot \textcolor{#16A06A}{0} + b \quad \Longrightarrow \quad b = \textcolor{#E0453A}{1}$
Krok 2 — punkt $K = (\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{0})$ .
$\textcolor{#16A06A}{0} = a \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#E0453A}{1} \quad \Longrightarrow \quad a = \textcolor{#E0453A}{-1}$
Odpowiedź: $a = -1$ i $b = 1$ , czyli A.
Kontrola: prosta $y = -x + 1$ przechodzi przez $(1,0)$ ✓ i $(0,1)$ ✓ — to prosta opadająca, przecinająca obie osie w punktach o współrzędnej $1$ .

💡 Wskazówka: Gdy jeden z punktów ma współrzędną $x = 0$ , zacznij od niego — daje $b$ w jednym kroku. Można też ocenić znak $a$ bez rachunków: przy przejściu od $L$ do $K$ argument rośnie, a wartość maleje, więc prosta opada i $a < 0$ . To wyklucza odpowiedzi B i D.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $a = 1$ , $b = 1$ ), czyli zgubienie znaku przy wyznaczaniu $a$ . Z $0 = a + 1$ wynika $a = -1$ . Kontrola na wykresie jest tu najprostsza: prosta łącząca $(1,0)$ i $(0,1)$ oczywiście opada.

Zadanie 11 (maj 2014)1 pktśrednie

O funkcji liniowej

f

wiadomo, że

f(1) = 2

. Do wykresu tej funkcji należy punkt

P = (-2, 3)

. Wzór funkcji

f

A. $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$
B. $f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$
C. $f(x) = -2x + 4$
D. $f(x) = -3x + 7$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dwa warunki podane w różnej formie — jeden jako wartość funkcji, drugi jako punkt — ale oba znaczą to samo i dają po jednym równaniu.
Krok 1 — zapisujemy oba warunki.
$f(\textcolor{#16A06A}{1}) = \textcolor{#16A06A}{2}$ → $a + b = \textcolor{#16A06A}{2}$
$f(\textcolor{#16A06A}{-2}) = \textcolor{#16A06A}{3}$ → $-2a + b = \textcolor{#16A06A}{3}$
Krok 2 — odejmujemy równania, żeby usunąć $b$ .
$(a + b) - (-2a + b) = \textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{3}$
$3a = \textcolor{#E0453A}{-1} \quad \Longrightarrow \quad a = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{1}{3}}$
Krok 3 — wracamy do pierwszego równania.
$\textcolor{#E0453A}{-\tfrac13} + b = \textcolor{#16A06A}{2} \quad \Longrightarrow \quad b = \textcolor{#16A06A}{2} + \tfrac13 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{3}}$
Odpowiedź: $f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$ , czyli B.
Kontrola: $f(1) = -\tfrac13 + \tfrac73 = \tfrac63 = 2$ ✓ oraz $f(-2) = \tfrac23 + \tfrac73 = \tfrac93 = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Zapis $f(1) = 2$ i punkt $(1, 2)$ to dokładnie to samo — pierwsza liczba jest argumentem, druga wartością. Zamień więc oba warunki na punkty i traktuj je jednakowo; nie ma potrzeby rozróżniać tych form.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie równań w odwrotnej kolejności i otrzymanie $a = \tfrac13$ — czyli dodatniego współczynnika, którego nie ma wśród odpowiedzi. Warto wtedy nie „naprawiać” wyniku, a wrócić i sprawdzić znaki: przy wzroście argumentu z $-2$ do $1$ wartość maleje z $3$ do $2$ , więc $a$ musi być ujemne.

Zadanie 12 (maj 2013)1 pktłatwe

Punkt

A = (0,\, 1)

leży na wykresie funkcji liniowej

f(x) = (m - 2)x + m - 3

. Stąd wynika, że

A. $m = 1$
B. $m = 2$
C. $m = 3$
D. $m = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

„Punkt leży na wykresie” znaczy, że jego współrzędne spełniają wzór: $f(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
Zero na pierwszym miejscu bardzo tu pomaga — po podstawieniu $x = 0$ cały składnik z $x$ znika, bez względu na to, co przy nim stoi:
$f(0) = (m - 2) \cdot \textcolor{#16A06A}{0} + m - \textcolor{#16A06A}{3} = m - \textcolor{#16A06A}{3}$
$m - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: D.
Kontrola: dla $m = 4$ wzór to $f(x) = 2x + 1$ , a $f(0) = 1$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy podany punkt leży na osi $Oy$ (czyli ma zero na pierwszym miejscu), wyrażenie przy $x$ można w ogóle pominąć — liczy się tylko wyraz wolny. Warto na to zwrócić uwagę od razu, zanim się cokolwiek rozpisze: to zamienia dwuwyrazowy wzór w jednolinijkowe równanie.

⚠ Podstawienie współrzędnych w odwrotnej kolejności, czyli policzenie $f(1) = 0$ zamiast $f(0) = 1$ . Wtedy równanie brzmi $(m-2) + m - 3 = 0$ , czyli $2m = 5$ i $m = 2{,}5$ — liczba, której nie ma wśród odpowiedzi, więc błąd sam się ujawnia. Drugi błąd: uznanie, że skoro punkt ma współrzędną $1$ , to $m - 2 = 1$ i $m = 3$ ; to przyrównanie współczynnika kierunkowego do drugiej współrzędnej punktu, a te dwie rzeczy nie mają ze sobą nic wspólnego.

Zadanie 13 (maj 2020)1 pktłatwe

Punkt

A = \left(\dfrac{1}{3},\, -1\right)

należy do wykresu funkcji liniowej

f(x) = 3x + b

. Wynika stąd, że

A. $b = 2$
B. $b = 1$
C. $b = -1$
D. $b = -2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Podstawiamy współrzędne punktu: $x = \textcolor{#16A06A}{\tfrac13}$ , $f(x) = \textcolor{#16A06A}{-1}$ .
$\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{\tfrac13} + b = \textcolor{#16A06A}{-1}$
Iloczyn $3 \cdot \tfrac13$ to $1$ — ułamek został w zadaniu dobrany właśnie tak, żeby się skrócił:
$\textcolor{#E0453A}{1} + b = \textcolor{#16A06A}{-1}$
$b = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Odpowiedź: D.
Kontrola: $f(x) = 3x - 2$ , więc $f\left(\tfrac13\right) = 1 - 2 = -1$ ✓

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz przenosić wyrazy, policz iloczyn $3 \cdot \tfrac13$ . Wychodzi $1$ — i cały ułamek z zadania znika. Kiedy w treści widzisz ułamek, którego mianownik jest równy współczynnikowi kierunkowemu, to prawie zawsze znak, że autor przygotował takie skrócenie.

⚠ Przeniesienie jedynki na drugą stronę bez zmiany znaku: z $1 + b = -1$ wynika $b = -2$ , a nie $b = 0$ ani $b = 2$ . Odpowiedź A jest przygotowana dokładnie na ten błąd. Drugi wariant: obliczenie $3 \cdot \tfrac13$ jako $\tfrac13$ (czyli pominięcie mnożenia), co daje $b = -1\tfrac13$ — liczbę spoza podanych odpowiedzi.

Zadanie 14 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dana jest prosta

k

o równaniu

y = 3x + b

, przechodząca przez punkt

A = (-1,\, 3)

. Współczynnik

b

w równaniu tej prostej jest równy

A. $0$
B. $6$
C. $(-10)$
D. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Prosta przechodzi przez punkt $A$ , więc jego współrzędne spełniają jej równanie. Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{-1}$ i $y = \textcolor{#16A06A}{3}$ :
$\textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{(-1)} + b$
$\textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{-3} + b$
$b = \textcolor{#E0453A}{6}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: prosta $y = 3x + 6$ dla $x = -1$ daje $y = -3 + 6 = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Trójka występuje w tym zadaniu dwa razy w różnych rolach: jako współczynnik kierunkowy i jako druga współrzędna punktu. Zapisz podstawienie w całości ( $3 = 3 \cdot (-1) + b$ ) zanim zaczniesz liczyć — wtedy nie ma jak ich pomylić.

⚠ Zgubienie minusa przy pierwszej współrzędnej. Kto policzy $3 \cdot 1$ zamiast $3 \cdot (-1)$ , dostanie $3 = 3 + b$ , czyli $b = 0$ — dokładnie odpowiedź A. Odpowiedź C powstaje z zamiany współrzędnych: podstawienie $x = 3$ i $y = -1$ daje $-1 = 9 + b$ , czyli $b = -10$ . Kolejność jest zawsze ta sama — pierwsza współrzędna to argument, druga to wartość.

Zadanie 15 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Punkt

M = (3,\, -2)

należy do wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f(x) = 5x + b - 4

. Wynika stąd, że

b

jest równe

A. $(-17)$
B. $(-13)$
C. $13$
D. $17$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Uwaga na wzór: wyrazem wolnym jest tu całe $b - 4$ , a nie samo $b$ . Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{3}$ i $f(x) = \textcolor{#16A06A}{-2}$ :
$\textcolor{#16A06A}{-2} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} + b - \textcolor{#16A06A}{4}$
$\textcolor{#16A06A}{-2} = \textcolor{#E0453A}{15} + b - \textcolor{#16A06A}{4}$
$\textcolor{#16A06A}{-2} = \textcolor{#E0453A}{11} + b$
$b = \textcolor{#E0453A}{-13}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: dla $b = -13$ wzór to $f(x) = 5x - 17$ , więc $f(3) = 15 - 17 = -2$ ✓

💡 Wskazówka: Najpierw zwiń liczby po jednej stronie ( $15 - 4 = 11$ ), a dopiero potem przenoś. Rozwiązywanie równania $-2 = 15 + b - 4$ „po kolei od lewej” prowadzi do niepotrzebnych dwóch kroków i to tam gubi się znaki.

⚠ Odpowiedź $-17$ to wyraz wolny gotowej funkcji, czyli $b - 4$ , a nie samo $b$ — i to najczęstsza pomyłka w tym zadaniu, bo liczba $-17$ faktycznie pojawia się w rachunku. Zadanie pyta o $b$ , więc na końcu trzeba jeszcze dodać $4$ . Odpowiedzi C i D to te same dwie liczby bez minusa: kto zapomni, że druga współrzędna punktu jest ujemna, wyląduje właśnie tam.

Zadanie 16 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Punkt

P = (-3,\, 7)

leży na wykresie funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f(x) = (2m - 1)x + 5

. Zatem

A. $m = \dfrac{1}{6}$
B. $m = -\dfrac{1}{6}$
C. $m = \dfrac{5}{6}$
D. $m = -\dfrac{5}{6}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{-3}$ i $f(x) = \textcolor{#16A06A}{7}$ :
$\textcolor{#16A06A}{7} = (2m - 1) \cdot \textcolor{#16A06A}{(-3)} + \textcolor{#16A06A}{5}$
Odejmujemy $5$ od obu stron:
$\textcolor{#E0453A}{2} = -3(2m - 1)$
Rozwijamy nawias — uwaga na oba znaki:
$\textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{-6}m + \textcolor{#E0453A}{3}$
$\textcolor{#E0453A}{-1} = \textcolor{#E0453A}{-6}m \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{\tfrac16}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: dla $m = \tfrac16$ współczynnik kierunkowy to $2 \cdot \tfrac16 - 1 = \tfrac13 - 1 = -\tfrac23$ , więc $f(-3) = -\tfrac23 \cdot (-3) + 5 = 2 + 5 = 7$ ✓

💡 Wskazówka: Nie rozwijaj nawiasu od razu. Najpierw przenieś $5$ na lewą stronę — zostanie krótkie $2 = -3(2m-1)$ , które można nawet podzielić przez $-3$ i dalej liczyć na $2m - 1 = -\tfrac23$ . Mniej mnożeń to mniej okazji do pomyłki przy znakach, a w tym zadaniu wszystkie cztery odpowiedzi różnią się właśnie znakiem albo licznikiem.

⚠ Dwa błędy prowadzą wprost do podstawionych odpowiedzi. Pierwszy: mnożenie przez $-3$ tylko pierwszego składnika nawiasu — $-3 \cdot (2m - 1)$ to $-6m + 3$ , a nie $-6m - 3$ ; z tej pomyłki wychodzi $2 = -6m - 3$ , czyli $m = -\tfrac56$ (odpowiedź D). Drugi, na samym końcu: z $-1 = -6m$ wynika $m = \tfrac16$ , bo dwa minusy się skracają — kto tego nie zauważy, zapisze $m = -\tfrac16$ i wybierze odpowiedź B. Warto podstawić wynik z powrotem: przy $m$ ujemnym współczynnik kierunkowy wychodzi mniejszy od $-1$ i $f(-3)$ nie daje $7$ .

Zadanie 17 (maj 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

1

jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f(x) = ax + b

, a punkt

M = (3,\, -2)

należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik

a

we wzorze tej funkcji jest równy

A. $1$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $-\dfrac{3}{2}$
D. $(-1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Tym razem nieznane są dwa współczynniki, więc potrzebne są dwie informacje — i dokładnie dwie zostały podane. Każdą zamieniamy na równanie.
Miejsce zerowe $1$ znaczy $f(1) = 0$ : $a \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + b = 0$ , czyli $b = \textcolor{#E0453A}{-a}$ .
Punkt $M$ na wykresie znaczy $f(3) = -2$ : $\textcolor{#16A06A}{3}a + b = \textcolor{#16A06A}{-2}$ .
Podstawiamy $b = \textcolor{#E0453A}{-a}$ do drugiego równania — i to jest cały pomysł na to zadanie:
$\textcolor{#16A06A}{3}a \textcolor{#E0453A}{- a} = \textcolor{#16A06A}{-2}$
$\textcolor{#E0453A}{2}a = \textcolor{#16A06A}{-2} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{-1}$
Odpowiedź: D.
Dla porządku policzmy jeszcze $b$ : $b = -a = \textcolor{#E0453A}{1}$ , więc $f(x) = -x + 1$ . Sprawdzenie obu warunków: $f(1) = -1 + 1 = 0$ ✓ oraz $f(3) = -3 + 1 = -2$ ✓
Można też pójść zupełnie inną drogą, krótszą. Miejsce zerowe to punkt $(1, 0)$ na wykresie, a $M = (3, -2)$ to drugi punkt — mamy więc dwa punkty prostej i wystarczy iloraz przyrostów: $a = \dfrac{-2 - 0}{3 - 1} = \dfrac{-2}{2} = -1$ .

💡 Wskazówka: Kluczowe spostrzeżenie: miejsce zerowe to też punkt wykresu — punkt $(1, 0)$ . Gdy to zobaczysz, zadanie z dwiema niewiadomymi zamienia się w znane „wyznacz nachylenie prostej przez dwa punkty” i robi się jednolinijkowe. Układ równań daje ten sam wynik, tylko dłużej.

⚠ Przyjęcie, że miejsce zerowe to punkt $(0, 1)$ zamiast $(1, 0)$ — zamiana współrzędnych. Wtedy iloraz przyrostów wynosi $\tfrac{-2-1}{3-0} = -1$ … przypadkiem znowu $-1$ , więc ten błąd tutaj nie boli, ale w większości zadań daje zły wynik. Prawdziwa pułapka to odpowiedzi B i C. Liczba $-\tfrac32$ wychodzi z podzielenia współrzędnych punktu $M$ odwrotnie: $\tfrac{x_M}{y_M} = \tfrac{3}{-2}$ zamiast przyrostów w kolejności $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ . Odpowiedź $\tfrac32$ to ta sama liczba bez minusa. We wzorze na współczynnik kierunkowy licznik zawsze dotyczy $y$ — i to jedyna rzecz, którą trzeba w nim zapamiętać.

Zadanie 18 (maj 2010)1 pktśrednie

Prosta o równaniu

y = -2x + (3m + 3)

przecina w układzie współrzędnych oś

Oy

w punkcie

(0,\, 2)

. Wtedy

A. $m = -\dfrac{2}{3}$
B. $m = -\dfrac{1}{3}$
C. $m = \dfrac{1}{3}$
D. $m = \dfrac{5}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Punkt przecięcia z osią $Oy$ to wprost wyraz wolny — a wyrazem wolnym tej prostej jest całe wyrażenie w nawiasie. Nie trzeba nic podstawiać:
$\textcolor{#16A06A}{3m + 3} = \textcolor{#16A06A}{2}$
$3m = \textcolor{#E0453A}{-1} \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac13}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: dla $m = -\tfrac13$ mamy $3m + 3 = -1 + 3 = 2$ , więc prosta to $y = -2x + 2$ i faktycznie przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$ ✓

💡 Wskazówka: Współczynnik $-2$ jest w tym zadaniu całkowicie nieistotny — punkt przecięcia z osią $Oy$ zależy wyłącznie od wyrazu wolnego. Gdy zadanie mówi o przecięciu z osią pionową, można od razu przyrównać wyraz wolny do drugiej współrzędnej punktu i pominąć resztę wzoru.

⚠ Wciągnięcie współczynnika $-2$ do rachunku, na przykład przez podstawienie punktu $(0,2)$ z pomyleniem współrzędnych: $0 = -2 \cdot 2 + 3m + 3$ daje $3m = 1$ , czyli $m = \tfrac13$ — odpowiedź C. Drugi błąd: rozwiązanie $3m + 3 = 2$ jako $3m = 5$ (dodanie trójki zamiast odjęcia), co prowadzi do $\tfrac53$ , czyli odpowiedzi D.

Zadanie 19 (listopad 2009)1 pktśrednie

Prosta o równaniu

y = -4x + (2m - 7)

przechodzi przez punkt

A = (2,\, -1)

. Wtedy

A. $m = 7$
B. $m = 2\dfrac{1}{2}$
C. $m = -\dfrac{1}{2}$
D. $m = -17$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Podstawiamy współrzędne punktu $A$ : $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $y = \textcolor{#16A06A}{-1}$ .
$\textcolor{#16A06A}{-1} = \textcolor{#16A06A}{-4} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + (2m - \textcolor{#16A06A}{7})$
$\textcolor{#16A06A}{-1} = \textcolor{#E0453A}{-8} + 2m - \textcolor{#16A06A}{7}$
Zwijamy liczby po prawej stronie:
$\textcolor{#16A06A}{-1} = 2m \textcolor{#E0453A}{- 15}$
$2m = \textcolor{#E0453A}{14} \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{7}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: dla $m = 7$ mamy $2m - 7 = 7$ , więc prosta to $y = -4x + 7$ , a dla $x = 2$ daje $y = -8 + 7 = -1$ ✓

💡 Wskazówka: Zwiń najpierw wszystkie liczby po jednej stronie ( $-8 - 7 = -15$ ), a dopiero potem przenoś. To jedno uporządkowanie zamienia równanie z czterema liczbami w równanie z dwiema — a tu wszystkie cztery odpowiedzi są zbudowane właśnie na pomyłkach w tym miejscu.

⚠ Dwa dystraktory mają dokładne wyprowadzenia. Odpowiedź $2\tfrac12$ wychodzi z zamiany współrzędnych punktu: podstawienie $x = -1$ i $y = 2$ daje $2 = 4 + 2m - 7$ , czyli $2m = 5$ . Odpowiedź $-\tfrac12$ bierze się z zatrzymania rachunku o krok za wcześnie — z równania $-1 = 2m - 15$ zostaje samo $2m = -1$ , gdy zapomni się przenieść $-15$ . Najpewniejsza kontrola to podstawienie wyniku z powrotem do równania prostej: zajmuje kilka sekund i wyłapuje każdy z tych wariantów.

Zadania otwarte

Zadanie 20 (maj 2021)2 pktśrednie

Funkcja liniowa

f

przyjmuje wartość

2

dla argumentu

0

, a ponadto

f(4) - f(2) = 6

. Wyznacz wzór funkcji

f

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $f(x) = 3x + 2$

Szukamy dwóch liczb — $a$ i $b$ we wzorze $f(x) = ax + b$ — i mamy na to dokładnie dwie informacje.
Pierwsza informacja daje wyraz wolny. „Wartość $2$ dla argumentu $0$ ” to $f(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#16A06A}{2}$ , a $f(0)$ to zawsze sam wyraz wolny:
$b = \textcolor{#16A06A}{2}$
Druga informacja daje współczynnik kierunkowy. Zapisujemy oba wyrazy i odejmujemy:
$f(4) - f(2) = (a \cdot \textcolor{#16A06A}{4} + b) - (a \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + b) = \textcolor{#E0453A}{4}a + b - \textcolor{#E0453A}{2}a - b = \textcolor{#E0453A}{2}a$
Wyraz wolny $b$ skrócił się — i to jest sedno tego zadania. Różnica dwóch wartości funkcji liniowej nie zależy od $b$ wcale.
$\textcolor{#E0453A}{2}a = \textcolor{#16A06A}{6} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{3}$
Odpowiedź: $f(x) = 3x + 2$ .
Sprawdzenie obu warunków: $f(0) = 2$ ✓ oraz $f(4) - f(2) = 14 - 8 = 6$ ✓

💡 Wskazówka: Warto zapamiętać ogólną zależność, bo wraca w wielu zadaniach: dla funkcji liniowej $f(x_2) - f(x_1) = a \cdot (x_2 - x_1)$ . Tutaj argumenty różnią się o $2$ , a wartości o $6$ , więc $a = \tfrac62 = 3$ — bez rozpisywania nawiasów. To ten sam iloraz przyrostów, tylko zapisany słowami.

⚠ Przyjęcie $a = 6$ , czyli potraktowanie różnicy wartości jako samego współczynnika. Różnica $6$ powstała na dwóch jednostkach argumentu ( $z$ $2$ na $4$ ), więc na jedną jednostkę wypada $3$ . Drugi błąd: próba zbudowania układu równań z $f(4) = 6$ i $f(2) = 0$ — treść nie podaje tych wartości osobno, a tylko ich różnicę, więc takie rozbicie jest wymyśleniem danych, których nie ma.

Zadanie 21 (informator CKE)2 pktśrednie

O funkcji liniowej

f

wiadomo, że

f(1) = 2

oraz że do wykresu tej funkcji należy punkt

P = (-2,\, 3)

. Wyznacz wzór funkcji

f

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$

Oba warunki to punkty wykresu, choć zapisane różnie: $f(1) = 2$ znaczy, że na wykresie leży punkt $(\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{2})$ , a drugi punkt jest podany wprost jako $(\textcolor{#16A06A}{-2}, \textcolor{#16A06A}{3})$ .
Mając dwa punkty, współczynnik kierunkowy liczymy jako iloraz przyrostów:
$a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{-2} - \textcolor{#16A06A}{1}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{-3}} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac13}$
Wyraz wolny wyznaczamy, podstawiając dowolny z tych punktów. Wybieram $(1, 2)$ , bo rachunek jest krótszy:
$\textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac13} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + b \qquad \Longrightarrow \qquad b = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{\tfrac13} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac73}$
Odpowiedź: $f(x) = -\tfrac13 x + \tfrac73$ .
Kontrola na drugim punkcie, tym którego nie użyłem do wyznaczenia $b$ : $f(-2) = -\tfrac13 \cdot (-2) + \tfrac73 = \tfrac23 + \tfrac73 = \tfrac93 = 3$ ✓
To samo zadanie pojawiło się w arkuszach także jako zamknięte — jest nim zadanie 11 na tej stronie. Różnica jest istotna: tam cztery gotowe wzory można było sprawdzić podstawieniem i dojść do odpowiedzi bez liczenia $a$ , tutaj wzór trzeba wyprodukować od zera. Warto rozwiązać oba warianty pod rząd i porównać, ile pracy oszczędzają odpowiedzi do wyboru.

💡 Wskazówka: Zapis $f(1) = 2$ i zapis $P = (-2, 3)$ mówią o tym samym — o punkcie należącym do wykresu. Gdy to zobaczysz, zadanie przestaje mieć dwa różne warunki i staje się standardowym „wyznacz wzór prostej przez dwa punkty”. Zawsze przepisuj $f(x_0) = y_0$ jako parę $(x_0, y_0)$ , zanim zaczniesz liczyć.

⚠ Odjęcie przyrostów w niezgodnej kolejności: licznik „od $P$ do $(1,2)$ ”, a mianownik „od $(1,2)$ do $P$ ”. Wychodzi wtedy $\tfrac13$ zamiast $-\tfrac13$ — czyli prosta rosnąca zamiast malejącej. Szybka kontrola sensowności: argument rośnie z $-2$ do $1$ , a wartość maleje z $3$ do $2$ , więc $a$ musi być ujemne. Drugi błąd: zatrzymanie się na $a$ i nieobliczenie $b$ — w zadaniu otwartym pytanie brzmi „wyznacz wzór”, więc bez wyrazu wolnego rozwiązanie jest niepełne.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. D	3. C	4. B	5. A	6. D
7. C	8. B	9. C	10. A	11. B	12. D
13. D	14. B	15. B	16. A	17. D	18. B
19. A	20. $f(x) = 3x + 2$	21. $f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Czy funkcja stała jest liniowa?

Tak. Wzór $f(x) = b$ powstaje z ogólnego przy $a = 0$ i spełnia definicję, bo zmienna nadal występuje najwyżej w pierwszej potędze. Nie jest natomiast ani rosnąca, ani malejąca.

Ile danych trzeba, żeby wyznaczyć wzór funkcji liniowej?

Dwie niezależne informacje, bo szukane liczby są dwie: $a$ i $b$ . Mogą to być dwa punkty, punkt i współczynnik kierunkowy albo opis zjawiska podający tempo zmian i stan początkowy.

Czym różni się funkcja liniowa od proporcjonalności prostej?

Proporcjonalność prosta to szczególny przypadek funkcji liniowej z zerowym wyrazem wolnym. Każda proporcjonalność prosta jest funkcją liniową, ale nie odwrotnie — wykres tej pierwszej musi przechodzić przez początek układu.

Jak sprawdzić, czy tabela opisuje funkcję liniową?

Policzyć ilorazy przyrostów wartości przez przyrosty argumentów dla kolejnych par. Jeśli wszystkie wychodzą równe, funkcja jest liniowa, a ten wspólny iloraz jest jej współczynnikiem kierunkowym.

Czy w zadaniu tekstowym dziedziną jest zawsze zbiór liczb rzeczywistych?

Nie. Wzór działa wszędzie, ale zjawisko zwykle nie: liczba sztuk bywa naturalna, czas nieujemny, a pojemność naczynia ogranicza argument z góry. Dziedzinę wyznacza treść, nie wzór.

Czytaj dalej

Wykres funkcji liniowejTa sama funkcja od strony rysunku: odczyt współczynników, proste równoległe i punkt przecięcia.Monotoniczność funkcji liniowejCo ze wzoru wynika o kierunku zmian i o zbiorze wartości.Miejsce zerowe funkcji liniowejRozwiązywanie równania $ax + b = 0$, w tym z parametrem we wzorze.Proporcjonalność odwrotnaDla kontrastu: stały iloczyn zamiast stałego przyrostu i hiperbola zamiast prostej.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Funkcja liniowa

1Wzór i co znaczą jego litery

2Jakie dane, taka droga do wzoru

3Funkcja liniowa jako model zjawiska

4Czy to na pewno funkcja liniowa

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — wyznaczanie wzoru funkcji liniowej z warunków

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Zadanie 2 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Zadanie 3 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Zadanie 4 (pokazowy 2023)1 pkttrudniejsze

Zadanie 5 (sierpień 2019)1 pktłatwe

Zadanie 6 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Zadanie 7 (sierpień 2016)1 pkttrudniejsze

Zadanie 8 (maj 2015)1 pktśrednie

Zadanie 9 (maj 2015)1 pkttrudniejsze

Zadanie 10 (czerwiec 2014)1 pktłatwe

Zadanie 11 (maj 2014)1 pktśrednie

Zadanie 12 (maj 2013)1 pktłatwe

Zadanie 13 (maj 2020)1 pktłatwe

Zadanie 14 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Zadanie 15 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Zadanie 16 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Zadanie 17 (maj 2018)1 pkttrudniejsze

Zadanie 18 (maj 2010)1 pktśrednie

Zadanie 19 (listopad 2009)1 pktśrednie

Zadania otwarte

Zadanie 20 (maj 2021)2 pktśrednie

Zadanie 21 (informator CKE)2 pktśrednie

Odpowiedzi

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku