Zadania dowodowe geometryczne

Przykład 1 Rachunek kątowy: kąt oparty na średnicy jest prosty

Punkt $C$ leży na okręgu o średnicy $AB$ i jest różny od $A$ i $B$. Wykaż, że kąt $ACB$ jest prosty.

1. Założenie: $AB$ jest średnicą okręgu o środku $O$, punkt $C$ leży na tym okręgu, $C \neq A$, $C \neq B$.
2. Teza: $|\angle ACB| = \textcolor{#E0453A}{90°}$.
3. Rysuję dodatkowy odcinek $OC$. To jedyny pomysł w tym dowodzie — reszta jest rachunkiem.
4. Odcinki $OA$, $OB$ i $OC$ to promienie tego samego okręgu, więc $|OA| = |OB| = |OC|$.
5. Trójkąt $AOC$ ma zatem dwa boki równe, czyli jest równoramienny. Kąty przy jego podstawie są równe — oznaczam je przez $\alpha$.
6. Tak samo trójkąt $BOC$ jest równoramienny, a kąty przy jego podstawie oznaczam przez $\beta$.
7. W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ wynosi $\alpha$, przy $B$ wynosi $\beta$, a przy $C$ jest sumą obu, czyli $\alpha + \beta$.
8. Z sumy kątów w trójkącie $ABC$: $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180°$, czyli $2(\alpha + \beta) = \textcolor{#16A06A}{180°}$.
9. Stąd $\alpha + \beta = \textcolor{#E0453A}{90°}$ — a to jest właśnie miara kąta $ACB$.
10. Teza wykazana. Kąt $ACB$ jest prosty dla każdego położenia punktu $C$ na okręgu.

Odpowiedź: $|\angle ACB| = 90°$ niezależnie od położenia $C$.

Zwróć uwagę, że w dowodzie ani razu nie pada konkretna liczba stopni dla $\alpha$ czy $\beta$ — i tak być musi, bo zależą one od położenia $C$. Dowodzimy, że ich suma jest stała. Gdyby ktoś wstawił tu $\alpha = 30°$, dowiódłby twierdzenia tylko dla jednego punktu.

Przykład 2 Przystawanie: przekątne równoległoboku dzielą się na połowy

W równoległoboku $ABCD$ przekątne przecinają się w punkcie $S$. Wykaż, że $|AS| = |SC|$ oraz $|BS| = |SD|$.

1. Założenie: $ABCD$ jest równoległobokiem, więc $AB \parallel CD$ oraz $|AB| = |CD|$.
2. Teza: $|AS| = |SC|$ i $|BS| = |SD|$.
3. Teza mówi o równości odcinków, więc szukam pary trójkątów przystających. Naturalni kandydaci to $ABS$ i $CDS$.
4. Krok 1: $|AB| = |CD|$ — z własności równoległoboku (przeciwległe boki są równe).
5. Krok 2: $|\angle BAS| = |\angle DCS|$ — to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych $AB \parallel CD$ przeciętych przekątną $AC$.
6. Krok 3: $|\angle ABS| = |\angle CDS|$ — również kąty naprzemianległe, tym razem przy przekątnej $BD$.
7. Mam więc bok $AB = CD$ oraz dwa kąty do niego przyległe. To cecha KBK, zatem trójkąty $ABS$ i $CDS$ są przystające.
8. W trójkątach przystających odpowiadające sobie boki są równe, więc $|AS| = \textcolor{#E0453A}{|SC|}$ oraz $|BS| = \textcolor{#E0453A}{|SD|}$.
9. Teza wykazana.

Odpowiedź: Przekątne równoległoboku przecinają się w swoich środkach.

Zauważ kolejność myślenia: najpierw teza wskazała narzędzie (równość odcinków → przystawanie), a dopiero potem szukałem, które trójkąty wziąć. Odwrotna kolejność — najpierw rysunek, potem szukanie czegokolwiek — kończy się zwykle błądzeniem.

Przykład 3 Podobieństwo: odcinek łączący środki boków

W trójkącie $ABC$ punkt $M$ jest środkiem boku $AB$, a punkt $N$ środkiem boku $AC$. Wykaż, że $MN \parallel BC$ oraz $|MN| = \frac{1}{2}|BC|$.

1. Założenie: $|AM| = |MB|$ oraz $|AN| = |NC|$.
2. Teza: $MN \parallel BC$ i $|MN| = \frac{1}{2}|BC|$.
3. Teza mówi o stosunku długości, więc sięgam po podobieństwo. Porównuję trójkąty $AMN$ i $ABC$.
4. Ponieważ $M$ jest środkiem $AB$, mamy $\frac{|AM|}{|AB|} = \textcolor{#16A06A}{\frac{1}{2}}$. Tak samo $\frac{|AN|}{|AC|} = \textcolor{#16A06A}{\frac{1}{2}}$.
5. Kąt przy wierzchołku $A$ jest wspólny dla obu trójkątów.
6. Mam więc dwa boki w tym samym stosunku i kąt między nimi — to cecha podobieństwa bkb. Trójkąty $AMN$ i $ABC$ są podobne w skali $k = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}}$.
7. W figurach podobnych wszystkie odpowiadające sobie odcinki są w tej samej skali, więc $|MN| = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}} \cdot |BC|$ — pierwsza część tezy gotowa.
8. W trójkątach podobnych odpowiadające sobie kąty są równe, więc $|\angle AMN| = |\angle ABC|$.
9. Te dwa kąty są odpowiadające przy prostych $MN$ i $BC$ przeciętych prostą $AB$. Skoro są równe, proste $MN$ i $BC$ są równoległe — druga część tezy gotowa.
10. Teza wykazana w obu częściach.

Odpowiedź: $MN \parallel BC$ oraz $|MN| = \frac{1}{2}|BC|$.

Ten dowód ma dwie tezy i każda wymagała osobnego kroku — długość wyszła ze skali podobieństwa, a równoległość z równości kątów. Częsty błąd to wykazanie jednej i uznanie drugiej za oczywistą.