Strona główna › Funkcje › Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność mówi, czy funkcja rośnie, czy maleje — i w którym miejscu. Definicja jest krótka, ale zawiera jeden szczegół, który decyduje o połowie punktów w zadaniach: monotoniczność orzeka się zawsze o przedziale, nigdy o pojedynczym punkcie. Z tego szczegółu bierze się też najczęstsza pułapka całego działu, o której niżej.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — podstawa i rozszerzenie

1Pięć definicji

Wszystkie definicje mają tę samą budowę: bierzemy dowolne dwa argumenty $x_1 < x_2$ z rozważanego zbioru i porównujemy wartości funkcji.

funkcja jest…	warunek dla $x_1 < x_2$	wykres
rosnąca	$f(x_1) < f(x_2)$	wznosi się, bez odcinków poziomych
malejąca	$f(x_1) > f(x_2)$	opada, bez odcinków poziomych
niemalejąca	$f(x_1) \leqslant f(x_2)$	wznosi się lub stoi w miejscu
nierosnąca	$f(x_1) \geqslant f(x_2)$	opada lub stoi w miejscu
stała	$f(x_1) = f(x_2)$	linia pozioma

Funkcja monotoniczna to taka, która jest jednego z tych pięciu rodzajów w całym rozważanym zbiorze. Jeśli w jednym miejscu rośnie, a w innym maleje, monotoniczna nie jest — ale ma wtedy przedziały monotoniczności, które się wyznacza osobno.

Rosnąca a niemalejąca — różnica jednej kreski

W definicji rosnącej stoi nierówność ostra ( $<$ ), w niemalejącej — słaba ( $\leqslant$ ). Różnica polega na tym, czy funkcja może gdzieś stanąć w miejscu.

Funkcja rosnąca nie może mieć odcinka poziomego: gdyby dla $x_1 < x_2$ zachodziło $f(x_1) = f(x_2)$ , warunek ostry byłby złamany.

Funkcja niemalejąca może. Przykład: funkcja równa $0$ dla $x \leqslant 0$ i równa $x$ dla $x > 0$ jest niemalejąca, ale nie jest rosnąca.

Każda funkcja rosnąca jest niemalejąca — odwrotnie już nie. To zależność jednostronna, jak między kwadratem a prostokątem.

Zwróć uwagę, że w definicji nie ma słowa „pochodna” ani „wykres”. Monotoniczność to własność porównywania wartości, a wykres i pochodna są tylko narzędziami do jej sprawdzenia.

2Największa pułapka: sumowanie przedziałów

To błąd, który kosztuje najwięcej punktów w całym dziale, więc warto go zobaczyć na konkretnym przykładzie.

Rozważmy funkcję $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Jest ona malejąca w przedziale $(-\infty; 0)$ i malejąca w przedziale $(0; +\infty)$ . Kusi więc, żeby napisać, że jest malejąca w swojej dziedzinie.

Kontrprzykład, który to obala

Weźmy $x_1 = -1$ oraz $x_2 = 1$ . Zachodzi $x_1 < x_2$ , więc gdyby funkcja była malejąca w dziedzinie, musiałoby być $f(x_1) > f(x_2)$ .

Tymczasem $f(-1) = -1$ , a $f(1) = 1$ , czyli $f(x_1) < f(x_2)$ — funkcja wzrosła.

Wniosek: $f(x) = \tfrac1x$ nie jest malejąca w swojej dziedzinie, choć jest malejąca w każdym z dwóch przedziałów osobno.

Poprawny zapis odpowiedzi: „funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty;0)$ oraz w przedziale $(0;+\infty)$ ”. Zapis z sumą $(-\infty;0) \cup (0;+\infty)$ byłby fałszywy.

Dlaczego tak się dzieje? Bo definicja wymaga porównania dowolnych dwóch argumentów ze zbioru — także takich, które leżą po przeciwnych stronach dziury w dziedzinie. Wewnątrz jednego przedziału takiej pary nie da się dobrać, więc tam własność zachodzi.

Reguła praktyczna: przedziały monotoniczności wypisuje się słowem „oraz”, a nie znakiem sumy zbiorów. Dotyczy to każdej funkcji z przerwaną dziedziną — hiperboli, funkcji wymiernych, tangensa.

3Trzy sposoby badania monotoniczności

W zależności od tego, co jest dane, używa się jednej z trzech metod:

Z wykresu — najszybsza, gdy wykres jest dany. Odczytujemy przedziały, w których krzywa się wznosi i opada. Uwaga: odczyt daje odpowiedź, ale nie jest dowodem.
Z definicji (zakres rozszerzony) — bierzemy dowolne $x_1 < x_2$ i badamy znak różnicy $f(x_2) - f(x_1)$ . Jeśli jest dodatnia dla każdej takiej pary, funkcja rośnie. To metoda obowiązująca w zadaniach na wykazanie.
Pochodną (zakres rozszerzony) — liczymy $f'(x)$ i badamy jej znak: $f' > 0$ oznacza wzrost, $f' < 0$ spadek.

Metoda z definicji wygląda groźnie, ale dla większości funkcji szkolnych sprowadza się do przekształcenia różnicy tak, żeby wyłączyć czynnik $(x_2 - x_1)$ , o którym z założenia wiemy, że jest dodatni.

funkcja	monotoniczność	warunek
liniowa $f(x)=ax+b$	rosnąca / malejąca / stała	$a>0$ / $a<0$ / $a=0$
kwadratowa $f(x)=ax^2+bx+c$	dwa przedziały, granica w wierzchołku	dla $a>0$ : malejąca, potem rosnąca
wykładnicza $f(x)=a^x$	rosnąca / malejąca	$a>1$ / $0<a<1$
logarytmiczna $f(x)=\log_a x$	rosnąca / malejąca	$a>1$ / $0<a<1$
$f(x)=\dfrac{a}{x}$	malejąca / rosnąca w każdym przedziale osobno	$a>0$ / $a<0$

Ostatni wiersz jest tu celowo zapisany z zastrzeżeniem — to ta sama pułapka, o której była mowa wyżej.

4Co monotoniczność daje w zadaniach

To nie jest własność opisywana dla samego opisu. Wynikają z niej konkretne narzędzia:

Funkcja ściśle monotoniczna — czyli rosnąca albo malejąca — jest różnowartościowa, a więc każdą wartość przyjmuje najwyżej raz. Stąd wniosek, że równanie $f(x) = c$ ma co najwyżej jedno rozwiązanie, i to bywa całym rozwiązaniem zadania. Słowo „ściśle” jest tu konieczne: funkcja niemalejąca, nierosnąca czy stała też jest monotoniczna, a różnowartościowa nie jest — funkcja stała $f(x) = 3$ przyjmuje wartość $3$ nieskończenie wiele razy, więc równanie $f(x) = 3$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Ekstrema leżą na granicach przedziałów monotoniczności. Miejsce, w którym funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć, to maksimum lokalne — i odwrotnie.
Największa i najmniejsza wartość w przedziale domkniętym funkcji monotonicznej jest zawsze na jego końcach, więc wystarczy policzyć dwie liczby.
Rozwiązywanie nierówności wykładniczych i logarytmicznych opiera się wprost na monotoniczności: przy podstawie większej od jedynki znak nierówności zostaje, przy podstawie z przedziału $(0;1)$ — odwraca się.

Ostatni punkt jest najbardziej praktyczny. Odwracanie znaku nierówności przy podstawie mniejszej od jedynki nie jest osobną regułą do zapamiętania — to bezpośrednia konsekwencja tego, że taka funkcja maleje.

5Co mówi podstawa programowa

W zakresie podstawowym monotoniczność pojawia się tylko jako odczyt z wykresu. Dział V. Funkcje, punkt 4 brzmi dosłownie: uczeń „odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane”. Poza tym punktem słowo „monotoniczność” w zakresie podstawowym nie występuje.

Dowodzenie monotoniczności z definicji to już zakres rozszerzony, dział V punkt 3: uczeń „*dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ jest monotoniczna w przedziale $(-\infty, -2)$ *”. Dwa pierwsze przykłady na tej stronie realizują właśnie ten punkt — warto o tym wiedzieć, zanim uzna się je za obowiązkowe w zakresie podstawowym.

Także badanie monotoniczności pochodną należy do zakresu rozszerzonego. Dział XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy wymienia w nim punkt 5: uczeń „stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji”.

Na maturze monotoniczność rzadko bywa całym zadaniem. Częściej jest krokiem pośrednim: przy szukaniu największej wartości, przy uzasadnianiu, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, albo przy rozwiązywaniu nierówności z funkcją wykładniczą.

Warto też pamiętać o kolejności: najpierw dziedzina, potem monotoniczność. Wyznaczanie przedziałów bez sprawdzenia, gdzie funkcja w ogóle jest określona, prowadzi wprost do pułapki z sumowaniem przedziałów.

6Przykłady krok po kroku

Pięć zadań: dowód z definicji dla funkcji rosnącej i malejącej, przedziały funkcji kwadratowej, kontrprzykład dla hiperboli oraz badanie pochodną.

Przykład 1 Dowód z definicji — funkcja rosnąca

Wykaż z definicji, że funkcja $f(x) = \textcolor{#16A06A}{3}x - \textcolor{#16A06A}{5}$ jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych.

Biorę dowolne dwa argumenty $x_1$ i $x_2$ takie, że $x_1 < x_2$ . Trzeba pokazać, że $f(x_1) < f(x_2)$ .
Badam znak różnicy: $f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 - 5) - (3x_1 - 5)$ .
Upraszczam: $= 3x_2 - 5 - 3x_1 + 5 = 3x_2 - 3x_1 = 3(x_2 - x_1)$ .
Z założenia $x_1 < x_2$ , więc $x_2 - x_1 > 0$ . Mnożąc przez dodatnie $3$ , dostaję $3(x_2 - x_1) > \textcolor{#E0453A}{0}$ .
Zatem $f(x_2) - f(x_1) > 0$ , czyli $f(x_2) > f(x_1)$ — funkcja jest rosnąca ✓
Kontrola na liczbach: $f(0) = -5$ , $f(1) = -2$ , $f(2) = 1$ — wartości rosną ✓
Kontrola zgodności z tabelą: współczynnik kierunkowy $a = 3 > 0$ , więc funkcja liniowa musi być rosnąca ✓

Odpowiedź: Funkcja $f(x) = 3x-5$ jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Cały dowód polega na wyłączeniu czynnika $(x_2 - x_1)$ , o którym z założenia wiadomo, że jest dodatni. Wtedy o znaku różnicy decyduje już tylko to, co przed nim stoi.

Przykład 2 Dowód z definicji — funkcja malejąca

Wykaż z definicji, że funkcja $f(x) = -\textcolor{#16A06A}{2}x + \textcolor{#16A06A}{7}$ jest malejąca.

Biorę dowolne $x_1 < x_2$ . Tym razem trzeba pokazać, że $f(x_1) > f(x_2)$ .
$f(x_2) - f(x_1) = (-2x_2 + 7) - (-2x_1 + 7) = -2x_2 + 7 + 2x_1 - 7 = -2(x_2 - x_1)$ .
Z założenia $x_2 - x_1 > 0$ , a mnożymy to przez liczbę ujemną, więc $-2(x_2 - x_1) < \textcolor{#E0453A}{0}$ .
Zatem $f(x_2) - f(x_1) < 0$ , czyli $f(x_2) < f(x_1)$ — funkcja jest malejąca ✓
Kontrola na liczbach: $f(0) = 7$ , $f(1) = 5$ , $f(2) = 3$ — wartości maleją ✓
Kontrola typowego błędu: sam fakt, że $x_2 - x_1 > 0$ , nie przesądza o niczym — decyduje znak czynnika, przez który mnożymy. Tu jest to $-2$ , i to on odwraca nierówność ✓

Odpowiedź: Funkcja $f(x) = -2x+7$ jest malejąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Struktura dowodu jest identyczna jak dla funkcji rosnącej. Zmienia się wyłącznie znak współczynnika, a wraz z nim kierunek końcowej nierówności.

Przykład 3 Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^2 - \textcolor{#16A06A}{6}x + \textcolor{#16A06A}{5}$ .

Współczynnik przy $x^2$ wynosi $a = 1 > 0$ , więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Funkcja najpierw maleje, potem rośnie.
Granicą jest pierwsza współrzędna wierzchołka: $p = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{6}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Zatem funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty; 3\rangle$ i rosnąca w przedziale $\langle 3; +\infty)$ .
Kontrola wartościami po lewej stronie: $f(0) = 5$ , $f(1) = 1 - 6 + 5 = 0$ , $f(2) = 4 - 12 + 5 = -3$ — maleją ✓
Kontrola wartościami po prawej: $f(4) = 16 - 24 + 5 = -3$ , $f(5) = 25 - 30 + 5 = 0$ , $f(6) = 36 - 36 + 5 = 5$ — rosną ✓
Kontrola symetrii: $f(2) = f(4) = -3$ oraz $f(1) = f(5) = 0$ — wartości są symetryczne względem $x = 3$ , co potwierdza położenie wierzchołka ✓
Kontrola wartości w wierzchołku: $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ , czyli najmniejsza z policzonych ✓

Odpowiedź: Funkcja jest malejąca w $(-\infty; 3\rangle$ i rosnąca w $\langle 3; +\infty)$ .

Wierzchołek należy do obu przedziałów i to jest poprawne — w punkcie $x=3$ funkcja nie rośnie ani nie maleje, bo monotoniczność orzeka się o przedziale, nie o punkcie.

Przykład 4 Hiperbola — dlaczego nie wolno łączyć przedziałów

Zbadaj monotoniczność funkcji $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Czy jest ona malejąca w swojej dziedzinie?

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez zera, czyli dwa rozłączne przedziały: $(-\infty; 0)$ oraz $(0; +\infty)$ .
W przedziale $(0;+\infty)$ : dla $x_1 < x_2$ obie liczby są dodatnie, więc $\tfrac{1}{x_1} > \tfrac{1}{x_2}$ — funkcja maleje. Kontrola: $f(1) = 1$ , $f(2) = 0{,}5$ , $f(4) = 0{,}25$ ✓
W przedziale $(-\infty;0)$ : kontrola liczbowa $f(-4) = -0{,}25$ , $f(-2) = -0{,}5$ , $f(-1) = -1$ — wartości maleją ✓
Czy zatem funkcja maleje w dziedzinie? Sprawdzam definicję na parze z różnych przedziałów: $x_1 = -1$ , $x_2 = 1$ .
$x_1 < x_2$ ✓, ale $f(-1) = -1$ oraz $f(1) = 1$ , więc $f(x_1) < f(x_2)$ — funkcja wzrosła ✓
Warunek malejącej został złamany, więc odpowiedź brzmi: $\textcolor{#E0453A}{\text{nie}}$ .
Kontrola drugą parą: $x_1 = -2$ , $x_2 = 4$ dają $f(-2) = -0{,}5 < f(4) = 0{,}25$ — znowu wzrost ✓

Odpowiedź: Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty;0)$ oraz w przedziale $(0;+\infty)$ , ale nie jest malejąca w swojej dziedzinie.

Odpowiedź trzeba zapisać słowem „oraz”, nie znakiem sumy zbiorów. Zapis „malejąca w $(-\infty;0) \cup (0;+\infty)$ ” jest po prostu zdaniem fałszywym, co pokazuje kontrprzykład z kroku piątego.

Przykład 5 Badanie pochodną

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^3 - \textcolor{#16A06A}{3}x$ , korzystając z pochodnej.

Liczę pochodną: $f'(x) = 3x^2 - 3$ .
Rozkładam na czynniki: $f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$ .
Miejsca zerowe pochodnej: $x = -1$ oraz $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ . To kandydaci na granice przedziałów.
Badam znak pochodnej. Jest to parabola o ramionach w górę, więc jest dodatnia poza pierwiastkami i ujemna między nimi.
$f' > 0$ w $(-\infty;-1)$ i w $(1;+\infty)$ — tam funkcja rośnie.
$f' < 0$ w $(-1;1)$ — tam funkcja maleje.
Kontrola znaku w punktach próbnych: $f'(-2) = 12 - 3 = 9 > 0$ ✓, $f'(0) = -3 < 0$ ✓, $f'(2) = 12 - 3 = 9 > 0$ ✓
Kontrola wartościami samej funkcji: $f(-1) = -1 + 3 = 2$ , $f(0) = 0$ , $f(1) = 1 - 3 = -2$ — na przedziale $\langle -1;1 \rangle$ wartości faktycznie maleją od $2$ do $-2$ ✓
Kontrola poza tym przedziałem: $f(-2) = -8 + 6 = -2$ , a $f(-1) = 2$ — rośnie ✓

Odpowiedź: Funkcja rośnie w $(-\infty;-1\rangle$ i w $\langle 1;+\infty)$ , a maleje w $\langle -1;1\rangle$ .

Kontrola z ósmego kroku jest niezależna od pochodnej — porównuje same wartości funkcji. Warto ją robić, bo wychwytuje błąd w liczeniu pochodnej, którego badanie znaku samo w sobie nie wykryje.

7Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą zakresu, o którym orzekamy, trzy kolejne — definicji i pochodnej.

Łączenie przedziałów monotoniczności znakiem sumy.

Skąd się bierze: Funkcja zachowuje się tak samo w obu przedziałach, więc zapisanie ich jednym zbiorem wygląda na skrót, a nie na zmianę treści.

Jak zrobić dobrze: Przedziały wypisujemy słowem „oraz”. Dla $f(x)=\tfrac1x$ zapis $\textcolor{#9b1c14}{\text{malejąca w } (-\infty;0) \cup (0;+\infty)}$ jest fałszywy — kontrprzykładem jest para $x_1=-1$ , $x_2=1$ , dla której funkcja rośnie.

Orzekanie monotoniczności w punkcie.

Skąd się bierze: Zdania w rodzaju „funkcja rośnie w punkcie $x=2$ ” brzmią naturalnie i pojawiają się w mowie potocznej.

Jak zrobić dobrze: Definicja wymaga dwóch różnych argumentów, więc w pojedynczym punkcie nie da się jej sprawdzić. Poprawnie mówi się o przedziale: „rosnąca w $\langle 2;+\infty)$ ”, a nie $\textcolor{#9b1c14}{\text{rosnąca w punkcie } 2}$ .

Mylenie funkcji rosnącej z niemalejącą.

Skąd się bierze: Obie „idą w górę”, a różnica sprowadza się do jednej kreski pod znakiem nierówności.

Jak zrobić dobrze: Rosnąca wymaga nierówności ostrej, więc nie może mieć odcinka poziomego. Funkcja stała jest niemalejąca i nierosnąca, ale nie jest ani $\textcolor{#9b1c14}{\text{rosnąca}}$ , ani malejąca.

Podanie jednego przedziału dla funkcji kwadratowej.

Skąd się bierze: Parabola wygląda jak jedna krzywa, więc bywa opisywana jednym zdaniem.

Jak zrobić dobrze: Funkcja kwadratowa ma dwa przedziały monotoniczności rozdzielone wierzchołkiem. Dla $f(x)=x^2-6x+5$ są to $(-\infty;3\rangle$ i $\langle 3;+\infty)$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{\text{jeden}}$ przedział.

Mylenie znaku pochodnej ze znakiem funkcji.

Skąd się bierze: Oba bada się tą samą techniką — siatką znaków — więc wnioski bywają zamieniane.

Jak zrobić dobrze: O monotoniczności decyduje znak pochodnej, nie funkcji. Dla $f(x)=x^3-3x$ w punkcie $x=2$ mamy $f(2)=2>0$ i $f'(2)=9>0$ , ale w $x=-2$ jest $f(-2)=-2<0$ przy $f'(-2)=9>0$ — funkcja ujemna i mimo to $\textcolor{#9b1c14}{\text{rosnąca}}$ to nie sprzeczność.

8Pytania i odpowiedzi

Kiedy funkcja jest rosnąca?

Wtedy, gdy dla dowolnych dwóch argumentów z rozważanego zbioru większemu argumentowi odpowiada większa wartość funkcji. Nierówność musi być ostra, więc funkcja rosnąca nie może mieć na wykresie żadnego odcinka poziomego.

Czy funkcja jeden przez iks jest malejąca?

Jest malejąca w każdym z dwóch przedziałów swojej dziedziny osobno, ale nie jest malejąca w całej dziedzinie. Pokazuje to para argumentów minus jeden i jeden, dla której większemu argumentowi odpowiada większa wartość.

Czym różni się funkcja rosnąca od niemalejącej?

W definicji rosnącej występuje nierówność ostra, a w niemalejącej słaba, co pozwala funkcji stanąć w miejscu. Każda funkcja rosnąca jest niemalejąca, ale nie odwrotnie, bo funkcja stała jest niemalejąca i rosnąca nie jest.

Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej?

Granicą jest zawsze pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli. Przy ramionach skierowanych do góry funkcja najpierw maleje, a potem rośnie, natomiast przy ramionach w dół kolejność jest odwrotna.

Po co bada się monotoniczność funkcji?

Bo funkcja ściśle monotoniczna, czyli rosnąca albo malejąca, jest różnowartościowa — więc równanie z nią ma co najwyżej jedno rozwiązanie. Zastrzeżenie „ściśle” jest istotne, bo funkcja stała również jest monotoniczna, a różnowartościowa nie jest. Ponadto na granicach przedziałów monotoniczności leżą ekstrema, a w przedziale domkniętym wartości skrajne wypadają na jego końcach.

Czytaj dalej

FunkcjeMapa działu: dziedzina, wartości i pozostałe własności funkcji.Monotoniczność funkcji liniowejNajprostszy przypadek — cała odpowiedź zawarta w znaku współczynnika kierunkowego.Ekstrema lokalnePunkty, w których funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć — granice przedziałów.PochodneNarzędzie do badania monotoniczności w zakresie rozszerzonym.Przedziały liczboweJak poprawnie zapisać odpowiedź i dlaczego suma zbiorów bywa tu błędem.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.