Strona główna › Ciągi › Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Q: Jak brzmi wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego?

a_n = a_1 · q^ n-1, gdzie a_1 to pierwszy wyraz, a q iloraz. Wykładnik jest o jeden mniejszy od numeru wyrazu, bo do wyrazu numer n dochodzi się przez n-1 mnożeń — pierwszego wyrazu nie mnożymy ani razu.

Q: Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego?

Podziel dowolny wyraz przez poprzedni: q = a_n+1a_n. Jeśli dane wyrazy nie sąsiadują, skorzystaj z q^ n-k = a_n/a_k, gdzie n-k to liczba kroków między nimi — pamiętając, że przy parzystej liczbie kroków wychodzą dwa rozwiązania.

Ciąg geometryczny to taki, w którym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę. Ta liczba nazywa się ilorazem i oznacza literą $q$ . Cały temat sprowadza się do jednego wzoru, a najczęściej myli w nim wykładnik $n-1$ zamiast $n$ . Druga pułapka siedzi gdzie indziej: dwa dane wyrazy nie zawsze wyznaczają jeden iloraz. Ta strona pokazuje, skąd on się bierze i dlaczego inaczej być nie może.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 13

Przejdź od razu do zadań (13) ↓

1Iloraz — liczba, która rządzi całym ciągiem

Iloraz $q$ to liczba, przez którą mnożymy wyraz, żeby dostać następny. Nazwa bierze się stąd, że wyznacza się go dzieleniem: wystarczy podzielić dowolny wyraz przez poprzedni.

q = \frac{a_{n+1}}{a_n}

W ciągu $3, 6, 12, 24, \ldots$ iloraz wynosi $2$ , bo $\frac{6}{3} = 2$ , $\frac{12}{6} = 2$ i tak dalej. Ten sam wynik z każdej pary sąsiednich wyrazów — to właśnie definicja ciągu geometrycznego.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny

Podziel każdy wyraz przez poprzedni. Jeśli za każdym razem wychodzi ta sama liczba, ciąg jest geometryczny.

Ciąg $2, 6, 18, 54$ — ilorazy $3$ , $3$ , $3$ ✓ geometryczny.

Ciąg $2, 6, 10, 14$ — ilorazy $3$ , $\frac{5}{3}$ , $\frac{7}{5}$ ✗ nie jest geometryczny (za to jest arytmetyczny, bo różnice są stałe).

Iloraz nie może być zerem, bo wtedy wszystkie kolejne wyrazy byłyby zerami i dzielenie przestałoby działać. Nie może też być zerem żaden wyraz ciągu.

Znak i wielkość ilorazu decydują o zachowaniu ciągu:

iloraz	co się dzieje	przykład
$q > 1$	ciąg rośnie coraz szybciej (przy dodatnim $a_1$ )	$2, 6, 18, 54$
$0 < q < 1$	ciąg maleje, dążąc do zera (przy dodatnim $a_1$ )	$16, 8, 4, 2$
$q = 1$	ciąg stały	$5, 5, 5, 5$
$q < 0$	wyrazy na przemian dodatnie i ujemne	$3, -6, 12, -24$

Zastrzeżenie „przy dodatnim $a_1$ ” dotyczy tylko dwóch pierwszych wierszy, bo tylko one mówią o kierunku: przy ujemnym pierwszym wyrazie kierunek się odwraca i ciąg $-16, -8, -4, -2$ o ilorazie $\frac{1}{2}$ rośnie, choć do zera dąży tak samo. Dwa ostatnie wiersze zastrzeżenia nie potrzebują. Ostatni wiersz jest częstym źródłem pomyłek: ujemny iloraz nie znaczy, że ciąg maleje — znaczy, że skacze raz w górę, raz w dół.

2Wzór i skąd bierze się wykładnik n−1

Wzór wygląda tak:

a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

Cały temat stoi na zrozumieniu wykładnika. Nie jest to $n$ przez pomyłkę ani żadna umowa — wynika z prostego liczenia.

Ile razy mnożymy, żeby dojść do n-tego wyrazu

Pierwszy wyraz już mamy — nie mnożymy ani razu.

Do drugiego mnożymy raz: $a_2 = a_1 \cdot q$ .

Do trzeciego — dwa razy: $a_3 = a_1 \cdot q^2$ .

Do czwartego — trzy razy: $a_4 = a_1 \cdot q^3$ .

Widać regułę: żeby dojść do wyrazu numer $n$ , trzeba wykonać $n-1$ mnożeń. Stąd wykładnik.

Sprawdzenie na pierwszym wyrazie: $a_1 = a_1 \cdot q^{1-1} = a_1 \cdot q^0 = a_1 \cdot 1 = a_1$ ✓ — wzór zgadza się nawet dla $n = 1$ .

Ta sama logika działa między dowolnymi dwoma wyrazami, nie tylko od pierwszego. Żeby przejść od $a_k$ do $a_n$ , wykonujemy $n - k$ mnożeń:

a_n = a_k \cdot q^{\,n-k}

To uogólnienie oszczędza sporo pracy w zadaniach, w których pierwszy wyraz nie jest podany — a takich jest sporo. W zestawie zadań pod tą stroną $a_1$ nie występuje wśród danych w siedmiu zadaniach na trzynaście; trzeba wtedy wyjść od wyrazu o innym numerze.

Wzór na sumę początkowych wyrazów to osobna sprawa i opisuję go na osobnej stronie; tutaj chodzi wyłącznie o pojedynczy wyraz.

3Trzy typowe układy danych

Zadania maturalne z tego tematu układają się w trzy schematy i warto je rozpoznawać od razu.

co jest dane	co robisz	uwaga
$a_1$ i $q$	podstawiasz do wzoru	najprostszy przypadek
dwa sąsiednie wyrazy	dzielisz je — to od razu $q$	kolejność: późniejszy przez wcześniejszy
dwa wyrazy $a_k$ i $a_n$ , oddalone o $n-k$ miejsc	$q^{\,n-k} = \frac{a_n}{a_k}$ , potem pierwiastek	uwaga na znak przy parzystym $n-k$

Drugi wiersz jest najczęstszy i zajmuje jedno dzielenie. Jeśli $a_3 = 5$ i $a_4 = 15$ , to $q = \frac{15}{5} = 3$ — i dalej wszystko już wychodzi.

Pułapka trzeciego przypadku

Gdy dane wyrazy dzieli parzysta liczba kroków, pierwiastek daje dwa rozwiązania.

Przykład: $a_1 = 2$ i $a_3 = 18$ . Wtedy $q^2 = \frac{18}{2} = 9$ , więc $q = 3$ albo $q = -3$ .

Oba są poprawne i dają różne ciągi: $2, 6, 18, 54$ oraz $2, -6, 18, -54$ . Zwróć uwagę, że oba mają $a_3 = 18$ — dane z zadania nie rozstrzygają.

Jeśli zadanie chce jednej odpowiedzi, musi dodać warunek: „ciąg jest rosnący”, „wszystkie wyrazy są dodatnie” albo podać jeszcze jeden wyraz.

Przy nieparzystej liczbie kroków problemu nie ma — pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby dodatniej jest jeden, a z ujemnej też jeden i jest ujemny.

4Gdzie ciągi geometryczne występują naprawdę

To nie jest pojęcie wymyślone do zadań — opisuje wszystko, co rośnie lub maleje o stały procent.

procent składany — kapitał rośnie co roku o ten sam procent, więc kolejne stany konta tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $1{,}05$ przy oprocentowaniu $5\,\%$ ,
amortyzacja — samochód tracący $20\,\%$ wartości rocznie to ciąg o ilorazie $0{,}8$ ,
rozpad promieniotwórczy i okres półtrwania — iloraz $\frac{1}{2}$ na każdy okres,
dawka leku w organizmie — po każdej godzinie zostaje ten sam ułamek poprzedniej ilości.

Wspólna cecha wszystkich tych sytuacji: zmiana zależy od tego, ile aktualnie jest, a nie jest stałą liczbą. To odróżnia ciąg geometryczny od arytmetycznego, w którym dodajemy zawsze tyle samo.

Ta różnica ma konsekwencję, która zaskakuje: ciąg geometryczny o dodatnim pierwszym wyrazie i ilorazie większym od jedynki prędzej czy później przegoni każdy ciąg arytmetyczny, choćby ten drugi zaczynał od dużo większych liczb. Mnożenie wygrywa wtedy z dodawaniem — trzeba tylko poczekać. Oba zastrzeżenia są potrzebne: przy $a_1 = -1$ i $q = 2$ wyrazy $-1, -2, -4, \ldots$ uciekają w przeciwną stronę i nie przegonią niczego.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, iloraz z dwóch sąsiednich wyrazów i przypadek z dwoma rozwiązaniami.

Przykład 1 Wyraz z pierwszego wyrazu i ilorazu

W ciągu geometrycznym $a_1 = 5$ oraz $q = 2$ . Oblicz $a_7$ .

Podstawiam do wzoru: $a_7 = a_1 \cdot q^{\,7-1} = 5 \cdot 2^6$ .
Liczę potęgę: $2^6 = 64$ .
Mnożę: $a_7 = 5 \cdot 64 = 320$ .
Kontrola przez wypisanie: $5, 10, 20, 40, 80, 160, 320$ — siódmy wyraz to $320$ ✓
Kontrola wykładnika: między pierwszym a siódmym wyrazem jest sześć mnożeń, nie siedem — i tyle wynosi wykładnik ✓
Kontrola rzędu wielkości: iloraz $2$ podwaja wyraz co krok, więc po sześciu krokach wynik musi być $64$ razy większy od startu ✓

Odpowiedź: $a_7 = 320$

Kontrola z kroku czwartego jest przy małych numerach szybsza niż wzór i warto ją robić zawsze, gdy $n$ jest jednocyfrowe. Przy $a_{20}$ wypisywanie przestaje mieć sens — i wtedy wzór zarabia na siebie.

Przykład 2 Iloraz z dwóch sąsiednich wyrazów

W ciągu geometrycznym $a_4 = 7$ oraz $a_5 = 21$ . Oblicz $a_8$ oraz $a_1$ .

Wyrazy są sąsiednie, więc iloraz wychodzi jednym dzieleniem: $q = \frac{a_5}{a_4} = \frac{21}{7} = 3$ .
Do $a_8$ używam wersji ogólnej wzoru, bez wracania do $a_1$ : $a_8 = a_5 \cdot q^{\,8-5} = 21 \cdot 3^3$ .
$3^3 = 27$ , więc $a_8 = 21 \cdot 27 = 567$ .
Teraz $a_1$ — cofam się o trzy kroki od $a_4$ , czyli dzielę trzy razy: $a_1 = \frac{a_4}{q^3} = \frac{7}{27}$ .
Kontrola w przód: $a_1 \cdot q^3 = \frac{7}{27} \cdot 27 = 7 = a_4$ ✓
Kontrola drugą drogą: $a_8 = a_1 \cdot q^7 = \frac{7}{27} \cdot 2187$ . Skoro $3^7 = 2187$ , a $\frac{2187}{27} = 81$ , to $7 \cdot 81 = 567$ ✓ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $a_8 = 567$ , $a_1 = \frac{7}{27}$

Krok drugi pokazuje, po co znać wzór w wersji ogólnej $a_n = a_k \cdot q^{\,n-k}$ : liczenie przez $a_1$ wymagałoby najpierw cofnięcia się o trzy kroki, a potem pójścia o siedem do przodu. Tu wystarczyły trzy mnożenia.

Przykład 3 Dwa wyrazy oddalone o parzystą liczbę kroków

W ciągu geometrycznym $a_2 = 4$ oraz $a_4 = 36$ . Wyznacz iloraz i podaj wszystkie możliwe wartości $a_3$ .

Wyrazy dzielą dwa kroki, więc $q^2 = \frac{a_4}{a_2} = \frac{36}{4} = 9$ .
Stąd $q = 3$ albo $q = -3$ — pierwiastek z liczby dodatniej ma dwa znaki, a treść nie mówi, który wybrać.
Dla $q = 3$ : $a_3 = a_2 \cdot q = 4 \cdot 3 = 12$ .
Dla $q = -3$ : $a_3 = 4 \cdot (-3) = -12$ .
Kontrola pierwszego ciągu: $4, 12, 36$ — iloraz stale $3$ ✓
Kontrola drugiego: $4, -12, 36$ — ilorazy $\frac{-12}{4} = -3$ oraz $\frac{36}{-12} = -3$ ✓ też stały.
Kontrola sensu: oba ciągi mają $a_2 = 4$ i $a_4 = 36$ , więc dane naprawdę nie rozstrzygają ✓

Odpowiedź: $q = 3$ lub $q = -3$ ; odpowiednio $a_3 = 12$ lub $a_3 = -12$ .

Podanie tylko jednej odpowiedzi to najczęstsza strata punktu w tym typie zadania. Sygnał ostrzegawczy jest zawsze ten sam: parzysta liczba kroków między danymi wyrazami oznacza pierwiastek kwadratowy, a ten ma dwa znaki.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy jest najczęstszy, a drugi kosztuje punkt nawet przy bezbłędnym rachunku.

Wykładnik $n$ zamiast $n-1$

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{a_n = a_1 \cdot q^n}$ daje wynik $q$ razy za duży. Dla $a_1 = 5$ , $q = 2$ i $n = 7$ wychodzi $640$ zamiast $320$ . Przyczyna jest zawsze ta sama: pierwszego wyrazu nie mnożymy ani razu, więc mnożeń jest o jedno mniej niż numer wyrazu.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź wzór na $n = 1$ : powinien dać $a_1$ . Przy poprawnym wykładniku $q^{1-1} = q^0 = 1$ ✓, przy błędnym wyszłoby $a_1 \cdot q$ , czyli drugi wyraz.

Podanie jednego rozwiązania, gdy iloraz wychodzi z pierwiastka kwadratowego

Skąd się bierze: Z $q^2 = 9$ uczeń pisze $q = 3$ i kończy, choć $q = -3$ spełnia warunki tak samo dobrze. Oba ciągi mają identyczne wyrazy o numerach parzystych — dane z treści ich nie rozróżniają.

Jak zrobić dobrze: Policz, o ile kroków oddalone są dane wyrazy. Parzysta liczba kroków → pierwiastek kwadratowy → dwa znaki. Jedno rozwiązanie podaj tylko wtedy, gdy treść zawiera dodatkowy warunek.

Mylenie ilorazu z różnicą

Skąd się bierze: W ciągu $3, 6, 12$ uczeń liczy $6 - 3 = 3$ i przyjmuje $q = 3$ , choć poprawnie $q = \frac{6}{3} = 2$ . Odjęcie zamiast podzielenia to przeniesienie nawyku z ciągu arytmetycznego, gdzie stała jest właśnie różnica.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez nazwę: w ciągu geometrycznym stały jest iloraz, więc wyznacza się go dzieleniem. W arytmetycznym stała jest różnica, więc odejmowaniem.

Uznanie, że ujemny iloraz oznacza ciąg malejący

Skąd się bierze: Przy $q = -3$ ciąg $2, -6, 18, -54$ nie maleje — wyrazy skaczą raz w górę, raz w dół, a ich wartości bezwzględne rosną. O malejeniu decyduje $0 < q < 1$ , a nie znak.

Jak zrobić dobrze: Rozdziel dwie rzeczy: znak ilorazu decyduje o naprzemienności, a jego wartość bezwzględna o tym, czy wyrazy rosną co do modułu, czy maleją.

Zadania maturalne — wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Wzór ogólny to

a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

, ale w większości tych zadań nie trzeba go w ogóle pisać. Wygodniej myśleć krokami: żeby przejść o jeden numer w przód, mnożysz przez

q

; żeby cofnąć się o jeden numer, dzielisz przez

q

. Przy dwóch–trzech krokach jest to szybsze i mniej podatne na pomyłkę niż podstawianie do wzoru — a wzór zostaje na sytuacje, gdy numer jest duży albo jest literą.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 12 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (listopad 2010)1 pktłatwe

W ciągu geometrycznym

(a_n)

dane są:

a_1 = 2

a_2 = 12

. Wtedy

A. $a_4 = 26$
B. $a_4 = 432$
C. $a_4 = 32$
D. $a_4 = 2592$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — iloraz. Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy:
$q = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{6}$
Krok 2 — idziemy w przód, mnożąc przez $q$ . Od $a_{\textcolor{#16A06A}{2}}$ do $a_4$ są dwa kroki:
$a_3 = \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#E0453A}{72}, \qquad a_4 = \textcolor{#E0453A}{72} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} = 432$
Odpowiedź: $a_4 = 432$ , czyli B.
Sprawdzenie — cały ciąg: $2,\; 12,\; 72,\; 432$ . Każda liczba jest sześć razy większa od poprzedniej ✓
Odpowiedź $2592$ (D) to $a_5$ , czyli jeden krok za dużo. Odpowiedź $32$ (C) to pułapka arytmetyczna: przy różnicy $12 - 2 = 10$ ciąg byłby $2,\; 12,\; 22,\; 32$ .

💡 Wskazówka: Przy dwóch–trzech krokach nie podstawiaj do wzoru $a_n = a_1 q^{\,n-1}$ — po prostu mnóż po kolei i zapisuj wyrazy w rzędzie. Zapisany rząd liczb pozwala na koniec policzyć, czy zatrzymałeś się na właściwym numerze, a to najczęstsze miejsce pomyłki w tym typie zadania.

⚠ Zatrzymanie się o jeden krok za daleko i podanie $2592$ (odpowiedź D) — to $a_5$ , nie $a_4$ . Dlatego warto wypisywać wyrazy z numerami, a nie liczyć w pamięci. Drugi błąd: policzenie różnicy zamiast ilorazu, czyli $12 - 2 = 10$ , i wyjście na $32$ (odpowiedź C). Ciąg $2,\; 12,\; 22,\; 32$ jest arytmetyczny i wszystko w nim się zgadza — poza tym, że treść mówi o ciągu geometrycznym.

Zadanie 2 (sierpień 2011)1 pktłatwe

W ciągu geometrycznym

(a_n)

mamy

a_3 = 5

a_4 = 15

. Wtedy wyraz

a_5

jest równy

A. $10$
B. $20$
C. $75$
D. $45$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Dane wyrazy są sąsiednie, więc iloraz dostajemy jednym dzieleniem, a do celu jest tylko jeden krok.
$q = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{15}}{\textcolor{#16A06A}{5}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$a_5 = a_{\textcolor{#16A06A}{4}} \cdot q = \textcolor{#16A06A}{15} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 45$
Odpowiedź: $a_5 = 45$ , czyli D.
Sprawdzenie: fragment ciągu to $5,\; 15,\; 45$ — ilorazy $3$ i $3$ ✓
Nie było potrzeby wyznaczać $a_1$ ani wzoru ogólnego. Gdyby ktoś chciał: $a_1 = \tfrac59$ .
Odpowiedź $75$ (C) to iloczyn danych wyrazów, $5 \cdot 15$ — kusi, bo powstaje z obu danych naraz, ale iloraz mnoży się przez jeden wyraz, nie przez oba. Odpowiedź $20$ (B) to ich suma, $15 + 5$ , czyli dodawanie zamiast mnożenia. Obie odpadają w jednym dzieleniu: gdyby $a_5$ było równe $20$ , iloraz z $a_4$ wyniósłby $\tfrac{20}{15} = \tfrac43$ , a nie $3$ .

💡 Wskazówka: Kiedy dane są dwa sąsiednie wyrazy, a pytanie dotyczy następnego, całe zadanie to jedno dzielenie i jedno mnożenie. Nie ma powodu wyznaczać $a_1$ — każdy taki krok pośredni to dodatkowa okazja do pomyłki, a odpowiedzi w arkuszu często są ustawione właśnie na wyniki pośrednie.

⚠ Dodanie zamiast pomnożenia: $15 + 5 = 20$ (odpowiedź B) albo $15 + 10 = 25$ z różnicy arytmetycznej — druga liczba nie występuje wśród odpowiedzi, więc od razu widać, że coś nie tak. Drugi błąd: pomnożenie obu danych wyrazów i podanie $75$ (odpowiedź C). Iloraz mnoży się przez jeden wyraz, nie przez oba.

Zadanie 3 (maj 2025)1 pktłatwe

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, w którym

a_1 = 27

oraz

a_2 = 9

. Czwarty wyraz ciągu

(a_n)

jest równy

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $1$
C. $3$
D. $729$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

$q = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\textcolor{#16A06A}{27}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$
Idziemy dwa kroki w przód — mnożenie przez $\tfrac13$ to po prostu dzielenie przez $3$ :
$a_3 = \textcolor{#16A06A}{9} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac13} = \textcolor{#E0453A}{3}, \qquad a_4 = \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac13} = 1$
Odpowiedź: $a_4 = 1$ , czyli B.
Sprawdzenie: $27,\; 9,\; 3,\; 1$ — każda liczba trzy razy mniejsza ✓ To potęgi trójki schodzące w dół: $3^3, 3^2, 3^1, 3^0$ .
Trzy z czterech odpowiedzi to sąsiednie wyrazy tego samego ciągu: $3$ (C) to $a_3$ , $\tfrac13$ (A) to $a_5$ . Arkusz sprawdza więc głównie to, czy umiesz doliczyć do właściwego numeru.
Odpowiedź $729$ (D) bierze się z podzielenia w odwrotną stronę: $\tfrac{27}{9} = 3$ i przyjęcia $q = 3$ . Wtedy ciąg to $27,\; 81,\; 243,\; 729$ — rośnie, choć z treści widać, że musi maleć.

💡 Wskazówka: Zauważ, że iloraz liczy się jako drugi wyraz przez pierwszy, a nie odwrotnie. Szybka kontrola: skoro $a_2 = 9$ jest mniejsze od $a_1 = 27$ , ciąg maleje, więc $q$ musi być mniejsze od $1$ . To jedno spojrzenie odrzuca odpowiedź $729$ jeszcze przed rachunkiem.

⚠ Podanie $3$ (odpowiedź C), czyli trzeciego wyrazu — jeden krok za mało. Przy trzech wyrazach do przeliczenia najlepiej zapisać je z numerami w kolumnie. Drugi błąd: odwrócenie ilorazu i wyjście na $729$ (odpowiedź D). Kontrola kierunku jest natychmiastowa: ciąg ma maleć, a $729$ jest wielokrotnie większe od pierwszego wyrazu.

Zadanie 4 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, w którym

a_2 = \dfrac{1}{6}

oraz

a_3 = \dfrac{1}{9}

. Piąty wyraz ciągu

(a_n)

jest równy

A. $\dfrac{1}{15}$
B. $\dfrac{2}{27}$
C. $\dfrac{4}{81}$
D. $\dfrac{8}{243}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — iloraz. Dzielimy trzeci wyraz przez drugi, czyli mnożymy przez odwrotność:
$q = \textcolor{#16A06A}{\dfrac19} : \textcolor{#16A06A}{\dfrac16} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac19} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac61} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac69} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}$
Krok 2 — dwa kroki w przód, od $a_{\textcolor{#16A06A}{3}}$ do $a_5$ :
$a_4 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac19} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac23} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{27}}$
$a_5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{27}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac23} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{81}}$
Odpowiedź: $a_5 = \tfrac{4}{81}$ , czyli C.
Sprawdzenie: fragment ciągu to $\tfrac16,\; \tfrac19,\; \tfrac{2}{27},\; \tfrac{4}{81}$ . Widać regularność — licznik mnoży się przez $2$ , mianownik przez $3$ ✓
Ta regularność to dobry sposób sprawdzenia wyniku: przy ilorazie $\tfrac23$ każdy kolejny licznik jest podwojony, a mianownik potrojony. Odpowiedź $\tfrac{8}{243}$ (D) łamie tylko jedną rzecz — jest o jeden krok za daleko, czyli równa $a_6$ .

💡 Wskazówka: Nie skracaj $\tfrac{6}{9}$ dopiero na końcu — zrób to od razu, bo dalej mnożysz przez ten ułamek dwa razy i praca z $\tfrac23$ jest znacznie prostsza niż z $\tfrac69$ . Przy dzieleniu ułamków pamiętaj o odwróceniu drugiego: $\tfrac19 : \tfrac16 = \tfrac19 \cdot \tfrac61$ .

⚠ Odpowiedź $\tfrac{1}{15}$ (A) to najczęstszy błąd z ułamkami: dodanie mianowników ( $6 + 9 = 15$ ), jakby ciąg mianowników sam był arytmetyczny. Mianowniki tworzą tu ciąg $6,\; 9,\; 27,\; 81$ , który nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny — geometryczny jest cały ułamek, nie osobno licznik i mianownik. Drugi błąd: zatrzymanie się na $a_4 = \tfrac{2}{27}$ (odpowiedź B), czyli o jeden krok za mało, albo pójście o krok za daleko na $\tfrac{8}{243}$ (odpowiedź D). Trzy z czterech odpowiedzi to sąsiednie wyrazy tego ciągu.

Zadanie 5 (maj 2011)1 pktśrednie

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_n)

, w którym

a_3 = 1

a_4 = \dfrac{2}{3}

. Wtedy

A. $a_1 = \dfrac{2}{3}$
B. $a_1 = \dfrac{4}{9}$
C. $a_1 = \dfrac{3}{2}$
D. $a_1 = \dfrac{9}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Tym razem idziemy w tył, do pierwszego wyrazu — a cofanie się o jeden numer to dzielenie przez $q$ .
Krok 1 — iloraz.
$q = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac23} : \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}$
Krok 2 — dwa kroki w tył, od $a_{\textcolor{#16A06A}{3}}$ do $a_1$ . Dzielenie przez $\tfrac23$ to mnożenie przez $\tfrac32$ :
$a_2 = \textcolor{#16A06A}{1} : \textcolor{#E0453A}{\dfrac23} = \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac32} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac32}$
$a_1 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac32} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac32} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac94}$
Odpowiedź: $a_1 = \tfrac94$ , czyli D.
Sprawdzenie w przód, czyli w drugą stronę niż liczyliśmy: $\tfrac94 \cdot \tfrac23 = \tfrac{18}{12} = \tfrac32$ , potem $\tfrac32 \cdot \tfrac23 = 1$ ✓ i dalej $1 \cdot \tfrac23 = \tfrac23$ ✓
Wszystkie trzy dystraktory to jedna pomyłka każdy. $\tfrac32$ (C) to $a_2$ , czyli jeden krok w tył zamiast dwóch. $\tfrac23$ (A) to sam iloraz. $\tfrac49$ (B) to $a_5$ — czyli pójście w złą stronę, dwa kroki w przód zamiast w tył.
Kontrola sensowności bez rachunku: ciąg maleje, a $a_1$ stoi przed $a_3 = 1$ , więc pierwszy wyraz musi być większy od jedynki. Tylko jedna odpowiedź jest większa od $1$ — i to właśnie $\tfrac94$ .

💡 Wskazówka: Zapamiętaj kierunki: w przód mnożysz, w tył dzielisz. Przy ilorazie ułamkowym dzielenie przez $\tfrac23$ to mnożenie przez $\tfrac32$ , więc idąc w tył w ciągu malejącym, liczby rosną — i to jest dobra kontrola. Jeśli cofając się dostajesz liczby mniejsze, pomyliłeś kierunek.

⚠ Pójście w złą stronę i podanie $\tfrac49$ (odpowiedź B) — to $a_5$ , a nie $a_1$ . Drugi błąd: cofnięcie się tylko o jeden krok i podanie $\tfrac32$ (odpowiedź C), czyli $a_2$ ; od $a_3$ do $a_1$ są dwa kroki. Najprostsze zabezpieczenie: policz, że ciąg maleje, więc $a_1$ musi być największy z wypisanych wyrazów. Trzy z czterech odpowiedzi są mniejsze od $a_3 = 1$ , więc odpadają jednym spojrzeniem.

Zadanie 6 (informator CKE)1 pktśrednie

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy

4

, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy

(-2)

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $16$
B. $(-16)$
C. $8$
D. $(-8)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

$q = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{4}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-2}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac12}$
Cofamy się dwa kroki, dzieląc za każdym razem przez $\textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}$ . Dzielenie przez $-\tfrac12$ to mnożenie przez $\textcolor{#E0453A}{-2}$ :
$a_2 = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-2)} = \textcolor{#E0453A}{-8}$
$a_1 = \textcolor{#E0453A}{-8} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-2)} = 16$
Odpowiedź: $a_1 = 16$ , czyli A.
Sprawdzenie w przód: $16,\; -8,\; 4,\; -2$ — każdy wyraz to poprzedni razy $-\tfrac12$ ✓
Skąd biorą się dystraktory. $-8$ (D) to $a_2$ , czyli jeden krok zamiast dwóch. $-16$ (B) to błąd znaku: cofając się dwa razy, mnożymy przez $-2$ dwa razy, a dwa minusy dają plus.
Warto zauważyć, że znak $a_1$ można ustalić z góry, bez rachunku. Trzeci wyraz jest dodatni, a przy ujemnym ilorazie znaki idą naprzemiennie: $a_1$ i $a_3$ mają numery o tej samej parzystości, więc muszą mieć ten sam znak. Skoro $a_3 = 4 > 0$ , to $a_1 > 0$ — i odpowiedzi B oraz D odpadają natychmiast.

💡 Wskazówka: Przy ujemnym ilorazie wyrazy o numerach tej samej parzystości mają ten sam znak. To pozwala ustalić znak szukanego wyrazu, jeszcze zanim się cokolwiek policzy, i zwykle odrzuca połowę odpowiedzi. Tu $a_1$ i $a_3$ są oba nieparzyste, więc oba dodatnie.

⚠ Cofnięcie się o jeden krok i podanie $-8$ (odpowiedź D) — to $a_2$ . Drugi błąd: zgubienie jednego minusa przy dwukrotnym mnożeniu i wybór $-16$ (odpowiedź B). Kontrola parzystości numerów rozstrzyga to bez rachunku: $a_1$ musi mieć ten sam znak co $a_3$ , czyli być dodatnie. Trzeci błąd: mnożenie przez $\tfrac12$ zamiast dzielenia i wyjście na $1$ — liczby nie ma wśród odpowiedzi, co samo w sobie ostrzega.

Zadanie 7 (informator CKE)1 pktśrednie

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy

4

, a piąty wyraz tego ciągu jest równy

1

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $4$
B. $4\sqrt2$
C. $16$
D. $16\sqrt2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Od $a_{\textcolor{#16A06A}{3}}$ do $a_{\textcolor{#16A06A}{5}}$ są dwa kroki, więc dostajemy $q^2$ , a nie samo $q$ :
$q^{\textcolor{#E0453A}{2}} = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{5}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14}$
I tu najważniejsza obserwacja tego zadania: od $a_1$ do $a_3$ są też dwa kroki, więc do cofnięcia się wystarczy $q^2$ — samego $q$ w ogóle nie musimy znać.
$a_1 = a_{\textcolor{#16A06A}{3}} : q^{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#16A06A}{4} : \textcolor{#E0453A}{\dfrac14} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 16$
Odpowiedź: $a_1 = 16$ , czyli C.
Dlaczego to jest ważne. Z $q^2 = \tfrac14$ wynika $q = \tfrac12$ albo $q = -\tfrac12$ — treść nie mówi, który. Ale odpowiedź jest ta sama w obu przypadkach, bo cofamy się o parzystą liczbę kroków i minus się skraca.
Sprawdzenie oba warianty: dla $q = \tfrac12$ ciąg to $16,\; 8,\; 4,\; 2,\; 1$ ✓ Dla $q = -\tfrac12$ ciąg to $16,\; -8,\; 4,\; -2,\; 1$ ✓ W obu $a_3 = 4$ i $a_5 = 1$ , a $a_1 = 16$ .
Właśnie dlatego zadanie może nie podawać żadnego warunku o znakach — pytanie o $a_1$ jest na tę niejednoznaczność odporne. Gdyby pytano o $a_2$ , zadanie byłoby nierozwiązywalne bez dodatkowej informacji.
Odpowiedzi z $\sqrt2$ (B i D) pochodzą z policzenia $q$ jako $\tfrac{1}{\sqrt2}$ , czyli z pomylenia $q^2 = \tfrac14$ z $q^4 = \tfrac14$ . Odpowiedź $4$ (A) to po prostu przepisany trzeci wyraz.

💡 Wskazówka: Kiedy odstęp między danymi wyrazami i odstęp do szukanego są oba parzyste, wystarczy $q^2$ i nie trzeba wyciągać pierwiastka. Oszczędza to nie tylko rachunku, ale i kłopotu z dwoma znakami. Zanim policzysz $q$ , sprawdź, czy w ogóle jest potrzebne.

⚠ Wyciąganie pierwiastka na siłę: z $q^2 = \tfrac14$ dostaje się $q = \pm\tfrac12$ , a potem trzeba rozważać dwa przypadki, choć wynik jest ten sam. Strata czasu, a przy ujemnym $q$ łatwo pomylić znaki w środku rachunku. Drugi błąd: przyjęcie odstępu $4$ zamiast $2$ (bo w treści są numery $5$ i $3$ , a $5 - 1 = 4$ ) i wyjście na odpowiedzi z $\sqrt2$ . Odstęp to różnica numerów obu danych wyrazów: $5 - 3 = 2$ .

Zadanie 8 (marzec 2012)1 pkttrudniejsze

W ciągu geometrycznym

(a_n)

dane są

a_2 = \dfrac{\sqrt3}{2}

a_3 = -\dfrac{3}{2}

. Wtedy wyraz

a_1

jest równy

A. $-\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt3}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — iloraz. Dane wyrazy są sąsiednie, więc dzielimy je bezpośrednio:
$q = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{3}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \textcolor{#16A06A}{\left(-\dfrac32\right)} : \textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\left(-\dfrac32\right)} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{3}{\sqrt3}}$
Upraszczamy. Ułamek $\tfrac{3}{\sqrt3}$ zwija się, bo $3 = \sqrt3 \cdot \sqrt3$ :
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3 \cdot \sqrt3}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} \qquad \Longrightarrow \qquad q = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt3}$
Krok 2 — jeden krok w tył, czyli dzielenie przez $q$ :
$a_1 = a_{\textcolor{#16A06A}{2}} : q = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{2}} : \textcolor{#E0453A}{\left(-\sqrt3\right)} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)} = -\dfrac{1}{2}$
Pierwiastki się skróciły, bo $\tfrac{\sqrt3}{\sqrt3} = 1$ — i dlatego wynik jest liczbą wymierną, choć w danych są niewymierne.
Odpowiedź: $a_1 = -\tfrac12$ , czyli A.
Sprawdzenie w przód: $-\tfrac12 \cdot \left(-\sqrt3\right) = \tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓ i dalej $\tfrac{\sqrt3}{2} \cdot \left(-\sqrt3\right) = -\tfrac{3}{2}$ ✓ Oba dane wyrazy zgadzają się z treścią.
Znak można było przewidzieć: $a_2$ jest dodatnie, $a_3$ ujemne, więc iloraz jest ujemny — a wtedy $a_1$ , stojący przed dodatnim $a_2$ , musi być ujemny. To odrzuca odpowiedzi B i D bez rachunku.

💡 Wskazówka: Nie usuwaj niewymierności z mianownika od razu — najpierw zobacz, czy pierwiastki się nie skrócą same. Tutaj $\tfrac{3}{\sqrt3} = \sqrt3$ , a potem $\tfrac{\sqrt3}{\sqrt3} = 1$ , więc cały rachunek kończy się liczbą wymierną. Przedwczesne rozszerzanie ułamków zamienia proste zadanie w gąszcz pierwiastków.

⚠ Zgubienie minusa i wybór $\tfrac12$ (odpowiedź B). Kontrola znaków: $a_2 > 0$ , a $a_3 < 0$ , więc iloraz jest ujemny, a idąc w tył od dodatniego $a_2$ , trafiamy na liczbę ujemną. Drugi błąd: odpowiedź $-\tfrac{\sqrt3}{2}$ (C), czyli $-a_2$ — powstaje, gdy ktoś odejmie zamiast podzielić, albo tylko zmieni znak drugiego wyrazu. Trzeci: $\tfrac{\sqrt3}{3}$ (D) to $\tfrac{1}{\sqrt3}$ po usunięciu niewymierności, czyli odwrotność ilorazu bez znaku — wynik pośredni, nie odpowiedź.

Zadanie 9 (grudzień 2014)1 pkttrudniejsze

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

, w którym

a_1 = -\sqrt2

a_2 = 2

a_3 = -2\sqrt2

. Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli

a_{10}

, jest równy

A. $32$
B. $(-32)$
C. $16\sqrt2$
D. $\left(-16\sqrt2\right)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Dziesiąty wyraz jest zbyt daleko, żeby mnożyć po kolei — ale nie trzeba, jeśli rozpozna się wzór na wartość bezwzględną i osobno ustali znak.
Krok 1 — iloraz.
$q = \dfrac{a_{\textcolor{#16A06A}{2}}}{a_{\textcolor{#16A06A}{1}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{-\sqrt2}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{2}{\sqrt2}} = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt2}$
(bo $\tfrac{2}{\sqrt2} = \tfrac{\sqrt2 \cdot \sqrt2}{\sqrt2} = \sqrt2$ )
Krok 2 — wartość bezwzględna. Wypiszmy trzy dane wyrazy bez znaków: $\sqrt2,\; 2,\; 2\sqrt2$ . To kolejne potęgi $\sqrt2$ :
$\left|a_1\right| = \left(\sqrt2\right)^{\textcolor{#E0453A}{1}}, \qquad \left|a_2\right| = \left(\sqrt2\right)^{\textcolor{#E0453A}{2}} = 2, \qquad \left|a_3\right| = \left(\sqrt2\right)^{\textcolor{#E0453A}{3}} = 2\sqrt2$
Wykładnik równa się numerowi wyrazu, więc $\left|a_{10}\right| = \left(\sqrt2\right)^{\textcolor{#E0453A}{10}} = \textcolor{#E0453A}{2^5} = \textcolor{#E0453A}{32}$ .
Krok 3 — znak. Iloraz jest ujemny, więc znaki idą naprzemiennie. Z danych widać wzór: $a_1 < 0$ , $a_2 > 0$ , $a_3 < 0$ — czyli wyrazy o numerach parzystych są dodatnie.
Numer $\textcolor{#16A06A}{10}$ jest parzysty, więc $a_{10} > 0$ i ostatecznie $a_{10} = 32$ .
Odpowiedź: $32$ , czyli A.
Kontrola: $\left(\sqrt2\right)^{10} = \left(2^{1/2}\right)^{10} = 2^5 = 32$ ✓ Znak dodatni, bo dziesiątka jest parzysta ✓
Odpowiedzi C i D z $16\sqrt2$ to $\left(\sqrt2\right)^9$ , czyli dziewiąty wyraz — pomyłka o jeden numer. Odpowiedź $-32$ (B) ma dobrą wartość i zły znak.

💡 Wskazówka: Przy dużym numerze rozdziel zadanie na dwie osobne rzeczy: wartość bezwzględną i znak. Wartość policz z potęgi, a znak z parzystości numeru. Rozdzielenie ich sprawia, że nie trzeba pracować z ujemnym pierwiastkiem podnoszonym do dziewiątej potęgi, gdzie pomyłka jest niemal pewna.

⚠ Podanie $\pm16\sqrt2$ (odpowiedzi C i D), czyli dziewiątego wyrazu — bierze się z podstawienia do wzoru $a_n = a_1 q^{\,n-1}$ z wykładnikiem $10$ zamiast $9$ albo z policzenia $\left(\sqrt2\right)^9$ i zapomnienia o pierwszym wyrazie. Drugi błąd: zły znak i odpowiedź $-32$ (B) — dziesiątka jest parzysta, a z danych widać, że parzyste numery mają wyrazy dodatnie. Warto wypisać znaki trzech pierwszych wyrazów i odczytać z nich regułę, zamiast rozstrzygać na podstawie tego, że sam iloraz jest ujemny.

Zadanie 10 (grudzień 2013)1 pkttrudniejsze

W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy

3

, a ostatni wyraz jest równy

12

. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

A. $3\sqrt[4]{2}$
B. $6$
C. $7\dfrac{1}{2}$
D. $8\dfrac{1}{7}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ciąg ma dziewięć wyrazów, więc ostatni to $a_{\textcolor{#16A06A}{9}}$ . Piąty wyraz stoi dokładnie w środku: od $a_1$ do $a_5$ są cztery kroki i od $a_5$ do $a_9$ też cztery. To jest klucz do całego zadania.
Droga najkrótsza — środkowy wyraz. Skoro $a_5$ jest środkowym wyrazem trójki $\left(a_1, a_5, a_9\right)$ w ciągu geometrycznym, to zachodzi znany warunek:
$a_5^{\,2} = a_{\textcolor{#16A06A}{1}} \cdot a_{\textcolor{#16A06A}{9}} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{36}$
$a_5 = \textcolor{#E0453A}{6} \quad \text{albo} \quad a_5 = \textcolor{#E0453A}{-6}$
Wyrazy są dodatnie, więc $a_5 = 6$ .
Odpowiedź: $a_5 = 6$ , czyli B.
Droga przez iloraz, dla porównania. Od $a_{\textcolor{#16A06A}{1}}$ do $a_{\textcolor{#16A06A}{9}}$ jest osiem kroków:
$q^{\textcolor{#E0453A}{8}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad q^{\textcolor{#E0453A}{4}} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
$a_5 = a_{\textcolor{#16A06A}{1}} \cdot q^{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 6$ ✓
Zwróć uwagę: samego $q$ nie policzyliśmy ani razu ( $q = \sqrt[8]{4} = \sqrt[4]{2}$ , liczba niewymierna). Wystarczyło $q^4$ , bo do środka są cztery kroki.
Odpowiedź $7\tfrac12$ (C) to pułapka arytmetyczna i najgroźniejsza na tej liście: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią skrajnych, czyli $\tfrac{3 + 12}{2} = 7{,}5$ . W geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną, czyli $\sqrt{3 \cdot 12} = 6$ . Odpowiedź $3\sqrt[4]{2}$ (A) to $a_2$ , czyli $a_1 \cdot q$ — pomylenie $q$ z $q^4$ .

💡 Wskazówka: Sprawdź, czy szukany wyraz nie stoi w środku między znanymi — tu $a_5$ jest w połowie drogi od $a_1$ do $a_9$ . Wtedy zadanie robi się jednym mnożeniem i jednym pierwiastkiem: $a_5 = \sqrt{a_1 \cdot a_9}$ . Uwaga, że to działa tylko dla wyrazu dokładnie w środku i przy parzystej liczbie kroków po każdej stronie.

⚠ Policzenie średniej arytmetycznej skrajnych wyrazów, czyli $\tfrac{3+12}{2} = 7{,}5$ , i wybór odpowiedzi C. W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną: pierwiastkiem z iloczynu, nie połową sumy. Kontrola jest szybka: dla $a_5 = 7{,}5$ iloraz od $a_1$ wyniósłby $\sqrt[4]{2{,}5} \approx 1{,}26$ , a od $a_5$ do $a_9$ już tylko $\sqrt[4]{1{,}6} \approx 1{,}12$ — dwa różne ilorazy w jednym ciągu. Drugi błąd: policzenie $q^8 = 4$ i przyjęcie $q^4 = 4$ zamiast $2$ , czyli zapomnienie o pierwiastku przy dzieleniu wykładnika na pół.

Zadanie 11 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Ciąg geometryczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

oraz

a_2 = 6

a_5 = -48

. Wynika stąd, że

A. $a_7 > 0$
B. $a_7 < 0$
C. $a_7 > a_6$
D. $a_7 > a_8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Odpowiedzi porównują konkretne wyrazy, więc najbezpieczniej wypisać ciąg i sprawdzić każdą z nich osobno.
Krok 1 — iloraz. Od $a_{\textcolor{#16A06A}{2}}$ do $a_{\textcolor{#16A06A}{5}}$ są trzy kroki:
$q^{\textcolor{#E0453A}{3}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-48}}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{-8} \qquad \Longrightarrow \qquad q = \sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{-8}} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Krok 2 — wypisujemy wyrazy od $a_1 = \textcolor{#16A06A}{6} : \textcolor{#E0453A}{(-2)} = \textcolor{#E0453A}{-3}$ :
$a_1 = \textcolor{#E0453A}{-3}, \quad a_2 = \textcolor{#16A06A}{6}, \quad a_3 = \textcolor{#E0453A}{-12}, \quad a_4 = \textcolor{#E0453A}{24}, \quad a_5 = \textcolor{#16A06A}{-48}, \quad a_6 = \textcolor{#E0453A}{96}, \quad a_7 = \textcolor{#E0453A}{-192}, \quad a_8 = \textcolor{#E0453A}{384}$
Sprawdzamy odpowiedzi po kolei:
A: $a_7 = \textcolor{#E0453A}{-192} > 0$ — fałsz.
B: $a_7 = \textcolor{#E0453A}{-192} < 0$ — prawda ✓
C: $a_7 > a_6$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{-192} > \textcolor{#E0453A}{96}$ — fałsz.
D: $a_7 > a_8$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{-192} > \textcolor{#E0453A}{384}$ — fałsz.
Odpowiedź: B.
Samo stwierdzenie B można było uzasadnić bez wypisywania całego ciągu: iloraz jest ujemny, a $a_5 = -48$ jest ujemne; numery $5$ i $7$ mają tę samą parzystość, więc $a_7$ ma ten sam znak co $a_5$ , czyli jest ujemny.
Odpowiedzi C i D są zbudowane na jednej sugestii: że ciąg o rosnących wartościach bezwzględnych „rośnie”. Wartości bezwzględne faktycznie rosną ( $192$ , potem $384$ ), ale znaki skaczą, więc żadne porównanie sąsiednich wyrazów nie jest tu stałe — raz w górę, raz w dół.

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedzi porównują wyrazy, wypisz je z numerami aż do najdalszego, o którym mowa — tu do $a_8$ . Wypisanie ośmiu liczb zajmuje dwadzieścia sekund i zamienia zadanie na porównywanie liczb, w którym nie da się pomylić. Rozstrzyganie „w głowie” przy naprzemiennych znakach jest znacznie bardziej ryzykowne.

⚠ Uznanie, że ciąg rośnie, bo wartości bezwzględne rosną — i wybór C albo D. Przy ujemnym ilorazie ciąg nie jest monotoniczny: co drugi krok idzie w dół. Drugi błąd: pomylenie parzystości i uznanie $a_7$ za dodatnie (odpowiedź A). Reguła: przy ujemnym ilorazie wyrazy o numerach tej samej parzystości mają ten sam znak, a $a_5$ i $a_7$ są oba nieparzyste, więc oba ujemne. Trzeci błąd: przyjęcie $q = -8$ zamiast $-2$ , czyli pominięcie pierwiastka trzeciego stopnia — wtedy znaki wychodzą te same, więc odpowiedź B nadal wypada poprawnie, ale wartości są bezsensowne i odpowiedzi C oraz D nie da się rzetelnie sprawdzić.

Zadanie 12 (maj 2018)1 pkttrudniejsze

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

, określony dla

n \geqslant 1

, w którym

a_1 = \sqrt2

a_2 = 2\sqrt2

a_3 = 4\sqrt2

. Wzór na

n

-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. $a_n = \left(\sqrt2\right)^n$
B. $a_n = \dfrac{2^n}{\sqrt2}$
C. $a_n = \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^n$
D. $a_n = \dfrac{\left(\sqrt2\right)^n}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie pyta o wzór, a nie o liczbę — i tu najpewniejszą metodą jest podstawienie. Nie trzeba przekształcać żadnej z czterech opcji, wystarczy sprawdzić, która daje właściwe wyrazy.
Sprawdzamy dla $n = 1$ , gdzie ma wyjść $\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ :
A: $\left(\sqrt2\right)^1 = \sqrt2$ ✓ B: $\dfrac{2^1}{\sqrt2} = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ ✓
C: $\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^1 = \tfrac{\sqrt2}{2} \ne \sqrt2$ ✗ D: $\dfrac{\left(\sqrt2\right)^1}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2} \ne \sqrt2$ ✗
Zostały A i B, więc sprawdzamy dla $n = 2$ , gdzie ma wyjść $\textcolor{#16A06A}{2\sqrt2}$ :
A: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2 \ne 2\sqrt2$ ✗ B: $\dfrac{2^2}{\sqrt2} = \dfrac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2$ ✓
Odpowiedź: B.
Dla pewności $n = 3$ : $\dfrac{2^3}{\sqrt2} = \dfrac{8}{\sqrt2} = 4\sqrt2$ ✓ — trzeci wyraz też się zgadza.
Skąd ten wzór się bierze. Iloraz to $q = \tfrac{\textcolor{#16A06A}{2\sqrt2}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ , więc ze wzoru ogólnego:
$a_n = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2}^{\,n-1} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2} \cdot \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}^{\,n}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}^{\,n}}{\dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}^{\,n}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}}$
(w ostatnim kroku skorzystaliśmy z tego, że $\tfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ )
Ta droga jest poprawna, ale wymaga trzech przekształceń z pierwiastkami. Podstawienie dwóch liczb jest krótsze i praktycznie odporne na pomyłkę.

💡 Wskazówka: Przy zadaniach „który wzór opisuje ten ciąg” podstawiaj, nie przekształcaj. Zacznij od $n = 1$ — zwykle odsiewa połowę odpowiedzi — a potem sprawdź $n = 2$ na tym, co zostało. Jednego podstawienia nigdy nie wystarczy, bo dwa różne wzory mogą zgadzać się w pierwszym wyrazie, jak tu A i B.

⚠ Sprawdzenie tylko $n = 1$ i wybór odpowiedzi A — dla pierwszego wyrazu oba wzory dają $\sqrt2$ , a różnią się dopiero od drugiego. To najczęstsza pułapka w tym typie zadania i dlatego arkusz celowo umieszcza dwie opcje zgodne w $n=1$ . Drugi błąd: pomylenie wykładnika $n-1$ z $n$ przy własnym wyprowadzeniu — wzór $a_n = \sqrt2 \cdot 2^{\,n}$ dawałby dla $n=1$ wartość $2\sqrt2$ , czyli o jeden wyraz za daleko.

Zadanie 13 (grudzień 2022)2 pkttrudniejsze

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. W tym ciągu

a_1 = -5

a_2 = 15

a_3 = -45

.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Wzór ogólny ciągu

(a_n)

ma postać

A. $a_n = -5 \cdot (-3)^{\,n-1}$
B. $a_n = -5 \cdot (-3)^{\,n}$
C. $a_n = -5 \cdot 3^{\,n-1}$
D. $a_n = -5 \cdot \dfrac{(-3)^n}{3}$
E. $a_n = 5 \cdot \dfrac{(-3)^n}{3}$
F. $a_n = 5 \cdot (-3)^n \cdot 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, E

Zadanie za dwa punkty i trzeba wskazać dwie odpowiedzi — czyli dwa z sześciu wzorów opisują ten sam ciąg. Metoda jest jedna: podstawić $n = 1$ , a na tym, co przejdzie, sprawdzić $n = 2$ .
Iloraz ciągu, dla orientacji: $q = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{15}}{\textcolor{#16A06A}{-5}} = \textcolor{#E0453A}{-3}$ . Ciąg to $\textcolor{#16A06A}{-5},\; \textcolor{#16A06A}{15},\; \textcolor{#16A06A}{-45},\; \textcolor{#E0453A}{135},\; \ldots$
Podstawiamy $n = 1$ — ma wyjść $\textcolor{#16A06A}{-5}$ :
A: $-5 \cdot (-3)^0 = -5 \cdot 1 = \textcolor{#E0453A}{-5}$ ✓
B: $-5 \cdot (-3)^1 = \textcolor{#E0453A}{15}$ ✗ — to $a_2$ , wzór jest przesunięty o jeden.
C: $-5 \cdot 3^0 = \textcolor{#E0453A}{-5}$ ✓ (przechodzi, sprawdzamy dalej)
D: $-5 \cdot \dfrac{(-3)^1}{3} = -5 \cdot \dfrac{-3}{3} = -5 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1}) = \textcolor{#E0453A}{5}$ ✗ — zły znak.
E: $5 \cdot \dfrac{(-3)^1}{3} = 5 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1}) = \textcolor{#E0453A}{-5}$ ✓
F: $5 \cdot (-3)^1 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{-45}$ ✗ — to $a_3$ .
Zostały A, C i E. Podstawiamy $n = 2$ — ma wyjść $\textcolor{#16A06A}{15}$ :
A: $-5 \cdot (-3)^1 = \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓
C: $-5 \cdot 3^1 = \textcolor{#E0453A}{-15}$ ✗ — znak nie ten. Wzór C opisuje ciąg $-5, -15, -45$ o ilorazie $3$ , a nie $-3$ .
E: $5 \cdot \dfrac{(-3)^2}{3} = 5 \cdot \dfrac{9}{3} = 5 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓
Odpowiedź: A oraz E.
Dlaczego A i E to ten sam wzór. Wystarczy przekształcić E:
$5 \cdot \dfrac{(-3)^n}{3} = 5 \cdot \dfrac{(-3)^{\,n-1} \cdot (-3)}{3} = 5 \cdot (-3)^{\,n-1} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1}) = -5 \cdot (-3)^{\,n-1}$
— czyli dokładnie wzór A. Kluczowy krok to $\tfrac{-3}{3} = -1$ : wyciągnięcie jednego czynnika $(-3)$ z potęgi obniża wykładnik o jeden i zostawia minus, który zamienia $5$ na $-5$ .
Kontrola dla $n = 3$ : A daje $-5 \cdot (-3)^2 = -45$ ✓, E daje $5 \cdot \tfrac{-27}{3} = -45$ ✓

💡 Wskazówka: W zadaniu z dwiema odpowiedziami nie przestawaj szukać po znalezieniu pierwszej pasującej — trzeba przejść przez wszystkie sześć opcji. Podstawienie $n=1$ odsiewa najwięcej, ale zostawia zwykle więcej niż dwie możliwości, bo różne wzory łatwo zgadzają się w pierwszym wyrazie. Drugie podstawienie, $n=2$ , jest tu obowiązkowe: właśnie ono odrzuca opcję C.

⚠ Wskazanie tylko jednej odpowiedzi (najczęściej A) i utrata punktu — polecenie wymaga dwóch, a odpowiedź niepełna nie jest zaliczana. Drugi błąd: wybór C, bo zgadza się dla $n = 1$ ; opcja C ma iloraz $3$ zamiast $-3$ , więc rozjeżdża się dopiero na drugim wyrazie. Trzeci błąd: liczenie $(-3)^0$ jako $0$ albo jako $-1$ . Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$ , więc $(-3)^0 = 1$ — bez znaku minus.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. D	3. B	4. C	5. D	6. A
7. C	8. A	9. A	10. B	11. B	12. B
13. A, E

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak brzmi wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego?

$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$ , gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $q$ iloraz. Wykładnik jest o jeden mniejszy od numeru wyrazu, bo do wyrazu numer $n$ dochodzi się przez $n-1$ mnożeń — pierwszego wyrazu nie mnożymy ani razu.

Dlaczego w wykładniku jest

n-1

, a nie

n

Bo liczymy mnożenia, a nie wyrazy. Do drugiego wyrazu mnożymy raz, do trzeciego dwa razy, do $n$ -tego — $n-1$ razy. Najprostsze sprawdzenie: dla $n = 1$ wzór daje $a_1 \cdot q^0 = a_1$ , czyli dokładnie pierwszy wyraz.

Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego?

Podziel dowolny wyraz przez poprzedni: $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ . Jeśli dane wyrazy nie sąsiadują, skorzystaj z $q^{\,n-k} = \frac{a_n}{a_k}$ , gdzie $n-k$ to liczba kroków między nimi — pamiętając, że przy parzystej liczbie kroków wychodzą dwa rozwiązania.

Czy iloraz może być ujemny albo równy zero?

Ujemny tak — wtedy wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, jak w ciągu $3, -6, 12, -24$ . Zero nie: wszystkie kolejne wyrazy byłyby wtedy zerami, a dzielenie przy wyznaczaniu ilorazu przestałoby mieć sens.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny?

Podziel każdy wyraz przez poprzedni. Jeśli za każdym razem wychodzi ta sama liczba, ciąg jest geometryczny. Gdy stałe są różnice zamiast ilorazów, ciąg jest arytmetyczny — to dwa różne rodzaje i dwa różne wzory.

Czym różni się ciąg geometryczny od arytmetycznego?

W geometrycznym mnożymy przez stałą liczbę, w arytmetycznym dodajemy stałą liczbę. Praktyczna konsekwencja: geometryczny opisuje wzrost o stały procent (lokaty, amortyzacja, rozpad promieniotwórczy), a arytmetyczny wzrost o stałą wartość.

Czytaj dalej

Suma ciągu geometrycznegoOsobny wzór — tutaj chodzi o pojedynczy wyraz Ciąg arytmetycznyTen sam schemat, ale z dodawaniem zamiast mnożenia PotęgiWykładnik $n-1$ i działania na potęgach ProcentyProcent składany to ciąg geometryczny

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.