Strona główna › Geometria › Geometria analityczna

Geometria analityczna

Geometria analityczna zamienia rysunek na rachunek. Punkt przestaje być kropką, a staje się parą liczb; prosta przestaje być kreską, a staje się równaniem. Dzięki temu pytania typu „czy te proste się przecinają” albo „jak daleko jest stąd dotąd” rozwiązuje się algebrą, bez linijki i bez cyrkla. Ta strona jest mapą działu: pokazuje, co dokładnie obowiązuje na maturze i gdzie szukać każdego typu zadania.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Dwa narzędzia, na których stoi wszystko

Cały dział sprowadza się do dwóch umiejętności. Reszta to ich zastosowania.

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2\left|AB\right| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Warto zauważyć, że ten sam wzór opisuje trzy różne rzeczy: odległość punktów, długość wektora i — po podniesieniu obu stron do kwadratu — równanie okręgu. To nie trzy wzory do zapamiętania, tylko jeden w trzech przebraniach.

Skąd bierze się siła tej metody

Pytanie geometryczne „czy punkt leży na prostej” zamienia się w pytanie algebraiczne „czy liczby spełniają równanie”.

Pytanie „czy proste się przecinają” zamienia się w „czy układ równań ma rozwiązanie”.

Dlatego w tym dziale rysunek służy do zrozumienia zadania, a nie do jego rozwiązania. Rachunek jest dokładny, rysunek tylko orientacyjny.

2Co obowiązuje na maturze — mapa zakresów

Podstawa programowa nazywa ten dział IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej i dzieli go wyraźnie między poziomy.

umiejętnośćzakrespunkt
wzajemne położenie prostych i ich punkt wspólnypodstawowyIX pkt 1
równania prostych: kierunkowe i ogólne, prosta przez dwa punktypodstawowyIX pkt 2
odległość dwóch punktówpodstawowyIX pkt 3
równanie okręgupodstawowyIX pkt 4
symetrie okręgów i wielokątów względem osi układupodstawowyIX pkt 5
punkty wspólne prostej i okręgu oraz dwóch okręgówrozszerzonyIX rozsz. pkt 1–2
wektory: współrzędne, długość, dodawanie, mnożenie przez liczbęrozszerzonyIX rozsz. pkt 3
prosta prostopadła do danej i styczna do okręgurozszerzonyIX rozsz. pkt 4

Dwie rzeczy w tej tabeli zaskakują i warto je znać, zanim się zacznie uczyć:

Przy równaniu okręgu (IX pkt 4) w dokumencie stoi sam wzór zapisany jako grafika, której nie dało się odczytać z pliku — dlatego na stronie o równaniu okręgu podaję go w powszechnie przyjętej postaci, a nie jako cytat.

3Proste w układzie — cztery pytania

Zadania o prostych powtarzają się w czterech wariantach i wszystkie rozstrzyga porównanie współczynników.

pytaniewarunekwynik
czy równoległea1=a2a_1 = a_2, różne bbbrak punktów wspólnych
czy to ta sama prostaa1=a2a_1 = a_2 oraz b1=b2b_1 = b_2nieskończenie wiele punktów wspólnych
czy prostopadłea1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1przecinają się pod kątem prostym
gdzie się przecinająrozwiąż układ równańjeden punkt

Pierwsze trzy wiersze można rozstrzygnąć bez liczenia czegokolwiek — wystarczy spojrzeć na współczynniki kierunkowe. Dopiero czwarte pytanie wymaga rachunku.

Postać ogólna Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 bywa wygodniejsza od kierunkowej z dwóch powodów. Pierwszy: obejmuje także proste pionowe, których nie da się zapisać jako y=ax+by = ax + b — warto o tym pamiętać, bo zadania lubią prostą pionową jako przypadek szczególny. Drugi: wzór na odległość punktu od prostej korzysta wprost ze współczynników AA, BB i CC, więc bez postaci ogólnej nie da się go zastosować.

Szczegółowo o odczytywaniu współczynników i wyznaczaniu wzoru prostej piszę przy wykresie funkcji liniowej; tutaj interesuje mnie tylko to, które pytanie do którego warunku prowadzi.

4Typowe zadania i gdzie szukać metody

Krótki przewodnik po tym, co się pojawia w arkuszach — z odesłaniem do strony, która daje pełną metodę.

Ostatni punkt jest najtrudniejszy i najczęstszy w zadaniach otwartych. Standardowa droga: policzyć trzy długości boków, rozpoznać rodzaj trójkąta z twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa, a pole wyznaczyć jako połowę iloczynu przyprostokątnych albo przez wysokość.

Warto pamiętać o kontroli, która działa w całym dziale: wynik geometryczny musi zgadzać się z rysunkiem orientacyjnym. Jeśli z rachunku wyszło, że punkt leży wewnątrz okręgu, a na szkicu jest daleko poza nim, to nie rysunek jest zły.

Wyniki w tym dziale bardzo często zawierają pierwiastki — bo odległość to pierwiastek z sumy kwadratów. Zostawiamy je w postaci dokładnej, chyba że polecenie każe zaokrąglić.

5Wszystkie tematy w tym dziale

Cztery strony — geometria opisana równaniami zamiast rysunkiem.

Proste

Okrąg

6Przykłady krok po kroku

Cztery zadania obejmujące cały dział: odległość, współliniowość, położenie prostych i rozpoznanie trójkąta.

Przykład 1 Odległość dwóch punktów

Oblicz odległość punktów A=(−2,1)A = (-2, 1) i B=(4,9)B = (4, 9).

  1. Różnice współrzędnych: 4−(−2)=64 - (-2) = 6 oraz 9−1=89 - 1 = 8.
  2. ∣AB∣=62+82=36+64=100=10\left|AB\right| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.
  3. Kontrola kolejnością: odejmowanie w drugą stronę daje −6-6 i −8-8, a kwadraty są te same ✓
  4. Kontrola trójki: 6,8,106, 8, 10 to trójka pitagorejska ✓
  5. Kontrola sensu: odległość jest większa od każdej z różnic współrzędnych — 10>810 > 8 ✓

Odpowiedź: ∣AB∣=10\left|AB\right| = 10

Kolejność odejmowania nie ma znaczenia, bo różnice i tak podnosimy do kwadratu. To jedna z niewielu sytuacji w matematyce, w której pomyłka w kolejności nie psuje wyniku.

Przykład 2 Czy punkty są współliniowe

Sprawdź, czy punkty A=(1,2)A = (1, 2), B=(3,6)B = (3, 6) i C=(5,10)C = (5, 10) leżą na jednej prostej.

  1. Wyznaczam wektory: AB⃗=[2,4]\vec{AB} = [2, 4] oraz BC⃗=[2,4]\vec{BC} = [2, 4].
  2. Wektory są równe, więc w szczególności równoległe — punkty leżą na jednej prostej.
  3. Kontrola współczynnikiem kierunkowym: 6−23−1=2\frac{6-2}{3-1} = 2 oraz 10−65−3=2\frac{10-6}{5-3} = 2 ✓
  4. Kontrola równaniem prostej: przez AA i BB przechodzi y=2xy = 2x, a punkt CC spełnia je, bo 10=2⋅510 = 2 \cdot 5 ✓
  5. Kontrola warunkiem równoległości: 2⋅4−4⋅2=02 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 0 ✓

Odpowiedź: Tak, punkty są współliniowe i leżą na prostej y=2xy = 2x.

Trzy niezależne kontrole dają ten sam wynik, bo wszystkie sprawdzają to samo: stały przyrost. Wystarczy jedna, ale przy zadaniu na dowód warto pokazać tę, która najkrócej się zapisuje.

Przykład 3 Wzajemne położenie prostych

Określ wzajemne położenie par prostych: (a) y=2x+1y = 2x + 1 i y=2x−3y = 2x - 3; (b) y=2x+1y = 2x + 1 i y=−12xy = -\frac{1}{2}x.

  1. (a) Współczynniki kierunkowe są równe (2=22 = 2), a wyrazy wolne różne, więc proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.
  2. Kontrola: przyrównanie daje 2x+1=2x−32x + 1 = 2x - 3, czyli 1=−3\textcolor{#9b1c14}{1 = -3} — sprzeczność, zgodnie z brakiem punktu wspólnego ✓
  3. (b) Iloczyn współczynników: 2⋅(−12)=−12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1, więc proste są prostopadłe.
  4. Punkt przecięcia: 2x+1=−12x2x + 1 = -\frac{1}{2}x, czyli 52x=−1\frac{5}{2}x = -1, stąd x=−25x = -\frac{2}{5}.
  5. Kontrola: y=−12⋅(−25)=15y = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{5}, a z pierwszego wzoru 2⋅(−25)+1=152 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) + 1 = \frac{1}{5} ✓

Odpowiedź: (a) równoległe; (b) prostopadłe, przecinają się w (−25,15)\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right).

W punkcie (a) sprzeczność jest poprawnym wynikiem, a nie błędem rachunkowym — tak właśnie objawia się brak punktu wspólnego. Warto to napisać wprost, bo bywa oceniane.

Przykład 4 Rodzaj trójkąta w układzie

Punkty A=(0,0)A = (0, 0), B=(4,3)B = (4, 3) i C=(−3,4)C = (-3, 4) są wierzchołkami trójkąta. Sprawdź, czy jest prostokątny, i oblicz jego pole.

  1. Długości boków: ∣AB∣=16+9=5\left|AB\right| = \sqrt{16 + 9} = 5, ∣AC∣=9+16=5\left|AC\right| = \sqrt{9 + 16} = 5.
  2. ∣BC∣=(−3−4)2+(4−3)2=49+1=50\left|BC\right| = \sqrt{(-3-4)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}.
  3. Sprawdzam twierdzenie odwrotne do Pitagorasa: 52+52=505^2 + 5^2 = 50, a (50)2=50\left(\sqrt{50}\right)^2 = 50 ✓ — trójkąt jest prostokątny, z kątem prostym przy AA.
  4. Skoro kąt prosty jest przy AA, to ABAB i ACAC są przyprostokątnymi: P=12⋅5⋅5=252P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.
  5. Kontrola prostopadłością: AB⃗=[4,3]\vec{AB} = [4, 3], AC⃗=[−3,4]\vec{AC} = [-3, 4], a 4⋅(−3)+3⋅4=04 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 = 0 ✓
  6. Kontrola równoramiennością: dwa boki mają po 55, więc trójkąt jest prostokątny i równoramienny ✓

Odpowiedź: Trójkąt jest prostokątny i równoramienny; P=252P = \frac{25}{2}.

Pole zostawiam jako ułamek 252\frac{25}{2} — to postać dokładna. Zauważ, że kontrola prostopadłości sprawdziła ten sam fakt zupełnie inną drogą niż twierdzenie Pitagorasa.

7Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą wzorów, dwa kolejne — wnioskowania, a ostatni — postaci, w jakiej zapisuje się odpowiedź.

Dodawanie współrzędnych zamiast ich odejmowania we wzorze na odległość.

Skąd się bierze: Wzór na środek odcinka używa dodawania, więc oba schematy się mieszają.

Jak zrobić dobrze: W odległości występują różnice współrzędnych. Dodawanie pojawia się tylko przy środku odcinka, gdzie liczymy średnie.

Zapominanie o pierwiastku w odległości.

Skąd się bierze: Suma kwadratów bywa ładną liczbą i wygląda na gotowy wynik.

Jak zrobić dobrze: Odległość to pierwiastek z sumy kwadratów. Bez pierwiastka otrzymujesz jej kwadrat — przydatny w równaniu okręgu, ale nie jako odpowiedź.

Uznanie sprzeczności w układzie równań za błąd rachunkowy.

Skąd się bierze: Wynik typu „1=−3\textcolor{#9b1c14}{1 = -3}” wygląda na pomyłkę.

Jak zrobić dobrze: To poprawna odpowiedź: proste są równoległe i nie mają punktu wspólnego. Analogicznie tożsamość oznacza, że to ta sama prosta.

Wyciąganie wniosków z rysunku zamiast z rachunku.

Skąd się bierze: Szkic bywa przekonujący, zwłaszcza gdy punkty leżą blisko siebie.

Jak zrobić dobrze: Rysunek służy do zrozumienia zadania. O współliniowości, prostopadłości i położeniu rozstrzyga wyłącznie rachunek.

Zaokrąglanie odległości do liczby dziesiętnej.

Skąd się bierze: Wynik z pierwiastkiem wygląda na nieukończony.

Jak zrobić dobrze: Postać 50\sqrt{50} albo lepiej 525\sqrt2 jest dokładna i pełna. Warto wyciągnąć czynnik spod pierwiastka, bo ułatwia porównania.

Zadania maturalne — długość odcinka i środek odcinka w układzie współrzędnych

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone — współrzędne dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy: długości, środki, pola. Dwa wzory wystarczają na wszystkie te zadania: ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} oraz S=(xA+xB2,yA+yB2)S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right).

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) dany jest kwadrat ABCDABCD, w którym A=(4,−1)A = (4, -1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S=(1,3)S = (1, 3). Przekątna kwadratu ABCDABCD ma długość
  • A. 55
  • B. 77
  • C. 1010
  • D. 1414
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Co wiemy o przekątnych kwadratu: przecinają się w połowie, więc punkt SS jest środkiem odcinka ACAC.
  2. Odcinek ASAS to zatem połowa przekątnej.
  3. Liczę ∣AS∣|AS|: ∣AS∣2=(4−1)2+(−1−3)2=9+16=25|AS|^2 = (\textcolor{#16A06A}{4} - \textcolor{#16A06A}{1})^2 + (\textcolor{#16A06A}{-1} - \textcolor{#16A06A}{3})^2 = 9 + 16 = \textcolor{#E0453A}{25}, więc ∣AS∣=5|AS| = \textcolor{#E0453A}{5}.
  4. Cała przekątna: 2⋅5=102 \cdot 5 = \textcolor{#E0453A}{10}.
  5. Odpowiedź: 1010, czyli C.
  6. Kontrola: drugi koniec przekątnej to C=2S−A=(2⋅1−4, 2⋅3+1)=(−2,7)C = 2S - A = (2 \cdot 1 - 4,\ 2 \cdot 3 + 1) = (-2, 7), a ∣AC∣2=36+64=100|AC|^2 = 36 + 64 = 100 ✓

💡 Wskazówka: Trójka i czwórka w rachunku to nie przypadek — punkty dobrano tak, żeby wyszła trójka pitagorejska 3,4,53, 4, 5. Jeśli w takim zadaniu wychodzi brzydki pierwiastek, warto sprawdzić odejmowanie współrzędnych.

⚠ Odpowiedź A (55) to długość połowy przekątnej — czyli zatrzymanie się o krok za wcześnie. To najczęstsza pomyłka w zadaniach, w których dany jest środek: policzona odległość jest połową tego, o co pytano.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkty A=(−2,−1)A = (-2, -1) oraz C=(3,4)C = (3, 4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCDABCD. Długość boku kwadratu ABCDABCD jest równa
  • A. 55
  • B. 1010
  • C. 525\sqrt{2}
  • D. 10\sqrt{10}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Punkty przeciwległe to końce przekątnej, a nie boku — to jest sedno tego zadania.
  2. Liczę przekątną: ∣AC∣2=(3−(−2))2+(4−(−1))2=25+25=50|AC|^2 = (3 - (\textcolor{#16A06A}{-2}))^2 + (4 - (\textcolor{#16A06A}{-1}))^2 = 25 + 25 = \textcolor{#E0453A}{50}, więc ∣AC∣=50=52|AC| = \sqrt{50} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{2}}.
  3. Przechodzę na bok. W kwadracie przekątna jest 2\sqrt2 razy dłuższa od boku: d=a2d = a\sqrt2.
  4. a=522=5a = \frac{5\sqrt2}{\sqrt2} = \textcolor{#E0453A}{5}
  5. Odpowiedź: 55, czyli A.
  6. Kontrola bez pierwiastków: bok 55 daje przekątną 525\sqrt2, a jej kwadrat to 25⋅2=5025 \cdot 2 = 50 ✓ — dokładnie tyle, ile policzyliśmy z współrzędnych.

💡 Wskazówka: Rachunek warto prowadzić na kwadratach długości, bo są liczbami całkowitymi. Dopiero na końcu, jeśli trzeba, wyciąga się pierwiastek — i wtedy zostaje on w postaci dokładnej, na przykład 525\sqrt2.

⚠ Odpowiedź C (525\sqrt2) to długość przekątnej, czyli poprawny rachunek dla złego pytania. Ta pułapka pojawia się w tym zbiorze wielokrotnie: zadanie daje przekątną, a pyta o bok albo o pole.

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkty K=(−7,−2)K = (-7, -2) oraz L=(−1,4)L = (-1, 4) są wierzchołkami trójkąta równobocznego KLMKLM. Pole trójkąta KLMKLM jest równe
  • A. 17217\sqrt{2}
  • B. 17317\sqrt{3}
  • C. 18218\sqrt{2}
  • D. 18318\sqrt{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Trzeci wierzchołek nie jest potrzebny — w trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe, więc wystarczy jeden.
  2. Liczę kwadrat boku: a2=∣KL∣2=(−1−(−7))2+(4−(−2))2=36+36=72a^2 = |KL|^2 = (-1 - (\textcolor{#16A06A}{-7}))^2 + (4 - (\textcolor{#16A06A}{-2}))^2 = 36 + 36 = \textcolor{#E0453A}{72}.
  3. Wzór na pole trójkąta równobocznego: P=a234P = \frac{a^2\sqrt3}{4} — i tu widać, po co liczyliśmy właśnie a2a^2.
  4. P=7234=183P = \frac{\textcolor{#E0453A}{72}\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{18\sqrt3}
  5. Odpowiedź: 18318\sqrt3, czyli D.
  6. Kontrola: sam bok wynosi 72=62\sqrt{72} = 6\sqrt2, a (62)234=7234=183\frac{(6\sqrt2)^2\sqrt3}{4} = \frac{72\sqrt3}{4} = 18\sqrt3 ✓

💡 Wskazówka: Wzór na pole trójkąta równobocznego potrzebuje kwadratu boku, więc pierwiastkowania w ogóle nie trzeba wykonywać. To ta sama oszczędność co przy równaniu okręgu, gdzie potrzebne jest r2r^2, a nie rr.

⚠ Odpowiedzi z 2\sqrt2 (A i C) biorą się z podstawienia boku 626\sqrt2 do wzoru bez podniesienia go do kwadratu — pierwiastek dwa zostaje wtedy w wyniku, choć powinien zniknąć.

Zadanie 4 (sierpień 2023)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkt A=(−1,−4)A = (-1, -4) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCDABCD. Punkt S=(2,2)S = (2, 2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej ACAC równoległoboku ABCDABCD jest równa
  • A. 5\sqrt{5}
  • B. 252\sqrt{5}
  • C. 353\sqrt{5}
  • D. 656\sqrt{5}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Środek symetrii równoległoboku to punkt przecięcia przekątnych, czyli środek odcinka ACAC.
  2. Odcinek ASAS jest więc połową przekątnej — tak samo jak w zadaniu pierwszym.
  3. Liczę ∣AS∣2|AS|^2: (2−(−1))2+(2−(−4))2=9+36=45(2 - (\textcolor{#16A06A}{-1}))^2 + (2 - (\textcolor{#16A06A}{-4}))^2 = 9 + 36 = \textcolor{#E0453A}{45}.
  4. ∣AS∣=45=35|AS| = \sqrt{45} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt5}
  5. Cała przekątna: 2⋅35=652 \cdot 3\sqrt5 = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt5}.
  6. Odpowiedź: 656\sqrt5, czyli D.
  7. Kontrola przez drugi koniec: C=2S−A=(5,8)C = 2S - A = (5, 8), a ∣AC∣2=36+144=180=(65)2|AC|^2 = 36 + 144 = 180 = (6\sqrt5)^2 ✓

💡 Wskazówka: Współrzędne drugiego końca liczy się wzorem C=2S−AC = 2S - A — wprost z tego, że SS jest średnią arytmetyczną współrzędnych AA i CC. Ten wzór wart jest zapamiętania, bo w tym zbiorze wraca w kilku zadaniach.

⚠ Odpowiedź C (353\sqrt5) to znów połowa przekątnej. Zadania z tego zbioru systematycznie ustawiają tę pułapkę: policzoną odległość trzeba jeszcze podwoić, bo dany jest środek, a nie drugi koniec.

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkty A=(−1,5)A = (-1, 5) oraz C=(3,−3)C = (3, -3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCDABCD. Pole kwadratu ABCDABCD jest równe
  • A. 8108\sqrt{10}
  • B. 16516\sqrt{5}
  • C. 4040
  • D. 8080
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Punkty przeciwległe wyznaczają przekątną. Liczę od razu jej kwadrat:
  2. d2=(3−(−1))2+(−3−5)2=16+64=80d^2 = (3 - (\textcolor{#16A06A}{-1}))^2 + (\textcolor{#16A06A}{-3} - \textcolor{#16A06A}{5})^2 = 16 + 64 = \textcolor{#E0453A}{80}
  3. Pole kwadratu z przekątnej: P=d22P = \frac{d^2}{2} — wzór wart zapamiętania właśnie dlatego, że nie wymaga liczenia boku.
  4. P=802=40P = \frac{\textcolor{#E0453A}{80}}{2} = \textcolor{#E0453A}{40}
  5. Odpowiedź: 4040, czyli C.
  6. Kontrola drogą przez bok: d=80=45d = \sqrt{80} = 4\sqrt5, więc a=452=210a = \frac{4\sqrt5}{\sqrt2} = 2\sqrt{10}, a P=a2=4⋅10=40P = a^2 = 4 \cdot 10 = 40 ✓

💡 Wskazówka: Wzór P=d22P = \frac{d^2}{2} bierze się stąd, że przekątne kwadratu są prostopadłe i równe. Działa też dla rombu i deltoidu w postaci P=d1d22P = \frac{d_1 d_2}{2} — kwadrat jest tylko przypadkiem szczególnym.

⚠ Odpowiedź D (8080) to sam kwadrat przekątnej, bez podzielenia przez dwa. Odpowiedzi A i B z pierwiastkami sygnalizują, że gdzieś po drodze pierwiastek został wyciągnięty i nie zniknął — a pole kwadratu o wierzchołkach kratowych wychodzi tu liczbą całkowitą.

Zadanie 6 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) dane są punkty A=(1,7)A = (1, 7) oraz P=(3,1)P = (3, 1). Punkt PP dzieli odcinek ABAB tak, że ∣AP∣:∣PB∣=1:3|AP| : |PB| = 1 : 3. Punkt BB ma współrzędne
  • A. (9,−5)(9, -5)
  • B. (9,−17)(9, -17)
  • C. (7,−11)(7, -11)
  • D. (5,−5)(5, -5)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Przesunięcie z AA do PP to różnica współrzędnych: (3−1, 1−7)=(2, −6)(3 - \textcolor{#16A06A}{1},\ 1 - \textcolor{#16A06A}{7}) = (\textcolor{#E0453A}{2},\ \textcolor{#E0453A}{-6}).
  2. Warunek ∣AP∣:∣PB∣=1:3|AP| : |PB| = 1 : 3 oznacza, że odcinek PBPB jest trzy razy dłuższy i ma ten sam kierunek.
  3. Przesunięcie z PP do BB: (3⋅2, 3⋅(−6))=(6, −18)(3 \cdot 2,\ 3 \cdot (-6)) = (\textcolor{#E0453A}{6},\ \textcolor{#E0453A}{-18}).
  4. B=(3+6, 1−18)=(9,−17)B = (3 + 6,\ 1 - 18) = \textcolor{#E0453A}{(9, -17)}
  5. Odpowiedź: B.
  6. Kontrola stosunkiem: ∣AP∣2=4+36=40|AP|^2 = 4 + 36 = 40, a ∣PB∣2=36+324=360=9⋅40|PB|^2 = 36 + 324 = 360 = 9 \cdot 40 ✓ — kwadraty długości mają się jak 1:91 : 9, czyli same długości jak 1:31 : 3.

💡 Wskazówka: Kontrola przez kwadraty długości jest tu wygodniejsza niż przez same długości: stosunek 1:31 : 3 przechodzi na 1:91 : 9, a obie liczby są całkowite. Nie trzeba wyciągać żadnego pierwiastka.

⚠ Odpowiedź A ((9,−5)(9, -5)) ma poprawną odciętą i błędną rzędną — powstaje, gdy potrojony zostanie tylko jeden ze składników przesunięcia. Odpowiedź D to punkt, dla którego ∣AP∣=∣PB∣|AP| = |PB|, czyli rozwiązanie zadania z warunkiem 1:11 : 1.

Zadanie 7 (pokazowy 2023)1 pktłatwe

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) dany jest kwadrat ABCDABCD. Wierzchołki A=(−2,1)A = (-2, 1) i C=(4,5)C = (4, 5) są końcami przekątnej tego kwadratu. Długość przekątnej kwadratu ABCDABCD jest równa
  • A. 1010
  • B. 2132\sqrt{13}
  • C. 2102\sqrt{10}
  • D. 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Tu pytanie jest wprost o odległość dwóch danych punktów — informacja o kwadracie niczego nie zmienia.
  2. ∣AC∣2=(4−(−2))2+(5−1)2=36+16=52|AC|^2 = (4 - (\textcolor{#16A06A}{-2}))^2 + (\textcolor{#16A06A}{5} - \textcolor{#16A06A}{1})^2 = 36 + 16 = \textcolor{#E0453A}{52}
  3. ∣AC∣=52=4⋅13=213|AC| = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt{13}}
  4. Odpowiedź: 2132\sqrt{13}, czyli B.
  5. Kontrola postaci: (213)2=4⋅13=52(2\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52 ✓ — zgadza się z policzonym kwadratem długości.
  6. Kontrola rzędu wielkości: 5252 leży między 4949 a 6464, więc długość leży między 77 a 88 — odpowiedzi 1010 i 88 odpadają bez liczenia pierwiastka.

💡 Wskazówka: Wyciąganie czynnika przed pierwiastek warto robić przez rozkład na czynniki: 52=4⋅13=213\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}. Wynik zostaje w postaci dokładnej — zaokrąglenie nie jest tu do niczego potrzebne.

⚠ Odpowiedź C (2102\sqrt{10}) odpowiada kwadratowi długości równemu 4040, czyli pomyłce w jednym z odejmowań. Ostatnia kontrola z rzędem wielkości wyłapuje ją natychmiast: 40\sqrt{40} leży między 66 a 77, a nasza odległość — między 77 a 88.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. A3. D4. D5. C6. B
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Czym zajmuje się geometria analityczna?

Opisywaniem figur za pomocą współrzędnych i równań, dzięki czemu pytania geometryczne zamieniają się w rachunki algebraiczne. Punkt jest parą liczb, prosta równaniem, a okrąg warunkiem na odległość od środka.

Czy wektory są na maturze podstawowej?

Nie, podstawa umieszcza je w zakresie rozszerzonym w punkcie 3. Na poziomie podstawowym jest natomiast odległość dwóch punktów, liczona dokładnie tym samym wzorem co długość wektora.

Kiedy używać postaci ogólnej prostej zamiast kierunkowej?

Gdy prosta może być pionowa — takiej nie da się zapisać w postaci y=ax+by = ax + b, bo nie ma współczynnika kierunkowego. Postać ogólna obejmuje wszystkie proste bez wyjątku.

Jak sprawdzić, czy trzy punkty leżą na jednej prostej?

Policzyć współczynniki kierunkowe dwóch odcinków wyznaczonych przez te punkty i porównać je. Równoważnie: sprawdzić, czy wektory łączące punkty są równoległe, warunkiem a1b2−a2b1=0a_1b_2 - a_2b_1 = 0.

Czy odpowiedzi trzeba podawać z pierwiastkami?

Tak, o ile zadanie nie prosi o przybliżenie. Odległości w tym dziale prawie zawsze zawierają pierwiastki i postać dokładna jest odpowiedzią pełną — warto tylko wyciągnąć czynnik spod pierwiastka.

Czytaj dalej

Układ współrzędnychPunkt wyjścia: współrzędne, ćwiartki, środek odcinka i długość odcinka.Równanie okręguPostać kanoniczna i ogólna oraz badanie położenia punktu względem okręgu.WektoryZakres rozszerzony: współrzędne, długość i działania na wektorach.Wykres funkcji liniowejWspółczynnik kierunkowy, wyznaczanie wzoru prostej i warunki równoległości.Równanie prostej przechodzącej przez dwa punktyJak wyznaczyć równanie prostej z dwóch punktów: współczynnik kierunkowy, wyraz wolny,…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.