Strona główna › Geometria › Trapez — własności, rodzaje i kąty

Trapez — własności, rodzaje i kąty

Q: Co to jest trapez?

To czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Te równoległe boki nazywamy podstawami, a dwa pozostałe — ramionami. Odcinek prostopadły łączący obie podstawy to wysokość trapezu.

Q: Jakie są rodzaje trapezów?

Trzy: dowolny (bez dodatkowych własności), równoramienny (ramiona równej długości i nierównoległe — bez tego drugiego warunku pasowałby też romb; kąty przy każdej podstawie równe, przekątne równe, oś symetrii) oraz prostokątny (jedno ramię prostopadłe do podstaw, dwa kąty proste — i to ramię jest jednocześnie wysokością).

Q: Ile wynosi suma kątów w trapezie?

Jak w każdym czworokącie — 360°. Ważniejsza w zadaniach jest jednak druga reguła: kąty leżące przy tym samym ramieniu sumują się do 180°, bo ramię przecina dwie równoległe podstawy.

Q: Czy w trapezie równoramiennym ramiona są równoległe?

Nie. Są równej długości, ale nie są równoległe — gdyby były, obie pary boków byłyby równoległe, czyli figurą byłby równoległobok. Równoległoboku nie nazywamy trapezem równoramiennym, bo nie ma jego własności: równych kątów przy podstawie, równych przekątnych ani osi symetrii przez środki podstaw.

Q: Czy kwadrat i równoległobok to trapezy?

Przy definicji z „co najmniej jedną parą boków równoległych” — tak, bo mają nawet dwie takie pary. Część podręczników używa jednak wersji z „dokładnie jedną parą” i wtedy nie są. Jeśli zadanie o to pyta, sprawdź definicję w swoim podręczniku.

Q: Czym różni się wysokość trapezu od ramienia?

Wysokość jest prostopadła do obu podstaw, a ramię biegnie zwykle ukośnie i jest od niej dłuższe. Pokrywają się tylko w trapezie prostokątnym, gdzie jedno ramię stoi prostopadle do podstaw. W pozostałych trapezach wysokość trzeba dorysować.

Trapez to czworokąt, w którym dwa boki są równoległe. Ta jedna cecha pociąga za sobą wszystko inne: nazwy boków, rodzaje trapezów i regułę o kątach, która ratuje w połowie zadań. Komplet wzorów — obwód, linię środkową, pole i przekątne — zbieram w przedostatniej sekcji; rozwiązane zadania o samym polu mają własną stronę.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–6Zadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Definicja i nazwy boków

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

Te dwa równoległe boki nazywamy podstawami — zwykle mówi się o podstawie dolnej i górnej, choć w zadaniu trapez może być obrócony i wtedy „dolna” bywa z boku. Dwa pozostałe boki to ramiona.

podstawy $\textcolor{#16A06A}{a}$ i $\textcolor{#16A06A}{b}$ — para boków równoległych; prawie zawsze różnej długości,
ramiona $\textcolor{#E08A00}{c}$ i $\textcolor{#E08A00}{d}$ — dwa pozostałe boki; nie są równoległe (poza szczególnym przypadkiem opisanym niżej),
wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ — odcinek prostopadły do obu podstaw, łączący je.

Jak czytać kolory na tej stronie

Kolor mówi, jaką rolę pełni bok — ta sama zasada obowiązuje na wszystkich stronach serwisu i na ściągawce ze wzorami. Tutaj: na zielono podstawy $\textcolor{#16A06A}{a}$ i $\textcolor{#16A06A}{b}$ , na pomarańczowo ramiona $\textcolor{#E08A00}{c}$ i $\textcolor{#E08A00}{d}$ , na czerwono wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ .

Ten podział nie jest ozdobą — jest treścią tej strony. Ramię i wysokość to dwie różne rzeczy i dlatego mają dwa różne kolory. Gdy zobaczysz pomarańczowy odcinek, wiesz, że biegnie ukośnie; czerwony pada zawsze prostopadle do podstaw.

Jedno zastrzeżenie, żeby nie było nieporozumienia: ta legenda dotyczy definicji i przykładów na tej stronie. W rozwiązaniach zadań egzaminacyjnych, niżej, kolor pokazuje co innego — tam zielone jest to, co dane w treści, a czerwone to, co policzone po drodze. Tamten blok ma własną legendę tuż nad zadaniami.

Wysokość to pojęcie, przy którym najczęściej pada zadanie. Wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ nie jest ramieniem $\textcolor{#E08A00}{c}$ — jest do podstaw prostopadła, a ramię zwykle biegnie ukośnie. Zbiegają się tylko w trapezie prostokątnym, gdzie jedno ramię pada pod kątem prostym i wtedy $\textcolor{#E08A00}{c} = \textcolor{#E0453A}{h}$ .

Uwaga na dwie definicje

W polskich podręcznikach spotyka się zapis „co najmniej jedna para boków równoległych” i wtedy równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu.

Rzadziej pojawia się wersja z „dokładnie jedną parą” — przy niej równoległobok trapezem nie jest.

Jeśli w zadaniu pojawia się pytanie „czy równoległobok to trapez”, sprawdź, którą definicję podaje twój podręcznik. Poza tym jednym pytaniem różnica nie ma znaczenia.

2Rodzaje trapezów

Trapezy dzielimy według tego, co dzieje się z ramionami.

rodzaj	co go wyróżnia	dodatkowe własności
dowolny	nic szczególnego	tylko podstawy równoległe
równoramienny	ramiona równej długości i nierównoległe	kąty przy każdej podstawie równe, przekątne równe, jest osiowosymetryczny
prostokątny	jedno ramię prostopadłe do podstaw	to ramię jest wysokością; dwa kąty proste

Trapez równoramienny ma najwięcej własności i dlatego najczęściej pojawia się w zadaniach. Ma oś symetrii — pionową prostą przechodzącą przez środki obu podstaw. To ona sprawia, że kąty przy dolnej podstawie są równe i że przekątne mają tę samą długość.

Uwaga na pułapkę językową: w trapezie równoramiennym ramiona są równej długości, ale wciąż nie są równoległe. Ten drugi warunek nie jest ozdobnikiem — to on odsiewa równoległoboki.

Dlaczego przy równoramiennym trzeba dopisać „nierównoległe”

Przyjęliśmy definicję z „co najmniej jedną parą”, a przy niej równoległobok też jest trapezem. W równoległoboku zaś ramiona zawsze są równej długości, bo boki przeciwległe są równe.

Gdyby więc „równoramienny” znaczyło samo „ramiona równej długości”, to romb o boku $5$ byłby trapezem równoramiennym. A romb, który nie jest kwadratem, nie ma żadnej z własności z tabeli: kąty przy tej samej podstawie nie są równe, przekątne mają różne długości, a prosta przez środki podstaw nie jest osią symetrii.

Dlatego trapez równoramienny to taki, którego ramiona są równej długości i nie są równoległe — czyli trapez, który nie jest równoległobokiem.

Trapez prostokątny bywa najwygodniejszy w zadaniach, bo jego prostopadłe ramię jest jednocześnie wysokością — nie trzeba jej dorysowywać ani wyliczać.

3Kąty w trapezie

Tu jest reguła, która rozwiązuje większość zadań o kątach w trapezie — i wynika wprost z równoległości podstaw.

Kąty przy tym samym ramieniu

Suma kątów leżących przy tym samym ramieniu wynosi $180°$ .

Bierze się to stąd, że ramię przecina dwie proste równoległe, a kąty jednostronne wewnętrzne przy takich prostych zawsze dają $180°$ — to ta sama własność, którą opisuję przy kątach między prostymi równoległymi.

Do tego obowiązuje reguła wspólna wszystkim czworokątom: suma wszystkich czterech kątów to $360°$ . Obie razem wystarczają, żeby z jednego lub dwóch danych kątów wyliczyć resztę.

65° + 115° = 180° \qquad 80° + 100° = 180° \qquad 65° + 80° + 100° + 115° = 360°

W trapezie równoramiennym dochodzi trzecia własność: kąty przy każdej podstawie są równe. Wystarczy więc znać jeden kąt, żeby wyznaczyć wszystkie cztery.

W trapezie prostokątnym dwa kąty są proste, więc pozostałe dwa muszą dać razem $180°$ — co znów wynika z reguły o ramieniu.

4Trapez wśród innych czworokątów

Czworokąty układają się w rodzinę, w której kolejne figury dokładają warunki, nie tracąc poprzednich.

czworokąt — cztery boki, nic więcej,
trapez — dochodzi para boków równoległych,
równoległobok — obie pary boków równoległe,
romb — równoległobok o wszystkich bokach równych,
prostokąt — równoległobok o kątach prostych,
kwadrat — jednocześnie romb i prostokąt.

Stąd bierze się pytanie egzaminacyjne typu „czy kwadrat jest trapezem”. Przy definicji z „co najmniej jedną parą” — tak, bo kwadrat ma nawet dwie pary boków równoległych. To samo dotyczy prostokąta, rombu i równoległoboku.

Warto zapamiętać kierunek zależności: każdy równoległobok jest trapezem, ale nie każdy trapez jest równoległobokiem. Odwracanie takich zdań to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach typu prawda–fałsz.

5Komplet wzorów trapezu

Oznaczenia jak wyżej: podstawy $\textcolor{#16A06A}{a}$ i $\textcolor{#16A06A}{b}$ (przy czym $a$ to ta dłuższa), ramiona $\textcolor{#E08A00}{c}$ i $\textcolor{#E08A00}{d}$ , wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ . Kolumna liczbowa dotyczy trapezu równoramiennego o $a = 10$ , $b = 4$ i ramionach $c = d = 5$ .

wielkość	wzór	dla $a=10$ , $b=4$ , $c=d=5$
obwód	$Ob = a + b + c + d$	$24$
linia środkowa	$m = \dfrac{a+b}{2}$	$7$
pole	$P = \dfrac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h$	$28$
wysokość (tylko równoramienny)	$h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2}$	$4$
przekątna (tylko równoramienny)	$e = \sqrt{c^2 + ab}$	$\sqrt{65}$

Linia środkowa łączy środki ramion i jest równoległa do podstaw. Jej długość to średnia arytmetyczna podstaw — i to ona tłumaczy wzór na pole: $P = m \cdot h$ , czyli dokładnie tyle, ile ma prostokąt o bokach $m$ i $h$ . Trapez o podstawach $10$ i $4$ ma więc takie samo pole jak prostokąt $7 \times 4$ .

Rachunek dla przykładu z tabeli, żeby było widać, skąd biorą się liczby: podstawy różnią się o $10 - 4 = 6$ , a przy trapezie równoramiennym ta różnica rozkłada się po równo na dwa boki, czyli po $3$ . Stąd $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = \textcolor{#E0453A}{4}$ , dalej $m = \frac{10+4}{2} = 7$ i $P = 7 \cdot 4 = 28$ . Przekątna: $e = \sqrt{25 + 40} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{65}}$ — zostaje w postaci dokładnej, bo $65$ nie jest kwadratem.

Czego z samych boków policzyć się NIE da

Dwa ostatnie wiersze tabeli mają dopisek „tylko równoramienny” i to nie jest ostrożność na wyrost. W trapezie dowolnym cztery boki nie wyznaczają wysokości: różnica podstaw rozkłada się wtedy na obie strony nierówno, a proporcji podziału boki nie zdradzają.

Dlatego w zadaniu o trapezie dowolnym wysokość musi być podana albo dać się wyliczyć z kąta — samo „ $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ” nie wystarcza.

W trapezie prostokątnym jest łatwiej: tam jedno ramię jest wysokością, więc $h$ znasz od razu.

Dwa fakty, które dochodzą w liceum i warto je znać już teraz, bo są krótkie:

Okrąg wpisany — trapez ma go dokładnie wtedy, gdy $a + b = c + d$ , czyli suma podstaw równa się sumie ramion. Dla przykładu z tabeli: $10 + 4 = 14$ , a $5 + 5 = 10$ — okręgu wpisanego więc nie ma.
Okrąg opisany — trapez, który nie jest równoległobokiem, ma go dokładnie wtedy, gdy jest równoramienny. Zastrzeżenie o równoległoboku nie jest czepianiem się: prostokąt też ma okrąg opisany, a równoramiennym trapezem — w rozumieniu z tabeli rodzajów — nie jest, bo jego ramiona są równoległe.

Rozwiązane zadania o samym polu, wraz z przypadkami, w których wysokość trzeba dopiero wyznaczyć, zebrałem osobno na stronie o polu trapezu.

6Gdzie spotkasz trapez

Trapez jest z tych figur, które łatwiej rozpoznać w świecie niż na rysunku w zeszycie.

przekrój wału albo nasypu — szersza podstawa na dole, węższa na górze,
abażur lampy i doniczka — to trapez obrócony wokół osi,
prostokąt oglądany pod kątem — blat stołu, boisko czy okno widziane z ukosa rysuje się jako trapez; na tym stoi cały rysunek perspektywiczny,
działka budowlana — w zadaniach z treścią najczęściej właśnie trapezowa, bo rzadko która działka jest prostokątem.

W zadaniach z treścią trapez pojawia się prawie zawsze w kontekście pola: pola działki, ściany, przekroju. Wzór stoi w komplecie wzorów wyżej, a rozwiązane zadania o polu — na osobnej stronie o polu trapezu.

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady o samej figurze: rozpoznanie rodzaju, wyliczenie kątów i trapez równoramienny.

Przykład 1 Rozpoznanie rodzaju trapezu

Czworokąt ma dokładnie jedną parę boków równoległych, a dwa pozostałe boki mają po $5$ cm. Jaki to trapez? Czy te dwa boki są równoległe?

Para boków równoległych oznacza, że figura jest trapezem. Słowo dokładnie mówi dodatkowo, że drugiej takiej pary nie ma — czyli to nie równoległobok.
Ramiona $\textcolor{#E08A00}{c}$ i $\textcolor{#E08A00}{d}$ mają równe długości i nie są równoległe, więc jest to trapez równoramienny.
Pytanie o równoległość ramion jest podchwytliwe: ramiona są równej długości, ale nie są równoległe.
Gdyby były równoległe, obie pary boków byłyby równoległe — figurą byłby wtedy romb o boku $5$ . Nazwy „trapez równoramienny” do niego nie stosujemy, bo nie ma jego własności: ani równych kątów przy podstawie, ani równych przekątnych.
Dodatkowo mogę powiedzieć więcej: skoro trapez jest równoramienny, jego przekątne mają równą długość, a kąty przy każdej podstawie są równe.
Ma też oś symetrii przechodzącą przez środki podstaw ✓

Odpowiedź: Trapez równoramienny; ramiona są równej długości, ale nie są równoległe.

„Równoramienny” mówi o długości ramion, nie o ich kierunku. To rozróżnienie wraca w zadaniach prawda–fałsz i jest jedną z najczęstszych pomyłek w tym temacie.

Przykład 2 Wyliczenie kątów z dwóch danych

W trapezie $ABCD$ podstawy $AB$ i $CD$ są równoległe. Kąt przy wierzchołku $A$ ma $65°$ , a przy $B$ — $80°$ . Oblicz pozostałe kąty.

Kąty $A$ i $D$ leżą przy tym samym ramieniu $\textcolor{#E08A00}{AD}$ , więc ich suma to $180°$ .
Stąd kąt $D$ ma $180° - 65° = 115°$ .
Kąty $B$ i $C$ leżą przy ramieniu $\textcolor{#E08A00}{BC}$ , więc też sumują się do $180°$ .
Stąd kąt $C$ ma $180° - 80° = 100°$ .
Sprawdzenie sumą czworokąta: $65° + 80° + 100° + 115° = 360°$ ✓
Kontrola sensu: dwa kąty są ostre, dwa rozwarte — typowy układ dla trapezu dowolnego ✓

Odpowiedź: Kąt $C = 100°$ , kąt $D = 115°$ .

Zwróć uwagę, które kąty się parują: $A$ z $D$ i $B$ z $C$ , bo leżą przy tym samym ramieniu. Sparowanie $A$ z $B$ (przy tej samej podstawie) nie daje $180°$ i jest częstym błędem.

Przykład 3 Trapez równoramienny z jednego kąta

W trapezie równoramiennym kąt przy dolnej podstawie ma $72°$ . Oblicz wszystkie kąty.

W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe, więc oba kąty przy dolnej podstawie $\textcolor{#16A06A}{a}$ mają po $72°$ .
Kąt przy górnej podstawie $\textcolor{#16A06A}{b}$ leży przy tym samym ramieniu $\textcolor{#E08A00}{c}$ co kąt dolny, więc dopełnia go do $180°$ .
$180° - 72° = 108°$ — i tyle mają oba kąty przy górnej podstawie.
Sprawdzenie sumą: $72° + 72° + 108° + 108° = 360°$ ✓
Kontrola sensu: kąty przy węższej podstawie są rozwarte, przy szerszej ostre — zgadza się z tym, jak trapez wygląda ✓

Odpowiedź: Dwa kąty po $72°$ i dwa po $108°$ .

Jeden podany kąt wystarczył, bo równoramienność daje dwie informacje naraz: równość kątów przy podstawie i symetrię figury. W trapezie dowolnym trzeba by znać dwa kąty.

8Najczęstsze błędy

Cztery błędy — wszystkie dotyczą samej figury, nie rachunków.

Mylenie ramion równych z równoległymi

Skąd się bierze: Nazwa „trapez równoramienny” sugeruje, że coś jest tu równoległe, a chodzi wyłącznie o równą długość. Uczeń zapisuje, że ramiona są równoległe — a taka figura jest równoległobokiem i traci wszystko, po co się trapez równoramienny w zadaniach wybiera: równość kątów przy podstawie, równość przekątnych i oś symetrii.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że w trapezie równoległe są tylko podstawy. Ramiona mogą być równej długości (trapez równoramienny) albo jedno z nich prostopadłe do podstaw (trapez prostokątny), ale nigdy równoległe do siebie.

Branie ramienia za wysokość

Skąd się bierze: W trapezie prostokątnym jedno ramię rzeczywiście jest wysokością i uczeń uogólnia to na wszystkie trapezy. W trapezie dowolnym ramię biegnie ukośnie i jest dłuższe od wysokości, więc podstawienie go do zadania zawyża wynik.

Jak zrobić dobrze: Wysokość to odcinek prostopadły do obu podstaw. Jeśli w zadaniu nie jest zaznaczona, trzeba ją dorysować — i dopiero wtedy szukać jej długości. Ramię jest wysokością wyłącznie w trapezie prostokątnym.

Parowanie kątów przy podstawie zamiast przy ramieniu

Skąd się bierze: Reguła $180°$ dotyczy kątów leżących przy tym samym ramieniu, a uczeń dodaje kąty przy tej samej podstawie. W trapezie $ABCD$ daje to $\textcolor{#9b1c14}{65° + 80° = 145°}$ zamiast poprawnej pary $65°$ i $115°$ — i cały dalszy rachunek się rozjeżdża.

Jak zrobić dobrze: Rysując trapez, zaznacz oba ramiona i pary kątów, które przy nich leżą. Kąty przy tej samej podstawie sumują się do $180°$ tylko w szczególnych przypadkach — nie jest to reguła.

Odwracanie zdania o zawieraniu się figur

Skąd się bierze: Ze zdania „każdy równoległobok jest trapezem” uczeń wyprowadza, że „każdy trapez jest równoległobokiem”. To odwrócenie jest fałszywe: trapez dowolny nie ma drugiej pary boków równoległych. Podobnie „każdy kwadrat jest rombem” nie znaczy, że każdy romb jest kwadratem.

Jak zrobić dobrze: Czytaj takie zdania jako zawieranie się zbiorów: równoległoboki są wewnątrz zbioru trapezów, więc strzałka działa w jedną stronę. Przy zadaniach prawda–fałsz zawsze sprawdź kierunek, zanim odpowiesz.

Zadania maturalne o trapezie — przekątne, ramiona i obwód

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. W trapezie prostokątnym prawie wszystko sprowadza się do układu współrzędnych wpisanego w figurę: ramię prostopadłe do podstaw jest pionowe, obie podstawy poziome, a każdy odcinek — przekątna, ramię pochyłe, dowolny odcinek do punktu wewnątrz — jest przeciwprostokątną trójkąta o poziomej i pionowej przyprostokątnej. Stąd trzy narzędzia, które załatwiają praktycznie każde zadanie:
  1. Pitagoras dla długości;
  2. tangens, gdy dany jest kąt (bo obie przyprostokątne są „naturalne”);
  3. podobieństwo albo równość kątów, gdy trzeba powiązać dwa różne trójkąty.
Jedna rzecz jest przy tym warta zapamiętania na start: ramię prostopadłe do podstaw jest zarazem wysokością, a ramię pochyłe nie. Mylenie ich to najczęstszy błąd w całym dziale.

Zadania zamknięte

Zadanie 5 (maj 2014)1 pktłatwe

Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym

60^\circ

i ramieniu długości

2\sqrt{3}

jest równa

A. $2$
B. $\sqrt{3}$
C. $3$
D. $2\sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wysokość poprowadzona z końca krótszej podstawy odcina od trapezu trójkąt prostokątny, w którym ramię trapezu jest przeciwprostokątną, a wysokość — przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta ostrego.
$\sin \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \dfrac{h}{\textcolor{#16A06A}{2\sqrt3}}$
$h = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{2 \cdot 3}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Odpowiedź: C.
Kontrola sensem: wysokość musi być krótsza od ramienia, bo jest przyprostokątną w trójkącie, którego ramię jest przeciwprostokątną. Tutaj $3 < 2\sqrt3 \approx 3{,}46$ ✓. Ta jedna nierówność odrzuca odpowiedź $D$ , która ramieniu jest równa.
Kontrola drugą drogą: rzut ramienia na podstawę wynosi $2\sqrt3 \cdot \cos 60^\circ = \sqrt3$ , a wtedy $\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2 + 3^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt3$ ✓ — Pitagoras odtwarza ramię.

💡 Wskazówka: Nie licz niczego o samym trapezie — wytnij z niego trójkąt prostokątny przy ramieniu i pracuj tylko na nim. Wysokość leży naprzeciw kąta ostrego, więc odpowiada za nią sinus; rzut ramienia na podstawę leży przy tym kącie, więc cosinus.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $\sqrt3$ — to rzut ramienia na podstawę, czyli druga przyprostokątna tego samego trójkąta. Powstaje z użycia cosinusa zamiast sinusa. Odpowiedź $D$ jest równa ramieniu, co jest niemożliwe: przyprostokątna nie może równać się przeciwprostokątnej. Odpowiedź $A$ odpowiadałaby kątowi, którego sinus wynosi $\tfrac{1}{\sqrt3}$ — a to nie jest żaden z kątów spotykanych w tych zadaniach.

Zadanie 6 (maj 2018)1 pktśrednie

Dany jest trapez prostokątny

KLMN

, którego podstawy mają długości

|KL| = a

|MN| = b

, przy czym

a > b

. Kąt

KLM

ma miarę

60^\circ

.

Długość ramienia

LM

tego trapezu jest równa

A. $a - b$
B. $2(a - b)$
C. $a + \dfrac{1}{2}b$
D. $\dfrac{a + b}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

W trapezie prostokątnym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, a drugie — pochyłe. Pytanie dotyczy pochyłego, przy którym leży kąt $\textcolor{#16A06A}{60^\circ}$ .
Rzut pochyłego ramienia na dłuższą podstawę to różnica podstaw, bo krótsza podstawa przykrywa resztę:
$\text{rzut} = \textcolor{#16A06A}{a} - \textcolor{#16A06A}{b}$
Ten rzut leży przy kącie $\textcolor{#16A06A}{60^\circ}$ , więc odpowiada za niego cosinus:
$\cos \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a} - \textcolor{#16A06A}{b}}{|LM|} \quad\Longrightarrow\quad \textcolor{#E0453A}{\dfrac12} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a} - \textcolor{#16A06A}{b}}{|LM|}$
$|LM| = \textcolor{#E0453A}{2(a - b)}$
Odpowiedź: B.
Kontrola na konkretnych liczbach — najprostszy sposób sprawdzenia wyniku z literami. Weźmy $a = 5$ i $b = 1$ . Rzut wynosi $4$ , kąt $60^\circ$ , więc ramię to $\tfrac{4}{\cos 60^\circ} = 8$ . A wzór $2(a-b)$ daje $2 \cdot 4 = 8$ ✓.
Liczby do takiej kontroli trzeba jednak dobrać z głową. Przy $a = 5$ i $b = 3$ wzór $B$ dałby $4$ — ale wzór $D$ , czyli $\tfrac{a+b}{2}$ , też dałby $4$ . Taka próba nie odróżniłaby tych dwóch odpowiedzi. Przy $a = 5$ i $b = 1$ cztery wzory dają $4$ , $8$ , $5{,}5$ i $3$ , czyli cztery różne liczby — i dopiero wtedy kontrola coś rozstrzyga.
Kontrola sensem: ramię pochyłe jest dłuższe od swojego rzutu, bo rzut to przyprostokątna, a ramię przeciwprostokątna. Odpowiedź $A$ równa się dokładnie rzutowi, więc odpada bez rachunku.

💡 Wskazówka: Przy wyniku z literami zawsze podstaw konkretne liczby i sprawdź wzór — to zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje każdą pomyłkę w przekształceniu. A zanim policzysz: rzut pochyłego ramienia trapezu prostokątnego to zawsze różnica podstaw, nigdy suma.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $a-b$ — podanie rzutu zamiast ramienia, czyli zatrzymanie się przed użyciem cosinusa. Odpowiedzi $C$ i $D$ zawierają sumę podstaw, która w tym rachunku w ogóle nie występuje; suma podstaw pojawia się we wzorze na pole trapezu i to stamtąd jest przeniesiona. Warto zauważyć, że odpowiedź $D$ to długość odcinka łączącego środki ramion — wielkość prawdziwa w trapezie, ale odpowiadająca na inne pytanie.

Zadanie 7 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

W trapezie równoramiennym

ABCD

podstawy

AB

CD

mają długości równe odpowiednio

a

b

(przy czym

a > b

). Miara kąta ostrego trapezu jest równa

30^\circ

.

Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

A. $\dfrac{a - b}{2} \cdot \sqrt{3}$
B. $\dfrac{a - b}{6} \cdot \sqrt{3}$
C. $\dfrac{a + b}{2}$
D. $\dfrac{a + b}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Trapez jest równoramienny, więc obie wysokości odcinają od dłuższej podstawy dwa jednakowe kawałki. Różnica podstaw dzieli się między nie po równo:
$\text{rzut jednego ramienia} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a} - \textcolor{#16A06A}{b}}{2}$
To jest przyprostokątna przy kącie $\textcolor{#16A06A}{30^\circ}$ , a wysokość leży naprzeciw niego — więc wiąże je tangens:
$\operatorname{tg} \textcolor{#16A06A}{30^\circ} = \dfrac{h}{\frac{\textcolor{#16A06A}{a}-\textcolor{#16A06A}{b}}{2}} \quad\Longrightarrow\quad h = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}-\textcolor{#16A06A}{b}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{3}}$
$h = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{a-b}{6} \cdot \sqrt3}$
Odpowiedź: B.
Kontrola na liczbach: weźmy $a = 8$ , $b = 2$ . Rzut wynosi $3$ , a wysokość $3 \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 3 \cdot \tfrac{\sqrt3}{3} = \sqrt3 \approx 1{,}73$ . Wzór $B$ daje $\tfrac{8-2}{6}\sqrt3 = \sqrt3$ ✓, a wzór $A$ — $3\sqrt3 \approx 5{,}20$ , czyli trzy razy za dużo.
Kontrola sensem: kąt $30^\circ$ jest mały, więc trapez jest płaski i wysokość musi być mniejsza od rzutu ramienia. Tutaj $\sqrt3 \approx 1{,}73 < 3$ ✓. Odpowiedź $A$ daje wysokość większą od rzutu, co przy kącie mniejszym od $45^\circ$ jest niemożliwe.

💡 Wskazówka: Najpierw ustal, jaki kawałek dłuższej podstawy wystaje poza krótszą przy jednym ramieniu: w trapezie równoramiennym to połowa różnicy podstaw, w prostokątnym — cała różnica. Potem wybierz funkcję: rzut leży przy kącie, wysokość naprzeciw, więc łączy je tangens. I sprawdź na liczbach, bo wzory z literami różnią się tu tylko stałą.

⚠ Odpowiedź $A$ — z pomnożenia przez $\sqrt3$ zamiast przez $\tfrac{\sqrt3}{3}$ , czyli z użycia $\operatorname{tg} 60^\circ$ zamiast $\operatorname{tg} 30^\circ$ . Wynik jest trzy razy za duży. Odpowiedzi $C$ i $D$ zawierają sumę podstaw, która przy liczeniu wysokości nie występuje w ogóle — pochodzi ze wzoru na pole. Odpowiedź $C$ to długość odcinka środkowego trapezu.

Zadania otwarte

Zadanie 1 (maj 2019)2 pktśrednie

W trapezie prostokątnym

ABCD

dłuższa podstawa

AB

ma długość

8

. Przekątna

AC

tego trapezu ma długość

4

i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze

30^\circ

(zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej

BD

tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $|BD| = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25$

Krok 1 — gdzie leży kąt $30^\circ$ . Kąt jest zawarty między przekątną $AC$ a krótszą podstawą $DC$ , czyli leży przy wierzchołku $C$ . Trójkąt $ACD$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$ , bo trapez jest prostokątny), więc znamy w nim przeciwprostokątną $|AC| = \textcolor{#16A06A}{4}$ i kąt ostry $\textcolor{#16A06A}{30^\circ}$ — to wystarcza, by policzyć obie przyprostokątne.
Krok 2 — wysokość trapezu. Naprzeciw kąta $\textcolor{#16A06A}{30^\circ}$ leży przyprostokątna $AD$ , czyli wysokość:
$|AD| = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{30^\circ} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Krok 3 — krótsza podstawa. Przy kącie $\textcolor{#16A06A}{30^\circ}$ leży przyprostokątna $DC$ :
$|DC| = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \cos \textcolor{#16A06A}{30^\circ} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$
Tej długości do końca zadania nie użyjemy — ale warto ją mieć, żeby sprawdzić, czy trapez w ogóle się „domyka”: $\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} \approx \textcolor{#E0453A}{3{,}46}$ jest mniejsze od $\textcolor{#16A06A}{8}$ , więc $DC$ faktycznie jest krótszą podstawą ✓
Krok 4 — przekątna $BD$ . Teraz kluczowe spostrzeżenie: przekątna $BD$ jest przeciwprostokątną trójkąta $ABD$ , prostokątnego przy $A$ . Jego przyprostokątne to cała dłuższa podstawa $AB$ i wysokość $AD$ :
$|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 = \textcolor{#16A06A}{8}^2 + \textcolor{#E0453A}{2}^2 = 64 + 4 = \textcolor{#E0453A}{68}$
$|BD| = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{68}} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$
Odpowiedź: $|BD| = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25$ .
Kontrola przez współrzędne — droga zupełnie inna niż dwa trójkąty. Ustawmy $A = (0, 0)$ , wtedy $B = (\textcolor{#16A06A}{8}, 0)$ , $D = (0, \textcolor{#E0453A}{2})$ oraz $C = (\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}, \textcolor{#E0453A}{2})$ . Sprawdźmy najpierw daną: $|AC| = \sqrt{\left(\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}\right)^2 + \textcolor{#E0453A}{2}^2} = \sqrt{12 + 4} = \textcolor{#16A06A}{4}$ ✓
A teraz szukana: $|BD| = \sqrt{(\textcolor{#16A06A}{8} - 0)^2 + (0 - \textcolor{#E0453A}{2})^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{68}} = 2\sqrt{17}$ ✓
Kontrola sensowności: przekątna $BD$ musi być dłuższa od dłuższej podstawy $\textcolor{#16A06A}{8}$ , bo jest przeciwprostokątną trójkąta, w którym $AB$ jest przyprostokątną. I jest: $2\sqrt{17} \approx 8{,}25 > \textcolor{#16A06A}{8}$ ✓

💡 Wskazówka: Warto od razu zauważyć, że obie przekątne trapezu prostokątnego są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, i że te trójkąty są różne. Przekątna $AC$ „opiera się” na krótszej podstawie i wysokości, a przekątna $BD$ — na dłuższej podstawie i tej samej wysokości. Wysokość jest więc łącznikiem między nimi: liczymy ją z jednego trójkąta, używamy w drugim. To schemat, który działa w każdym trapezie prostokątnym: znajdź wysokość, a potem wszystko inne jest Pitagorasem. I jeszcze jedno — krótsza podstawa w tym zadaniu w ogóle nie jest potrzebna; policzenie jej to strata czasu, choć przydaje się jako kontrola.

⚠ Przyjęcie, że kąt $30^\circ$ leży przy dłuższej podstawie, czyli przy wierzchołku $A$ . Wtedy $|AD| = 4 \cdot \sin 30^\circ$ liczy się tak samo, ale krótsza podstawa wychodzi w innym miejscu i przy dalszych krokach wszystko się rozjeżdża. Treść mówi wprost: kąt z krótszą podstawą, a rysunek pokazuje go przy $C$ . Drugi błąd: pomylenie sinusa z cosinusem i przyjęcie wysokości $2\sqrt3 \approx 3{,}46$ . Kontrola jest natychmiastowa — naprzeciw mniejszego kąta leży krótszy bok, a $30^\circ$ to kąt mały, więc leżąca naprzeciw niego wysokość musi być krótsza od drugiej przyprostokątnej. Trzeci błąd: policzenie $|BD|$ z trójkąta opartego na krótszej podstawie, czyli $\sqrt{(2\sqrt3)^2 + 2^2} = 4$ — to jest długość przekątnej $AC$ , którą treść już podała. Jeżeli w rachunku wychodzi liczba, którą znaliśmy z treści, to znak, że policzyliśmy nie ten odcinek.

Zadanie 2 (czerwiec 2022)2 pktśrednie

Dany jest trapez prostokątny

ABCD

. Podstawa

AB

tego trapezu jest równa

26

, a ramię

BC

ma długość

24

. Przekątna

AC

tego trapezu jest prostopadła do ramienia

BC

(zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia

AD

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $|AD| = \dfrac{120}{13} = 9\dfrac{3}{13} \approx 9{,}23$

Krok 1 — przekątna $AC$ z Pitagorasa. Przekątna $AC$ jest prostopadła do ramienia $BC$ , więc trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy $C$ . Jego przeciwprostokątną jest podstawa $|AB| = \textcolor{#16A06A}{26}$ , a jedną przyprostokątną ramię $|BC| = \textcolor{#16A06A}{24}$ :
$|AC|^2 = \textcolor{#16A06A}{26}^2 - \textcolor{#16A06A}{24}^2 = 676 - 576 = \textcolor{#E0453A}{100} \qquad \Longrightarrow \qquad |AC| = \textcolor{#E0453A}{10}$
Trójka $\textcolor{#E0453A}{10}$ , $\textcolor{#16A06A}{24}$ , $\textcolor{#16A06A}{26}$ to znana trójka $5$ , $12$ , $13$ pomnożona przez $2$ .
Krok 2 — czym w tym trójkącie jest szukane ramię $AD$ . To jest sedno zadania. Ramię $AD$ jest prostopadłe do obu podstaw, więc jest wysokością trapezu — czyli odległością między prostymi $AB$ i $DC$ . Ale punkt $C$ leży na prostej $DC$ , więc ta sama odległość to wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona z wierzchołka $C$ na bok $AB$ .
Innymi słowy: szukamy wysokości trójkąta prostokątnego poprowadzonej na przeciwprostokątną.
Krok 3 — pole trójkąta $ABC$ policzone dwoma sposobami. Raz przez przyprostokątne, raz przez przeciwprostokątną i wysokość do niej:
$P = \tfrac12 \cdot |AC| \cdot |BC| = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{10} \cdot \textcolor{#16A06A}{24} = \textcolor{#E0453A}{120}$
$P = \tfrac12 \cdot |AB| \cdot h = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{26} \cdot h = \textcolor{#E0453A}{13}h$
Krok 4 — porównujemy.
$\textcolor{#E0453A}{13}h = \textcolor{#E0453A}{120} \qquad \Longrightarrow \qquad h = \dfrac{120}{13} = 9\dfrac{3}{13}$
Odpowiedź: $|AD| = \dfrac{120}{13} = 9\dfrac{3}{13} \approx 9{,}23$ .
Kontrola przez współrzędne — inną drogą. Ustawmy $A = (0,0)$ i $B = (\textcolor{#16A06A}{26}, 0)$ . Rzut wierzchołka $C$ na podstawę wypada w odległości $\tfrac{|AC|^2}{|AB|} = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{100}}{\textcolor{#16A06A}{26}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{50}{13}}$ od punktu $A$ , więc $C = \left(\textcolor{#E0453A}{\tfrac{50}{13}}, \textcolor{#E0453A}{\tfrac{120}{13}}\right)$ . Sprawdzamy obie dane: $|AC| = \sqrt{\left(\tfrac{50}{13}\right)^2 + \left(\tfrac{120}{13}\right)^2} = \tfrac{\sqrt{2500 + 14400}}{13} = \tfrac{130}{13} = \textcolor{#E0453A}{10}$ ✓ oraz $|BC| = \textcolor{#16A06A}{24}$ ✓
A skoro $D$ leży dokładnie nad $A$ na wysokości punktu $C$ , to $|AD| = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{120}{13}}$ ✓
Kontrola sensowności: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych. I jest: $\textcolor{#E0453A}{9{,}23} < \textcolor{#E0453A}{10} < \textcolor{#16A06A}{24}$ ✓

💡 Wskazówka: Dwa spostrzeżenia rozwiązują to zadanie. Pierwsze: prostopadłość przekątnej do ramienia zamienia trapez w trójkąt prostokątny o znanej przeciwprostokątnej i jednej przyprostokątnej — resztę daje Pitagoras. Drugie, ważniejsze: szukane ramię $AD$ jest wysokością trapezu, a więc tą samą odległością co wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona na $AB$ . Rozpoznanie tej równości jest całym zadaniem; potem wystarczy standardowy chwyt „pole dwoma sposobami”, który zamienia wysokość na iloraz. Warto zapamiętać wynikający z niego wzór: w trójkącie prostokątnym wysokość na przeciwprostokątną to $h = \tfrac{a \cdot b}{c}$ , gdzie $a$ , $b$ to przyprostokątne, a $c$ — przeciwprostokątna.

⚠ Uznanie, że szukane $|AD|$ równa się przyprostokątnej $|AC| = 10$ . Odcinek $AC$ jest przekątną, biegnie ukośnie, a $AD$ jest pionowe — to dwa różne odcinki i $AD$ musi być krótsze. Drugi błąd: policzenie $|AD|$ z Pitagorasa w trójkącie $ACD$ jako $\sqrt{10^2 - |DC|^2}$ bez wcześniejszego wyznaczenia $|DC|$ — koło się zamyka, bo krótszej podstawy też nie znamy. Trzeci błąd: przyjęcie, że skoro trapez jest prostokątny, to $|AD| = |BC| = 24$ ; ramię $BC$ jest pochyłe, a prostopadłe do podstaw jest tylko $AD$ . Czwarty błąd, rachunkowy: podanie wyniku jako $\tfrac{120}{13} \approx 9{,}2$ bez sprawdzenia — warto szybko potwierdzić, że $13 \cdot 9 = 117$ , więc reszta wynosi $3$ , i stąd postać $9\tfrac{3}{13}$ .

Zadanie 3 (sierpień 2024)2 pkttrudniejsze

Podstawy trapezu prostokątnego

ABCD

mają długości:

|AB| = 12

oraz

|CD| = 6

. Wysokość

AD

tego trapezu ma długość

24

. Na odcinku

AD

leży punkt

E

taki, że

|\sphericalangle BEA| = |\sphericalangle CED|

(zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka

BE

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $|BE| = 20$

Krok 1 — dwa trójkąty prostokątne po obu stronach punktu $E$ . Ramię $AD$ jest prostopadłe do obu podstaw, więc trójkąt $BEA$ ma kąt prosty przy $A$ , a trójkąt $CED$ — kąt prosty przy $D$ . Oznaczmy $|AE| = x$ ; wtedy $|ED| = \textcolor{#16A06A}{24} - x$ , bo punkt $E$ leży na odcinku $AD$ .
Krok 2 — warunek z treści zamieniony na równanie. Oba kąty przy $E$ są kątami ostrymi w trójkątach prostokątnych, więc równość kątów możemy zapisać jako równość ich tangensów. W każdym z tych trójkątów przy kącie leży fragment ramienia $AD$ , a naprzeciw — odpowiednia podstawa:
$\text{tg}\,\sphericalangle BEA = \dfrac{|AB|}{|AE|} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{x}, \qquad \text{tg}\,\sphericalangle CED = \dfrac{|DC|}{|ED|} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{24} - x}$
Krok 3 — rozwiązujemy.
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{x} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{24} - x}$
$\textcolor{#16A06A}{12}\left(\textcolor{#16A06A}{24} - x\right) = \textcolor{#16A06A}{6}x \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{288} - \textcolor{#E0453A}{12}x = \textcolor{#E0453A}{6}x \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{18}x = \textcolor{#E0453A}{288}$
$x = |AE| = \textcolor{#E0453A}{16}, \qquad |ED| = \textcolor{#16A06A}{24} - \textcolor{#E0453A}{16} = \textcolor{#E0453A}{8}$
Krok 4 — szukany odcinek. Trójkąt $BEA$ jest prostokątny przy $A$ , a $BE$ jest jego przeciwprostokątną:
$|BE|^2 = |AE|^2 + |AB|^2 = \textcolor{#E0453A}{16}^2 + \textcolor{#16A06A}{12}^2 = 256 + 144 = \textcolor{#E0453A}{400}$
$|BE| = \textcolor{#E0453A}{20}$
Odpowiedź: $|BE| = 20$ .
Kontrola pierwsza — czy oba kąty naprawdę wyszły równe. $\text{tg}\,\sphericalangle BEA = \tfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}75}$ oraz $\text{tg}\,\sphericalangle CED = \tfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{8}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}75}$ ✓ oba kąty mają miarę około $\textcolor{#E0453A}{36{,}87^\circ}$ .
Kontrola druga, przez podobieństwo. Skoro kąty przy $E$ są równe i oba trójkąty są prostokątne, to $BEA \sim CED$ . Skala wynosi $\tfrac{|AB|}{|DC|} = \tfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ , więc także $\tfrac{|AE|}{|ED|} = \textcolor{#E0453A}{2}$ — i faktycznie $\tfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{8}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ ✓ Punkt $E$ dzieli ramię $AD$ w stosunku $\textcolor{#E0453A}{2 : 1}$ , licząc od $A$ . Ta droga jest krótsza od równania: wystarczyło podzielić $\textcolor{#16A06A}{24}$ na trzy części.
Kontrola trzecia: $\textcolor{#16A06A}{12}$ , $\textcolor{#E0453A}{16}$ , $\textcolor{#E0453A}{20}$ to trójka $3$ , $4$ , $5$ pomnożona przez $4$ ✓ Odpowiednio $|CE| = \textcolor{#E0453A}{10}$ , bo trójkąt $CED$ jest dwa razy mniejszy.

💡 Wskazówka: Równość kątów w takim układzie to zawsze zaproszenie do podobieństwa: oba trójkąty są prostokątne, więc równość jednego kąta ostrego wystarcza do cechy kąt-kąt. Najkrótsza droga wygląda tak — skala to stosunek podstaw, czyli $\tfrac{12}{6} = 2$ , więc punkt $E$ dzieli ramię w tym samym stosunku $2 : 1$ , a $24$ podzielone w stosunku $2:1$ daje $16$ i $8$ . Bez żadnego równania. Wariant z tangensami jest równie dobry i bywa bezpieczniejszy, bo nie wymaga zgadywania, w którą stronę idzie skala; wtedy trzeba tylko pamiętać, że przy kącie leży fragment ramienia, a naprzeciw niego — podstawa.

⚠ Zapisanie tangensa „do góry nogami”, czyli $\tfrac{|AE|}{|AB|}$ zamiast $\tfrac{|AB|}{|AE|}$ . Jeśli zrobić to konsekwentnie po obu stronach, równanie i tak wyjdzie poprawnie — ale wystarczy odwrócić jeden ułamek, żeby dostać $x = 8$ , czyli zamienić $|AE|$ z $|ED|$ . Kontrola: większa podstawa $12$ musi „patrzeć” na dłuższy fragment ramienia, więc $|AE| > |ED|$ . Drugi błąd: przyjęcie, że $E$ jest środkiem odcinka $AD$ , czyli $|AE| = 12$ ; nic w treści tego nie mówi, a warunek równości kątów wyznacza $E$ jednoznacznie i wypada on poniżej środka. Trzeci błąd: podanie $|AE| = 16$ jako odpowiedzi — to długość fragmentu ramienia, a pytanie dotyczy odcinka $BE$ , który jest przeciwprostokątną. Czwarty błąd: liczenie $|BE|$ jako $\sqrt{24^2 + 12^2}$ , czyli z pełną wysokością zamiast z fragmentem $|AE|$ .

Zadanie 4 (maj 2010)2 pktśrednie

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa

6

. Oblicz obwód tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Obwód $= 15 + 3\sqrt3 \approx 20{,}20$

Krok 1 — który trójkąt jest równoboczny. Oznaczmy trapez $ABCD$ , gdzie $AB$ jest dłuższą podstawą, a kąty proste są przy wierzchołkach $A$ i $D$ . Krótsza przekątna $AC$ dzieli go na trójkąty $ACD$ i $ABC$ .
Trójkąt $ACD$ ma kąt prosty przy $D$ , więc nie może być równoboczny — trójkąt równoboczny ma same kąty po $60^\circ$ . Zatem to trójkąt $ABC$ jest równoboczny, a $ACD$ jest tym prostokątnym.
Krok 2 — trzy boki od razu. Skoro trójkąt $ABC$ jest równoboczny, a jego bok $AB$ jest daną:
$|AB| = |BC| = |CA| = \textcolor{#16A06A}{6}$
To już dwa boki trapezu ( $AB$ i ramię $BC$ ) oraz przekątna, którą wykorzystamy w następnym kroku.
Krok 3 — kąt przy wierzchołku $A$ . Kąt $DAB$ jest prosty (trapez prostokątny), a kąt $CAB$ ma $\textcolor{#E0453A}{60^\circ}$ , bo jest kątem trójkąta równobocznego. Przekątna dzieli więc kąt prosty na dwie części:
$\sphericalangle DAC = \textcolor{#E0453A}{90^\circ} - \textcolor{#E0453A}{60^\circ} = \textcolor{#E0453A}{30^\circ}$
Krok 4 — dwa pozostałe boki z trójkąta $ACD$ . Jest on prostokątny przy $D$ , jego przeciwprostokątną jest przekątna $|AC| = \textcolor{#16A06A}{6}$ , a kąt przy $A$ wynosi $\textcolor{#E0453A}{30^\circ}$ :
$|DC| = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \sin \textcolor{#E0453A}{30^\circ} = \textcolor{#E0453A}{3} \qquad \text{(krótsza podstawa)}$
$|AD| = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \cos \textcolor{#E0453A}{30^\circ} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} \qquad \text{(wysokość, czyli krótsze ramię)}$
Krok 5 — obwód. Dodajemy wszystkie cztery boki:
$\text{Obwód} = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| = \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} = 15 + 3\sqrt3$
Odpowiedź: obwód $= 15 + 3\sqrt3 \approx 20{,}20$ .
Kontrola pierwsza — czy $DC$ naprawdę jest krótszą podstawą, jak zakładaliśmy: $\textcolor{#E0453A}{3} < \textcolor{#16A06A}{6}$ ✓
Kontrola druga — czy $AC$ jest krótszą przekątną, bo tak mówi treść. Druga przekątna to $BD$ ; w prostokątnym trójkącie $ABD$ o przyprostokątnych $\textcolor{#16A06A}{6}$ i $\textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$ mamy $|BD| = \sqrt{36 + 27} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{63}} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt7} \approx \textcolor{#E0453A}{7{,}94}$ . I rzeczywiście $\textcolor{#16A06A}{6} < \textcolor{#E0453A}{7{,}94}$ ✓ Założenie z kroku 1 się broni.
Kontrola trzecia, na współrzędnych: $A = (0,0)$ , $B = (\textcolor{#16A06A}{6}, 0)$ , $D = \left(0, \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}\right)$ , $C = \left(\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}\right)$ . Wtedy $|BC| = \sqrt{(\textcolor{#16A06A}{6}-\textcolor{#E0453A}{3})^2 + \left(\textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}\right)^2} = \sqrt{9 + 27} = \textcolor{#16A06A}{6}$ ✓ trójkąt $ABC$ jest równoboczny.

💡 Wskazówka: Zadanie nie ma rysunku i to jest jego główna trudność — trzeba go sobie zrobić samemu, a potem rozstrzygnąć, który trójkąt jest równoboczny. Rozstrzyga to jedno zdanie: trójkąt zawierający kąt prosty trapezu nie może mieć samych kątów po $60^\circ$ . Dalej wszystko idzie już gładko, bo przekątna dzieli kąt prosty na $60^\circ$ i $30^\circ$ , a trójkąt $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ o znanej przeciwprostokątnej ma obie przyprostokątne „z tabliczki”: połowa przeciwprostokątnej i połowa razy $\sqrt3$ . Na koniec warto sprawdzić założenie, którego treść nie podaje wprost, a od którego zależy cała konfiguracja: że to właśnie $AC$ jest krótszą przekątną.

⚠ Uznanie za równoboczny trójkąta $ACD$ , czyli tego z kątem prostym. Jest to niemożliwe i wystarczy jedno zdanie, żeby to odrzucić — ale bez rysunku łatwo o tym nie pomyśleć. Drugi błąd: przyjęcie, że przekątna dzieli kąt prosty na połowy, czyli po $45^\circ$ ; dzieli go na $60^\circ$ i $30^\circ$ , bo jedna część jest kątem trójkąta równobocznego. Trzeci błąd: pominięcie w obwodzie jednego z boków — najczęściej krótszej podstawy $3$ albo ramienia pochyłego $6$ ; obwód trapezu to suma czterech boków, a przekątna $AC$ do niego nie należy, mimo że pojawia się w każdym kroku rachunku. Czwarty błąd: podanie wyniku $18 + 3\sqrt3$ , czyli wliczenie przekątnej zamiast krótszej podstawy.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. $\|BD\| = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25$	2. $\|AD\| = \dfrac{120}{13} = 9\dfrac{3}{13} \approx 9{,}23$	3. $\|BE\| = 20$	4. Obwód $= 15 + 3\sqrt3 \approx 20{,}20$	5. C	6. B
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

9Pytania i odpowiedzi

Co to jest trapez?

To czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Te równoległe boki nazywamy podstawami, a dwa pozostałe — ramionami. Odcinek prostopadły łączący obie podstawy to wysokość trapezu.

Jakie są rodzaje trapezów?

Trzy: dowolny (bez dodatkowych własności), równoramienny (ramiona równej długości i nierównoległe — bez tego drugiego warunku pasowałby też romb; kąty przy każdej podstawie równe, przekątne równe, oś symetrii) oraz prostokątny (jedno ramię prostopadłe do podstaw, dwa kąty proste — i to ramię jest jednocześnie wysokością).

Ile wynosi suma kątów w trapezie?

Jak w każdym czworokącie — $360°$ . Ważniejsza w zadaniach jest jednak druga reguła: kąty leżące przy tym samym ramieniu sumują się do $180°$ , bo ramię przecina dwie równoległe podstawy.

Czy w trapezie równoramiennym ramiona są równoległe?

Nie. Są równej długości, ale nie są równoległe — gdyby były, obie pary boków byłyby równoległe, czyli figurą byłby równoległobok. Równoległoboku nie nazywamy trapezem równoramiennym, bo nie ma jego własności: równych kątów przy podstawie, równych przekątnych ani osi symetrii przez środki podstaw.

Czy kwadrat i równoległobok to trapezy?

Przy definicji z „co najmniej jedną parą boków równoległych” — tak, bo mają nawet dwie takie pary. Część podręczników używa jednak wersji z „dokładnie jedną parą” i wtedy nie są. Jeśli zadanie o to pyta, sprawdź definicję w swoim podręczniku.

Czym różni się wysokość trapezu od ramienia?

Wysokość jest prostopadła do obu podstaw, a ramię biegnie zwykle ukośnie i jest od niej dłuższe. Pokrywają się tylko w trapezie prostokątnym, gdzie jedno ramię stoi prostopadle do podstaw. W pozostałych trapezach wysokość trzeba dorysować.

Czytaj dalej

Pole trapezuWzór i sposób liczenia — osobne pytanie, osobna strona Pola figurHub działu: wzory na pola wszystkich figur płaskich Kąty przy prostych równoległychStąd bierze się reguła 180° przy ramieniu Obwody figurObwód trapezu to suma czterech boków

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.