Strona główna › Równania i nierówności › Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną

Q: Ile rozwiązań ma równanie z wartością bezwzględną?

Zależy od prawej strony. Gdy stoi tam liczba dodatnia, rozwiązania są dwa, gdy zero — dokładnie jedno, a gdy liczba ujemna, równanie nie ma rozwiązań, bo odległość nigdy nie jest ujemna.

Q: Jak rozwiązać równanie typu |x + 4| = 5?

Trzeba rozbić je na dwa równania: wyrażenie w kreskach równe pięć oraz równe minus pięć. Każde rozwiązuje się osobno, a obie otrzymane liczby są rozwiązaniami wyjściowego równania.

Q: Jak obliczyć sumę rozwiązań bez ich wyznaczania?

Dla równania |x-a| = r suma wynosi 2a, niezależnie od r. Rozwiązania leżą symetrycznie po obu stronach punktu a, więc ich średnia jest równa a.

Q: Kiedy trzeba sprawdzać otrzymane rozwiązania?

Zawsze wtedy, gdy po prawej stronie stoi wyrażenie z niewiadomą. Prawa strona musi być nieujemna, więc rozwiązanie dające wartość ujemną trzeba odrzucić mimo poprawnego rachunku.

Q: Czy zawsze któryś przypadek odpada?

Nie. W równaniu |4x-5| = x oba rozwiązania, jedynka i pięć trzecich, są dodatnie i oba spełniają równanie. Sprawdzenie wykonuje się po to, żeby to rozstrzygnąć, a nie żeby coś skreślić.

Q: Co oznacza zapis |x - 6| = 4 na osi liczbowej?

Że odległość liczby x od szóstki wynosi cztery jednostki. Odmierzając cztery w prawo i cztery w lewo od szóstki, otrzymujemy dziesiątkę i dwójkę — dwa rozwiązania równania.

Równanie $|x| = 5$ ma dwa rozwiązania, bo od zera o pięć jednostek można odejść w dwie strony. Cała technika polega na rozbiciu takiego równania na dwa zwykłe — i na wiedzy, kiedy trzeba jeszcze sprawdzić, czy otrzymane liczby naprawdę pasują. Samo pojęcie opisuję przy wartości bezwzględnej; tutaj chodzi o rozwiązywanie.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Rozbicie na dwa przypadki

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział I. Liczby rzeczywiste, zakres podstawowy, punkt 7 brzmi dosłownie: „stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: $|x + 4| = 5$ ”.

Podstawa podaje więc wprost przykładowy typ równania — dokładnie taki, jakim zajmuje się większa część tej strony.

Zasada jest jedna: jeśli wartość bezwzględna jakiegoś wyrażenia równa się liczbie $r \geq 0$ , to samo wyrażenie równa się $r$ albo $-r$ .

|W| = r \quad \Leftrightarrow \quad W = \textcolor{#16A06A}{r} \;\;\text{ lub }\;\; W = \textcolor{#E0453A}{-r}

Powód widać w definicji: wartość bezwzględna to odległość od zera, a w danej odległości leżą zawsze dwa punkty — po jednym z każdej strony.

Przykład. Rozwiążmy $|2x+3| = 5$ :

pierwszy przypadek: $2x+3 = \textcolor{#16A06A}{5}$ , stąd $2x = 2$ , czyli $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ ,
drugi przypadek: $2x+3 = \textcolor{#E0453A}{-5}$ , stąd $2x = -8$ , czyli $x = \textcolor{#2F80D8}{-4}$ .

Sprawdzenie: $|2 \cdot \textcolor{#E0453A}{1} + 3| = |5| = 5$ ✓ oraz $|2 \cdot \textcolor{#2F80D8}{(-4)} + 3| = |-5| = 5$ ✓ — obie liczby spełniają równanie.

Kiedy rozwiązań nie ma wcale

Równanie $|W| = r$ nie ma rozwiązań, gdy $r < 0$ . Wartość bezwzględna jest odległością, a odległość ujemna nie istnieje.

Zapis $|3x-1| = -7$ można więc odrzucić bez żadnych rachunków. Rozbijanie go na przypadki byłoby stratą czasu i prowadziło do liczb, które równania nie spełniają.

Przypadek graniczny: dla $r = 0$ rozwiązanie jest dokładnie jedno, bo tylko zero leży w zerowej odległości od zera. Równanie $|x-3| = 0$ daje wyłącznie $x = 3$ .

Liczba rozwiązań zależy więc od prawej strony: gdy pod kreskami stoi wyrażenie liniowe, dla $r>0$ rozwiązania są dwa, dla $r=0$ jedno, a dla $r<0$ żadnego. Zastrzeżenie o liniowości nie jest ozdobnikiem — dla $|x^2-4| = 3$ oba przypadki dają po dwie liczby i rozwiązań jest cztery ( $\pm\sqrt7$ oraz $\pm1$ ), choć prawa strona jest zwykłą liczbą dodatnią.

2Suma i iloczyn rozwiązań bez liczenia

Zadania maturalne często pytają nie o same rozwiązania, lecz o ich sumę albo iloczyn. Da się je podać szybciej, niż rozwiązując równanie.

Weźmy równanie w postaci $|x - a| = r$ . Dwa przypadki dają $x = a + r$ oraz $x = a - r$ , czyli liczby leżące symetrycznie po obu stronach $a$ .

x_1 + x_2 = (a+r) + (a-r) = \textcolor{#E0453A}{2a}

Suma rozwiązań nie zależy od $r$ — zawsze wynosi dwukrotność liczby, od której mierzymy odległość. To wynika wprost z symetrii: średnia dwóch punktów odległych o tyle samo w przeciwne strony leży dokładnie pośrodku.

Przykład. Dla $|x + 4| = 7$ mamy $a = \textcolor{#16A06A}{-4}$ , więc suma rozwiązań to $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{(-4)} = \textcolor{#E0453A}{-8}$ — bez wyznaczania $x_1$ i $x_2$ .

Kontrola przez policzenie: $x + 4 = 7$ daje $x = 3$ , a $x+4 = -7$ daje $x = -11$ . Suma: $3 + (-11) = \textcolor{#E0453A}{-8}$ ✓

Z iloczynem jest inaczej — on od $r$ zależy i skraca się do różnicy kwadratów:

x_1 \cdot x_2 = (a+r)(a-r) = \textcolor{#16A06A}{a^2} - \textcolor{#E0453A}{r^2}

Przykład. Dla $|x - 6| = 4$ iloczyn wynosi $\textcolor{#16A06A}{6}^2 - \textcolor{#E0453A}{4}^2 = 36 - 16 = \textcolor{#2F80D8}{20}$ .

Kontrola: rozwiązania to $10$ i $2$ , a $10 \cdot 2 = \textcolor{#2F80D8}{20}$ ✓

równanie	suma rozwiązań	iloczyn rozwiązań
$\|x - a\| = r$	$2a$	$a^2 - r^2$
$\|x + 4\| = 7$	$-8$	$16 - 49 = -33$
$\|x - 6\| = 4$	$12$	$36 - 16 = 20$

Uwaga na znak $a$ . W zapisie $|x+4|$ liczbą, od której mierzymy odległość, jest $\textcolor{#E0453A}{-4}$ , a nie $4$ — bo $x+4 = x-(-4)$ . To najczęstsza pomyłka w tych zadaniach.

3Gdy po prawej stronie stoi niewiadoma

To materiał rozszerzony

Podstawa dla liceum wymienia w zakresie podstawowym równania typu $|x+4| = 5$ , czyli z liczbą po prawej stronie (dział I, punkt 7).

Równania, w których po prawej stronie stoi wyrażenie z niewiadomą, należą do działu III. Równania i nierówności, zakres rozszerzony, punkt 4: „rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną”.

Warto je jednak znać także przy podstawie — pojawiają się w arkuszach jako zadania zamknięte, w których wystarczy sprawdzić podane odpowiedzi, a nie rozwiązywać równanie od zera.

Gdy równanie ma postać $|W| = V$ , gdzie $V$ zawiera niewiadomą, dochodzi dodatkowy warunek: prawa strona musi być nieujemna.

|W| = V \quad \Rightarrow \quad V \geq 0

Powód jest ten sam co poprzednio — wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc coś, co jej się równa, też nie może być.

Przykład. Rozwiążmy $|3x+1| = 4x$ :

przypadek pierwszy: $3x+1 = 4x$ , stąd $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ ,
przypadek drugi: $3x+1 = -4x$ , stąd $7x = -1$ , czyli $x = \textcolor{#E0453A}{-\frac{1}{7}}$ .

Teraz sprawdzenie obu, bo prawa strona zawiera niewiadomą:

dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ : lewa $|3+1| = 4$ , prawa $4 \cdot 1 = 4$ ✓ — pasuje,
dla $x = \textcolor{#E0453A}{-\frac{1}{7}}$ : prawa strona to $4 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{4}{7}$ , czyli liczba ujemna ✗ — odpada.

Równanie ma więc jedno rozwiązanie: $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ . Drugi przypadek dał liczbę poprawną rachunkowo, ale sprzeczną z warunkiem.

Sprawdzenie nie jest formalnością

Przy liczbie po prawej stronie sprawdzenie jest kontrolą — obie liczby i tak są rozwiązaniami.

Przy niewiadomej po prawej stronie sprawdzenie jest częścią rozwiązania. Pominięcie go daje odpowiedź z jedną liczbą za dużo, a to błąd merytoryczny, nie rachunkowy.

Nie zawsze jednak odpada któryś przypadek. W równaniu $|4x-5| = x$ oba rozwiązania są poprawne — sprawdzenie trzeba wykonać, żeby się o tym przekonać.

4Odczyt geometryczny

Podstawa wymienia interpretację geometryczną przed algebraiczną — i nie bez powodu. Wiele zadań rozwiązuje się nią szybciej.

Zapis $|x - a| = r$ czyta się: odległość liczby $x$ od liczby $a$ wynosi $r$ .

Wystarczy więc znaleźć na osi punkt $a$ i odmierzyć $r$ w obie strony. Dla $|x-6| = 4$ : od szóstki cztery w prawo daje $\textcolor{#E0453A}{10}$ , cztery w lewo daje $\textcolor{#E0453A}{2}$ — te same wyniki co z rachunku, ale bez rozbijania na przypadki.

zapis	czytanie	rozwiązania
$\|x\| = 5$	odległość od zera równa $5$	$-5$ i $5$
$\|x - 6\| = 4$	odległość od szóstki równa $4$	$2$ i $10$
$\|x + 4\| = 7$	odległość od minus czwórki równa $7$	$-11$ i $3$
$\|x - 3\| = 0$	odległość od trójki równa zeru	tylko $3$

Trzeci wiersz pokazuje, czemu warto przepisać $|x+4|$ jako $|x-(-4)|$ — dopiero wtedy widać właściwy punkt odniesienia.

Ta sama interpretacja tłumaczy wzór na sumę. Skoro oba rozwiązania leżą symetrycznie względem $a$ , ich średnia to dokładnie $a$ , a suma — dwa razy $a$ . Nie trzeba tego pamiętać jako osobnego wzoru, wystarczy zobaczyć oś.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: suma rozwiązań, niewiadoma po prawej stronie z odrzuceniem i przypadek, w którym nic nie odpada.

Przykład 1 Suma rozwiązań

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x + 4| = 7$ . Oblicz sumę $x_1 + x_2$ .

Przepisuję lewą stronę tak, żeby zobaczyć punkt odniesienia: $|x+4| = |x - (\textcolor{#16A06A}{-4})|$ .
Punktem, od którego mierzymy odległość, jest więc $a = \textcolor{#16A06A}{-4}$ .
Rozwiązania leżą symetrycznie po obu stronach $a$ , więc ich suma to $2a = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{(-4)} = \textcolor{#E0453A}{-8}$ .
Kontrola przez wyznaczenie obu: $x+4 = 7$ daje $x_1 = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
$x+4 = -7$ daje $x_2 = \textcolor{#2F80D8}{-11}$ .
Suma: $\textcolor{#2F80D8}{3} + \textcolor{#2F80D8}{(-11)} = \textcolor{#E0453A}{-8}$ ✓
Kontrola geometryczna: $\textcolor{#2F80D8}{3}$ i $\textcolor{#2F80D8}{-11}$ leżą po $7$ jednostek od $\textcolor{#16A06A}{-4}$ ✓ — środek odcinka wypada w $-4$

Odpowiedź: $x_1 + x_2 = -8$ .

Suma zależy wyłącznie od punktu odniesienia, nie od odległości. Gdyby po prawej stronie stała dowolna inna liczba dodatnia, suma nadal wynosiłaby $-8$ .

Przykład 2 Niewiadoma po prawej stronie — jedno odpada

Wskaż liczbę, która spełnia równanie $|3x + 1| = 4x$ .

Po prawej stronie stoi niewiadoma, więc od razu zapisuję warunek: $4x \geq 0$ , czyli $x \geq \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Przypadek pierwszy: $3x + 1 = 4x$ , stąd $1 = x$ , czyli $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Przypadek drugi: $3x + 1 = -4x$ , stąd $7x = -1$ , czyli $x = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{1}{7}}$ .
Sprawdzam warunek dla $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ : $\textcolor{#E0453A}{1} \geq 0$ ✓ — zostaje.
Sprawdzam dla $x = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{1}{7}}$ : liczba jest ujemna, więc warunek $x \geq 0$ nie jest spełniony ✗ — odpada.
Kontrola podstawieniem $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ : lewa $|3 \cdot 1 + 1| = |4| = 4$ , prawa $4 \cdot 1 = 4$ ✓
Kontrola podstawieniem odrzuconego: lewa $\left|3 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)+1\right| = \left|\frac{4}{7}\right| = \frac{4}{7}$ , prawa $-\frac{4}{7}$ — strony różne znakiem ✓ słusznie odrzucone

Odpowiedź: Równanie spełnia tylko $x = 1$ .

Ostatni krok pokazuje, na czym polega odrzucenie: lewa strona wyszła $\frac{4}{7}$ , prawa $-\frac{4}{7}$ . Liczba pasuje do jednego z przypadków, ale nie do wyjściowego równania.

Przykład 3 Niewiadoma po prawej stronie — nic nie odpada

Wskaż liczby, które spełniają równanie $|4x - 5| = x$ .

Warunek: $x \geq \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Przypadek pierwszy: $4x - 5 = x$ , stąd $3x = 5$ , czyli $x = \textcolor{#E0453A}{\frac{5}{3}}$ .
Przypadek drugi: $4x - 5 = -x$ , stąd $5x = 5$ , czyli $x = \textcolor{#2F80D8}{1}$ .
Oba wyniki są dodatnie, więc oba spełniają warunek — żaden nie odpada.
Kontrola dla $x = \textcolor{#E0453A}{\frac{5}{3}}$ : lewa $\left|4 \cdot \frac{5}{3} - 5\right| = \left|\frac{20}{3} - \frac{15}{3}\right| = \frac{5}{3}$ , prawa $\frac{5}{3}$ ✓
Kontrola dla $x = \textcolor{#2F80D8}{1}$ : lewa $|4 - 5| = |-1| = 1$ , prawa $1$ ✓

Odpowiedź: Równanie spełniają dwie liczby: $1$ oraz $\frac{5}{3}$ .

Porównanie z poprzednim przykładem jest tu najważniejsze: warunek nie zawsze coś odrzuca. Nie wolno więc z góry zakładać, że jeden przypadek odpadnie — trzeba sprawdzić oba.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy pojawia się nawet w prostych równaniach.

Podanie tylko jednego rozwiązania

Skąd się bierze: Równanie $|x| = 5$ ma dwa rozwiązania, bo w odległości pięciu jednostek od zera leżą dwa punkty. Zapisanie samego $x = 5$ pomija połowę odpowiedzi.

Jak zrobić dobrze: Zawsze rozpisz oba przypadki: wyrażenie równe $r$ oraz równe $-r$ . Wyjątkiem jest tylko $r = 0$ , gdzie oba przypadki dają tę samą liczbę.

Mylenie znaku przy odczycie punktu odniesienia

Skąd się bierze: W zapisie $|x+4|$ punktem odniesienia jest $-4$ , a nie $4$ , bo $x+4 = x-(-4)$ . Wzięcie czwórki daje sumę rozwiązań $8$ zamiast $-8$ — wynik z odwróconym znakiem.

Jak zrobić dobrze: Przepisz wyrażenie do postaci $|x - a|$ , zanim odczytasz $a$ . Jeśli w środku jest plus, punkt odniesienia jest ujemny.

Pominięcie sprawdzenia, gdy po prawej stronie jest niewiadoma

Skąd się bierze: Rozbicie na przypadki generuje liczby spełniające jedno z równań pomocniczych, ale niekoniecznie wyjściowe. Bez sprawdzenia w odpowiedzi ląduje liczba, dla której prawa strona wychodzi ujemna.

Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz liczyć, zapisz warunek: prawa strona $\geq 0$ . Na końcu skonfrontuj z nim każdy wynik — i pamiętaj, że czasem oba przechodzą.

Rozwiązywanie równania ze sprzeczną prawą stroną

Skąd się bierze: Dla $|3x-1| = -7$ rozbicie na przypadki da dwie liczby, ale żadna nie jest rozwiązaniem — wartość bezwzględna nie może być ujemna. Praca idzie wtedy w całości na marne.

Jak zrobić dobrze: Najpierw spójrz na prawą stronę. Jeśli jest liczbą ujemną, od razu zapisz: równanie nie ma rozwiązań — to pełna i poprawna odpowiedź.

Zadania maturalne — równania z wartością bezwzględną

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Równanie

|W| = c

rozwiązuje się rozbiciem na dwa przypadki:

W = c

albo

W = -c

. Gdy

c

jest liczbą dodatnią, rozwiązania są dokładnie dwa; gdy

c = 0

— jedno; gdy

c < 0

— żadne, bo wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna. Dla równania w postaci

|x - a| = r

warto znać skrót: rozwiązania to

a - r

oraz

a + r

, więc ich suma zawsze wynosi $2a$ (nie zależy od

r

!), a iloczyn —

a^2 - r^2

. Uwaga: ten skrót działa tylko wtedy, gdy po prawej stronie stoi liczba. Jeśli stoi tam wyrażenie z

x

, każde rozwiązanie trzeba wstawić z powrotem do równania i sprawdzić — bo rozbicie na przypadki może wyprodukować liczbę, która oryginalnego równania nie spełnia.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2012)1 pktłatwe

Liczbami spełniającymi równanie

|2x + 3| = 5

są

A. $1$ i $-4$
B. $1$ i $2$
C. $-1$ i $4$
D. $-2$ i $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wartość bezwzględna wyrażenia wynosi $\textcolor{#16A06A}{5}$ dokładnie wtedy, gdy samo wyrażenie jest równe $\textcolor{#16A06A}{5}$ albo $\textcolor{#E0453A}{-5}$ . Stąd dwa przypadki — i to jest cała metoda.
Przypadek pierwszy: $\textcolor{#16A06A}{2x + 3} = \textcolor{#16A06A}{5}$ , czyli $2x = \textcolor{#E0453A}{2}$ , a stąd $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Przypadek drugi: $\textcolor{#16A06A}{2x + 3} = \textcolor{#E0453A}{-5}$ , czyli $2x = \textcolor{#E0453A}{-8}$ , a stąd $x = \textcolor{#E0453A}{-4}$ .
Odpowiedź: A.
Kontrola przez podstawienie — obu liczb, nie jednej. Dla $x = 1$ : $|2 \cdot 1 + 3| = |5| = 5$ ✓. Dla $x = -4$ : $|2 \cdot (-4) + 3| = |-5| = 5$ ✓.
Warto zobaczyć to samo drugim sposobem, przez odległość. Dzieląc równanie przez $2$ , dostajemy $\left|x + \tfrac32\right| = \tfrac52$ , czyli: $x$ jest oddalone od $-\tfrac32$ o $\tfrac52$ . Takie liczby są dwie — $-\tfrac32 - \tfrac52 = -4$ oraz $-\tfrac32 + \tfrac52 = 1$ ✓. Ten sposób od razu pokazuje, dlaczego rozwiązania są zawsze dwa, gdy po prawej stronie stoi liczba dodatnia.

💡 Wskazówka: Nie próbuj „zdejmować” kresek jednym ruchem. Zapisz dwa równania — jedno ze znakiem plus, drugie z minusem po prawej stronie — i rozwiąż każde osobno. Przy prawej stronie będącej liczbą dodatnią zawsze dostaniesz dwie różne liczby.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $-2$ i $2$ — z przekonania, że rozwiązania równania z wartością bezwzględną muszą być liczbami przeciwnymi. Tak jest tylko wtedy, gdy pod kreskami stoi sam $x$ : równanie $|x| = 5$ ma rozwiązania $5$ i $-5$ , ale $|2x+3| = 5$ już nie. Symetria dotyczy wyrażenia w środku, a nie samego $x$ — i dlatego środkiem tej pary jest $-\tfrac32$ , a nie zero. Odpowiedź $C$ to ta sama para co poprawna, tylko z odwróconymi znakami.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktłatwe

Liczby

x_1

x_2

są różnymi rozwiązaniami równania

|x + 4| = 7

. Suma

x_1 + x_2

jest równa

A. $(-14)$
B. $(-8)$
C. $3$
D. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ten sam schemat co poprzednio, tylko pytanie dotyczy nie samych rozwiązań, lecz ich sumy.
Przypadek pierwszy: $\textcolor{#16A06A}{x + 4} = \textcolor{#16A06A}{7}$ , czyli $x_1 = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Przypadek drugi: $\textcolor{#16A06A}{x + 4} = \textcolor{#E0453A}{-7}$ , czyli $x_2 = \textcolor{#E0453A}{-11}$ .
$x_1 + x_2 = \textcolor{#E0453A}{3} + (\textcolor{#E0453A}{-11}) = \textcolor{#E0453A}{-8}$
Odpowiedź: B.
Kontrola podstawieniem: $|3 + 4| = 7$ ✓ oraz $|-11 + 4| = |-7| = 7$ ✓.
Skrót, który warto znać. Równanie $|x + 4| = 7$ można zapisać jako $|x - (\textcolor{#16A06A}{-4})| = \textcolor{#16A06A}{7}$ , czyli: $x$ jest oddalone od $\textcolor{#16A06A}{-4}$ o $\textcolor{#16A06A}{7}$ . Rozwiązania leżą więc symetrycznie po obu stronach liczby $-4$ , a suma dwóch liczb symetrycznych względem $a$ wynosi po prostu $2a$ . Tutaj $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-4}) = \textcolor{#E0453A}{-8}$ ✓ — bez wyznaczania $x_1$ i $x_2$ w ogóle.
Zwróć uwagę, że w tym skrócie liczba $7$ się nie pojawia. Suma rozwiązań nie zależy od prawej strony równania: dla $|x+4| = 100$ też wyszłoby $-8$ . To dobra kontrola sensu — jeśli twój wynik zależy od siódemki, to znaczy, że gdzieś ją niepotrzebnie dodałeś.

💡 Wskazówka: Gdy pytanie dotyczy sumy rozwiązań równania $|x - a| = r$ , nie licz ich osobno: suma to zawsze $2a$ . Wystarczy odczytać $a$ — czyli liczbę, od której mierzona jest odległość. Uwaga na znak: w zapisie $|x + 4|$ tą liczbą jest $-4$ , a nie $4$ .

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $8$ — z odczytania $a = 4$ zamiast $a = -4$ , czyli z pominięcia tego, że $|x+4|$ to $|x - (-4)|$ . Odpowiedź $A$ , czyli $-14$ , to $-2 \cdot 7$ — zastosowanie wzoru $2a$ do prawej strony równania zamiast do lewej. Odpowiedź $C$ , czyli $3$ , to samo pierwsze rozwiązanie: zatrzymanie się po pierwszym przypadku, mimo że treść wyraźnie mówi o dwóch różnych rozwiązaniach.

Zadanie 3 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Liczby

x_1

x_2

są różnymi rozwiązaniami równania

|x - 6| = 4

. Iloczyn

x_1 \cdot x_2

jest równy

A. $4$
B. $20$
C. $24$
D. $100$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Znowu dwa przypadki, tym razem pytanie o iloczyn.
Przypadek pierwszy: $\textcolor{#16A06A}{x - 6} = \textcolor{#16A06A}{4}$ , czyli $x_1 = \textcolor{#E0453A}{10}$ .
Przypadek drugi: $\textcolor{#16A06A}{x - 6} = \textcolor{#E0453A}{-4}$ , czyli $x_2 = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
$x_1 \cdot x_2 = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{20}$
Odpowiedź: B.
Kontrola podstawieniem: $|10 - 6| = 4$ ✓ oraz $|2 - 6| = |-4| = 4$ ✓.
Skrót, tym razem dla iloczynu. Rozwiązania to $\textcolor{#16A06A}{6} - \textcolor{#16A06A}{4}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{4}$ , więc ich iloczyn to $(6-4)(6+4)$ — a to jest wzór skróconego mnożenia: $\textcolor{#16A06A}{6}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2 = 36 - 16 = \textcolor{#E0453A}{20}$ ✓. Ogólnie dla $|x-a| = r$ iloczyn rozwiązań wynosi $a^2 - r^2$ .
Ten skrót bywa szybszy od wypisywania rozwiązań, ale jego prawdziwa wartość jest inna: pokazuje, że iloczyn może być ujemny. Gdyby $r$ było większe od $a$ — na przykład w $|x-6| = 10$ — rozwiązania byłyby $-4$ i $16$ , a iloczyn wyszedłby $36 - 100 = -64$ .

💡 Wskazówka: Rozwiązania równania $|x-a| = r$ to $a-r$ i $a+r$ , więc ich iloczyn to $(a-r)(a+r) = a^2 - r^2$ . Zamiast mnożyć dwie liczby, odejmujesz dwa kwadraty — przy większych liczbach to zauważalna różnica. Ale najpierw upewnij się, że po prawej stronie stoi liczba, a nie wyrażenie z $x$ .

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $24$ — z pomnożenia przez siebie liczb z równania ( $6 \cdot 4$ ) zamiast rozwiązań. Odpowiedź $D$ , czyli $100$ , to $10^2$ — znalezienie tylko pierwszego rozwiązania i pomnożenie go przez samo siebie, mimo że treść mówi o dwóch różnych liczbach. Odpowiedź $A$ to po prostu przepisana prawa strona równania.

Zadanie 4 (maj 2012)1 pktśrednie

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

|3x + 1| = 4x

A. $x = -1$
B. $x = 1$
C. $x = 2$
D. $x = -2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tu zmienia się jedna rzecz i zmienia wszystko: po prawej stronie nie stoi liczba, tylko $\textcolor{#16A06A}{4x}$ . Skróty z poprzednich zadań przestają działać.
Zanim cokolwiek policzysz, wykorzystaj to, co zawsze jest prawdą o wartości bezwzględnej: nigdy nie jest ujemna. Skoro lewa strona jest nieujemna, to prawa też musi być: $\textcolor{#16A06A}{4x} \geqslant 0$ , czyli $x \geqslant \textcolor{#E0453A}{0}$ .
To od razu wyklucza odpowiedzi $A$ i $D$ — obie są ujemne — i to bez żadnego rachunku.
Zostają dwie liczby do sprawdzenia. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ : lewa strona $|3 \cdot 1 + 1| = \textcolor{#E0453A}{4}$ , prawa $4 \cdot 1 = \textcolor{#E0453A}{4}$ . Równe ✓
Dla $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ : lewa strona $|3 \cdot 2 + 1| = \textcolor{#E0453A}{7}$ , prawa $4 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{8}$ . Różne ✗
Odpowiedź: B.
Kontrola pełnym rozwiązaniem, żeby zobaczyć, co się dzieje z drugim przypadkiem. Rozbicie daje $3x+1 = 4x$ , czyli $x = 1$ , oraz $3x+1 = -4x$ , czyli $7x = -1$ , czyli $x = -\tfrac17$ . Ale ta druga liczba jest ujemna, a prawa strona musi być nieujemna — podstawienie potwierdza: $\left|3 \cdot \left(-\tfrac17\right) + 1\right| = \tfrac47$ , a $4 \cdot \left(-\tfrac17\right) = -\tfrac47$ . To nie jest to samo. Drugi przypadek odpada, więc równanie ma tylko jedno rozwiązanie.

💡 Wskazówka: Gdy po prawej stronie równania stoi wyrażenie z niewiadomą, zacznij od warunku $\text{prawa strona} \geqslant 0$ . Bardzo często odsiewa on połowę odpowiedzi zanim zaczniesz liczyć. A przy zadaniu zamkniętym najszybciej i tak jest podstawiać: cztery podstawienia to cztery rachunki, a pełne rozwiązanie to dwa przypadki plus sprawdzanie każdego z osobna.

⚠ Rozbicie na przypadki i podanie obu wyników bez sprawdzenia. Drugi przypadek daje $x = -\tfrac17$ — liczbę, która nie spełnia wyjściowego równania, mimo że wyszła z poprawnie przeprowadzonego rachunku. To nie jest błąd rachunkowy: rozbicie na przypadki potrafi wyprodukować rozwiązanie pozorne i dlatego przy niewiadomej po prawej stronie sprawdzenie nie jest ozdobnikiem, tylko częścią metody. W zadaniu otwartym pominięcie go kosztuje punkt.

Zadanie 5 (czerwiec 2011)1 pkttrudniejsze

Wskaż liczbę, która spełnia równanie

|4x - 5| = x

A. $x = -1$
B. $x = 1$
C. $x = 2$
D. $x = -2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Znowu niewiadoma po prawej stronie, więc znowu zaczynamy od warunku znaku: prawa strona to $\textcolor{#16A06A}{x}$ , a lewa jest nieujemna, więc musi być $x \geqslant \textcolor{#E0453A}{0}$ . Odpowiedzi $A$ i $D$ odpadają natychmiast.
Dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ : lewa strona $|4 \cdot 1 - 5| = |-1| = \textcolor{#E0453A}{1}$ , prawa $\textcolor{#E0453A}{1}$ . Równe ✓
Dla $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ : lewa strona $|4 \cdot 2 - 5| = \textcolor{#E0453A}{3}$ , prawa $\textcolor{#E0453A}{2}$ . Różne ✗
Odpowiedź: B.
Kontrola pełnym rozwiązaniem — i tu jest różnica względem poprzedniego zadania. Rozbicie daje $4x - 5 = x$ , czyli $3x = 5$ , czyli $x = \tfrac53$ , oraz $-(4x-5) = x$ , czyli $5 = 5x$ , czyli $x = 1$ . Obie liczby są dodatnie i obie sprawdzają się w równaniu: $\left|4 \cdot \tfrac53 - 5\right| = \left|\tfrac53\right| = \tfrac53$ ✓. To równanie ma więc dwa rozwiązania.
Dlatego treść pyta „wskaż liczbę, która spełnia”, a nie „wskaż wszystkie rozwiązania”. Wśród odpowiedzi jest tylko jedno z dwóch rozwiązań — i to wystarczy, żeby zadanie miało jednoznaczną odpowiedź. Warto zauważyć, jak inaczej wygląda to samo pytanie w poprzednim zadaniu: tam drugi przypadek dawał liczbę pozorną, tutaj daje prawdziwe drugie rozwiązanie, którego po prostu nie ma na liście.

💡 Wskazówka: Czytaj polecenie dosłownie. „Wskaż liczbę, która spełnia równanie” nie znaczy „podaj wszystkie rozwiązania” — wystarczy sprawdzić podane cztery i wybrać tę, która przechodzi. Nie trzeba rozwiązywać równania, a przy niewiadomej po obu stronach jest to zauważalnie szybsze.

⚠ Odrzucenie odpowiedzi $B$ dlatego, że pełne rozwiązanie daje dwie liczby, a tylko jedna jest na liście — i szukanie w związku z tym błędu tam, gdzie go nie ma. Drugi błąd to pominięcie warunku $x \geqslant 0$ i mozolne sprawdzanie wszystkich czterech odpowiedzi, w tym dwóch ujemnych: dla $x = -1$ lewa strona wynosi $9$ , a prawa $-1$ , co widać od razu, jeśli tylko spojrzeć na znaki.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A

2. B

3. B

4. B

5. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Ile rozwiązań ma równanie z wartością bezwzględną?

Zależy od prawej strony. Gdy stoi tam liczba dodatnia, rozwiązania są dwa, gdy zero — dokładnie jedno, a gdy liczba ujemna, równanie nie ma rozwiązań, bo odległość nigdy nie jest ujemna.

Jak rozwiązać równanie typu |x + 4| = 5?

Trzeba rozbić je na dwa równania: wyrażenie w kreskach równe pięć oraz równe minus pięć. Każde rozwiązuje się osobno, a obie otrzymane liczby są rozwiązaniami wyjściowego równania.

Jak obliczyć sumę rozwiązań bez ich wyznaczania?

Dla równania $|x-a| = r$ suma wynosi $2a$ , niezależnie od $r$ . Rozwiązania leżą symetrycznie po obu stronach punktu $a$ , więc ich średnia jest równa $a$ .

Kiedy trzeba sprawdzać otrzymane rozwiązania?

Zawsze wtedy, gdy po prawej stronie stoi wyrażenie z niewiadomą. Prawa strona musi być nieujemna, więc rozwiązanie dające wartość ujemną trzeba odrzucić mimo poprawnego rachunku.

Czy zawsze któryś przypadek odpada?

Nie. W równaniu $|4x-5| = x$ oba rozwiązania, jedynka i pięć trzecich, są dodatnie i oba spełniają równanie. Sprawdzenie wykonuje się po to, żeby to rozstrzygnąć, a nie żeby coś skreślić.

Co oznacza zapis |x - 6| = 4 na osi liczbowej?

Że odległość liczby $x$ od szóstki wynosi cztery jednostki. Odmierzając cztery w prawo i cztery w lewo od szóstki, otrzymujemy dziesiątkę i dwójkę — dwa rozwiązania równania.

Czytaj dalej

Wartość bezwzględnaDefinicja, własności i odległość między liczbami Nierówności linioweRozwiązywanie równań pomocniczych z każdego przypadku Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów we wzorze na iloczyn rozwiązań Oś liczbowaOdczyt geometryczny, na którym opiera się cała metoda

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.