Strona główna › Liczby i działania

Liczby i działania — od czego zacząć

To jest dział, na którym stoi cała reszta matematyki w podstawówce. Ułamki, procenty, geometria — wszystko wraca do czterech działań i do tego, czy dziecko umie je wykonać bez zastanawiania się nad techniką. Ta strona jest przewodnikiem: co jest w dziale, w jakiej kolejności to opanować i dlaczego akurat w takiej.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–8Zadań z E8: 9

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

Gdy cztery działania pisemne są już omówione, warto je utrwalić — karty pracy z działaniami pisemnymi do druku zbierają dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie w jednym komplecie.

1Cztery działania pisemne

Algorytmy w słupku to pierwsze narzędzie, którego dziecko używa automatycznie — i to jest ich cały sens. Każdy z czterech ma inny punkt trudny:

działanieco w nim sprawia kłopotstrona
dodawanieprzeniesienie do następnej kolumnywchodzi razem z odejmowaniem
odejmowaniepożyczanie, zwłaszcza przez zeraodejmowanie pisemne
mnożenieprzesuwanie wierszy przy mnożniku wielocyfrowymmnożenie pisemne
dzielenienajdłuższy algorytm — szacowanie ilorazu krok po krokudzielenie pisemne

Wszystkie cztery opierają się na jednej zasadzie zapisu: cyfry tego samego rzędu stoją w jednej kolumnie. Jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Kto to rozumie, nie musi pamiętać czterech osobnych schematów — pamięta jeden i cztery warianty tego, co się dzieje między kolumnami.

Zanim jednak dziecko wejdzie w słupki, potrzebuje tabliczki mnożenia — bez niej mnożenie i dzielenie pisemne zamieniają się w liczenie na palcach w każdym kroku. Ile z niej naprawdę trzeba zapamiętać, tłumaczy strona o tabliczce.

Od liczb i działań zaczyna się właściwie wszystko inne. Dalszą drogę rozpisałem w spisie działów matematyki.

2Kolejność działań — reguła, która porządkuje resztę

Gdy w jednym wyrażeniu stoi kilka działań, wynik zależy od tego, co policzymy najpierw. Bez wspólnej reguły to samo wyrażenie dawałoby różne wyniki u różnych osób — i dlatego reguła jest jedna, umowna i obowiązująca wszystkich.

  1. nawiasy,
  2. potęgowanie,
  3. mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej,
  4. dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej.

Najczęściej mylone są punkty trzeci i czwarty: mnożenie i dzielenie mają równy priorytet, więc liczy się je po kolei od lewej, a nie „najpierw wszystkie mnożenia”. Szczegóły i przykłady na stronie o kolejności wykonywania działań.

Ta reguła wraca potem wszędzie — w wyrażeniach algebraicznych, równaniach i na egzaminie. Warto ją opanować wcześnie, bo później nikt już do niej nie wraca, a błędy z niej wynikające wyglądają jak błędy rachunkowe.

Kolejność wykonywania działań: nawiasy, potęgowanie, mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej; 12 : 3 · 2 = 8, a nie 2
Kolejność działań w czterech krokach

3Rodzaje liczb

Przez podstawówkę zbiór liczb, którymi dziecko dysponuje, stopniowo się powiększa — i za każdym razem trzeba na nowo sprawdzić, czy stare reguły dalej działają.

kiedyco dochodzico się zmienia
klasy 1–3liczby naturalnecztery działania na tym, co da się policzyć na palcach
klasy 4–5ułamki zwykłe i dziesiętnedzielenie wykonalne poza dzieleniem przez zero; mnożenie może zmniejszać
klasa 6liczby całkowite — dochodzą ujemneodejmowanie zawsze wykonalne; dwie różne reguły znaków
klasy 7–8liczby niewymierne, np. 2\sqrt{2}nie każdą liczbę da się zapisać ułamkiem

Każde rozszerzenie ma ten sam powód: poprzedni zbiór był za mały, żeby wykonać jakieś działanie. W liczbach naturalnych nie da się policzyć 3−53 - 5, więc dochodzą ujemne. Bez ułamków nie da się podzielić 33 przez 44. To nie są kaprysy programu — to odpowiedzi na konkretne braki.

Warto też wiedzieć, że zapis nie decyduje o rodzaju liczby. 63\frac{6}{3} wygląda na ułamek, a jest liczbą naturalną, bo równa się 22. Liczy się wartość.

Rozszerzenia z tabeli mówią, jakie liczby wolno wpisać. Osobną sprawą jest, jak zapisać całą ich grupę naraz.

W liceum dochodzi jeszcze jeden zapis, którym opisuje się całe fragmenty osi zamiast pojedynczych liczb — przedziały liczbowe. To nimi podaje się potem dziedziny funkcji i zbiory rozwiązań nierówności.

Przedział jest szczególnym przypadkiem zbioru i podlega tym samym trzem działaniom: sumie, części wspólnej i różnicy. Uwaga: samych zbiorów podstawa programowa nie wymaga — potrzebny jest wyłącznie zapis.

Rodzaje liczb w szkole podstawowej: liczby naturalne w klasach 1–3, ułamki w klasach 4–5, liczby całkowite w klasie 6, liczby niewymierne w klasach 7–8
Jak rośnie zbiór liczb od klasy 1 do klasy 8

4Podzielność

Podzielność wygląda na temat poboczny, a jest narzędziem do wszystkiego, co dalej: skracania ułamków, sprowadzania do wspólnego mianownika, rozkładu na czynniki.

Podzielność wraca też w liceum jako temat dowodowy: podstawa wymaga przeprowadzania prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia. Technikę zapisu — liczby parzyste jako 2k2k, kolejne jako nn, n+1n+1 — opisuję przy dowodach algebraicznych.

Zamiast dzielić i sprawdzać resztę, można spojrzeć na liczbę i od razu wiedzieć — służą do tego cechy podzielności. Trzy najważniejsze załatwiają większość przypadków ze szkoły podstawowej:

Trzecia jest najmniej oczywista i najbardziej przydatna: żeby sprawdzić, czy 438438 dzieli się przez 33, nie trzeba nic dzielić — wystarczy 4+3+8=154 + 3 + 8 = 15, a 1515 dzieli się przez 33 ✓

Na podzielności stoją dwa pojęcia, które wracają przy ułamkach: NWD (największy wspólny dzielnik) przy skracaniu i NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika.

5W jakiej kolejności to opanować

Kolejność nie jest dowolna — każdy krok korzysta z poprzedniego.

  1. Tabliczka mnożenia. Bez niej wszystko dalej idzie wolniej i z błędami.
  2. Dodawanie i odejmowanie pisemne. Wprowadzają zasadę kolumn i przenoszenia.
  3. Mnożenie pisemne. Korzysta z tabliczki i z zasady kolumn naraz.
  4. Dzielenie pisemne. Najtrudniejsze, bo w każdym kroku wymaga szacowania — i sprawdzania mnożeniem.
  5. Kolejność działań. Ma sens dopiero wtedy, gdy pojedyncze działania nie sprawiają już kłopotu.
  6. Podzielność i rodzaje liczb. Otwierają drogę do ułamków.

Najczęstszy błąd w planowaniu nauki to przeskoczenie punktu pierwszego. Dziecko, które liczy 7⋅87 \cdot 8 na palcach, przy dzieleniu pisemnym zużywa całą uwagę na tabliczkę i nie ma jej już na sam algorytm. Wygląda to na problem z dzieleniem, a jest problemem z mnożeniem.

Gdy ten dział jest opanowany, naturalnym następnym krokiem są ułamki — bo one nie wprowadzają nowych działań, tylko te same cztery na nowym rodzaju liczb.

6Wszystkie tematy w tym dziale

Trzydzieści trzy strony. To fundament, do którego wraca się przez całą naukę — dlatego jest rozpisany najdrobniej. Kafelki prowadzą od pojęcia liczby, przez rachunki i podzielność, po zbiory i logikę. Trzon to szkoła podstawowa, ale kilka stron sięga liceum — poziom jest podany na każdej z nich.

Rodzaje liczb

Działania i ich kolejność

Rachunki pisemne

Podzielność

Pierwiastki i porównywanie

Jednostki

Zbiory i przedziały

Logika i zapis

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady pokazujące, jak elementy działu współpracują: kolejność działań, podzielność jako skrót i cztery algorytmy w jednym zadaniu.

Przykład 1 Kolejność działań w jednym wyrażeniu

Oblicz 120−4⋅(15+3):6120 - 4 \cdot (15 + 3) : 6.

  1. Najpierw nawias: 15+3=1815 + 3 = 18. Zostaje 120−4⋅18:6120 - 4 \cdot 18 : 6.
  2. Teraz mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej, bo mają równy priorytet. Najpierw 4⋅18=724 \cdot 18 = 72.
  3. Potem dzielenie: 72:6=1272 : 6 = 12. Zostaje 120−12120 - 12.
  4. Na końcu odejmowanie: 120−12=108120 - 12 = 108.
  5. Kontrola kolejnością: gdyby ktoś policzył najpierw 18:6=318 : 6 = 3, a potem 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 — wyszłoby to samo. I nie jest to przypadek: gdy mnożenie stoi przed dzieleniem, zamiana kolejności nigdy nie zmienia wyniku, bo dzielenie przez 66 to mnożenie przez 16\frac{1}{6}, a mnożenie jest przemienne. Niebezpieczny jest układ odwrotny — dzielenie przed mnożeniem.
  6. Kontrola sensu: odejmujemy od 120120 liczbę rzędu kilkunastu, więc wynik musi być nieco poniżej 120120 ✓

Odpowiedź: 120−4⋅(15+3):6=108120 - 4 \cdot (15 + 3) : 6 = 108

Piąty krok jest ostrzeżeniem, nie zachętą. Tutaj wolno było zamienić kolejność, bo mnożenie stało przed dzieleniem — ale w 100:5⋅2100 : 5 \cdot 2 jest odwrotnie i wychodzi inaczej: od lewej 4040, a „najpierw mnożenie” 1010. Ponieważ na oko obu układów nie sposób odróżnić w pośpiechu, reguła od lewej do prawej nie jest do negocjacji.

Przykład 2 Podzielność zamiast dzielenia

Czy liczba 28142814 dzieli się przez 22, przez 33, przez 55? Skróć ułamek 28146\frac{2814}{6}, jeśli się da.

  1. Przez 22: ostatnia cyfra to 44, czyli parzysta — tak, dzieli się.
  2. Przez 55: ostatnia cyfra to 44, a nie 00 ani 55 — nie dzieli się.
  3. Przez 33: sumuję cyfry: 2+8+1+4=152 + 8 + 1 + 4 = 15. Piętnastka dzieli się przez 33, więc 28142814 też ✓
  4. Skoro liczba dzieli się i przez 22, i przez 33, to dzieli się przez 66 — bo 6=2⋅36 = 2 \cdot 3, a dwójka i trójka nie mają wspólnego dzielnika większego od 11.
  5. Zatem 28146\frac{2814}{6} jest liczbą całkowitą. Liczę dzieleniem pisemnym: 2814:6=4692814 : 6 = 469.
  6. Kontrola mnożeniem: 469⋅6=2814469 \cdot 6 = 2814 ✓

Odpowiedź: 28142814 dzieli się przez 22 i przez 33 (więc i przez 66), nie dzieli się przez 55. 28146=469\frac{2814}{6} = 469.

Krok czwarty jest tym, po co w ogóle są cechy podzielności: wiedzieliśmy, że dzielenie wyjdzie bez reszty, zanim je wykonaliśmy. Uwaga na warunek — z podzielności przez 22 i przez 44 nie wynika podzielność przez 88, bo dwójka i czwórka mają wspólny dzielnik.

Przykład 3 Zadanie z treścią — trzy działania po kolei

Szkoła zamówiła 2424 pudełka kredek po 1818 sztuk. Rozdano je po równo do 88 klas, a 1616 kredek zostało w magazynie. Ile kredek dostała każda klasa?

  1. Najpierw ile kredek w ogóle: 24⋅1824 \cdot 18. Mnożę pisemnie: 24⋅18=43224 \cdot 18 = 432.
  2. Odejmuję to, co zostało w magazynie: 432−16=416432 - 16 = 416 kredek do rozdania.
  3. Dzielę po równo na 88 klas: 416:8=52416 : 8 = 52.
  4. Każda klasa dostała 5252 kredki.
  5. Kontrola od końca: 52⋅8=41652 \cdot 8 = 416, plus 1616 z magazynu daje 432432, a 432:18=24432 : 18 = 24 pudełka ✓ Wszystko się domyka.
  6. Kontrola sensu: 432432 kredki na 88 klas to dokładnie 5454 na klasę, a po odjęciu magazynu musi wyjść trochę mniej — 5252 pasuje ✓

Odpowiedź: Każda klasa dostała 5252 kredki.

Zadanie używa trzech z czterech algorytmów po kolei i to jest typowe: w praktyce działania nie występują pojedynczo. Kontrola od końca — przejście całej drogi w odwrotną stronę — jest tu mocniejsza niż samo sprawdzenie ostatniego dzielenia.

8Najczęstsze błędy

Błędy w tym dziale rzadko biorą się z samych rachunków — częściej z pomijania kroków albo z reguł zapamiętanych bez warunku.

Uczenie się algorytmów przed tabliczką mnożenia

Skąd się bierze: Dzielenie pisemne wymaga w każdym kroku oszacowania ilorazu, a to znaczy kilkanaście przywołań tabliczki na jedno zadanie. Dziecko, które ich nie ma w pamięci, zużywa całą uwagę na mnożenie i gubi się w samym algorytmie. Wygląda to na kłopot z dzieleniem, a jest kłopotem z tabliczką — i dlatego ćwiczenie dzielenia niczego nie naprawia.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź to wprost: podaj kilka iloczynów z zakresu 6⋅76 \cdot 7 – 8⋅98 \cdot 9 i zmierz, czy odpowiedź przychodzi od razu, czy po chwili liczenia. Jeśli po chwili — wróć do tabliczki, zanim wrócisz do słupków.

„Najpierw wszystkie mnożenia, potem wszystkie dzielenia”

Skąd się bierze: Reguła kolejności wymienia mnożenie przed dzieleniem, więc łatwo odczytać ją jako priorytet. Tymczasem mają równy priorytet i liczy się je od lewej do prawej. W 100:5⋅2100 : 5 \cdot 2 poprawnie jest 20⋅2=4020 \cdot 2 = 40, a nie 100:10=10\textcolor{#9b1c14}{100 : 10 = 10} — różnica czterokrotna.

Jak zrobić dobrze: Czytaj tę parę jako jeden poziom, nie dwa: „mnożenie i dzielenie — po kolei od lewej”. Tak samo dodawanie i odejmowanie. Cztery poziomy priorytetu, nie sześć.

Przenoszenie cech podzielności na liczby złożone bez warunku

Skąd się bierze: Z tego, że liczba dzieli się przez 22 i przez 33, wynika podzielność przez 66 — i uczeń uogólnia to na wszystkie pary. Tymczasem dzieli się przez 2 i 4⇒dzieli się przez 8\textcolor{#9b1c14}{\text{dzieli się przez } 2 \text{ i } 4 \Rightarrow \text{dzieli się przez } 8} jest fałszem: liczba 1212 dzieli się przez 22 i przez 44, ale nie przez 88. Warunek brzmi: czynniki nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego od 11.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj warunek za każdym razem. 22 i 33 nie mają wspólnego dzielnika, więc reguła działa. 22 i 44 mają wspólną dwójkę, więc nie działa. Przy wątpliwości wystarczy jeden kontrprzykład — tu wystarczyła dwunastka.

Sprawdzanie wyniku tym samym rachunkiem, który się wykonało

Skąd się bierze: Przeliczenie tego samego działania drugi raz powtarza zwykle ten sam błąd — bo powtarza tę samą drogę myślenia. Sprawdzenie ma wartość tylko wtedy, gdy idzie inną drogą.

Jak zrobić dobrze: Używaj działania odwrotnego: odejmowanie sprawdzaj dodawaniem, dzielenie mnożeniem. Do tego szacowanie na zaokrąglonych liczbach — wyłapuje przesunięty przecinek albo zgubione zero, czyli błędy, których działanie odwrotne czasem nie widzi.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zestaw mieszany

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

To zestaw z różnych działów, więc kolor za każdym razem pokazuje to samo w innym przebraniu: zielona to wielkość, od której zaczynamy (podstawa porównania, wartość wyjściowa), a czerwona to przelicznik albo druga wielkość, z którą ją zestawiamy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Dostaniesz 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Tyle właśnie liczy cała pula, więc rozwiążesz każde z nich.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby:   x=5,27⋅10−3\;x = 5{,}27 \cdot 10^{-3},   y=0,0023\;y = 0{,}0023,   z=1400⋅10−5\;z = 1400 \cdot 10^{-5}. Uporządkowano je od najmniejszej do największej. Który zapis przedstawia poprawne uporządkowanie?
  • A. x<y<zx < y < z
  • B. y<x<zy < x < z
  • C. z<y<xz < y < x
  • D. x<z<yx < z < y
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Żeby porównać liczby, sprowadzamy je wszystkie do zwykłego zapisu dziesiętnego.
  2. x=5,27⋅10−3x = 5{,}27 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-3}} — przesuwamy przecinek o 3\textcolor{#E0453A}{3} miejsca w lewo: x=0,00527x = \textcolor{#16A06A}{0{,}00527}.
  3. y=0,0023y = \textcolor{#16A06A}{0{,}0023} — już jest w zapisie dziesiętnym.
  4. z=1400⋅10−5z = 1400 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-5}} — przesuwamy przecinek o 5\textcolor{#E0453A}{5} miejsc w lewo: z=0,014z = \textcolor{#16A06A}{0{,}014}.
  5. Porównujemy: 0,0023<0,00527<0,014\textcolor{#16A06A}{0{,}0023} < \textcolor{#16A06A}{0{,}00527} < \textcolor{#16A06A}{0{,}014}, czyli y<x<zy < x < z.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc: 0,002300{,}00230, 0,005270{,}00527, 0,014000{,}01400. Wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie po liczbach przed potęgą (1400 > 5,27 > 0,0023), z pominięciem wykładników. Ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą, a im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejsza liczba.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane jest równanie   5+1−x2=2(x−1)\;5 + \dfrac{1 - x}{2} = 2(x - 1). Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem tego równania jest liczba
  • A. 22
  • B. 2122\dfrac{1}{2}
  • C. 33
  • D. 4134\dfrac{1}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw pozbywamy się ułamka — mnożymy całe równanie przez 2\textcolor{#E0453A}{2}:
  2. 2⋅5+(1−x)=2⋅2(x−1)\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 5 + (1 - x) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot 2(x - 1), czyli 10+1−x=4(x−1)10 + 1 - x = 4(x - 1).
  3. Porządkujemy lewą stronę i opuszczamy nawias po prawej: 11−x=4x−411 - \textcolor{#16A06A}{x} = 4\textcolor{#16A06A}{x} - 4.
  4. Przenosimy niewiadome na prawo, liczby na lewo: 11+4=4x+x11 + 4 = 4\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x}, czyli 15=5x15 = 5\textcolor{#16A06A}{x}.
  5. Stąd x=3\textcolor{#16A06A}{x} = 3 — odpowiedź C.
  6. Sprawdzenie: lewa strona 5+1−32=5−1=45 + \dfrac{1-3}{2} = 5 - 1 = 4; prawa 2(3−1)=42(3-1) = 4 ✓

💡 Wskazówka: Mnożąc równanie przez liczbę, pamiętaj o każdym składniku po obu stronach — także o tych bez ułamka. Tu piątka też musi zostać pomnożona przez 2.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przez 2 tylko ułamka, a pominięcie piątki i prawej strony. Zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie — zajmuje kilkanaście sekund.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Fragment etykiety opakowania śmietany — wartość odżywcza w 100 g produktu:
tłuszcz18 g
węglowodany4 g
białko3 g
sól0,15 g
Uzupełnij zdania.
W opakowaniu zawierającym 200 g tej śmietany jest AB dag białka.
  • A. 0,60{,}6
  • B. 0,060{,}06
Masa tłuszczu w dowolnej porcji tej śmietany jest CD razy większa od masy soli.
  • C. 1212
  • D. 120120
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

  1. Pierwsze zdanie. W 100 g jest 3\textcolor{#16A06A}{3} g białka, więc w 200 g (dwa razy więcej) jest 3⋅2=6\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 6 g.
  2. Teraz zamiana jednostek: 1 dag = 10 g, więc 66 g =6:10=0,6= 6 : 10 = 0{,}6 dag — odpowiedź A.
  3. Drugie zdanie. Stosunek tłuszczu do soli jest taki sam w każdej porcji, bo obie masy rosną proporcjonalnie. Wystarczy więc policzyć go dla 100 g.
  4. 180,15=180015=120\dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}15}} = \dfrac{1800}{15} = 120 — odpowiedź D.
  5. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 100: 180,15=180015\tfrac{18}{0{,}15} = \tfrac{1800}{15}. Rachunek robi się wtedy na liczbach całkowitych.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: dzielenie przez 100 zamiast przez 10 (wychodzi 0,06 — kusząca odpowiedź B). Dekagram to 10 gramów, nie 100.

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Adam zapisał w przypadkowej kolejności temperatury odnotowane pewnego zimowego dnia w Zakopanem, w Wiśle, w Karpaczu i w Szklarskiej Porębie. Zapisane wartości to:   −8°C\;-8°C,   −5°C\;-5°C,   −3°C\;-3°C,   −2°C\;-2°C.
Temperatura w Karpaczu była o 6°C6°C wyższa niż w Szklarskiej Porębie, a w Wiśle była niższa niż w Zakopanem. Dokończ zdanie.
Temperaturę −5°-5° zanotowano w
  • A. Szklarskiej Porębie.
  • B. Zakopanem.
  • C. Karpaczu.
  • D. Wiśle.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Zaczynamy od warunku, który daje konkretną liczbę — różnicę 6°C6°C między Karpaczem a Szklarską Porębą.
  2. Szukamy wśród podanych temperatur pary różniącej się dokładnie o 6: −8\textcolor{#16A06A}{-8} i −2\textcolor{#16A06A}{-2}, bo −2−(−8)=6\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = 6 ✓
  3. Karpacz jest cieplejszy, więc Karpacz =−2°C= \textcolor{#16A06A}{-2}°C, a Szklarska Poręba =−8°C= \textcolor{#16A06A}{-8}°C.
  4. Zostają dwie temperatury: −5\textcolor{#E0453A}{-5} i −3\textcolor{#E0453A}{-3} — dla Wisły i Zakopanego.
  5. Wisła była chłodniejsza niż Zakopane, a −5<−3\textcolor{#E0453A}{-5} < \textcolor{#E0453A}{-3}, więc Wisła =−5°C= \textcolor{#E0453A}{-5}°C, Zakopane =−3°C= \textcolor{#E0453A}{-3}°C.
  6. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zacznij od najbardziej „sztywnego” warunku — takiego, który jednoznacznie wskazuje parę liczb. Reszta zwykle układa się sama.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie temperatur ujemnych jak dodatnich — uznanie, że −5-5 jest „większe” od −3-3, bo 5>35 > 3. Im dalej od zera w stronę minusa, tym zimniej.

Zadanie 5 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Dane są cztery liczby:
I. −9,25-9{,}25  ·  II. −1,25-1{,}25  ·  III. 1,251{,}25  ·  IV. 9,259{,}25
Do której z liczb I–IV należy dodać liczbę (−4)(-4), aby otrzymać liczbę (−5,25)(-5{,}25)?
  • A. I
  • B. II
  • C. III
  • D. IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Szukamy liczby a\textcolor{#16A06A}{a}, dla której a+(−4)=−5,25\textcolor{#16A06A}{a} + (\textcolor{#E0453A}{-4}) = -5{,}25.
  2. Przenosimy czwórkę na drugą stronę — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  3. a=−5,25+4=−1,25\textcolor{#16A06A}{a} = -5{,}25 + \textcolor{#E0453A}{4} = -1{,}25.
  4. To liczba II — odpowiedź B.
  5. Sprawdzenie: −1,25+(−4)=−5,25-1{,}25 + (-4) = -5{,}25 ✓

💡 Wskazówka: Kontrola bez rachunków: dodajemy liczbę ujemną, więc wynik musi być mniejszy od szukanej liczby. Skoro wynik to −5,25-5{,}25, szukana liczba jest od niego większa — to od razu skreśla odpowiedź I.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 4 zamiast dodania przy przenoszeniu na drugą stronę (wychodzi −9,25-9{,}25, czyli kusząca odpowiedź A).

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Działka ma powierzchnię 200 arów. Warzywa zajmują 130 arów, jabłonie rosną na 15\dfrac{1}{5} pozostałej części działki, a resztę zajmują śliwy. Dokończ zdanie.
Śliwy zajmują powierzchnię
  • A. 1414 arów.
  • B. 3030 arów.
  • C. 5656 arów.
  • D. 7070 arów.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — co zostaje po warzywach? 200−130=70200 - 130 = \textcolor{#16A06A}{70} arów.
  2. Krok 2 — jabłonie. To 15\tfrac15 pozostałej części, czyli 15\tfrac15 z 70\textcolor{#16A06A}{70}: 70:5=14\textcolor{#16A06A}{70} : \textcolor{#E0453A}{5} = 14 arów.
  3. Krok 3 — śliwy. To cała reszta: 70−14=56\textcolor{#16A06A}{70} - 14 = 56 arów.
  4. Odpowiedź C.
  5. Szybciej: skoro jabłonie zajmują 15\tfrac15 reszty, to śliwy 45\tfrac45 reszty: 45⋅70=56\tfrac45 \cdot \textcolor{#16A06A}{70} = 56 arów ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „15\tfrac15 pozostałej części” oznacza, że ułamek liczymy od 70 arów, a nie od całych 200. To najczęstsza pułapka w tego typu zadaniach.

⚠ Trzy kuszące błędne odpowiedzi naraz: 70 arów to cała reszta (bez odjęcia jabłoni), 14 arów to same jabłonie, a 30 arów wychodzi przy liczeniu 15\tfrac15 z 200 arów.

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

W pewnym zoo mieszkają słoń afrykański o masie 6 ton oraz góralek skalny o masie 3 kg. Dokończ zdanie.
Masa słonia afrykańskiego jest większa niż masa góralka skalnego
  • A. 2020 razy.
  • B. 200200 razy.
  • C. 2 0002\,000 razy.
  • D. 20 00020\,000 razy.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Masy podano w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicamy.
  2. 11 tona =1000= \textcolor{#E0453A}{1000} kg, więc słoń waży 6⋅1000=60006 \cdot \textcolor{#E0453A}{1000} = \textcolor{#16A06A}{6000} kg.
  3. Teraz dzielimy: 6000:3=2000\textcolor{#16A06A}{6000} : 3 = 2000.
  4. Odpowiedź C — słoń jest 2000 razy cięższy.

💡 Wskazówka: Zawsze zamień jednostki przed dzieleniem. Zapamiętaj: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g, 1 kg = 100 dag.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 6:3=26 : 3 = 2 i dopisanie zer „na oko”. Wynik różni się wtedy o cały rząd wielkości — stąd wśród odpowiedzi aż trzy warianty z zerami.

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Podczas spaceru w czasie każdych 10 sekund Ewa robi taką samą liczbę aa kroków. Ile kroków zrobi Ewa w czasie 3 minut tego spaceru?
  • A. 6a6a
  • B. 18a18a
  • C. 30a30a
  • D. 180a180a
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Sprowadzamy czas do jednej jednostki: 33 minuty =3⋅60=180= 3 \cdot 60 = \textcolor{#16A06A}{180} sekund.
  2. Teraz pytanie brzmi: ile razy 10\textcolor{#E0453A}{10}-sekundowy odcinek mieści się w 180\textcolor{#16A06A}{180} sekundach?
  3. 180:10=18\textcolor{#16A06A}{180} : \textcolor{#E0453A}{10} = 18 takich odcinków.
  4. W każdym Ewa robi aa kroków, więc razem: 18a18a — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Rozbij zadanie na dwa kroki: najpierw ile razy mieści się dana jednostka czasu, potem pomnóż przez liczbę kroków. Nie mnóż od razu przez 180.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie 180⋅a180 \cdot a (kusząca odpowiedź D) — czyli potraktowanie aa jako liczby kroków na sekundę, a nie na dziesięć sekund.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem równania   −2(x−1)−3(2−x)=0  \;-2(x - 1) - 3(2 - x) = 0\; jest liczba
  • A. −4-4
  • B. −1,6-1{,}6
  • C. 0,80{,}8
  • D. 44
  • E. 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Opuszczamy nawiasy, pilnując znaków — przed oboma stoi minus.
  2. −2(x−1)=−2x+2-2(x - 1) = \textcolor{#16A06A}{-2x} + 2  (bo −2⋅(−1)=+2-2 \cdot (-1) = +2).
  3. −3(2−x)=−6+3x-3(2 - x) = -6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x}  (bo −3⋅(−x)=+3x-3 \cdot (-x) = +3x).
  4. Składamy: −2x+2−6+3x=0\textcolor{#16A06A}{-2x} + 2 - 6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x} = 0.
  5. Redukujemy wyrazy podobne: −2x+3x=x\textcolor{#16A06A}{-2x + 3x} = \textcolor{#16A06A}{x} oraz 2−6=−4\textcolor{#E0453A}{2 - 6} = \textcolor{#E0453A}{-4}.
  6. Zostaje x−4=0\textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{- 4} = 0, czyli x=4\textcolor{#16A06A}{x} = 4 — odpowiedź D.
  7. Sprawdzenie: −2(4−1)−3(2−4)=−6−3⋅(−2)=−6+6=0-2(4-1) - 3(2-4) = -6 - 3 \cdot (-2) = -6 + 6 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Przy dwóch nawiasach z minusem wypisz osobno cztery iloczyny ze znakami, zanim je zsumujesz. To dłuższe o pięć sekund, ale znacznie pewniejsze.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie −3⋅(−x)-3 \cdot (-x) jako −3x-3x. Wtedy wyrazy z xx się dodają zamiast redukować i wynik wychodzi ujemny — stąd kuszące odpowiedzi A i B.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B2. C3. A, D4. D5. B6. C
7. C8. B9. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Liczby wymierne, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Liczby wymierne, klasy 6–7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klas 6–7: ułamki zwykłe i dziesiętne, porównywanie, liczby przeciwne i odwrotne, działania, potęgi. Na końcu…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Kolejność wykonywania działań, klasy 4–5 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Kolejność wykonywania działań, klasy 4–5 — 12 kart pracy PDF z kluczem

12 kart pracy z matematyki dla klas 4–5: mnożenie przed dodawaniem, nawiasy okrągłe i kwadratowe, potęgi, znajdź błąd, zadania tekstowe. Na…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

9Pytania i odpowiedzi

Od czego zacząć naukę działań pisemnych?

Od tabliczki mnożenia — bez niej mnożenie i dzielenie w słupku idą wolno i z błędami. Potem dodawanie i odejmowanie (wprowadzają zasadę kolumn), następnie mnożenie, a na końcu dzielenie, bo jest najdłuższe i wymaga szacowania w każdym kroku.

Jaka jest kolejność wykonywania działań?

Nawiasy, potęgowanie, mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej. Uwaga: mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — w 100:5⋅2100 : 5 \cdot 2 poprawny wynik to 4040, a nie 1010.

Po co uczyć się cech podzielności, skoro można podzielić?

Bo pozwalają rozstrzygnąć sprawę bez dzielenia — a przy skracaniu ułamków robi się to kilkanaście razy w jednym zadaniu. Żeby sprawdzić, czy 438438 dzieli się przez 33, wystarczy dodać cyfry: 4+3+8=154 + 3 + 8 = 15, a 1515 dzieli się przez 33.

Dlaczego wprowadza się coraz to nowe rodzaje liczb?

Bo poprzedni zbiór okazuje się za mały na jakieś działanie. W liczbach naturalnych nie da się wykonać 3−53 - 5, więc dochodzą ujemne. Bez ułamków nie da się podzielić 33 przez 44. Każde rozszerzenie odpowiada na konkretny brak.

Jak sprawdzić, czy wynik działania jest dobry?

Działaniem odwrotnym: odejmowanie sprawdza się dodawaniem, dzielenie mnożeniem. Powtórzenie tego samego rachunku zwykle powtarza ten sam błąd. Do tego warto oszacować wynik na zaokrąglonych liczbach — to wyłapuje zgubione zero albo przesunięty przecinek.

Czytaj dalej

Odejmowanie sposobem pisemnymPożyczanie krok po kroku, także przez zeraDzielenie pisemneNajdłuższy z czterech algorytmówKolejność wykonywania działańCztery poziomy priorytetu i najczęstsza pomyłkaTabliczka mnożeniaSto pól, ale do zapamiętania tylko trzydzieści sześćDziałania na ułamkachNaturalny następny krok po tym dzialeDodawanie pisemneDodawanie w słupku krok po kroku: wyrównanie do prawej, przeniesienia, składniki różnej…Ile razy więcej, ile razy mniejPorównywanie ilorazowe krok po kroku: czym różni się „ile razy więcej” od „o ile…Iloczyn kartezjański zbiorówCzym jest iloczyn kartezjański A×B, dlaczego para uporządkowana nie jest zbiorem…Jednostki objętościDrabinka jednostek objętości ma mnożnik 1000, a nie 10KwantyfikatoryKwantyfikator ogólny i szczegółowy, zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorem oraz dlaczego…Liczby doskonałeLiczba doskonała równa się sumie swoich dzielników właściwychLiczby parzyste i nieparzysteJak rozpoznać liczbę parzystą i co wychodzi z dodawania oraz mnożeniaLiczby wymierneLiczba wymierna to iloraz dwóch liczb całkowitychZaznaczanie zbiorów na osi liczbowejJak zaznaczyć na osi zbiór opisany nierównością, także z wartością bezwzględną: kółko…Znak większości i mniejszościSymbole mniejszości i większości, sposób na zapamiętanie kierunku, znaki ≤ oraz ≥ i to,…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09