Strona główna › Liczby i działania

Liczby i działania — od czego zacząć

To jest dział, na którym stoi cała reszta matematyki w podstawówce. Ułamki, procenty, geometria — wszystko wraca do czterech działań i do tego, czy dziecko umie je wykonać bez zastanawiania się nad techniką. Ta strona jest przewodnikiem: co jest w dziale, w jakiej kolejności to opanować i dlaczego akurat w takiej.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–8Zadań z E8: 9

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Cztery działania pisemne

Algorytmy w słupku to pierwsze narzędzie, którego dziecko używa automatycznie — i to jest ich cały sens. Każdy z czterech ma inny punkt trudny:

działanie	co w nim sprawia kłopot	strona
dodawanie	przeniesienie do następnej kolumny	wchodzi razem z odejmowaniem
odejmowanie	pożyczanie, zwłaszcza przez zera	odejmowanie pisemne
mnożenie	przesuwanie wierszy przy mnożniku wielocyfrowym	mnożenie pisemne
dzielenie	najdłuższy algorytm — szacowanie ilorazu krok po kroku	dzielenie pisemne

Wszystkie cztery opierają się na jednej zasadzie zapisu: cyfry tego samego rzędu stoją w jednej kolumnie. Jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Kto to rozumie, nie musi pamiętać czterech osobnych schematów — pamięta jeden i cztery warianty tego, co się dzieje między kolumnami.

Zanim jednak dziecko wejdzie w słupki, potrzebuje tabliczki mnożenia — bez niej mnożenie i dzielenie pisemne zamieniają się w liczenie na palcach w każdym kroku. Ile z niej naprawdę trzeba zapamiętać, tłumaczy strona o tabliczce.

2Kolejność działań — reguła, która porządkuje resztę

Gdy w jednym wyrażeniu stoi kilka działań, wynik zależy od tego, co policzymy najpierw. Bez wspólnej reguły to samo wyrażenie dawałoby różne wyniki u różnych osób — i dlatego reguła jest jedna, umowna i obowiązująca wszystkich.

nawiasy,
potęgowanie,
mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej,
dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej.

Najczęściej mylone są punkty trzeci i czwarty: mnożenie i dzielenie mają równy priorytet, więc liczy się je po kolei od lewej, a nie „najpierw wszystkie mnożenia”. Szczegóły i przykłady na stronie o kolejności wykonywania działań.

Ta reguła wraca potem wszędzie — w wyrażeniach algebraicznych, równaniach i na egzaminie. Warto ją opanować wcześnie, bo później nikt już do niej nie wraca, a błędy z niej wynikające wyglądają jak błędy rachunkowe.

3Rodzaje liczb

Przez podstawówkę zbiór liczb, którymi dziecko dysponuje, stopniowo się powiększa — i za każdym razem trzeba na nowo sprawdzić, czy stare reguły dalej działają.

kiedy	co dochodzi	co się zmienia
klasy 1–3	liczby naturalne	cztery działania na tym, co da się policzyć na palcach
klasy 4–5	ułamki zwykłe i dziesiętne	dzielenie wykonalne poza dzieleniem przez zero; mnożenie może zmniejszać
klasa 6	liczby całkowite — dochodzą ujemne	odejmowanie zawsze wykonalne; dwie różne reguły znaków
klasy 7–8	liczby niewymierne, np. $\sqrt{2}$	nie każdą liczbę da się zapisać ułamkiem

Każde rozszerzenie ma ten sam powód: poprzedni zbiór był za mały, żeby wykonać jakieś działanie. W liczbach naturalnych nie da się policzyć $3 - 5$ , więc dochodzą ujemne. Bez ułamków nie da się podzielić $3$ przez $4$ . To nie są kaprysy programu — to odpowiedzi na konkretne braki.

Warto też wiedzieć, że zapis nie decyduje o rodzaju liczby. $\frac{6}{3}$ wygląda na ułamek, a jest liczbą naturalną, bo równa się $2$ . Liczy się wartość.

Rozszerzenia z tabeli mówią, jakie liczby wolno wpisać. Osobną sprawą jest, jak zapisać całą ich grupę naraz.

W liceum dochodzi jeszcze jeden zapis, którym opisuje się całe fragmenty osi zamiast pojedynczych liczb — przedziały liczbowe. To nimi podaje się potem dziedziny funkcji i zbiory rozwiązań nierówności.

Przedział jest szczególnym przypadkiem zbioru i podlega tym samym trzem działaniom: sumie, części wspólnej i różnicy. Uwaga: samych zbiorów podstawa programowa nie wymaga — potrzebny jest wyłącznie zapis.

4Podzielność

Podzielność wygląda na temat poboczny, a jest narzędziem do wszystkiego, co dalej: skracania ułamków, sprowadzania do wspólnego mianownika, rozkładu na czynniki.

Podzielność wraca też w liceum jako temat dowodowy: podstawa wymaga przeprowadzania prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia. Technikę zapisu — liczby parzyste jako $2k$ , kolejne jako $n$ , $n+1$ — opisuję przy dowodach algebraicznych.

Zamiast dzielić i sprawdzać resztę, można spojrzeć na liczbę i od razu wiedzieć — służą do tego cechy podzielności. Trzy najważniejsze załatwiają większość przypadków ze szkoły podstawowej:

przez $2$ — gdy ostatnia cyfra jest parzysta,
przez $5$ — gdy ostatnia cyfra to $0$ albo $5$ ,
przez $3$ — gdy suma cyfr dzieli się przez $3$ .

Trzecia jest najmniej oczywista i najbardziej przydatna: żeby sprawdzić, czy $438$ dzieli się przez $3$ , nie trzeba nic dzielić — wystarczy $4 + 3 + 8 = 15$ , a $15$ dzieli się przez $3$ ✓

Na podzielności stoją dwa pojęcia, które wracają przy ułamkach: NWD (największy wspólny dzielnik) przy skracaniu i NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika.

5W jakiej kolejności to opanować

Kolejność nie jest dowolna — każdy krok korzysta z poprzedniego.

Tabliczka mnożenia. Bez niej wszystko dalej idzie wolniej i z błędami.
Dodawanie i odejmowanie pisemne. Wprowadzają zasadę kolumn i przenoszenia.
Mnożenie pisemne. Korzysta z tabliczki i z zasady kolumn naraz.
Dzielenie pisemne. Najtrudniejsze, bo w każdym kroku wymaga szacowania — i sprawdzania mnożeniem.
Kolejność działań. Ma sens dopiero wtedy, gdy pojedyncze działania nie sprawiają już kłopotu.
Podzielność i rodzaje liczb. Otwierają drogę do ułamków.

Najczęstszy błąd w planowaniu nauki to przeskoczenie punktu pierwszego. Dziecko, które liczy $7 \cdot 8$ na palcach, przy dzieleniu pisemnym zużywa całą uwagę na tabliczkę i nie ma jej już na sam algorytm. Wygląda to na problem z dzieleniem, a jest problemem z mnożeniem.

Gdy ten dział jest opanowany, naturalnym następnym krokiem są ułamki — bo one nie wprowadzają nowych działań, tylko te same cztery na nowym rodzaju liczb.

6Wszystkie tematy w tym dziale

Trzydzieści trzy strony. To fundament, do którego wraca się przez całą naukę — dlatego jest rozpisany najdrobniej. Kafelki prowadzą od pojęcia liczby, przez rachunki i podzielność, po zbiory i logikę. Trzon to szkoła podstawowa, ale kilka stron sięga liceum — poziom jest podany na każdej z nich.

Rodzaje liczb

Działania i ich kolejność

Rachunki pisemne

Podzielność

Pierwiastki i porównywanie

Jednostki

Zbiory i przedziały

Logika i zapis

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady pokazujące, jak elementy działu współpracują: kolejność działań, podzielność jako skrót i cztery algorytmy w jednym zadaniu.

Przykład 1 Kolejność działań w jednym wyrażeniu

Oblicz $120 - 4 \cdot (15 + 3) : 6$ .

Najpierw nawias: $15 + 3 = 18$ . Zostaje $120 - 4 \cdot 18 : 6$ .
Teraz mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej, bo mają równy priorytet. Najpierw $4 \cdot 18 = 72$ .
Potem dzielenie: $72 : 6 = 12$ . Zostaje $120 - 12$ .
Na końcu odejmowanie: $120 - 12 = 108$ .
Kontrola kolejnością: gdyby ktoś policzył najpierw $18 : 6 = 3$ , a potem $4 \cdot 3 = 12$ — wyszłoby to samo. I nie jest to przypadek: gdy mnożenie stoi przed dzieleniem, zamiana kolejności nigdy nie zmienia wyniku, bo dzielenie przez $6$ to mnożenie przez $\frac{1}{6}$ , a mnożenie jest przemienne. Niebezpieczny jest układ odwrotny — dzielenie przed mnożeniem.
Kontrola sensu: odejmujemy od $120$ liczbę rzędu kilkunastu, więc wynik musi być nieco poniżej $120$ ✓

Odpowiedź: $120 - 4 \cdot (15 + 3) : 6 = 108$

Piąty krok jest ostrzeżeniem, nie zachętą. Tutaj wolno było zamienić kolejność, bo mnożenie stało przed dzieleniem — ale w $100 : 5 \cdot 2$ jest odwrotnie i wychodzi inaczej: od lewej $40$ , a „najpierw mnożenie” $10$ . Ponieważ na oko obu układów nie sposób odróżnić w pośpiechu, reguła od lewej do prawej nie jest do negocjacji.

Przykład 2 Podzielność zamiast dzielenia

Czy liczba $2814$ dzieli się przez $2$ , przez $3$ , przez $5$ ? Skróć ułamek $\frac{2814}{6}$ , jeśli się da.

Przez $2$ : ostatnia cyfra to $4$ , czyli parzysta — tak, dzieli się.
Przez $5$ : ostatnia cyfra to $4$ , a nie $0$ ani $5$ — nie dzieli się.
Przez $3$ : sumuję cyfry: $2 + 8 + 1 + 4 = 15$ . Piętnastka dzieli się przez $3$ , więc $2814$ też ✓
Skoro liczba dzieli się i przez $2$ , i przez $3$ , to dzieli się przez $6$ — bo $6 = 2 \cdot 3$ , a dwójka i trójka nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$ .
Zatem $\frac{2814}{6}$ jest liczbą całkowitą. Liczę dzieleniem pisemnym: $2814 : 6 = 469$ .
Kontrola mnożeniem: $469 \cdot 6 = 2814$ ✓

Odpowiedź: $2814$ dzieli się przez $2$ i przez $3$ (więc i przez $6$ ), nie dzieli się przez $5$ . $\frac{2814}{6} = 469$ .

Krok czwarty jest tym, po co w ogóle są cechy podzielności: wiedzieliśmy, że dzielenie wyjdzie bez reszty, zanim je wykonaliśmy. Uwaga na warunek — z podzielności przez $2$ i przez $4$ nie wynika podzielność przez $8$ , bo dwójka i czwórka mają wspólny dzielnik.

Przykład 3 Zadanie z treścią — trzy działania po kolei

Szkoła zamówiła $24$ pudełka kredek po $18$ sztuk. Rozdano je po równo do $8$ klas, a $16$ kredek zostało w magazynie. Ile kredek dostała każda klasa?

Najpierw ile kredek w ogóle: $24 \cdot 18$ . Mnożę pisemnie: $24 \cdot 18 = 432$ .
Odejmuję to, co zostało w magazynie: $432 - 16 = 416$ kredek do rozdania.
Dzielę po równo na $8$ klas: $416 : 8 = 52$ .
Każda klasa dostała $52$ kredki.
Kontrola od końca: $52 \cdot 8 = 416$ , plus $16$ z magazynu daje $432$ , a $432 : 18 = 24$ pudełka ✓ Wszystko się domyka.
Kontrola sensu: $432$ kredki na $8$ klas to dokładnie $54$ na klasę, a po odjęciu magazynu musi wyjść trochę mniej — $52$ pasuje ✓

Odpowiedź: Każda klasa dostała $52$ kredki.

Zadanie używa trzech z czterech algorytmów po kolei i to jest typowe: w praktyce działania nie występują pojedynczo. Kontrola od końca — przejście całej drogi w odwrotną stronę — jest tu mocniejsza niż samo sprawdzenie ostatniego dzielenia.

8Najczęstsze błędy

Błędy w tym dziale rzadko biorą się z samych rachunków — częściej z pomijania kroków albo z reguł zapamiętanych bez warunku.

Uczenie się algorytmów przed tabliczką mnożenia

Skąd się bierze: Dzielenie pisemne wymaga w każdym kroku oszacowania ilorazu, a to znaczy kilkanaście przywołań tabliczki na jedno zadanie. Dziecko, które ich nie ma w pamięci, zużywa całą uwagę na mnożenie i gubi się w samym algorytmie. Wygląda to na kłopot z dzieleniem, a jest kłopotem z tabliczką — i dlatego ćwiczenie dzielenia niczego nie naprawia.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź to wprost: podaj kilka iloczynów z zakresu $6 \cdot 7$ – $8 \cdot 9$ i zmierz, czy odpowiedź przychodzi od razu, czy po chwili liczenia. Jeśli po chwili — wróć do tabliczki, zanim wrócisz do słupków.

„Najpierw wszystkie mnożenia, potem wszystkie dzielenia”

Skąd się bierze: Reguła kolejności wymienia mnożenie przed dzieleniem, więc łatwo odczytać ją jako priorytet. Tymczasem mają równy priorytet i liczy się je od lewej do prawej. W $100 : 5 \cdot 2$ poprawnie jest $20 \cdot 2 = 40$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{100 : 10 = 10}$ — różnica czterokrotna.

Jak zrobić dobrze: Czytaj tę parę jako jeden poziom, nie dwa: „mnożenie i dzielenie — po kolei od lewej”. Tak samo dodawanie i odejmowanie. Cztery poziomy priorytetu, nie sześć.

Przenoszenie cech podzielności na liczby złożone bez warunku

Skąd się bierze: Z tego, że liczba dzieli się przez $2$ i przez $3$ , wynika podzielność przez $6$ — i uczeń uogólnia to na wszystkie pary. Tymczasem $\textcolor{#9b1c14}{\text{dzieli się przez } 2 \text{ i } 4 \Rightarrow \text{dzieli się przez } 8}$ jest fałszem: liczba $12$ dzieli się przez $2$ i przez $4$ , ale nie przez $8$ . Warunek brzmi: czynniki nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego od $1$ .

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj warunek za każdym razem. $2$ i $3$ nie mają wspólnego dzielnika, więc reguła działa. $2$ i $4$ mają wspólną dwójkę, więc nie działa. Przy wątpliwości wystarczy jeden kontrprzykład — tu wystarczyła dwunastka.

Sprawdzanie wyniku tym samym rachunkiem, który się wykonało

Skąd się bierze: Przeliczenie tego samego działania drugi raz powtarza zwykle ten sam błąd — bo powtarza tę samą drogę myślenia. Sprawdzenie ma wartość tylko wtedy, gdy idzie inną drogą.

Jak zrobić dobrze: Używaj działania odwrotnego: odejmowanie sprawdzaj dodawaniem, dzielenie mnożeniem. Do tego szacowanie na zaokrąglonych liczbach — wyłapuje przesunięty przecinek albo zgubione zero, czyli błędy, których działanie odwrotne czasem nie widzi.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zestaw mieszany

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

To zestaw z różnych działów, więc kolor za każdym razem pokazuje to samo w innym przebraniu: zielona to wielkość, od której zaczynamy (podstawa porównania, wartość wyjściowa), a czerwona to przelicznik albo druga wielkość, z którą ją zestawiamy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby:

\;x = 5{,}27 \cdot 10^{-3}

\;y = 0{,}0023

\;z = 1400 \cdot 10^{-5}

. Uporządkowano je od najmniejszej do największej. Który zapis przedstawia poprawne uporządkowanie?

A. $x < y < z$
B. $y < x < z$
C. $z < y < x$
D. $x < z < y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Żeby porównać liczby, sprowadzamy je wszystkie do zwykłego zapisu dziesiętnego.
$x = 5{,}27 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-3}}$ — przesuwamy przecinek o $\textcolor{#E0453A}{3}$ miejsca w lewo: $x = \textcolor{#16A06A}{0{,}00527}$ .
$y = \textcolor{#16A06A}{0{,}0023}$ — już jest w zapisie dziesiętnym.
$z = 1400 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-5}}$ — przesuwamy przecinek o $\textcolor{#E0453A}{5}$ miejsc w lewo: $z = \textcolor{#16A06A}{0{,}014}$ .
Porównujemy: $\textcolor{#16A06A}{0{,}0023} < \textcolor{#16A06A}{0{,}00527} < \textcolor{#16A06A}{0{,}014}$ , czyli $y < x < z$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc: $0{,}00230$ , $0{,}00527$ , $0{,}01400$ . Wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie po liczbach przed potęgą (1400 > 5,27 > 0,0023), z pominięciem wykładników. Ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą, a im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejsza liczba.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane jest równanie

\;5 + \dfrac{1 - x}{2} = 2(x - 1)

. Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem tego równania jest liczba

A. $2$
B. $2\dfrac{1}{2}$
C. $3$
D. $4\dfrac{1}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw pozbywamy się ułamka — mnożymy całe równanie przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ :
$\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 5 + (1 - x) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot 2(x - 1)$ , czyli $10 + 1 - x = 4(x - 1)$ .
Porządkujemy lewą stronę i opuszczamy nawias po prawej: $11 - \textcolor{#16A06A}{x} = 4\textcolor{#16A06A}{x} - 4$ .
Przenosimy niewiadome na prawo, liczby na lewo: $11 + 4 = 4\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x}$ , czyli $15 = 5\textcolor{#16A06A}{x}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{x} = 3$ — odpowiedź C.
Sprawdzenie: lewa strona $5 + \dfrac{1-3}{2} = 5 - 1 = 4$ ; prawa $2(3-1) = 4$ ✓

💡 Wskazówka: Mnożąc równanie przez liczbę, pamiętaj o każdym składniku po obu stronach — także o tych bez ułamka. Tu piątka też musi zostać pomnożona przez 2.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przez 2 tylko ułamka, a pominięcie piątki i prawej strony. Zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie — zajmuje kilkanaście sekund.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Fragment etykiety opakowania śmietany — wartość odżywcza w 100 g produktu:

tłuszcz	18 g
węglowodany	4 g
białko	3 g
sól	0,15 g

Uzupełnij zdania.

W opakowaniu zawierającym 200 g tej śmietany jest AB dag białka.

A. $0{,}6$
B. $0{,}06$

Masa tłuszczu w dowolnej porcji tej śmietany jest CD razy większa od masy soli.

C. $12$
D. $120$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pierwsze zdanie. W 100 g jest $\textcolor{#16A06A}{3}$ g białka, więc w 200 g (dwa razy więcej) jest $\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 6$ g.
Teraz zamiana jednostek: 1 dag = 10 g, więc $6$ g $= 6 : 10 = 0{,}6$ dag — odpowiedź A.
Drugie zdanie. Stosunek tłuszczu do soli jest taki sam w każdej porcji, bo obie masy rosną proporcjonalnie. Wystarczy więc policzyć go dla 100 g.
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}15}} = \dfrac{1800}{15} = 120$ — odpowiedź D.
Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 100: $\tfrac{18}{0{,}15} = \tfrac{1800}{15}$ . Rachunek robi się wtedy na liczbach całkowitych.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: dzielenie przez 100 zamiast przez 10 (wychodzi 0,06 — kusząca odpowiedź B). Dekagram to 10 gramów, nie 100.

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Adam zapisał w przypadkowej kolejności temperatury odnotowane pewnego zimowego dnia w Zakopanem, w Wiśle, w Karpaczu i w Szklarskiej Porębie. Zapisane wartości to:

\;-8°C

\;-5°C

\;-3°C

\;-2°C

.
Temperatura w Karpaczu była o

6°C

wyższa niż w Szklarskiej Porębie, a w Wiśle była niższa niż w Zakopanem. Dokończ zdanie.
Temperaturę

-5°

zanotowano w

A. Szklarskiej Porębie.
B. Zakopanem.
C. Karpaczu.
D. Wiśle.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zaczynamy od warunku, który daje konkretną liczbę — różnicę $6°C$ między Karpaczem a Szklarską Porębą.
Szukamy wśród podanych temperatur pary różniącej się dokładnie o 6: $\textcolor{#16A06A}{-8}$ i $\textcolor{#16A06A}{-2}$ , bo $\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = 6$ ✓
Karpacz jest cieplejszy, więc Karpacz $= \textcolor{#16A06A}{-2}°C$ , a Szklarska Poręba $= \textcolor{#16A06A}{-8}°C$ .
Zostają dwie temperatury: $\textcolor{#E0453A}{-5}$ i $\textcolor{#E0453A}{-3}$ — dla Wisły i Zakopanego.
Wisła była chłodniejsza niż Zakopane, a $\textcolor{#E0453A}{-5} < \textcolor{#E0453A}{-3}$ , więc Wisła $= \textcolor{#E0453A}{-5}°C$ , Zakopane $= \textcolor{#E0453A}{-3}°C$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zacznij od najbardziej „sztywnego” warunku — takiego, który jednoznacznie wskazuje parę liczb. Reszta zwykle układa się sama.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie temperatur ujemnych jak dodatnich — uznanie, że $-5$ jest „większe” od $-3$ , bo $5 > 3$ . Im dalej od zera w stronę minusa, tym zimniej.

Zadanie 5 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Dane są cztery liczby:
I.

-9{,}25

· II.

-1{,}25

· III.

1{,}25

· IV.

9{,}25

Do której z liczb I–IV należy dodać liczbę

(-4)

, aby otrzymać liczbę

(-5{,}25)

A. I
B. II
C. III
D. IV

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy liczby $\textcolor{#16A06A}{a}$ , dla której $\textcolor{#16A06A}{a} + (\textcolor{#E0453A}{-4}) = -5{,}25$ .
Przenosimy czwórkę na drugą stronę — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$\textcolor{#16A06A}{a} = -5{,}25 + \textcolor{#E0453A}{4} = -1{,}25$ .
To liczba II — odpowiedź B.
Sprawdzenie: $-1{,}25 + (-4) = -5{,}25$ ✓

💡 Wskazówka: Kontrola bez rachunków: dodajemy liczbę ujemną, więc wynik musi być mniejszy od szukanej liczby. Skoro wynik to $-5{,}25$ , szukana liczba jest od niego większa — to od razu skreśla odpowiedź I.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 4 zamiast dodania przy przenoszeniu na drugą stronę (wychodzi $-9{,}25$ , czyli kusząca odpowiedź A).

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Działka ma powierzchnię 200 arów. Warzywa zajmują 130 arów, jabłonie rosną na

\dfrac{1}{5}

pozostałej części działki, a resztę zajmują śliwy. Dokończ zdanie.
Śliwy zajmują powierzchnię

A. $14$ arów.
B. $30$ arów.
C. $56$ arów.
D. $70$ arów.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — co zostaje po warzywach? $200 - 130 = \textcolor{#16A06A}{70}$ arów.
Krok 2 — jabłonie. To $\tfrac15$ pozostałej części, czyli $\tfrac15$ z $\textcolor{#16A06A}{70}$ : $\textcolor{#16A06A}{70} : \textcolor{#E0453A}{5} = 14$ arów.
Krok 3 — śliwy. To cała reszta: $\textcolor{#16A06A}{70} - 14 = 56$ arów.
Odpowiedź C.
Szybciej: skoro jabłonie zajmują $\tfrac15$ reszty, to śliwy $\tfrac45$ reszty: $\tfrac45 \cdot \textcolor{#16A06A}{70} = 56$ arów ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „ $\tfrac15$ pozostałej części” oznacza, że ułamek liczymy od 70 arów, a nie od całych 200. To najczęstsza pułapka w tego typu zadaniach.

⚠ Trzy kuszące błędne odpowiedzi naraz: 70 arów to cała reszta (bez odjęcia jabłoni), 14 arów to same jabłonie, a 30 arów wychodzi przy liczeniu $\tfrac15$ z 200 arów.

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

W pewnym zoo mieszkają słoń afrykański o masie 6 ton oraz góralek skalny o masie 3 kg. Dokończ zdanie.
Masa słonia afrykańskiego jest większa niż masa góralka skalnego

A. $20$ razy.
B. $200$ razy.
C. $2\,000$ razy.
D. $20\,000$ razy.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Masy podano w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicamy.
$1$ tona $= \textcolor{#E0453A}{1000}$ kg, więc słoń waży $6 \cdot \textcolor{#E0453A}{1000} = \textcolor{#16A06A}{6000}$ kg.
Teraz dzielimy: $\textcolor{#16A06A}{6000} : 3 = 2000$ .
Odpowiedź C — słoń jest 2000 razy cięższy.

💡 Wskazówka: Zawsze zamień jednostki przed dzieleniem. Zapamiętaj: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g, 1 kg = 100 dag.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $6 : 3 = 2$ i dopisanie zer „na oko”. Wynik różni się wtedy o cały rząd wielkości — stąd wśród odpowiedzi aż trzy warianty z zerami.

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Podczas spaceru w czasie każdych 10 sekund Ewa robi taką samą liczbę

a

kroków. Ile kroków zrobi Ewa w czasie 3 minut tego spaceru?

A. $6a$
B. $18a$
C. $30a$
D. $180a$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Sprowadzamy czas do jednej jednostki: $3$ minuty $= 3 \cdot 60 = \textcolor{#16A06A}{180}$ sekund.
Teraz pytanie brzmi: ile razy $\textcolor{#E0453A}{10}$ -sekundowy odcinek mieści się w $\textcolor{#16A06A}{180}$ sekundach?
$\textcolor{#16A06A}{180} : \textcolor{#E0453A}{10} = 18$ takich odcinków.
W każdym Ewa robi $a$ kroków, więc razem: $18a$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Rozbij zadanie na dwa kroki: najpierw ile razy mieści się dana jednostka czasu, potem pomnóż przez liczbę kroków. Nie mnóż od razu przez 180.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie $180 \cdot a$ (kusząca odpowiedź D) — czyli potraktowanie $a$ jako liczby kroków na sekundę, a nie na dziesięć sekund.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem równania

\;-2(x - 1) - 3(2 - x) = 0\;

jest liczba

A. $-4$
B. $-1{,}6$
C. $0{,}8$
D. $4$
E. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Opuszczamy nawiasy, pilnując znaków — przed oboma stoi minus.
$-2(x - 1) = \textcolor{#16A06A}{-2x} + 2$ (bo $-2 \cdot (-1) = +2$ ).
$-3(2 - x) = -6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x}$ (bo $-3 \cdot (-x) = +3x$ ).
Składamy: $\textcolor{#16A06A}{-2x} + 2 - 6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x} = 0$ .
Redukujemy wyrazy podobne: $\textcolor{#16A06A}{-2x + 3x} = \textcolor{#16A06A}{x}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{2 - 6} = \textcolor{#E0453A}{-4}$ .
Zostaje $\textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{- 4} = 0$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{x} = 4$ — odpowiedź D.
Sprawdzenie: $-2(4-1) - 3(2-4) = -6 - 3 \cdot (-2) = -6 + 6 = 0$ ✓

💡 Wskazówka: Przy dwóch nawiasach z minusem wypisz osobno cztery iloczyny ze znakami, zanim je zsumujesz. To dłuższe o pięć sekund, ale znacznie pewniejsze.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $-3 \cdot (-x)$ jako $-3x$ . Wtedy wyrazy z $x$ się dodają zamiast redukować i wynik wychodzi ujemny — stąd kuszące odpowiedzi A i B.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. C	3. A, D	4. D	5. B	6. C
7. C	8. B	9. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

9Pytania i odpowiedzi

Od czego zacząć naukę działań pisemnych?

Od tabliczki mnożenia — bez niej mnożenie i dzielenie w słupku idą wolno i z błędami. Potem dodawanie i odejmowanie (wprowadzają zasadę kolumn), następnie mnożenie, a na końcu dzielenie, bo jest najdłuższe i wymaga szacowania w każdym kroku.

Jaka jest kolejność wykonywania działań?

Nawiasy, potęgowanie, mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej. Uwaga: mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — w $100 : 5 \cdot 2$ poprawny wynik to $40$ , a nie $10$ .

Po co uczyć się cech podzielności, skoro można podzielić?

Bo pozwalają rozstrzygnąć sprawę bez dzielenia — a przy skracaniu ułamków robi się to kilkanaście razy w jednym zadaniu. Żeby sprawdzić, czy $438$ dzieli się przez $3$ , wystarczy dodać cyfry: $4 + 3 + 8 = 15$ , a $15$ dzieli się przez $3$ .

Dlaczego wprowadza się coraz to nowe rodzaje liczb?

Bo poprzedni zbiór okazuje się za mały na jakieś działanie. W liczbach naturalnych nie da się wykonać $3 - 5$ , więc dochodzą ujemne. Bez ułamków nie da się podzielić $3$ przez $4$ . Każde rozszerzenie odpowiada na konkretny brak.

Jak sprawdzić, czy wynik działania jest dobry?

Działaniem odwrotnym: odejmowanie sprawdza się dodawaniem, dzielenie mnożeniem. Powtórzenie tego samego rachunku zwykle powtarza ten sam błąd. Do tego warto oszacować wynik na zaokrąglonych liczbach — to wyłapuje zgubione zero albo przesunięty przecinek.

Czytaj dalej

Odejmowanie sposobem pisemnymPożyczanie krok po kroku, także przez zera Dzielenie pisemneNajdłuższy z czterech algorytmów Kolejność wykonywania działańCztery poziomy priorytetu i najczęstsza pomyłka Tabliczka mnożeniaSto pól, ale do zapamiętania tylko trzydzieści sześć Działania na ułamkachNaturalny następny krok po tym dziale Dodawanie pisemneDodawanie w słupku krok po kroku: wyrównanie do prawej, przeniesienia, składniki różnej…Ile razy więcej, ile razy mniejPorównywanie ilorazowe krok po kroku: czym różni się „ile razy więcej” od „o ile…Iloczyn kartezjański zbiorówCzym jest iloczyn kartezjański A×B, dlaczego para uporządkowana nie jest zbiorem…Jednostki objętościDrabinka jednostek objętości ma mnożnik 1000, a nie 10 KwantyfikatoryKwantyfikator ogólny i szczegółowy, zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorem oraz dlaczego…Liczby doskonałeLiczba doskonała równa się sumie swoich dzielników właściwych Liczby parzyste i nieparzysteJak rozpoznać liczbę parzystą i co wychodzi z dodawania oraz mnożenia Liczby wymierneLiczba wymierna to iloraz dwóch liczb całkowitych Zaznaczanie zbiorów na osi liczbowejJak zaznaczyć na osi zbiór opisany nierównością, także z wartością bezwzględną: kółko…Znak większości i mniejszościSymbole mniejszości i większości, sposób na zapamiętanie kierunku, znaki ≤ oraz ≥ i to,…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.