Układ równań cases x - 2y = 3 \ -4x + 8y = -12 cases

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Strona główna › Równania i nierówności › Układy równań

Układy równań

Q: Co to jest układ równań?

Dwa lub więcej równań, które mają być spełnione jednocześnie przez te same niewiadome. Rozwiązaniem układu z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniająca oba równania naraz.

Q: Jakie są metody rozwiązywania układów równań?

Dwie podstawowe: metoda podstawiania, w której wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego równania, oraz metoda przeciwnych współczynników, w której dodajemy równania stronami tak, by jedna niewiadoma się skróciła.

Q: Kiedy układ równań jest sprzeczny?

Gdy proste opisane obu równaniami są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. W rachunku poznaje się to po tym, że niewiadome znikają i zostaje zdanie fałszywe, na przykład zero równa się dwa.

Q: Czym różni się układ nieoznaczony od sprzecznego?

Nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo oba równania opisują tę samą prostą. Sprzeczny nie ma żadnego, bo proste są równoległe i różne. Po zniknięciu niewiadomych zostaje odpowiednio zdanie prawdziwe albo fałszywe.

Q: Co oznacza interpretacja geometryczna układu?

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą, a rozwiązaniem układu jest punkt wspólny tych prostych. Stąd trzy możliwe przypadki: przecięcie w jednym punkcie, pokrywanie się i równoległość.

Q: Czy układ liniowy może mieć dokładnie dwa rozwiązania?

Nie. Dwie proste na płaszczyźnie mają jeden punkt wspólny, nie mają żadnego albo mają wszystkie wspólne. Dlatego liczba rozwiązań wynosi zawsze jeden, zero albo nieskończenie wiele.

Układ równań to dwa warunki nałożone naraz na tę samą parę liczb. Rozwiązaniem nie jest pojedyncza liczba, tylko para $(x, y)$ spełniająca oba równania jednocześnie. Techniki rozwiązywania są dwie i obie sprowadzają się do jednego pomysłu: pozbyć się jednej niewiadomej, żeby zostało zwykłe równanie liniowe. Najciekawsze jest jednak to, co układ znaczy na wykresie — bo stamtąd widać od razu, ile ma rozwiązań.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Dwa równania, jedna para liczb

To jest w podstawie programowej

Układy równań mają w podstawie dla liceum własny dział — IV, obok działu III o równaniach i nierównościach.

Dział IV. Układy równań, zakres podstawowy, punkt 1 brzmi dosłownie: „rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych”.

Podstawa stawia więc obok siebie dwie rzeczy: rachunek i znaczenie geometryczne. Ta strona traktuje je jako jedno zagadnienie, bo w zadaniach maturalnych występują razem.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma postać:

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Klamra znaczy „oba naraz”. To istotne: para liczb spełniająca tylko jedno z równań nie jest rozwiązaniem układu.

Przykład. Dla układu $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ rozwiązaniem jest para $(\textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#16A06A}{2})$ .

sprawdzenie w pierwszym równaniu: $\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$ ✓
sprawdzenie w drugim: $\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}$ ✓

Para $(4, 1)$ spełnia pierwsze równanie ( $4+1=5$ ), ale drugie daje $4-1=3 \neq 1$ — nie jest więc rozwiązaniem układu.

Dlaczego odpowiedzią jest para, a nie dwie liczby osobno

Zapis $x = 3$ , $y = 2$ jest poprawny, ale zapis $(3, 2)$ mówi więcej — podkreśla, że te liczby należą do siebie.

Przy układach o wielu rozwiązaniach różnica staje się widoczna: nie wystarczy podać, jakie wartości może przyjmować $x$ , trzeba powiedzieć, które $y$ mu odpowiada.

Para $(x, y)$ to zarazem punkt układu współrzędnych — i stąd bierze się cała interpretacja geometryczna z ostatniej sekcji.

2Metoda podstawiania

Pomysł: wyznacz jedną niewiadomą z jednego równania i wstaw ją do drugiego. Zostanie równanie z jedną niewiadomą, które już umiesz rozwiązać.

Wybierz równanie i niewiadomą, którą najłatwiej wyznaczyć — najlepiej taką ze współczynnikiem $1$ lub $-1$ .
Wyznacz ją i podstaw do drugiego równania.
Rozwiąż powstałe równanie z jedną niewiadomą.
Wstaw wynik z powrotem, żeby policzyć drugą niewiadomą.
Sprawdź parę w obu równaniach wyjściowych.

Przykład. Rozwiążmy $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$

Pierwsze równanie ma już $y$ wyznaczone, więc podstawiam do drugiego:

3x + (\textcolor{#16A06A}{2x - 1}) = 9 \;\Rightarrow\; 5x - 1 = 9 \;\Rightarrow\; 5x = 10 \;\Rightarrow\; x = \textcolor{#E0453A}{2}

Teraz wracam do pierwszego równania: $y = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} - 1 = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .

Rozwiązaniem jest para $(\textcolor{#E0453A}{2}, \textcolor{#2F80D8}{3})$ . Sprawdzenie: $3 \cdot 2 + 3 = 9$ ✓ oraz $2 \cdot 2 - 1 = 3$ ✓

Kiedy ta metoda jest wygodna: gdy w którymś równaniu niewiadoma stoi już sama albo ma współczynnik $1$ . Przy współczynnikach typu $7$ i $5$ prowadzi do ułamków — wtedy lepsza jest druga metoda.

3Metoda przeciwnych współczynników

Pomysł: dodaj równania stronami tak, żeby jedna niewiadoma się skróciła. Wymaga to wcześniejszego doprowadzenia jej współczynników do liczb przeciwnych.

Przykład. $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

Współczynniki przy $y$ to $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#16A06A}{-3}$ — już są przeciwne. Dodaję równania stronami:

(2x + 4x) + (3y - 3y) = 12 + 6 \;\Rightarrow\; 6x = \textcolor{#E0453A}{18} \;\Rightarrow\; x = \textcolor{#2F80D8}{3}

Podstawiam do pierwszego: $2 \cdot \textcolor{#2F80D8}{3} + 3y = 12$ , czyli $3y = 6$ , więc $y = \textcolor{#8B5CF6}{2}$ .

Rozwiązanie: $(\textcolor{#2F80D8}{3}, \textcolor{#8B5CF6}{2})$ . Sprawdzenie w drugim równaniu: $4 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 12 - 6 = 6$ ✓

Gdy współczynniki nie są przeciwne, trzeba je najpierw takimi zrobić — mnożąc równania przez odpowiednie liczby.

\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 4y = 3 \end{cases} \quad \xrightarrow{\text{pierwsze} \;\cdot\; 2} \quad \begin{cases} 6x + 4y = 32 \\ 5x - 4y = 3 \end{cases}

Teraz przy $y$ stoi $4$ i $-4$ , więc dodanie stronami daje $11x = \textcolor{#E0453A}{35}$ .

Którą metodę wybrać

Podstawianie — gdy któraś niewiadoma stoi sama albo ma współczynnik $1$ lub $-1$ .

Przeciwne współczynniki — gdy wszystkie współczynniki są „nieładne”, bo unika się ułamków w rachunku pośrednim.

Obie metody zawsze dają ten sam wynik — wybór jest kwestią wygody, nie poprawności. W zadaniu maturalnym nie trzeba uzasadniać, dlaczego użyto tej, a nie innej.

4Interpretacja geometryczna — trzy możliwości

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi to równanie prostej. Układ dwóch takich równań pyta więc: gdzie te dwie proste mają punkt wspólny?

Możliwości są dokładnie trzy — i podstawa wymienia je z nazwy.

nazwa układu	proste	rozwiązania
oznaczony	przecinają się w jednym punkcie	dokładnie jedno
nieoznaczony	pokrywają się	nieskończenie wiele
sprzeczny	są równoległe i różne	brak

Jak to rozpoznać w rachunku. Rozwiązując układ metodą przeciwnych współczynników, dochodzi się do jednej z trzech sytuacji:

zostaje równanie z niewiadomą, np. $6x = 18$ → oznaczony,
znikają obie niewiadome i zostaje zdanie prawdziwe, np. $0 = 0$ → nieoznaczony,
znikają obie niewiadome i zostaje zdanie fałszywe, np. $0 = \textcolor{#9b1c14}{5}$ → sprzeczny.

Przykład układu sprzecznego. $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$ — po odjęciu równań stronami zostaje $0 = \textcolor{#9b1c14}{2}$ , zdanie fałszywe. Geometrycznie: dwie proste o tym samym nachyleniu, przesunięte względem siebie, nigdy się nie spotkają.

Przykład układu nieoznaczonego. $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$ — drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ , więc nie wnosi nic nowego. Zostaje $0 = \textcolor{#E0453A}{0}$ . Geometrycznie: jedna prosta zapisana dwa razy.

Rozpoznanie typu bez rozwiązywania

Sprowadź oba równania do postaci kierunkowej $y = ax + b$ i porównaj współczynniki:

różne $a$ → proste się przecinają → układ oznaczony;

to samo $a$ , różne $b$ → proste równoległe → układ sprzeczny;

to samo $a$ i to samo $b$ → jedna prosta → układ nieoznaczony.

To bywa szybsze niż rachunek, gdy zadanie pyta wyłącznie o liczbę rozwiązań albo o parametr, dla którego układ jest sprzeczny.

Trzy możliwości i tylko trzy. Dwie proste na płaszczyźnie nie mogą mieć dokładnie dwóch punktów wspólnych — albo jeden, albo żaden, albo wszystkie. Dlatego układ liniowy nigdy nie ma „dwóch rozwiązań”.

Uwaga na nazewnictwo — trzy różne „nieoznaczone”

Przy pojedynczym równaniu albo nierówności mówi się „sprzeczne” i „tożsamościowe” — piszę o tym przy nierównościach liniowych. Przy układzie te same sytuacje nazywają się „sprzeczny” i „nieoznaczony”.

Znaczenie jest to samo: brak rozwiązań albo nieskończenie wiele. Różni się tylko słowo, zależnie od tego, czy mowa o jednym warunku, czy o układzie.

Osobno, i całkiem niezależnie, w matematyce występuje wyrażenie nieoznaczone — jak $\frac{0}{0}$ przy sumie ciągu geometrycznego. To trzecie znaczenie tego słowa i nie ma związku z układami równań.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: metoda przeciwnych współczynników, zadanie tekstowe i układ z parametrem.

Przykład 1 Doprowadzenie do przeciwnych współczynników

Rozwiąż układ $\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 4y = 3 \end{cases}$

Współczynniki przy $y$ to $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{-4}$ — nie są przeciwne, ale $\textcolor{#16A06A}{-4}$ jest wielokrotnością $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Mnożę pierwsze równanie przez $2$ : $6x + 4y = 32$ .
Drugie zostaje bez zmian: $5x - 4y = 3$ .
Dodaję stronami: $(6x + 5x) + (4y - 4y) = 32 + 3$ , czyli $11x = \textcolor{#E0453A}{35}$ .
$x = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{35}}{11}$
Podstawiam do pierwszego wyjściowego równania: $3 \cdot \dfrac{35}{11} + 2y = 16$ , czyli $\dfrac{105}{11} + 2y = 16$ .
$2y = 16 - \dfrac{105}{11} = \dfrac{176 - 105}{11} = \dfrac{71}{11}$ , więc $y = \textcolor{#2F80D8}{\dfrac{71}{22}}$ .
Kontrola w drugim równaniu: $5 \cdot \dfrac{35}{11} - 4 \cdot \dfrac{71}{22} = \dfrac{175}{11} - \dfrac{284}{22} = \dfrac{350 - 284}{22} = \dfrac{66}{22} = 3$ ✓

Odpowiedź: $\left(\dfrac{35}{11},\ \dfrac{71}{22}\right)$

Wynik ułamkowy nie oznacza błędu — układ nie musi mieć rozwiązań całkowitych. Kontrola jest tu szczególnie ważna właśnie dlatego, że ułamki sprzyjają pomyłkom, a same z siebie nie wyglądają podejrzanie.

Przykład 2 Zadanie tekstowe

Za $3$ zeszyty i $2$ długopisy zapłacono $19$ zł. Za $5$ zeszytów i $4$ długopisy — $35$ zł. Ile kosztuje jeden zeszyt?

Oznaczam: $x$ — cena zeszytu, $y$ — cena długopisu.
Pierwsze zdanie: $3x + 2y = \textcolor{#16A06A}{19}$ . Drugie: $5x + 4y = \textcolor{#16A06A}{35}$ .
Współczynniki przy $y$ to $2$ i $4$ — mnożę pierwsze równanie przez $-2$ , żeby powstało $-4$ .
$-6x - 4y = -38$
Dodaję do drugiego: $(-6x + 5x) + (-4y + 4y) = -38 + 35$ , czyli $-x = \textcolor{#E0453A}{-3}$ .
$x = \textcolor{#2F80D8}{3}$ — zeszyt kosztuje $3$ zł.
Wracam po cenę długopisu: $3 \cdot \textcolor{#2F80D8}{3} + 2y = 19$ , czyli $2y = 10$ , więc $y = \textcolor{#8B5CF6}{5}$ zł.
Kontrola w drugim równaniu: $5 \cdot \textcolor{#2F80D8}{3} + 4 \cdot \textcolor{#8B5CF6}{5} = 15 + 20 = 35$ ✓
Kontrola sensu: obie ceny są dodatnie ✓ — przy zadaniach o cenach ujemny wynik oznaczałby błąd w układaniu równań

Odpowiedź: Zeszyt kosztuje $3$ zł, a długopis $5$ zł.

Największa trudność w takich zadaniach nie leży w rachunku, tylko w ułożeniu układu. Warto od razu zapisać, co oznacza każda litera — bez tego łatwo pomylić, która liczba należy do którego równania.

Przykład 3 Układ z parametrem

Dla jakiej wartości $m$ układ $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 6x + my = 9 \end{cases}$ jest sprzeczny?

Sprzeczny znaczy: proste równoległe i różne, czyli mają to samo nachylenie, ale nie pokrywają się.
Sprowadzam do postaci kierunkowej. Pierwsze: $y = -2x + \textcolor{#16A06A}{5}$ , więc $a_1 = \textcolor{#16A06A}{-2}$ .
Drugie: $my = -6x + 9$ , czyli $y = -\dfrac{6}{m}x + \dfrac{9}{m}$ dla $m \neq 0$ , więc $a_2 = -\dfrac{6}{m}$ .
Warunek równoległości: $\textcolor{#16A06A}{-2} = -\dfrac{6}{m}$ , stąd $2m = 6$ , czyli $m = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Sprawdzam, czy proste nie pokrywają się: dla $m = \textcolor{#E0453A}{3}$ wyraz wolny drugiej to $\dfrac{9}{3} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ , a pierwszej $\textcolor{#16A06A}{5}$ .
$\textcolor{#2F80D8}{3} \neq \textcolor{#16A06A}{5}$ ✓ — proste są różne, więc układ jest sprzeczny, a nie nieoznaczony.
Kontrola rachunkiem: dla $m=3$ drugie równanie to $6x + 3y = 9$ , czyli po podzieleniu przez $3$ : $2x + y = 3$ .
Zestawiając z pierwszym ( $2x + y = 5$ ) i odejmując stronami, zostaje $0 = \textcolor{#9b1c14}{2}$ — zdanie fałszywe ✓

Odpowiedź: Układ jest sprzeczny dla $m = 3$ .

Krok piąty jest tym, o którym najczęściej się zapomina. Sama równoległość nie wystarcza — gdyby wyrazy wolne też się zgadzały, proste pokryłyby się i układ byłby nieoznaczony, czyli miałby nieskończenie wiele rozwiązań zamiast żadnego. Zostaje jeszcze przypadek wyłączony w kroku trzecim: dla $m = 0$ drugie równanie brzmi $6x = 9$ , czyli $x = \frac32$ , a wtedy z pierwszego $y = 2$ — układ ma jedno rozwiązanie i sprzeczny nie jest. Dlatego odpowiedź to samo $m = 3$ ; warto ten przypadek odnotować, a nie przemilczeć, bo dzielenie przez $m$ wykluczyło go bez uzasadnienia.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy tego, czym w ogóle jest rozwiązanie.

Podanie tylko jednej niewiadomej

Skąd się bierze: Rozwiązaniem układu jest para liczb, a nie pojedyncza wartość. Odpowiedź „ $x = 2$ ” jest niepełna, nawet jeśli poprawna — brakuje odpowiadającego jej $y$ , bez którego para nie istnieje.

Jak zrobić dobrze: Po wyznaczeniu pierwszej niewiadomej zawsze wróć po drugą i zapisz odpowiedź jako parę $(x, y)$ . Kontrola: podstaw obie liczby do obu równań, nie do jednego.

Sprawdzanie wyniku tylko w jednym równaniu

Skąd się bierze: Para spełniająca jedno równanie nie musi spełniać drugiego — na tym polega cała istota układu. Sprawdzenie w tym samym równaniu, z którego wyznaczano niewiadomą, nie wykrywa niczego, bo jest tautologią.

Jak zrobić dobrze: Podstaw parę do obu równań wyjściowych, a zwłaszcza do tego, którego nie używałeś w ostatnim kroku. Dopiero zgodność w obu potwierdza wynik.

Mylenie układu sprzecznego z nieoznaczonym

Skąd się bierze: W obu przypadkach niewiadome znikają, więc sytuacje wyglądają podobnie. Rozstrzyga to, co zostaje: zdanie fałszywe ( $0 = \textcolor{#9b1c14}{2}$ ) oznacza brak rozwiązań, a zdanie prawdziwe ( $0 = 0$ ) — nieskończenie wiele.

Jak zrobić dobrze: Po zniknięciu niewiadomych przeczytaj pozostałe zdanie i oceń, czy jest prawdziwe. Geometrycznie: proste równoległe różne to sprzeczny, proste pokrywające się to nieoznaczony.

Pominięcie warunku różności przy zadaniach z parametrem

Skąd się bierze: Do sprzeczności nie wystarczy równoległość prostych — muszą być jeszcze różne. Jeśli przy znalezionym parametrze wyrazy wolne też się zgadzają, układ jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań zamiast żadnego.

Jak zrobić dobrze: Po wyznaczeniu parametru z warunku równoległości sprawdź osobno, czy proste się nie pokrywają. To zwykle jeden dodatkowy rachunek, a decyduje o całej odpowiedzi.

Zadania maturalne — układy równań liniowych

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści — współczynniki układu i podane wartości. Czerwone to wielkości wyliczone po drodze, a wynik końcowy stoi na czarno.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Para liczb

x = -1

y = 6

jest rozwiązaniem układu równań

\begin{cases} ax + 3y = 20 \\ x + by = 5 \end{cases}

gdzie

a

oraz

b

są liczbami rzeczywistymi. Wartość wyrażenia

a \cdot b

jest równa

A. $(-2)$
B. $(-0{,}5)$
C. $0{,}5$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Klucz do zadania: skoro para jest rozwiązaniem, to spełnia OBA równania. Wstawiam ją więc do każdego z osobna.
Pierwsze równanie. Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{-1}$ oraz $y = \textcolor{#16A06A}{6}$ : $\;a \cdot \textcolor{#16A06A}{-1} + 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#16A06A}{20}$ .
Stąd $-a + 18 = 20$ , czyli $-a = 2$ , więc $a = \textcolor{#E0453A}{-2}$ .
Drugie równanie. Podstawiam tę samą parę: $\;\textcolor{#16A06A}{-1} + b \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
Stąd $6b = 6$ , więc $b = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Iloczyn: $a \cdot b = \textcolor{#E0453A}{-2} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = -2$ .
Sprawdzenie. Dla $a=-2$ i $b=1$ pierwsze równanie daje $(-2)(-1) + 18 = 2 + 18 = 20$ ✓, a drugie $-1 + 6 = 5$ ✓
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Nie rozwiązuj tu żadnego układu. Para jest już dana — wystarczy ją wstawić i potraktować $a$ oraz $b$ jak zwykłe niewiadome w dwóch osobnych, prostych równaniach.

⚠ Próba rozwiązywania układu metodą podstawiania, tak jakby szukane były $x$ i $y$ . Tu $x$ i $y$ są dane, a szukane są współczynniki — to zadanie odwrócone.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Układ równań

\begin{cases} x - 2y = 3 \\ -4x + 8y = -12 \end{cases}

A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania.
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Nie rozwiązuję układu — porównuję równania. Pytanie dotyczy tylko liczby rozwiązań, a tę widać z proporcji współczynników.
Pierwsze równanie mnożę stronami przez $\textcolor{#16A06A}{-4}$ : $\;\textcolor{#16A06A}{-4} \cdot (x - 2y) = \textcolor{#16A06A}{-4} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}$ , czyli $-4x + 8y = \textcolor{#E0453A}{-12}$ .
To jest dokładnie drugie równanie układu. Oba opisują więc tę samą prostą.
Skoro proste się pokrywają, punktów wspólnych jest nieskończenie wiele — układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i nazywa się nieoznaczonym.
Kontrola ilorazami. Porównuję odpowiadające sobie współczynniki: $\frac{-4}{1} = \textcolor{#2F80D8}{-4}$ , $\frac{8}{-2} = \textcolor{#2F80D8}{-4}$ , $\frac{-12}{3} = \textcolor{#2F80D8}{-4}$ . Wszystkie trzy równe — potwierdza to samo ✓
Sprawdzenie na konkretnej parze. Dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ z pierwszego równania $y = -1$ ; wstawiam do drugiego: $-4 + 8 \cdot (-1) \cdot (-1)$ … dokładniej $-4 \cdot 1 + 8 \cdot (-1) = -12$ ✓ — para pasuje do obu.
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu pytają wyłącznie o liczbę rozwiązań, prawie zawsze szybciej jest porównać współczynniki niż rozwiązać układ. Trzy równe ilorazy oznaczają nieskończenie wiele rozwiązań, dwa równe i trzeci inny — brak rozwiązań.

⚠ Odpowiedź C. Układ dwóch równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań — dwie proste mogą się przeciąć w jednym punkcie, pokrywać albo być rozłączne, i tyle.

Zadanie 3 (grudzień 2023)1 pktłatwe

Dany jest układ równań

\begin{cases} x - 3y + 5 = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases}

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

A. $x = 1$ i $y = 2$
B. $x = 0$ i $y = -3$
C. $x = -2$ i $y = 1$
D. $x = -1$ i $y = -1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wybieram metodę podstawiania, bo w pierwszym równaniu $x$ stoi ze współczynnikiem $1$ — wyznaczenie go nie wprowadzi żadnych ułamków.
Z pierwszego równania: $x = \textcolor{#16A06A}{3}y - \textcolor{#16A06A}{5}$ .
Podstawiam do drugiego: $2(\textcolor{#E0453A}{3y - 5}) + y + \textcolor{#16A06A}{3} = 0$ .
Rozwijam nawias: $6y - 10 + y + 3 = 0$ , czyli $7y - 7 = 0$ .
Stąd $7y = 7$ , więc $y = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Wracam do wyznaczonego $x$ : $\;x = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#2F80D8}{-2}$ .
Sprawdzenie w obu równaniach. Pierwsze: $\textcolor{#2F80D8}{-2} - 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{1} + 5 = -2 - 3 + 5 = 0$ ✓. Drugie: $2 \cdot \textcolor{#2F80D8}{-2} + \textcolor{#E0453A}{1} + 3 = -4 + 1 + 3 = 0$ ✓
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: W zadaniu zamkniętym z podanymi parami można też pójść na skróty i sprawdzić kolejne odpowiedzi. Przy czterech wariantach bywa to szybsze niż rozwiązywanie — ale trzeba pamiętać, żeby sprawdzać w OBU równaniach.

⚠ Sprawdzenie kandydata tylko w jednym równaniu. Para $x=1$ , $y=2$ spełnia pierwsze równanie ( $1-6+5=0$ ), ale drugiego już nie ( $2+2+3=7$ ), więc rozwiązaniem nie jest.

Zadanie 4 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Właściciel sklepu kupił w hurtowni

50

par identycznych spodni po

x

zł za parę i

40

identycznych marynarek po

y

zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił

8000

zł. Po doliczeniu marży

50\%

na każdą parę spodni i

20\%

na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Cenę pary spodni

x

oraz cenę marynarki

y

, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań

A. $\begin{cases} x + y = 8000 \\ 0{,}5x = 0{,}2y \end{cases}$
B. $\begin{cases} 50x + 40y = 8000 \\ 0{,}5x = 0{,}2y \end{cases}$
C. $\begin{cases} 50x + 40y = 8000 \\ 1{,}5x = 1{,}2y \end{cases}$
D. $\begin{cases} x + y = 8000 \\ 1{,}5x = 1{,}2y \end{cases}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Pierwsze równanie — koszt zakupu. Spodni jest $\textcolor{#16A06A}{50}$ par po $x$ zł, marynarek $\textcolor{#16A06A}{40}$ sztuk po $y$ zł, a razem zapłacono $\textcolor{#16A06A}{8000}$ zł.
Daje to $\textcolor{#E0453A}{50x + 40y = 8000}$ . Zapis $x + y = 8000$ byłby błędny, bo pomijałby liczbę sztuk — to cena jednej pary i jednej marynarki, a nie całego zakupu.
Drugie równanie — ceny detaliczne. Marża $\textcolor{#16A06A}{50}\%$ znaczy, że do ceny hurtowej dokładamy połowę, więc cena detaliczna spodni to $x + 0{,}5x = \textcolor{#E0453A}{1{,}5x}$ .
Analogicznie marża $\textcolor{#16A06A}{20}\%$ daje cenę marynarki $y + 0{,}2y = \textcolor{#E0453A}{1{,}2y}$ .
Treść mówi, że te ceny były jednakowe, więc $\textcolor{#E0453A}{1{,}5x} = \textcolor{#E0453A}{1{,}2y}$ .
Dlaczego nie $0{,}5x = 0{,}2y$ . To zdanie mówiłoby, że równe są same marże, a nie ceny detaliczne — czyli coś zupełnie innego, o czym w treści nie ma mowy.
Układ to zatem $50x + 40y = 8000$ oraz $1{,}5x = 1{,}2y$ .
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: W zadaniach o marży sprawdź, czy chodzi o samą marżę, czy o cenę po jej doliczeniu. Marża $50\%$ to mnożnik $1{,}5$ , a nie $0{,}5$ — pięćdziesiąt procent to kwota dołożona, a nie cała nowa cena.

⚠ Zapisanie warunku równości cen jako $0{,}5x = 0{,}2y$ . To równość marż, a nie cen detalicznych — a treść mówi wyraźnie o cenach po doliczeniu marży.

Zadanie 5 (maj 2022)1 pktśrednie

Rozwiązaniem układu równań

\begin{cases} 11x - 11y = 1 \\ 22x + 22y = -1 \end{cases}

jest para liczb

x = x_0

y = y_0

. Wtedy

A. $x_0 > 0$ i $y_0 > 0$
B. $x_0 > 0$ i $y_0 < 0$
C. $x_0 < 0$ i $y_0 > 0$
D. $x_0 < 0$ i $y_0 < 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw upraszczam oba równania, bo współczynniki mają wspólne dzielniki i bez tego rachunek będzie brzydki.
Pierwsze dzielę przez $\textcolor{#16A06A}{11}$ : $\;x - y = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{11}}$ .
Drugie dzielę przez $\textcolor{#16A06A}{22}$ : $\;x + y = \textcolor{#E0453A}{-\frac{1}{22}}$ .
Dodaję równania stronami — niewiadoma $y$ się skraca: $\;2x = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{11}} + \left(\textcolor{#E0453A}{-\frac{1}{22}}\right)$ .
Sprowadzam do wspólnego mianownika: $\frac{2}{22} - \frac{1}{22} = \frac{1}{22}$ , więc $2x = \frac{1}{22}$ , czyli $x_0 = \textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{44}}$ .
Wyznaczam $y$ z drugiego równania: $\;y = \textcolor{#E0453A}{-\frac{1}{22}} - \textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{44}} = -\frac{2}{44} - \frac{1}{44} = \textcolor{#8B5CF6}{-\frac{3}{44}}$ .
Odczytuję znaki: $x_0 = \textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{44}}$ jest dodatnie, a $y_0 = \textcolor{#8B5CF6}{-\frac{3}{44}}$ jest ujemne.
Kontrola bez rachunku. Suma $x + y$ wyszła ujemna, a różnica $x - y$ dodatnia — to możliwe tylko wtedy, gdy $x$ jest dodatnie, a $y$ ujemne i większe co do wartości bezwzględnej ✓
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Pytanie dotyczy tylko znaków, więc dokładne wartości nie są konieczne. Wystarczy zauważyć, że suma niewiadomych jest ujemna, a ich różnica dodatnia — to już wyznacza znaki jednoznacznie.

⚠ Dzielenie tylko lewej strony równania przez $11$ albo $22$ i pozostawienie prawej bez zmian. Wtedy oba ułamki wychodzą całkowite i znaki mogą wyjść przypadkiem dobrze, ale wartości są błędne.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Układ równań

\begin{cases} 2x - y = 2 \\ x + my = 1 \end{cases}

ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

A. $m = -1$
B. $m = 1$
C. $m = \dfrac{1}{2}$
D. $m = -\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Nieskończenie wiele rozwiązań znaczy, że oba równania opisują tę samą prostą — czyli jedno powstaje z drugiego przez pomnożenie przez liczbę.
Porównuję współczynniki przy $x$ : w pierwszym równaniu stoi $\textcolor{#16A06A}{2}$ , w drugim $\textcolor{#16A06A}{1}$ . Iloraz wynosi $\frac{2}{1} = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Sprawdzam wyrazy wolne: $\frac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{1}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ — ten sam iloraz, więc warunek na razie się trzyma.
Zostaje współczynnik przy $y$ . Musi zachodzić $\frac{-1}{m} = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Stąd $-1 = 2m$ , czyli $m = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{1}{2}}$ .
Sprawdzenie. Dla $m = \textcolor{#2F80D8}{-\frac{1}{2}}$ drugie równanie to $x - \frac{1}{2}y = 1$ . Mnożę je przez $2$ : $\;2x - y = 2$ — dokładnie pierwsze równanie ✓
Kontrola pozostałych wariantów. Dla $m = 1$ drugie równanie to $x + y = 1$ ; iloraz przy $y$ wynosi $-1$ , a przy $x$ dwa — proste się przecinają, więc rozwiązanie byłoby jedno, nie nieskończenie wiele.
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Zacznij od ilorazu, który nie zawiera parametru — tutaj od współczynników przy $x$ i wyrazów wolnych. Jeśli one się nie zgadzają, żadna wartość parametru nie da nieskończenie wielu rozwiązań i można od razu odpowiedzieć.

⚠ Pominięcie kontroli wyrazów wolnych. Gdyby ich iloraz był inny niż iloraz współczynników przy $x$ , proste byłyby równoległe i rozłączne — układ nie miałby rozwiązań w ogóle, niezależnie od $m$ .

Zadanie 7 (maj 2019)1 pktśrednie

Para liczb

x = 2

y = 2

jest rozwiązaniem układu równań

\begin{cases} ax + y = 4 \\ -2x + 3y = 2a \end{cases}

dla

A. $a = -1$
B. $a = 1$
C. $a = -2$
D. $a = 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Parametr $a$ występuje w obu równaniach, więc każde z nich da mi warunek na $a$ — i oba muszą prowadzić do tej samej wartości.
Pierwsze równanie. Podstawiam $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $y = \textcolor{#16A06A}{2}$ : $\;a \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#16A06A}{4}$ .
Stąd $2a = 2$ , czyli $a = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Drugie równanie. Ta sama para: $\;-2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 2a$ , czyli $-4 + 6 = 2a$ .
Stąd $2 = 2a$ , więc również $a = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Oba równania dały tę samą wartość — i to jest tu najważniejsza obserwacja, bo gdyby dały różne, para nie byłaby rozwiązaniem dla żadnego $a$ .
Sprawdzenie. Dla $a = 1$ układ to $x + y = 4$ oraz $-2x + 3y = 2$ . Para $(2, 2)$ : $2 + 2 = 4$ ✓ oraz $-4 + 6 = 2$ ✓
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Gdy parametr stoi w obu równaniach, policz go z każdego osobno i porównaj wyniki. Zgodność jest darmową kontrolą, a rozbieżność od razu mówi, że gdzieś jest błąd rachunkowy.

⚠ Wyznaczenie $a$ tylko z jednego równania i pominięcie drugiego. Przy tym zadaniu wynik wyjdzie poprawny, ale nawyk jest zły — w innych zadaniach drugie równanie bywa jedynym, które daje jednoznaczną odpowiedź.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. D	3. C	4. C	5. B	6. D
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest układ równań?

Dwa lub więcej równań, które mają być spełnione jednocześnie przez te same niewiadome. Rozwiązaniem układu z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniająca oba równania naraz.

Jakie są metody rozwiązywania układów równań?

Dwie podstawowe: metoda podstawiania, w której wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego równania, oraz metoda przeciwnych współczynników, w której dodajemy równania stronami tak, by jedna niewiadoma się skróciła.

Kiedy układ równań jest sprzeczny?

Gdy proste opisane obu równaniami są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. W rachunku poznaje się to po tym, że niewiadome znikają i zostaje zdanie fałszywe, na przykład zero równa się dwa.

Czym różni się układ nieoznaczony od sprzecznego?

Nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo oba równania opisują tę samą prostą. Sprzeczny nie ma żadnego, bo proste są równoległe i różne. Po zniknięciu niewiadomych zostaje odpowiednio zdanie prawdziwe albo fałszywe.

Co oznacza interpretacja geometryczna układu?

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą, a rozwiązaniem układu jest punkt wspólny tych prostych. Stąd trzy możliwe przypadki: przecięcie w jednym punkcie, pokrywanie się i równoległość.

Czy układ liniowy może mieć dokładnie dwa rozwiązania?

Nie. Dwie proste na płaszczyźnie mają jeden punkt wspólny, nie mają żadnego albo mają wszystkie wspólne. Dlatego liczba rozwiązań wynosi zawsze jeden, zero albo nieskończenie wiele.

Czytaj dalej

Równania i nierównościMapa działu i rozpoznawanie typu równania Równania linioweDo tego sprowadza się każdy krok pośredni Wykres funkcji liniowejPostać kierunkowa i nachylenie prostej Układ współrzędnychPara liczb jako punkt na płaszczyźnie

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.