Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Wielomiany

Wielomiany

Q: Co to jest wielomian?

Suma jednomianów, czyli wyrażenie w rodzaju 2x^3-5x+1. Każdy składnik nazywa się wyrazem, a liczba stojąca przy zmiennej — współczynnikiem. Sama liczba też jest wielomianem, stopnia zerowego.

Q: Dlaczego nie wolno dzielić równania przez x?

Bo dzielić można tylko przez wielkość różną od zera, a x=0 bywa jednym z pierwiastków. W równaniu 2x^3=18x dzielenie przez x gubi rozwiązanie zerowe i zostawia tylko dwa z trzech.

Wielomian to nic innego niż suma jednomianów — czyli wyrażenie w rodzaju $2x^3 - 5x + 1$ . Znasz je już z młodszych klas pod nazwą wyrażeń algebraicznych; w liceum dochodzi tylko nazwa, pojęcie stopnia i jedno konkretne zadanie: rozwiązywanie równań postaci $W(x)=0$ . Klucz do nich jest zawsze ten sam — rozłożyć na czynniki, bo iloczyn równa się zeru tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik.

Dział: Wyrażenia algebraicznePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 6

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

1Wielomian, jednomian, stopień

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział II. Wyrażenia algebraiczne, zakres podstawowy, punkt 2: „dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych”.

Dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy, punkt 5: „rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W(x) = 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej”. Ostatnie słowa są tu najważniejsze — na poziomie podstawowym wielomian dostajesz już rozłożony.

Dzielenie wielomianów, rozkład metodą grupowania i pierwiastki całkowite należą już do zakresu rozszerzonego — piszę o nich na końcu, osobno oznaczone.

Jednomian to iloczyn liczby i potęg zmiennych: $3x^2$ , $-7xy$ , $5$ . Sama liczba też jest jednomianem — to przypadek, w którym zmienna występuje w zerowej potędze.

Wielomian to suma jednomianów. Każdy składnik nazywa się wyrazem, a liczba przy zmiennej — współczynnikiem.

W(x) = 2x^3 - 5x + 1

Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej, jaka w nim występuje. Dla powyższego przykładu to $\textcolor{#E0453A}{3}$ , bo najwyższy wyraz to $2x^3$ .

wielomian	stopień	nazwa
$5$	$0$	wielomian stały
$2x - 7$	$1$	wielomian liniowy
$x^2 + 3x - 1$	$2$	wielomian kwadratowy (trójmian)
$x^3 - 4x$	$3$	wielomian trzeciego stopnia
$-6x^5 + x^2$	$5$	wielomian piątego stopnia

Zwróć uwagę na trzeci wiersz: trójmian kwadratowy to po prostu wielomian stopnia drugiego. Wszystko, co wiesz o funkcji kwadratowej i równaniach kwadratowych, jest więc szczególnym przypadkiem tego działu.

Uwaga na kolejność wyrazów. Wielomian zapisuje się zwykle malejąco według potęg — najpierw najwyższa. Zapis $1 - 5x + 2x^3$ opisuje ten sam wielomian, ale stopień odczytuje się z niego trudniej.

2Dodawanie, odejmowanie i mnożenie

Działania na wielomianach nie wprowadzają nic nowego — to redukcja wyrazów podobnych i mnożenie każdego przez każdy, znane z wyrażeń algebraicznych.

Dodawanie i odejmowanie polega na połączeniu wyrazów podobnych, czyli tych o tej samej potędze:

(\textcolor{#16A06A}{x^2+3x-1}) + (\textcolor{#16A06A}{2x^2-x+4}) = \textcolor{#E0453A}{3x^2 + 2x + 3}

Osobno dodałem wyrazy z $x^2$ ( $1+2=3$ ), osobno z $x$ ( $3-1=2$ ), osobno wolne ( $-1+4=3$ ).

Przy odejmowaniu trzeba zmienić znak każdego wyrazu drugiego nawiasu — to najczęstsze miejsce pomyłki:

(\textcolor{#16A06A}{x^2+3x-1}) - (\textcolor{#16A06A}{2x^2-x+4}) = x^2+3x-1-2x^2+x-4 = \textcolor{#E0453A}{-x^2 + 4x - 5}

Mnożenie to każdy wyraz przez każdy, a potem redukcja:

(\textcolor{#16A06A}{x+2})(\textcolor{#16A06A}{x^2-1}) = x^3 - x + 2x^2 - 2 = \textcolor{#E0453A}{x^3 + 2x^2 - x - 2}

Stopień iloczynu — kontrola za darmo

Stopień iloczynu to suma stopni czynników. Mnożąc wielomian stopnia $1$ przez wielomian stopnia $2$ , musimy dostać stopień $3$ .

To najszybsza kontrola po wymnożeniu: jeśli najwyższa potęga nie zgadza się z sumą, gdzieś zginął wyraz.

Przy dodawaniu takiej reguły nie ma — stopień sumy bywa niższy od obu składników, gdy najwyższe wyrazy się zniosą.

Do mnożenia dwumianów warto używać wzorów skróconego mnożenia — skracają rachunek i zmniejszają ryzyko pomyłki.

3Równania wielomianowe

To główne zastosowanie wielomianów w zakresie podstawowym. Metoda opiera się na jednym fakcie, prostym i potężnym.

Iloczyn równy zeru

Iloczyn równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem.

Nie ma innej możliwości — mnożenie liczb różnych od zera nigdy nie da zera. Dlatego równanie $(x-2)(x+5) = 0$ rozpada się na dwa proste: $x-2=0$ albo $x+5=0$ .

Cała trudność polega więc na doprowadzeniu równania do postaci iloczynowej. W zakresie podstawowym podstawa wymaga tylko równań, które są już w tej postaci. Dopiero rozszerzenie dokłada te, które daje się do niej doprowadzić wyłączeniem wspólnego czynnika przed nawias albo metodą grupowania (dz. III rozsz. pkt 1) — na maturze podstawowej rozkładania nikt od Ciebie nie wymaga.

Przykład najprostszy — równanie już rozłożone:

\textcolor{#16A06A}{x}(x-3)(x+5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{0} \;\text{ lub }\; x = \textcolor{#E0453A}{3} \;\text{ lub }\; x = \textcolor{#E0453A}{-5}

Każdy czynnik przyrównuje się do zera osobno. Wielomian stopnia trzeciego ma tu trzy pierwiastki — i to nie przypadek.

Przykład z wyłączaniem — trzeba najpierw rozłożyć:

x^3 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{#16A06A}{x}(x^2-4) = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{#16A06A}{x}(x-2)(x+2) = 0

Najpierw wyłączyłem $\textcolor{#16A06A}{x}$ przed nawias, potem rozłożyłem $x^2-4$ różnicą kwadratów. Rozwiązania: $x = \textcolor{#E0453A}{0}$ , $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ , $x = \textcolor{#E0453A}{-2}$ .

Nigdy nie dziel przez $x$ . Skrócenie równania $x^3 = 4x$ przez $x$ gubi rozwiązanie $x=0$ — dokładnie tak samo jak przy równaniach kwadratowych. Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i wyłączaj.

Warto zapamiętać ograniczenie: wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych. Może mieć mniej — na przykład $x^2+1$ nie ma żadnego — ale nigdy więcej.

To niepozorne zdanie ma zaskakująco mocną konsekwencję: wynika z niego, że dwa wielomiany są równe dokładnie wtedy, gdy mają te same współczynniki. Na tym opiera się metoda porównywania współczynników, którą opisuję osobno — razem z tym, jak z samego wzoru odczytać kierunek ramion wykresu.

4Zakres rozszerzony: grupowanie i dzielenie

Materiał rozszerzony

Podstawa umieszcza w zakresie rozszerzonym (dz. II): „dzieli wielomian jednej zmiennej $W(x)$ przez dwumian postaci $x-a$ ”, „rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów” i „znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych”.

Do matury podstawowej nie są potrzebne — wystarczy umieć rozwiązać równanie już rozłożone albo takie, w którym wystarczy wyłączyć wspólny czynnik.

Metoda grupowania przydaje się, gdy wielomian ma cztery wyrazy i nie ma wspólnego czynnika dla wszystkich. Dzieli się go wtedy na dwie pary:

x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = \textcolor{#16A06A}{x^2}(x+2) - \textcolor{#16A06A}{3}(x+2) = (x+2)(\textcolor{#16A06A}{x^2} - \textcolor{#16A06A}{3})

Z pierwszej pary wyłączyłem $\textcolor{#16A06A}{x^2}$ , z drugiej $\textcolor{#16A06A}{3}$ — i w obu został ten sam nawias $(x+2)$ . To znak, że grupowanie się udało; można go wtedy wyłączyć przed całość.

Gdyby nawiasy wyszły różne, trzeba spróbować innego podziału na pary albo innej metody.

Pierwiastki całkowite szuka się wśród dzielników wyrazu wolnego. Dla $x^3-2x^2-x+2$ wyraz wolny to $2$ , więc kandydatami są $\textcolor{#16A06A}{\pm 1}$ i $\textcolor{#16A06A}{\pm 2}$ — sprawdza się je podstawieniem. To znacznie szybsze niż zgadywanie.

Kontrola dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ : $1 - 2 - 1 + 2 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓ — jedynka jest pierwiastkiem, więc $(x-1)$ jest czynnikiem tego wielomianu.

Co dalej z tym czynnikiem. Żeby otrzymać pełny rozkład, trzeba przez niego podzielić — sposobem pisemnym albo schematem Hornera. Sam rachunek i twierdzenie o reszcie, dzięki któremu sprawdzenie pierwiastka sprowadza się do jednego podstawienia, opisuję przy dzieleniu wielomianów.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: działania, równanie z wyłączaniem i grupowanie.

Przykład 1 Odejmowanie i mnożenie wielomianów

Dane są $W(x) = \textcolor{#16A06A}{2x^2 - x + 3}$ oraz $P(x) = \textcolor{#16A06A}{x^2 + 4x - 1}$ . Oblicz $W(x) - P(x)$ oraz stopień iloczynu $W(x) \cdot P(x)$ .

Odejmowanie. Zmieniam znak każdego wyrazu drugiego wielomianu.
$\textcolor{#16A06A}{2x^2 - x + 3} - \textcolor{#16A06A}{x^2} - \textcolor{#16A06A}{4x} + \textcolor{#16A06A}{1}$
Redukuję wyrazy podobne: $x^2$ z $x^2$ , potem $x$ z $x$ , potem wolne.
$(2-1)x^2 + (-1-4)x + (3+1) = \textcolor{#E0453A}{x^2 - 5x + 4}$
Stopień iloczynu. Oba wielomiany mają stopień $\textcolor{#2F80D8}{2}$ , a stopień iloczynu to suma stopni.
$\textcolor{#2F80D8}{2} + \textcolor{#2F80D8}{2} = \textcolor{#8B5CF6}{4}$ — iloczyn będzie wielomianem czwartego stopnia.
Kontrola odejmowania przez podstawienie $x = 1$ : $W(1) = 2-1+3 = 4$ , $P(1) = 1+4-1 = 4$ , więc różnica to $0$ .
Sprawdzam wynik: $1 - 5 + 4 = 0$ ✓ — zgadza się
Kontrola stopnia: najwyższy wyraz iloczynu to $2x^2 \cdot x^2 = 2x^4$ , czyli stopień $\textcolor{#8B5CF6}{4}$ ✓

Odpowiedź: $W(x)-P(x) = x^2-5x+4$ ; stopień iloczynu to $4$ .

Kontrola przez podstawienie jednej liczby do obu stron działa przy każdym przekształceniu wielomianów i zajmuje kilkanaście sekund. Stopnia iloczynu nie trzeba liczyć przez wymnożenie — wystarczy dodać stopnie.

Przykład 2 Równanie z wyłączaniem czynnika

Rozwiąż równanie $2x^3 = \textcolor{#16A06A}{18}x$ .

Przenoszę wszystko na lewą stronę — nie dzielę przez $x$ , bo zgubiłbym rozwiązanie.
$2x^3 - \textcolor{#16A06A}{18}x = 0$
Wyłączam wspólny czynnik $\textcolor{#2F80D8}{2x}$ przed nawias.
$\textcolor{#2F80D8}{2x}(x^2 - 9) = 0$
Nawias rozkładam różnicą kwadratów: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .
$\textcolor{#2F80D8}{2x}(x-3)(x+3) = 0$
Przyrównuję każdy czynnik do zera: $x = \textcolor{#E0453A}{0}$ lub $x = \textcolor{#E0453A}{3}$ lub $x = \textcolor{#E0453A}{-3}$ .
Kontrola $x=\textcolor{#E0453A}{3}$ : lewa $2 \cdot 27 = 54$ , prawa $18 \cdot 3 = 54$ ✓
Kontrola $x=\textcolor{#E0453A}{0}$ : obie strony dają $0$ ✓ — to rozwiązanie przepadłoby przy dzieleniu przez $x$
Kontrola liczby pierwiastków: wielomian jest stopnia trzeciego, więc co najwyżej trzy — i mamy dokładnie trzy ✓

Odpowiedź: $x \in \{-3, 0, 3\}$ .

Pokusa podzielenia przez $x$ jest tu silna, bo skraca rachunek. Kosztuje jednak jedno z trzech rozwiązań — i to zwykle właśnie to, o które pyta zadanie.

Przykład 3 Rozkład metodą grupowania

Rozłóż na czynniki wielomian $x^3 + 5x^2 - 4x - 20$ i podaj jego pierwiastki.

Cztery wyrazy bez wspólnego czynnika — próbuję grupowania po dwa.
$(x^3 + 5x^2) + (-4x - 20)$
Z pierwszej pary wyłączam $\textcolor{#16A06A}{x^2}$ : $\textcolor{#16A06A}{x^2}(x+5)$ .
Z drugiej wyłączam $\textcolor{#16A06A}{-4}$ : $\textcolor{#16A06A}{-4}(x+5)$ .
Oba nawiasy wyszły takie same — to znak, że grupowanie się udało.
$\textcolor{#2F80D8}{(x+5)}(\textcolor{#16A06A}{x^2} - \textcolor{#16A06A}{4})$
Drugi nawias to różnica kwadratów: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ .
Pełny rozkład: $\textcolor{#2F80D8}{(x+5)}(x-2)(x+2)$ , więc pierwiastki to $\textcolor{#E0453A}{-5}$ , $\textcolor{#E0453A}{2}$ , $\textcolor{#E0453A}{-2}$ .
Kontrola $x=\textcolor{#E0453A}{2}$ : $8 + 20 - 8 - 20 = 0$ ✓
Kontrola $x=\textcolor{#E0453A}{-5}$ : $-125 + 125 + 20 - 20 = 0$ ✓
Kontrola stopnia: trzy czynniki liniowe dają stopień $3$ ✓

Odpowiedź: $x^3+5x^2-4x-20 = (x+5)(x-2)(x+2)$ ; pierwiastki: $-5$ , $-2$ , $2$ .

Sprawdzianem poprawnego grupowania jest identyczny nawias w obu parach. Jeśli wyjdą różne, warto spróbować innego podziału — czasem pomaga przestawienie wyrazów.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy kosztuje jedno rozwiązanie.

Dzielenie równania przez $x$

Skąd się bierze: W równaniu $2x^3 = 18x$ podzielenie przez $x$ daje $2x^2 = 18$ i gubi rozwiązanie $x=0$ . Dzielić wolno tylko przez wielkość różną od zera, a tu zero jest jednym z pierwiastków.

Jak zrobić dobrze: Przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz $x$ przed nawias. Kontrola: wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków — jeśli wyszło ich mniej, sprawdź, czy zero nie przepadło.

Pominięcie znaku przy odejmowaniu wielomianów

Skąd się bierze: Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu w środku, nie tylko pierwszego. Przy trzech wyrazach pomyłka zmienia dwa z nich, a wynik nadal wygląda wiarygodnie.

Jak zrobić dobrze: Zapisz odejmowanie jako mnożenie przez $-1$ i rozwiń nawias osobno. Kontrola przez podstawienie jednej liczby do obu postaci wykrywa błąd natychmiast.

Mylenie stopnia sumy ze stopniem iloczynu

Skąd się bierze: Stopień iloczynu to suma stopni, ale stopień sumy taką regułą się nie rządzi — najwyższe wyrazy mogą się znieść. Dla $x^2+x$ i $-x^2+1$ suma ma stopień $1$ , a nie $2$ .

Jak zrobić dobrze: Regułę sumowania stosuj wyłącznie do mnożenia. Przy dodawaniu sprawdź, czy najwyższe wyrazy się nie redukują — to jedyna sytuacja, w której stopień spada.

Uznanie grupowania za nieudane po pierwszej próbie

Skąd się bierze: Podział na pary bywa nieoczywisty. Jeśli nawiasy wyszły różne, nie znaczy to, że metoda zawodzi — często wystarczy pogrupować inaczej albo przestawić wyrazy.

Jak zrobić dobrze: Spróbuj innego podziału, zanim uznasz, że wielomian się nie rozkłada. Sprawdź też pierwiastki całkowite wśród dzielników wyrazu wolnego — to zwykle szybsza droga.

Zadania maturalne — rozkład wyrażenia na czynniki

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Rozkład na czynniki to zawsze ta sama kolejność pytań. Po pierwsze: czy wszystkie składniki mają coś wspólnego, co da się wyłączyć przed nawias? Po drugie: czy to, co zostało, jest jednym ze wzorów skróconego mnożenia czytanych od prawej strony —

a^2 \pm 2ab + b^2

albo

a^2 - b^2

? Po trzecie: jeśli składników są cztery, czy da się je pogrupować po dwa tak, żeby w obu parach wyszedł ten sam nawias? Kontrola jest zawsze ta sama: wymnóż z powrotem.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2011)1 pktłatwe

Wyrażenie

5a^2 - 10ab + 15a

jest równe iloczynowi

A. $5a^2(1 - 10b + 3)$
B. $5a(a - 2b + 3)$
C. $5a(a - 10b + 15)$
D. $5(a - 2b + 3)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pierwsze pytanie przy każdym rozkładzie: co mają wspólnego wszystkie składniki? Rozpisujemy je po kolei:
$\textcolor{#16A06A}{5a^2} = 5 \cdot a \cdot a$ , $\quad \textcolor{#16A06A}{10ab} = 5 \cdot 2 \cdot a \cdot b$ , $\quad \textcolor{#16A06A}{15a} = 5 \cdot 3 \cdot a$
Wspólne dla wszystkich trzech jest $\textcolor{#E0453A}{5}$ oraz jedno $\textcolor{#E0453A}{a}$ — drugiego $a$ nie ma w dwóch ostatnich składnikach, więc wyłączyć można tylko $\textcolor{#E0453A}{5a}$ .
Dzielimy każdy składnik przez $5a$ i zapisujemy wynik w nawiasie:
$\dfrac{5a^2}{5a} = \textcolor{#E0453A}{a}, \qquad \dfrac{10ab}{5a} = \textcolor{#E0453A}{2b}, \qquad \dfrac{15a}{5a} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$5a^2 - 10ab + 15a = \textcolor{#E0453A}{5a(a - 2b + 3)}$
Odpowiedź: B.
Kontrola przez wymnożenie z powrotem: $5a \cdot a = 5a^2$ ✓, $5a \cdot (-2b) = -10ab$ ✓, $5a \cdot 3 = 15a$ ✓. Wszystkie trzy składniki się zgadzają, więc rozkład jest poprawny. Ta kontrola zajmuje kilkanaście sekund i wyklucza wszystkie pozostałe odpowiedzi: $C$ dałoby $5a^2 - 50ab + 75a$ , a $D$ tylko $5a - 10b + 15$ .

💡 Wskazówka: Wyłączaj największy wspólny czynnik, ale nie więcej, niż się da. Litera $a$ występuje w pierwszym składniku dwa razy, w drugim raz, a w trzecim raz — więc wspólna jest tylko jedna sztuka. Ta sama reguła co przy liczbach: wspólny dzielnik to ten, który mieści się we wszystkich składnikach.

⚠ Odpowiedź $C$ — wyłączenie $5a$ przed nawias, ale podzielenie przez nie tylko pierwszego składnika, a przepisanie pozostałych bez zmian. To najczęstszy błąd w wyłączaniu i wychwytuje go natychmiast wymnożenie z powrotem. Drugi błąd: odpowiedź $A$ , czyli wyłączenie $5a^2$ — a takiego czynnika nie da się wyłączyć, bo w składnikach $10ab$ i $15a$ nie ma dwóch liter $a$ .

Zadanie 2 (czerwiec 2015)1 pktśrednie

Wyrażenie

3a^2 - 12ab + 12b^2

może być przekształcone do postaci

A. $3\left(a^2 - b^2\right)^2$
B. $3\left(a - 2b^2\right)^2$
C. $3(a - 2b)^2$
D. $3(a + 2b)^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Rozkład dwuetapowy — i to jest tu cała nauka. Najpierw wspólny czynnik, dopiero potem wzór.
Krok pierwszy. Wszystkie trzy współczynniki, $\textcolor{#16A06A}{3}$ , $\textcolor{#16A06A}{12}$ i $\textcolor{#16A06A}{12}$ , dzielą się przez $\textcolor{#E0453A}{3}$ ; wspólnej litery nie ma, bo w ostatnim składniku nie występuje $a$ .
$3a^2 - 12ab + 12b^2 = \textcolor{#E0453A}{3}\left(a^2 - 4ab + 4b^2\right)$
Krok drugi. Patrzymy na nawias: trzy składniki, skrajne są kwadratami. Sprawdzamy, czy to kwadrat różnicy $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
• $a^2$ to kwadrat $\textcolor{#E0453A}{a}$ ,
• $4b^2$ to kwadrat $\textcolor{#E0453A}{2b}$ ,
• środkowy składnik powinien wynosić $2 \cdot a \cdot 2b = \textcolor{#E0453A}{4ab}$ — i faktycznie tyle wynosi ✓
$3\left(a^2 - 4ab + 4b^2\right) = \textcolor{#E0453A}{3(a - 2b)^2}$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wymnożenie: $(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$ , a po pomnożeniu przez $3$ dostajemy $3a^2 - 12ab + 12b^2$ ✓. Kontrola liczbowa dla $a = 1$ , $b = 1$ : wyrażenie wyjściowe daje $3 - 12 + 12 = 3$ , a $3(1-2)^2 = 3$ ✓. Odpowiedź $D$ dałaby $3 \cdot 9 = 27$ , a $B$ — też $3$ , więc tu akurat trzeba drugiej próby: dla $a = 1$ , $b = 2$ wyjściowe daje $3 - 24 + 48 = 27$ , $C$ daje $3 \cdot 9 = 27$ ✓, a $B$ daje $3 \cdot 49 = 147$ ✗.

💡 Wskazówka: Sprawdzaj wzór skróconego mnożenia po środkowym składniku. Skrajne wyrazy prawie zawsze wyglądają jak kwadraty — to za mało. Rozstrzyga to, czy środkowy jest równy podwojonemu iloczynowi pierwiastków ze skrajnych. Tutaj $2 \cdot a \cdot 2b = 4ab$ i tyle właśnie stoi w nawiasie, więc wzór pasuje.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $3\left(a - 2b^2\right)^2$ — przeniesienie kwadratu z $4b^2$ na całe $2b^2$ zamiast rozpoznania, że $4b^2 = (2b)^2$ . Warto sprawdzić to liczbowo na dwóch parach liczb, bo dla $a = b = 1$ oba warianty przypadkiem dają $3$ . Drugi błąd: odpowiedź $D$ ze znakiem plus — środkowy składnik ma minus, więc we wzorze też musi być minus.

Zadanie 3 (maj 2013)1 pktśrednie

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

4x^2 - 12x + 9

jest równe

A. $(4x + 3)(x + 3)$
B. $(2x - 3)(2x + 3)$
C. $(2x - 3)(2x - 3)$
D. $(x - 3)(4x - 3)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trzy składniki, skrajne są kwadratami — więc sprawdzamy wzór na kwadrat różnicy.
• $\textcolor{#16A06A}{4x^2}$ to kwadrat $\textcolor{#E0453A}{2x}$ ,
• $\textcolor{#16A06A}{9}$ to kwadrat $\textcolor{#E0453A}{3}$ ,
• podwojony iloczyn powinien wynosić $2 \cdot 2x \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{12x}$ — i dokładnie tyle stoi w środku, ze znakiem minus ✓
$4x^2 - 12x + 9 = (\textcolor{#E0453A}{2x} - \textcolor{#E0453A}{3})^2 = \textcolor{#E0453A}{(2x-3)(2x-3)}$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wymnożenie: $(2x-3)(2x-3) = 4x^2 - 6x - 6x + 9 = 4x^2 - 12x + 9$ ✓.
Kontrola liczbowa dla $x = 1$ : wyrażenie daje $4 - 12 + 9 = 1$ . Sprawdzamy odpowiedzi: $A$ daje $7 \cdot 4 = 28$ , $B$ daje $(-1) \cdot 5 = -5$ , $C$ daje $(-1)(-1) = 1$ ✓, $D$ daje $(-2) \cdot 1 = -2$ . Jedno podstawienie rozstrzyga całe zadanie.

💡 Wskazówka: Uważaj na odpowiedź $B$ — wygląda „ładniej”, bo ma minus i plus jak wzór na różnicę kwadratów. Ale różnica kwadratów ma dwa składniki, a tutaj są trzy. Obecność środkowego wyrazu $-12x$ przesądza, że to kwadrat różnicy, a nie różnica kwadratów. To dwa różne wzory i mylenie ich jest w tym dziale najczęstszym błędem.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $(2x-3)(2x+3)$ — zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów. Po wymnożeniu daje ona $4x^2 - 9$ , a więc wyrażenie bez środkowego składnika i z innym znakiem przy dziewiątce. Drugi błąd: odpowiedzi $A$ i $D$ , w których rozkład został zgadnięty przez „dobieranie liczb” bez sprawdzenia — wymnożenie natychmiast je obala.

Zadanie 4 (grudzień 2013)1 pkttrudniejsze

Wyrażenie

16 - (3x+1)^2

jest równe

A. $(3 - 3x) \cdot (5 + 3x)$
B. $(15 - 3x)^2$
C. $(5 - 3x) \cdot (5 + 3x)$
D. $15 - 9x^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

To różnica kwadratów, tylko drugim kwadratem jest cały nawias. Stosujemy $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{4}$ (bo $16 = 4^2$ ) oraz $b = \textcolor{#16A06A}{3x+1}$ .
$16 - (3x+1)^2 = \big(\textcolor{#16A06A}{4} - (\textcolor{#16A06A}{3x+1})\big) \cdot \big(\textcolor{#16A06A}{4} + (\textcolor{#16A06A}{3x+1})\big)$
Teraz upraszczamy każdy nawias osobno. W pierwszym minus przed nawiasem zmienia znak obu składników:
$4 - (3x+1) = 4 - 3x - 1 = \textcolor{#E0453A}{3 - 3x}$
$4 + (3x+1) = 4 + 3x + 1 = \textcolor{#E0453A}{5 + 3x}$
$16 - (3x+1)^2 = \textcolor{#E0453A}{(3 - 3x)(5 + 3x)}$
Odpowiedź: A.
Kontrola liczbowa dla $x = 1$ : wyrażenie wyjściowe daje $16 - 16 = 0$ , a odpowiedź $A$ daje $(3-3)(5+3) = 0$ ✓. Sprawdzamy pozostałe przy tym samym $x$ : $B$ daje $144$ , $C$ daje $2 \cdot 8 = 16$ , $D$ daje $6$ — wszystkie odpadają. Dla pewności druga próba, $x = 0$ : wyjściowe daje $16 - 1 = 15$ , a $A$ daje $3 \cdot 5 = 15$ ✓.

💡 Wskazówka: Traktuj $(3x+1)$ jako jedną całość i podstaw go do wzoru w miejsce $b$ , nie rozwijając kwadratu. Rozwinięcie też działa — wychodzi $16 - 9x^2 - 6x - 1 = 15 - 6x - 9x^2$ — ale wtedy trzeba jeszcze raz rozkładać trójmian, czyli robić tę samą pracę dwa razy. Cała sztuka polega na tym, żeby zobaczyć wzór przed rozwijaniem.

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $(5-3x)(5+3x)$ — z potraktowania $16$ jako kwadratu, a $(3x+1)^2$ jako $(3x)^2 + 1$ , czyli z rozbicia nawiasu i doklejenia jedynki do czwórki. Drugi błąd: odpowiedź $D$ , czyli $15 - 9x^2$ — z rozwinięcia $(3x+1)^2$ jako $9x^2 + 1$ , a więc z pominięcia podwójnego iloczynu $6x$ . Obie pomyłki wychodzą natychmiast po podstawieniu $x = 1$ : wyrażenie wyjściowe daje wtedy zero, a te odpowiedzi nie.

Zadanie 5 (czerwiec 2014)1 pkttrudniejsze

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

wyrażenie

ab + a - b - 1

jest równe

A. $(a - 1)(b - 1)$
B. $(a + 1)(b - 1)$
C. $(a - 1)(b + 1)$
D. $(a + 1)(b + 1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Cztery składniki, żaden wspólny czynnik nie obejmuje wszystkich — to sygnał, żeby spróbować grupowania: dzielimy wyrażenie na dwie pary i z każdej wyłączamy, co się da, licząc na to, że zostanie ten sam nawias.
Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa składniki:
$(\textcolor{#16A06A}{ab + a}) + (\textcolor{#16A06A}{-b - 1})$
Z pierwszej pary wyłączamy $\textcolor{#E0453A}{a}$ , z drugiej $\textcolor{#E0453A}{-1}$ :
$a(\textcolor{#E0453A}{b + 1}) - 1 \cdot (\textcolor{#E0453A}{b + 1})$
W obu składnikach pojawił się ten sam nawias $\textcolor{#E0453A}{b+1}$ — to znaczy, że grupowanie się udało. Wyłączamy go teraz przed nawias:
$(\textcolor{#E0453A}{b + 1})(\textcolor{#E0453A}{a - 1})$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wymnożenie: $(a-1)(b+1) = ab + a - b - 1$ ✓ — zgadza się co do składnika. Kontrola liczbowa dla $a = 2$ , $b = 3$ : wyrażenie wyjściowe daje $6 + 2 - 3 - 1 = 4$ , a $C$ daje $1 \cdot 4 = 4$ ✓. Pozostałe przy tych liczbach: $A$ daje $2$ , $B$ daje $6$ , $D$ daje $12$ .

💡 Wskazówka: Przy grupowaniu nie ma jednej właściwej pary — jeśli pierwszy podział nie zadziała, spróbuj innego. Tutaj równie dobrze działa rozbicie $ab - b$ oraz $a - 1$ : z pierwszej pary wyłączysz $b$ , dostając $b(a-1)$ , z drugiej nic, ale zostanie $(a-1)$ — i znowu wychodzi $(a-1)(b+1)$ . Sygnałem sukcesu jest zawsze ten sam nawias w obu grupach.

⚠ Zgadnięcie odpowiedzi „po znakach”, czyli wybranie $(a-1)(b-1)$ , bo w wyrażeniu widać dwa minusy. Znaki w rozkładzie nie odpowiadają wprost znakom w sumie — rozstrzyga wymnożenie: $(a-1)(b-1) = ab - a - b + 1$ , a więc inny znak przy $a$ i przy jedynce. Drugi błąd: zatrzymanie się po pierwszym etapie, na zapisie $a(b+1) - (b+1)$ , który iloczynem jeszcze nie jest — trzeba wyłączyć wspólny nawias.

Zadanie 6 (sierpień 2010)1 pktłatwe

Wyrażenie

x(x-1)(x+1)

jest równe

A. $(x-1)^3$
B. $x^3 - 1$
C. $x^3 - x$
D. $x^3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tym razem idziemy w drugą stronę: mamy iloczyn i mamy go zamienić na sumę. Warto zacząć od tej pary nawiasów, która pasuje do wzoru.
Nawiasy $(\textcolor{#16A06A}{x-1})$ i $(\textcolor{#16A06A}{x+1})$ to różnica i suma tych samych składników, więc ich iloczyn liczy się wzorem $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
$(x-1)(x+1) = x^2 - 1^2 = \textcolor{#E0453A}{x^2 - 1}$
Zostało pomnożyć przez $x$ , pamiętając, żeby pomnożyć oba składniki nawiasu:
$x \cdot \left(\textcolor{#E0453A}{x^2 - 1}\right) = \textcolor{#E0453A}{x^3 - x}$
Odpowiedź: C.
Kontrola liczbowa dla $x = 2$ : wyrażenie wyjściowe daje $2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$ . Sprawdzamy odpowiedzi: $A$ daje $1$ , $B$ daje $7$ , $C$ daje $8 - 2 = 6$ ✓, $D$ daje $8$ . Dla pewności $x = 3$ : wyjściowe daje $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ , a $C$ daje $27 - 3 = 24$ ✓.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz mnożyć wszystko po kolei, rozejrzyj się za parą pasującą do wzoru. Tutaj nawiasy $(x-1)$ i $(x+1)$ dają natychmiast $x^2-1$ , a mnożenie ich „na piechotę” — cztery składniki, z których dwa się skracają. Ta sama zasada działa w obie strony: wzory skracają rachunek niezależnie od tego, czy rozkładasz, czy wymnażasz.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $x^3 - 1$ — z pomnożenia przez $x$ tylko pierwszego składnika nawiasu. To ten sam błąd co przy wyłączaniu wspólnego czynnika, tylko w drugą stronę: mnożenie przez nawias dotyczy każdego wyrazu w środku. Drugi błąd: odpowiedź $A$ , czyli $(x-1)^3$ — z uznania, że trzy czynniki muszą dać sześcian; to prawda tylko wtedy, gdy wszystkie trzy są takie same, a tu każdy jest inny.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B

2. C

3. C

4. A

5. C

6. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest wielomian?

Suma jednomianów, czyli wyrażenie w rodzaju $2x^3-5x+1$ . Każdy składnik nazywa się wyrazem, a liczba stojąca przy zmiennej — współczynnikiem. Sama liczba też jest wielomianem, stopnia zerowego.

Jak wyznaczyć stopień wielomianu?

To najwyższa potęga zmiennej występująca w wielomianie. Dla $2x^3-5x+1$ stopień wynosi $3$ . Warto zapisywać wielomian malejąco według potęg, bo wtedy stopień odczytuje się od razu z pierwszego wyrazu.

Jak rozwiązać równanie wielomianowe?

Doprowadzić je do postaci iloczynowej i przyrównać każdy czynnik do zera. Opiera się to na fakcie, że iloczyn równa się zeru tylko wtedy, gdy zeruje się przynajmniej jeden z czynników.

Dlaczego nie wolno dzielić równania przez

x

Bo dzielić można tylko przez wielkość różną od zera, a $x=0$ bywa jednym z pierwiastków. W równaniu $2x^3=18x$ dzielenie przez $x$ gubi rozwiązanie zerowe i zostawia tylko dwa z trzech.

Ile pierwiastków ma wielomian?

Co najwyżej tyle, ile wynosi jego stopień. Może mieć mniej — na przykład $x^2+1$ nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego — ale nigdy więcej niż stopień.

Na czym polega metoda grupowania?

Na podzieleniu wielomianu na pary wyrazów i wyłączeniu z każdej wspólnego czynnika tak, żeby w obu został ten sam nawias. Wtedy można go wyłączyć przed całość. To materiał zakresu rozszerzonego.

Czytaj dalej

Wyrażenia algebraiczneRedukcja wyrazów podobnych i minus przed nawiasem Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów przy rozkładzie na czynniki Równania kwadratoweSzczególny przypadek równania wielomianowego Funkcja kwadratowaWielomian stopnia drugiego i jego wykres PotęgiDodawanie wykładników przy mnożeniu jednomianów

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.