Objętość graniastosłupa

Odpowiedź: B

1. Pole podstawy liczę wzorem na pole rombu z przekątnych: $P_p = \frac{e \cdot f}{2}$.
2. $P_p = \frac{\textcolor{#16A06A}{7} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}}{2} = \textcolor{#E0453A}{35}$ cm$^2$
3. Wysokość bryły: dłuższa przekątna ma $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm, więc $H = 10 - 2 = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
4. Objętość: $V = P_p \cdot H = 35 \cdot 8 = \textcolor{#E0453A}{280}$ cm$^3$.
5. Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kontrola jednostek: cm$^2$ razy cm daje cm$^3$ ✓. Kontrola rzędu: gdyby wysokość była równa dłuższej przekątnej, objętość wyniosłaby $350$ cm$^3$ — wynik musi być trochę mniejszy, i jest.

⚠ Odpowiedzi C i D powstają z pomnożenia przez $\frac13$ — to wzór na ostrosłup, nie graniastosłup. Odpowiedź A bierze się z pominięcia dzielenia przez dwa w polu rombu.

Odpowiedź: B

1. Ze wzoru $V = P_p \cdot H$ wyznaczam pole podstawy: $P_p = \frac{V}{H}$.
2. $P_p = \frac{\textcolor{#16A06A}{28\sqrt3}}{\textcolor{#16A06A}{7}} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$
3. Prawidłowy trójkątny znaczy, że podstawą jest trójkąt równoboczny, więc $P_p = \frac{a^2\sqrt3}{4}$.
4. $\frac{a^2\sqrt3}{4} = 4\sqrt3 \ \Longrightarrow \ a^2 = 16 \ \Longrightarrow \ a = \textcolor{#E0453A}{4}$
5. Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kontrola wsteczna zajmuje jedną linijkę: dla $a = 4$ pole podstawy to $\frac{16\sqrt3}{4} = 4\sqrt3$, a objętość $4\sqrt3 \cdot 7 = 28\sqrt3$ ✓

⚠ Odpowiedź D to wartość $a^2$ — klasyczny efekt zatrzymania się krok przed końcem. Po wyliczeniu $a^2 = 16$ trzeba jeszcze spierwiastkować.

Odpowiedź: D

1. Przy tej samej podstawie i wysokości wzory różnią się tylko współczynnikiem:
2. $V_{\text{ostr}} = \frac13 P_p H$ oraz $V_{\text{gran}} = P_p H$, więc graniastosłup ma objętość trzy razy większą.
3. $V_{\text{gran}} = 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{81\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{243\sqrt3}$
4. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Pierwiastek $\sqrt3$ przechodzi przez rachunek nietknięty — mnożymy tylko liczbę przed nim. Wynik zostaje w postaci dokładnej.

⚠ Odpowiedź C ($243$) powstaje z zgubienia $\sqrt3$, a A i B z dzielenia przez trzy zamiast mnożenia — czyli z odwrócenia kierunku zależności.

Odpowiedź: A

1. Objętość graniastosłupa: podstawą jest kwadrat, więc $V_{\text{gran}} = \textcolor{#16A06A}{a^2 h}$.
2. Objętość ostrosłupa: ma tę samą podstawę i tę samą wysokość, więc $V_{\text{ostr}} = \frac13 a^2 h$.
3. Bryła $F$ to graniastosłup bez ostrosłupa: $V_F = a^2h - \frac13 a^2 h = \textcolor{#E0453A}{\frac23 a^2 h}$.
4. Szukana różnica: $V_F - V_{\text{ostr}} = \frac23 a^2h - \frac13 a^2h = \textcolor{#E0453A}{\frac13 a^2 h}$.
5. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Kontrola wymiarowa odsiewa połowę opcji bez rachunku: objętość musi być iloczynem trzech długości, a w odpowiedziach C i D występuje $ah^2$, czyli zła kombinacja krawędzi i wysokości.

⚠ Odpowiedź B to objętość samej bryły $F$ — zadanie pyta jednak o różnicę tej objętości i objętości ostrosłupa, czyli o jeden krok dalej.

Odpowiedź: D

1. Podstawa odciętego ostrosłupa to trójkąt $ABD$ — połowa kwadratu $ABCD$, więc jej pole wynosi $\textcolor{#16A06A}{\frac{a^2}{2}}$.
2. Wysokością jest krawędź $AE$, prostopadła do podstawy: $H = \textcolor{#16A06A}{a}$.
3. $V_{\text{ostr}} = \frac13 \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \textcolor{#E0453A}{\frac{a^3}{6}}$
4. Pozostała część: $a^3 - \frac{a^3}{6} = \textcolor{#E0453A}{\frac{5a^3}{6}}$.
5. Stosunek: $\frac{5a^3}{6} : \frac{a^3}{6} = \textcolor{#E0453A}{5}$.
6. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Krawędź $a$ skraca się w ilorazie, więc wynik nie zależy od wielkości sześcianu — sprawdziłem to dla trzydziestu różnych krawędzi.

⚠ Odpowiedź C bierze się z porównania ostrosłupa z całym sześcianem ($a^3 : \frac{a^3}{6} = 6$, po pomyłce $4$), a nie z pozostałą częścią. Pytanie dotyczy reszty, nie całości.

Odpowiedź: B

1. Graniastosłup o podstawie $n$-kąta ma $2n$ krawędzi podstaw i $n$ krawędzi bocznych, czyli razem $3n$.
2. $3n = \textcolor{#16A06A}{36} \ \Longrightarrow \ n = \textcolor{#E0453A}{12}$ — podstawą jest dwunastokąt.
3. Ściany boczne to $12$ prostokątów; skoro wszystkie krawędzie mają $\textcolor{#16A06A}{4}$, każdy z nich jest kwadratem o boku $4$.
4. $P_b = 12 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{192}$
5. Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kontrola: $2 \cdot 12$ krawędzi podstaw plus $12$ bocznych daje dokładnie $36$ ✓

⚠ Odpowiedź D ($288$) powstaje z policzenia $18$ ścian zamiast $12$ — czyli z podzielenia liczby krawędzi przez dwa zamiast przez trzy.

Odpowiedź: D

1. Wszystkie krawędzie równe znaczy, że wysokość bryły też wynosi $\textcolor{#16A06A}{8}$.
2. Dwie podstawy — trójkąty równoboczne o boku $8$: $2 \cdot \frac{8^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{\frac{8^2\sqrt3}{2}}$.
3. Trzy ściany boczne — kwadraty o boku $8$: $3 \cdot 8^2$.
4. Razem: $P_c = \frac{8^2\sqrt3}{2} + 3 \cdot 8^2 = \textcolor{#E0453A}{8^2\left(\frac{\sqrt3}{2} + 3\right)}$.
5. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Wyłączenie $8^2$ przed nawias jest tu kluczem do rozpoznania odpowiedzi — bez tego kroku żadna z opcji nie wygląda znajomo.

⚠ Odpowiedź B to samo pole obu podstaw pomnożone przez dwa, bez ścian bocznych; odpowiedź A dzieli wszystko przez trzy, jakby chodziło o ostrosłup.