Strona główna › Geometria › Środkowe w trójkącie

Środkowe w trójkącie

Q: Co to jest środkowa trójkąta?

Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe — po jednej z każdego wierzchołka. Nie należy jej mylić z wysokością, która pada prostopadle, ani z dwusieczną, która dzieli kąt.

Q: Czy środkowa dzieli trójkąt na dwie równe części?

Na dwie części o równych polach — ale zwykle o różnych kształtach. Wynika to stąd, że obie połówki mają równe podstawy (bok podzielony na pół) i wspólną wysokość, więc ze wzoru na pole wychodzi to samo.

Q: Czym różni się środkowa od wysokości?

Środkowa trafia w środek przeciwległego boku, a wysokość pada na niego prostopadle. W trójkącie różnobocznym są to dwa różne odcinki; pokrywają się tylko tam, gdzie figura ma oś symetrii — w równoramiennym przy jednym wierzchołku, w równobocznym przy każdym.

Q: Gdzie przecinają się środkowe trójkąta?

W jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości. Wszystkie trzy przechodzą przez to samo miejsce, na którym trójkąt wycięty z tektury da się wyważyć. Trzy środkowe dzielą przy tym figurę na sześć trójkątów o równych polach.

Q: W jakim stosunku środek ciężkości dzieli środkową?

W stosunku 2:1, licząc od wierzchołka — czyli dwie trzecie długości przy wierzchołku i jedna trzecia przy środku boku. Dla środkowej 12 cm daje to 8 cm i 4 cm. To materiał nadprogramowy.

Q: Czy środkowe są w programie szkoły podstawowej?

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie wymaga środka ciężkości ani podziału 2:1; w wymaganiach szczegółowych z matematyki dla SP nie występuje też samo słowo „środkowa” (jedyne trafienie na „środkow” to „figury środkowosymetryczne”). W wymaganiach dla liceum środek ciężkości jest wymieniony wprost (dział VIII. Planimetria, zakres podstawowy, punkt 10), a podział 2:1 mieści się w kończącym ten punkt zwrocie „oraz korzysta z ich własności”. Osobno, na liście twierdzeń z dowodami dla zakresu rozszerzonego, stoi punkt 7b: „środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie”. Sama definicja środkowej i jej własność dzielenia pola na pół są jednak w zasięgu ucznia klas starszych — do uzasadnienia wystarczy wzór na pole trójkąta.

Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Definicja mieści się w jednym zdaniu, a najciekawsza własność też: środkowa dzieli trójkąt na dwie części o dokładnie równych polach — niezależnie od tego, jak trójkąt wygląda. I to da się uzasadnić samym wzorem na pole, bez żadnej wiedzy ponad program.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 5–8Zadań z E8: 15

Przejdź od razu do zadań (15) ↓

1Środkowa, wysokość, dwusieczna — trzy różne odcinki

Z każdego wierzchołka trójkąta można poprowadzić trzy odcinki o podobnym wyglądzie i zupełnie różnych definicjach.

odcinek	definicja	co jest dane
środkowa	łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku	punkt na boku
wysokość	pada prostopadle na przeciwległy bok	kąt $90°$
dwusieczna	dzieli kąt przy wierzchołku na pół	kąt przy wierzchołku

Każdy z nich jest wyznaczony przez coś innego: środkowa przez środek boku, wysokość przez prostopadłość, dwusieczna przez połowę kąta. Nie ma powodu, żeby trafiały w to samo miejsce — i w zwykłym trójkącie nie trafiają.

Przykład, na którym to widać

Weź trójkąt o wierzchołkach $A = (0,0)$ , $B = (8,0)$ i $C = (2,6)$ . Bok $AB$ leży na poziomej linii.

Środkowa z wierzchołka $C$ trafia w środek boku $AB$ , czyli w punkt $(4,0)$ .

Wysokość z $C$ pada prostopadle na $AB$ , czyli w punkt $(2,0)$ .

To dwa różne punkty — odcinki rozchodzą się w różne strony, choć wychodzą z tego samego wierzchołka.

Każdy trójkąt ma trzy środkowe — po jednej z każdego wierzchołka. Tak samo jak trzy wysokości, które opisuję przy samym trójkącie.

Jest jednak przypadek, w którym wszystkie trzy odcinki się pokrywają — wracam do niego w ostatniej sekcji.

2Środkowa dzieli pole na pół

To najważniejsza własność środkowej i jedyna, którą da się uzasadnić bez wychodzenia poza program szkoły podstawowej.

Własność

Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Nie o równych kształtach — te dwie części bywają zupełnie inne. Chodzi wyłącznie o pole.

Dlaczego tak jest? Popatrz na obie połówki. Ich podstawy to dwa kawałki boku podzielonego środkiem — a więc równej długości. Wysokość obu jest ta sama, bo obie mają wierzchołek w tym samym punkcie i tę samą podstawę leżącą na tej samej prostej.

P_1 = \frac{\textcolor{#16A06A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}}{2} \qquad P_2 = \frac{\textcolor{#16A06A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}}{2} \qquad\Rightarrow\qquad P_1 = P_2

Skoro obie połówki mają tę samą podstawę i tę samą wysokość, mają też to samo pole. Nic więcej nie trzeba — wystarczy wzór na pole trójkąta.

Konkretnie: w trójkącie o podstawie $10$ cm i wysokości $4$ cm pole wynosi $\frac{10 \cdot 4}{2} = 20$ cm². Środkowa dzieli podstawę na dwa odcinki po $5$ cm, więc każda połówka ma $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ cm² — dokładnie połowę ✓

Warto zauważyć, że własność ta nie wymaga żadnych założeń o trójkącie. Działa w ostrokątnym, prostokątnym i rozwartokątnym tak samo.

3Trzy środkowe schodzą się w jednym punkcie

Gdy poprowadzimy wszystkie trzy środkowe, dzieje się coś, co wcale nie musiałoby zajść.

Wszystkie trzy przecinają się w jednym punkcie. Trzy odcinki na płaszczyźnie zwykle tworzą trójkącik w środku — tutaj nie tworzą. Punkt ten nazywamy środkiem ciężkości.

To materiał nadprogramowy

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie wymaga środka ciężkości ani podziału w stosunku $2:1$ . W liceum jest inaczej: samo istnienie tego punktu stoi na liście twierdzeń, których dowód uczeń zakresu rozszerzonego ma poznać — punkt 7b: „środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie”.

Sama definicja środkowej i jej własność dzielenia pola na pół są natomiast w zasięgu ucznia klas starszych — do ich uzasadnienia wystarczy wzór na pole trójkąta.

Nazwa nie jest przenośnią. Trójkąt wycięty z tektury da się na tym punkcie wyważyć na czubku ołówka — dlatego mówi się o środku ciężkości albo punkcie równowagi.

Bywa to uzasadniane tak: skoro każda środkowa dzieli figurę na dwie części o równych polach, to punkt leżący na wszystkich trzech naraz musi być punktem równowagi. To dobra podpowiedź, ale jeszcze nie dowód — sam podział na równe pola do równowagi nie wystarcza. W trójkącie o wierzchołkach $(0,0)$ , $(1,0)$ i $(0,1)$ pionowa prosta $x = 1 - \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}29$ też odcina dokładnie połowę pola, a na niej trójkąt się nie wyważy — środek ciężkości leży o $\frac{\sqrt2}{2} - \frac{2}{3} \approx 0{,}04$ obok. O równowadze decyduje nie samo pole po obu stronach, ale i to, jak daleko od prostej ono leży.

Trzy środkowe dzielą przy tym trójkąt na sześć małych trójkątów o równych polach. Dla trójkąta o polu $18$ cm² każdy z nich ma $18 : 6 = 3$ cm² — sprawdzone rachunkiem współrzędnych.

Materiał nadprogramowy: cztery punkty szczególne trójkąta

Środek ciężkości nie jest wyjątkiem — każda z czterech rodzin odcinków w trójkącie schodzi się w jednym punkcie, i każdy z tych punktów ma własną nazwę.

Środkowe → środek ciężkości, dzielący każdą z nich w stosunku $2:1$ (opisuję niżej).

Dwusieczne kątów → środek okręgu wpisanego, bo jest równo oddalony od wszystkich trzech boków.

Symetralne boków → środek okręgu opisanego, bo jest równo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków.

Wysokości → punkt zwany ortocentrum. Wypada on poza trójkątem w każdym trójkącie rozwartokątnym, bo dwie z trzech wysokości padają wtedy na przedłużenia boków. Nie jest w tym odosobniony: środek okręgu opisanego wychodzi poza trójkąt dokładnie w tych samych przypadkach, a w trójkącie prostokątnym oba lądują na brzegu — ortocentrum w wierzchołku kąta prostego, środek okręgu opisanego w połowie przeciwprostokątnej. Zawsze wewnątrz zostają tylko środek okręgu wpisanego i środek ciężkości.

Podstawa dla liceum wymienia wszystkie cztery razem, w dziale VIII. Planimetria, punkt 10: „wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności”. W szkole podstawowej wystarczy sam środek ciężkości.

4Podział w stosunku 2 : 1

Środek ciężkości nie leży w połowie środkowej — i to zaskakuje najbardziej.

Reguła

Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.

Odcinek od wierzchołka jest dwa razy dłuższy niż odcinek od środka boku.

\text{od wierzchołka: } \textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{3}} \text{ długości} \qquad \text{od środka boku: } \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{3}} \text{ długości}

Dla środkowej o długości $12$ cm daje to $8$ cm i $4$ cm, bo $8 : 4 = 2$ . Dla środkowej $9$ cm — $6$ cm i $3$ cm.

Warto zapamiętać kierunek: dłuższa część zawsze przy wierzchołku. Odwrócenie proporcji to najczęstszy błąd w zadaniach o środku ciężkości.

Stąd bierze się też wynik z trójkąta równobocznego: promień okręgu opisanego to $\frac{2}{3}$ wysokości, a wpisanego $\frac{1}{3}$ — bo tam wysokość jest środkową, więc dzieli ją ten sam punkt w tym samym stosunku.

5Kiedy środkowa pokrywa się z wysokością

Skoro środkowa i wysokość są wyznaczone przez różne warunki, to ich pokrycie się musi mieć powód — i ma nim zawsze symetria.

trójkąt	gdzie się pokrywają
różnoboczny	nigdzie — trzy różne odcinki z każdego wierzchołka
równoramienny	tylko przy wierzchołku między ramionami
równoboczny	przy każdym wierzchołku

Mechanizm jest ten sam we wszystkich przypadkach: jeśli trójkąt jest symetryczny względem odcinka wychodzącego z wierzchołka, to odbicie lustrzane przeprowadza jedną połówkę na drugą. Odcinek musi wtedy trafić dokładnie w środek boku i dokładnie prostopadle. Ten sam argument obejmuje dwusieczną: odbicie przeprowadza jedno ramię kąta przy wierzchołku na drugie, więc odcinek dzieli ten kąt na połowy. Dlatego wszędzie tam, gdzie jest oś symetrii, pokrywają się wszystkie trzy odcinki — środkowa, wysokość i dwusieczna — a nie tylko dwa.

Dlatego w trójkącie równoramiennym, który nie jest równoboczny, pokrycie zachodzi tylko przy jednym wierzchołku — tylko tam figura ma oś symetrii. Przy pozostałych dwóch środkowa i wysokość znów się rozchodzą. (Równoboczny też jest równoramienny, ale ma trzy osie symetrii, więc trafia do ostatniego wiersza tabeli.)

Praktyczny wniosek do zadań

Jeśli w zadaniu odcinek jednocześnie trafia w środek boku i jest do niego prostopadły, to trójkąt jest równoramienny — i to jest gotowa informacja, często kluczowa.

Odwrotnie też: w trójkącie różnobocznym nie wolno zakładać, że środkowa jest wysokością, choćby rysunek na to wyglądał.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: równe pola, podział 2:1 oraz rozpoznanie, czy odcinek jest środkową.

Przykład 1 Równe pola po obu stronach

Trójkąt ma podstawę $10$ cm i wysokość $4$ cm opuszczoną na tę podstawę. Poprowadzono środkową do podstawy. Jakie pola mają obie części?

Pole całego trójkąta: $P = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20$ cm².
Środkowa trafia w środek podstawy, więc dzieli ją na dwa odcinki po $10 : 2 = 5$ cm.
Obie połówki mają wspólny wierzchołek i podstawy leżące na tej samej prostej, więc wysokość obu jest ta sama i wynosi $4$ cm.
Pole pierwszej połówki: $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ cm².
Pole drugiej: $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ cm² — tyle samo.
Kontrola sumą: $10 + 10 = 20$ cm², czyli pole całego trójkąta ✓
Kontrola sensu: obie części mają równe pola, choć mogą mieć zupełnie różne kształty ✓

Odpowiedź: Po $10$ cm² każda.

Zwróć uwagę, że rachunek nie wymagał żadnej informacji o kształcie trójkąta. Wystarczyło, że podstawy są równe, a wysokość wspólna — dlatego własność działa dla każdego trójkąta.

Przykład 2 Podział środkowej

Środkowa trójkąta ma $12$ cm. W jakiej odległości od wierzchołka leży środek ciężkości? Materiał nadprogramowy.

Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.
Całość dzieli się więc na $2 + 1 = 3$ równe części.
Jedna część to $12 : 3 = 4$ cm.
Od wierzchołka są dwie takie części: $2 \cdot 4 = 8$ cm.
Od środka boku pozostaje jedna: $4$ cm.
Kontrola: $8 + 4 = 12$ cm ✓ oraz $8 : 4 = 2$ ✓
Kontrola kierunku: dłuższy odcinek wypadł przy wierzchołku, jak być powinno ✓

Odpowiedź: $8$ cm od wierzchołka, $4$ cm od środka boku.

Podział na trzy części zamiast na dwie jest tu sednem. Stosunek $2 : 1$ oznacza trzy jednakowe kawałki, z których dwa są po jednej stronie punktu — a nie połowę i połowę.

Przykład 3 Czy to na pewno środkowa

W trójkącie poprowadzono z wierzchołka odcinek prostopadły do przeciwległego boku. Czy jest on środkową?

Odcinek prostopadły do przeciwległego boku to z definicji wysokość.
Środkowa musi trafiać w środek boku — a prostopadłość tego nie gwarantuje.
W trójkącie różnobocznym wysokość trafia obok środka, więc środkową nie jest.
Byłaby nią tylko wtedy, gdyby trójkąt był symetryczny względem tego odcinka — czyli równoramienny z wierzchołkiem między ramionami.
Odpowiedź: nie da się tego stwierdzić bez informacji o długościach boków.
Kontrola przykładem: w trójkącie $A(0,0)$ , $B(8,0)$ , $C(2,6)$ wysokość z $C$ pada w punkt $(2,0)$ , a środkowa trafia w $(4,0)$ — różne punkty ✓

Odpowiedź: Nie — chyba że trójkąt jest równoramienny, a tego w treści nie podano.

Odpowiedź „danych za mało” jest tu pełnoprawna. Zadania tego typu sprawdzają, czy uczeń nie dokłada założeń sugerowanych rysunkiem — a rysunek bywa mylący.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy: pierwszy to mylenie środkowej z wysokością, dwa kolejne dotyczą stosunku $2:1$ , a ostatni — mylenia równych pól z przystawaniem.

Uznanie środkowej za wysokość

Skąd się bierze: Oba odcinki wychodzą z wierzchołka i na rysunku wyglądają podobnie. Ale środkowa trafia w środek boku, a wysokość pada prostopadle — w trójkącie różnobocznym są to dwa różne punkty i dwa różne odcinki.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, co jest zaznaczone na rysunku: kąt prosty oznacza wysokość, a jednakowe kreseczki na obu połówkach boku — środkową. Pokrycie zachodzi tylko przy osi symetrii.

Odwrócenie stosunku 2 : 1

Skąd się bierze: Uczeń przyjmuje, że dłuższa część leży przy środku boku. Jest odwrotnie: dwie trzecie długości wypadają przy wierzchołku. Odwrócenie daje wynik $4$ cm zamiast $8$ cm — dwukrotnie za mały.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez obraz: środek ciężkości leży bliżej boku niż wierzchołka, bo przy boku jest więcej materiału. Kontrola: dłuższy odcinek zawsze od strony wierzchołka.

Dzielenie środkowej na pół zamiast na trzy części

Skąd się bierze: Stosunek $2 : 1$ bywa czytany jako „połowa i połowa”. Tymczasem oznacza on trzy równe części, z których dwie są po jednej stronie punktu. Dla środkowej $12$ cm wychodzi $8$ i $4$ , a nie $6$ i $6$ .

Jak zrobić dobrze: Dodaj liczby ze stosunku: $2 + 1 = 3$ , więc dziel przez trzy. Potem weź dwie części na jedną stronę i jedną na drugą. Kontrola: obie części muszą się zsumować do całej długości.

Sądzenie, że równe pola oznaczają przystające części

Skąd się bierze: Skoro środkowa dzieli trójkąt na pół „co do pola”, uczeń zakłada, że obie części są identyczne. Zwykle mają jednak różne kształty — jedna bywa wysoka i wąska, druga niska i szeroka.

Jak zrobić dobrze: Rozróżniaj równość pól od przystawania. Równe pola wynikają z równych podstaw i wspólnej wysokości; przystawanie wymagałoby dodatkowo zgodności wszystkich boków i kątów.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pilnuje najważniejszego rozróżnienia w twierdzeniu Pitagorasa: zielone to przyprostokątne (te przy kącie prostym), a czerwona to przeciwprostokątna (zawsze naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższa). Podstawienie ich w odwrotne miejsca wzoru to najczęstszy błąd w całym dziale — dlatego warto sprawdzać kolory, zanim się policzy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kwadrat podzielono na 6 jednakowych prostokątów ustawionych pionowo, jeden obok drugiego. Obwód każdego z tych prostokątów jest równy 28. Dokończ zdanie.
Obwód kwadratu jest równy

A. $48$
B. $84$
C. $96$
D. $144$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Oznaczmy bok kwadratu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ .
Każdy z sześciu pionowych prostokątów ma pełną wysokość kwadratu, czyli $\textcolor{#16A06A}{a}$ , a szerokość sześć razy mniejszą: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}$ .
Obwód jednego prostokąta: $2\left(\textcolor{#16A06A}{a} + \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{6} = \dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3}$ .
Przyrównujemy do danej: $\dfrac{7\textcolor{#16A06A}{a}}{3} = \textcolor{#E0453A}{28}$ , skąd $7\textcolor{#16A06A}{a} = 84$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{a} = 12$ .
Obwód kwadratu: $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = 48$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola: prostokąt ma wymiary $2 \times 12$ , więc jego obwód to $2 \cdot 14 = 28$ ✓. Zawsze warto podstawić wynik z powrotem.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie obwodu prostokąta przez 6 i uznanie tego za obwód kwadratu ( $168$ ). Obwody części nie sumują się do obwodu całości — linie podziału leżą wewnątrz.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Prostokąt o bokach długości

a

b

podzielono na sześć kwadratów: dwa jednakowe kwadraty tworzą lewą kolumnę (jeden nad drugim), w prawym górnym rogu stoi jeden duży kwadrat, a pod nim trzy jednakowe małe kwadraty w rzędzie. Dokończ zdanie.
Stosunek długości boków

a : b

tego prostokąta jest równy

A. $6 : 5$
B. $5 : 4$
C. $4 : 3$
D. $3 : 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najwygodniej zacząć od najmniejszego kwadratu — przyjmijmy, że jego bok to $\textcolor{#16A06A}{1}$ .
Trzy małe kwadraty stoją w rzędzie pod dużym, więc bok dużego kwadratu wynosi $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Wysokość prostokąta to prawa kolumna: duży kwadrat plus mały, czyli $b = \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Lewa kolumna ma tę samą wysokość $\textcolor{#E0453A}{4}$ i składa się z dwóch jednakowych kwadratów, więc każdy ma bok $\textcolor{#E0453A}{4} : 2 = \textcolor{#16A06A}{2}$ — i tyle wynosi szerokość tej kolumny.
Szerokość prostokąta: $a = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Stosunek: $a : b = \textcolor{#E0453A}{5} : \textcolor{#E0453A}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: W układankach z kwadratów zaczynaj od najmniejszego elementu i nadaj mu bok 1. Wszystkie pozostałe wymiary wyrażą się wtedy liczbami całkowitymi.

⚠ Najczęstszy błąd: zgadywanie stosunku „na oko” z rysunku. Proporcje na rysunkach egzaminacyjnych bywają celowo zaburzone — trzeba je wyliczyć.

Zadanie 3 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym

ABC

(kąt prosty przy

A

) przyprostokątną

AC

wydłużono o 7 cm — do punktu

E

— a przyprostokątną

AB

wydłużono o 12 cm — do punktu

D

. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym 200 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa 20 cm.	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest równe 52 cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Trójkąt $ADE$ jest prostokątny i równoramienny, więc obie jego przyprostokątne są równe: $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD}$ .
Z pola: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AE} \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} = 200$ , czyli $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 200$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{AE}^2 = 400$ , więc $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{AD} = 20$ cm ✓ — prawda.
Zdanie 2. Cofamy wydłużenia, żeby wrócić do małego trójkąta:
$AC = \textcolor{#16A06A}{AE} - \textcolor{#E0453A}{7} = 20 - \textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{13}$ cm, $AB = \textcolor{#16A06A}{AD} - \textcolor{#E0453A}{12} = 20 - \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
Pole $ABC$ : $\tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{13} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 52$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: „Prostokątny równoramienny” znaczy, że równe są przyprostokątne — nie przeciwprostokątna z przyprostokątną (to nigdy nie zachodzi).

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie $\tfrac12$ we wzorze na pole i przyjęcie $AE^2 = 200$ . Wychodzi wtedy $AE = \sqrt{200}$ , czyli liczba niewymierna — sygnał, że coś jest nie tak.

Zadanie 4 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Wysokość trapezu i krótsza podstawa trapezu mają taką samą długość.	P	F
Wysokość trapezu jest równa połowie dłuższej podstawy trapezu.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy trapez $ABCD$ : $AB$ to dłuższa podstawa, $DC$ krótsza, a $AD$ — ramię prostopadłe do obu podstaw, czyli wysokość. Krótszą przekątną jest $AC$ .
Pierwszy trójkąt ( $ACD$ ). Ma kąt prosty przy $D$ , a skoro jest równoramienny, jego przyprostokątne są równe: $\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{DC}$ .
To dokładnie treść pierwszego zdania: wysokość $=$ krótsza podstawa ✓ — prawda. Oznaczmy tę wspólną długość przez $\textcolor{#16A06A}{h}$ .
Przekątna: $\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2$ (przeciwprostokątna trójkąta $45°$ – $45°$ – $90°$ ).
Drugi trójkąt ( $ABC$ ). Też prostokątny równoramienny, a jego przyprostokątnymi są $\textcolor{#E0453A}{AC}$ i $CB$ — kąt prosty leży więc przy $C$ .
Wtedy $AB$ jest przeciwprostokątną: $AB = \textcolor{#E0453A}{AC} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{h}\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\textcolor{#16A06A}{h}$ .
Drugie zdanie: wysokość $\textcolor{#16A06A}{h}$ to połowa z $2\textcolor{#16A06A}{h}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy w zadaniu nie ma żadnych liczb, wprowadź własną — tutaj $h$ . Wszystkie pozostałe długości wyrażą się przez nią i zdania da się sprawdzić algebraicznie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że w drugim trójkącie kąt prosty jest przy $B$ . Wtedy $AC$ byłaby przeciwprostokątną i wyszłyby sprzeczne długości — warto sprawdzić, czy przyjęte założenie się „domyka”.

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym

30°

suma długości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej jest równa 12 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość

A. $4\sqrt{2}$ cm
B. $4\sqrt{3}$ cm
C. $6$ cm
D. $8$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa własność trójkąta $30°$ – $60°$ – $90°$ : bok leżący naprzeciw kąta $30°$ jest równy połowie przeciwprostokątnej.
Oznaczmy przeciwprostokątną przez $\textcolor{#E0453A}{c}$ . Wtedy krótsza przyprostokątna to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{c}{2}}$ .
Z warunku zadania: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}}{2}} + \textcolor{#E0453A}{c} = 12$ , czyli $\dfrac{3\textcolor{#E0453A}{c}}{2} = 12$ , więc $\textcolor{#E0453A}{c} = 8$ cm.
Krótsza przyprostokątna: $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm.
Dłuższą przyprostokątną liczymy z Pitagorasa: $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{8}^2 - \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt3$ cm.
Odpowiedź B. (Można też wprost ze wzoru: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2} = \dfrac{8\sqrt3}{2} = 4\sqrt3$ .)

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3$ . Szukaj pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta $60°$ . Naprzeciw mniejszego kąta leży zawsze krótszy bok — to reguła warta zapamiętania.

Zadanie 6 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta

ABD

z kątem prostym przy

A

oraz trójkąta

BCD

z kątem prostym przy

B

. Dane są długości boków

|AB| = |BC| = 1

oraz

|AD| = \sqrt{2}

. Dokończ zdanie.
Długość boku

CD

jest równa

A. $\sqrt{3}$
B. $2$
C. $3$
D. $2\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Do celu prowadzi wspólny bok $BD$ — najpierw go wyznaczamy, potem używamy w drugim trójkącie.
Trójkąt $ABD$ (kąt prosty przy $A$ ): przyprostokątne to $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{1}$ i $\textcolor{#16A06A}{AD} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
$\textcolor{#E0453A}{BD} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{1}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2} = \sqrt{1 + 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ .
Trójkąt $BCD$ (kąt prosty przy $B$ ): teraz $\textcolor{#E0453A}{BD}$ staje się przyprostokątną, razem z $\textcolor{#16A06A}{BC} = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
$CD = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}^2 + \textcolor{#16A06A}{1}^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt4 = 2$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na zmianę roli odcinka $BD$ : w pierwszym trójkącie jest przeciwprostokątną, w drugim przyprostokątną. Decyduje o tym, gdzie leży kąt prosty.

⚠ Najczęstszy błąd: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2\sqrt2$ albo $4$ . Podnosząc pierwiastek do kwadratu, po prostu zdejmujemy go: $\left(\sqrt2\right)^2 = 2$ .

Zadanie 7 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Na bokach trójkąta prostokątnego

ABC

(kąt prosty przy

B

, kąt przy

A

równy

30°

) zaznaczono punkty

D

(na boku

AB

) i

E

(na boku

AC

). Odcinek

DE

jest prostopadły do $AB$ i dzieli trójkąt na trójkąt prostokątny

ADE

oraz czworokąt

DBCE

. Odcinek

AB

ma długość

4\sqrt{3}

cm, a odcinek

DE

— 3 cm. Dokończ zdanie.
Długość odcinka

EC

jest równa

A. $1$ cm
B. $\sqrt{3}$ cm
C. $2$ cm
D. $4$ cm
E. $3\sqrt{3}$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Odcinek $EC$ policzymy jako różnicę: $EC = AC - AE$ . Wyznaczamy więc obie przeciwprostokątne.
Mały trójkąt $ADE$ — prostokątny (kąt prosty przy $D$ ) z kątem $30°$ przy $A$ . Bok $\textcolor{#16A06A}{DE} = \textcolor{#16A06A}{3}$ cm leży naprzeciw kąta $30°$ , więc jest połową przeciwprostokątnej:
$\textcolor{#E0453A}{AE} = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{6}$ cm.
Duży trójkąt $ABC$ — prostokątny przy $B$ , kąt $30°$ przy $A$ . Znamy przyprostokątną $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}$ cm, leżącą naprzeciw kąta $60°$ .
W trójkącie $30°$ – $60°$ – $90°$ ten bok równa się $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2}$ , więc $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{AC}\sqrt3}{2} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}$ , skąd $\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
Różnica: $EC = \textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#E0453A}{6} = 2$ cm — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Oba trójkąty mają te same kąty ( $30°$ , $60°$ , $90°$ ), więc są podobne. Można było też skorzystać ze skali: $AB : DE = 4\sqrt3 : 3$ … ale prościej policzyć każdy osobno z własności kąta $30°$ .

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $DE$ jako boku naprzeciw kąta $60°$ . Odcinek $DE$ jest prostopadły do $AB$ , więc w trójkącie $ADE$ leży naprzeciw kąta przy $A$ , czyli $30°$ .

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku

O

. Następnie od wierzchołka

O

odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek

OA

o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu — odcinek

OB

o długości równej przekątnej prostokąta. Dokończ zdanie.
Długość odcinka

AB

jest równa

A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{2} + \sqrt{5}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — przekątna kwadratu o boku 1. $\textcolor{#16A06A}{OA} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
Krok 2 — przekątna prostokąta $2 \times 1$ . $\textcolor{#16A06A}{OB} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}$ .
Krok 3 — odcinek $AB$ . Ramiona kąta prostego są prostopadłe, więc trójkąt $OAB$ jest prostokątny, a $\textcolor{#16A06A}{OA}$ i $\textcolor{#16A06A}{OB}$ to jego przyprostokątne.
$\textcolor{#E0453A}{AB} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}^2} = \sqrt{2 + 5} = \sqrt7$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Pierwiastki znikają przy podnoszeniu do kwadratu, więc rachunek jest bardzo prosty: $2 + 5 = 7$ . To typowa konstrukcja zadań z pierwiastkami.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie pierwiastków ( $\sqrt2 + \sqrt5$ — kusząca odpowiedź B). Przeciwprostokątna nie jest sumą przyprostokątnych; sumują się dopiero ich kwadraty.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W jakim stosunku można podzielić odcinek o długości 36 cm, aby z otrzymanych trzech odcinków zbudować trójkąt?

A. $1 : 2 : 6$
B. $1 : 3 : 5$
C. $2 : 3 : 4$
D. $2 : 3 : 7$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kluczowa reguła — nierówność trójkąta: z trzech odcinków zbudujesz trójkąt tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego.
Co ważne, wystarczy sprawdzić same liczby ze stosunku — nie trzeba liczyć długości w centymetrach.
A. $\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{2} = 3$ , a najdłuższy to $\textcolor{#E0453A}{6}$ . Skoro $3 < \textcolor{#E0453A}{6}$ ✗
B. $\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{3} = 4$ , a najdłuższy $\textcolor{#E0453A}{5}$ . Skoro $4 < \textcolor{#E0453A}{5}$ ✗
C. $\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5$ , a najdłuższy $\textcolor{#E0453A}{4}$ . Skoro $5 > \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ — da się zbudować
D. $\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} = 5$ , a najdłuższy $\textcolor{#E0453A}{7}$ . Skoro $5 < \textcolor{#E0453A}{7}$ ✗
Odpowiedź C. (Dla porządku: odcinki miałyby $8$ , $12$ i $16$ cm.)

💡 Wskazówka: Ponieważ wszystkie części skalują się tym samym czynnikiem, nierówność trójkąta można sprawdzać wprost na liczbach ze stosunku. To ogromna oszczędność czasu.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie tylko, czy części sumują się do 36. Każdy z podanych stosunków to spełnia — o wyniku decyduje wyłącznie nierówność trójkąta.

Zadanie 10 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dany jest trapez prostokątny

ABCD

o podstawach długości 22 cm (

AB

) i 10 cm (

DC

) oraz wysokości 5 cm (ramię

AD

, prostopadłe do podstaw). Odcinek

AC

jest przekątną tego trapezu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.	P	F
Bok $BC$ ma długość 12 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Wyznaczamy oba brakujące boki, korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa.
Przekątna $AC$ . Tworzy trójkąt prostokątny z bokami $AD = \textcolor{#16A06A}{5}$ i $DC = \textcolor{#16A06A}{10}$ :
$\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{10}^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt5 \approx \textcolor{#E0453A}{11{,}2}$ cm.
Ramię $BC$ . Jego rzut na dolną podstawę to różnica podstaw: $22 - 10 = \textcolor{#16A06A}{12}$ cm, a wysokość to $\textcolor{#16A06A}{5}$ cm:
$\textcolor{#E0453A}{BC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \textcolor{#E0453A}{13}$ cm.
Zdanie 1. Boki trójkąta $ABC$ : $AB = 22$ , $\textcolor{#E0453A}{AC} \approx 11{,}2$ , $\textcolor{#E0453A}{BC} = 13$ — wszystkie różne, więc trójkąt nie jest równoramienny — fałsz.
Zdanie 2. $\textcolor{#E0453A}{BC} = 13$ cm, a nie 12 cm — fałsz.
Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Liczba 12 w tym zadaniu to rzut ramienia na podstawę (różnica podstaw), a nie samo ramię. Razem z wysokością 5 daje znajomą trójkę $5$ – $12$ – $13$ .

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie 12 cm — czyli właśnie różnicy podstaw. To przyprostokątna, a $BC$ jest przeciwprostokątną, więc musi być dłuższa.

Zadania otwarte

Zadanie 11 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

W rombie

ABCD

poprowadzono przekątną

BD

oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka

D

na bok

AB

. Długość boku tego rombu jest równa 10 cm, a długość przekątnej

BD

— 12 cm. Oblicz wysokość rombu poprowadzoną z wierzchołka

D

na bok

AB

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

Cały pomysł polega na policzeniu pola rombu dwoma sposobami i przyrównaniu wyników.
Sposób pierwszy — z przekątnych. Najpierw wyznaczamy drugą przekątną. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc połowa $BD$ to $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm.
Połowa przekątnej $AC$ : $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{10}^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm, czyli $AC = \textcolor{#16A06A}{16}$ cm.
Pole: $P = \dfrac{12 \cdot \textcolor{#16A06A}{16}}{2} = \textcolor{#16A06A}{96}$ cm².
Sposób drugi — podstawa razy wysokość. $P = AB \cdot h = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot h$ .
Przyrównujemy: $\textcolor{#E0453A}{10} \cdot h = \textcolor{#16A06A}{96}$ , skąd $h = 9{,}6$ cm.
Odpowiedź: wysokość rombu wynosi 9,6 cm.
Kontrola sensu: wysokość musi być krótsza od boku ( $9{,}6 < \textcolor{#E0453A}{10}$ ) ✓

💡 Wskazówka: Romb ma dwa niezależne wzory na pole — z przekątnych i „podstawa razy wysokość”. Przyrównanie ich to standardowy sposób na wyznaczenie wysokości.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że wysokość rombu równa się połowie przekątnej (8 cm). Wysokość jest prostopadła do boku, a nie do drugiej przekątnej.

Zadanie 12 (maj 2024)3 pkttrudniejsze

Prostokąt

ABCD

podzielono na trzy trójkąty:

AED

ACE

ABC

(punkt

E

leży na boku

DC

). Podano, że

DE = 15

cm oraz

AD = 20

cm. W trójkącie

ACE

zaznaczono dwa kąty o takiej samej mierze $\alpha$ : przy wierzchołku

A

(kąt

EAC

) oraz przy wierzchołku

C

(kąt

ACE

). Oblicz pole trapezu

ABCE

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 650 cm²

Krok 1 — odcinek $AE$ . Trójkąt $AED$ jest prostokątny (kąt prosty przy narożniku $D$ ):
$\textcolor{#E0453A}{AE} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{15}^2 + \textcolor{#16A06A}{20}^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
Krok 2 — odcinek $EC$ . W trójkącie $ACE$ dwa kąty są równe ( $\alpha$ przy $A$ i przy $C$ ), więc jest on równoramienny.
Równe kąty leżą naprzeciw równych boków, zatem $EC = \textcolor{#E0453A}{AE} = \textcolor{#E0453A}{25}$ cm.
Krok 3 — bok prostokąta. $DC = \textcolor{#16A06A}{DE} + EC = \textcolor{#16A06A}{15} + \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm, a więc również $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm.
Krok 4 — pole trapezu $ABCE$ . Podstawy: $AB = \textcolor{#16A06A}{40}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{25}$ ; wysokość to bok $AD = \textcolor{#16A06A}{20}$ cm.
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{40} + \textcolor{#E0453A}{25}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 32{,}5 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 650$ cm².
Odpowiedź: pole trapezu $ABCE$ wynosi 650 cm².

💡 Wskazówka: Zaznaczenie dwóch równych kątów to zawsze podpowiedź: trójkąt jest równoramienny. A stąd od razu wiadomo, które boki są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $EC = 15$ cm (czyli że $E$ jest środkiem boku $DC$ ). Nic tego nie gwarantuje — o długości $EC$ decydują dopiero równe kąty.

Zadanie 13 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

W czworokącie

ABCD

o polu 48 cm² przekątna

AC

ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty:

ABC

ACD

. Wysokość trójkąta

ACD

poprowadzona z wierzchołka

D

do prostej

AC

jest równa 2 cm. Oblicz wysokość trójkąta

ABC

poprowadzoną z wierzchołka

B

do prostej

AC

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 10 cm

Oba trójkąty mają wspólną podstawę — przekątną $\textcolor{#16A06A}{AC} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm. Różnią się tylko wysokościami.
Krok 1 — pole trójkąta $ACD$ . $P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm².
Krok 2 — pole trójkąta $ABC$ . To reszta czworokąta: $48 - \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#16A06A}{40}$ cm².
Krok 3 — szukana wysokość. $\textcolor{#16A06A}{40} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{40} = 4\textcolor{#E0453A}{h}$ .
Stąd $\textcolor{#E0453A}{h} = 10$ cm.
Odpowiedź: wysokość trójkąta $ABC$ wynosi 10 cm.
Kontrola sensu: trójkąt $ABC$ ma pole pięć razy większe przy tej samej podstawie, więc i wysokość musi być pięć razy większa: $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 10$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa trójkąty mają wspólną podstawę, ich pola są wprost proporcjonalne do wysokości. Można więc pominąć rachunki i od razu użyć stosunku pól.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola czworokąta na pół i przyjęcie, że każdy trójkąt ma 24 cm². Przekątna dzieli czworokąt na równe części tylko w szczególnych przypadkach.

Zadanie 14 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt

ABCD

o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek

AC

jest przekątną tego prostokąta. Odcinek

DS

jest wysokością trójkąta

ACD

poprowadzoną na przekątną

AC

. Oblicz długość odcinka

DS

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9,6 cm

Krok 1 — przekątna prostokąta. $\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{16}^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \textcolor{#E0453A}{20}$ cm.
Krok 2 — pole trójkąta $ACD$ pierwszym sposobem. Trójkąt jest prostokątny (kąt prosty przy $D$ ), a jego przyprostokątne to boki prostokąta:
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#16A06A}{96}$ cm².
Krok 3 — to samo pole drugim sposobem. Bierzemy za podstawę przekątną $\textcolor{#E0453A}{AC}$ , a za wysokość szukany odcinek $DS$ :
$P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS$ .
Krok 4 — przyrównujemy. $\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{20} \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , czyli $10 \cdot DS = \textcolor{#16A06A}{96}$ , więc $DS = 9{,}6$ cm.
Odpowiedź: odcinek $DS$ ma długość 9,6 cm.

💡 Wskazówka: Uniwersalna metoda: policz pole raz „łatwą” parą podstawa–wysokość, drugi raz tą z niewiadomą, i przyrównaj. Działa przy każdej wysokości opuszczonej na nietypowy bok.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że $DS$ to połowa jednego z boków albo połowa przekątnej (10 cm). Wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych.

Zadanie 15 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

jest trapezem o podstawach

AB = 7

DC = 5

oraz wysokości 3. Podstawa

AB

została przedłużona do punktu

E

, tworząc trójkąt

BEC

(o tej samej wysokości, bo wierzchołek

C

leży na tej samej prostej co

D

). Pole trapezu

ABCD

jest trzy razy większe od pola trójkąta

BEC

. Oblicz długość odcinka

BE

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 4

Krok 1 — pole trapezu. $P_{ABCD} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 6 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{18}$ .
Krok 2 — pole trójkąta. Jest trzy razy mniejsze: $\textcolor{#16A06A}{18} : 3 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Krok 3 — szukany odcinek. Trójkąt $BEC$ ma podstawę $BE$ i tę samą wysokość $\textcolor{#E0453A}{3}$ (wierzchołek $C$ leży na prostej równoległej do $AE$ ):
$\textcolor{#16A06A}{6} = \tfrac12 \cdot BE \cdot \textcolor{#E0453A}{3}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{6} = 1{,}5 \cdot BE$ .
Stąd $BE = 4$ .
Odpowiedź: odcinek $BE$ ma długość 4.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: trójkąt i trapez mają tę samą wysokość, bo wierzchołek $C$ leży na tej samej prostej co bok $DC$ . Bez tego zadania nie da się rozwiązać.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie $\tfrac12$ we wzorze na pole trójkąta — wychodzi wtedy $BE = 2$ . Warto zapisać wzór w pełnej postaci, zanim się podstawi liczby.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. B	3. P, P	4. P, P	5. B	6. B
7. C	8. A	9. C	10. F, F	11. 9,6 cm	12. 650 cm²
13. 10 cm	14. 9,6 cm	15. 4

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest środkowa trójkąta?

Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe — po jednej z każdego wierzchołka. Nie należy jej mylić z wysokością, która pada prostopadle, ani z dwusieczną, która dzieli kąt.

Czy środkowa dzieli trójkąt na dwie równe części?

Na dwie części o równych polach — ale zwykle o różnych kształtach. Wynika to stąd, że obie połówki mają równe podstawy (bok podzielony na pół) i wspólną wysokość, więc ze wzoru na pole wychodzi to samo.

Czym różni się środkowa od wysokości?

Środkowa trafia w środek przeciwległego boku, a wysokość pada na niego prostopadle. W trójkącie różnobocznym są to dwa różne odcinki; pokrywają się tylko tam, gdzie figura ma oś symetrii — w równoramiennym przy jednym wierzchołku, w równobocznym przy każdym.

Gdzie przecinają się środkowe trójkąta?

W jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości. Wszystkie trzy przechodzą przez to samo miejsce, na którym trójkąt wycięty z tektury da się wyważyć. Trzy środkowe dzielą przy tym figurę na sześć trójkątów o równych polach.

W jakim stosunku środek ciężkości dzieli środkową?

W stosunku $2:1$ , licząc od wierzchołka — czyli dwie trzecie długości przy wierzchołku i jedna trzecia przy środku boku. Dla środkowej $12$ cm daje to $8$ cm i $4$ cm. To materiał nadprogramowy.

Czy środkowe są w programie szkoły podstawowej?

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie wymaga środka ciężkości ani podziału $2:1$ ; w wymaganiach szczegółowych z matematyki dla SP nie występuje też samo słowo „środkowa” (jedyne trafienie na „środkow” to „figury środkowosymetryczne”). W wymaganiach dla liceum środek ciężkości jest wymieniony wprost (dział VIII. Planimetria, zakres podstawowy, punkt 10), a podział $2:1$ mieści się w kończącym ten punkt zwrocie „oraz korzysta z ich własności”. Osobno, na liście twierdzeń z dowodami dla zakresu rozszerzonego, stoi punkt 7b: „środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie”. Sama definicja środkowej i jej własność dzielenia pola na pół są jednak w zasięgu ucznia klas starszych — do uzasadnienia wystarczy wzór na pole trójkąta.

Czytaj dalej

TrójkątTrzy wysokości i pozostałe własności figury Trójkąt równobocznyTu środkowa, wysokość i dwusieczna to jeden odcinek Pole trójkątaWzór, z którego wynika równość pól obu połówek Prosta, półprosta i odcinekŚrodek odcinka i mierzenie długości

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.