Strona główna › Podstawa programowa › Twierdzenia, których dowody trzeba znać — lista z podstawy programowej

Twierdzenia, których dowody trzeba znać — lista z podstawy programowej

Q: Czy te dowody trzeba umieć odtworzyć na maturze?

Podstawa mówi, że uczeń ma poznać dowody tych twierdzeń — nie precyzuje formy sprawdzania. W praktyce ważniejsze od odtworzenia jest to, że dowody z tej listy są wzorcem rozumowań, których arkusz wymaga w zadaniach „wykaż, że…”: te same chwyty (rozważenie przypadków, doprowadzenie do sprzeczności, korzystanie z kątów wpisanych) wracają w zadaniach o innej treści.

Q: Ile dowodów jest w zakresie podstawowym?

Dziesięć. Są to: istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych, niewymierność liczb takich jak pierwiastek z dwóch, wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego, własności potęg i logarytmów, wzory na wyraz i sumę ciągów arytmetycznego i geometrycznego, twierdzenie o kątach w okręgu, twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym, twierdzenie o dwusiecznej, wzór na pole trójkąta z sinusem oraz twierdzenie cosinusów wraz z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Q: Gdzie ta lista stoi w podstawie programowej?

W części „Warunki i sposób realizacji”, jako punkt 16 zatytułowany „Dowody”. Nie ma jej wśród wymagań szczegółowych, więc przy czytaniu samych działów I–XIII łatwo ją przeoczyć — a jest jedynym miejscem, w którym dokument wymienia konkretne twierdzenia z nazwy.

Q: Czy twierdzenie Pitagorasa jest na tej liście?

Nie wprost — na liście zakresu podstawowego jest pozycja 10: „Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa”. Samo twierdzenie Pitagorasa uczeń poznaje wcześniej, w szkole podstawowej (dział „Figury”, klasy VII i VIII), a w liceum wraca jego twierdzenie odwrotne oraz uogólnienie w postaci twierdzenia cosinusów.

Q: Czy dowody z zakresu rozszerzonego zawierają cały rachunek pochodnych?

Nie. Lista rozszerzona obejmuje kombinatorykę (tożsamość Pascala, wzór dwumianowy Newtona), algebrę (dzielenie wielomianu z resztą i algorytm Hornera, wzory Viète’a), trygonometrię (wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy, twierdzenie sinusów), planimetrię (punkty szczególne trójkąta, czworokąty wpisane i opisane) oraz stereometrię (prosta prostopadła do płaszczyzny, twierdzenie o trzech prostopadłych). Twierdzeń rachunku różniczkowego na tej liście nie ma.

Podstawa programowa dla liceum wymienia z nazwy dwadzieścia jeden twierdzeń, których dowody uczeń ma poznać — dziesięć w zakresie podstawowym i jedenaście w rozszerzonym. To najkonkretniejsza lista w całym dokumencie i najkrótsza droga do przygotowania się na maturalne „wykaż, że…”. Pełne brzmienie, z odnośnikiem do naszego materiału przy każdej pozycji.

Dział: Podstawa programowaPoziom: szkoła ponadpodstawowa

1Dlaczego to jest najważniejsza lista w całym dokumencie

Podstawa programowa rzadko wymienia treści z nazwy — zwykle opisuje umiejętności. Ta lista jest wyjątkiem: podaje dwadzieścia jeden twierdzeń imiennie, wraz z ich treścią, i mówi, że uczeń ma poznać ich dowody. Dziesięć dotyczy zakresu podstawowego, jedenaście — rozszerzonego.

Praktyczna konsekwencja jest prosta. Zadanie „udowodnij, że…” na maturze nie bierze się znikąd: to zwykle jedno z tych twierdzeń albo rozumowanie zbudowane na jego wzór. Lista jest krótka i skończona, więc da się ją przerobić w całości.

Stoi w dokumencie w części „Warunki i sposób realizacji”, jako punkt 16 („Dowody”) — czyli w miejscu, którego nie widać w spisie wymagań szczegółowych i które przy pobieżnym czytaniu łatwo pominąć.

16. Dowody.

Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności, jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką. Na poziomie rozszerzonym język matematyczny powinien osiągnąć wyższy stopień sformalizowania. Uczeń powinien poznać dowody następujących twierdzeń.

Cytat dosłowny: MATEMATYKA. ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY — wycinek podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły ponadpodstawowej (strony 324–339 dokumentu źródłowego).

2Twierdzenia, dowody — zakres podstawowy (10)

Dziesięć pozycji, w tym cztery z geometrii okręgu i trójkąta. Uwagę zwraca pozycja 1: istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych to dowód, którego szkolny kurs zwykle nie przerabia, a który stoi tu na pierwszym miejscu listy dla zakresu podstawowego.

Twierdzenia, dowody – zakres podstawowy:

1)Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych;
2)Niewymierność liczb: $\sqrt{2}$ , $\log_2 5$ itp.;
3)Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego;
4)Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów;
5)Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego;
6)Twierdzenie o kątach w okręgu: a) kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, b) jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach;
7)Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym. Jeśli odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta prostokątnego $ABC$ o kącie prostym $ACB$ , to $|AD| \cdot |BD| = |CD|^2$ , $|AC|^2 = |AB| \cdot |AD|$ oraz $|BC|^2 = |AB| \cdot |BD|$ ;
8)Twierdzenie o dwusiecznej. Jeśli prosta $CD$ jest dwusieczną kąta $ACB$ w trójkącie $ABC$ i punkt $D$ leży na boku $AB$ , to $\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|BC|}$ ;
9)Wzór na pole trójkąta $P = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$ ;
10)Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Cytat dosłowny: MATEMATYKA. ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY — wycinek podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły ponadpodstawowej (strony 324–339 dokumentu źródłowego).

punkt podstawy	gdzie to przećwiczyć u nas
1)	Liczby pierwsze
2)	Liczby rzeczywiste — czym są i co się w nich mieści · Pierwiastkowanie — jak liczyć pierwiastki
3)	Równania kwadratowe — wzór na deltę
4)	Potęgowanie i pierwiastkowanie · Logarytmy
5)	Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego · Suma ciągu arytmetycznego · Suma ciągu geometrycznego
6)	Kąt środkowy i kąt wpisany w okręgu
7)	Trójkąt prostokątny · Twierdzenie Pitagorasa — wzór, dowód i zastosowania
8)	Dwusieczna kąta — własności i twierdzenie o dwusiecznej
9)	Wzory na pole trójkąta — wszystkie i kiedy który
10)	Twierdzenie cosinusów · Twierdzenie Pitagorasa — wzór, dowód i zastosowania

3Twierdzenia, dowody — zakres rozszerzony (11)

Jedenaście pozycji ponad listę podstawową. Trzy ostatnie dotyczą stereometrii i są najdłużej zapisane — dokument podaje w nich pełne założenia i tezę, a nie samą nazwę twierdzenia.

Twierdzenia, dowody – zakres rozszerzony:

1)Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli $0 < k < n$ , to $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ ;
2)Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na $a^n \pm b^n$ (przy odpowiednich założeniach o $n$ ) oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych $a$ i $b$ , $(a - b)\,|\,(a^n - b^n)$ ;
3)Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci $x - a$ wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) – dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia.
4)Wzory Viète’a;
5)Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów;
6)Twierdzenie sinusów;
7)Twierdzenia o istnieniu niektórych punktów szczególnych trójkąta: a) symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i (jako wniosek) proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, b) środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie;
8)Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg. Czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $|\angle BAD| + |\angle BCD| = |\angle ABC| + |\angle ADC| = 180°$ ;
9)Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $|AB| + |CD| = |AD| + |BC|$ ;
10)Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny. Dane są proste k, l i m leżące na jednej płaszczyźnie. Jeśli proste k i l mają dokładnie jeden punkt wspólny i prosta n jest do nich prostopadła, to prosta n jest także prostopadła do prostej m;
11)Twierdzenie o trzech prostopadłych. Prosta k przecina płaszczyznę P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę P. Prosta m leży na płaszczyźnie P. Wówczas proste k i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy proste l i m są prostopadłe.

Cytat dosłowny: MATEMATYKA. ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY — wycinek podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły ponadpodstawowej (strony 324–339 dokumentu źródłowego).

punkt podstawy	gdzie to przećwiczyć u nas
1)	Dwumian Newtona
2)	Dwumian Newtona · Wzory skróconego mnożenia
3)	Dzielenie wielomianów · Schemat Hornera
4)	Wzory Viète'a
5)	Wzory trygonometryczne
6)	Twierdzenie sinusów
7)	Okrąg opisany na trójkącie · Środkowe w trójkącie
8)	Czworokąt wpisany w okrąg
9)	Czworokąt opisany na okręgu
10)	Twierdzenie o trzech prostopadłych
11)	Twierdzenie o trzech prostopadłych

Usterka w brzmieniu twierdzenia 10

Twierdzenie 10 zakresu rozszerzonego jest w wydanym dokumencie zapisane niespójnie: teza zaczyna się od prostych $k$ , $l$ i $m$ leżących na jednej płaszczyźnie, po czym mówi o prostej $n$ , której wcześniej nie wprowadzono, i kończy wnioskiem o prostej $m$ . Cytujemy dosłownie, bo tak brzmi dokument.

Twierdzenie, o które chodzi, jest znane i brzmi tak: jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych leżących w płaszczyźnie, to jest prostopadła do tej płaszczyzny — a więc i do każdej prostej w niej zawartej. Rozwijamy je na stronie o twierdzeniu o trzech prostopadłych.

4Pytania i odpowiedzi

Czy te dowody trzeba umieć odtworzyć na maturze?

Podstawa mówi, że uczeń ma poznać dowody tych twierdzeń — nie precyzuje formy sprawdzania. W praktyce ważniejsze od odtworzenia jest to, że dowody z tej listy są wzorcem rozumowań, których arkusz wymaga w zadaniach „wykaż, że…”: te same chwyty (rozważenie przypadków, doprowadzenie do sprzeczności, korzystanie z kątów wpisanych) wracają w zadaniach o innej treści.

Ile dowodów jest w zakresie podstawowym?

Dziesięć. Są to: istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych, niewymierność liczb takich jak pierwiastek z dwóch, wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego, własności potęg i logarytmów, wzory na wyraz i sumę ciągów arytmetycznego i geometrycznego, twierdzenie o kątach w okręgu, twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym, twierdzenie o dwusiecznej, wzór na pole trójkąta z sinusem oraz twierdzenie cosinusów wraz z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Gdzie ta lista stoi w podstawie programowej?

W części „Warunki i sposób realizacji”, jako punkt 16 zatytułowany „Dowody”. Nie ma jej wśród wymagań szczegółowych, więc przy czytaniu samych działów I–XIII łatwo ją przeoczyć — a jest jedynym miejscem, w którym dokument wymienia konkretne twierdzenia z nazwy.

Czy twierdzenie Pitagorasa jest na tej liście?

Nie wprost — na liście zakresu podstawowego jest pozycja 10: „Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa”. Samo twierdzenie Pitagorasa uczeń poznaje wcześniej, w szkole podstawowej (dział „Figury”, klasy VII i VIII), a w liceum wraca jego twierdzenie odwrotne oraz uogólnienie w postaci twierdzenia cosinusów.

Czy dowody z zakresu rozszerzonego zawierają cały rachunek pochodnych?

Nie. Lista rozszerzona obejmuje kombinatorykę (tożsamość Pascala, wzór dwumianowy Newtona), algebrę (dzielenie wielomianu z resztą i algorytm Hornera, wzory Viète’a), trygonometrię (wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy, twierdzenie sinusów), planimetrię (punkty szczególne trójkąta, czworokąty wpisane i opisane) oraz stereometrię (prosta prostopadła do płaszczyzny, twierdzenie o trzech prostopadłych). Twierdzeń rachunku różniczkowego na tej liście nie ma.

Czytaj dalej

Podstawa programowa z matematykiSkąd wzięliśmy tekst i jak podzieliliśmy dokument.Warunki i sposób realizacjiPozostałe piętnaście punktów tej samej części dokumentu.Zadania dowodoweJak w ogóle zabrać się za polecenie „wykaż, że…”.Dowody geometryczneRozumowania na rysunku — najliczniejsza grupa na liście.Dowody algebraicznePodzielność, reszty i przekształcenia — dział I punkt 2.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-04. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.