Strona główna › Geometria przestrzenna › Stożek

Stożek

Q: Czym różni się tworząca od wysokości stożka?

Wysokość łączy wierzchołek ze środkiem podstawy i jest do niej prostopadła, a tworząca sięga brzegu podstawy. Tworząca jest przeciwprostokątną w trójkącie (r, H), więc zawsze dłuższa od wysokości.

Q: Dlaczego powierzchnia boczna rozwija się w wycinek koła?

Bo wszystkie tworzące mają tę samą długość i wychodzą z jednego punktu — po rozłożeniu tworzą promienie koła o promieniu l. Łuk tego wycinka to dawna krawędź podstawy, czyli okrąg o długości 2 r.

Q: Co to jest stożek równoboczny?

Stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny, czyli taki, w którym tworząca równa się średnicy podstawy. Kąt rozwarcia wynosi wtedy 60°, a wysokość r 3.

Q: Jak liczy się kąt rozwarcia?

To kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Jeśli znasz kąt między tworzącą a podstawą, kąt rozwarcia wynosi 180° minus jego podwojenie, bo trójkąt przekroju jest równoramienny.

Q: Czy dwa stożki z tego samego trójkąta mają równe objętości?

Nie. Obrót wokół różnych przyprostokątnych zamienia rolami promień i wysokość, a promień wchodzi do wzoru w kwadracie. Większą objętość daje obrót wokół krótszej przyprostokątnej.

Stożek powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych — i z tego jednego zdania wynika cały temat. Trójkąt zostaje w bryle jako przekrój i to w nim liczy się wszystko: tworzącą, wysokość, kąty. Druga rzecz warta zapamiętania to siatka: powierzchnia boczna stożka nie jest prostokątem jak przy walcu, tylko wycinkiem koła.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Trzy odcinki i jedno twierdzenie Pitagorasa

Stożek opisują trzy wielkości, z których dowolne dwie wyznaczają trzecią:

$r$ — promień podstawy,
$H$ — wysokość, od wierzchołka do środka podstawy,
$l$ — tworząca, czyli odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy.

Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym tworząca jest przeciwprostokątną:

l^2 = r^2 + H^2

To jest ten sam trójkąt, którego obrotem powstał stożek — i jedyny, jakiego potrzeba w zadaniach. Cała trudność polega na rozpoznaniu, która z trzech wielkości jest dana, a nie na wyborze metody.

Tworząca kontra wysokość

Tworząca jest zawsze dłuższa od wysokości i od promienia, bo jest przeciwprostokątną.

Wstawienie $H$ tam, gdzie wzór wymaga $l$ , zaniża pole powierzchni — i to jest najczęstszy błąd w tym temacie, dokładnie tak jak mylenie wysokości bryły z apotemą w ostrosłupie.

Kontrola: jeśli w rozwiązaniu wyszło $l \leq H$ , gdzieś zamieniono odcinki miejscami.

2Objętość i pole — skąd wycinek koła

Podstawa programowa wymienia stożek w dziale X. Stereometria, zakres podstawowy, punkt 5, razem z pozostałymi bryłami: „oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii”.

V = \frac{1}{3}\pi r^2 H, \qquad P_c = \pi r^2 + \pi r l

Rozbite na osobne wielkości — to komplet, którego wymaga zadanie o stożku:

wielkość	wzór	dla $r = 9$ , $H = 12$ , $l = 15$
pole podstawy $P_p$	$\pi r^2$	$81\pi$
pole boczne $P_b$	$\pi r l$	$135\pi$
pole całkowite $P_c$	$\pi r(r + l)$	$216\pi$
objętość $V$	$\tfrac{1}{3}\pi r^2 H$	$324\pi$
tworząca $l$	$\sqrt{r^2 + H^2}$	$15$
obwód podstawy	$2\pi r$	$18\pi$
kąt wycinka w siatce	$360° \cdot \tfrac{r}{l}$	$216°$

Jedna trzecia w objętości to ta sama stała co przy ostrosłupie. Powód jest jednak inny, niż się wydaje: rozstrzyga to, że promień maleje liniowo wraz z wysokością, więc pole przekroju maleje z kwadratem — a średnia wartość $x^2$ na odcinku od $0$ do $1$ wynosi dokładnie $\frac13$ . Samo „zbieganie się do punktu” niczego nie przesądza: paraboloida obrotowa też zbiega się do punktu, a mieści połowę walca.

Pole boczne warto wyprowadzić, bo wzór $\pi r l$ wygląda na przypadkowy, a nie jest:

Rozwinięcie stożka to wycinek koła

Rozetnij powierzchnię boczną wzdłuż tworzącej i rozłóż. Dostajesz wycinek koła o promieniu $l$ .

Długość łuku tego wycinka to obwód podstawy, czyli $2\pi r$ — bo właśnie tą krawędzią stożek stał na płaszczyźnie.

Pole wycinka jest do pola całego koła w takim stosunku, jak jego łuk do pełnego obwodu: $\frac{2\pi r}{2\pi l} = \frac{r}{l}$ . Stąd $P_b = \pi l^2 \cdot \frac{r}{l} = \pi r l$ .

Z tego samego rachunku wynika kąt rozwarcia wycinka w siatce: skoro wycinek stanowi $\frac{r}{l}$ pełnego koła, jego kąt wynosi $360° \cdot \frac{r}{l}$ . To bywa osobnym pytaniem w zadaniu o siatce.

Wyniki zapisujemy z $\pi$ i z pierwiastkami w postaci dokładnej. Objętość $72\sqrt3\,\pi$ jest odpowiedzią pełną — zamiana na liczbę dziesiętną byłaby przybliżeniem, o które nikt nie prosił.

3Przekrój osiowy i kąty

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i ramionach równych tworzącej $l$ . Jego wysokość to $H$ .

Podstawa wymienia kąty stożka osobno (dział X. Stereometria, zakres podstawowy, punkt 4): „rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów”. Te dwa kąty trzeba rozróżniać:

kąt	gdzie leży	zależność
między tworzącą a podstawą ( $\alpha$ )	przy podstawie przekroju	$\cos\alpha = \frac{r}{l}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$
rozwarcia ( $\beta$ )	przy wierzchołku przekroju	$\beta = 180° - 2\alpha$

Zależność w drugim wierszu wynika z sumy kątów trójkąta równoramiennego: przy podstawie stoją dwa kąty $\alpha$ , więc na wierzchołek zostaje reszta. Połowa kąta rozwarcia jest kątem między tworzącą a osią bryły — i to ona pojawia się w rachunkach z sinusem.

Stożek równoboczny

To stożek, w którym przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, czyli $l = 2r$ .

Wtedy kąt rozwarcia wynosi $60°$ , a wysokość $H = r\sqrt3$ — z wysokości trójkąta równobocznego o boku $2r$ .

Nazwa działa jak skrót: jedno słowo w treści zadania podaje obie brakujące zależności.

Z tego samego przekroju biorą się kula wpisana i kula opisana. Bryła jest obrotowa, więc kula styczna do stożka przecina się z przekrojem osiowym w okręgu wpisanym w ten trójkąt, a kula przez wierzchołek i brzeg podstawy — w okręgu opisanym na nim. Wystarczy więc znać dwa wzory z planimetrii.

r_{\text{wp}} = \frac{rH}{r + l}, \qquad R_{\text{op}} = \frac{l^2}{2H}

Pierwszy to $\frac{\text{pole}}{\text{połowa obwodu}}$ dla trójkąta o podstawie $2r$ i wysokości $H$ : $\frac{rH}{r + l}$ . Drugi to wzór $R = \frac{abc}{4P}$ dla boków $l$ , $l$ , $2r$ : $\frac{2rl^2}{4rH} = \frac{l^2}{2H}$ .

Przykładem: dla $r = 9$ , $H = 12$ , $l = 15$ wychodzi $r_{\text{wp}} = \frac{108}{24} = 4{,}5$ oraz $R_{\text{op}} = \frac{225}{24} = 9{,}375$ . Kontrola drugą drogą: środek kuli opisanej leży na osi w odległości $d$ od środka podstawy, gdzie $d^2 + r^2 = R_{\text{op}}^2$ , czyli $d = \sqrt{9{,}375^2 - 81} = 2{,}625$ — a wtedy do wierzchołka jest $12 - 2{,}625 = 9{,}375$ , dokładnie tyle samo ✓

Zagadnienie ponadprogramowe

Kula wpisana i opisana na stożku nie są wymienione w podstawie programowej — dział X. Stereometria wymaga objętości i pól brył oraz kątów, nie kul stycznych.

Wzory podaję, bo pojawiają się w zadaniach zbiorów zadań i na zakresie rozszerzonym. Do ich wyprowadzenia nie trzeba niczego ponad przekrój osiowy i dwa wzory z planimetrii.

4Stożek wśród brył obrotowych

Trzy bryły obrotowe różnią się tym, co obracamy — i to wystarczy, żeby wyprowadzić wszystkie wzory.

bryła	co obracamy	objętość
walec	prostokąt wokół boku	$\pi r^2 H$
stożek	trójkąt prostokątny wokół przyprostokątnej	$\frac{1}{3}\pi r^2 H$
kula	półkole wokół średnicy	$\frac{4}{3}\pi r^3$

Warto zauważyć, że stożek i walec o tych samych wymiarach różnią się dokładnie trzykrotnie. Nie znaczy to jednak, że trzy stożki dają się poskładać w walec — stosunek objętości to nie to samo co rozkład. Łatwo się o tym przekonać: wytnij z walca wpisany stożek, a to, co zostanie, ma na każdej wysokości poniżej wierzchołka przekrój w kształcie pierścienia, nie koła — więc żadnym stożkiem nie jest. Stosunek $3 : 1$ dla brył obrotowych dowodzi się rachunkiem (sumowaniem cienkich krążków), a nie rozcinaniem. Przy ostrosłupie i graniastosłupie zachodzi ta sama proporcja, ale tam rozkład naprawdę istnieje — i to jest różnica, nie podobieństwo.

Obracając trójkąt prostokątny wokół drugiej przyprostokątnej, dostajemy inny stożek — o zamienionych rolach $r$ i $H$ . Objętości nie są wtedy równe, bo promień wchodzi do wzoru w kwadracie, a wysokość liniowo. To bywa treścią zadania: ten sam trójkąt daje dwie różne bryły.

Przy zadaniach o brył obrotowych warto pamiętać, że tworząca nie jest wysokością, a przy walcu te dwa odcinki się pokrywają. Stąd bierze się większość pomyłek przy przechodzeniu między tymi bryłami.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wzory wprost, stożek równoboczny, kąt rozwarcia i siatka jako wycinek koła.

Przykład 1 Objętość i pole z promienia i wysokości

Stożek ma promień podstawy $9$ i wysokość $12$ . Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

Tworząca: $l = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 12 = \pi \cdot 81 \cdot 4 = 324\pi$ .
Pole podstawy: $\pi \cdot 81 = 81\pi$ .
Pole boczne: $\pi r l = \pi \cdot 9 \cdot 15 = 135\pi$ .
$P_c = 81\pi + 135\pi = 216\pi$ .
Kontrola: tworząca jest dłuższa od wysokości — $15 > 12$ ✓
Kontrola trójki: $81 + 144 = 225$ , czyli $9, 12, 15$ spełnia twierdzenie Pitagorasa ✓

Odpowiedź: $V = 324\pi$ , $P_c = 216\pi$

Dzielenie przez trzy skróciło się z dwunastką — dlatego warto je wykonać przed mnożeniem. Wyniki zostawiam z $\pi$ ; to postać dokładna.

Przykład 2 Stożek równoboczny

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku $12$ . Oblicz wysokość i objętość tej bryły.

Bok trójkąta to jednocześnie tworząca oraz średnica podstawy, więc $l = 12$ i $2r = 12$ , czyli $r = 6$ .
Wysokość: $H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108}$ .
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt3$ — zostawiam w postaci dokładnej.
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt3 = 72\sqrt3\,\pi$ .
Kontrola wzorem na wysokość trójkąta równobocznego: $\frac{12\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ ✓
Kontrola nierówności: $l > H$ , bo $12 > 6\sqrt3$ — wystarczy porównać kwadraty: $144 > 108$ ✓

Odpowiedź: $H = 6\sqrt3$ , $V = 72\sqrt3\,\pi$

Słowo „równoboczny” podało tu obie brakujące dane naraz: tworzącą i promień. Dlatego warto rozpoznawać takie sformułowania — zastępują połowę treści zadania.

Przykład 3 Kąt rozwarcia prosty

Kąt rozwarcia stożka jest prosty, a promień podstawy wynosi $5$ . Oblicz wysokość, tworzącą i objętość.

Kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Skoro wynosi $90°$ , kąty przy podstawie mają po $45°$ .
Trójkąt $(r, H)$ ma kąt $45°$ , więc jest równoramienny: $H = r = 5$ .
Tworząca: $l = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt2$ .
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 5 = \frac{125\pi}{3}$ .
Kontrola zależnością: $\beta = 180° - 2\alpha = 180° - 90° = 90°$ ✓
Kontrola nierówności: $5\sqrt2 > 5$ , bo $50 > 25$ ✓

Odpowiedź: $H = 5$ , $l = 5\sqrt2$ , $V = \frac{125\pi}{3}$

Kąt prosty przy wierzchołku daje najprostszy możliwy przypadek: wysokość równa promieniowi. Warto to rozpoznać od razu, bo zastępuje rachunek trygonometryczny.

Przykład 4 Siatka jako wycinek koła

Stożek ma promień podstawy $3$ i tworzącą $9$ . Jaki kąt ma wycinek koła stanowiący jego powierzchnię boczną?

Rozwinięta powierzchnia boczna to wycinek koła o promieniu $l = 9$ .
Długość łuku wycinka równa się obwodowi podstawy: $2\pi \cdot 3 = 6\pi$ .
Obwód całego koła o promieniu $9$ wynosi $2\pi \cdot 9 = 18\pi$ .
Wycinek stanowi więc $\frac{6\pi}{18\pi} = \frac{1}{3}$ pełnego koła.
Kąt wycinka: $\frac{1}{3} \cdot 360° = 120°$ .
Kontrola wzorem: $360° \cdot \frac{r}{l} = 360° \cdot \frac{3}{9} = 120°$ ✓
Kontrola pola: $P_b = \pi r l = 27\pi$ , a jedna trzecia koła o promieniu $9$ to $\frac{81\pi}{3} = 27\pi$ ✓

Odpowiedź: Kąt wycinka wynosi $120°$ .

Ostatnia kontrola liczy to samo dwiema drogami: wzorem na pole boczne i jako ułamek pola koła. Zgodność potwierdza, że wyprowadzenie $P_b = \pi r l$ jest poprawne.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą odcinków, trzy kolejne — wzorów i siatki.

Wstawienie wysokości zamiast tworzącej do wzoru na pole boczne.

Skąd się bierze: Zadania podają zwykle $H$ , a wzór $\pi r l$ wygląda podobnie do objętości.

Jak zrobić dobrze: W polu bocznym występuje tworząca. Policz ją najpierw: $l = \sqrt{r^2 + H^2}$ , i sprawdź, że wyszła większa od $H$ .

Uznanie tworzącej za wysokość przekroju osiowego.

Skąd się bierze: Oba odcinki wychodzą z wierzchołka bryły.

Jak zrobić dobrze: Wysokość idzie do środka podstawy, tworząca do jej brzegu. W przekroju osiowym wysokość jest wysokością trójkąta, a tworzące — jego ramionami.

Pominięcie jednej trzeciej w objętości.

Skąd się bierze: Wzór na walec, $\pi r^2 H$ , jest lepiej utrwalony.

Jak zrobić dobrze: Stożek mieści trzy razy mniej niż walec o tej samej podstawie i wysokości. Jeśli wynik wydaje się za duży, sprawdź właśnie ten czynnik.

Liczenie siatki jako pełnego koła o promieniu $l$ .

Skąd się bierze: Rozwinięcie wygląda jak koło z wyciętym kawałkiem, a wycięcie bywa pomijane.

Jak zrobić dobrze: Wycinek stanowi $\frac{r}{l}$ pełnego koła. Pełne koło odpowiadałoby stożkowi, którego łuk zamyka się dopiero po całym obrocie, czyli przypadkowi $r = l$ — niemożliwemu.

Zamiana wyniku z $\pi$ i pierwiastkiem na liczbę dziesiętną.

Skąd się bierze: Zapis $72\sqrt3\,\pi$ wygląda na nieukończony.

Jak zrobić dobrze: To jest odpowiedź dokładna i pełna. Przybliżenie podajemy tylko wtedy, gdy zadanie o nie prosi.

Zadania maturalne — stożek

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. W stożku trzy liczby wiąże jedno twierdzenie:

r^2 + h^2 = l^2

, gdzie

l

to tworząca. Prawie każde zadanie zaczyna się od wypełnienia tej trójki.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2017)1 pktłatwe

Dany jest stożek o wysokości

6

i tworzącej

3\sqrt5

. Objętość tego stożka jest równa

A. $36\pi$
B. $18\pi$
C. $108\pi$
D. $54\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym tworząca jest przeciwprostokątną:
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{\left(\textcolor{#16A06A}{3\sqrt5}\right)^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2}$
$\left(3\sqrt5\right)^2 = 9 \cdot 5 = 45$ , więc $r = \sqrt{45 - 36} = \sqrt9 = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
$V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \cdot 9 \cdot 6 = \textcolor{#E0453A}{18\pi}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kwadrat tworzącej licz w pamięci jako $9 \cdot 5$ — podnoszenie $3\sqrt5$ do kwadratu „po kawałku” jest szybsze niż mnożenie $6{,}7 \cdot 6{,}7$ i nie wprowadza zaokrągleń.

⚠ Wstawienie do wzoru tworzącej zamiast wysokości. Wyszłoby wtedy $\frac13 \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt5$ , czyli liczba niewymierna — a wszystkie cztery odpowiedzi są całkowitymi wielokrotnościami $\pi$ . To sygnał, że coś poszło nie tak.

Zadanie 2 (maj 2015)1 pktśrednie

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości

6

. Objętość tego stożka jest równa

A. $27\pi\sqrt3$
B. $9\pi\sqrt3$
C. $18\pi$
D. $6\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Przekrój osiowy to trójkąt o podstawie równej średnicy i ramionach równych tworzącym.
Skoro bok wynosi $\textcolor{#16A06A}{6}$ , to średnica podstawy ma $6$ , a promień jest o połowę mniejszy: $r = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Wysokość stożka to wysokość tego trójkąta równobocznego:
$h = \frac{a\sqrt3}{2} = \frac{6\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$
$V = \frac13 \pi \cdot 3^2 \cdot 3\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{9\pi\sqrt3}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Wynik zostaje w postaci $9\pi\sqrt3$ — dwie odpowiedzi są bez pierwiastka, więc samo rozpoznanie, że wysokość jest niewymierna, odsiewa połowę wariantów.

⚠ Przyjęcie, że bok trójkąta to promień. Promień jest połową boku, bo podstawa przekroju osiowego to cała średnica. Ten błąd zawyża objętość czterokrotnie i daje odpowiedź A.

Zadanie 3 (sierpień 2016)1 pktśrednie

Kąt rozwarcia stożka ma miarę

120°

, a tworząca tego stożka ma długość

6

. Promień podstawy stożka jest równy

A. $3$
B. $6$
C. $3\sqrt3$
D. $6\sqrt3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym — kąt między dwiema tworzącymi.
Wysokość dzieli go na połowę, więc kąt między osią a jedną tworzącą wynosi $\textcolor{#E0453A}{60°}$ .
W trójkącie prostokątnym $(r,\ h,\ l)$ promień leży naprzeciw tego kąta:
$r = l \cdot \sin 60° = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Promień musi być krótszy od tworzącej — to przyprostokątna wobec przeciwprostokątnej. Odpowiedź D ( $6\sqrt3 \approx 10{,}4$ ) odpada bez rachunku, bo tworząca ma tylko $6$ .

⚠ Wstawienie do sinusa całych $120°$ zamiast połowy. Kąt rozwarcia jest kątem całego przekroju, a trójkąt prostokątny powstaje dopiero po przecięciu go wysokością.

Zadanie 4 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

Objętość stożka o wysokości

h

i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa

A. $\frac19 \pi h^2$
B. $\frac{1}{27} \pi h^2$
C. $\frac19 \pi h^3$
D. $\frac{1}{27} \pi h^3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

„Promień trzy razy mniejszy od wysokości” znaczy $r = \frac{\textcolor{#16A06A}{h}}{3}$ .
Podstawiamy do wzoru na objętość — i pamiętamy, że promień jest podnoszony do kwadratu:
$V = \frac13 \pi \left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac13 \pi \cdot \frac{h^2}{9} \cdot h$
$V = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{27} \pi h^3}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Wykładnik rozstrzyga połowę zadania: objętość jest wielkością trójwymiarową, więc przy jednej literze musi stać $h^3$ . Odpowiedzi A i B z $h^2$ odpadają od razu.

⚠ Zapisanie $\left(\frac{h}{3}\right)^2$ jako $\textcolor{#9b1c14}{\frac{h^2}{3}}$ . Do kwadratu idzie cały ułamek, więc mianownik też: $\frac{h^2}{9}$ . Ten jeden krok odróżnia odpowiedź C od poprawnej D.

Zadanie 5 (sierpień 2015)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków

a

b

c

, gdzie

a < b < c

. Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt

360°

, otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa

A. $V = \frac13 a^2 b \pi$
B. $V = a^2 b \pi$
C. $V = \frac13 b^2 a \pi$
D. $V = a^2 \pi + \pi a c$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Skoro $a < b < c$ , to $c$ jest przeciwprostokątną, a dłuższa przyprostokątna to $\textcolor{#16A06A}{b}$ .
Przy obrocie wokół prostej zawierającej $b$ powstaje stożek, w którym:
oś obrotu staje się wysokością, więc $h = \textcolor{#E0453A}{b}$ ,
druga przyprostokątna zakreśla podstawę, więc $r = \textcolor{#E0453A}{a}$ .
$V = \frac13 \pi r^2 h = \textcolor{#E0453A}{\frac13 a^2 b \pi}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Sprawdź na konkretnym trójkącie, np. 3-4-5: obrót wokół boku $4$ daje stożek o promieniu $3$ i wysokości $4$ , czyli objętość $12\pi$ . Wzór A po podstawieniu daje dokładnie tyle.

⚠ Zamiana ról przyprostokątnych (odpowiedź C). Bok, wokół którego obracamy, zostaje wysokością — promień zakreśla ten drugi. Dla trójkąta 3-4-5 wzór C daje $16\pi$ zamiast $12\pi$ .

Zadanie 6 (czerwiec 2018)1 pkttrudniejsze

Stożek o promieniu podstawy

r

i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

A. $\frac43$
B. $12$
C. $\sqrt{17}$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Porównujemy objętości i skracamy to, co wspólne:
$\frac13 \pi r^2 h = \frac43 \pi r^3$
Obie strony dzielimy przez $\frac13 \pi r^2$ :
$h = \textcolor{#E0453A}{4r}$
Kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy leży w trójkącie $(r,\ h,\ l)$ przy podstawie, więc:
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{r} = \frac{4r}{r} = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Promień $r$ skraca się w obu miejscach — wynik nie zależy od wielkości bryły. Sprawdziłem to rachunkiem dla czterdziestu różnych promieni.

⚠ Policzenie stosunku tworzącej do promienia zamiast wysokości do promienia. Wyszłoby $\frac{\sqrt{r^2 + 16r^2}}{r} = \sqrt{17}$ , czyli odpowiedź C — i to właśnie na nią czeka autor zadania. Tangens to zawsze przyprostokątna przez przyprostokątną.

Zadanie 7 (maj 2014)1 pktśrednie

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznej. Wtedy tworząca stożka jest

A. równa wysokości walca.
B. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
C. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
D. sześć razy dłuższa od wysokości walca.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zapisujemy oba pola boczne przez ten sam promień $r$ :
stożek: $P_b = \pi r l$ , walec: $P_b = 2\pi r H$ .
Z warunku równości pól:
$\pi r l = 2\pi r H$
Dzielimy obie strony przez $\pi r$ (promień jest dodatni, więc wolno):
$l = \textcolor{#E0453A}{2H}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Warto zapamiętać skąd bierze się dwójka: powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o szerokości $2\pi r$ , a powierzchnia boczna stożka — wycinkiem koła. Ten czynnik $2$ to cały obwód podstawy.

⚠ Porównanie pól całkowitych zamiast bocznych. Podstawy są takie same, ale walec ma ich dwie, a stożek jedną — wtedy $r$ już się nie skróci i zadania nie da się rozwiązać bez konkretnych liczb.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. B	3. C	4. D	5. A	6. D
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się tworząca od wysokości stożka?

Wysokość łączy wierzchołek ze środkiem podstawy i jest do niej prostopadła, a tworząca sięga brzegu podstawy. Tworząca jest przeciwprostokątną w trójkącie $(r, H)$ , więc zawsze dłuższa od wysokości.

Dlaczego powierzchnia boczna rozwija się w wycinek koła?

Bo wszystkie tworzące mają tę samą długość i wychodzą z jednego punktu — po rozłożeniu tworzą promienie koła o promieniu $l$ . Łuk tego wycinka to dawna krawędź podstawy, czyli okrąg o długości $2\pi r$ .

Co to jest stożek równoboczny?

Stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny, czyli taki, w którym tworząca równa się średnicy podstawy. Kąt rozwarcia wynosi wtedy $60°$ , a wysokość $r\sqrt3$ .

Jak liczy się kąt rozwarcia?

To kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Jeśli znasz kąt między tworzącą a podstawą, kąt rozwarcia wynosi $180°$ minus jego podwojenie, bo trójkąt przekroju jest równoramienny.

Czy dwa stożki z tego samego trójkąta mają równe objętości?

Nie. Obrót wokół różnych przyprostokątnych zamienia rolami promień i wysokość, a promień wchodzi do wzoru w kwadracie. Większą objętość daje obrót wokół krótszej przyprostokątnej.

Czytaj dalej

WalecBryła obrotowa o tej samej podstawie — i o objętości trzy razy większej.Ostrosłup prawidłowy czworokątnyTen sam współczynnik jednej trzeciej i to samo mylenie wysokości z odcinkiem ściany.Pole kołaPodstawa stożka oraz wzór, z którego liczy się pole wycinka w siatce.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.