Strona główna › Funkcje › Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Q: Co to jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej?

Zapis f(x) = a(x-p)^2 + q, w którym p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli. Pozwala odczytać wierzchołek, zbiór wartości i oś symetrii wprost ze wzoru, bez żadnych obliczeń.

Q: Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną?

Przez uzupełnianie do pełnego kwadratu: bierzemy połowę współczynnika przy x, podnosimy ją do kwadratu, dodajemy i od razu odejmujemy tę liczbę, a potem zwijamy trzy wyrazy wzorem skróconego mnożenia.

Q: Skąd bierze się dzielenie współczynnika przez dwa?

Ze wzoru (x-p)^2 = x^2-2px+p^2, w którym środkowy wyraz zawiera mnożenie przez dwa. Dzielenie przez dwa po prostu je odwraca i pozwala odzyskać p.

Q: Dlaczego (x-3)^2 przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo?

Bo nawias zeruje się przy x=3, więc to, co w podstawowej paraboli działo się w zerze, teraz dzieje się w trójce. Znak w nawiasie jest przeciwny do kierunku przesunięcia — inaczej niż przy przesunięciu pionowym.

Q: Czy zawsze trzeba uzupełniać do kwadratu?

Nie. Jeśli potrzebujesz tylko wierzchołka, szybciej policzyć p = -b/2a i q = f(p). Uzupełnianie jest konieczne wtedy, gdy zadanie każe pokazać przekształcenie albo udowodnić nierówność.

Q: Do czego postać kanoniczna przydaje się w zadaniach?

Do wyznaczania wartości najmniejszej i największej, do dowodzenia nierówności oraz do szkicowania wykresu przez przesunięcie paraboli y=x^2. Wszystko to wynika z tego, że kwadrat jest zawsze nieujemny.

Q: Czy istnieje coś takiego jak funkcja kanoniczna?

Nie — kanoniczna jest postać zapisu, a nie sama funkcja. Mówiąc „funkcja kanoniczna”, ma się zwykle na myśli funkcję kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej, czyli takiej, z której od razu widać współrzędne wierzchołka paraboli.

Postać kanoniczna $f(x) = a(x-p)^2 + q$ pokazuje wierzchołek wprost we wzorze — bez liczenia czegokolwiek. To jej najbardziej widoczna zaleta, ale nie jedyna: równie wprost widać z niej zbiór wartości, oś symetrii oraz wartość najmniejszą albo największą, a przy dowodzeniu nierówności bywa jedynym wygodnym zapisem. Cała umiejętność polega na przejściu od postaci ogólnej do kanonicznej, a robi się to jednym chwytem: uzupełnianiem do pełnego kwadratu. Sam sens obu postaci opisuję przy funkcji kwadratowej; tutaj chodzi o samo przekształcenie.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 13

Przejdź od razu do zadań (13) ↓

1Co postać kanoniczna pokazuje od razu

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział V. Funkcje, zakres podstawowy: „interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)”.

Umiejętność przechodzenia między postaciami jest więc wymagana na maturze podstawowej.

Postać kanoniczna dostała w podstawie coś więcej niż punkt wymagań — osobny komentarz w części Warunki i sposób realizacji, punkt 7: „Warto zwrócić uwagę, że wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego oraz na współrzędne wierzchołka paraboli, a także pojęcie i własności wyróżnika są jedynie wnioskami z postaci kanonicznej”. I dalej: „W szczególności postać kanoniczna pozwala znajdować najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej, a także oś symetrii jej wykresu”.

Warto to przeczytać dwa razy. Delta i wzory na pierwiastki, których uczeń uczy się jako pierwszych, są w tym ujęciu wtórne wobec postaci kanonicznej — a nie odwrotnie.

f(x) = a(x-p)^2 + q

Litery $p$ i $q$ to współrzędne wierzchołka: $W = (p, q)$ . Nie trzeba ich liczyć — wystarczy odczytać ze wzoru.

wzór	wierzchołek	uwaga
$f(x) = (x-3)^2 - 4$	$(3, -4)$	standardowo
$f(x) = (x+2)^2 + 1$	$(-2, 1)$	⚠️ plus we wzorze daje minus w wierzchołku
$f(x) = 2(x-1)^2$	$(1, 0)$	brak $q$ znaczy $q=0$
$f(x) = -(x+5)^2 - 3$	$(-5, -3)$	ramiona w dół, bo $a=-1$

Drugi wiersz to najczęstsza pomyłka w całym temacie. We wzorze stoi $(x-p)$ , więc zapis $(x+2)$ trzeba odczytać jako $(x-(-2))$ — stąd $p = \textcolor{#E0453A}{-2}$ , a nie $2$ .

Sprawdzenie zajmuje sekundę: wierzchołek leży tam, gdzie nawias się zeruje. Dla $(x+2)^2$ nawias znika przy $x = \textcolor{#E0453A}{-2}$ i to jest szukane $p$ .

Znając wierzchołek, masz od razu zbiór wartości i oś symetrii — obie rzeczy wynikają wprost z $q$ i $p$ . To dlatego postać kanoniczna jest wygodna w zadaniach o wartości najmniejszej i największej.

2Uzupełnianie do pełnego kwadratu

To główna technika tej strony. Pomysł: dołożyć i odjąć taką liczbę, żeby powstał wzór skróconego mnożenia.

Weźmy $f(x) = x^2 - 6x + 5$ i prześledźmy to krok po kroku.

Patrzę na wyraz z $x$ : współczynnik to $\textcolor{#16A06A}{-6}$ .
Biorę jego połowę: $\textcolor{#16A06A}{-6} : 2 = \textcolor{#E0453A}{-3}$ . To będzie $p$ .
Podnoszę do kwadratu: $\textcolor{#E0453A}{(-3)}^2 = \textcolor{#2F80D8}{9}$ . Tyle trzeba dołożyć, żeby powstał pełny kwadrat.
Dopisuję i od razu odejmuję: $x^2-6x+\textcolor{#2F80D8}{9}-\textcolor{#2F80D8}{9}+5$ .
Trzy pierwsze wyrazy zwijam wzorem: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$ .
Zostaje $-\textcolor{#2F80D8}{9}+5 = \textcolor{#8B5CF6}{-4}$ , czyli $q$ .

f(x) = x^2-6x+5 = (x-\textcolor{#E0453A}{3})^2 \textcolor{#8B5CF6}{- 4}

Wierzchołek to więc $(\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#8B5CF6}{-4})$ . Kontrola przez wymnożenie: $(x-3)^2-4 = x^2-6x+9-4 = x^2-6x+5$ ✓

Skąd bierze się „połowa współczynnika”

Ze wzoru $(x-p)^2 = x^2 - 2px + p^2$ . Środkowy wyraz to $-2px$ , więc jeśli w naszym wielomianie stoi $-6x$ , to $-2p = -6$ , czyli $p = 3$ .

Dzielenie przez dwa nie jest sztuczką — odwraca mnożenie przez dwa, które siedzi w środkowym wyrazie wzoru skróconego mnożenia.

Gdy $a \neq 1$ , trzeba najpierw wyłączyć je przed nawias. Dla $g(x) = 2x^2-8x+5$ :

2x^2-8x+5 = \textcolor{#16A06A}{2}(x^2-4x)+5 = \textcolor{#16A06A}{2}\left[(x-2)^2-4\right]+5 = \textcolor{#16A06A}{2}(x-2)^2 \textcolor{#E0453A}{-3}

Uwaga na przedostatni krok: liczba $-4$ stoi wewnątrz nawiasu kwadratowego, więc mnoży się przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ i daje $-8$ , a $-8+5 = \textcolor{#E0453A}{-3}$ . To najczęstsze miejsce pomyłki przy $a \neq 1$ .

Kontrola: $\textcolor{#16A06A}{2}(x-2)^2-3 = \textcolor{#16A06A}{2}(x^2-4x+4)-3 = 2x^2-8x+8-3 = 2x^2-8x+5$ ✓

3Droga na skróty przez wzór

Uzupełniania do kwadratu nie trzeba wykonywać za każdym razem — współrzędne wierzchołka można policzyć wzorem, a potem po prostu je wstawić. Sam wzór wraz z uzasadnieniem omawiam przy funkcji kwadratowej; tutaj interesuje mnie tylko to, kiedy opłaca się go użyć zamiast przekształcenia.

p = \frac{-b}{2a}, \qquad q = f(p)

Dla $x^2-6x+5$ : $p = \frac{6}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ , a $q = f(\textcolor{#E0453A}{3}) = 9-18+5 = \textcolor{#8B5CF6}{-4}$ — ten sam wynik, znacznie szybciej.

metoda	kiedy wygodniejsza
wzór $p = \frac{-b}{2a}$ , $q = f(p)$	gdy potrzebujesz tylko wierzchołka albo współczynniki są nieładne
uzupełnianie do kwadratu	gdy zadanie każe pokazać przekształcenie albo udowodnić nierówność

Drugi wiersz jest istotny: w zadaniach na dowodzenie sam wynik nie wystarczy. Zapis $x^2-6x+5 = (x-3)^2-4$ dowodzi, że wyrażenie jest zawsze większe lub równe $-4$ — bo kwadrat jest nieujemny. Tego samego nie da się pokazać wzorem na $p$ .

To zresztą typowe zastosowanie postaci kanonicznej w nierównościach: przekształcenie od razu pokazuje, jaka jest najmniejsza możliwa wartość trójmianu.

Kontrola, która działa zawsze

Po przekształceniu wymnóż postać kanoniczną z powrotem i porównaj z wyjściową. Jeśli wyjdzie to samo, przekształcenie jest poprawne.

Szybsza wersja: podstaw jedną liczbę, na przykład $x=0$ , do obu postaci. Dla $x^2-6x+5$ wychodzi $5$ , a dla $(x-3)^2-4$ też $9-4=5$ ✓

4Przesunięcia wykresu

Postać kanoniczna czyta się też jako przepis na przesunięcie podstawowej paraboli $y = x^2$ .

W podręcznikach spotkasz to samo zapisane wektorem: wykres $y = a(x-p)^2 + q$ powstaje z wykresu $y = ax^2$ przez przesunięcie o wektor $\vec{u} = [p,\, q]$ . To ten sam ruch, tylko podany jedną parą liczb zamiast dwóch osobnych zdań — pierwsza współrzędna wektora mówi o przesunięciu w poziomie, druga w pionie. Uwaga na znak: wektor to $[p,\,q]$ , a we wzorze stoi $x-p$ , więc dla $(x-3)^2$ przesunięcie idzie o $3$ w prawo, a nie w lewo.

wzór	przesunięcie względem $y=x^2$
$y = (x-3)^2$	o $3$ jednostki w prawo
$y = (x+2)^2$	o $2$ jednostki w lewo
$y = x^2 + 4$	o $4$ jednostki w górę
$y = x^2 - 1$	o $1$ jednostkę w dół
$y = (x-3)^2 - 4$	o $3$ w prawo i $4$ w dół

Zwróć uwagę na asymetrię: przy przesunięciu pionowym znak zgadza się z intuicją (plus to w górę), ale przy poziomym jest odwrotnie — minus przesuwa w prawo.

Powód: nawias zeruje się przy $x = 3$ , więc to, co w podstawowej paraboli działo się w zerze, teraz dzieje się w trójce. Wykres „czeka” na tę samą wartość dłużej, czyli jest przesunięty w prawo.

Ta reguła nie dotyczy tylko paraboli. Dla każdej funkcji zapis $f(x-p)$ oznacza przesunięcie w prawo o $p$ , a $f(x)+q$ przesunięcie w górę o $q$ — działa tak samo przy wykresie sinusa i przy funkcji liniowej.

Współczynnik $a$ nie przesuwa

Liczba przed nawiasem rozciąga albo ściska wykres w pionie i decyduje o kierunku ramion — ale nie przesuwa go w żadną stronę.

Wierzchołek $(p,q)$ zależy wyłącznie od $p$ i $q$ ; $a$ zmienia tylko to, jak stromo wykres z niego wychodzi.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: przekształcenie proste, z współczynnikiem przy kwadracie i odczyt przesunięcia.

Przykład 1 Przekształcenie przy $a=1$

Zapisz $f(x) = x^2 + 8x + 3$ w postaci kanonicznej i podaj wierzchołek.

Współczynnik przy $x$ to $\textcolor{#16A06A}{8}$ . Biorę połowę: $\textcolor{#16A06A}{8} : 2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Podnoszę do kwadratu: $\textcolor{#E0453A}{4}^2 = \textcolor{#2F80D8}{16}$ — tyle trzeba dołożyć i odjąć.
$x^2+8x+3 = x^2+8x+\textcolor{#2F80D8}{16}-\textcolor{#2F80D8}{16}+3$
Trzy pierwsze wyrazy zwijam: $x^2+8x+16 = (x+\textcolor{#E0453A}{4})^2$ .
Reszta: $-\textcolor{#2F80D8}{16}+3 = \textcolor{#8B5CF6}{-13}$ .
Zatem $f(x) = (x+\textcolor{#E0453A}{4})^2 \textcolor{#8B5CF6}{- 13}$ , a wierzchołek to $(\textcolor{#E0453A}{-4}, \textcolor{#8B5CF6}{-13})$ .
Kontrola przez wymnożenie: $(x+4)^2-13 = x^2+8x+16-13 = x^2+8x+3$ ✓
Kontrola wzorem: $p = \frac{-8}{2} = \textcolor{#E0453A}{-4}$ , $q = f(-4) = 16-32+3 = \textcolor{#8B5CF6}{-13}$ ✓
Kontrola podstawieniem $x=0$ : obie postacie dają $3$ , bo $16-13 = 3$ ✓

Odpowiedź: $f(x) = (x+4)^2 - 13$ , wierzchołek $(-4, -13)$ .

Uwaga na znak $p$ : we wzorze stoi $(x+4)$ , więc pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi $-4$ , nie $4$ . Kontrola: nawias zeruje się właśnie przy $x=-4$ .

Przykład 2 Przekształcenie przy $a \neq 1$

Zapisz $g(x) = 3x^2 - 12x + 7$ w postaci kanonicznej.

Najpierw wyłączam $\textcolor{#16A06A}{3}$ przed nawias — ale tylko z wyrazów zawierających $x$ .
$3x^2-12x+7 = \textcolor{#16A06A}{3}(x^2-4x)+7$
Teraz uzupełniam do kwadratu wewnątrz nawiasu: połowa z $-4$ to $\textcolor{#E0453A}{-2}$ , a jej kwadrat to $\textcolor{#2F80D8}{4}$ .
$x^2-4x = (x-\textcolor{#E0453A}{2})^2 - \textcolor{#2F80D8}{4}$
Wstawiam z powrotem: $\textcolor{#16A06A}{3}\left[(x-\textcolor{#E0453A}{2})^2-\textcolor{#2F80D8}{4}\right]+7$
Mnożę przez $\textcolor{#16A06A}{3}$ : $\textcolor{#16A06A}{3}(x-\textcolor{#E0453A}{2})^2 - 12 + 7 = \textcolor{#16A06A}{3}(x-\textcolor{#E0453A}{2})^2 \textcolor{#8B5CF6}{- 5}$
Kontrola przez wymnożenie: $3(x-2)^2-5 = 3(x^2-4x+4)-5 = 3x^2-12x+12-5 = 3x^2-12x+7$ ✓
Kontrola wzorem: $p = \frac{12}{6} = \textcolor{#E0453A}{2}$ , $q = g(2) = 12-24+7 = \textcolor{#8B5CF6}{-5}$ ✓

Odpowiedź: $g(x) = 3(x-2)^2 - 5$ , wierzchołek $(2, -5)$ .

Najczęstszy błąd to zapomnienie, że liczba w nawiasie kwadratowym mnoży się przez $a$ . Tu $-4$ dało $-12$ , a nie $-4$ — i właśnie dlatego kontrola przez wymnożenie jest tu obowiązkowa.

Przykład 3 Odczyt przesunięcia

Wykres funkcji $y = x^2$ przesunięto o $\textcolor{#16A06A}{5}$ jednostek w lewo i $\textcolor{#16A06A}{2}$ w górę. Podaj wzór funkcji po przesunięciu.

Przesunięcie poziome zapisuje się w nawiasie ze znakiem przeciwnym: w lewo o $\textcolor{#16A06A}{5}$ znaczy $(x+\textcolor{#16A06A}{5})$ .
Przesunięcie pionowe dopisuje się na końcu ze znakiem zgodnym: w górę o $\textcolor{#16A06A}{2}$ znaczy $+\textcolor{#16A06A}{2}$ .
$y = (x+\textcolor{#16A06A}{5})^2 + \textcolor{#16A06A}{2}$
Wierzchołek: nawias zeruje się przy $x = \textcolor{#E0453A}{-5}$ , więc $W = (\textcolor{#E0453A}{-5}, \textcolor{#2F80D8}{2})$ .
Kontrola sensu: przesunięcie w lewo oznacza ujemną pierwszą współrzędną wierzchołka ✓
Kontrola punktem: wierzchołek $y=x^2$ leżał w $(0,0)$ ; po przesunięciu o $5$ w lewo i $2$ w górę wypada w $(\textcolor{#E0453A}{-5}, \textcolor{#2F80D8}{2})$ ✓
Kontrola wartością: $y(-5) = 0 + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#2F80D8}{2}$ , czyli dokładnie $q$ ✓

Odpowiedź: $y = (x+5)^2 + 2$ .

Warto zapamiętać rozróżnienie: poziomo znak się odwraca, pionowo nie. Bierze się to stąd, że $p$ siedzi wewnątrz nawiasu razem z $x$ , a $q$ stoi na zewnątrz.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy znaku przy odczycie wierzchołka.

Odczytywanie $p$ ze znakiem z nawiasu

Skąd się bierze: Wzór ma postać $(x-p)$ , więc zapis $(x+2)$ oznacza $p=-2$ , a nie $2$ . Pomyłka umieszcza wierzchołek po niewłaściwej stronie osi i przesuwa cały wykres o podwójną odległość.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, przy jakim $x$ nawias się zeruje — to jest $p$ . Dla $(x+2)$ zeruje się przy $x=-2$ , więc taka jest pierwsza współrzędna wierzchołka.

Pominięcie mnożenia przez $a$ przy wyciąganiu przed nawias

Skąd się bierze: Przy $3(x^2-4x)$ uzupełnienie daje $3[(x-2)^2-4]$ , a liczba $-4$ musi zostać pomnożona przez $3$ . Zapisanie $3(x-2)^2-4$ zamiast $-12$ zmienia wartość funkcji o $8$ .

Jak zrobić dobrze: Zapisuj nawias kwadratowy jawnie i dopiero potem mnóż. Kontrola przez wymnożenie postaci kanonicznej z powrotem wychwyci ten błąd natychmiast.

Dodanie liczby bez jej odjęcia

Skąd się bierze: Uzupełnianie do kwadratu polega na dodaniu i jednoczesnym odjęciu tej samej liczby — tylko wtedy wartość wyrażenia się nie zmienia. Samo dodanie $9$ do $x^2-6x+5$ daje inną funkcję.

Jak zrobić dobrze: Pisz oba wyrazy w jednej linijce: $x^2-6x+9-9+5$ . Kontrola podstawieniem $x=0$ do obu postaci wykrywa pominięcie od razu.

Mylenie kierunku przesunięcia poziomego

Skąd się bierze: Zapis $(x-3)$ przesuwa wykres w prawo, choć widnieje w nim minus. Odruch podpowiada odwrotnie, przez co wykres ląduje po niewłaściwej stronie osi $OY$ .

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez wierzchołek: $(x-3)^2$ ma wierzchołek w $x=3$ , czyli na prawo od zera. Reguła działa dla każdej funkcji, nie tylko kwadratowej.

Zadania maturalne — postać kanoniczna, wierzchołek i oś symetrii paraboli

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co z tego wynika. Postać kanoniczna to

f(x) = a(x - p)^2 + q

, gdzie

(p,\, q)

jest wierzchołkiem paraboli. Z tych dwóch liczb czyta się prawie wszystko: oś symetrii to prosta

x = p

, wartość najmniejsza albo największa to

q

(najmniejsza, gdy

a > 0

; największa, gdy

a < 0

), a zbiór wartości to

\langle q,\, +\infty)

albo

(-\infty,\, q\rangle

. Gdy wzór jest podany w postaci ogólnej

ax^2+bx+c

, wierzchołek liczy się jako

p = -\dfrac{b}{2a}

, a

q = f(p)

. Gdy w iloczynowej —

p

jest średnią miejsc zerowych.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 13 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (wrzesień 2022)1 pktłatwe

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x) = -(x - 1)^2 + 2

. Wykresem funkcji

f

jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

A. $(1,\, 2)$
B. $(-1,\, 2)$
C. $(1,\, -2)$
D. $(-1,\, -2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wzór jest już w postaci kanonicznej $f(x) = a(x - p)^2 + q$ , więc współrzędne wierzchołka odczytuje się wprost — nic nie trzeba liczyć. Trzeba tylko uważnie porównać zapisy.
$f(x) = -(x - \textcolor{#16A06A}{1})^2 + \textcolor{#16A06A}{2}$
We wzorze ogólnym w nawiasie stoi $x - p$ , a tutaj $x - \textcolor{#16A06A}{1}$ , więc $p = \textcolor{#E0453A}{1}$ — bez zmiany znaku.
Za nawiasem stoi $+ q$ , a tutaj $+ \textcolor{#16A06A}{2}$ , więc $q = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
$W = (\textcolor{#E0453A}{1},\, \textcolor{#E0453A}{2})$
Odpowiedź: A.
Kontrola: $f(1) = -(0)^2 + 2 = 2$ ✓ — wartość funkcji w punkcie $p$ musi być równa $q$ . To najprostsze możliwe sprawdzenie i warto je robić zawsze.

💡 Wskazówka: Jedyna trudność w tym zadaniu to znak $p$ . W nawiasie postaci kanonicznej stoi minus: $(x - p)$ . Jeśli więc widzisz $(x - 1)$ , to $p = 1$ ; jeśli widzisz $(x + 1)$ , to $p = -1$ , bo $x + 1 = x - (-1)$ . Znak $q$ czyta się natomiast wprost — bez żadnego odwracania.

⚠ Przepisanie znaku z nawiasu i odpowiedź $(-1, 2)$ . To najczęstsza pomyłka przy postaci kanonicznej i dlatego wszystkie cztery odpowiedzi to te same dwie liczby w czterech kombinacjach znaków. Pewna kontrola: podstaw swoje $p$ do wzoru — jeśli nawias się wyzeruje, $p$ jest poprawne. Dla $p = -1$ dostajemy $(-1-1)^2 = 4$ , a nie zero, więc $-1$ nie jest pierwszą współrzędną wierzchołka.

Zadanie 2 (sierpień 2019)1 pktśrednie

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f(x) = 9 - (3 - x)^2

są liczby

A. $0$ oraz $3$
B. $-6$ oraz $6$
C. $0$ oraz $-6$
D. $0$ oraz $6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Przyrównujemy wzór do zera i przenosimy kwadrat na drugą stronę:
$\textcolor{#16A06A}{9} - (\textcolor{#16A06A}{3} - x)^2 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad (\textcolor{#16A06A}{3} - x)^2 = \textcolor{#16A06A}{9}$
Pierwiastkowanie obu stron daje dwa przypadki — o tym najłatwiej zapomnieć:
$\textcolor{#16A06A}{3} - x = \textcolor{#E0453A}{3} \qquad \text{lub} \qquad \textcolor{#16A06A}{3} - x = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Z pierwszego: $x = \textcolor{#E0453A}{0}$ . Z drugiego: $x = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
Odpowiedź: $0$ oraz $6$ , czyli D.
Kontrola: $f(0) = 9 - 3^2 = 0$ ✓ oraz $f(6) = 9 - (3-6)^2 = 9 - 9 = 0$ ✓
Warto też zauważyć strukturę: wzór $9 - (3-x)^2$ to różnica kwadratów, więc da się go rozłożyć na czynniki: $\left(3 - (3-x)\right)\left(3 + (3-x)\right) = x \cdot (6 - x)$ . Stąd miejsca zerowe $0$ i $6$ widać od razu, bez pierwiastkowania.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że $(3 - x)^2 = (x - 3)^2$ — kwadrat kasuje kolejność odejmowania. Wzór można więc czytać jako $f(x) = -(x-3)^2 + 9$ , czyli klasyczną postać kanoniczną z wierzchołkiem $(3, 9)$ . Miejsca zerowe leżą wtedy symetrycznie wokół trójki, w odległości $3$ : $0$ i $6$ .

⚠ Wzięcie tylko jednego znaku przy pierwiastkowaniu — z $3 - x = 3$ wychodzi samo $x = 0$ i szuka się odpowiedzi z zerem oraz „czymś”, co pasuje. Drugi błąd: potraktowanie $9 - (3-x)^2$ jako $(3 - (3-x))^2$ albo pomylenie znaku wewnątrz nawiasu, co prowadzi do liczb $\pm 6$ (odpowiedź B). Kontrola jest banalna: $f(-6) = 9 - 81 = -72 \neq 0$ , więc $-6$ nie jest miejscem zerowym.

Zadanie 3 (sierpień 2020)1 pktśrednie

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f(x) = -(x + 9)^2 + m

jest przedział

(-\infty,\, -5\rangle

. Wtedy

A. $m = 5$
B. $m = -5$
C. $m = -9$
D. $m = 9$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Współczynnik przy kwadracie jest ujemny ( $a = \textcolor{#16A06A}{-1}$ ), więc parabola ma ramiona skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość największą — jest nią $q$ , druga współrzędna wierzchołka.
Zbiorem wartości jest wtedy przedział $(-\infty,\, q\rangle$ . Z treści wiemy, że ten przedział to $(-\infty,\, \textcolor{#16A06A}{-5}\rangle$ , więc
$q = \textcolor{#E0453A}{-5}$
We wzorze za nawiasem stoi $+ m$ , a to właśnie jest $q$ :
$m = \textcolor{#E0453A}{-5}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: dla $m = -5$ wzór to $f(x) = -(x+9)^2 - 5$ . Największą wartość funkcja osiąga, gdy nawias się zeruje, czyli dla $x = -9$ , i wynosi ona wtedy $-5$ ✓ Dla każdego innego $x$ odejmujemy od $-5$ liczbę dodatnią, więc wartości są mniejsze — zbiorem wartości jest faktycznie $(-\infty, -5\rangle$ ✓

💡 Wskazówka: Liczba $9$ we wzorze jest pierwszą współrzędną wierzchołka (a dokładniej $p = -9$ ) i nie ma żadnego wpływu na zbiór wartości. Przesunięcie paraboli w lewo lub w prawo nie zmienia tego, jakie wartości przyjmuje — zmienia tylko, dla jakich argumentów je przyjmuje. O zbiorze wartości decydują wyłącznie znak $a$ i wartość $q$ .

⚠ Wzięcie $m = 5$ , czyli przepisanie liczby z przedziału bez znaku — a przedział $(-\infty, -5\rangle$ kończy się na liczbie ujemnej. Odpowiedzi $\pm 9$ są podstawione pod pomylenie $p$ z $q$ : dziewiątka pochodzi z nawiasu i odpowiada za położenie wierzchołka w poziomie, nie w pionie. Warto sprawdzić: dla $m = 9$ największa wartość funkcji to $9$ , a nie $-5$ .

Zadanie 4 (maj 2022)1 pktśrednie

Wykresem funkcji kwadratowej

f(x) = 3x^2 + bx + c

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (-3,\, 2)

. Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to

A. $f(x) = 3(x - 3)^2 + 2$
B. $f(x) = 3(x + 3)^2 + 2$
C. $f(x) = (x - 3)^2 + 2$
D. $f(x) = (x + 3)^2 + 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Postać kanoniczna to $f(x) = a(x - p)^2 + q$ i potrzebne są do niej trzy liczby. Dwie mamy z wierzchołka, trzecią z postaci ogólnej.
Współczynnik $a$ jest ten sam w obu postaciach — to on decyduje o kształcie paraboli, a zmiana postaci zapisu kształtu nie zmienia. Z postaci ogólnej $\textcolor{#16A06A}{3}x^2 + bx + c$ czytamy $a = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Z wierzchołka: $p = \textcolor{#16A06A}{-3}$ oraz $q = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Podstawiamy, pamiętając o minusie w nawiasie: $x - p = x - (\textcolor{#16A06A}{-3}) = x \textcolor{#E0453A}{+ 3}$ .
$f(x) = \textcolor{#16A06A}{3}\left(x \textcolor{#E0453A}{+ 3}\right)^2 + \textcolor{#16A06A}{2}$
Odpowiedź: B.
Kontrola dwustronna. Wierzchołek: dla $x = -3$ nawias się zeruje i $f(-3) = 2$ ✓ Współczynnik $a$ : po rozwinięciu $3(x+3)^2 + 2 = 3x^2 + 18x + 29$ — przy $x^2$ stoi $3$ , zgodnie z postacią ogólną z treści ✓

💡 Wskazówka: Dwie odpowiedzi w tym zadaniu mają $a = 1$ zamiast $3$ — i to jest właściwe pierwsze sito. Zmiana postaci zapisu nigdy nie zmienia współczynnika przy $x^2$ , więc trójki nie wolno zgubić. Zostają wtedy tylko dwie odpowiedzi, różniące się znakiem w nawiasie.

⚠ Przepisanie $p = -3$ do nawiasu bez zmiany znaku, czyli zapis $(x - 3)^2$ . We wzorze kanonicznym nawias ma postać $x - p$ , więc dla $p = -3$ powstaje $x - (-3) = x + 3$ . Szybkie sprawdzenie: nawias musi się zerować w wierzchołku, a $(x-3)$ zeruje się dla $x = 3$ , nie dla $x = -3$ . Drugi błąd: pominięcie współczynnika $a = 3$ i wybór odpowiedzi C albo D.

Zadanie 5 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f(x) = 2x^2 + 5x

. Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

A. $x = -\dfrac{5}{4}$
B. $x = \dfrac{5}{4}$
C. $y = -\dfrac{5}{4}$
D. $y = -\dfrac{25}{16}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, czyli $x = p$ . Wystarczy więc policzyć samo $p$ — druga współrzędna wierzchołka nie jest do niczego potrzebna.
Ze wzoru odczytujemy $a = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{5}$ (wyraz wolny $c = 0$ , bo go nie ma).
$p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{5}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac54}$
Osią symetrii jest zatem prosta $x = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac54}$ .
Odpowiedź: A.
Drogą alternatywną, bez wzoru na $p$ : brakuje wyrazu wolnego, więc wzór łatwo rozłożyć na czynniki — $f(x) = x(2x + 5)$ , skąd miejsca zerowe to $\textcolor{#E0453A}{0}$ i $\textcolor{#E0453A}{-\tfrac52}$ . Oś symetrii leży dokładnie w ich środku:
$p = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{0} + \left(\textcolor{#E0453A}{-\tfrac52}\right)}{2} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac54}$ ✓
Zgodność obu dróg jest tu dobrym sprawdzeniem, a druga z nich pokazuje przy okazji, dlaczego oś symetrii jest średnią miejsc zerowych.

💡 Wskazówka: Odpowiedzi C i D opisują proste poziome ( $y = \ldots$ ), a oś symetrii paraboli jest zawsze pionowa. To pozwala odrzucić połowę odpowiedzi, zanim cokolwiek policzysz — i jest to najszybsze sito w całym zadaniu.

⚠ Zgubienie minusa we wzorze $p = -\tfrac{b}{2a}$ i odpowiedź $\tfrac54$ . Rysunek rozstrzyga to natychmiast: wierzchołek leży po lewej stronie osi $Oy$ , więc $p$ musi być ujemne. Odpowiedź D warto obejrzeć osobno, bo wygląda na „drugą współrzędną wierzchołka”, a nią nie jest: prawdziwe $q$ wynosi $-\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{25}{8}$ , natomiast $-\dfrac{25}{16}$ to $-p^2$ , czyli kwadrat samej osi symetrii ze znakiem minus. To liczba zbudowana z właściwych składników, ale złożona w niewłaściwy sposób — i dlatego dobrze udaje wynik.

Zadanie 6 (sierpień 2020)1 pktśrednie

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f(x) = \dfrac{1}{3}x^2 + 4x + 7

jest prosta o równaniu

A. $x = -6$
B. $y = -6$
C. $x = -2$
D. $y = -2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Ten sam wzór co w poprzednim zadaniu, tylko współczynnik $a$ jest ułamkiem — i to jest cała trudność.
$a = \textcolor{#16A06A}{\dfrac13}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{4}$
$p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{\frac13}} = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{\frac23}}$
Dzielenie przez $\tfrac23$ to mnożenie przez $\tfrac32$ :
$p = -\textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac32} = \textcolor{#E0453A}{-6}$
Osią symetrii jest prosta $x = \textcolor{#E0453A}{-6}$ .
Odpowiedź: A.
Kontrola: policzmy wartości funkcji w dwóch punktach symetrycznych względem $-6$ , na przykład w $-5$ i $-7$ . $f(-5) = \tfrac{25}{3} - 20 + 7 = \tfrac{25}{3} - 13$ , $f(-7) = \tfrac{49}{3} - 28 + 7 = \tfrac{49}{3} - 21$ . Po wspólnym mianowniku: $\tfrac{25 - 39}{3} = -\tfrac{14}{3}$ oraz $\tfrac{49 - 63}{3} = -\tfrac{14}{3}$ — wartości równe ✓ Gdyby oś była w $-2$ , te dwa punkty nie byłyby symetryczne i wartości by się różniły.

💡 Wskazówka: Kiedy $a$ jest ułamkiem, najpierw policz cały mianownik $2a$ , a dopiero potem dziel. Tu $2 \cdot \tfrac13 = \tfrac23$ , więc dzielimy $4$ przez $\tfrac23$ , czyli mnożymy przez $\tfrac32$ . Próba skrócenia „w pamięci” prowadzi zwykle do $-2$ , bo mnoży się przez $\tfrac13$ zamiast dzielić.

⚠ Pomnożenie przez $a$ zamiast podzielenia: $-4 \cdot \tfrac13 \cdot \tfrac12$ albo $-\tfrac{4}{2} \cdot \tfrac13$ — oba warianty prowadzą w okolice $-2$ , czyli do odpowiedzi C. Drugi błąd, wspólny z poprzednim zadaniem: wybór odpowiedzi z „ $y = \ldots$ ”. Oś symetrii paraboli jest pionowa, więc jej równanie zawsze ma postać $x = p$ .

Zadanie 7 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f(x) = x^2 + bx + c

osiąga dla

x = 2

wartość najmniejszą równą

4

. Wtedy

A. $b = -4$ , $c = 8$
B. $b = 4$ , $c = -8$
C. $b = -4$ , $c = -8$
D. $b = 4$ , $c = 8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

„Osiąga dla $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ wartość najmniejszą równą $\textcolor{#16A06A}{4}$ ” to zdanie o wierzchołku: $W = (\textcolor{#16A06A}{2},\, \textcolor{#16A06A}{4})$ . Współczynnik przy $x^2$ jest równy $\textcolor{#16A06A}{1}$ , czyli dodatni — i faktycznie wartość jest najmniejsza, więc treść jest spójna.
Najkrótsza droga: zapisz postać kanoniczną i rozwiń ją.
$f(x) = \textcolor{#16A06A}{1} \cdot (x - \textcolor{#16A06A}{2})^2 + \textcolor{#16A06A}{4}$
$f(x) = x^2 - \textcolor{#E0453A}{4}x + \textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#16A06A}{4} = x^2 - \textcolor{#E0453A}{4}x + \textcolor{#E0453A}{8}$
Porównujemy z postacią ogólną $x^2 + bx + c$ :
$b = \textcolor{#E0453A}{-4}, \qquad c = \textcolor{#E0453A}{8}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: $f(x) = x^2 - 4x + 8$ . Wierzchołek: $p = -\tfrac{-4}{2} = 2$ ✓, a $f(2) = 4 - 8 + 8 = 4$ ✓ Oba warunki z treści spełnione.
Można też bez rozwijania, z dwóch równań: $p = -\tfrac{b}{2} = 2$ daje od razu $b = -4$ , a potem $f(2) = 4 - 8 + c = 4$ daje $c = 8$ . Wychodzi to samo, tylko trzeba pamiętać o minusie we wzorze na $p$ .

💡 Wskazówka: Zamiast rozwiązywać układ dwóch równań, napisz postać kanoniczną i rozwiń ją — masz wtedy tylko jedno mnożenie i jedno dodawanie, a współczynniki $b$ i $c$ odczytujesz z gotowego wielomianu. Ta droga jest krótsza i trudniej w niej zgubić znak.

⚠ Zapisanie postaci kanonicznej jako $(x + 2)^2 + 4$ , co daje $b = 4$ i prowadzi do odpowiedzi B albo D. Nawias musi się zerować w wierzchołku: dla $p = 2$ jest to $(x - 2)$ , nie $(x + 2)$ . Drugi błąd: pominięcie $+4$ z wierzchołka przy zwijaniu wyrazu wolnego, czyli $c = 4$ zamiast $4 + 4 = 8$ — po rozwinięciu kwadratu powstaje jeszcze jedna czwórka i obie trzeba dodać.

Zadanie 8 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Wykresem funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f(x) = -3(x + 4)(x - 2)

jest parabola o wierzchołku

W = (p,\, q)

. Współrzędne wierzchołka

W

spełniają warunki

A. $p > 0$ i $q > 0$
B. $p < 0$ i $q > 0$
C. $p < 0$ i $q < 0$
D. $p > 0$ i $q < 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wzór jest w postaci iloczynowej, więc miejsca zerowe czytamy z nawiasów — i to wystarczy do wyznaczenia $p$ .
$\textcolor{#16A06A}{x + 4} = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{-4} \qquad$ oraz $\qquad \textcolor{#16A06A}{x - 2} = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{2}$
Znak $p$ . Oś symetrii leży dokładnie w środku między miejscami zerowymi:
$p = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-4} + \textcolor{#E0453A}{2}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-1} < 0$
Znak $q$ . Współczynnik przy kwadracie to $\textcolor{#16A06A}{-3}$ , liczba ujemna, więc ramiona paraboli idą w dół, a $q$ jest wartością największą. Parabola ma dwa miejsca zerowe, czyli przecina oś $Ox$ — a skoro potem opada, jej najwyższy punkt musi leżeć nad tą osią:
$q > 0$
Odpowiedź: B.
Dla pewności policzmy $q$ wprost: $q = f(\textcolor{#E0453A}{-1}) = -3 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1} + 4)(\textcolor{#E0453A}{-1} - 2) = -3 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-3}) = \textcolor{#E0453A}{27} > 0$ ✓

💡 Wskazówka: Znaku $q$ można nie liczyć wcale. Wystarczy rozumowanie: funkcja kwadratowa mająca dwa różne miejsca zerowe i ramiona w dół musi mieć wierzchołek powyżej osi $Ox$ — bo wykres najpierw wznosi się nad osią, a potem znów ją przecina. Gdyby ramiona były w górę, ten sam argument dałby $q < 0$ .

⚠ Wzięcie za $p$ jednego z miejsc zerowych — na przykład $-4$ (też ujemne, więc odpowiedź wyszłaby przypadkiem dobra) albo $2$ (dodatnie, co prowadzi do A lub D). Pierwsza współrzędna wierzchołka to średnia miejsc zerowych, a nie któreś z nich. Drugi błąd: przeniesienie znaku $a$ na znak $q$ — „ $a < 0$ , więc $q < 0$ ” (odpowiedź C). Znak $a$ mówi tylko o kierunku ramion; o znaku $q$ decyduje dopiero to, czy i jak parabola przecina oś $Ox$ .

Zadanie 9 (listopad 2009)1 pktłatwe

Wierzchołek paraboli o równaniu

y = -3(x + 1)^2

ma współrzędne

A. $(-1,\, 0)$
B. $(0,\, -1)$
C. $(1,\, 0)$
D. $(0,\, 1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wzór jest w postaci kanonicznej, tylko bez wyrazu za nawiasem — a to znaczy, że $q = \textcolor{#E0453A}{0}$ .
$y = \textcolor{#16A06A}{-3}\left(x + \textcolor{#16A06A}{1}\right)^2 \textcolor{#E0453A}{+ 0}$
Nawias $x + \textcolor{#16A06A}{1}$ zapisujemy jako $x - (\textcolor{#E0453A}{-1})$ , więc $p = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
$W = (\textcolor{#E0453A}{-1},\, \textcolor{#E0453A}{0})$
Odpowiedź: A.
Kontrola: dla $x = -1$ nawias się zeruje, więc $y = -3 \cdot 0 = 0$ ✓ Wierzchołek leży na osi $Ox$ , co zresztą znaczy, że parabola ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

💡 Wskazówka: Brak liczby za nawiasem nie znaczy, że $q$ jest nieokreślone — znaczy, że $q = 0$ . Wierzchołek leży wtedy dokładnie na osi $Ox$ . Współczynnik $-3$ nie ma na współrzędne wierzchołka żadnego wpływu; decyduje tylko o tym, jak stroma jest parabola i w którą stronę idą ramiona.

⚠ Zamiana współrzędnych i odpowiedź $(0, -1)$ — czyli wpisanie jedynki na drugie miejsce. Pierwsza współrzędna wierzchołka pochodzi z nawiasu, druga z tego, co stoi za nawiasem. Drugi błąd: przepisanie znaku z nawiasu i odpowiedź $(1, 0)$ ; nawias $(x+1)$ zeruje się dla $x = -1$ , nie dla $x = 1$ .

Zadanie 10 (maj 2010)1 pktłatwe

Wykresem funkcji kwadratowej

f(x) = -3x^2 + 3

jest parabola o wierzchołku w punkcie

A. $(3,\, 0)$
B. $(0,\, 3)$
C. $(-3,\, 0)$
D. $(0,\, -3)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

We wzorze nie ma składnika z $x$ w pierwszej potędze, czyli $b = \textcolor{#E0453A}{0}$ . To najprostszy możliwy przypadek:
$p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\textcolor{#E0453A}{0}}{2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-3})} = \textcolor{#E0453A}{0}$
Gdy $b = 0$ , wierzchołek leży na osi $Oy$ — parabola jest symetryczna względem tej osi.
$q = f(\textcolor{#E0453A}{0}) = -\textcolor{#16A06A}{3} \cdot 0 + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$W = (\textcolor{#E0453A}{0},\, \textcolor{#E0453A}{3})$
Odpowiedź: B.
Można też bez wzoru: wyrażenie $-3x^2$ jest największe wtedy, gdy $x^2$ jest najmniejsze, czyli dla $x = 0$ . Wtedy $f(0) = 3$ — i to jest wierzchołek.

💡 Wskazówka: Przy wzorze postaci $ax^2 + c$ (bez środkowego składnika) wierzchołek jest zawsze na osi $Oy$ i ma współrzędne $(0, c)$ . Warto to rozpoznawać od razu, bez liczenia $p$ — takie wzory pojawiają się w arkuszach często.

⚠ Zamiana współrzędnych i odpowiedź $(3, 0)$ . Trójka jest tu wyrazem wolnym, czyli wartością funkcji w zerze — należy więc na drugie miejsce. Drugi błąd: przeniesienie minusa od współczynnika $-3$ na wyraz wolny i odpowiedź $(0, -3)$ ; minus stoi przy $x^2$ i mówi o kierunku ramion, a wyraz wolny jest dodatni.

Zadanie 11 (listopad 2010)1 pktłatwe

Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu

y = x^2 - 4x + 2010

A. $x = 4$
B. $x = -4$
C. $x = 2$
D. $x = -2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Osią symetrii jest prosta $x = p$ , więc wystarczy policzyć $p$ . Wyraz wolny nie bierze w tym udziału wcale — a jest tu duży właśnie po to, żeby odwracać uwagę.
$a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{-4}$
$p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{-4}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{1}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: $x = 2$ , czyli C.
Kontrola przez symetrię: policzmy wartości w dwóch punktach jednakowo odległych od $2$ , na przykład w $1$ i $3$ . $f(1) = 1 - 4 + 2010 = \textcolor{#E0453A}{2007}$ oraz $f(3) = 9 - 12 + 2010 = \textcolor{#E0453A}{2007}$ — równe ✓ Gdyby oś była w $4$ , punkty $3$ i $5$ dawałyby te same wartości; sprawdźmy: $f(3) = 2007$ , a $f(5) = 25 - 20 + 2010 = 2015$ — różne, więc $4$ osią nie jest.

💡 Wskazówka: Liczba $2010$ nie ma tu żadnego znaczenia — przesuwa całą parabolę w pionie, a oś symetrii jest pionowa i przesunięcie w pionie jej nie rusza. Warto od razu ją zignorować i pracować tylko na dwóch pierwszych współczynnikach.

⚠ Zgubienie dzielenia przez $2a$ i odpowiedź $x = 4$ , czyli przepisanie samego $-b$ . We wzorze $p = -\tfrac{b}{2a}$ mianownik jest równie ważny jak minus. Drugi błąd: podwójne przekręcenie znaku — $b$ jest ujemne, więc $-b$ jest dodatnie i $p$ wychodzi dodatnie; odpowiedzi z minusem powstają, gdy minus we wzorze zostanie zastosowany do już ujemnego $b$ dwa razy.

Zadanie 12 (informator CKE)1 pktśrednie

Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem

y = -x^2 + 4x - 11

A. $x = -4$
B. $x = -2$
C. $x = 2$
D. $x = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Ten sam wzór co w poprzednim zadaniu, ale współczynnik przy $x^2$ jest teraz ujemny — i to jedyna różnica, która ma znaczenie.
$a = \textcolor{#16A06A}{-1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{4}$
$p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-1})} = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{-2}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Dwa minusy — jeden ze wzoru, drugi z mianownika — skróciły się, więc wynik jest dodatni.
Odpowiedź: $x = 2$ , czyli C.
Kontrola przez symetrię: $f(1) = -1 + 4 - 11 = \textcolor{#E0453A}{-8}$ oraz $f(3) = -9 + 12 - 11 = \textcolor{#E0453A}{-8}$ — równe ✓
Warto porównać to zadanie z poprzednim: tam było $a = 1$ , $b = -4$ i wyszło $p = 2$ ; tu jest $a = -1$ , $b = 4$ i też wychodzi $p = 2$ . Zamiana znaków obu współczynników nie zmienia osi symetrii — bo we wzorze $-\tfrac{b}{2a}$ oba znaki się skracają.

💡 Wskazówka: Przy ujemnym $a$ najbezpieczniej policzyć cały mianownik osobno: $2a = -2$ , a potem podzielić i dopisać minus ze wzoru. Próba robienia tego w pamięci to najczęstsze źródło błędu znaku w całym dziale funkcji kwadratowej.

⚠ Zastosowanie minusa ze wzoru i nieuwzględnienie minusa w mianowniku — wtedy wychodzi $p = -2$ , czyli odpowiedź B. Sam wynik warto sprawdzić symetrią: dla $p = -2$ punkty $-1$ i $-3$ musiałyby dawać równe wartości, a $f(-1) = -16$ i $f(-3) = -32$ się różnią. Drugi błąd: pominięcie mianownika i odpowiedź $x = 4$ albo $x = -4$ .

Zadanie 13 (sierpień 2010)1 pktśrednie

Wierzchołek paraboli

y = x^2 + 4x - 13

leży na prostej o równaniu

A. $x = -2$
B. $x = 2$
C. $x = 4$
D. $x = -4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pytanie jest sformułowane inaczej niż zwykle, ale sprowadza się do tego samego. Wszystkie podane proste są pionowe ( $x = \ldots$ ), a przez wierzchołek przechodzi dokładnie jedna taka prosta: oś symetrii.
$a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{4}$
$p = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{1}} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Wierzchołek leży więc na prostej $x = \textcolor{#E0453A}{-2}$ .
Odpowiedź: A.
Dla porządku policzmy jeszcze drugą współrzędną: $q = f(\textcolor{#E0453A}{-2}) = 4 - 8 - 13 = \textcolor{#E0453A}{-17}$ , czyli $W = (-2, -17)$ . Zadanie o nią nie pyta, ale widać, że wierzchołek leży bardzo nisko — a mimo to o odpowiedzi decyduje wyłącznie jego pierwsza współrzędna.
Kontrola przez symetrię: $f(-1) = 1 - 4 - 13 = -16$ oraz $f(-3) = 9 - 12 - 13 = -16$ — równe, więc oś symetrii faktycznie przechodzi przez $-2$ ✓

💡 Wskazówka: Sformułowanie „wierzchołek leży na prostej” brzmi jak nowy typ zadania, ale skoro wszystkie odpowiedzi są prostymi pionowymi, to pytanie dotyczy po prostu pierwszej współrzędnej wierzchołka. Warto zerknąć na odpowiedzi przed rozpoczęciem rachunku — często one same mówią, czego szukać.

⚠ Policzenie $q$ zamiast $p$ i szukanie odpowiedzi z liczbą $-17$ — takiej nie ma, więc błąd się ujawnia, ale kosztuje czas. Drugi błąd: zgubienie minusa we wzorze i odpowiedź $x = 2$ . Kontrola symetrią rozstrzyga to w dwóch podstawieniach: dla osi w $2$ punkty $1$ i $3$ musiałyby dawać równe wartości, a $f(1) = -8$ i $f(3) = 8$ są różne.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. D	3. B	4. B	5. A	6. A
7. A	8. B	9. A	10. B	11. C	12. C
13. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej?

Zapis $f(x) = a(x-p)^2 + q$ , w którym $p$ i $q$ są współrzędnymi wierzchołka paraboli. Pozwala odczytać wierzchołek, zbiór wartości i oś symetrii wprost ze wzoru, bez żadnych obliczeń.

Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną?

Przez uzupełnianie do pełnego kwadratu: bierzemy połowę współczynnika przy $x$ , podnosimy ją do kwadratu, dodajemy i od razu odejmujemy tę liczbę, a potem zwijamy trzy wyrazy wzorem skróconego mnożenia.

Skąd bierze się dzielenie współczynnika przez dwa?

Ze wzoru $(x-p)^2 = x^2-2px+p^2$ , w którym środkowy wyraz zawiera mnożenie przez dwa. Dzielenie przez dwa po prostu je odwraca i pozwala odzyskać $p$ .

Dlaczego

(x-3)^2

przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo?

Bo nawias zeruje się przy $x=3$ , więc to, co w podstawowej paraboli działo się w zerze, teraz dzieje się w trójce. Znak w nawiasie jest przeciwny do kierunku przesunięcia — inaczej niż przy przesunięciu pionowym.

Czy zawsze trzeba uzupełniać do kwadratu?

Nie. Jeśli potrzebujesz tylko wierzchołka, szybciej policzyć $p = \frac{-b}{2a}$ i $q = f(p)$ . Uzupełnianie jest konieczne wtedy, gdy zadanie każe pokazać przekształcenie albo udowodnić nierówność.

Do czego postać kanoniczna przydaje się w zadaniach?

Do wyznaczania wartości najmniejszej i największej, do dowodzenia nierówności oraz do szkicowania wykresu przez przesunięcie paraboli $y=x^2$ . Wszystko to wynika z tego, że kwadrat jest zawsze nieujemny.

Czy istnieje coś takiego jak funkcja kanoniczna?

Nie — kanoniczna jest postać zapisu, a nie sama funkcja. Mówiąc „funkcja kanoniczna”, ma się zwykle na myśli funkcję kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej, czyli takiej, z której od razu widać współrzędne wierzchołka paraboli.

Czytaj dalej

Funkcja kwadratowaTrzy postacie wzoru i co widać z każdej Wzory skróconego mnożeniaKwadrat sumy, na którym opiera się całe przekształcenie Nierówności kwadratoweTam postać kanoniczna dowodzi oszacowań Równania kwadratoweDelta i miejsca zerowe Wykres funkcji sinusTa sama reguła przesunięć dla innej funkcji

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.