Strona główna › Geometria analityczna › Równanie okręgu

Równanie okręgu

Q: Skąd bierze się wzór na równanie okręgu?

Z definicji okręgu i twierdzenia Pitagorasa. Warunek „odległość punktu od środka równa się promieniowi” zapisany wzorem na odległość daje pierwiastek, a po podniesieniu obu stron do kwadratu — dokładnie równanie kanoniczne.

Q: Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu?

Wstawić jego współrzędne do lewej strony równania i porównać wynik z prawą. Równość oznacza punkt na okręgu, mniejsza wartość — wnętrze, większa — zewnętrze.

Q: Co zrobić, gdy po uzupełnianiu do kwadratu po prawej wyjdzie liczba ujemna?

To znaczy, że równanie nie opisuje żadnego okręgu — zbiór punktów spełniających je jest pusty, bo suma dwóch kwadratów nie może być ujemna. Wynik zerowy oznacza natomiast jeden punkt.

Q: Czy równanie okręgu jest na maturze podstawowej?

Tak, podstawa wymienia je w dziale IX punkt 4 zakresu podstawowego. W rozszerzeniu dochodzą punkty wspólne prostej i okręgu oraz dwóch okręgów, ale samo równanie obowiązuje wszystkich.

Q: Jak zmienia się równanie po symetrii względem osi układu?

Promień zostaje bez zmian, a środek zmienia znak odpowiedniej współrzędnej — przy symetrii względem osi Ox zmienia się druga, przy symetrii względem Oy pierwsza. Nowe równanie zapisuje się, zmieniając znak przy tej jednej liczbie — a nie zamieniając obu miejscami, bo zamiana odpowiada symetrii względem prostej ygrek równa się iks.

Równanie okręgu jest zapisem jednego zdania: wszystkie punkty odległe od środka o tyle samo. Odległość liczy się twierdzeniem Pitagorasa, więc równanie okręgu to w istocie ten sam wzór, który znasz z odległości dwóch punktów — tylko bez pierwiastka, bo obie strony podniesiono do kwadratu. Kto to zauważy, nie musi zapamiętywać ani jednego znaku.

Dział: Geometria analitycznaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Postać kanoniczna — środek i promień widać wprost

Okrąg o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ opisuje równanie:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Znaczenie tego zapisu jest dosłowne: lewa strona to kwadrat odległości punktu $(x, y)$ od środka, a prawa — kwadrat promienia. Równość zachodzi dokładnie dla tych punktów, które leżą na okręgu.

Uwaga na znaki — środek ma współrzędne przeciwne do tych w nawiasach

W równaniu $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ środek to $(2, -3)$ , a nie $(2, 3)$ ani $(-2, 3)$ .

Powód: $y + 3$ to to samo co $y - (-3)$ , więc $b = -3$ .

Po prawej stronie stoi kwadrat promienia, więc $r = 5$ , a nie $25$ . Oba te przeoczenia zdarzają się częściej niż jakikolwiek błąd rachunkowy w tym temacie.

Podstawa programowa wymienia to w dziale IX, zakres podstawowy, punkt 4: „posługuje się równaniem okręgu”. Po tych słowach stoi w dokumencie sam wzór, zapisany osobnym zestawem znaków — formuły są tam grafikami, nie tekstem. Udało się go jednak odczytać i wychodzi dokładnie postać podana wyżej: kwadrat różnicy $x$ i pierwszej współrzędnej środka, plus kwadrat różnicy $y$ i drugiej, a po prawej kwadrat promienia. Nie zapisuję go jako cytatu — w pliku jest ciągiem znaków, nie tekstem — ale zgodność jest pełna. Ten sam ciąg, który znaczy tu „ $x$ minus $a$ w nawiasie”, posłużył zresztą jako klucz do odczytania wzorów z działu V o przesunięciach wykresów.

Szczególny przypadek warto znać osobno: okrąg o środku w początku układu ma równanie $x^2 + y^2 = r^2$ . To ten sam wzór z $a = b = 0$ .

2Postać ogólna i powrót do kanonicznej

Po wymnożeniu nawiasów równanie przybiera postać, w której środka i promienia nie widać:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

Żeby odzyskać środek i promień, stosuje się uzupełnianie do pełnego kwadratu — osobno dla $x$ i osobno dla $y$ . Schemat jest zawsze ten sam:

Zgrupuj wyrazy z $x$ i wyrazy z $y$ , wyraz wolny przenieś na prawą stronę.
Do każdej grupy dodaj kwadrat połowy współczynnika przy pierwszej potędze — i tyle samo dodaj po prawej stronie.
Zwiń każdą grupę do kwadratu nawiasu i odczytaj środek oraz promień.

Krok drugi jest tym, w którym gubi się równowagę równania. Dodanie liczby tylko po jednej stronie zmienia zbiór rozwiązań, więc promień wychodzi błędny — a rachunek wygląda poprawnie.

Ten sam mechanizm działa przy postaci kanonicznej funkcji kwadratowej, tyle że tam uzupełnia się jedną zmienną, a tutaj dwie. Jeśli umiesz jedno, umiesz drugie.

Kiedy równanie nie opisuje okręgu

Po sprowadzeniu do postaci kanonicznej po prawej stronie stoi liczba, która ma być $r^2$ .

Jeśli wyjdzie ujemna — żaden punkt nie spełnia równania, bo suma kwadratów nie bywa ujemna. Zbiór jest pusty.

Jeśli wyjdzie zero — równanie spełnia dokładnie jeden punkt, sam środek. Mówimy wtedy o okręgu zdegenerowanym do punktu.

3Punkt a okrąg — trzy możliwe położenia

Żeby sprawdzić, gdzie leży punkt względem okręgu, wstawiamy jego współrzędne do lewej strony równania kanonicznego i porównujemy z $r^2$ :

wynik lewej strony	położenie punktu	interpretacja
równy $r^2$	na okręgu	odległość od środka równa promieniowi
mniejszy od $r^2$	wewnątrz	bliżej środka niż promień
większy od $r^2$	na zewnątrz	dalej od środka niż promień

Nie trzeba przy tym liczyć pierwiastków: skoro obie strony są kwadratami odległości, porównanie kwadratów daje ten sam wynik co porównanie samych odległości. To jedna z niewielu sytuacji, w których podnoszenie do kwadratu upraszcza zadanie.

Odwrotny typ zadania — wyznaczenie równania okręgu z danych — sprowadza się do znalezienia trzech liczb: $a$ , $b$ i $r$ . Najczęstsze warianty:

środek i promień — podstawiamy wprost;
środek i punkt na okręgu — promień to odległość tych dwóch punktów;
dwa końce średnicy — środek jest środkiem odcinka, a promień jego połową.

W drugim i trzecim wariancie promień zwykle wychodzi z pierwiastkiem — i wtedy warto pamiętać, że w równaniu i tak potrzebny jest $r^2$ , czyli liczba bez pierwiastka. To skraca rachunek o jeden krok.

4Okrąg wśród innych figur w układzie

Podstawa umieszcza równanie okręgu obok prostych i odległości, i nie jest to przypadek — te tematy pracują razem.

zagadnienie	czego wymaga	zakres
odległość dwóch punktów	twierdzenie Pitagorasa	podstawowy (IX pkt 3)
równanie okręgu	odległość podniesiona do kwadratu	podstawowy (IX pkt 4)
punkty wspólne prostej i okręgu	podstawienie i równanie kwadratowe	rozszerzony (IX rozsz. pkt 1)
punkty wspólne dwóch okręgów	odejmowanie równań	rozszerzony (IX rozsz. pkt 2)

Dwa dolne wiersze wykraczają poza poziom podstawowy, ale warto wiedzieć, że istnieją — bo w zbiorach zadań stoją tuż obok i łatwo wziąć je za materiał obowiązkowy.

Przy zadaniach z symetriami (IX pkt 5) obraz okręgu w symetrii względem osi układu ma ten sam promień, a środek o zmienionym znaku odpowiedniej współrzędnej. Nie trzeba wyprowadzać nowego równania — wystarczy zmienić znak przy tej jednej liczbie. Uwaga: to nie to samo co zamiana obu liczb miejscami. Środek $(2,\ 6)$ przechodzi przy symetrii względem $Ox$ na $(2,\ -6)$ , a po zamianie miejscami wyszłoby $(6,\ 2)$ — czyli obraz w symetrii względem prostej $y = x$ , a nie względem osi układu.

Samo pojęcie okręgu i jego elementów — promień, cięciwa, pierścień — opisuję osobno. Tutaj chodzi wyłącznie o zapis w układzie współrzędnych.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: odczyt z postaci kanonicznej, zamiana postaci ogólnej, położenie punktu i układanie równania z danych.

Przykład 1 Odczyt środka i promienia

Podaj środek i promień okręgu o równaniu $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ .

Porównuję z postacią $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ .
Pierwszy nawias: $x - 2$ , więc $a = 2$ .
Drugi nawias: $y + 3 = y - (-3)$ , więc $b = -3$ .
Prawa strona to $r^2 = 25$ , więc $r = 5$ .
Kontrola punktem: $(7, -3)$ leży na okręgu, bo $25 + 0 = 25$ ✓ — i rzeczywiście jest oddalony o $5$ w poziomie od środka
Kontrola drugim punktem: $(2, 2)$ daje $0 + 25 = 25$ ✓ — oddalony o $5$ w pionie

Odpowiedź: $S = (2, -3)$ , $r = 5$

Dwie kontrole sprawdzają dwie różne rzeczy: pierwsza znak przy $b$ , druga znak przy $a$ . Punkty leżące „na wprost” środka są do tego najwygodniejsze, bo jeden składnik się zeruje.

Przykład 2 Z postaci ogólnej do kanonicznej

Wyznacz środek i promień okręgu o równaniu $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ .

Grupuję i przenoszę wyraz wolny: $(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$ .
Uzupełniam pierwszy nawias: połowa z $-4$ to $-2$ , jej kwadrat to $4$ — dodaję po obu stronach.
Uzupełniam drugi: połowa z $6$ to $3$ , kwadrat to $9$ — również po obu stronach.
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 12 + 4 + 9 = 25$ .
Stąd $S = (2, -3)$ oraz $r = 5$ .
Kontrola wsteczna: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9$ , a to równe $25$ daje $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ ✓

Odpowiedź: $S = (2, -3)$ , $r = 5$

Kontrola wsteczna jest tu warta wykonania, bo wyłapuje najczęstszy błąd: dodanie liczby tylko po lewej stronie. Wtedy promień wychodzi za mały, a równanie nadal wygląda poprawnie.

Przykład 3 Gdzie leży punkt

Okrąg ma równanie $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$ . Określ położenie punktów $A = (4, 4)$ , $B = (2, 5)$ i $C = (6, 8)$ .

Punkt $A$ : $(4-1)^2 + (4-4)^2 = 9 + 0 = 9$ — równe $r^2$ , więc na okręgu.
Punkt $B$ : $(2-1)^2 + (5-4)^2 = 1 + 1 = 2$ — mniej niż $9$ , więc wewnątrz.
Punkt $C$ : $(6-1)^2 + (8-4)^2 = 25 + 16 = 41$ — więcej niż $9$ , więc na zewnątrz.
Kontrola dla $C$ : jego odległość od środka to $\sqrt{41}$ , a promień $3 = \sqrt9$ ; skoro $41 > 9$ , punkt leży dalej ✓
Kontrola dla $B$ : odległość $\sqrt2$ , a $\sqrt2 < 3$ , bo $2 < 9$ ✓

Odpowiedź: $A$ na okręgu, $B$ wewnątrz, $C$ na zewnątrz.

Kontrole pokazują, dlaczego nie trzeba wyciągać pierwiastków: porównanie $41$ z $9$ daje tę samą odpowiedź co porównanie $\sqrt{41}$ z $3$ , bo obie liczby są nieujemne.

Przykład 4 Równanie z dwóch końców średnicy

Punkty $P = (-1, 2)$ i $Q = (5, 10)$ są końcami średnicy okręgu. Wyznacz jego równanie.

Środek to środek odcinka $PQ$ : $S = \left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{2+10}{2}\right) = (2, 6)$ .
Promień to połowa długości $PQ$ . Liczę $PQ$ : $\sqrt{(5+1)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
$r = 5$ , więc $r^2 = 25$ .
Równanie: $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$ .
Kontrola punktem $P$ : $(-1-2)^2 + (2-6)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓
Kontrola punktem $Q$ : $(5-2)^2 + (10-6)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓ — oba końce leżą na okręgu

Odpowiedź: $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$

Sprawdzenie obu końców naraz jest mocniejsze niż sprawdzenie jednego — ale samo w sobie nie dowodzi jeszcze, że $PQ$ jest średnicą. Oba końce leżą na okręgu przy każdym środku równo od nich oddalonym, czyli przy każdym punkcie symetralnej odcinka $PQ$ : dla $S = (-2,\ 9)$ i $r^2 = 50$ oba podstawienia dają $50 = 50$ , a średnicy nie ma. Warunek, który to domyka, jest jednolinijkowy: $2r = |PQ|$ , u nas $2 \cdot 5 = 10$ ✓.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą odczytu, trzeci rozpoznania, dwa ostatnie — rachunku przy zamianie postaci.

Odczytanie środka ze znakami z nawiasów.

Skąd się bierze: W równaniu widać $+3$ , więc kusi, żeby napisać $b = 3$ .

Jak zrobić dobrze: Wzór ma postać $(y - b)^2$ , więc $y + 3$ oznacza $b = -3$ . Środek ma współrzędne przeciwne do liczb widocznych w nawiasach.

Podanie liczby z prawej strony jako promienia.

Skąd się bierze: Po prawej stoi jedna liczba i wygląda na gotową odpowiedź.

Jak zrobić dobrze: Po prawej jest $r^2$ . Dla $25$ promień wynosi $5$ ; jeśli po prawej stoi liczba niebędąca kwadratem, promień zostaje z pierwiastkiem.

Uznanie każdego równania z $x^2$ i $y^2$ za okrąg.

Skąd się bierze: Postać ogólna okręgu rzeczywiście tak wygląda.

Jak zrobić dobrze: Sprowadź do postaci kanonicznej i sprawdź prawą stronę. Ujemna oznacza zbiór pusty, zero — pojedynczy punkt.

Dodanie liczby przy uzupełnianiu tylko po jednej stronie.

Skąd się bierze: Uwaga skupia się na zwijaniu nawiasu, a druga strona wygląda na nietkniętą.

Jak zrobić dobrze: Każdą dodaną liczbę dodaj po obu stronach. Kontrola wsteczna, czyli wymnożenie nawiasów, wyłapuje to natychmiast.

Liczenie promienia z pierwiastkiem, gdy potrzebny jest jego kwadrat.

Skąd się bierze: Odległość liczy się wzorem z pierwiastkiem, więc rachunek zatrzymuje się na nim.

Jak zrobić dobrze: W równaniu występuje $r^2$ , więc pierwiastek i tak zniknie. Można zatrzymać się na sumie kwadratów i od razu wstawić ją po prawej stronie.

Zadania maturalne — równanie okręgu w układzie współrzędnych

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści — najczęściej środek i promień albo dwa punkty. Czerwone — to, co z nich wyliczamy. Całe zadanie polega zwykle na jednym: równanie $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ ma w nawiasach liczby przeciwne do współrzędnych środka, a po prawej stronie kwadrat promienia.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

O:\ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 4

Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń.

Okrąg $O$ nie ma punktów wspólnych z osią $Ox$ układu współrzędnych.	P	F
Okrąg $O$ ma z osią $Oy$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Odczytuję środek i promień. W nawiasach stoją liczby przeciwne do współrzędnych środka:
$S = (\textcolor{#16A06A}{1},\ \textcolor{#16A06A}{-3})$ , a $r^2 = \textcolor{#16A06A}{4}$ , więc $r = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Zdanie pierwsze — oś $Ox$ . Decyduje odległość środka od tej osi, czyli wartość bezwzględna drugiej współrzędnej: $|-3| = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Porównuję z promieniem: $3 > 2$ , więc okrąg leży w całości poniżej osi $Ox$ i nie ma z nią punktów wspólnych. Zdanie prawdziwe.
Zdanie drugie — oś $Oy$ . Odległość środka od niej to $|1| = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Tu $1 < 2$ , więc oś przecina okrąg w dwóch punktach. Zdanie prawdziwe.
Odpowiedź: P, P.

💡 Wskazówka: Cała reguła mieści się w porównaniu odległości środka od prostej z promieniem: mniejsza — dwa punkty wspólne, równa — jeden (styczność), większa — żaden. Przy osiach układu ta odległość to po prostu wartość bezwzględna odpowiedniej współrzędnej środka.

⚠ Najczęstsza pomyłka to zamiana osi: do zbadania położenia względem osi $Ox$ potrzebna jest współrzędna $y$ środka, a nie $x$ . Druga pułapka to przyjęcie $r = 4$ zamiast $r = 2$ — po prawej stronie równania stoi kwadrat promienia.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9

. Okrąg

K

jest obrazem okręgu

O

w symetrii osiowej względem osi

Oy

układu współrzędnych. Okrąg

K

jest określony równaniem

A. $(x+1)^2 + (y+2)^2 = 9$
B. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$
C. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$
D. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Środek okręgu $O$ : $S = (\textcolor{#16A06A}{-1},\ \textcolor{#16A06A}{2})$ , promień $r = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Symetria względem osi $Oy$ zmienia znak pierwszej współrzędnej, a drugą zostawia:
$S' = (\textcolor{#E0453A}{1},\ \textcolor{#E0453A}{2})$
Promień się nie zmienia — symetria jest przekształceniem sztywnym, więc nadal $r = 3$ , czyli $r^2 = 9$ .
Wstawiam do wzoru: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$ .
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Kontrola na jednym punkcie: skrajnie lewy punkt okręgu $O$ ma odciętą $-1 - 3 = -4$ ; po odbiciu powinien wypaść na odciętej $4$ . Okrąg z odpowiedzi D sięga od $1 - 3 = -2$ do $1 + 3 = 4$ ✓

⚠ Odpowiedź A odbija względem osi $Ox$ (zmienia znak drugiej współrzędnej), a odpowiedź C zmienia znaki obu — to symetria środkowa względem początku układu. Warto zapamiętać: symetria względem osi $Oy$ dotyczy iksów, bo to one mierzą odległość od tej osi.

Zadanie 3 (maj 2025)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

P = (0, 0)

leży na okręgu

O

o środku w punkcie

S = (2, 4)

. Okrąg

O

jest określony równaniem

A. $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 2\sqrt{5}$
B. $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$
C. $(x+2)^2 + (y+4)^2 = 2\sqrt{5}$
D. $(x+2)^2 + (y+4)^2 = 20$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Środek jest dany: $S = (\textcolor{#16A06A}{2},\ \textcolor{#16A06A}{4})$ , więc w nawiasach stoją $x - 2$ oraz $y - 4$ . To już odsiewa odpowiedzi C i D.
Promień to odległość środka od punktu okręgu. Liczę kwadrat tej odległości — i tylko on jest potrzebny, bo po prawej stronie równania stoi $r^2$ :
$r^2 = (2 - \textcolor{#16A06A}{0})^2 + (4 - \textcolor{#16A06A}{0})^2 = 4 + 16 = \textcolor{#E0453A}{20}$
Odpowiedź: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$ , czyli B.
Sam promień wynosi $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ — i to właśnie ta liczba stoi w odpowiedziach A i C, na miejscu, gdzie powinien być jej kwadrat.

💡 Wskazówka: Nie warto liczyć promienia, żeby zaraz podnosić go do kwadratu. Wzór na równanie okręgu potrzebuje od razu $r^2$ , czyli sumy kwadratów różnic współrzędnych — pierwiastek jest krokiem zbędnym i tylko okazją do pomyłki.

⚠ Odpowiedź A jest przygotowana dokładnie na tę pomyłkę: ma poprawny środek, ale po prawej stronie stoi promień $2\sqrt5$ zamiast jego kwadratu. Kontrola: podstaw $P = (0,0)$ do równania — musi wyjść równość, a $4 + 16 = 20 \neq 2\sqrt5$ .

Zadanie 4 (sierpień 2024)1 pkttrudniejsze

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

odcinek o końcach

A = (-4, 7)

oraz

B = (6, -1)

jest średnicą okręgu

O

. Okrąg

O

jest określony równaniem

A. $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 41$
B. $(x-5)^2 + (y+4)^2 = 41$
C. $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 41$
D. $(x-5)^2 + (y-4)^2 = 41$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Środek okręgu to środek średnicy. Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców:
$S = \left(\frac{\textcolor{#16A06A}{-4} + \textcolor{#16A06A}{6}}{2},\ \frac{\textcolor{#16A06A}{7} + (\textcolor{#16A06A}{-1})}{2}\right) = \left(\frac{2}{2},\ \frac{6}{2}\right) = (\textcolor{#E0453A}{1},\ \textcolor{#E0453A}{3})$
To odsiewa odpowiedzi B i D, w których pierwsza współrzędna środka wynosi $5$ .
Promień to połowa średnicy. Zamiast liczyć długość $AB$ i dzielić ją na pół, liczę od razu odległość środka od jednego z końców:
$r^2 = (1 - (-4))^2 + (3 - 7)^2 = 25 + 16 = \textcolor{#E0453A}{41}$
Odpowiedź: $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 41$ , czyli A.

💡 Wskazówka: Kontrola drugim końcem: $r^2 = (1 - 6)^2 + (3 - (-1))^2 = 25 + 16 = 41$ ✓ — środek musi być jednakowo odległy od obu końców średnicy, więc ta kontrola wychwytuje błąd w liczeniu środka.

⚠ Najczęstszy błąd to policzenie $r^2$ jako kwadratu całej średnicy: $|AB|^2 = 10^2 + 8^2 = 164$ , czyli cztery razy za dużo. Druga pułapka to znak w drugim nawiasie — środek ma współrzędną $y = 3$ , więc w równaniu stoi $(y - 3)^2$ , a nie $(y + 3)^2$ jak w odpowiedzi C.

Zadanie 5 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5

Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń.

Do okręgu $O$ należy punkt o współrzędnych $(-1, -3)$ .	P	F
Promień okręgu $O$ jest równy $5$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie pierwsze — sprawdzam przez podstawienie. Punkt należy do okręgu dokładnie wtedy, gdy jego współrzędne spełniają równanie:
$(\textcolor{#16A06A}{-1} - 1)^2 + (\textcolor{#16A06A}{-3} + 2)^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = \textcolor{#E0453A}{5}$
Prawa strona równania też wynosi $5$ , więc punkt należy do okręgu. Zdanie prawdziwe.
Zdanie drugie — promień. Po prawej stronie stoi $r^2 = \textcolor{#16A06A}{5}$ , więc $r = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{5}}$ .
Liczba $\sqrt5$ nie jest równa $5$ , więc zdanie jest fałszywe.
Odpowiedź: P, F.

💡 Wskazówka: Promień zostaje w postaci $\sqrt5$ — to wartość dokładna i nie ma powodu jej zaokrąglać. Do rozstrzygnięcia zdania wystarczy zresztą sam fakt, że $\textcolor{#9b1c14}{\sqrt5 = 5}$ jest fałszem, bo $5^2 = 25 \neq 5$ .

⚠ Zdanie drugie jest pułapką na odruch „liczba po prawej stronie to promień”. Po prawej stronie równania okręgu stoi kwadrat promienia — mylenie tych dwóch rzeczy to najczęstszy błąd w całym temacie.

Zadanie 6 (grudzień 2023)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S = (4, -2)

. Okrąg

O

jest styczny do osi

Ox

układu współrzędnych. Okrąg

O

jest określony równaniem

A. $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 4$
B. $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 2$
C. $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 4$
D. $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Środek jest dany: $S = (\textcolor{#16A06A}{4},\ \textcolor{#16A06A}{-2})$ , więc w równaniu stoją $(x - 4)^2$ oraz $(y + 2)^2$ . Odpowiedzi C i D odpadają.
Styczność do osi $Ox$ oznacza dokładnie jeden punkt wspólny, czyli promień równy odległości środka od tej osi:
$r = |\textcolor{#16A06A}{-2}| = \textcolor{#E0453A}{2}$
Do równania wstawiam kwadrat: $r^2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Odpowiedź: $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 4$ , czyli A.

💡 Wskazówka: Warunek styczności do osi zawsze daje promień „za darmo”: styczność do $Ox$ oznacza $r = |y_S|$ , a styczność do $Oy$ — $r = |x_S|$ . Nie trzeba przy tym niczego rozwiązywać.

⚠ Odpowiedź B wstawia po prawej stronie sam promień zamiast jego kwadratu. To ta sama pułapka co w zadaniu trzecim i piątym — w tym zbiorze zadań powtarza się częściej niż jakakolwiek inna.

Zadanie 7 (sierpień 2023)1 pktłatwe

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o środku

S = (-1, 2)

i promieniu

3

. Okrąg

O

jest określony równaniem

A. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$
B. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 3$
C. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$
D. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wzór ogólny: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ , gdzie $(a, b)$ to środek.
Podstawiam środek $S = (\textcolor{#16A06A}{-1},\ \textcolor{#16A06A}{2})$ : $\big(x - (-1)\big)^2 + (y - 2)^2$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{(x+1)^2 + (y-2)^2}$ .
Podstawiam promień $r = \textcolor{#16A06A}{3}$ : po prawej stronie stoi $r^2 = \textcolor{#E0453A}{9}$ .
Odpowiedź: $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$ , czyli C.
Kontrola: dla $y = 2$ z równania zostaje $(x+1)^2 = 9$ , czyli $x = 2$ albo $x = -4$ — dwa punkty odległe od środka dokładnie o $3$ ✓

💡 Wskazówka: Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka: ujemna współrzędna daje plus w nawiasie. Najprościej podstawiać do wzoru dosłownie, ze wszystkimi nawiasami, i dopiero potem uprościć.

⚠ Odpowiedzi A i B mają odwrócone znaki — odpowiadają środkowi $(1, -2)$ , czyli punktowi symetrycznemu względem początku układu. Odpowiedzi B i D mają po prawej stronie $3$ zamiast $9$ , czyli promień zamiast jego kwadratu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P	2. D	3. B	4. A	5. P, F	6. A
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Skąd bierze się wzór na równanie okręgu?

Z definicji okręgu i twierdzenia Pitagorasa. Warunek „odległość punktu od środka równa się promieniowi” zapisany wzorem na odległość daje pierwiastek, a po podniesieniu obu stron do kwadratu — dokładnie równanie kanoniczne.

Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu?

Wstawić jego współrzędne do lewej strony równania i porównać wynik z prawą. Równość oznacza punkt na okręgu, mniejsza wartość — wnętrze, większa — zewnętrze.

Co zrobić, gdy po uzupełnianiu do kwadratu po prawej wyjdzie liczba ujemna?

To znaczy, że równanie nie opisuje żadnego okręgu — zbiór punktów spełniających je jest pusty, bo suma dwóch kwadratów nie może być ujemna. Wynik zerowy oznacza natomiast jeden punkt.

Czy równanie okręgu jest na maturze podstawowej?

Tak, podstawa wymienia je w dziale IX punkt 4 zakresu podstawowego. W rozszerzeniu dochodzą punkty wspólne prostej i okręgu oraz dwóch okręgów, ale samo równanie obowiązuje wszystkich.

Jak zmienia się równanie po symetrii względem osi układu?

Promień zostaje bez zmian, a środek zmienia znak odpowiedniej współrzędnej — przy symetrii względem osi $Ox$ zmienia się druga, przy symetrii względem $Oy$ pierwsza. Nowe równanie zapisuje się, zmieniając znak przy tej jednej liczbie — a nie zamieniając obu miejscami, bo zamiana odpowiada symetrii względem prostej ygrek równa się iks.

Czytaj dalej

Okrąg i kołoPojęcia wyjściowe: promień, średnica, cięciwa oraz różnica między linią a powierzchnią.Postać kanoniczna funkcji kwadratowejTo samo uzupełnianie do pełnego kwadratu, tylko dla jednej zmiennej zamiast dwóch.Układ współrzędnychWspółrzędne punktu i odległości — fundament całej geometrii analitycznej.Wzajemne położenie okręgów oraz prostej i okręguPięć położeń dwóch okręgów rozstrzyganych odległością środków oraz trzy przypadki prostej i okręgu z rachunkiem na wyróżniku.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.