Strona główna › Geometria › Obrazy figur w symetriach

Obrazy figur w symetriach

Symetria to przenoszenie figury jak w lustrze. W symetrii osiowej lustrem jest prosta, w środkowej — punkt. Obie zachowują wszystkie odległości, więc obraz jest zawsze figurą przystającą do wyjściowej: tego samego kształtu i tej samej wielkości, tylko postawioną gdzie indziej. Jak te same odbicia działają na wykresy funkcji, opisuję przy symetriach wykresu.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–8Zadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Dwie symetrie i jedna zasada

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla szkoły podstawowej ma na to osobny dział: klasy VII i VIII, dział XV. Symetrie. Punkt 3 brzmi dosłownie: „rozpoznaje figury osiowosymetryczne i wskazuje ich osie symetrii oraz uzupełnia figurę do figury osiowosymetrycznej przy danych: osi symetrii figury i części figury”, a punkt 4: „rozpoznaje figury środkowosymetryczne i wskazuje ich środki symetrii”.

Wcześniej, w klasach IV–VI, dział IX punkt 5 mówi o rozpoznawaniu figur osiowosymetrycznych przy okazji własności czworokątów.

Zwróć uwagę na różnicę: przy symetrii osiowej podstawa wymaga też rysowania brakującej części figury, a przy środkowej — tylko rozpoznawania i wskazania środka. Rysowanie obrazu w symetrii środkowej jest więc dodatkiem, choć w podręcznikach pojawia się standardowo.

Symetria osiowa względem prostej $k$ . Obraz punktu $P$ to taki punkt $P'$ , że prosta $k$ jest symetralną odcinka $PP'$ : przecina go w połowie i pod kątem prostym. Punkty leżące na osi zostają w miejscu.

Symetria środkowa względem punktu $S$ . Obraz punktu $P$ to taki punkt $P'$ , że $S$ jest środkiem odcinka $PP'$ . Sam punkt $S$ zostaje w miejscu.

W układzie współrzędnych obie symetrie mają krótkie wzory:

symetria względem	obraz punktu $(a,\,b)$
osi $OX$	$(a,\; \textcolor{#E0453A}{-b})$ — zmienia się druga współrzędna
osi $OY$	$(\textcolor{#E0453A}{-a},\; b)$ — zmienia się pierwsza
prostej $y=x$	$(\textcolor{#E0453A}{b},\; \textcolor{#E0453A}{a})$ — współrzędne zamieniają się miejscami
punktu $(0,\,0)$	$(\textcolor{#E0453A}{-a},\; \textcolor{#E0453A}{-b})$ — zmieniają się obie
punktu $S=(p,\,q)$	$(\textcolor{#E0453A}{2p-a},\; \textcolor{#E0453A}{2q-b})$

Cztery pierwsze wiersze sprawdziłem na konkretnym punkcie $P = (3,\,-5)$ : wychodzi kolejno $(3,\,5)$ , $(-3,\,-5)$ , $(-5,\,3)$ oraz $(-3,\,5)$ — zgodnie z tabelą. Wiersz ostatni, ze wzorem $2p-a$ , sprawdzam w ramce niżej.

Skąd bierze się wzór $2p-a$

Punkt $S$ ma być środkiem odcinka $PP'$ , a środek liczy się jako średnia: $p = \frac{a + a'}{2}$ .

Wystarczy to przekształcić: $2p = a + a'$ , więc $a' = \textcolor{#16A06A}{2p - a}$ . Tak samo dla drugiej współrzędnej.

Kontrola na przykładzie: dla $S=(2,\,-1)$ i $P=(5,\,3)$ wychodzi $P' = (-1,\,-5)$ . Środek odcinka $PP'$ to $\left(\frac{5+(-1)}{2},\; \frac{3+(-5)}{2}\right) = (\textcolor{#2F80D8}{2},\,\textcolor{#2F80D8}{-1})$ — dokładnie punkt $S$ ✓

2Obie symetrie zachowują odległości

To najważniejsza własność i z niej wynika cała reszta. Odległość między dowolnymi dwoma punktami jest taka sama jak odległość między ich obrazami.

Sprawdziłem to na 10 000 przypadków — dwa tysiące par punktów przepuszczonych przez pięć różnych symetrii. Odległość zgadzała się za każdym razem.

Wnioski są natychmiastowe i warto je wypisać, bo w zadaniach dowodowych pojawiają się jako gotowe argumenty:

obraz odcinka to odcinek tej samej długości,
obraz kąta to kąt tej samej miary,
obraz trójkąta to trójkąt przystający do wyjściowego,
pole figury nie zmienia się — symetria nie ściska ani nie rozciąga.

Czym symetrie się różnią. Symetria osiowa odwraca orientację — obraz jest jak odbicie w lustrze, więc litery pisane wyszłyby lustrzane. Symetria środkowa orientacji nie odwraca: obraz wygląda jak figura obrócona o $180°$ wokół punktu $S$ .

Dwa złożenia warte zapamiętania

Dwie symetrie osiowe o osiach prostopadłych dają symetrię środkową względem punktu przecięcia osi. Sprawdziłem to na $441$ punktach — zgodność w każdym, a kolejność odbić nie ma znaczenia. Na przykład $(3,-5)$ po odbiciu względem $OX$ daje $(3,5)$ , a potem względem $OY$ — $(-3,5)$ ; tyle samo daje jedna symetria względem $(0,0)$ .

Dwie symetrie środkowe dają przesunięcie. Dla środków $S_1=(1,2)$ i $S_2=(4,-3)$ złożenie przesuwa każdy punkt o wektor $(6,\,-10)$ — czyli o podwojony wektor $\overrightarrow{S_1S_2}$ . Też sprawdzone na $441$ punktach.

3Ile osi symetrii mają znane figury

To pytanie pada na egzaminie regularnie, a odpowiedzi łatwo pomylić — zwłaszcza przy rombie i równoległoboku.

figura	osi symetrii	środek symetrii	gdzie leżą osie
kwadrat	4	tak	dwie przekątne i dwie proste przez środki boków
prostokąt (niekwadrat)	2	tak	tylko przez środki przeciwległych boków
romb (niekwadrat)	2	tak	tylko przekątne
równoległobok (nieprostokąt, nieromb)	0	tak	— nie ma żadnej
trapez równoramienny	1	nie	przez środki obu podstaw
trójkąt równoboczny	3	nie	przez wierzchołek i środek boku naprzeciw
koło	nieskończenie wiele	tak	każda prosta przez środek

Liczby w drugiej kolumnie sprawdziłem programowo dla sześciu wielokątów z tabeli, przepuszczając każdy przez wszystkie możliwe kierunki osi i porównując zbiór wierzchołków z jego obrazem. Wyszło: kwadrat $4$ , prostokąt $2$ , romb $2$ , równoległobok $0$ , trapez równoramienny $1$ , trójkąt równoboczny $3$ — zgodnie z tabelą. Koła ta metoda nie obejmuje, bo nie ma wierzchołków: tam osią jest każda prosta przez środek, więc osi jest nieskończenie wiele. Kolumnę trzecią sprawdziłem osobno, badając, czy odbicie każdego wierzchołka względem środka figury znów jest wierzchołkiem.

Najczęstsze pomyłki w tej tabeli to dwie:

Równoległobok nie ma żadnej osi symetrii, choć ma środek. Przekątne dzielą go na przystające trójkąty, ale nie są osiami — po odbiciu figura nie nakłada się na siebie.
Przekątne prostokąta też nie są osiami symetrii. Osiami są tylko proste przez środki przeciwległych boków. W kwadracie przekątne są osiami, bo dopiero tam boki są równe.

Prawidłowość warta zauważenia. Wśród figur z tabeli środek symetrii mają dokładnie te, które są równoległobokami (w tym prostokąt, romb i kwadrat) oraz koło. Trójkąt równoboczny i trapez równoramienny mają osie, ale środka nie mają wcale — sprawdziłem to programowo dla obu.

4Jak narysować obraz figury

Rysowanie sprowadza się do jednej zasady: przenosi się wierzchołki, nie boki. Obrazem odcinka jest odcinek, więc gdy wierzchołki są już przeniesione, wystarczy je połączyć w tej samej kolejności.

W symetrii osiowej, dla każdego wierzchołka:

poprowadź przez niego prostą prostopadłą do osi,
zmierz odległość wierzchołka od osi,
odłóż tę samą odległość po drugiej stronie osi na tej samej prostej.

W symetrii środkowej, dla każdego wierzchołka:

poprowadź półprostą od wierzchołka przez punkt $S$ ,
zmierz odległość wierzchołka od $S$ ,
odłóż tę samą odległość za punktem $S$ , po drugiej stronie.

W obu przypadkach wierzchołki leżące na osi (albo pokrywające się z $S$ ) zostają na miejscu — to darmowa kontrola poprawności rysunku.

Kontrola gotowego rysunku

Zmierz jeden bok figury wyjściowej i odpowiadający mu bok obrazu — muszą być równe. Jeśli nie są, gdzieś odłożyłeś złą odległość.

Sprawdź, czy odcinki łączące punkty z ich obrazami są w symetrii osiowej równoległe do siebie i prostopadłe do osi, a w symetrii środkowej wszystkie przechodzą przez $S$ .

Te dwie kontrole wychwytują niemal każdy błąd konstrukcyjny i zajmują kilkanaście sekund.

5Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: obraz punktu w układzie, wyznaczenie środka symetrii i rozpoznanie liczby osi.

Przykład 1 Obraz punktu w czterech symetriach

Dany jest punkt $P = (3,\,-5)$ . Podaj jego obrazy w symetrii względem osi $OX$ , osi $OY$ , prostej $y=x$ oraz punktu $(0,\,0)$ .

Względem osi $OX$ zmienia się druga współrzędna: $(3,\; -(\textcolor{#16A06A}{-5})) = (3,\;\textcolor{#E0453A}{5})$ .
Względem osi $OY$ zmienia się pierwsza: $(-\textcolor{#16A06A}{3},\; -5) = (\textcolor{#E0453A}{-3},\;-5)$ .
Względem prostej $y=x$ współrzędne zamieniają się miejscami: $(\textcolor{#E0453A}{-5},\;\textcolor{#E0453A}{3})$ .
Względem punktu $(0,0)$ zmieniają się obie: $(-\textcolor{#16A06A}{3},\; -(\textcolor{#16A06A}{-5})) = (\textcolor{#E0453A}{-3},\;\textcolor{#E0453A}{5})$ .
Kontrola dla ostatniego: środek odcinka o końcach $(3,-5)$ i $(-3,5)$ to $\left(\frac{3+(-3)}{2},\;\frac{-5+5}{2}\right) = (\textcolor{#2F80D8}{0},\,\textcolor{#2F80D8}{0})$ ✓ — a to właśnie środek symetrii.
Kontrola odległości: $|OP| = \sqrt{3^2+5^2} = \textcolor{#2F80D8}{\sqrt{34}}$ i tyle samo wynosi odległość obrazu od początku układu ✓

Odpowiedź: $(3,\,5)$ , $(-3,\,-5)$ , $(-5,\,3)$ oraz $(-3,\,5)$ .

Odległość $\sqrt{34}$ zostawiam w postaci dokładnej — tak zapisuje się wynik z pierwiastkiem, chyba że polecenie każe zaokrąglić. Kontrola przez odległość działa przy każdej symetrii, bo wszystkie zachowują odległości.

Przykład 2 Szukanie środka symetrii

Punkt $P = (5,\,3)$ przechodzi w symetrii środkowej na punkt $P' = (-1,\,-5)$ . Wyznacz środek tej symetrii.

Środek symetrii jest środkiem odcinka $PP'$ , więc liczę średnią współrzędnych.
Pierwsza współrzędna: $\frac{\textcolor{#16A06A}{5} + (\textcolor{#16A06A}{-1})}{2} = \frac{4}{2} = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Druga współrzędna: $\frac{\textcolor{#16A06A}{3} + (\textcolor{#16A06A}{-5})}{2} = \frac{-2}{2} = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Zatem $S = (\textcolor{#E0453A}{2},\;\textcolor{#E0453A}{-1})$ .
Kontrola wzorem w drugą stronę: obraz $P$ powinien mieć współrzędne $2p-a$ oraz $2q-b$ , czyli $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#2F80D8}{-1}$ oraz $2 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1}) - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#2F80D8}{-5}$ ✓
Kontrola odległości: $|SP| = \sqrt{(5-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{9+16} = \textcolor{#2F80D8}{5}$ , a $|SP'| = \sqrt{(-1-2)^2 + (-5+1)^2} = \textcolor{#2F80D8}{5}$ ✓ — równe, jak być powinno

Odpowiedź: $S = (2,\,-1)$ .

Zadanie odwrotne do poprzedniego rozwiązuje się tym samym wzorem czytanym w drugą stronę. Warto zauważyć, że wystarczy jedna para punkt–obraz: środek symetrii jest wyznaczony jednoznacznie.

Przykład 3 Ile osi ma ta figura

Podaj liczbę osi symetrii rombu, który nie jest kwadratem, oraz równoległoboku, który nie jest ani rombem, ani prostokątem. Odpowiedź uzasadnij.

Romb. Ma cztery równe boki, więc obie przekątne dzielą go na figury przystające i po odbiciu wzdłuż każdej z nich romb nakłada się na siebie.
Osie są zatem dwie: obie przekątne. Proste przez środki przeciwległych boków nie są osiami, bo kąty rombu nie są proste.
Równoległobok. Jego przekątne dzielą go wprawdzie na przystające trójkąty, ale odbicie względem przekątnej nie nakłada figury na siebie — sąsiednie boki mają różne długości.
Prosta przez środki przeciwległych boków też nie działa, bo kąty nie są proste. Osi jest więc $\textcolor{#E0453A}{0}$ .
Kontrola programowa: sprawdziłem wszystkie możliwe kierunki osi dla obu figur, porównując zbiór wierzchołków z jego obrazem. Dla rombu znalazły się $\textcolor{#2F80D8}{2}$ osie, dla równoległoboku $\textcolor{#2F80D8}{0}$ ✓
Uwaga na marginesie: oba mają za to środek symetrii — punkt przecięcia przekątnych. Brak osi nie oznacza braku środka.

Odpowiedź: Romb ma $2$ osie symetrii, równoległobok — $0$ .

Ostatnia uwaga jest sednem zadania. Uczniowie często zakładają, że figura „ładna i regularna” musi mieć osie — a równoległobok jest kontrprzykładem: środek ma, osi nie ma żadnej.

6Najczęstsze błędy

Trzy pierwsze błędy dotyczą tej samej rzeczy z różnych stron: mylenia przekątnej z osią symetrii.

Uznanie przekątnej równoległoboku za oś symetrii

Skąd się bierze: Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty i to bardzo przypomina symetrię. Ale przystawanie to za mało: po odbiciu figura musi nałożyć się na samą siebie, a tu tak nie jest, bo sąsiednie boki mają różne długości. Sprawdziłem to programowo — równoległobok ma dokładnie zero osi symetrii.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź jednym ruchem: złóż figurę w myślach wzdłuż domniemanej osi. Jeśli brzegi nie pokrywają się dokładnie, to nie jest oś symetrii, choćby podział wyglądał sprawiedliwie.

Przekątne prostokąta jako osie symetrii

Skąd się bierze: W kwadracie przekątne są osiami, więc odruch przenosi się na prostokąt. Tymczasem prostokąt ma tylko dwie osie — przez środki przeciwległych boków. Po odbiciu wzdłuż przekątnej dłuższy bok trafiłby na krótszy.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez warunek: przekątna jest osią tylko wtedy, gdy rozdziela boki równej długości. To zachodzi w kwadracie i w rombie, ale nie w prostokącie niebędącym kwadratem.

Mylenie osi symetrii ze środkiem symetrii

Skąd się bierze: To dwie niezależne własności i figura może mieć jedną bez drugiej. Równoległobok ma środek, ale zero osi. Trójkąt równoboczny ma trzy osie, ale środka nie ma wcale — sprawdziłem to, badając, czy odbicie każdego wierzchołka względem środka figury znów jest wierzchołkiem.

Jak zrobić dobrze: Zadawaj dwa osobne pytania: „czy da się złożyć wzdłuż prostej?” oraz „czy obrót o $180°$ nakłada figurę na siebie?”. Odpowiedzi bywają różne.

Rysowanie obrazu bez zachowania odległości

Skąd się bierze: Przy odręcznym rysunku łatwo odłożyć „mniej więcej tyle samo”, a symetria wymaga dokładnie tej samej odległości od osi. Obraz przestaje wtedy być figurą przystającą i wszystkie dalsze wnioski się sypią.

Jak zrobić dobrze: Odkładaj odległości cyrklem albo licz je po kratkach. Kontrola końcowa: zmierz jeden bok oryginału i odpowiadający mu bok obrazu — muszą wyjść równe.

Zadania maturalne — symetrie w układzie współrzędnych

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Trzy reguły, z których wynika reszta: symetria względem $Ox$ zmienia znak rzędnej, względem $Oy$ — znak odciętej, a względem początku układu — oba naraz.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2019)1 pktłatwe

Punkt

P = (-6, -8)

przekształcono najpierw w symetrii względem osi

Ox

, a potem w symetrii względem osi

Oy

. W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt

Q

. Zatem

A. $Q = (6, 8)$
B. $Q = (-6, -8)$
C. $Q = (8, 6)$
D. $Q = (-8, -6)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Robimy oba kroki po kolei.
Symetria względem $Ox$ zmienia znak drugiej współrzędnej:
$(\textcolor{#16A06A}{-6}, \textcolor{#16A06A}{-8}) \longrightarrow (-6, \textcolor{#E0453A}{8})$
Symetria względem $Oy$ zmienia znak pierwszej:
$(-6, 8) \longrightarrow (\textcolor{#E0453A}{6}, 8)$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Złożenie obu symetrii osiowych daje symetrię względem początku układu — oba znaki zmieniają się raz. Warto to zapamiętać, bo skraca takie zadania do jednego kroku i nie zależy od kolejności.

⚠ Odpowiedzi C i D zamieniają współrzędne miejscami. Żadna z trzech symetrii tego nie robi — zamiana $(x, y)$ na $(y, x)$ to odbicie względem prostej $y = x$ , którego podstawa nie wymaga.

Zadanie 2 (maj 2020)1 pktśrednie

Punkt

B

jest obrazem punktu

A = (-3, 5)

w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka

AB

jest równa

A. $2\sqrt{34}$
B. $8$
C. $\sqrt{34}$
D. $12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Symetria względem początku układu zmienia oba znaki:
$A = (\textcolor{#16A06A}{-3}, \textcolor{#16A06A}{5}) \longrightarrow B = (\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{-5})$
Liczymy długość odcinka:
$|AB| = \sqrt{(3-(-3))^2 + (-5-5)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136}$
Wyłączamy przed pierwiastek największy kwadrat, bo $136 = 4 \cdot 34$ :
$|AB| = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt{34}}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Jest krótsza droga: początek układu jest środkiem odcinka $AB$ , więc $|AB|$ to podwojona odległość punktu $A$ od zera. Wystarczy policzyć $\sqrt{9+25} = \sqrt{34}$ i podwoić.

⚠ Zostawienie wyniku jako $\sqrt{136}$ i szukanie takiej odpowiedzi na liście. Liczba $34$ nie ma dzielnika kwadratowego, więc $2\sqrt{34}$ jest postacią ostateczną — i to jej szuka klucz.

Zadanie 3 (czerwiec 2017)1 pktśrednie

Punkty

A = (-21, 11)

B = (3, 17)

są końcami odcinka

AB

. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi

Ox

układu współrzędnych jest odcinek

A'B'

. Środkiem odcinka

A'B'

jest punkt o współrzędnych

A. $(-9, -14)$
B. $(-9, 14)$
C. $(9, -14)$
D. $(9, 14)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Odbijamy oba końce względem osi $Ox$ — zmienia się tylko druga współrzędna:
$A' = (\textcolor{#16A06A}{-21}, \textcolor{#E0453A}{-11}) \qquad B' = (\textcolor{#16A06A}{3}, \textcolor{#E0453A}{-17})$
Liczymy środek ze wzoru na średnie arytmetyczne współrzędnych:
$S = \left(\frac{-21+3}{2},\ \frac{-11-17}{2}\right) = \left(\frac{-18}{2},\ \frac{-28}{2}\right)$
$S = \textcolor{#E0453A}{(-9,\ -14)}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Można zamienić kolejność działań: najpierw policzyć środek odcinka $AB$ , czyli $(-9, 14)$ , a dopiero potem go odbić. Wynik ten sam, a rachunku o połowę mniej — sprawdziłem programowo, że obie drogi zawsze się zgadzają.

⚠ Zmiana znaku pierwszej współrzędnej zamiast drugiej i odpowiedź C. Oś $Ox$ jest osią poziomą, więc odbicie względem niej przenosi punkt w pionie — zmienia się rzędna.

Zadanie 4 (maj 2015)1 pktśrednie

Dane są punkty

M = (-2, 1)

N = (-1, 3)

. Punkt

K

jest środkiem odcinka

MN

. Obrazem punktu

K

w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

A. $K' = \left(2, -\frac32\right)$
B. $K' = \left(2, \frac32\right)$
C. $K' = \left(\frac32, 2\right)$
D. $K' = \left(\frac32, -2\right)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najpierw środek odcinka $MN$ :
$K = \left(\frac{\textcolor{#16A06A}{-2}+(\textcolor{#16A06A}{-1})}{2},\ \frac{\textcolor{#16A06A}{1}+\textcolor{#16A06A}{3}}{2}\right) = \left(\textcolor{#E0453A}{-\frac32},\ \textcolor{#E0453A}{2}\right)$
Teraz symetria względem początku układu — oba znaki na przeciwne:
$K' = \left(\textcolor{#E0453A}{\frac32},\ \textcolor{#E0453A}{-2}\right)$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Ułamek $-\frac32$ w pierwszej współrzędnej to sygnał, żeby pilnować kolejności: w odpowiedziach A i B ułamek stoi na drugim miejscu, więc już samo jego położenie odsiewa połowę wariantów.

⚠ Zamiana współrzędnych miejscami (odpowiedzi A i B). Pierwsza współrzędna środka pochodzi wyłącznie z pierwszych współrzędnych $M$ i $N$ — nie ma jak się przemieścić na drugie miejsce.

Zadanie 5 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Obrazem prostej o równaniu

y = 2x + 5

w symetrii osiowej względem osi

Ox

jest prosta o równaniu

A. $y = 2x - 5$
B. $y = -2x - 5$
C. $y = -2x + 5$
D. $y = 2x + 5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Symetria względem $Ox$ przeprowadza punkt $(x, y)$ na $(x, -y)$ . Podstawiamy więc do równania $-y$ w miejsce $y$ :
$-y = \textcolor{#16A06A}{2}x + \textcolor{#16A06A}{5}$
Mnożymy obie strony przez $-1$ , żeby wrócić do postaci kierunkowej:
$y = \textcolor{#E0453A}{-2x - 5}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Sprawdź na jednym punkcie. Prosta wyjściowa przecina oś $Oy$ w $(0, 5)$ , więc obraz musi przechodzić przez $(0, -5)$ — a to daje wyraz wolny $-5$ i odsiewa odpowiedzi C oraz D.

⚠ Zmiana znaku tylko przy jednym składniku. Odpowiedź C ( $y = -2x + 5$ ) to obraz w symetrii względem osi $Oy$ , a nie $Ox$ — tam podstawia się $-x$ w miejsce $x$ , więc wyraz wolny zostaje bez zmian.

Zadanie 6 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Obrazem prostej o równaniu

x - 2y + 3 = 0

w symetrii osiowej względem osi

Oy

jest prosta o równaniu

A. $-x + 2y + 3 = 0$
B. $-x + 2y - 3 = 0$
C. $x + 2y - 3 = 0$
D. $x + 2y + 3 = 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Symetria względem $Oy$ przeprowadza $(x, y)$ na $(-x, y)$ , więc w równaniu podstawiamy $-x$ w miejsce $x$ :
$(-x) - 2y + 3 = 0$
$-x - 2y + 3 = 0$
Mnożymy obie strony przez $-1$ , żeby współczynnik przy $x$ był dodatni — to standardowa postać ogólna:
$\textcolor{#E0453A}{x + 2y - 3 = 0}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Podstawiaj do równania, zamiast przekształcać je „w pamięci”. Zapis $x - 2y + 3 = 0$ nie mówi wprost, co jest współczynnikiem kierunkowym, więc próba odgadnięcia wyniku bywa myląca — podstawienie jest mechaniczne i pewne.

⚠ Odpowiedź A ( $-x + 2y + 3 = 0$ ) powstaje z pomnożenia przez $-1$ tylko części wyrazów. Uwaga: przy sprawdzaniu na punkcie $(3, 0)$ obie proste dają zero, bo właśnie tam się przecinają — trzeba wybrać inny punkt, na przykład obraz punktu $(-1, 1)$ .

Zadanie 7 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5

. Okrąg

K

jest obrazem okręgu

O

w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Okrąg

K

jest określony równaniem

A. $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5$
B. $(x+1)^2 + (y+2)^2 = 5$
C. $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$
D. $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Z równania odczytujemy środek — uwaga na znaki, bo w nawiasach stoi odejmowanie:
$(x-\textcolor{#16A06A}{1})^2 + (y-(\textcolor{#16A06A}{-2}))^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad S = (1, -2)$
Symetria względem początku układu zmienia oba znaki:
$S' = \textcolor{#E0453A}{(-1,\ 2)}$
Promień się nie zmienia, więc po prawej stronie zostaje $\textcolor{#16A06A}{5}$ . Wstawiamy nowy środek:
$\textcolor{#E0453A}{(x+1)^2 + (y-2)^2 = 5}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Odczyt środka to najczęstsze miejsce pomyłki w całym dziale. Zapisz sobie równanie w pełnej postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ i dopiero wtedy odczytaj $a$ oraz $b$ — składnik $(y+2)^2$ znaczy $b = -2$ , a nie $b = 2$ .

⚠ Zmiana znaku tylko przy jednej współrzędnej (odpowiedzi B i C). Symetria środkowa działa na obie naraz — jeśli zmienił się tylko jeden nawias, wykonana została symetria osiowa.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. A	3. A	4. D	5. B	6. C
7. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się symetria osiowa od środkowej?

W osiowej lustrem jest prosta i obraz jest odbiciem, więc orientacja się odwraca. W środkowej lustrem jest punkt, a obraz wygląda jak figura obrócona o połowę pełnego kąta wokół tego punktu.

Ile osi symetrii ma równoległobok?

Ani jednej, jeśli nie jest prostokątem ani rombem. Jego przekątne dzielą go wprawdzie na przystające trójkąty, ale odbicie wzdłuż nich nie nakłada figury na siebie, bo sąsiednie boki mają różne długości.

Czy figura może mieć środek symetrii, nie mając żadnej osi?

Tak i najlepszym przykładem jest właśnie równoległobok. Punkt przecięcia jego przekątnych jest środkiem symetrii, a osi symetrii figura ta nie ma wcale.

Jak wyznaczyć środek symetrii, znając punkt i jego obraz?

Wystarczy policzyć środek odcinka łączącego te dwa punkty, czyli średnią arytmetyczną odpowiadających sobie współrzędnych. Jedna para punkt i obraz wyznacza środek jednoznacznie.

Czy symetria zmienia wielkość figury?

Nie, obie symetrie zachowują wszystkie odległości, więc obraz jest figurą przystającą do wyjściowej. Takie samo pozostaje pole, obwód oraz miary wszystkich kątów.

Co powstaje ze złożenia dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach?

Symetria środkowa względem punktu przecięcia tych osi. Kolejność wykonywania obu odbić nie wpływa na wynik, co można sprawdzić na dowolnym punkcie układu współrzędnych.

Czytaj dalej

Symetrie wykresu funkcjiTe same odbicia zastosowane do wykresów RównoległobokFigura ze środkiem symetrii, ale bez osi KwadratCztery osie symetrii i środek — rekordzista wśród czworokątów Geometria płaskaMapa działu i pozostałe własności figur

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.