Strona główna › Trygonometria › Tablice wartości funkcji trygonometrycznych

Tablice wartości funkcji trygonometrycznych

Q: Kiedy zostawić pierwiastek, a kiedy wpisać liczbę z tablicy?

Przy kątach 30°, 45° i 60° zostawia się postać dokładną z pierwiastkiem, bo ona istnieje. Wartości z tablicy używa się tylko dla kątów, dla których dokładnego zapisu nie ma — na przykład 37° czy 52°.

Wartości sinusa dla $30°$ , $45°$ i $60°$ zna się na pamięć — ale zadania podają też kąty w rodzaju $37°$ albo $52°$ , dla których żaden ładny wzór nie istnieje. Wtedy sięga się po tablicę, i to nie jest przeżytek: na maturze z matematyki jest ona w karcie wzorów, a kalkulator z funkcjami trygonometrycznymi nie jest dozwolony. Umiejętność czytania tej tabeli jest więc egzaminacyjnie potrzebna. Definicje samych funkcji zakładam za znane — są w haśle o trygonometrii.

Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 25

Przejdź od razu do zadań (25) ↓

1Skąd biorą się te liczby

Tablica podaje przybliżone wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od $0°$ do $90°$ , zwykle co jeden stopień, z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.

Wartości nie są tam wpisane arbitralnie. Dla każdego kąta to stosunek boków w trójkącie prostokątnym — dokładnie tak, jak mówi definicja. Różnica polega tylko na tym, że dla większości kątów ten stosunek jest liczbą niewymierną, której nie da się zapisać ładnym wzorem.

kąt	$\sin$	$\cos$	$\tg$	uwaga
$30°$	$0{,}5000$	$0{,}8660$	$0{,}5774$	wartości dokładne znasz z pamięci
$37°$	$0{,}6018$	$0{,}7986$	$0{,}7536$	tylko z tablicy
$45°$	$0{,}7071$	$0{,}7071$	$1{,}0000$	$\sin = \cos$
$52°$	$0{,}7880$	$0{,}6157$	$1{,}2799$	tylko z tablicy
$60°$	$0{,}8660$	$0{,}5000$	$1{,}7321$	wartości dokładne znasz z pamięci

Zwróć uwagę na wiersze $30°$ i $60°$ : $\sin 30° = 0{,}5000$ to dokładnie $\frac{1}{2}$ , a $0{,}8660$ to przybliżenie $\frac{\sqrt3}{2}$ . Tablica i wartości z pamięci to ta sama informacja, tylko zapisana inaczej.

Kiedy zostawić pierwiastek, a kiedy wpisać liczbę z tablicy

Jeśli kąt jest szczególny ( $30°$ , $45°$ , $60°$ ), odpowiedź zostawia się w postaci dokładnej: $\frac{\sqrt3}{2}$ , a nie $0{,}87$ . Przybliżenie w takim zadaniu jest traktowane jako mniej dokładne.

Jeśli kąt jest dowolny ( $37°$ , $52°$ ), postaci dokładnej nie ma — wtedy wartość z tablicy jest jedyną możliwą odpowiedzią.

2Odczyt w dwie strony

Tablica działa w obu kierunkach i oba są w zadaniach potrzebne.

Od kąta do wartości. Znajdujesz wiersz z kątem i odczytujesz liczbę z odpowiedniej kolumny. Dla $\textcolor{#16A06A}{37°}$ w kolumnie sinusa stoi $\textcolor{#E0453A}{0{,}6018}$ — i to wszystko.

Od wartości do kąta. Tu trzeba przeszukać kolumnę i znaleźć liczbę najbliższą danej. Jeśli w zadaniu wyszło $\sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{0{,}6018}$ , szukasz tej wartości w kolumnie sinusa i odczytujesz kąt z lewej: $\textcolor{#E0453A}{37°}$ .

Drugi kierunek jest trudniejszy, bo rzadko trafiasz w wartość dokładnie. Zwykle wynik zadania wypada między dwoma wierszami — i wtedy albo bierzesz bliższy, albo interpolujesz.

Kolumny czyta się w przeciwnych kierunkach

Sinus i tangens rosną wraz z kątem — im większy kąt, tym większa wartość.

Cosinus maleje — im większy kąt, tym mniejsza wartość.

To najprostsza kontrola poprawności odczytu: jeśli przy większym kącie wyszedł Ci większy cosinus, pomyliłeś kolumnę albo wiersz.

Warto też pamiętać o zakresach. Sinus i cosinus kąta ostrego zawsze mieszczą się między $0$ a $1$ , więc wartość $1{,}28$ w kolumnie sinusa jest niemożliwa — to musi być tangens. Tangens żadnego górnego ograniczenia nie ma i przy kątach bliskich $90°$ rośnie bardzo szybko.

3Interpolacja — gdy kąt jest pomiędzy

Tablica podaje wartości co jeden stopień. Gdy zadanie wymaga kąta pośredniego, na przykład $37{,}5°$ , stosuje się interpolację liniową — czyli przyjmuje się, że na krótkim odcinku funkcja zmienia się równomiernie.

Weźmy $\sin \textcolor{#16A06A}{37{,}5°}$ . Z tablicy: $\sin 37° = \textcolor{#2F80D8}{0{,}6018}$ , $\sin 38° = \textcolor{#2F80D8}{0{,}6157}$ .

różnica między wierszami: $\textcolor{#2F80D8}{0{,}6157} - \textcolor{#2F80D8}{0{,}6018} = \textcolor{#E0453A}{0{,}0139}$ ,
szukany kąt leży w połowie między nimi, więc biorę połowę różnicy: $\textcolor{#E0453A}{0{,}0139} : 2 \approx 0{,}0070$ ,
dodaję do wartości dolnej: $\textcolor{#2F80D8}{0{,}6018} + 0{,}0070 = \textcolor{#8B5CF6}{0{,}6088}$ .

Wartość rzeczywista to $0{,}6088$ — interpolacja trafiła z dokładnością do czwartego miejsca. To nie przypadek: na odcinku jednego stopnia sinusoida jest niemal prostą, więc przybliżenie liniowe działa bardzo dobrze.

Gdzie interpolacja zawodzi

Przy tangensie kątów bliskich $90°$ funkcja rośnie gwałtownie i różnice między wierszami przestają być porównywalne. Dla $\tg 89°$ wynosi około $57$ , a dla $\tg 89{,}5°$ już około $115$ — interpolacja liniowa daje tam duży błąd.

Przy sinusie i cosinusie problem nie występuje, bo obie funkcje są ograniczone i zmieniają się łagodnie.

W zadaniach maturalnych interpolacja jest potrzebna rzadko — kąty są zwykle całkowite. Warto ją jednak rozumieć, bo tłumaczy, dlaczego tablica z krokiem jednego stopnia wystarcza do praktycznie każdego rachunku.

4Co realnie wolno mieć na maturze

To pytanie pada częściej niż samo „jak czytać tablicę” — i odpowiedź bywa myląca.

pomoc	czy wolno	co z tego wynika
karta „Wybrane wzory matematyczne”	tak, wydawana na egzaminie	zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych
kalkulator prosty	tak	cztery działania i pierwiastek — bez funkcji trygonometrycznych
kalkulator naukowy	nie	dlatego tablica jest niezbędna

Wniosek praktyczny jest konkretny: wartości dla kątów niestandardowych trzeba odczytać z karty, bo nie ma ich skąd wziąć inaczej. Umiejętność sprawnego odczytu jest więc częścią przygotowania do egzaminu, a nie ciekawostką historyczną.

Warto przed egzaminem przejrzeć kartę wzorów i sprawdzić, na której stronie jest tablica. Szukanie jej w trakcie kosztuje minuty, których zwykle brakuje.

Czego karta nie zrobi za Ciebie

Tablica podaje wartości tylko dla kątów ostrych, od $0°$ do $90°$ . Dla kąta rozwartego trzeba go najpierw zredukować — służą do tego wzory redukcyjne.

Przykład: $\sin 130°$ nie jest w tablicy, ale $\sin 130° = \sin(180° - 130°) = \sin 50°$ , a $50°$ już tam jest.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: bok z tablicy, kąt z odczytu odwrotnego i kąt rozwarty.

Przykład 1 Wysokość z tablicy

Drabina o długości $\textcolor{#16A06A}{6}$ m opiera się o ścianę pod kątem $\textcolor{#16A06A}{37°}$ do podłoża. Na jakiej wysokości sięga ściany? Skorzystaj z tablicy: $\sin 37° \approx 0{,}6018$ .

Drabina jest przeciwprostokątną, a szukana wysokość leży naprzeciw kąta $\textcolor{#16A06A}{37°}$ — więc sinus.
$\sin \textcolor{#16A06A}{37°} = \frac{h}{\textcolor{#16A06A}{6}}$ , stąd $h = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{37°}$ .
Odczytuję z tablicy: $\sin \textcolor{#16A06A}{37°} \approx \textcolor{#2F80D8}{0{,}6018}$ .
$h \approx \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#2F80D8}{0{,}6018} = \textcolor{#E0453A}{3{,}61}$ m.
Kontrola sensu: wysokość musi być mniejsza od długości drabiny — $\textcolor{#E0453A}{3{,}61} < \textcolor{#16A06A}{6}$ ✓
Kontrola zakresu: sinus kąta ostrego mieści się między $0$ a $1$ , a $\textcolor{#2F80D8}{0{,}6018}$ mieści się ✓
Kontrola przez sąsiedni kąt: dla $30°$ wyszłoby $6 \cdot 0{,}5 = 3$ m, a $\textcolor{#16A06A}{37°} > 30°$ , więc wynik musi być większy — i jest ✓

Odpowiedź: $h \approx 3{,}61$ m.

Zaokrąglenie do dwóch miejsc wystarcza przy wyniku w metrach — podawanie $3{,}6108$ m sugerowałoby dokładność, której pomiar i tak nie ma.

Przykład 2 Kąt z odczytu odwrotnego

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna ma $\textcolor{#16A06A}{3}$ , a przeciwprostokątna $\textcolor{#16A06A}{5}$ . Jaki jest kąt naprzeciw tej przyprostokątnej? Fragment tablicy: $\sin 36° \approx 0{,}5878$ , $\sin 37° \approx 0{,}6018$ .

Liczę sinus szukanego kąta: $\sin\alpha = \frac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{5}} = \textcolor{#2F80D8}{0{,}6000}$ .
Szukam tej wartości w kolumnie sinusa. Leży między $\textcolor{#E0453A}{0{,}5878}$ (dla $36°$ ) a $\textcolor{#E0453A}{0{,}6018}$ (dla $37°$ ).
Sprawdzam, do której jest bliżej: $\textcolor{#2F80D8}{0{,}6000} - \textcolor{#E0453A}{0{,}5878} = 0{,}0122$ , a $\textcolor{#E0453A}{0{,}6018} - \textcolor{#2F80D8}{0{,}6000} = 0{,}0018$ .
Znacznie bliżej do wiersza $37°$ , więc $\alpha \approx \textcolor{#8B5CF6}{37°}$ .
Kontrola trójkątem: boki $\textcolor{#16A06A}{3}$ , $4$ , $\textcolor{#16A06A}{5}$ to znana trójka pitagorejska, a kąt naprzeciw trójki wynosi około $36{,}87°$ ✓
Kontrola drugą funkcją: $\cos\alpha = \frac{4}{5} = 0{,}8$ , a w tablicy $\cos 37° \approx 0{,}7986$ — zgadza się ✓
Kontrola sensu: $\textcolor{#16A06A}{3} < 4$ , więc kąt naprzeciw trójki musi być mniejszy od $45°$ ✓

Odpowiedź: $\alpha \approx 37°$ .

Przy odczycie odwrotnym rzadko trafia się w wartość dokładnie — wybiera się wiersz najbliższy. Kontrola drugą funkcją jest tu warta zachodu, bo wyłapuje pomyłkę kolumny.

Przykład 3 Kąt rozwarty — najpierw redukcja

Oblicz $\sin \textcolor{#16A06A}{130°}$ , mając do dyspozycji tablicę dla kątów ostrych ( $\sin 50° \approx 0{,}7660$ ).

Tablica obejmuje tylko kąty od $0°$ do $90°$ , a $\textcolor{#16A06A}{130°}$ jest rozwarty — trzeba go zredukować.
Stosuję wzór redukcyjny: $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$ .
$\textcolor{#16A06A}{130°} = 180° - \textcolor{#2F80D8}{50°}$ , więc $\sin \textcolor{#16A06A}{130°} = \sin \textcolor{#2F80D8}{50°}$ .
Odczytuję z tablicy: $\sin \textcolor{#2F80D8}{50°} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}7660}$ .
Kontrola znaku: $\textcolor{#16A06A}{130°}$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni — wynik dodatni ✓
Kontrola sensu: $\textcolor{#16A06A}{130°}$ jest bliżej $90°$ niż $180°$ , więc sinus powinien być raczej duży — $\textcolor{#E0453A}{0{,}766}$ pasuje ✓
Uwaga na cosinus: tam byłoby inaczej, bo $\cos 130° = -\cos 50° \approx -0{,}6428$ — wartość ujemna, której w tablicy nie znajdziesz ✓

Odpowiedź: $\sin 130° \approx 0{,}7660$ .

To najczęstsze zastosowanie wzorów redukcyjnych w praktyce: tablica kończy się na $90°$ , więc każdy większy kąt trzeba najpierw sprowadzić do ostrego. Przy cosinusie dochodzi jeszcze zmiana znaku.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy szukania kąta rozwartego w tablicy.

Szukanie w tablicy kąta większego od $90°$

Skąd się bierze: Tablica obejmuje kąty od $0°$ do $90°$ — czyli kąty ostre wraz z zerowym i prostym, ale ani jednego rozwartego. Uczeń przegląda ją w poszukiwaniu $130°$ , nie znajduje i uznaje zadanie za niewykonalne — albo, gorzej, bierze wiersz $30°$ , bo „ostatnie dwie cyfry się zgadzają”.

Jak zrobić dobrze: Najpierw zredukuj kąt wzorem $\sin(180°-\alpha) = \sin\alpha$ . Dopiero potem szukaj w tablicy. Przy cosinusie pamiętaj dodatkowo o zmianie znaku.

Mylenie kolumn sinusa i cosinusa

Skąd się bierze: Kolumny stoją obok siebie i mają podobne wartości w okolicy $45°$ . Pomyłka daje wynik, który mieści się w poprawnym zakresie, więc kontrola rzędu wielkości go nie wychwyci.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź kierunek: sinus rośnie z kątem, cosinus maleje. Dla $60°$ sinus musi być większy od cosinusa. Jeśli wyszło odwrotnie, pomyliłeś kolumnę.

Podawanie przybliżenia tam, gdzie istnieje wartość dokładna

Skąd się bierze: Dla $30°$ , $45°$ i $60°$ wartości są dokładne ( $\frac12$ , $\frac{\sqrt2}{2}$ , $\frac{\sqrt3}{2}$ ). Zapisanie $0{,}87$ zamiast $\frac{\sqrt3}{2}$ zubaża odpowiedź, a w zadaniach na dowodzenie bywa uznane za niewystarczające.

Jak zrobić dobrze: Przy kątach szczególnych zostaw pierwiastek. Tablicy używaj tylko wtedy, gdy postaci dokładnej nie ma — czyli dla kątów innych niż te trzy.

Interpolowanie tangensa przy kątach bliskich $90°$

Skąd się bierze: Tangens rośnie tam gwałtownie: między $89°$ a $90°$ wartość skacze z około $57$ do nieskończoności. Przybliżenie liniowe zakłada równomierną zmianę, więc daje wynik obarczony bardzo dużym błędem.

Jak zrobić dobrze: Dla tangensa kątów powyżej $85°$ nie interpoluj — odczytaj najbliższy wiersz i zaznacz, że wynik jest przybliżony. Przy sinusie i cosinusie interpolacja jest bezpieczna na całym zakresie.

Zadania maturalne — dana jedna funkcja, policz pozostałe

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Schemat jest zawsze ten sam i ma trzy kroki: (1) z jedynki trygonometrycznej

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

policz kwadrat brakującej funkcji, (2) wyciągnij pierwiastek, (3) wybierz znak — dla kąta ostrego dodatni. Tangens dostajesz na końcu z definicji

\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

. Dwa skróty, które oszczędzają liczenia: trójki pitagorejskie

(3,4,5)

(5,12,13)

(8,15,17)

(7,24,25)

— jeśli mianownik jest jedną z tych liczb, drugą funkcję odczytasz z pamięci; oraz trójkąt z tangensa — przy

\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{p}{q}

przyprostokątne to

p

q

, a przeciwprostokątna

\sqrt{p^2+q^2}

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 17 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (marzec 2021)1 pktłatwe

Kąt

\alpha

jest ostry oraz

\sin\alpha = \dfrac{4}{5}

. Wtedy

A. $\cos\alpha = \dfrac{1}{5}$
B. $\cos\alpha = -\dfrac{1}{5}$
C. $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$
D. $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

$\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac45}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{9}{25}}$
$\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac35}$ — pierwiastek dodatni, bo kąt jest ostry
Odpowiedź: $\tfrac35$ , czyli D.
To trójka pitagorejska $\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{4}, \textcolor{#E0453A}{5}$ : skoro $\sin\alpha = \tfrac45$ , to $\cos\alpha = \tfrac35$ i można było odczytać wynik bez liczenia jedynki.
Kontrola: $\left(\tfrac45\right)^2 + \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{16}{25} + \tfrac{9}{25} = \textcolor{#E0453A}{1}$ ✓
Dwa dystraktory są ujemne, a dla kąta ostrego cosinus ujemny być nie może — odpadają bez rachunku. To zawęża zadanie do dwóch odpowiedzi jeszcze przed jedynką.

💡 Wskazówka: Zacznij od odsiania odpowiedzi z niewłaściwym znakiem: dla kąta ostrego wszystkie trzy funkcje są dodatnie. Tutaj zostawia to tylko dwie możliwości. Potem sprawdź, czy mianownik nie należy do trójki pitagorejskiej — mianownik $5$ przy liczniku $4$ oznacza, że drugi licznik to $3$ .

⚠ Odjęcie liczników zamiast kwadratów: $1 - \tfrac45 = \tfrac15$ , czyli odpowiedź A. Jedynka trygonometryczna dotyczy kwadratów, więc odejmujemy $\tfrac{16}{25}$ , a nie $\tfrac45$ . Ten błąd wraca w całej grupie i dlatego $\tfrac15$ pojawia się jako dystraktor także w kolejnych zadaniach. Drugi błąd: wybór odpowiedzi ujemnej (B albo C) przez odruch „pierwiastek daje dwa znaki” — treść mówi, że kąt jest ostry, więc znak jest jeden.

Zadanie 2 (sierpień 2019)1 pktłatwe

Cosinus kąta ostrego

\alpha

jest równy

\dfrac{12}{13}

. Wtedy

A. $\sin\alpha = \dfrac{13}{12}$
B. $\sin\alpha = \dfrac{1}{13}$
C. $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$
D. $\sin\alpha = \dfrac{25}{169}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

$\sin^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{13}}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{144}}{\textcolor{#E0453A}{169}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{169}}$
$\sin\alpha = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{169}}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{13}}$
Odpowiedź: $\tfrac{5}{13}$ , czyli C.
Trójka pitagorejska $\textcolor{#E0453A}{5}, \textcolor{#E0453A}{12}, \textcolor{#E0453A}{13}$ — druga najczęstsza na maturze po $3,4,5$ . Warto ją znać, bo $169 - 144 = 25$ nie jest rachunkiem, który chce się robić pod presją.
Uwaga na odpowiedź D. To $\sin^2\alpha$ , czyli kwadrat szukanej wartości — dokładnie wynik pierwszego kroku. Zatrzymanie się przed pierwiastkiem jest w tej grupie zadań najczęstszą pomyłką i arkusz niemal zawsze wstawia ten wynik jako dystraktor.
Odpowiedź $\tfrac{13}{12}$ (A) jest większa od $1$ , więc nie może być wartością sinusa — odpada bez rachunku.

💡 Wskazówka: Sinus i cosinus nigdy nie przekraczają $1$ . Każda odpowiedź większa od jedynki odpada natychmiast, a to w tej grupie odsiewa zwykle jedną z czterech. Druga szybka kontrola: szukana wartość ma być liczbą, nie jej kwadratem — jeśli w odpowiedziach jest ułamek o mianowniku będącym kwadratem mianownika danej ( $169$ przy danej z $13$ ), to prawie na pewno dystraktor „bez pierwiastka”.

⚠ Podanie $\tfrac{25}{169}$ (odpowiedź D), czyli zapomnienie o pierwiastku. Jedynka daje kwadrat brakującej funkcji i trzeba go jeszcze spierwiastkować — licznik i mianownik osobno. Drugi błąd: odjęcie liczników i wybór $\tfrac{1}{13}$ (B). Trzeci: odwrócenie ułamka danego w treści i wybór $\tfrac{13}{12}$ (A) — liczba większa od jedynki, więc niemożliwa dla sinusa.

Zadanie 3 (maj 2011)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\cos\alpha = \dfrac{5}{13}

. Wtedy

A. $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$ oraz $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{12}{5}$
B. $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$ oraz $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{5}{12}$
C. $\sin\alpha = \dfrac{12}{5}$ oraz $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{12}{13}$
D. $\sin\alpha = \dfrac{5}{12}$ oraz $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{12}{13}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tu trzeba podać dwie wartości, więc obie muszą się zgadzać — jedna pomyłka przekreśla całą odpowiedź.
Sinus. Trójka $\textcolor{#E0453A}{5}, \textcolor{#E0453A}{12}, \textcolor{#E0453A}{13}$ : skoro $\cos\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac{5}{13}}$ , to
$\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{12}{13}}$
Tangens z definicji — trzynastki się skracają:
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12/13}}{\textcolor{#16A06A}{5/13}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{5}}$
Odpowiedź: $\sin\alpha = \tfrac{12}{13}$ oraz $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{12}{5}$ , czyli A.
Szybka kontrola, bez liczenia tangensa. Cosinus $\tfrac{5}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}38}$ jest mniejszy od sinusa $\tfrac{12}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}92}$ , więc kąt jest większy od $45^\circ$ , a wtedy tangens przekracza $1$ . Z czterech odpowiedzi tylko A ma tangens większy od jedynki.
Odpowiedzi C i D podają sinus większy od $1$ ( $\tfrac{12}{5} = 2{,}4$ ) albo pomylony z tangensem — odpadają na pierwszy rzut oka.

💡 Wskazówka: Przy odpowiedziach złożonych z dwóch wartości szukaj najtańszego rozstrzygnięcia. Tu wystarczy porównać sinus z cosinusem: jeśli sinus jest większy, kąt przekracza $45^\circ$ i tangens jest większy od $1$ . Nie trzeba liczyć tangensa — trzeba tylko wiedzieć, czy jest nad jedynką czy pod nią.

⚠ Odwrócenie tangensa i wybór B — $\operatorname{tg}\alpha$ to sinus przez cosinus, więc licznik pochodzi od sinusa. Ułamek $\tfrac{5}{12}$ jest wartością cotangensa. Kontrola przez porównanie z jedynką rozstrzyga to natychmiast. Drugi błąd: pomylenie sinusa z tangensem i wybór C albo D, gdzie sinus miałby wartość $\tfrac{12}{5} > 1$ — niemożliwą dla żadnego kąta.

Zadanie 4 (sierpień 2015)1 pktśrednie

Sinus kąta ostrego

\alpha

jest równy

\dfrac{3}{4}

. Wówczas

A. $\cos\alpha = \dfrac{1}{4}$
B. $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt7}{4}$
C. $\cos\alpha = \dfrac{7}{16}$
D. $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{13}}{16}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Mianownik $\textcolor{#16A06A}{4}$ nie należy do żadnej trójki pitagorejskiej, więc wynik będzie niewymierny — i to jest normalne.
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac34}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}}$
$\cos\alpha = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}}} = \dfrac{\sqrt{\textcolor{#E0453A}{7}}}{\sqrt{\textcolor{#E0453A}{16}}} = \dfrac{\sqrt7}{4}$
Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt7}{4}$ , czyli B.
Kluczowe: pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno, a $\sqrt{16} = \textcolor{#E0453A}{4}$ jest liczbą całkowitą, więc pierwiastek zostaje tylko w liczniku.
Kontrola liczbowa: $\tfrac{\sqrt7}{4} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}661}$ , a $0{,}75^2 + 0{,}661^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}5625} + \textcolor{#E0453A}{0{,}4375} = 1$ ✓
Dwa dystraktory to niedokończone kroki. Odpowiedź $\tfrac{7}{16}$ (C) to $\cos^2\alpha$ — zatrzymanie się przed pierwiastkiem. Odpowiedź $\tfrac{\sqrt{13}}{16}$ (D) ma pierwiastek w liczniku, ale mianownik niespierwiastkowany i błędną liczbę pod pierwiastkiem.

💡 Wskazówka: Niewymierny wynik nie jest sygnałem błędu — jeśli mianownik danej nie należy do trójki pitagorejskiej, pierwiastek prawie na pewno zostanie. Pierwiastkuj licznik i mianownik osobno: $\sqrt{\tfrac{7}{16}} = \tfrac{\sqrt7}{\sqrt{16}} = \tfrac{\sqrt7}{4}$ . Mianownik zwykle wychodzi całkowity, bo jest kwadratem mianownika danej.

⚠ Podanie $\tfrac{7}{16}$ (odpowiedź C), czyli kwadratu cosinusa. Drugi błąd: spierwiastkowanie tylko licznika i pozostawienie mianownika $16$ — tak powstaje odpowiedź D. Trzeci: odjęcie liczników, czyli $1 - \tfrac34 = \tfrac14$ , i wybór A. Kontrola przez jedynkę wykrywa każdy z nich w jednym rachunku: $\left(\tfrac34\right)^2 + \left(\tfrac14\right)^2 = \tfrac{10}{16} \ne 1$ .

Zadanie 5 (sierpień 2010)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\cos\alpha = \dfrac{3}{4}

. Wtedy

\sin\alpha

jest równy

A. $\dfrac{1}{4}$
B. $\dfrac{\sqrt3}{4}$
C. $\dfrac{\sqrt7}{4}$
D. $\dfrac{7}{16}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

To lustrzane odbicie poprzedniego zadania: te same liczby, tylko dana i szukana zamieniły się rolami.
$\sin^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac34}\right)^2 = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{9}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}}$
$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt7}{4}$
Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt7}{4}$ , czyli C.
Dlaczego wynik jest ten sam co w zadaniu 4. Jedynka trygonometryczna jest symetryczna — nie odróżnia sinusa od cosinusa. Jeśli jedna funkcja wynosi $\tfrac34$ , druga zawsze wynosi $\tfrac{\sqrt7}{4}$ , niezależnie od tego, która jest która. Zmienia się tylko sam kąt: w zadaniu 4 było to $\approx \textcolor{#E0453A}{48{,}6^\circ}$ , tu $\approx \textcolor{#E0453A}{41{,}4^\circ}$ — dwa kąty dopełniające się do prostego.
Nowy dystraktor: $\tfrac{\sqrt3}{4}$ (B). Powstaje z pomylenia $1 - \tfrac{9}{16}$ z $1 - \tfrac{13}{16}$ albo z odjęcia $\tfrac34$ i pierwiastkowania trójki. Warto sprawdzić jedynką: $\left(\tfrac34\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16} + \tfrac{3}{16} = \tfrac{12}{16} \ne 1$ ✗

💡 Wskazówka: Zapamiętaj symetrię jedynki: para $\left(\tfrac34, \tfrac{\sqrt7}{4}\right)$ działa w obie strony. Dzięki temu, jeśli raz policzysz uzupełnienie jakiegoś ułamka, zadziała ono w każdym zadaniu z tą liczbą — bez znaczenia, czy dane jest sinus, czy cosinus. Najlepsza kontrola każdej odpowiedzi w tej grupie: podnieś obie wartości do kwadratu i dodaj; musi wyjść dokładnie $1$ .

⚠ Wybór $\tfrac{\sqrt3}{4}$ (odpowiedź B) — liczba wygląda wiarygodnie, bo ma pierwiastek i ten sam mianownik, ale nie przechodzi kontroli jedynką. Zawsze warto zrobić to sprawdzenie: kwadraty obu funkcji muszą sumować się do $1$ , a $\tfrac{9}{16} + \tfrac{3}{16} = \tfrac{12}{16}$ . Drugi błąd: podanie $\tfrac{7}{16}$ (D), czyli kwadratu sinusa — trzeba jeszcze spierwiastkować.

Zadanie 6 (listopad 2009)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\sin\alpha = \dfrac{8}{9}

. Wtedy

\cos\alpha

jest równy

A. $\dfrac{1}{9}$
B. $\dfrac{8}{9}$
C. $\dfrac{\sqrt{17}}{9}$
D. $\dfrac{\sqrt{65}}{9}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

$\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac89}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{64}}{\textcolor{#E0453A}{81}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{81} - \textcolor{#E0453A}{64}}{\textcolor{#E0453A}{81}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{17}{81}}$
$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{\textcolor{#E0453A}{17}}}{\sqrt{\textcolor{#E0453A}{81}}} = \dfrac{\sqrt{17}}{9}$
Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt{17}}{9}$ , czyli C.
Kluczowy rachunek to $\textcolor{#E0453A}{81} - \textcolor{#E0453A}{64} = \textcolor{#E0453A}{17}$ . Warto zapisać jedynkę jako $\tfrac{81}{81}$ , żeby odejmowanie liczników było widoczne — przy dużych liczbach to najczęstsze miejsce pomyłki.
Kontrola liczbowa: $\tfrac{\sqrt{17}}{9} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}458}$ , a $\left(\tfrac89\right)^2 + 0{,}458^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}790} + \textcolor{#E0453A}{0{,}210} = 1$ ✓
Odpowiedź D pokazuje, na czym polega pułapka. Liczba $\textcolor{#E0453A}{65}$ pochodzi z rachunku $\textcolor{#E0453A}{81} - \textcolor{#E0453A}{16} = \textcolor{#E0453A}{65}$ , czyli z przyjęcia $\sin^2\alpha = \tfrac{16}{81}$ — a to jest kwadrat ułamka $\tfrac{4}{9}$ , nie $\tfrac89$ . Liczba $65$ leży podejrzanie blisko $64$ z licznika danej i właśnie na tym opiera się dystraktor.
Warto też zauważyć, że $\tfrac{\sqrt{17}}{9} \approx 0{,}46$ , czyli mniej niż połowa — a tak być musi, bo sinus bliski jedynki oznacza kąt bliski prostego i mały cosinus.

💡 Wskazówka: Przy dużych mianownikach zapisz jedynkę jako ułamek o tym samym mianowniku ( $1 = \tfrac{81}{81}$ ) i odejmij liczniki. Sprawdź też rząd wielkości wyniku: jeśli dana funkcja jest bliska $1$ , druga musi być mała. Sinus $\tfrac89 \approx 0{,}89$ oznacza cosinus rzędu $0{,}4$ – $0{,}5$ , co od razu odrzuca odpowiedź $\tfrac89$ (B).

⚠ Podniesienie do kwadratu tylko mianownika i wyjście na $\tfrac{\sqrt{65}}{9}$ (odpowiedź D) — kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika. Drugi błąd: odjęcie liczników bez kwadratów, czyli $\tfrac{9-8}{9} = \tfrac19$ (A). Trzeci: przepisanie danej i wybór $\tfrac89$ (B), co przeczy kontroli rzędu wielkości — obie funkcje nie mogą być duże naraz, bo suma ich kwadratów przekroczyłaby $1$ .

Zadanie 7 (listopad 2010)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\cos\alpha = \dfrac{3}{7}

. Wtedy

A. $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{10}}{7}$
B. $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{7}$
C. $\sin\alpha = \dfrac{4}{7}$
D. $\sin\alpha = \dfrac{3}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

$\sin^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac37}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{49}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{49} - \textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{49}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{40}{49}}$
$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{\textcolor{#E0453A}{40}}}{\textcolor{#E0453A}{7}}$
Upraszczamy pierwiastek — to jedyny nowy krok w tym zadaniu. Liczba $\textcolor{#E0453A}{40}$ zawiera czynnik kwadratowy: $40 = \textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{10}$ , a $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ :
$\sqrt{\textcolor{#E0453A}{40}} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{10}} = \textcolor{#E0453A}{2}\sqrt{\textcolor{#E0453A}{10}}$
$\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{10}}{7}$
Odpowiedź: $\tfrac{2\sqrt{10}}{7}$ , czyli A.
Kontrola liczbowa: $\tfrac{2\sqrt{10}}{7} \approx \tfrac{6{,}325}{7} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9035}$ , a $\left(\tfrac37\right)^2 + 0{,}9035^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}184} + \textcolor{#E0453A}{0{,}816} = 1$ ✓
Odpowiedź B to ta sama liczba bez wyciągniętej dwójki — czyli $\sqrt{10}$ zamiast $\sqrt{40}$ , pomyłka w upraszczaniu. Kontrola: $\tfrac{\sqrt{10}}{7} \approx 0{,}45$ , a wtedy suma kwadratów wyszłaby $\approx 0{,}39$ , nie $1$ .
Skoro cosinus jest mały ( $\approx 0{,}43$ ), sinus musi być duży — bliski jedynki. To od razu wskazuje na A, bo tylko ta odpowiedź przekracza $0{,}9$ .

💡 Wskazówka: Po spierwiastkowaniu sprawdź, czy liczba pod pierwiastkiem nie ma czynnika kwadratowego. Przy mianowniku $7$ pod pierwiastkiem wychodzi $40$ , a $40 = 4 \cdot 10$ , więc dwójka wychodzi na zewnątrz. Arkusz podaje odpowiedź w postaci uproszczonej, więc nieuproszczony wynik nie będzie do niej pasował — i to samo w sobie jest sygnałem, że został jeszcze jeden krok.

⚠ Zapomnienie o wyciągnięciu czynnika i wybór $\tfrac{\sqrt{10}}{7}$ (odpowiedź B) — brakuje dwójki, bo $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ , a nie $\sqrt{10}$ . Drugi błąd: odjęcie liczników i wybór $\tfrac47$ (C). Trzeci: odwrócenie i pomieszanie liczb z danej, czyli $\tfrac34$ (D). Wszystkie trzy wykrywa kontrola rzędu wielkości: mały cosinus wymusza sinus bliski jedynki, a tylko odpowiedź A taka jest.

Zadanie 8 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\cos\alpha = \dfrac{2\sqrt6}{7}

. Sinus kąta

\alpha

jest równy

A. $\dfrac{24}{49}$
B. $\dfrac{5}{7}$
C. $\dfrac{25}{49}$
D. $\dfrac{\sqrt6}{7}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tym razem dana jest niewymierna, a wynik wyjdzie wymierny — odwrotnie niż w poprzednich zadaniach. Klucz jest w starannym podniesieniu do kwadratu.
$\cos^2\alpha = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2\sqrt6}{7}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}^2 \cdot \left(\sqrt{\textcolor{#E0453A}{6}}\right)^2}{\textcolor{#E0453A}{7}^2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{49}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{24}{49}}$
Podnosimy do kwadratu oba czynniki licznika: dwójkę i pierwiastek. Pierwiastek przy tym znika.
$\sin^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{24}{49}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{49}}$
$\sin\alpha = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{49}}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{7}}$
Odpowiedź: $\tfrac57$ , czyli B.
Kontrola liczbowa: $\tfrac{2\sqrt6}{7} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6999}$ i $\tfrac57 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}7143}$ ; suma kwadratów: $\textcolor{#E0453A}{0{,}4898} + \textcolor{#E0453A}{0{,}5102} = 1$ ✓
Trzy z czterech odpowiedzi to kroki pośrednie. $\tfrac{24}{49}$ (A) to $\cos^2\alpha$ , $\tfrac{25}{49}$ (C) to $\sin^2\alpha$ — czyli zatrzymanie się przed pierwiastkiem. Odpowiedź $\tfrac{\sqrt6}{7}$ (D) to dana bez dwójki. Arkusz ustawia więc pułapkę na każdym etapie rachunku i tylko dokończenie wszystkich trzech kroków daje właściwą liczbę.

💡 Wskazówka: Podnosząc do kwadratu ułamek z pierwiastkiem w liczniku, pamiętaj o wszystkich czynnikach: $\left(2\sqrt6\right)^2 = 4 \cdot 6 = 24$ , a nie $2 \cdot 6 = 12$ ani $\sqrt{12}$ . Kwadrat pierwiastka usuwa pierwiastek, więc niewymierna dana bardzo często daje wymierny wynik — jeśli po drodze zostaje ci pierwiastek, prawdopodobnie zgubiłeś kwadrat któregoś czynnika.

⚠ Podniesienie do kwadratu tylko pierwiastka i pominięcie dwójki: $\cos^2\alpha = \tfrac{6}{49}$ , skąd $\sin^2\alpha = \tfrac{43}{49}$ i wynik niewymierny, którego nie ma wśród odpowiedzi. Drugi błąd: zatrzymanie się na $\tfrac{25}{49}$ (odpowiedź C), czyli kwadracie sinusa. Trzeci: pomylenie kolejności i podanie $\tfrac{24}{49}$ (A) — to kwadrat cosinusa, czyli wynik pierwszego kroku.

Zadanie 9 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i spełniona jest równość

\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt6}{7}

. Stąd wynika, że

A. $\cos\alpha = \dfrac{24}{49}$
B. $\cos\alpha = \dfrac{5}{7}$
C. $\cos\alpha = \dfrac{25}{49}$
D. $\cos\alpha = \dfrac{5\sqrt6}{7}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Lustrzane odbicie zadania 8 — te same liczby, zamienione role sinusa i cosinusa. I ta sama odpowiedź, bo jedynka trygonometryczna nie odróżnia tych dwóch funkcji.
$\sin^2\alpha = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2\sqrt6}{7}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{49}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{24}{49}}$
$\cos^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{24}{49}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{49}} \qquad \Longrightarrow \qquad \cos\alpha = \dfrac57$
Odpowiedź: $\tfrac57$ , czyli B.
Co się zmienia między tymi dwoma zadaniami, a co nie. Nie zmienia się para wartości: jedna funkcja to $\tfrac{2\sqrt6}{7}$ , druga $\tfrac57$ . Zmienia się sam kąt:
w zadaniu 8 było $\cos\alpha \approx 0{,}70$ , więc $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{45{,}6^\circ}$ ; tutaj $\sin\alpha \approx 0{,}70$ , więc $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{44{,}4^\circ}$ . Oba kąty sumują się do $90^\circ$ — są dopełniające.
Nowy dystraktor: $\tfrac{5\sqrt6}{7}$ (D). Liczba $\approx \textcolor{#E0453A}{1{,}75}$ , czyli większa od $1$ — niemożliwa dla cosinusa. Powstaje z podstawienia piątki w miejsce dwójki bez zauważenia, że pierwiastek powinien zniknąć.

💡 Wskazówka: Zauważ, że dwa zadania z tej strony różnią się wyłącznie tym, którą funkcję podaje treść — a odpowiedź jest ta sama. To nie przypadek: jedynka trygonometryczna wiąże parę wartości, więc znając jedną, drugą policzysz zawsze tak samo. Warto po każdym takim zadaniu zapamiętać całą parę: $\left(\tfrac{2\sqrt6}{7}, \tfrac57\right)$ , tak jak pary z trójek pitagorejskich.

⚠ Wybór $\tfrac{5\sqrt6}{7}$ (odpowiedź D) — liczba jest większa od jedynki, więc żadna funkcja sinus ani cosinus jej nie przyjmuje. To najszybsza kontrola: sprawdź, czy odpowiedź nie przekracza $1$ , zanim cokolwiek policzysz. Drugi błąd: zatrzymanie się na kwadracie i wybór A albo C — oba są wynikami pośrednimi tego samego rachunku.

Zadanie 10 (sierpień 2020)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry oraz

\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt5}{5}

. Wtedy

A. $\cos\alpha = \dfrac{5}{2\sqrt5}$
B. $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt5}{5}$
C. $\cos\alpha = \dfrac{1}{5}$
D. $\alpha = \dfrac{4}{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

$\sin^2\alpha = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2\sqrt5}{5}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{20}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac45}$
$\cos^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac15}$
$\cos\alpha = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\dfrac15}} = \dfrac{1}{\sqrt5}$
Usuwamy niewymierność z mianownika — mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt5$ :
$\dfrac{1}{\sqrt5} = \dfrac{\sqrt5}{\sqrt5 \cdot \sqrt5} = \dfrac{\sqrt5}{\textcolor{#E0453A}{5}}$
Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt5}{5}$ , czyli B.
Kontrola liczbowa: $\tfrac{2\sqrt5}{5} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}894}$ i $\tfrac{\sqrt5}{5} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}447}$ ; suma kwadratów $\textcolor{#E0453A}{0{,}8} + \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = 1$ ✓
Odpowiedź A to ta sama liczba… albo nie. Sprawdźmy: $\tfrac{5}{2\sqrt5} = \tfrac{5\sqrt5}{2 \cdot 5} = \tfrac{\sqrt5}{2} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}118}$ — większa od $1$ , więc niemożliwa. To odwrotność danej z treści, wstawiona dla kogoś, kto pomyli „policz drugą funkcję” z „odwróć ułamek”.
Odpowiedź D jest o czymś innym niż pozostałe — mówi o mierze kąta $\alpha$ , a nie o cosinusie. Miara kąta w stopniach nie może być ułamkiem $\tfrac45$ w tym kontekście, więc odpada bez rachunku. Warto czytać, o co pyta każda opcja.

💡 Wskazówka: Arkusz podaje odpowiedzi z usuniętą niewymiernością z mianownika, więc wynik $\tfrac{1}{\sqrt5}$ trzeba jeszcze przekształcić do $\tfrac{\sqrt5}{5}$ . Jeśli twój wynik ma pierwiastek w mianowniku, a żadna odpowiedź tak nie wygląda, to znak, że został jeszcze jeden krok — a nie że policzyłeś źle.

⚠ Zatrzymanie się na $\tfrac{1}{\sqrt5}$ i szukanie tego wśród odpowiedzi. Trzeba pomnożyć licznik i mianownik przez $\sqrt5$ ; obie postacie oznaczają tę samą liczbę $\approx 0{,}447$ . Drugi błąd: odwrócenie danej i wybór $\tfrac{5}{2\sqrt5}$ (A) — liczba większa od jedynki. Trzeci: podanie $\tfrac15$ (C), czyli kwadratu cosinusa; tu pułapka jest szczególnie zdradliwa, bo $\tfrac15$ wygląda jak zwykły ułamek, a nie jak niedokończony pierwiastek.

Zadanie 11 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry oraz

\cos\alpha = \dfrac{5}{13}

. Tangens kąta

\alpha

jest równy

A. $\dfrac{5}{12}$
B. $\dfrac{12}{13}$
C. $\dfrac{13}{12}$
D. $\dfrac{12}{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Do tangensa potrzebne są obie funkcje, więc najpierw sinus.
Krok 1. Trójka $\textcolor{#E0453A}{5}, \textcolor{#E0453A}{12}, \textcolor{#E0453A}{13}$ : z $\cos\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac{5}{13}}$ mamy $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{12}{13}}$ .
Krok 2 — tangens z definicji. Trzynastki się skracają:
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12/13}}{\textcolor{#16A06A}{5/13}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{5}}$
Odpowiedź: $\tfrac{12}{5}$ , czyli D.
Skrót wart zapamiętania. Skoro sinus i cosinus mają ten sam mianownik, tangens to po prostu iloraz ich liczników: $\tfrac{12}{5}$ . Mianownik nie ma tu żadnego znaczenia i nie trzeba go w ogóle zapisywać.
Kontrola: $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{12}{5} = \textcolor{#E0453A}{2{,}4}$ , a $\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \approx \tfrac{0{,}923}{0{,}385} \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}4}$ ✓
Kontrola przez porównanie z jedynką. Cosinus $\approx 0{,}38$ jest mniejszy od sinusa $\approx 0{,}92$ , więc kąt przekracza $45^\circ$ i tangens musi być większy od $1$ . Tylko odpowiedzi C i D to spełniają, a $\tfrac{13}{12} \approx 1{,}08$ jest za blisko jedynki dla kąta tak bliskiego $70^\circ$ .

💡 Wskazówka: Gdy sinus i cosinus mają wspólny mianownik, tangens jest ilorazem samych liczników — mianowniki się skracają. Przy trójce pitagorejskiej daje to wynik od razu, bez zapisywania ułamka piętrowego. Kontroluj wielkość: kąt większy od $45^\circ$ (czyli sinus większy od cosinusa) ma tangens większy od $1$ .

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór $\tfrac{5}{12}$ (odpowiedź A) — to cotangens. Tangens ma w liczniku sinus, więc licznik pochodzi od większej z dwóch liczb, gdy kąt przekracza $45^\circ$ . Drugi błąd: podanie samego sinusa, czyli $\tfrac{12}{13}$ (B) — poprawnie policzona wartość pośrednia, ale nie odpowiedź. Trzeci: $\tfrac{13}{12}$ (C), czyli odwrócony sinus, liczba bez sensu w tym rachunku.

Zadanie 12 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry oraz

\cos\alpha = \dfrac{24}{25}

. Tangens kąta

\alpha

jest równy

A. $\dfrac{7}{18}$
B. $\dfrac{7}{24}$
C. $\dfrac{7}{25}$
D. $\dfrac{18}{25}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — sinus. Trójka pitagorejska $\textcolor{#E0453A}{7}, \textcolor{#E0453A}{24}, \textcolor{#E0453A}{25}$ (bo $7^2 + 24^2 = \textcolor{#E0453A}{49} + \textcolor{#E0453A}{576} = \textcolor{#E0453A}{625} = 25^2$ ):
$\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{25}}$
Gdyby jej nie pamiętać: $\sin^2\alpha = 1 - \tfrac{576}{625} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{49}{625}}$ , więc $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{7}{25}}$ .
Krok 2 — tangens jako iloraz liczników (wspólny mianownik $\textcolor{#E0453A}{25}$ się skraca):
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{7}}{\textcolor{#16A06A}{24}}$
Odpowiedź: $\tfrac{7}{24}$ , czyli B.
Kontrola liczbowa: $\cos\alpha = 0{,}96$ , $\sin\alpha = 0{,}28$ , więc $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{0{,}28}{0{,}96} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}2917}$ , a $\tfrac{7}{24} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}2917}$ ✓
Kontrola wielkości. Cosinus jest bliski jedynki, więc kąt jest mały ( $\approx \textcolor{#E0453A}{16{,}3^\circ}$ ), a tangens małego kąta jest bliski zera. Wszystkie odpowiedzi są małe, więc to nie rozstrzyga — ale odrzuca ewentualną pomyłkę w odwróceniu ułamka, bo $\tfrac{24}{7} \approx 3{,}4$ byłoby o rząd za duże.
Skąd dystraktory. $\tfrac{7}{25}$ (C) to sam sinus, czyli wynik pierwszego kroku. $\tfrac{18}{25}$ (D) i $\tfrac{7}{18}$ (A) zawierają liczbę $18$ , której w tym zadaniu nigdzie nie ma — pochodzi z błędnego $25 - 7 = 18$ , czyli odejmowania liczników zamiast pracy na kwadratach.

💡 Wskazówka: Trójka $\left(7, 24, 25\right)$ jest rzadsza niż $\left(3,4,5\right)$ i $\left(5,12,13\right)$ , ale na maturze wraca — warto ją dopisać do pamięci. Bez niej trzeba policzyć $625 - 576 = 49$ , co jest wykonalne, ale niewygodne pod presją. Sprawdzenie trójki zajmuje sekundę: $7^2 + 24^2$ musi dać $25^2$ .

⚠ Odejmowanie liczników zamiast kwadratów: $25 - 7 = 18$ i stąd liczba $18$ w dwóch dystraktorach. Jedynka trygonometryczna działa na kwadratach, więc odejmujemy $\tfrac{576}{625}$ , a nie $\tfrac{24}{25}$ . Drugi błąd: podanie samego sinusa $\tfrac{7}{25}$ (odpowiedź C) — najczęstsza pomyłka w zadaniach o tangens, bo sinus jest ostatnią policzoną wartością i łatwo ją wpisać jako odpowiedź.

Zadanie 13 (grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

Kąt

\alpha

jest ostry oraz

\sin\alpha = \dfrac{\sqrt5}{3}

. Tangens kąta

\alpha

jest równy

A. $\dfrac{\sqrt5}{2}$
B. $\dfrac{2}{3}$
C. $\dfrac{2\sqrt5}{5}$
D. $\dfrac{3\sqrt5}{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — cosinus. Podnosimy daną do kwadratu; pierwiastek znika:
$\sin^2\alpha = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt5}{3}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{9}}$
$\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac49} \qquad \Longrightarrow \qquad \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}$
Cosinus wyszedł wymierny, choć sinus był niewymierny — to typowe, gdy pod pierwiastkiem danej stoi liczba dopełniająca do kwadratu.
Krok 2 — tangens. Wspólny mianownik $\textcolor{#E0453A}{3}$ się skraca, więc dzielimy same liczniki:
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt5}}{\textcolor{#E0453A}{2}}$
Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt5}{2}$ , czyli A.
Kontrola liczbowa: $\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}745}$ , $\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}667}$ , więc $\operatorname{tg}\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}118}$ , a $\tfrac{\sqrt5}{2} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}118}$ ✓
Kontrola przez porównanie. Sinus $\approx 0{,}745$ jest większy od cosinusa $\approx 0{,}667$ , więc kąt przekracza $45^\circ$ i tangens musi być większy od $1$ . Sprawdźmy pozostałe: $\tfrac23 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}67}$ , $\tfrac{2\sqrt5}{5} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}89}$ , $\tfrac{3\sqrt5}{5} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}34}$ .
Tylko A i D przekraczają jedynkę — a $1{,}34$ to za dużo dla kąta $\approx 48^\circ$ . Zostaje A.
Zwróć uwagę, że $\tfrac{\sqrt5}{2}$ nie wymaga usuwania niewymierności, bo pierwiastek jest w liczniku. Odpowiedzi C i D mają pierwiastek w liczniku i mianownik $5$ — to postacie po usunięciu niewymierności z czegoś innego, czyli fałszywe tropy.

💡 Wskazówka: Nie usuwaj niewymierności odruchowo. Pierwiastek w liczniku jest w porządku i tak wygląda poprawna odpowiedź; usuwanie dotyczy tylko pierwiastka w mianowniku. Warto też sprawdzić, czy dana nie jest tak dobrana, że cosinus wyjdzie wymierny — pod pierwiastkiem $5$ przy mianowniku $3$ daje $9 - 5 = 4$ , czyli kwadrat.

⚠ Podanie samego cosinusa, czyli $\tfrac23$ (odpowiedź B) — poprawnie policzona wartość pośrednia. Drugi błąd: odwrócenie tangensa i wyjście na $\tfrac{2}{\sqrt5}$ , a po usunięciu niewymierności $\tfrac{2\sqrt5}{5}$ , czyli odpowiedź C. To cotangens i kontrola przez porównanie z jedynką go wykrywa: kąt przekracza $45^\circ$ , więc tangens jest większy od $1$ , a $0{,}89$ nie jest. Trzeci błąd: pomnożenie zamiast podzielenia i wybór D.

Zadanie 14 (czerwiec 2017)1 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{12}{5}

. Wówczas

\sin\alpha

jest równy

A. $\dfrac{5}{17}$
B. $\dfrac{12}{17}$
C. $\dfrac{5}{13}$
D. $\dfrac{12}{13}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kierunek odwrotny niż dotąd: dany jest tangens, a szukamy sinusa. Najwygodniejszy jest wtedy trójkąt z tangensa.
Tangens to „przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie”, więc z $\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac{12}{5}}$ bierzemy przyprostokątne $\textcolor{#16A06A}{12}$ i $\textcolor{#16A06A}{5}$ .
Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:
$r = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{144} + \textcolor{#E0453A}{25}} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{169}} = \textcolor{#E0453A}{13}$
Sinus to „naprzeciw przez przeciwprostokątną”:
$\sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{13}}$
Odpowiedź: $\tfrac{12}{13}$ , czyli D.
To znowu trójka $\textcolor{#E0453A}{5}, \textcolor{#E0453A}{12}, \textcolor{#E0453A}{13}$ — jeśli się ją pamięta, przeciwprostokątnej nie trzeba liczyć.
Kontrola: $\sin\alpha = \tfrac{12}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}923}$ , $\cos\alpha = \tfrac{5}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}385}$ , iloraz $\approx \textcolor{#E0453A}{2{,}4} = \tfrac{12}{5}$ ✓
Kontrola wielkości. Tangens $2{,}4$ jest znacznie większy od $1$ , więc kąt jest duży (bliski $70^\circ$ ) i sinus musi być bliski jedynki. Tylko odpowiedzi B i D przekraczają $\tfrac12$ , a $\tfrac{12}{17} \approx 0{,}71$ jest za małe.
Skąd siedemnastki w dystraktorach. $17 = \textcolor{#E0453A}{12} + \textcolor{#E0453A}{5}$ , czyli suma przyprostokątnych — a przeciwprostokątna jest pierwiastkiem z sumy kwadratów, nie sumą. Dwa dystraktory opierają się na tym jednym błędzie.

💡 Wskazówka: Przy danym tangensie $\tfrac{p}{q}$ narysuj w myślach trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $p$ (naprzeciw kąta) i $q$ (przy kącie). Przeciwprostokątna to $\sqrt{p^2+q^2}$ , a stąd $\sin\alpha = \tfrac{p}{r}$ i $\cos\alpha = \tfrac{q}{r}$ . Ta jedna konstrukcja rozwiązuje wszystkie zadania „dany tangens, policz sinus albo cosinus” bez sięgania po wzory.

⚠ Dodanie przyprostokątnych zamiast pierwiastkowania sumy kwadratów: $12 + 5 = 17$ zamiast $\sqrt{144+25} = 13$ . Stąd oba dystraktory z mianownikiem $17$ . Twierdzenie Pitagorasa dotyczy kwadratów, więc przeciwprostokątna jest zawsze mniejsza od sumy przyprostokątnych. Drugi błąd: podanie $\tfrac{5}{13}$ (odpowiedź C), czyli cosinusa zamiast sinusa — przy tangensie większym od $1$ sinus jest większy z dwóch wartości, i to rozstrzyga.

Zadanie 15 (maj 2016)1 pkttrudniejsze

Kąt

\alpha

jest ostry i

\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{3}

. Wtedy

A. $\sin\alpha = \dfrac{3\sqrt{13}}{26}$
B. $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{13}}{13}$
C. $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
D. $\sin\alpha = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trójkąt z tangensa: przyprostokątne $\textcolor{#16A06A}{2}$ (naprzeciw) i $\textcolor{#16A06A}{3}$ (przy kącie).
$r = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}$
$\sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}}$
Usuwamy niewymierność z mianownika:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt{13}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{2\sqrt{13}}{\textcolor{#E0453A}{13}}$
Odpowiedź: $\tfrac{2\sqrt{13}}{13}$ , czyli C.
Kontrola liczbowa: $\tfrac{2\sqrt{13}}{13} \approx \tfrac{7{,}211}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}5547}$ . Cosinus: $\tfrac{3}{\sqrt{13}} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8321}$ . Iloraz $\approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6667} = \tfrac23$ ✓
Kontrola wielkości. Tangens $\tfrac23 < 1$ , więc kąt jest mniejszy od $45^\circ$ , a wtedy sinus jest mniejszy od cosinusa i mniejszy od $\tfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707$ .
Sprawdźmy odpowiedzi: $\tfrac{3\sqrt{13}}{26} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}416}$ , $\tfrac{\sqrt{13}}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}277}$ , $\tfrac{2\sqrt{13}}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}555}$ , $\tfrac{3\sqrt{13}}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}832}$ .
Ostatnia przekracza $0{,}707$ , więc odpada. Zostają trzy — a rozstrzyga rachunek, bo dystraktory są tu dobrane blisko poprawnej wartości.
Odpowiedź D to cosinus ( $\tfrac{3}{\sqrt{13}}$ po usunięciu niewymierności), a B to $\tfrac{1}{\sqrt{13}}$ , czyli sinus bez dwójki z licznika.

💡 Wskazówka: Kolejność działań przy danym tangensie: najpierw przeciwprostokątna, potem ułamek, na końcu usuwanie niewymierności. Odwrócenie tej kolejności prowadzi do plątaniny pierwiastków. Zapamiętaj też wzorzec: przy $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{p}{q}$ i przeciwprostokątnej $\sqrt{p^2+q^2}$ mianownik odpowiedzi jest równy $p^2+q^2$ , tu $13$ — odpowiedź z mianownikiem $26$ jest więc podejrzana.

⚠ Wybór D, czyli cosinusa — przy tangensie mniejszym od $1$ sinus jest mniejszą z dwóch wartości, więc licznik bierze się od przyprostokątnej naprzeciw kąta, czyli od $2$ , a nie od $3$ . Drugi błąd: odpowiedź A z mianownikiem $26$ ; powstaje z pomnożenia mianownika przez $\sqrt{13}$ dwa razy albo z pomylenia $\sqrt{13}\cdot\sqrt{13} = 13$ z $26$ . Trzeci: zgubienie dwójki z licznika i wybór B.

Zadanie 16 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Kąt o mierze

\alpha

jest ostry i

\operatorname{tg}\alpha = \sqrt5

. Wtedy

A. $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{6}$
B. $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{5}$
C. $\cos^2\alpha = \dfrac{\sqrt5}{5}$
D. $\cos^2\alpha = \dfrac{5}{6}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pytanie dotyczy kwadratu cosinusa, a dany jest tangens — to sytuacja, w której najkrótsza jest droga przez wzór wiążący te dwie rzeczy wprost.
Wyprowadzenie wzoru. Dzielimy jedynkę trygonometryczną przez $\cos^2\alpha$ :
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \qquad \Longrightarrow \qquad \operatorname{tg}^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
Podstawiamy daną:
$\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt5}\right)^2 + 1 = \textcolor{#E0453A}{5} + 1 = \textcolor{#E0453A}{6} \qquad \Longrightarrow \qquad \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \textcolor{#E0453A}{6}$
$\cos^2\alpha = \dfrac{1}{6}$
Odpowiedź: $\tfrac16$ , czyli A.
Droga przez trójkąt, gdyby ktoś nie pamiętał wzoru. Tangens $\sqrt5 = \tfrac{\sqrt5}{1}$ , więc przyprostokątne to $\textcolor{#E0453A}{\sqrt5}$ i $\textcolor{#E0453A}{1}$ , a przeciwprostokątna $r = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{1}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt6}$ .
$\cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt6}} \qquad \Longrightarrow \qquad \cos^2\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{6}}$ ✓ ten sam wynik
Kontrola liczbowa: $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt5 \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}236}$ , więc $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{65{,}9^\circ}$ i $\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}408}$ ; kwadrat $\approx \textcolor{#E0453A}{0{,}1667} = \tfrac16$ ✓
Uwaga na odpowiedź C. Jest jedyną, która nie może być kwadratem żadnego cosinusa w postaci ułamka o wymiernych składnikach — $\tfrac{\sqrt5}{5}$ jest niewymierna, a $\cos^2\alpha$ przy wymiernym $\operatorname{tg}^2\alpha$ zawsze wychodzi wymierny. To dobry sygnał ostrzegawczy.

💡 Wskazówka: Warto znać wzór $\operatorname{tg}^2\alpha + 1 = \tfrac{1}{\cos^2\alpha}$ — powstaje z podzielenia jedynki trygonometrycznej przez $\cos^2\alpha$ i zamienia zadanie w jedno podstawienie. Jeśli go nie pamiętasz, trójkąt z tangensa daje ten sam wynik: przy $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt5$ przyprostokątne to $\sqrt5$ i $1$ , a przeciwprostokątna $\sqrt6$ .

⚠ Wybór $\tfrac15$ (odpowiedź B), czyli $\tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}$ bez dodania jedynki. Wzór ma po lewej stronie $\operatorname{tg}^2\alpha + 1$ , a nie sam $\operatorname{tg}^2\alpha$ — pominięcie jedynki jest najczęstszą pomyłką przy tym wzorze. Drugi błąd: wybór $\tfrac56$ (D), czyli $\sin^2\alpha$ ; to poprawnie policzona wielkość, ale pytanie dotyczy cosinusa. Warto sprawdzić, czy suma odpowiedzi A i D daje $1$ — daje, i to potwierdza, że jedna z nich jest sinusem, a druga cosinusem.

Zadanie 17 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Kąt

\alpha

jest ostry i

\sin\alpha = \dfrac{1}{4}

. Wówczas

A. $\cos\alpha < \dfrac{3}{4}$
B. $\cos\alpha = \dfrac{3}{4}$
C. $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{13}}{4}$
D. $\cos\alpha > \dfrac{\sqrt{13}}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Jedyne zadanie w tej grupie, w którym odpowiedzią jest nierówność — trzeba więc nie tylko policzyć cosinus, ale i porównać go z dwiema liczbami.
Krok 1 — cosinus.
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac14}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{15}{16}} \qquad \Longrightarrow \qquad \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt{15}}{4}}$
Krok 2 — sprawdzamy odpowiedzi po kolei. Wszystkie mają mianownik $4$ , więc wystarczy porównać liczniki: nasz to $\textcolor{#E0453A}{\sqrt{15}}$ .
A: czy $\textcolor{#E0453A}{\sqrt{15}} < 3$ ? Podnosimy do kwadratu: $\textcolor{#E0453A}{15} < \textcolor{#E0453A}{9}$ — fałsz.
B: czy $\textcolor{#E0453A}{\sqrt{15}} = 3$ ? To znaczyłoby $\textcolor{#E0453A}{15} = \textcolor{#E0453A}{9}$ — fałsz.
C: czy $\textcolor{#E0453A}{\sqrt{15}} = \sqrt{13}$ ? Wtedy $\textcolor{#E0453A}{15} = \textcolor{#E0453A}{13}$ — fałsz.
D: czy $\textcolor{#E0453A}{\sqrt{15}} > \sqrt{13}$ ? Podnosimy: $\textcolor{#E0453A}{15} > \textcolor{#E0453A}{13}$ — prawda ✓
Odpowiedź: D.
Kontrola liczbowa: $\cos\alpha = \tfrac{\sqrt{15}}{4} \approx \tfrac{3{,}873}{4} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}968}$ , a $\tfrac{\sqrt{13}}{4} \approx \tfrac{3{,}606}{4} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}901}$ — faktycznie $0{,}968 > 0{,}901$ ✓ Sprawdźmy też A: $\tfrac34 = 0{,}75$ , a $0{,}968 > 0{,}75$ , więc A jest fałszem ✓
Dlaczego to zadanie jest trudniejsze, niż wygląda. Trzy odpowiedzi zawierają liczby bardzo bliskie prawdzie: $\sqrt{13}$ różni się od $\sqrt{15}$ o niecałe $0{,}3$ , a $3 = \sqrt9$ jest jedyną „okrągłą” liczbą w zestawie. Bez porównania kwadratów łatwo się pomylić na oko.

💡 Wskazówka: Pierwiastki porównuj przez podniesienie do kwadratu, a nie przez przybliżenia dziesiętne. Skoro wszystkie odpowiedzi mają ten sam mianownik, wystarczy porównać liczniki: $\sqrt{15}$ z $3$ i z $\sqrt{13}$ , czyli $15$ z $9$ i z $13$ . To rachunek na liczbach całkowitych, w którym nie ma jak się pomylić.

⚠ Wybór C, czyli $\tfrac{\sqrt{13}}{4}$ — powstaje z błędnego $1 - \tfrac{3}{16} = \tfrac{13}{16}$ , czyli z podniesienia do kwadratu tylko mianownika albo z pomylenia $\left(\tfrac14\right)^2 = \tfrac{1}{16}$ z $\tfrac{3}{16}$ . Drugi błąd: wybór A przez odruch „sinus mały, więc cosinus też jakiś mały” — jest odwrotnie: mały sinus oznacza cosinus bliski jedynki, czyli wyraźnie większy od $\tfrac34$ . Trzeci: porównywanie pierwiastków na oko, bez kwadratowania.

Zadania otwarte

Zadanie 18 (maj 2010)2 pktłatwe

Kąt

\alpha

jest ostry i

\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{5}{12}

. Oblicz

\cos\alpha

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$

W zadaniu otwartym trzeba pokazać drogę, więc zapisujemy trójkąt jawnie, a nie tylko przywołujemy trójkę pitagorejską z pamięci.
Trójkąt z tangensa. Skoro $\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac{5}{12}}$ , to w trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$ ma długość $\textcolor{#16A06A}{5}$ , a przy kącie $\textcolor{#16A06A}{12}$ .
Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:
$r = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{12}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{25} + \textcolor{#E0453A}{144}} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{169}} = \textcolor{#E0453A}{13}$
Cosinus to przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną:
$\cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{13}}$
Odpowiedź: $\cos\alpha = \tfrac{12}{13}$ .
Sprawdzenie jedynką: $\sin\alpha = \tfrac{5}{13}$ , więc $\left(\tfrac{5}{13}\right)^2 + \left(\tfrac{12}{13}\right)^2 = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{169}} + \tfrac{\textcolor{#E0453A}{144}}{\textcolor{#E0453A}{169}} = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{169}}{\textcolor{#E0453A}{169}} = 1$ ✓
Sprawdzenie tangensa: $\tfrac{5/13}{12/13} = \tfrac{5}{12}$ ✓ — piętnastki się skracają.
Kontrola wielkości. Tangens $\tfrac{5}{12} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}42}$ jest mniejszy od $1$ , więc kąt jest mniejszy od $45^\circ$ , a wtedy cosinus jest większy od $\tfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}71$ . Wynik $\tfrac{12}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}92}$ to potwierdza.

💡 Wskazówka: W zadaniu otwartym za dwa punkty trzeba pokazać skąd wzięła się przeciwprostokątna — samo napisanie „z trójki $5,12,13$ mamy $\cos\alpha=\tfrac{12}{13}$ ” może nie wystarczyć. Zapisz twierdzenie Pitagorasa i zaznacz, która przyprostokątna leży przy kącie. Alternatywna droga: $\cos^2\alpha = \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$ , czyli $\tfrac{1}{1+\frac{25}{144}} = \tfrac{144}{169}$ .

⚠ Pomylenie, która przyprostokątna leży przy kącie: cosinus bierze tę przy kącie, czyli $12$ , a nie tę naprzeciw. Przy odwrotnym przypisaniu wychodzi $\tfrac{5}{13}$ , czyli sinus. Kontrola wielkości to wykrywa: tangens mniejszy od $1$ oznacza kąt mniejszy od $45^\circ$ , a wtedy cosinus jest większy od sinusa. Drugi błąd: dodanie przyprostokątnych zamiast pierwiastkowania sumy kwadratów, czyli $5+12=17$ zamiast $13$ .

Zadanie 19 (listopad 2009)2 pktłatwe

Kąt

\alpha

jest ostry i

\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}

. Oblicz

\sin\alpha + \cos\alpha

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{7}{5} = 1\dfrac{2}{5}$

Trójkąt z tangensa: przyprostokątne $\textcolor{#16A06A}{4}$ (naprzeciw kąta) i $\textcolor{#16A06A}{3}$ (przy kącie).
$r = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{16} + \textcolor{#E0453A}{9}} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{5}$
Obie funkcje odczytujemy z tego samego trójkąta:
$\sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{5}}, \qquad \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{5}}$
Dodajemy — mianowniki są te same:
$\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{5}} = \dfrac{7}{5} = 1\dfrac{2}{5}$
Odpowiedź: $\sin\alpha + \cos\alpha = \tfrac75$ .
Sprawdzenie jedynką: $\left(\tfrac45\right)^2 + \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{25}} + \tfrac{\textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = 1$ ✓
Kontrola zakresu. Dla kąta ostrego suma $\sin\alpha + \cos\alpha$ zawsze leży między $1$ i $\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}41}$ — wynik $\tfrac75 = \textcolor{#E0453A}{1{,}4}$ mieści się w tym przedziale, i to bardzo blisko górnej granicy.
Nie przypadkiem: górna granica przypada na $45^\circ$ , a tangens $\tfrac43 \approx 1{,}33$ daje kąt $\approx \textcolor{#E0453A}{53{,}13^\circ}$ , czyli niedaleko od $45^\circ$ .

💡 Wskazówka: Gdy z jednego trójkąta odczytujesz obie funkcje, mają one ten sam mianownik — przeciwprostokątną. Dodawanie sprowadza się wtedy do dodania liczników. Warto to zauważyć, bo bez tego łatwo zacząć szukać wspólnego mianownika, którego nie trzeba szukać. Kontrola na koniec: suma sinusa i cosinusa kąta ostrego zawsze mieści się między $1$ i $\sqrt2$ .

⚠ Podanie $\tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{12}{25}$ , czyli iloczynu zamiast sumy — pytanie dotyczy sumy. Drugi błąd: dodanie licznika do licznika i mianownika do mianownika, czyli $\tfrac{4+3}{5+5} = \tfrac{7}{10}$ ; ułamki o tym samym mianowniku dodaje się przez dodanie samych liczników. Kontrola zakresu to wykrywa: $\tfrac{7}{10} = 0{,}7$ jest mniejsze od $1$ , a suma sinusa i cosinusa kąta ostrego mniejsza od jedynki być nie może.

Zadanie 20 (maj 2022)2 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\operatorname{tg}\alpha = 2

. Oblicz wartość wyrażenia

\sin^2\alpha

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\sin^2\alpha = \dfrac{4}{5}$

Pytanie dotyczy kwadratu sinusa, więc pierwiastkowanie będzie zbędne — i to skraca całą drogę.
Droga przez wzór. Dzieląc jedynkę trygonometryczną przez $\cos^2\alpha$ , dostajemy $\operatorname{tg}^2\alpha + 1 = \tfrac{1}{\cos^2\alpha}$ :
$\textcolor{#16A06A}{2}^2 + 1 = \textcolor{#E0453A}{5} \qquad \Longrightarrow \qquad \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \textcolor{#E0453A}{5} \qquad \Longrightarrow \qquad \cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac15}$
$\sin^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac15} = \dfrac{4}{5}$
Droga przez trójkąt, gdyby ktoś nie pamiętał wzoru. Z $\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{2} = \tfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{1}}$ przyprostokątne to $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{1}$ , więc
$r = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{1}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt5}, \qquad \sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt5}} \qquad \Longrightarrow \qquad \sin^2\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{5}}$ ✓
Odpowiedź: $\sin^2\alpha = \tfrac45$ .
Druga droga jest tu nawet wygodniejsza: kwadrat sinusa to $\tfrac{2^2}{r^2}$ , a $r^2 = 5$ bez pierwiastkowania — pierwiastek pojawia się tylko wtedy, gdy ktoś chce samego sinusa, a nie jego kwadratu.
Kontrola liczbowa: $\operatorname{tg}\alpha = 2$ oznacza $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{63{,}43^\circ}$ , gdzie $\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}894}$ , a $0{,}894^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}800} = \tfrac45$ ✓
Kontrola jedynką: $\tfrac45 + \tfrac15 = 1$ ✓

💡 Wskazówka: Przy pytaniu o kwadrat funkcji nigdy nie wyciągaj pierwiastka. W trójkącie z tangensa wystarczy $r^2 = p^2 + q^2$ — tu $r^2 = 5$ — i kwadrat sinusa to po prostu $\tfrac{p^2}{r^2}$ . Ta obserwacja usuwa z zadania wszystkie niewymierności.

⚠ Policzenie $\sin\alpha = \tfrac{2}{\sqrt5}$ , usunięcie niewymierności do $\tfrac{2\sqrt5}{5}$ , a potem podniesienie tego do kwadratu — droga poprawna, ale przez trzy zbędne kroki i z ryzykiem pomyłki w pierwiastku. Drugi błąd: pominięcie jedynki we wzorze i przyjęcie $\tfrac{1}{\cos^2\alpha} = 4$ , skąd $\sin^2\alpha = \tfrac34$ ; wzór ma po lewej stronie $\operatorname{tg}^2\alpha + 1$ , a nie sam $\operatorname{tg}^2\alpha$ .

Zadanie 21 (sierpień 2011)2 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\sin\alpha = \dfrac{1}{4}

. Oblicz

3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha = 3\dfrac{2}{15} = \dfrac{47}{15}$

Znowu pytanie o kwadrat tangensa, więc obejdziemy się bez pierwiastków.
Krok 1 — kwadrat cosinusa z jedynki:
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac14}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{15}{16}}$
Krok 2 — kwadrat tangensa jako iloraz kwadratów:
$\operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1/16}}{\textcolor{#E0453A}{15/16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{15}}$
(szesnastki się skracają — dlatego warto zostawić oba ułamki w tej postaci)
Krok 3 — podstawiamy do wyrażenia:
$3 + \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{15}} = 3 + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{15}} = 3\dfrac{2}{15} = \dfrac{47}{15}$
Odpowiedź: $3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha = 3\tfrac{2}{15}$ .
Kontrola liczbowa: $\sin\alpha = 0{,}25$ daje $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{14{,}48^\circ}$ , gdzie $\operatorname{tg}\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}2582}$ .
$3 + 2 \cdot 0{,}2582^2 \approx 3 + \textcolor{#E0453A}{0{,}1333} = \textcolor{#E0453A}{3{,}1333}$ , a $\tfrac{47}{15} \approx \textcolor{#E0453A}{3{,}1333}$ ✓
Kontrola sensowności. Sinus jest mały, więc kąt jest mały, a tangens małego kąta jest bliski zera — jego kwadrat jest więc bardzo mały i wyrażenie musi być tylko trochę większe od $3$ . Gdyby wyszło na przykład $5$ , gdzieś jest błąd.

💡 Wskazówka: Licząc $\operatorname{tg}^2\alpha$ jako iloraz $\tfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$ , zostaw oba ułamki z tym samym mianownikiem — wtedy mianowniki się skracają i zostaje sam iloraz liczników. Tu $\tfrac{1/16}{15/16} = \tfrac{1}{15}$ w jednym kroku. Rozpisywanie tego na dziesiętne albo osobne pierwiastkowanie sinusa i cosinusa tylko wydłuża drogę.

⚠ Pomylenie $\operatorname{tg}^2\alpha$ z $\tfrac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$ albo z $\left(\tfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right)$ — kwadrat dotyczy całego ilorazu, więc do kwadratu idą i licznik, i mianownik. Drugi błąd: policzenie $\cos^2\alpha = 1 - \tfrac14 = \tfrac34$ , czyli odjęcie sinusa zamiast jego kwadratu; wtedy $\operatorname{tg}^2\alpha = \tfrac{1/16}{3/4} = \tfrac{1}{12}$ i wynik wychodzi $3\tfrac16$ — liczba bardzo bliska poprawnej, więc taki błąd trudno wychwycić bez kontroli jedynką.

Zadanie 22 (maj 2013)2 pktśrednie

Kąt

\alpha

jest ostry i

\sin\alpha = \dfrac{\sqrt3}{2}

. Oblicz wartość wyrażenia

\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha = 0$

$\sin^2\alpha = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{2}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{4}}$
(kwadrat pierwiastka z trójki to $\textcolor{#E0453A}{3}$ — pierwiastek znika)
$\cos^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac34} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14}$
Podstawiamy do wyrażenia:
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac34} - \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac14} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac34} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac34} = 0$
Odpowiedź: $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha = 0$ .
Wynik zero nie jest przypadkiem. Dana $\tfrac{\sqrt3}{2}$ to sinus kąta $\textcolor{#E0453A}{60^\circ}$ , gdzie $\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$ . Wtedy $\sin^2\alpha = \tfrac34$ jest dokładnie trzy razy większe od $\cos^2\alpha = \tfrac14$ — i właśnie dlatego w treści stoi współczynnik $3$ .
Można to zapisać ogólniej: wyrażenie $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha$ zeruje się wtedy, gdy $\operatorname{tg}^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{3}$ , czyli dla $\alpha = \textcolor{#E0453A}{60^\circ}$ . Autor zadania dobrał daną tak, żeby trafić dokładnie w to miejsce.
Kontrola liczbowa: $\sin 60^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8660}$ , $\cos 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{0{,}5}$ .
$0{,}8660^2 - 3 \cdot 0{,}5^2 = \textcolor{#E0453A}{0{,}75} - \textcolor{#E0453A}{0{,}75} = 0$ ✓

💡 Wskazówka: Zero jest poprawnym wynikiem i nie oznacza pomyłki — warto o tym pamiętać, bo odruch podpowiada, że gdzieś zniknęła liczba. Kontrola jest tu łatwa: sprawdź, czy $\sin^2\alpha$ jest naprawdę trzykrotnością $\cos^2\alpha$ . Jeśli tak, oba składniki się znoszą i wynik musi być zerem.

⚠ Potraktowanie $\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2$ jako $\tfrac{\sqrt3}{4}$ — kwadrat pierwiastka usuwa pierwiastek, więc licznik daje $3$ . Drugi błąd: pomnożenie przez trójkę przed podniesieniem cosinusa do kwadratu, czyli policzenie $\left(3\cos\alpha\right)^2 = 9\cos^2\alpha = \tfrac94$ ; w treści trójka mnoży kwadrat, a nie sam cosinus, więc kolejność działań stawia potęgowanie przed mnożeniem. Przy tym błędzie wychodzi $\tfrac34 - \tfrac94 = -\tfrac32$ .

Zadanie 23 (czerwiec 2013)2 pkttrudniejsze

Kąt

\alpha

jest ostry i

\cos\alpha = \dfrac{\sqrt7}{4}

. Oblicz wartość wyrażenia

2 + \sin^3\alpha + \sin\alpha \cdot \cos^2\alpha

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $2 + \sin^3\alpha + \sin\alpha\cos^2\alpha = 2\dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4}$

Najpierw uprość wyrażenie, a dopiero potem licz. Dwa ostatnie składniki mają wspólny czynnik $\sin\alpha$ :
$\sin^3\alpha + \sin\alpha\cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}\left(\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}\right) = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}$
W nawiasie stanęła jedynka trygonometryczna — całe wyrażenie redukuje się do
$2 + \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}$
Teraz wystarczy sam sinus:
$\sin^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt7}{4}}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{7}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{9}{16}} \qquad \Longrightarrow \qquad \sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac34}$
(dodatni, bo kąt jest ostry; $\sqrt9 = \textcolor{#E0453A}{3}$ i $\sqrt{16} = \textcolor{#E0453A}{4}$ )
$2 + \textcolor{#E0453A}{\dfrac34} = 2\dfrac34 = \dfrac{11}{4}$
Odpowiedź: $2\tfrac34$ .
Dlaczego upraszczanie na początku tak bardzo się opłaca. Bez niego trzeba policzyć $\sin^3\alpha = \left(\tfrac34\right)^3 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{27}{64}}$ oraz $\sin\alpha\cos^2\alpha = \tfrac34 \cdot \tfrac{7}{16} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{21}{64}}$ , a potem dodać: $\tfrac{27}{64} + \tfrac{21}{64} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{48}{64}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac34}$ ✓
Ten sam wynik, ale przez trzy ułamki o mianowniku $64$ — czyli trzy okazje do pomyłki zamiast żadnej.
Kontrola liczbowa: $\cos\alpha = \tfrac{\sqrt7}{4} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6614}$ , $\sin\alpha = 0{,}75$ ; suma kwadratów $\textcolor{#E0453A}{0{,}4375} + \textcolor{#E0453A}{0{,}5625} = 1$ ✓ Wyrażenie: $2 + 0{,}75 = \textcolor{#E0453A}{2{,}75}$ ✓

💡 Wskazówka: Zawsze przejrzyj wyrażenie przed podstawieniem liczb — szukaj wspólnego czynnika. Jeśli po jego wyciągnięciu w nawiasie zostaje $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ , cały nawias zamienia się w jedynkę i zostaje tylko czynnik. Tutaj zamienia to zadanie z trzech ułamków o mianowniku $64$ w jedno proste dodawanie.

⚠ Wyciągnięcie przed nawias $\sin^2\alpha$ zamiast $\sin\alpha$ — wtedy w nawiasie zostaje $\sin\alpha + \tfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$ i nic się nie upraszcza. Wyciąga się najniższą występującą potęgę. Drugi błąd: pominięcie dwójki z treści i podanie $\tfrac34$ ; dwójka nie bierze udziału w upraszczaniu, ale zostaje w wyniku. Trzeci: spierwiastkowanie tylko licznika, czyli $\sin\alpha = \tfrac{3}{16}$ zamiast $\tfrac34$ .

Zadanie 24 (czerwiec 2014)2 pkttrudniejsze

Kąt

\alpha

jest ostry oraz

\cos\alpha = \dfrac{\sqrt3}{3}

. Oblicz wartość wyrażenia

\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} = \sqrt3$

Najtrudniejsze zadanie na tej stronie — dwa ułamki, oba z niewymiernościami, a wynik wychodzi zaskakująco prosty.
Krok 1 — sinus. Zauważmy najpierw, że $\textcolor{#16A06A}{\tfrac{\sqrt3}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{1}{\sqrt3}}$ , więc $\cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac13}$ :
$\sin^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23} \qquad \Longrightarrow \qquad \sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{\dfrac23}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt6}{3}}$
(bo $\sqrt{\tfrac23} = \tfrac{\sqrt2}{\sqrt3} = \tfrac{\sqrt2 \cdot \sqrt3}{3} = \tfrac{\sqrt6}{3}$ )
Krok 2 — pierwszy ułamek. Trójki się skracają:
$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt6/3}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3/3}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\sqrt6}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$
(bo $\tfrac{\sqrt6}{\sqrt3} = \sqrt{\tfrac63} = \sqrt2$ )
Krok 3 — drugi ułamek. Podstawiamy i usuwamy niewymierność z mianownika:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3/3}}{1 + \textcolor{#E0453A}{\sqrt6/3}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}}{\textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{\sqrt6}}$
(pomnożyliśmy licznik i mianownik przez $\textcolor{#E0453A}{3}$ )
Mnożymy przez wyrażenie sprzężone $\left(\textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#E0453A}{\sqrt6}\right)$ :
$= \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}\left(\textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#E0453A}{\sqrt6}\right)}{\left(\textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{\sqrt6}\right)\left(\textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#E0453A}{\sqrt6}\right)} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}}{\textcolor{#E0453A}{9} - \textcolor{#E0453A}{6}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}}{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$
(bo $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$ )
Krok 4 — dodajemy oba ułamki. Pierwiastki z dwójki się znoszą:
$\textcolor{#E0453A}{\sqrt2} + \left(\textcolor{#E0453A}{\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}\right) = \sqrt3$
Odpowiedź: $\sqrt3$ .
Kontrola liczbowa: $\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}5774}$ , więc $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{54{,}74^\circ}$ i $\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8165}$ .
Pierwszy ułamek: $\tfrac{0{,}8165}{0{,}5774} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4142}$ — czyli $\sqrt2$ ✓
Drugi: $\tfrac{0{,}5774}{1{,}8165} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}3178}$ , a $\sqrt3 - \sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}3178}$ ✓
Suma: $\approx \textcolor{#E0453A}{1{,}7321} = \sqrt3$ ✓
Warto zauważyć, jak zaprojektowane jest to zadanie. Pierwszy ułamek daje $\sqrt2$ , drugi $\sqrt3 - \sqrt2$ — składnik $\sqrt2$ pojawia się dwa razy z przeciwnymi znakami i znika. Dana $\tfrac{\sqrt3}{3}$ jest dobrana dokładnie tak, żeby to zadziałało.

💡 Wskazówka: Licz każdy ułamek osobno i do końca, a dopiero na końcu dodawaj. Próba wspólnego mianownika od razu prowadzi do wyrażenia z trzema pierwiastkami w jednym ułamku. Przy drugim ułamku pamiętaj o dwóch krokach: najpierw pozbądź się trójek z licznika i mianownika, a potem usuń niewymierność przez wyrażenie sprzężone — mianownik ma postać sumy, więc mnożymy przez różnicę.

⚠ Usuwanie niewymierności przez pomnożenie przez sam $\sqrt6$ zamiast przez sprzężenie $\left(3 - \sqrt6\right)$ — mianownik $3 + \sqrt6$ jest sumą, więc trzeba wzoru na różnicę kwadratów, a nie samego pierwiastka. Drugi błąd: policzenie $\sqrt{\tfrac23}$ jako $\tfrac{2}{3}$ albo $\tfrac{\sqrt2}{3}$ ; poprawnie $\sqrt{\tfrac23} = \tfrac{\sqrt6}{3}$ , bo pierwiastek dotyczy licznika i mianownika osobno. Trzeci: zatrzymanie się na pierwszym ułamku i podanie $\sqrt2$ — trzeba dodać drugi, a on wnosi brakujące $\sqrt3$ .

Zadanie 25 (informator CKE)2 pktśrednie

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość

2

4

, a jeden z kątów ostrych ma miarę

\alpha

. Oblicz

\sin\alpha \cdot \cos\alpha

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{2}{5}$

Tu nie ma podanej żadnej funkcji trygonometrycznej — jest trójkąt z wymiarami, więc funkcje odczytamy wprost z jego boków.
Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:
$r = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}^2 + \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{16}} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{20}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt5}$
(bo $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \textcolor{#E0453A}{2}\sqrt5$ )
Krok 2 — obie funkcje kąta $\alpha$ . Przy kącie $\alpha$ leży przyprostokątna $\textcolor{#16A06A}{4}$ , a naprzeciw $\textcolor{#16A06A}{2}$ :
$\sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{2\sqrt5}}, \qquad \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{2\sqrt5}}$
Krok 3 — mnożymy. Pierwiastki w mianowniku dają liczbę wymierną:
$\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{2\sqrt5} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt5}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{20}} = \dfrac{2}{5}$
Odpowiedź: $\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac25$ .
Nie trzeba było wybierać, który kąt ostry to $\alpha$ — i to jest sedno zadania. Gdyby $\alpha$ był drugim kątem ostrym, sinus i cosinus zamieniłyby się rolami, a iloczyn zostałby ten sam, bo mnożenie jest przemienne. Dlatego treść może mówić „jeden z kątów ostrych” bez wskazywania którego.
Kontrola liczbowa: $r = 2\sqrt5 \approx \textcolor{#E0453A}{4{,}472}$ , więc $\sin\alpha \approx \tfrac{2}{4{,}472} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4472}$ i $\cos\alpha \approx \tfrac{4}{4{,}472} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8944}$ .
Iloczyn: $0{,}4472 \cdot 0{,}8944 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4000} = \tfrac25$ ✓ Kontrola jedynką: $\textcolor{#E0453A}{0{,}2} + \textcolor{#E0453A}{0{,}8} = 1$ ✓
Skrót wart zapamiętania. Iloczyn $\sin\alpha\cos\alpha$ w trójkącie prostokątnym to zawsze $\tfrac{\text{iloczyn przyprostokątnych}}{r^2}$ , a $r^2$ z Pitagorasa to suma ich kwadratów. Tu $\tfrac{2 \cdot 4}{2^2+4^2} = \tfrac{8}{20} = \tfrac25$ — bez pierwiastkowania w ogóle.

💡 Wskazówka: Do iloczynu $\sin\alpha\cos\alpha$ nie trzeba znać przeciwprostokątnej, a tylko jej kwadrat — a ten daje twierdzenie Pitagorasa bez pierwiastka. Zapisz od razu $\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac{a \cdot b}{a^2+b^2}$ , gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne. Zwróć też uwagę, że nie musisz rozstrzygać, który kąt ostry jest tym z treści: iloczyn wychodzi taki sam dla obu.

⚠ Przyjęcie przeciwprostokątnej jako $2 + 4 = 6$ zamiast $\sqrt{20}$ — twierdzenie Pitagorasa dotyczy kwadratów, a przeciwprostokątna jest zawsze krótsza od sumy przyprostokątnych. Przy tym błędzie wychodzi $\tfrac{8}{36} = \tfrac29$ . Drugi błąd: policzenie $\left(2\sqrt5\right)^2$ jako $2 \cdot 5 = 10$ zamiast $4 \cdot 5 = 20$ ; do kwadratu podnosi się oba czynniki. Trzeci: zatrzymanie się na $\sin\alpha$ albo $\cos\alpha$ i podanie jednej funkcji zamiast iloczynu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. C	3. A	4. B	5. C	6. C
7. A	8. B	9. B	10. B	11. D	12. B
13. A	14. D	15. C	16. A	17. D	18. $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$
19. $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{7}{5} = 1\dfrac{2}{5}$	20. $\sin^2\alpha = \dfrac{4}{5}$	21. $3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha = 3\dfrac{2}{15} = \dfrac{47}{15}$	22. $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha = 0$	23. $2 + \sin^3\alpha + \sin\alpha\cos^2\alpha = 2\dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4}$	24. $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} = \sqrt3$
25. $\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{2}{5}$

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Czy tablice trygonometryczne są na maturze?

Tak. Karta „Wybrane wzory matematyczne” wydawana przez CKE zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych — to jej ostatni, siedemnasty dział, na stronie 34: kąty od $0°$ do $90°$ co jeden stopień, w kolumnach sinus, cosinus i tangens. Karta jest jedyną tablicą, jaką masz na egzaminie pod ręką; zasady dotyczące kalkulatora reguluje osobny komunikat CKE o przyborach.

Jak odczytać kąt, znając wartość funkcji?

Trzeba przeszukać odpowiednią kolumnę i znaleźć liczbę najbliższą danej, a potem odczytać kąt z lewej strony wiersza. Rzadko trafia się dokładnie, więc zwykle wybiera się wiersz najbliższy albo interpoluje.

Co zrobić, gdy kąt jest większy niż

90°

Trzeba go najpierw zredukować, bo tablica obejmuje tylko kąty ostre. Dla sinusa $\sin 130° = \sin 50°$ , a dla cosinusa dochodzi zmiana znaku: $\cos 130° = -\cos 50°$ .

Na czym polega interpolacja liniowa w tablicy?

Na przyjęciu, że między dwoma sąsiednimi wierszami funkcja zmienia się równomiernie. Dla $37{,}5°$ bierze się średnią z wartości dla $37°$ i $38°$ — wynik zgadza się wtedy zwykle do czwartego miejsca po przecinku.

Kiedy zostawić pierwiastek, a kiedy wpisać liczbę z tablicy?

Przy kątach $30°$ , $45°$ i $60°$ zostawia się postać dokładną z pierwiastkiem, bo ona istnieje. Wartości z tablicy używa się tylko dla kątów, dla których dokładnego zapisu nie ma — na przykład $37°$ czy $52°$ .

Dlaczego sinus i cosinus nigdy nie przekraczają jedynki, a tangens tak?

Bo sinus i cosinus to stosunki przyprostokątnej do przeciwprostokątnej, czyli boku krótszego do najdłuższego. Tangens dzieli dwie przyprostokątne przez siebie, więc żadne ograniczenie go nie obowiązuje.

Czytaj dalej

TrygonometriaDefinicje funkcji i wartości dla kątów szczególnych Wzory trygonometryczneRedukcja kąta przed odczytem z tablicy Twierdzenie sinusówTam wartości z tablicy wchodzą do proporcji Twierdzenie cosinusówDrugie zastosowanie odczytanych wartości Trójkąt 30-60-90Kąty, dla których tablica nie jest potrzebna

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.