Strona główna › Funkcje › Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalność odwrotna

Q: Jak odróżnić proporcjonalność wprost od odwrotnej?

Policz iloraz i iloczyn par danych. Stały iloraz oznacza proporcjonalność wprost, stały iloczyn — odwrotną. Jeśli żadna z tych liczb nie jest stała, zależność nie jest proporcjonalna.

Q: Dlaczego wykres składa się z dwóch części?

Bo zero nie należy do dziedziny, a to ono rozdziela argumenty ujemne od dodatnich. Gałęzie nie łączą się, ponieważ w miejscu połączenia funkcja nie jest określona.

Q: Czym są asymptoty tej funkcji?

To osie układu współrzędnych. Wykres zbliża się do nich dowolnie blisko — dla bardzo dużych argumentów wartości są bliskie zeru, a dla argumentów bliskich zera rosną nieograniczenie co do wartości bezwzględnej: z jednej strony zera w górę, z drugiej w dół.

Q: Czy współczynnik a może być zerem?

Nie, bo wtedy funkcja byłaby stale równa zeru i nie opisywałaby żadnej proporcjonalności. Zależność x · y = 0 nie mówi o wielkościach nic użytecznego.

Q: Jak szybko wyznaczyć a z wykresu?

Odczytać współrzędne dowolnego punktu leżącego na hiperboli i je pomnożyć. Iloczyn współrzędnych jest ten sam dla każdego punktu wykresu i równy właśnie a.

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały: im większa jedna, tym mniejsza druga, i to dokładnie w tym samym stosunku. Opisuje je funkcja $f(x) = \frac{a}{x}$ , a jej wykres — hiperbola — rozpada się na dwie osobne części. To nie usterka rysunku, tylko konsekwencja jednego wykluczonego argumentu: wykres rozdziela się wszędzie tam, gdzie któryś argument wypada z dziedziny.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Stały iloczyn zamiast stałego ilorazu

Wielkości wprost proporcjonalne mają stały iloraz: podwojenie jednej podwaja drugą. Wielkości odwrotnie proporcjonalne mają stały iloczyn: podwojenie jednej zmniejsza drugą o połowę.

x \cdot y = a \qquad \text{czyli} \qquad y = \frac{a}{x}

Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. Wyznacza się ją z jednej pary danych — wystarczy pomnożyć znane wartości obu wielkości.

	wprost proporcjonalne	odwrotnie proporcjonalne
co jest stałe	iloraz $\frac{y}{x}$	iloczyn $x \cdot y$
wzór	$y = ax$	$y = \frac{a}{x}$
wykres	prosta przez początek układu	hiperbola, dwie gałęzie
gdy $x$ rośnie dwukrotnie	$y$ rośnie dwukrotnie	$y$ maleje o połowę

Test praktyczny na rozpoznanie: pomnóż pary danych z tabeli. Jeśli wszystkie iloczyny są równe — proporcjonalność jest odwrotna. Jeśli równe są ilorazy — wprost. Jeśli ani jedno, ani drugie, wielkości nie są proporcjonalne w żadnym sensie i tabelę trzeba opisać inaczej.

Ogólne pojęcie proporcji i mnożenie na krzyż opisuję na stronie o proporcjach; tutaj chodzi o tę jedną zależność widzianą jako funkcja.

2Dziedzina, czyli dlaczego zera nie ma

Wzór $f(x) = \frac{a}{x}$ wymaga, żeby mianownik był różny od zera. Dziedziną jest więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera:

D = \mathbb{R} \setminus \{0\}

To wykluczenie ma sens także po stronie zjawiska, nie tylko wzoru. Jeśli $x$ oznacza liczbę pracowników, a $y$ czas wykonania pracy, to „zero pracowników” nie daje żadnego czasu — praca po prostu nie zostanie wykonana. Dziedzina wzoru i dziedzina sytuacji zgadzają się tu ze sobą.

Z wykluczenia zera bierze się cała reszta własności wykresu:

Hiperbola ma dwie gałęzie — jedną dla argumentów dodatnich, drugą dla ujemnych. Nie da się przejść z jednej na drugą, bo po drodze leżałoby zero.
Osie układu są asymptotami: wykres zbliża się do nich dowolnie blisko, ale nigdy ich nie dotyka.
Funkcja nie ma miejsc zerowych. Ułamek jest zerem tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, a licznik $a$ jest stałą różną od zera.

Znak $a$ decyduje, gdzie leżą gałęzie

$a > 0$ — gałęzie w pierwszej i trzeciej ćwiartce; obie wielkości mają ten sam znak.

$a < 0$ — gałęzie w drugiej i czwartej ćwiartce.

W zadaniach praktycznych prawie zawsze $a > 0$ i interesuje nas tylko gałąź w pierwszej ćwiartce, bo wielkości fizyczne są dodatnie.

3Monotoniczność — pułapka na całą klasę

Dla $a > 0$ funkcja maleje na każdej z gałęzi z osobna. Kusi więc, żeby napisać, że jest malejąca — i to jest błąd.

Funkcja $f(x) = \frac{a}{x}$ nie jest malejąca w całej dziedzinie. Weźmy $a = 12$ : dla $x = -3$ wartość wynosi $-4$ , a dla $x = 3$ wartość wynosi $4$ . Argument wzrósł, wartość też wzrosła — więc na przedziale obejmującym oba te punkty funkcja malejąca nie jest.

Poprawne sformułowanie brzmi: funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$ i malejąca w przedziale $(0, +\infty)$ , ale nie w sumie tych przedziałów. Przy odpowiedzi trzeba więc podać przedziały osobno, dokładnie tak jak przy każdym innym pytaniu o monotoniczność odczytywaną z wykresu.

Ta sama uwaga tłumaczy, dlaczego przy zadaniach praktycznych ograniczamy się do jednej gałęzi. Gdy $x$ jest liczbą pracowników albo prędkością, ujemne argumenty nie mają sensu — i wtedy „im więcej, tym krócej” jest opisem w pełni poprawnym.

4Zadania praktyczne — jeden iloczyn wystarczy

Schemat jest krótki i powtarza się we wszystkich zadaniach tego typu:

Sprawdź, czy zależność naprawdę jest odwrotnie proporcjonalna — czy „więcej jednego znaczy mniej drugiego w tym samym stosunku”.
Policz stały iloczyn $a$ z pary danych podanych w treści.
Podziel $a$ przez nową wartość jednej wielkości, żeby dostać drugą.

Punkt pierwszy bywa pomijany, a jest najważniejszy. Nie każda zależność „im więcej, tym mniej” jest odwrotną proporcjonalnością — bywa, że maleje liniowo, jak zapas paliwa przy stałym zużyciu. Odwrotna proporcjonalność wymaga stałego iloczynu, nie samego malenia.

Kontrola, która nic nie kosztuje

Po obliczeniu wyniku pomnóż nową parę wartości. Iloczyn musi wyjść taki sam jak dla danych z treści.

Jeśli wyszedł inny, gdzieś zamiast dzielenia pojawiło się mnożenie — to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

Druga kontrola jest jakościowa: sprawdź kierunek. Jeśli jednej wielkości przybyło, druga musi wyjść mniejsza.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: rozpoznanie z tabeli, klasyczne zadanie o czasie pracy, wyznaczanie współczynnika z punktu i zależność geometryczna.

Przykład 1 Rozpoznanie z tabeli

Czy wielkości z tabeli są odwrotnie proporcjonalne? $x$ : $2$ , $3$ , $6$ ; $y$ : $18$ , $12$ , $6$ .

Mnożę pary: $2 \cdot 18 = 36$ .
$3 \cdot 12 = 36$ .
$6 \cdot 6 = 36$ .
Wszystkie iloczyny są równe, więc wielkości są odwrotnie proporcjonalne o współczynniku $a = 36$ .
Kontrola drugą hipotezą: ilorazy $\frac{18}{2} = 9$ i $\frac{12}{3} = 4$ nie są równe, więc wprost proporcjonalne nie są ✓
Wzór zależności: $y = \frac{36}{x}$ .

Odpowiedź: Tak, $y = \frac{36}{x}$ .

Sprawdzenie obu hipotez naraz — iloczynów i ilorazów — zajmuje tyle samo czasu co jednej, a daje pewność. Przy trzech parach danych warto policzyć wszystkie trzy iloczyny, nie jeden.

Przykład 2 Czas pracy

Sześciu pracowników wykonuje zlecenie w $10$ dni. W ile dni wykonałoby je ośmiu pracowników, pracujących w tym samym tempie?

Więcej pracowników to krócej, a tempo jest stałe — zależność jest odwrotnie proporcjonalna.
Stały iloczyn to łączny nakład pracy: $6 \cdot 10 = 60$ dniówek.
Dla ośmiu pracowników: $\frac{60}{8} = 7{,}5$ dnia.
Kontrola iloczynem: $8 \cdot 7{,}5 = 60$ ✓ — ten sam nakład pracy.
Kontrola kierunkiem: pracowników przybyło, więc czas musiał zmaleć — $7{,}5 < 10$ ✓

Odpowiedź: $7{,}5$ dnia

Wynik niecałkowity jest tu poprawny i nie wymaga zaokrąglania w górę, o ile treść nie mówi o pełnych dniach. Iloczyn $60$ ma konkretny sens: to liczba dniówek potrzebnych do wykonania zlecenia.

Przykład 3 Współczynnik z punktu

Wykres funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $P = (4, -3)$ . Wyznacz $a$ i podaj, w których ćwiartkach leżą gałęzie.

Podstawiam współrzędne punktu do wzoru: $-3 = \frac{a}{4}$ .
Mnożę obie strony przez $4$ : $a = -12$ .
Wzór funkcji to $f(x) = \frac{-12}{x}$ .
Współczynnik jest ujemny, więc gałęzie leżą w drugiej i czwartej ćwiartce.
Kontrola punktem: $P = (4, -3)$ ma dodatnią pierwszą i ujemną drugą współrzędną, czyli leży w czwartej ćwiartce ✓
Kontrola iloczynem: $4 \cdot (-3) = -12$ , zgodnie ze wzorem $x \cdot y = a$ ✓

Odpowiedź: $a = -12$ ; gałęzie w drugiej i czwartej ćwiartce.

Współczynnik $a$ jest po prostu iloczynem współrzędnych dowolnego punktu wykresu. To najkrótsza droga: zamiast podstawiać do wzoru, można od razu pomnożyć.

Przykład 4 Zależność geometryczna

Prostokąt ma pole $36$ . Jak zmieni się jego długość, gdy szerokość wzrośnie z $4$ do $9$ ?

Pole prostokąta to iloczyn boków, a jest ono stałe — więc boki są odwrotnie proporcjonalne.
Dla szerokości $4$ : długość wynosi $\frac{36}{4} = 9$ .
Dla szerokości $9$ : długość wynosi $\frac{36}{9} = 4$ .
Długość zmalała z $9$ do $4$ .
Kontrola iloczynem: $4 \cdot 9 = 36$ oraz $9 \cdot 4 = 36$ ✓ — pole się nie zmieniło
Kontrola sensu: szerokość wzrosła ponad dwukrotnie, więc długość musiała zmaleć ponad dwukrotnie ✓

Odpowiedź: Długość zmaleje z $9$ do $4$ .

Zamiana wartości miejscami nie jest przypadkiem — to konsekwencja tego, że obie pary leżą na tej samej hiperboli $y = \frac{36}{x}$ . Prostokąt o zamienionych bokach ma to samo pole.

6Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd dotyczy rozpoznania zależności, drugi — samego rachunku, trzy kolejne — własności funkcji.

Uznanie każdej zależności „im więcej, tym mniej” za odwrotnie proporcjonalną.

Skąd się bierze: Kierunek zmiany się zgadza, więc reszty się nie sprawdza.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź iloczyny. Zapas paliwa przy stałym zużyciu też maleje, ale liniowo — iloczyn nie jest tam stały.

Mnożenie zamiast dzielenia przy szukaniu nowej wartości.

Skąd się bierze: Schemat „razy” zostaje z zadań o proporcjonalności wprost.

Jak zrobić dobrze: Nową wartość otrzymujemy, dzieląc stały iloczyn. Kontrola: przemnóż nową parę — musi wyjść ten sam iloczyn co w danych.

Nazwanie funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ malejącą.

Skąd się bierze: Na każdej gałęzi z osobna rzeczywiście maleje, więc uogólnienie wygląda niewinnie.

Jak zrobić dobrze: Podaj dwa przedziały osobno: $(-\infty, 0)$ oraz $(0, +\infty)$ . Dla $a = 12$ mamy $f(-3) = -4 < f(3) = 4$ , więc w całej dziedzinie funkcja nie maleje.

Włączanie zera do dziedziny.

Skąd się bierze: Dziedzinę zapisuje się odruchowo jako zbiór liczb rzeczywistych.

Jak zrobić dobrze: Zero trzeba wykluczyć, bo stoi w mianowniku: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Stąd biorą się dwie gałęzie wykresu.

Szukanie miejsc zerowych hiperboli.

Skąd się bierze: Pytanie o miejsca zerowe pada przy każdej funkcji, więc odpowiedź „nie ma” wydaje się podejrzana.

Jak zrobić dobrze: Ułamek jest zerem tylko przy zerowym liczniku, a licznik $a$ jest stałą różną od zera. Odpowiedź „funkcja nie ma miejsc zerowych” jest poprawna i pełna.

Zadania maturalne — proporcjonalność prosta i odwrotna

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy stały jest ich iloraz (

y : x = k

), a odwrotnie proporcjonalne, gdy stały jest ich iloczyn (

x \cdot y = k

). W zadaniach o pracy obie występują naraz i najprościej myśleć o nich przez jedną wielkość: nakład pracy, czyli liczbę „maszynogodzin” albo „osobodni”. Trzy maszyny przez dwie godziny to sześć maszynogodzin — i to jest liczba, która przy tej samej robocie się nie zmienia. Stąd wynika wszystko naraz: więcej maszyn to proporcjonalnie więcej pracy w tym samym czasie (proporcjonalność prosta), a ta sama robota wykonana przez więcej osób zajmuje proporcjonalnie mniej czasu (proporcjonalność odwrotna).

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2022)1 pktśrednie

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem

1200

guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

A. $800$
B. $900$
C. $1000$
D. $1500$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zamiast liczyć osobno wpływ liczby maszyn i wpływ czasu, sprowadźmy wszystko do jednej wielkości: maszynogodziny. Jedna maszyna pracująca jedną godzinę to jedna maszynogodzina.
Pierwsza sytuacja: $\textcolor{#16A06A}{3}$ maszyny przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ godziny to $3 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{6}$ maszynogodzin, i wychodzi z nich $\textcolor{#16A06A}{1200}$ guzików.
Stąd wydajność: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{1200}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{200}$ guzików na jedną maszynogodzinę.
Druga sytuacja: $\textcolor{#16A06A}{5}$ maszyn przez $\textcolor{#16A06A}{1}$ godzinę to $\textcolor{#E0453A}{5}$ maszynogodzin, czyli $\textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{200} = \textcolor{#E0453A}{1000}$ guzików.
Odpowiedź: C.
Kontrola bez liczenia wydajności — samym porównaniem. Druga sytuacja to $5$ maszynogodzin, pierwsza $6$ , czyli pięć szóstych poprzedniej pracy. A $\tfrac56$ z $1200$ to $1000$ ✓.
Ta kontrola daje też natychmiastowe odrzucenie odpowiedzi $D$ : skoro pracy jest mniej niż w pierwszej sytuacji, wynik musi być mniejszy niż $1200$ — a $1500$ jest większe.

💡 Wskazówka: Przelicz obie sytuacje na maszynogodziny i dopiero je porównaj. Wtedy nie trzeba osobno zastanawiać się, co rośnie, a co maleje: liczba maszyn i czas wchodzą do rachunku dokładnie tak samo, przez iloczyn. Ta sama sztuczka działa dla robotników („osobodni”) i dla wszystkiego, co się sumuje przez pracę.

⚠ Każda z podanych liczb odpowiada innej liczbie maszynogodzin, bo jedna maszynogodzina to $200$ guzików: $800$ to $4$ maszynogodziny, $900$ to $4{,}5$ , a $1500$ — aż $7{,}5$ . Poprawne $5$ daje $1000$ . Najczęstsza pomyłka to przeliczenie tylko jednej zmiany — albo liczby maszyn ( $1200 \cdot \tfrac53 = 2000$ ), albo czasu ( $1200 : 2 = 600$ ) — i zatrzymanie się w połowie. Warto zauważyć, że żadna z tych dwóch liczb nie jest wśród odpowiedzi: zadanie wymaga uwzględnienia obu zmian naraz.

Zadanie 2 (sierpień 2020)1 pktśrednie

Wielkości

x

y

są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

$x$	$a$	$3$	$8$
$y$	$36$	$24$	$b$

Stąd wynika, że

A. $a = 6$ , $b = 22{,}5$
B. $a = \dfrac{4}{3}$ , $b = 6$
C. $a = 3$ , $b = 96$
D. $a = 2$ , $b = 9$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odwrotna proporcjonalność znaczy jedno: iloczyn $x \cdot y$ jest taki sam w każdej kolumnie. Trzeba więc najpierw ustalić, ile ten iloczyn wynosi.
Jedyna kolumna, w której obie liczby są dane, to środkowa. Stąd stała:
$k = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{24} = \textcolor{#E0453A}{72}$
Teraz pierwsza kolumna: $a \cdot \textcolor{#16A06A}{36} = \textcolor{#E0453A}{72}$ , czyli $a = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{72}}{\textcolor{#16A06A}{36}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
I trzecia: $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot b = \textcolor{#E0453A}{72}$ , czyli $b = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{72}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \textcolor{#E0453A}{9}$ .
Odpowiedź: D.
Kontrola wszystkich trzech iloczynów naraz — to jedyna kontrola, która ma tu sens: $2 \cdot 36 = 72$ , $3 \cdot 24 = 72$ , $8 \cdot 9 = 72$ ✓. Wszystkie równe, więc tabela naprawdę opisuje wielkości odwrotnie proporcjonalne.
Warto sprawdzić, co się dzieje z odpowiedzią $B$ , bo jest sprytniejsza od pozostałych. Daje ona $\tfrac43 \cdot 36 = 48$ oraz $8 \cdot 6 = 48$ — te dwie liczby się zgadzają! Odpowiedź $B$ opisuje więc poprawną tabelę odwrotnie proporcjonalną, tylko ze stałą $48$ zamiast $72$ . Rozstrzyga dopiero środkowa kolumna, czyli ta jedyna, której nie trzeba było zgadywać.

💡 Wskazówka: Zacznij od kolumny, w której obie wartości są podane — to ona wyznacza stałą. Dopiero mając ją, uzupełniaj pozostałe. Odwrotna kolejność (najpierw porównywanie kolumn ze sobą) prowadzi do rachunków z dwiema niewiadomymi tam, gdzie wystarczy jedno mnożenie.

⚠ Odpowiedź $B$ jest tu najgroźniejsza, bo jest wewnętrznie spójna — jej dwa iloczyny są równe ( $48$ i $48$ ), więc kontrola „czy iloczyny się zgadzają” przepuści ją, jeśli sprawdzisz tylko te dwie kolumny i pominiesz środkową. Trzeba porównać wszystkie trzy. Pozostałe dwa dystraktory rozsypują się od razu: $A$ daje iloczyny $216$ i $180$ , a $C$ — $108$ i $768$ . Drugi typowy błąd to potraktowanie tabeli jako wprost proporcjonalnej: wtedy ze stałego ilorazu $24 : 3 = 8$ wyszłoby $a = 4{,}5$ oraz $b = 64$ , czyli para, której wśród odpowiedzi w ogóle nie ma.

Zadanie 3 (grudzień 2014)1 pkttrudniejsze

Ekipa złożona z

25

pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu

156

dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu

100

dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o

A. $14$
B. $17$
C. $25$
D. $39$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Ta sama robota, więc stały jest nakład pracy — tym razem liczony w osobodniach.
$\textcolor{#16A06A}{25}$ pracowników przez $\textcolor{#16A06A}{156}$ dni to $25 \cdot 156 = \textcolor{#E0453A}{3900}$ osobodni.
Ten sam nakład trzeba wykonać w $\textcolor{#16A06A}{100}$ dni, więc potrzeba $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3900}}{\textcolor{#16A06A}{100}} = \textcolor{#E0453A}{39}$ pracowników.
I teraz najważniejsze: zadanie pyta, ilu trzeba zatrudnić dodatkowo, a nie ilu ma być łącznie. Ekipa już liczy $\textcolor{#16A06A}{25}$ osób, więc:
$\textcolor{#E0453A}{39} - \textcolor{#16A06A}{25} = \textcolor{#E0453A}{14}$
Odpowiedź: A.
Kontrola „do przodu”: $39$ pracowników przez $100$ dni to $39 \cdot 100 = 3900$ osobodni — dokładnie tyle, ile wykonała pierwsza ekipa ✓.
Kontrola kierunkiem, zanim jeszcze cokolwiek policzysz: czasu jest mniej ( $100$ zamiast $156$ dni), więc ludzi musi być więcej niż $25$ . To od razu odrzuca odpowiedź $C$ , a odpowiedź $D$ czyni podejrzaną — bo $39$ to liczba zbyt „okrągła” jak na przyrost.

💡 Wskazówka: Przeczytaj pytanie do końca. „Należy zatrudnić do pracy o…” pyta o przyrost, nie o stan końcowy — a rachunek naturalnie prowadzi najpierw do stanu końcowego. Odjęcie tego, co już jest, to osobny krok i najczęściej pomijany.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $39$ — podanie łącznej liczby pracowników zamiast przyrostu. To wynik poprawnego rachunku zatrzymanego jeden krok za wcześnie i dlatego najczęstszy. Odpowiedź $C$ , czyli $25$ , to po prostu liczba z treści. Odpowiedź $B$ , czyli $17$ , odpowiada potraktowaniu wielkości jako wprost proporcjonalnych: $\tfrac{25 \cdot 100}{156} \approx 16{,}03$ , a po zaokrągleniu w górę — $17$ . Ten błąd łatwo wychwycić kierunkiem: skoro dni jest mniej, to ludzi nie może być mniej niż na początku.

Zadanie 4 (zbiór zadań CKE)1 pkttrudniejsze

Aby zaorać pole o powierzchni

P

w ciągu

8

godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Zaoranie pola o powierzchni $P$ przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby $12$ godzin.	P	F
Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu $4$ godzin.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Najpierw nakład pracy, tak jak w poprzednich zadaniach: $\textcolor{#16A06A}{3}$ ciągniki przez $\textcolor{#16A06A}{8}$ godzin to $3 \cdot 8 = \textcolor{#E0453A}{24}$ ciągnikogodziny. Ta liczba opisuje pole $P$ i nie zmienia się w żadnym z dwóch stwierdzeń.
Stwierdzenie pierwsze. $\textcolor{#16A06A}{2}$ ciągniki muszą wypracować te same $\textcolor{#E0453A}{24}$ ciągnikogodziny, więc potrzebują $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{24}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{12}$ godzin. Zgadza się — PRAWDA.
Stwierdzenie drugie jest trudniejsze, bo zmienia się nie tylko liczba ciągników, ale i wydajność. „O połowę szybciej” znaczy, że każdy ciągnik robi w godzinę półtora raza tyle co poprzednio.
$\textcolor{#16A06A}{4}$ ciągniki pracujące z wydajnością $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ zwykłego ciągnika dają razem $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}5} = \textcolor{#E0453A}{6}$ zwykłych ciągników.
Czas: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{24}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{4}$ godziny. Zgadza się — PRAWDA.
Odpowiedź: PP.
Kontrola sensu obu stwierdzeń. Pierwsze: mniej ciągników niż w treści ( $2$ zamiast $3$ ), więc czas musi być dłuższy niż $8$ godzin — i jest, $12$ ✓. Drugie: siła robocza odpowiada $6$ ciągnikom, czyli dwa razy większa niż wyjściowe $3$ , więc czas ma być dwa razy krótszy niż $8$ godzin — i jest, $4$ ✓.
Warto zatrzymać się nad sformułowaniem „o połowę szybciej”, bo bywa czytane na dwa sposoby. Przyjęcie, że znaczy ono „w połowie czasu” (czyli dwa razy szybciej), dałoby $4 \cdot 2 = 8$ zwykłych ciągników i czas $24 : 8 = 3$ godziny — a wtedy drugie stwierdzenie byłoby fałszywe. Klucz odpowiedzi mówi, że jest prawdziwe, więc rozstrzyga na rzecz odczytania „półtora raza szybciej”. To jest ten rzadki przypadek, w którym klucz nie tylko potwierdza rachunek, ale i ustala znaczenie słów w treści.

💡 Wskazówka: Licz nakład pracy raz, na początku, i potem tylko dziel go przez „siłę roboczą” w każdym wariancie. Gdy zmienia się wydajność, przelicz ekipę na równoważną liczbę zwykłych maszyn — cztery ciągniki półtora raza szybsze to sześć zwykłych — i dalej rachunek wygląda tak samo jak wcześniej.

⚠ W pierwszym stwierdzeniu typowy błąd to odjęcie zamiast podzielenia: skoro ciągników jest o jeden mniej, to czas „o jedną trzecią dłuższy”, czyli niecałe $11$ godzin. Proporcjonalność odwrotna nie działa przez dodawanie i odejmowanie. W drugim — pomnożenie czasu przez $1{,}5$ zamiast podzielenia przez $1{,}5$ , albo policzenie samej zmiany liczby ciągników z pominięciem wydajności: $24 : 4 = 6$ godzin, a nie $4$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C

2. D

3. A

4. P, P

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak odróżnić proporcjonalność wprost od odwrotnej?

Policz iloraz i iloczyn par danych. Stały iloraz oznacza proporcjonalność wprost, stały iloczyn — odwrotną. Jeśli żadna z tych liczb nie jest stała, zależność nie jest proporcjonalna.

Dlaczego wykres składa się z dwóch części?

Bo zero nie należy do dziedziny, a to ono rozdziela argumenty ujemne od dodatnich. Gałęzie nie łączą się, ponieważ w miejscu połączenia funkcja nie jest określona.

Czym są asymptoty tej funkcji?

To osie układu współrzędnych. Wykres zbliża się do nich dowolnie blisko — dla bardzo dużych argumentów wartości są bliskie zeru, a dla argumentów bliskich zera rosną nieograniczenie co do wartości bezwzględnej: z jednej strony zera w górę, z drugiej w dół.

Czy współczynnik

a

może być zerem?

Nie, bo wtedy funkcja byłaby stale równa zeru i nie opisywałaby żadnej proporcjonalności. Zależność $x \cdot y = 0$ nie mówi o wielkościach nic użytecznego.

Jak szybko wyznaczyć

a

z wykresu?

Odczytać współrzędne dowolnego punktu leżącego na hiperboli i je pomnożyć. Iloczyn współrzędnych jest ten sam dla każdego punktu wykresu i równy właśnie $a$ .

Czytaj dalej

ProporcjePojęcie proporcji i mnożenie na krzyż — podstawa, na której stoi ta zależność.Odczytywanie wartości z wykresuDziedzina, zbiór wartości i przedziały monotoniczności czytane z rysunku.FunkcjeHub działu: czym jest funkcja i na ile sposobów można ją zadać.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.