Strona główna › Geometria › Podobieństwo figur — obwód, pole i skala

Podobieństwo figur — obwód, pole i skala

Q: Jak obliczyć skalę, znając pola dwóch figur podobnych?

Trzeba spierwiastkować stosunek pól. Jeśli pola wynoszą 25 i 100, to ich stosunek równa się 4, a skala jest pierwiastkiem z czterech, czyli wynosi 2.

Q: Co dzieje się z objętością brył podobnych?

Rośnie w skali k^3, bo objętość jest iloczynem trzech wymiarów. Idąc w drugą stronę, ze stosunku objętości do skali, trzeba wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia.

Powiększenie figury dwa razy zwiększa jej obwód dwa razy, ale pole cztery razy. Ta różnica jest źródłem większości błędów w zadaniach o figurach podobnych — i zarazem jedyną rzeczą, którą trzeba tu naprawdę zrozumieć. Cechy podobieństwa opisuję przy trójkątach; ta strona odpowiada na pytanie, co się dzieje z wielkościami, gdy figurę przeskalujemy, i dlaczego dla figur innych niż trójkąt sprawa wygląda inaczej.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 13

Przejdź od razu do zadań (13) ↓

1Obwód i pole zachowują się inaczej

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział VIII. Planimetria, zakres podstawowy, punkt 9 brzmi dosłownie: „wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych”.

Punkt 8 dodaje: „korzysta z cech podobieństwa trójkątów”. Obwody i pola dotyczą więc wszystkich figur podobnych, a nie tylko trójkątów — i są wymienione w podstawie osobno.

Skala podobieństwa $k$ to liczba, przez którą mnoży się każdy odcinek figury. Jeśli $k=2$ , każdy bok, każda przekątna i każda wysokość stają się dwa razy dłuższe.

wielkość	jak się zmienia	dlaczego
odcinek (bok, przekątna, wysokość)	$\cdot\, k$	to jest definicja skali
obwód	$\cdot\, k$	suma odcinków, każdy mnożony przez $k$
pole	$\cdot\, k^2$	iloczyn dwóch wymiarów, każdy mnożony przez $k$
objętość bryły	$\cdot\, k^3$	iloczyn trzech wymiarów

Obwód jest sumą, więc mnożenie każdego składnika przez $k$ mnoży całą sumę przez $k$ — to zwykłe wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:

k a + k b + k c = k(a+b+c) = \textcolor{#16A06A}{k} \cdot \text{obwód}

Pole jest iloczynem dwóch wymiarów, więc mnożenie obu przez $k$ daje mnożnik $k \cdot k$ :

\frac{P'}{P} = \textcolor{#E0453A}{k^2}, \qquad \frac{\text{Ob}'}{\text{Ob}} = \textcolor{#16A06A}{k}

Sprawdźmy to na prostokącie $3 \times 4$ powiększonym w skali $k = \textcolor{#2F80D8}{2}$ , czyli do $6 \times 8$ :

obwód: $2(3+4) = \textcolor{#16A06A}{14}$ , a po powiększeniu $2(6+8) = \textcolor{#16A06A}{28}$ — wzrost $\textcolor{#2F80D8}{2}$ -krotny ✓
pole: $3 \cdot 4 = \textcolor{#E0453A}{12}$ , a po powiększeniu $6 \cdot 8 = \textcolor{#E0453A}{48}$ — wzrost $\textcolor{#2F80D8}{4}$ -krotny, czyli $\textcolor{#2F80D8}{2}^2$ ✓

Ta sama figura, ta sama skala — a dwa różne mnożniki. Nie jest to niespójność, tylko konsekwencja tego, że obwód mierzy się w jednostkach długości, a pole w jednostkach kwadratowych.

2Dlaczego cechy trójkątów nie wystarczają

Dla trójkątów istnieją cechy podobieństwa — wystarczy sprawdzić jedną rzecz, na przykład dwa kąty, żeby mieć pewność. Dla pozostałych figur takich skrótów nie ma i trzeba sprawdzić dwie rzeczy naraz.

Dwa czworokąty są podobne, gdy mają równe odpowiadające kąty ORAZ proporcjonalne odpowiadające boki. Sam jeden warunek nie wystarcza — i to widać na dwóch prostych kontrprzykładach.

figury	co się zgadza	czy podobne
kwadrat $2\times 2$ i prostokąt $2\times 3$	wszystkie kąty po $90°$	nie — boki nieproporcjonalne
kwadrat o boku $1$ i romb o boku $1$	wszystkie boki równe	nie — kąty różne
kwadrat $2\times 2$ i kwadrat $5\times 5$	kąty i proporcje boków	tak, $k = 2{,}5$

Pierwszy wiersz pokazuje, że same kąty nie wystarczają: prostokąt można rozciągnąć w jedną stronę, nie ruszając żadnego kąta. Drugi pokazuje, że same boki nie wystarczają: romb powstaje z kwadratu przez „przechylenie”, przy którym boki zostają te same.

Skąd bierze się przywilej trójkąta

Trójkąta nie da się zdeformować bez zmiany długości boków — jest sztywny. Trzy odcinki dają się złożyć tylko na jeden sposób, więc ustalenie kątów ustala już wszystkie proporcje.

Czworokąt sztywny nie jest: przy tych samych bokach można go „złożyć” jak przegub, zmieniając kąty. Dlatego dla czworokątów potrzeba dwóch niezależnych warunków zamiast jednego.

To ta sama własność, dzięki której konstrukcje nośne buduje się z trójkątów, a nie z czworokątów.

Wniosek praktyczny: jeśli w zadaniu figura nie jest trójkątem, zwykle najprościej podzielić ją na trójkąty przekątnymi i korzystać z cech podobieństwa dla nich.

3Z pól do skali — pierwiastkowanie

Zadania maturalne najczęściej podają stosunek pól, a pytają o bok albo obwód. Trzeba więc umieć wrócić od $k^2$ do $k$ — czyli spierwiastkować.

\frac{P'}{P} = k^2 \quad \Rightarrow \quad k = \sqrt{\frac{P'}{P}}

Przykład. Pola dwóch figur podobnych wynoszą $\textcolor{#16A06A}{25}$ i $\textcolor{#16A06A}{100}$ . Stosunek pól to $4$ , więc skala wynosi $k = \sqrt{4} = \textcolor{#E0453A}{2}$ — a nie $4$ . Obwód większej figury jest więc dwa razy większy, nie cztery.

Najczęstsza pomyłka całego działu polega właśnie na pominięciu pierwiastka: stosunek pól bierze się wprost jako skalę. Odpowiedź wychodzi wtedy zawyżona kwadratowo.

dane w zadaniu	szukane	co zrobić
stosunek boków $k$	stosunek pól	podnieść do kwadratu
stosunek pól	stosunek boków lub obwodów	spierwiastkować
stosunek obwodów	stosunek pól	podnieść do kwadratu — obwód skaluje się jak bok
stosunek objętości	stosunek boków	pierwiastek trzeciego stopnia

Trzeci wiersz bywa zaskoczeniem, ale wynika wprost z tabeli z pierwszej sekcji: obwód zachowuje się tak samo jak pojedynczy bok. Stosunek obwodów jest więc równy skali i można go używać dokładnie tam, gdzie skalę.

Kontrola rzędu wielkości

Jeśli figura jest tylko trochę większa, a wyszło ci pole kilkanaście razy większe — sprawdź, czy nie podniosłeś do kwadratu czegoś, co już było kwadratem.

Prosty test: dla $k=2$ pole musi wzrosnąć dokładnie czterokrotnie. Podstaw tę skalę do swojego rachunku i zobacz, czy wychodzi cztery.

4Bryły podobne — trzeci wymiar

Wszystko, co dotąd napisałem o figurach płaskich, przenosi się na bryły — z jedną poprawką. Dochodzi trzeci wymiar, więc pojawia się trzecia potęga skali.

wielkość w bryle	mnożnik	dlaczego
krawędź, wysokość, promień	$k$	to zwykłe odcinki
pole powierzchni	$k^2$	powierzchnia składa się z figur płaskich
objętość	$k^3$	iloczyn trzech wymiarów

Drugi wiersz jest wart uwagi: pole powierzchni bryły rośnie tak samo jak pole figury płaskiej, czyli w kwadracie skali. Powierzchnia jest bowiem zbiorem ścian, a każda z nich jest figurą płaską — obowiązuje ją reguła z pierwszej sekcji.

Sprawdźmy na sześcianie. Weźmy sześcian o krawędzi $\textcolor{#16A06A}{2}$ i powiększmy go w skali $k = \textcolor{#2F80D8}{2}$ , czyli do krawędzi $\textcolor{#16A06A}{4}$ :

pole powierzchni: $6 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^2 = \textcolor{#E0453A}{24}$ , a po powiększeniu $6 \cdot \textcolor{#16A06A}{4}^2 = \textcolor{#E0453A}{96}$ — wzrost czterokrotny, czyli $\textcolor{#2F80D8}{2}^2$ ✓
objętość: $\textcolor{#16A06A}{2}^3 = \textcolor{#8B5CF6}{8}$ , a po powiększeniu $\textcolor{#16A06A}{4}^3 = \textcolor{#8B5CF6}{64}$ — wzrost ośmiokrotny, czyli $\textcolor{#2F80D8}{2}^3$ ✓

Trzy różne mnożniki dla jednej skali: $2$ dla krawędzi, $4$ dla powierzchni, $8$ dla objętości. To nie jest niekonsekwencja, tylko liczba wymiarów, które skala mnoży.

Dlaczego duże zwierzęta mają grube nogi

Ta sama reguła tłumaczy rzecz spoza matematyki. Gdyby powiększyć zwierzę dwukrotnie z zachowaniem proporcji, jego masa wzrosłaby $8$ razy (bo zależy od objętości), ale przekrój kości tylko $4$ razy (bo to pole).

Obciążenie przypadające na jednostkę przekroju wzrosłoby więc dwukrotnie. Dlatego słoń nie jest po prostu powiększoną myszą — ma nieproporcjonalnie grubsze nogi.

Zależność $k^2$ kontra $k^3$ nie jest szkolną formalnością: to ona ogranicza rozmiary organizmów i konstrukcji.

Droga powrotna wymaga pierwiastka trzeciego stopnia. Jeśli objętości dwóch brył podobnych mają się jak $\textcolor{#16A06A}{27}$ do $1$ , to skala wynosi $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{27}} = \textcolor{#E0453A}{3}$ , a pola powierzchni mają się jak $\textcolor{#E0453A}{3}^2 = \textcolor{#2F80D8}{9}$ do $1$ .

Przejście między polem a objętością zawsze prowadzi przez skalę. Nie ma bezpośredniego przelicznika ze stosunku pól na stosunek objętości — najpierw wyznacza się $k$ , dopiero potem podnosi do właściwej potęgi.

5Jak rozpoznać figury podobne w zadaniu

W arkuszach podobieństwo rzadko bywa podane wprost. Częściej trzeba je rozpoznać — a są trzy układy, w których pojawia się niemal zawsze.

Odcinek równoległy do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do wyjściowego. To sytuacja z twierdzenia Talesa, najczęstsza ze wszystkich.
Wysokość opuszczona z kąta prostego dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty podobne do niego i do siebie nawzajem.
Ta sama chwila, to samo słońce — przedmiot i jego cień tworzą trójkąt podobny do trójkąta wyznaczonego przez inny przedmiot i jego cień.

Trzeci punkt to klasyczne zadanie o wysokości drzewa albo wieży. Promienie słońca padają pod tym samym kątem na oba przedmioty, a kąt przy podstawie jest prosty — trójkąty mają więc dwa kąty równe i są podobne.

\frac{\text{wysokość}_1}{\text{cień}_1} = \frac{\text{wysokość}_2}{\text{cień}_2}

Przykład. Słupek wysokości $\textcolor{#16A06A}{90}$ cm rzuca cień długości $\textcolor{#16A06A}{60}$ cm. Stosunek wysokości do cienia wynosi $\frac{\textcolor{#16A06A}{90}}{\textcolor{#16A06A}{60}} = \textcolor{#2F80D8}{1{,}5}$ . Wieża rzucająca w tej samej chwili cień $\textcolor{#E0453A}{24}$ m ma więc wysokość $\textcolor{#2F80D8}{1{,}5} \cdot \textcolor{#E0453A}{24} = \textcolor{#8B5CF6}{36}$ m.

Uwaga na jednostki. Słupek podano w centymetrach, a cień wieży w metrach. Sam stosunek $\frac{90}{60}$ jest bezwymiarowy, więc wolno go zastosować — ale mieszanie jednostek wewnątrz jednej proporcji dałoby wynik chybiony stukrotnie.

Kontrola, która wyłapuje odwróconą proporcję

Najczęstszy błąd w tych zadaniach to zapisanie proporcji do góry nogami — cienia do wysokości zamiast wysokości do cienia.

Test jest prosty: sprawdź, czy wynik jest większy czy mniejszy od danych. Wieża rzucająca cień $24$ m musi być wyższa niż słupek mierzący $0{,}9$ m — jeśli wyszło mniej, proporcja jest odwrócona.

Drugi test: podstaw wynik z powrotem. Dla wysokości $36$ m i cienia $24$ m stosunek wynosi $1{,}5$ — tyle samo co dla słupka ✓

6Podsumowanie zależności

Cała strona sprowadza się do jednej tabeli, którą warto mieć w pamięci.

mam	chcę	działanie
skalę $k$	stosunek obwodów	nic — jest równy $k$
skalę $k$	stosunek pól	podnieść do kwadratu
skalę $k$	stosunek objętości	podnieść do sześcianu
stosunek pól	skalę	pierwiastek kwadratowy
stosunek objętości	skalę	pierwiastek trzeciego stopnia
stosunek obwodów	stosunek pól	podnieść do kwadratu

Ostatni wiersz warto rozumieć, a nie zapamiętywać: skoro stosunek obwodów jest skalą, to wszystko, co robi się ze skalą, robi się też z nim.

Jedna zasada zamiast sześciu wierszy: policz, ile wymiarów ma wielkość, o którą pytają. Długość ma jeden, pole dwa, objętość trzy — i tyle wynosi wykładnik przy skali.

7Przykłady krok po kroku

Cztery przykłady: z pól do obwodu, prostokąt zadany przekątną, stosunek pól wyliczony z danej skali i przejście od objętości do pola powierzchni.

Przykład 1 Trapez zadany polem i obwodem

Trapez $T_1$ o polu $52$ i obwodzie $36$ jest podobny do trapezu $T_2$ , którego pole wynosi $13$ . Oblicz obwód trapezu $T_2$ .

Dane są pola, a szukany jest obwód — trzeba więc przejść przez skalę.
Stosunek pól: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{\textcolor{#16A06A}{13}}{\textcolor{#16A06A}{52}} = \frac{1}{4}$ .
Stosunek pól to $k^2$ , więc $k^2 = \frac{1}{4}$ , a stąd $k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}}$ .
Obwód skaluje się tak jak bok, czyli przez $k$ : $\text{Ob}_2 = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{2}} \cdot \textcolor{#16A06A}{36} = \textcolor{#2F80D8}{18}$ .
Kontrola w drugą stronę: gdyby obwód wynosił $\textcolor{#2F80D8}{18}$ , to skala to $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ ✓
Kontrola pola: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 52 = \frac{52}{4} = 13$ ✓ — zgadza się z danymi

Odpowiedź: Obwód trapezu $T_2$ wynosi $18$ .

Gdyby wziąć stosunek pól wprost jako skalę, wyszłoby $\frac{36}{4} = \textcolor{#9b1c14}{9}$ — odpowiedź dwukrotnie za mała. Pierwiastek jest tu krokiem obowiązkowym.

Przykład 2 Prostokąt zadany przekątną

Prostokąt $ABCD$ o przekątnej długości $2\sqrt{13}$ jest podobny do prostokąta o bokach $2$ i $3$ . Oblicz obwód prostokąta $ABCD$ .

Najpierw przekątna mniejszego prostokąta — z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = \textcolor{#16A06A}{2}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2 = 4 + 9 = \textcolor{#16A06A}{13}$ , więc $d = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{13}}$ .
Przekątna jest odcinkiem, więc skaluje się przez $k$ : $k = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Boki prostokąta $ABCD$ : $\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 2 = \textcolor{#2F80D8}{4}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 3 = \textcolor{#2F80D8}{6}$ .
Obwód: $2(\textcolor{#2F80D8}{4} + \textcolor{#2F80D8}{6}) = \textcolor{#8B5CF6}{20}$ .
Szybciej przez obwód mniejszego: $2(2+3) = 10$ , a $\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 10 = \textcolor{#8B5CF6}{20}$ ✓ — bez liczenia boków osobno
Kontrola przekątnej: $\textcolor{#2F80D8}{4}^2 + \textcolor{#2F80D8}{6}^2 = 16 + 36 = 52$ , a $\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ ✓

Odpowiedź: Obwód prostokąta $ABCD$ wynosi $20$ .

Drugi sposób pokazuje najważniejszą oszczędność w tym dziale: obwód można przeskalować bezpośrednio, bez wyznaczania poszczególnych boków. Skala odczytana z przekątnej działa dla obwodu tak samo.

Przykład 3 Stosunek pól z danej skali

Trójkąty $ABC$ i $A'B'C'$ są podobne, a ich pola wynoszą odpowiednio $25$ cm² i $50$ cm². Wyznacz skalę podobieństwa.

Stosunek pól: $\frac{50}{25} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
To jest $k^2$ , a nie $k$ — więc $k = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}}$ .
Wynik jest liczbą niewymierną: $k = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{2}} \approx 1{,}41$ .
Kontrola: $\left(\textcolor{#E0453A}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2$ , a $2 \cdot 25 = 50$ ✓
Sprawdzenie sensu: figura o polu dwa razy większym ma boki tylko około $1{,}41$ raza dłuższe — mniej, niż podpowiada intuicja ✓

Odpowiedź: Skala podobieństwa wynosi $\sqrt{2}$ .

Wynik niewymierny nie oznacza błędu. Skala jest pierwiastkiem ze stosunku pól, a pierwiastek z dwójki wymierny nie jest — odpowiedź zostawia się w postaci dokładnej $\sqrt{2}$ .

Przykład 4 Od objętości do pola powierzchni

Objętości dwóch brył podobnych mają się jak $27$ do $8$ . Jaki jest stosunek ich pól powierzchni?

Dane są objętości, a szukane pola — obie wielkości zależą od skali, ale w różnych potęgach. Trzeba więc przejść przez $k$ .
Stosunek objętości to $k^3$ , czyli $k^3 = \frac{\textcolor{#16A06A}{27}}{\textcolor{#16A06A}{8}}$ .
Wyciągam pierwiastek trzeciego stopnia z licznika i mianownika osobno: $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{27}} = 3$ oraz $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{8}} = 2$ .
Skala wynosi więc $k = \textcolor{#E0453A}{\frac{3}{2}}$ .
Stosunek pól to $k^2$ , czyli $\left(\textcolor{#E0453A}{\frac{3}{2}}\right)^2 = \textcolor{#2F80D8}{\frac{9}{4}}$ .
Kontrola w przód: $\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ ✓ — zgadza się z danymi
Kontrola liczbowa: $\textcolor{#2F80D8}{\frac{9}{4}} = 2{,}25$ , a stosunek objętości to $3{,}375$ — pole rośnie wolniej niż objętość ✓
Kontrola sensu: bryła ma krawędzie $1{,}5$ raza dłuższe, więc stosunek pól musi być większy od $1{,}5$ (bo pole rośnie szybciej niż krawędź), ale mniejszy od $\frac{27}{8}$ (bo rośnie wolniej niż objętość). Wynik $2{,}25$ mieści się między nimi ✓

Odpowiedź: Pola powierzchni mają się jak $9$ do $4$ .

Nie istnieje skrót prowadzący wprost od objętości do pola. Trzeba zejść do skali pierwiastkiem trzeciego stopnia i dopiero z niej podnieść do kwadratu — dwa różne działania, bo wielkości mają różną liczbę wymiarów.

8Najczęstsze błędy

Pięć błędów — pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów w tym dziale.

Branie stosunku pól wprost jako skali

Skąd się bierze: Stosunek pól to $k^2$ , a nie $k$ . Przy polach $25$ i $100$ skala wynosi $2$ , a nie $4$ — pominięcie pierwiastka zawyża odpowiedź kwadratowo i psuje każdy dalszy rachunek.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj kierunek: z boków do pól podnosisz do kwadratu, z pól do boków pierwiastkujesz. Przed odpowiedzią sprawdź, czy wynik da się podnieść do kwadratu i odtworzyć stosunek pól z treści.

Mnożenie obwodu przez $k^2$

Skąd się bierze: Obwód jest sumą odcinków, więc skaluje się dokładnie tak jak pojedynczy bok — przez $k$ . Kwadratem mnoży się tylko pole, bo ono jest iloczynem dwóch wymiarów.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź jednostki. Obwód mierzy się w centymetrach, więc rośnie tak jak długość. Pole mierzy się w centymetrach kwadratowych — i stąd kwadrat skali.

Uznanie prostokątów za podobne, bo mają te same kąty

Skąd się bierze: Każde dwa prostokąty mają wszystkie kąty po $90°$ , a mimo to prostokąt $2\times 2$ i $2\times 3$ podobne nie są. Dla figur innych niż trójkąt równość kątów jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym.

Jak zrobić dobrze: Przy czworokątach sprawdzaj oba warunki: równość kątów i proporcjonalność boków. Skrót przez same kąty działa wyłącznie dla trójkątów.

Przechodzenie od objętości do pola bez zejścia do skali

Skąd się bierze: Objętość zależy od trzeciej potęgi skali, a pole od drugiej — nie ma między nimi bezpośredniego przelicznika. Podniesienie stosunku objętości do kwadratu albo wyciągnięcie z niego pierwiastka kwadratowego daje liczbę bez żadnego sensu geometrycznego.

Jak zrobić dobrze: Zawsze wyznacz najpierw skalę $k$ pierwiastkiem trzeciego stopnia ze stosunku objętości, a dopiero potem podnieś ją do kwadratu. Kontrola: pole musi rosnąć wolniej niż objętość, więc jego stosunek jest zawsze mniejszy.

Mylenie skali z różnicą wymiarów

Skąd się bierze: Skala jest ilorazem, nie różnicą. Figura o bokach większych o $2$ cm nie jest podobna do wyjściowej, jeśli boki miały różne długości — proporcje się wtedy zmieniają.

Jak zrobić dobrze: Policz iloraz dla każdej pary odpowiadających boków i sprawdź, czy wychodzi ta sama liczba. Dopiero wtedy figury są podobne, a ta liczba jest skalą.

Zadania maturalne — skala podobieństwa, pola i obwody figur podobnych

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cała strona stoi na jednej regule: jeśli figury są podobne w skali

k

, to długości (boki, przekątne, obwody, wysokości, promienie) rosną

k

razy, a pola

k^2

razy. Stąd dwa kierunki, które trzeba umieć przechodzić w obie strony:
ze skali do pól:

\dfrac{P_2}{P_1} = k^2

; z pól do skali:

k = \sqrt{\dfrac{P_2}{P_1}}

.
Najczęstsza pomyłka w całym dziale to użycie skali tam, gdzie potrzebny jest jej kwadrat — albo odwrotnie. Praktyczny nawyk: zapytaj siebie, czy szukana wielkość jest długością (wtedy

k

) czy polem (wtedy

k^2

). Obwód jest sumą długości, więc zachowuje się jak długość — mimo że brzmi „powierzchniowo”.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (listopad 2010)1 pktłatwe

Pionowy słupek o wysokości

90

cm rzuca cień o długości

60

cm. W tej samej chwili stojąca obok wieża rzuca cień o długości

12

m. Jaka jest wysokość wieży?

A. $18$ m
B. $8$ m
C. $9$ m
D. $16$ m

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Dlaczego to jest zadanie o podobieństwie. Słupek z cieniem i wieża z cieniem tworzą dwa trójkąty prostokątne, w których promienie słońca padają pod tym samym kątem — bo to ta sama chwila. Trójkąty o równych kątach są podobne, więc stosunki odpowiednich boków są równe.
Krok 1 — zamiana jednostek. Dane są w centymetrach i metrach, więc najpierw sprowadzamy do jednej jednostki. Wybierzmy metry:
$90 \text{ cm} = \textcolor{#E0453A}{0{,}9} \text{ m}, \qquad 60 \text{ cm} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6} \text{ m}$
Krok 2 — proporcja. Wysokość do cienia jest w obu trójkątach taka sama:
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{0{,}9}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}6}} = \dfrac{h}{\textcolor{#16A06A}{12}}$
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{0{,}9}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}6}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5} \qquad \Longrightarrow \qquad h = \textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = 18 \text{ m}$
Odpowiedź: wieża ma $18$ m wysokości, czyli A.
Kontrola: słupek jest wyższy niż jego cień ( $0{,}9$ wobec $0{,}6$ ), więc i wieża musi być wyższa niż jej cień. Wynik $18 > 12$ ✓ To od razu odrzuca odpowiedzi $8$ i $9$ metrów.
Skrót bez zamiany jednostek. Stosunek $\tfrac{90}{60}$ jest bezwymiarowy — jednostki się skracają, więc można go policzyć wprost na centymetrach i pomnożyć przez $12$ m. Ważne tylko, żeby licznik i mianownik były w tej samej jednostce.

💡 Wskazówka: Zamień jednostki, zanim zaczniesz liczyć — albo upewnij się, że stosunek, który tworzysz, ma licznik i mianownik w tej samej jednostce. Stosunek wysokości do cienia jest bezwymiarowy i taki sam dla obu obiektów, więc wystarczy go raz policzyć. Kontrola na koniec: skoro słupek jest wyższy od swojego cienia, wieża też musi być.

⚠ Zestawienie centymetrów z metrami bez zamiany, czyli policzenie $\tfrac{90}{60} = 1{,}5$ i uznanie, że wieża ma $1{,}5$ m — albo, co gorsza, ustawienie proporcji $\tfrac{90}{12}$ , gdzie licznik jest w centymetrach, a mianownik w metrach. Drugi błąd: odwrócenie proporcji i policzenie $12 \cdot \tfrac{60}{90} = 8$ m, czyli odpowiedź B. Kontrola to wyłapuje: wieża musi być wyższa od swojego cienia, bo słupek jest wyższy od swojego.

Zadanie 2 (maj 2014)1 pktłatwe

Jeżeli trójkąty

ABC

A'B'C'

są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe

25

^2

50

^2

, to skala podobieństwa

\dfrac{A'B'}{AB}

jest równa

A. $\dfrac{\sqrt2}{2}$
B. $\sqrt2$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kierunek: z pól do skali. Stosunek pól to kwadrat skali, więc skalę dostajemy przez pierwiastkowanie.
$k^2 = \dfrac{P'}{P} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{50}}{\textcolor{#16A06A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
$k = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{2}} = \sqrt2$
Odpowiedź: $k = \sqrt2$ , czyli B.
Uwaga na kolejność w ułamku. Treść pyta o $\tfrac{A'B'}{AB}$ , czyli o stosunek boku trójkąta z primem do boku bez prima. Do stosunku pól wstawiamy więc pole trójkąta z primem w licznik: $\tfrac{50}{25}$ , a nie odwrotnie.
Kontrola liczbowa: $\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}414}$ . Sprawdzenie: jeśli boki są $1{,}414$ razy dłuższe, to pola $1{,}414^2 = \textcolor{#E0453A}{2}$ razy większe ✓ — czyli $25 \cdot 2 = 50$ ✓
Kontrola sensowności bez rachunku. Trójkąt z primem ma większe pole, więc jest większy, więc skala $\tfrac{A'B'}{AB}$ musi być większa od $1$ . To odrzuca odpowiedzi $\tfrac{\sqrt2}{2} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}707}$ i $\tfrac12$ . Zostają $\sqrt2$ i $2$ , a $2$ byłoby skalą przy stosunku pól $4$ , nie $2$ .

💡 Wskazówka: Zadaj sobie pytanie: czy przechodzę ze skali do pól (mnożę przez kwadrat), czy z pól do skali (pierwiastkuję)? Tutaj dane są pola, a szukana jest skala — więc pierwiastek. Sprawdź też kolejność w ułamku: pytanie o $\tfrac{A'B'}{AB}$ oznacza, że figura z primem jest „na górze” i jej pole też idzie do licznika.

⚠ Podanie $2$ (odpowiedź D), czyli samego stosunku pól bez pierwiastkowania. To najczęstsza pomyłka w całym dziale: stosunek pól jest kwadratem skali, więc żeby dostać skalę, trzeba wyciągnąć pierwiastek. Kontrola: przy skali $2$ pola różniłyby się czterokrotnie, a różnią się dwukrotnie. Drugi błąd: odwrócenie ułamka i wybór $\tfrac{\sqrt2}{2}$ (A) — to skala $\tfrac{AB}{A'B'}$ , czyli odwrotność szukanej.

Zadanie 3 (czerwiec 2017)1 pktłatwe

Trójkąt

ABC

jest podobny do trójkąta

A'B'C'

w skali

\dfrac{5}{2}

, przy czym

|AB| = \dfrac{5}{2}|A'B'|

. Stosunek pola trójkąta

ABC

do pola trójkąta

A'B'C'

jest równy

A. $\dfrac{4}{25}$
B. $\dfrac{2}{5}$
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $\dfrac{25}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kierunek odwrotny niż w poprzednim zadaniu: dana jest skala, szukany stosunek pól — więc podnosimy do kwadratu.
Treść upewnia nas, w którą stronę działa skala: $|AB| = \textcolor{#16A06A}{\tfrac52}|A'B'|$ , czyli trójkąt $ABC$ jest większy.
$\dfrac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac52}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{25}}{\textcolor{#E0453A}{4}}$
Odpowiedź: $\tfrac{25}{4}$ , czyli D.
Kontrola liczbowa na konkretnym przykładzie: niech $|A'B'| = 2$ i wysokość $2$ , więc $P_{A'B'C'} = \textcolor{#E0453A}{2}$ . Wtedy $|AB| = \textcolor{#E0453A}{5}$ , wysokość $\textcolor{#E0453A}{5}$ , i $P_{ABC} = \textcolor{#E0453A}{12{,}5}$ .
Stosunek: $\tfrac{12{,}5}{2} = \textcolor{#E0453A}{6{,}25} = \tfrac{25}{4}$ ✓ Zwróć uwagę, że oba wymiary rosną $\tfrac52$ razy — dlatego pole rośnie $\left(\tfrac52\right)^2$ razy.
Kontrola sensowności. Trójkąt $ABC$ jest większy, więc stosunek jego pola do pola mniejszego musi być większy od $1$ . To odrzuca odpowiedzi $\tfrac{4}{25} = \textcolor{#E0453A}{0{,}16}$ i $\tfrac25 = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$ . Zostają $\tfrac52$ i $\tfrac{25}{4}$ , a $\tfrac52$ to sama skala, nie jej kwadrat.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że dwa zadania obok siebie na tej stronie idą w przeciwnych kierunkach: raz z pól do skali (pierwiastek), raz ze skali do pól (kwadrat). Rozstrzyga to, co jest dane, a co szukane — nie sam wygląd liczb. Warto przed rachunkiem napisać jedno zdanie: „mam skalę, chcę pola, więc kwadrat”.

⚠ Podanie $\tfrac52$ (odpowiedź C), czyli samej skali zamiast stosunku pól. Drugi błąd: odwrócenie i wybór $\tfrac{4}{25}$ (A) — to stosunek pola mniejszego do większego, czyli odpowiedź na inne pytanie. Treść jawnie mówi $|AB| = \tfrac52|A'B'|$ , żeby nie było wątpliwości, który trójkąt jest większy; warto tę informację odczytać, zamiast domyślać się z kolejności liter.

Zadanie 4 (maj 2018)1 pktśrednie

Dany jest trójkąt o bokach długości

2\sqrt5

3\sqrt5

4\sqrt5

. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

A. $10$ , $15$ , $20$
B. $20$ , $45$ , $80$
C. $\sqrt2$ , $\sqrt3$ , $\sqrt4$
D. $\sqrt5$ , $2\sqrt5$ , $3\sqrt5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kluczowe uproszczenie. Wszystkie trzy boki mają wspólny czynnik $\textcolor{#16A06A}{\sqrt5}$ , więc trójkąt ma boki w stosunku
$\textcolor{#16A06A}{2\sqrt5} : \textcolor{#16A06A}{3\sqrt5} : \textcolor{#16A06A}{4\sqrt5} = \textcolor{#E0453A}{2} : \textcolor{#E0453A}{3} : \textcolor{#E0453A}{4}$
Trójkąt podobny to taki, którego boki mają ten sam stosunek $\textcolor{#E0453A}{2} : \textcolor{#E0453A}{3} : \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Sprawdzamy każdą odpowiedź, dzieląc boki przez najkrótszy:
A: $10 : 15 : 20$ , po podzieleniu przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ daje $\textcolor{#E0453A}{2} : \textcolor{#E0453A}{3} : \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓
B: $20 : 45 : 80$ , po podzieleniu przez $\textcolor{#E0453A}{5}$ daje $\textcolor{#E0453A}{4} : \textcolor{#E0453A}{9} : \textcolor{#E0453A}{16}$ ✗ — to kwadraty liczb $2, 3, 4$ , więc stosunek jest inny.
C: $\sqrt2 : \sqrt3 : \sqrt4$ , czyli w przybliżeniu $\textcolor{#E0453A}{1{,}41} : \textcolor{#E0453A}{1{,}73} : \textcolor{#E0453A}{2}$ ; po podzieleniu przez pierwszy: $\textcolor{#E0453A}{1} : \textcolor{#E0453A}{1{,}22} : \textcolor{#E0453A}{1{,}41}$ ✗
D: $\sqrt5 : 2\sqrt5 : 3\sqrt5 = \textcolor{#E0453A}{1} : \textcolor{#E0453A}{2} : \textcolor{#E0453A}{3}$ ✗ — inny stosunek.
Odpowiedź: A.
Skąd bierze się odpowiedź B — to najciekawszy dystraktor. Liczby $20, 45, 80$ to $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{4}$ , $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{9}$ , $5 \cdot \textcolor{#E0453A}{16}$ , czyli boki oryginału podniesione do kwadratu i pomnożone. Podnoszenie boków do kwadratu daje figurę niepodobną — kwadrat dotyczy pól, nie długości. To dokładnie ta pomyłka, o której mówi legenda tej strony.
Kontrola nierównością trójkąta. Warto też sprawdzić, czy odpowiedź w ogóle opisuje trójkąt: dla B mamy $20 + 45 = \textcolor{#E0453A}{65}$ , a to mniej niż $80$ — taki trójkąt nie istnieje. Odpowiedź B odpada więc podwójnie.

💡 Wskazówka: Wyciągnij wspólny czynnik z boków i porównuj stosunki, nie same liczby. Najprościej podzielić wszystkie boki przez najkrótszy — wtedy dwa trójkąty są podobne dokładnie wtedy, gdy dostaniesz te same trzy liczby. Przy okazji sprawdź nierówność trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi przekraczać najdłuższy.

⚠ Wybór B przez podniesienie boków do kwadratu — kwadrat odnosi się do pól figur podobnych, a nie do długości boków. Boki mnożymy przez skalę, każdy przez tę samą liczbę. Drugi błąd: wybór D, bo „też są tam pierwiastki z pięciu”; obecność wspólnego czynnika nie wystarcza, stosunek musi być $2:3:4$ , a nie $1:2:3$ . Trzeci: wybór C przez skojarzenie „pierwiastki jak w treści” — $\sqrt4 = 2$ jest liczbą wymierną, a stosunek $\sqrt2 : \sqrt3 : 2$ nie upraszcza się do $2:3:4$ .

Zadanie 5 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Trapez

T_1

, o polu równym

52

i obwodzie

36

, jest podobny do trapezu

T_2

. Pole trapezu

T_2

jest równe

13

. Obwód trapezu

T_2

jest równy

A. $18$
B. $9$
C. $\dfrac{169}{9}$
D. $\dfrac{52}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie wymaga dwóch przejść: najpierw z pól do skali, potem ze skali do obwodu. Kolejność jest wymuszona, bo skala jest jedynym pomostem między polem i obwodem.
Krok 1 — skala z pól. Stosunek pól to kwadrat skali:
$k^2 = \dfrac{P_{2}}{P_{1}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{13}}{\textcolor{#16A06A}{52}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14} \qquad \Longrightarrow \qquad k = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{\dfrac14}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}$
Krok 2 — obwód ze skali. Obwód jest sumą długości, więc zmienia się jak długość — mnożymy przez $k$ , nie przez $k^2$ :
$\text{obwód } T_2 = k \cdot \text{obwód } T_1 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12} \cdot \textcolor{#16A06A}{36} = 18$
Odpowiedź: obwód $T_2$ jest równy $18$ , czyli A.
Kontrola spójności: skala $\tfrac12$ oznacza, że $T_2$ ma o połowę krótsze boki. Pole maleje wtedy czterokrotnie ( $52 : 4 = \textcolor{#E0453A}{13}$ ✓), a obwód dwukrotnie ( $36 : 2 = \textcolor{#E0453A}{18}$ ✓). Oba warunki się zgadzają.
Dlaczego odpowiedź $9$ jest tu podstawiona. To $36$ podzielone przez $\textcolor{#E0453A}{4}$ , czyli potraktowanie obwodu jak pola. Obwód mierzy się w tych samych jednostkach co boki, więc skaluje się jak boki — jednostka jest tu najlepszą podpowiedzią: pole ma jednostkę „do kwadratu”, obwód nie.
Odpowiedzi $\tfrac{169}{9}$ i $\tfrac{52}{3}$ to liczby zbudowane z danych bez sensownej drogi rachunkowej — obie są bliskie $18$ ( $\approx \textcolor{#E0453A}{18{,}8}$ i $\approx \textcolor{#E0453A}{17{,}3}$ ), więc nie odrzuci ich zgrubne oszacowanie.

💡 Wskazówka: Skala jest jedynym pomostem między polem i obwodem — nie ma wzoru łączącego je bezpośrednio. Zawsze więc: pola → skala (pierwiastek) → obwód (mnożenie). I pamiętaj, że obwód to długość, nie powierzchnia: jednostka podpowiada, że skaluje się liniowo.

⚠ Podzielenie obwodu przez stosunek pól, czyli $36 : 4 = 9$ (odpowiedź B) — to traktowanie obwodu jak pola. Obwód jest sumą boków, więc maleje dwukrotnie, a nie czterokrotnie. Drugi błąd: pominięcie pierwiastka i użycie $k = \tfrac14$ , co daje obwód $9$ tą samą drogą. Kontrola spójności rozstrzyga to od razu: przy skali $\tfrac12$ pole musi zmaleć czterokrotnie, i faktycznie $52 : 4 = 13$ .

Zadanie 6 (czerwiec 2013)1 pktśrednie

Prostokąt

ABCD

o przekątnej długości

2\sqrt{13}

jest podobny do prostokąta o bokach długości

2

3

. Obwód prostokąta

ABCD

jest równy

A. $10$
B. $20$
C. $5$
D. $24$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa obserwacja. Przekątna jest długością, więc w figurach podobnych skaluje się tak samo jak boki i obwód. Wystarczy więc porównać przekątne, żeby dostać skalę.
Krok 1 — przekątna mniejszego prostokąta z twierdzenia Pitagorasa:
$d = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}$
Krok 2 — skala. Dzielimy przekątną większego przez przekątną mniejszego:
$k = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2\sqrt{13}}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Pierwiastki się skracają — dlatego dana z treści ma właśnie taką postać.
Krok 3 — obwód. Obwód mniejszego prostokąta to $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3}) = \textcolor{#E0453A}{10}$ , a obwód $ABCD$ jest $k$ razy większy:
$\text{obwód } ABCD = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{10} = 20$
Odpowiedź: $20$ , czyli B.
Sprawdzenie inną drogą. Boki $ABCD$ to $\textcolor{#E0453A}{4}$ i $\textcolor{#E0453A}{6}$ (każdy dwa razy dłuższy), więc przekątna wynosi $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{16} + \textcolor{#E0453A}{36}} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{52}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt{13}}$ ✓ zgodnie z treścią, a obwód $2 \cdot (4+6) = \textcolor{#E0453A}{20}$ ✓
Uwaga na odpowiedź $10$ (A). To obwód mniejszego prostokąta — czyli zatrzymanie się przed pomnożeniem przez skalę. W zadaniach o figurach podobnych bardzo często poprawnie policzona wielkość dotyczy nie tej figury, o którą pytają.

💡 Wskazówka: Przekątna, obwód, wysokość i promień to wszystko długości — skalują się tak samo jak boki. Wystarczy więc jedna para odpowiadających sobie długości, żeby wyznaczyć skalę; nie trzeba znać boków. Tu najszybciej porównać przekątne, bo jedna jest dana, a drugą liczy się Pitagorasem w dwóch krokach.

⚠ Podanie $10$ (odpowiedź A), czyli obwodu prostokąta z treści zadania, a nie prostokąta $ABCD$ . Drugi błąd: potraktowanie stosunku przekątnych jako stosunku pól i mnożenie obwodu przez $4$ , co daje $40$ — liczby nie ma wśród odpowiedzi, ale kosztuje to powrót do zadania. Trzeci: odpowiedź $24$ (D) to obwód prostokąta o bokach $4$ i $8$ , czyli wynik pomylenia skali z dodawaniem $2$ do każdego boku — podobieństwo mnoży boki, nigdy do nich nie dodaje.

Zadanie 7 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

Kwadrat

K_2

jest podobny do kwadratu

K_1

w skali

5

. Suma pól tych kwadratów jest równa

78

. Długość boku kwadratu

K_1

jest równa

A. $\sqrt3$
B. $3$
C. $\sqrt{13}$
D. $13$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tu skala nie służy do przeliczenia jednej wielkości na drugą, ale do zapisania obu pól przez tę samą niewiadomą — i dopiero z sumy powstaje równanie.
Krok 1 — oznaczamy i wyrażamy boki. Niech bok $K_1$ ma długość $a$ . Skala $\textcolor{#16A06A}{5}$ oznacza, że bok $K_2$ jest pięć razy dłuższy:
$\text{bok } K_2 = \textcolor{#16A06A}{5}a$
Krok 2 — pola. Pole kwadratu to bok do kwadratu:
$P_1 = a^2, \qquad P_2 = \left(\textcolor{#16A06A}{5}a\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{25}a^2$
(do kwadratu podnosimy oba czynniki — piątkę i $a$ )
Krok 3 — suma pól z treści:
$a^2 + \textcolor{#E0453A}{25}a^2 = \textcolor{#16A06A}{78} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{26}a^2 = \textcolor{#16A06A}{78}$
$a^2 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{78}}{\textcolor{#E0453A}{26}} = \textcolor{#E0453A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \sqrt3$
Odpowiedź: bok $K_1$ ma długość $\sqrt3$ , czyli A.
Sprawdzenie: $P_1 = \left(\sqrt3\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{3}$ , a bok $K_2$ to $5\sqrt3$ , więc $P_2 = \textcolor{#E0453A}{75}$ . Suma: $\textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{75} = 78$ ✓
Zwróć uwagę, że pole $K_2$ jest $25$ razy większe, a nie $5$ razy — bo skala $5$ dotyczy długości, a pola rosną z kwadratem. Właśnie dlatego w równaniu stoi $26a^2$ , a nie $6a^2$ .
Skąd dystraktory. Odpowiedź $\sqrt{13}$ (C) wychodzi z błędnego $a^2 + 5a^2 = 6a^2 = 78$ , czyli $a^2 = 13$ — pominięcie kwadratu skali. Odpowiedź $3$ (B) to pole $K_1$ , nie jego bok; a $13$ (D) to kwadrat odpowiedzi C, czyli podwójna pomyłka.

💡 Wskazówka: Gdy zadanie podaje sumę (albo różnicę) pól, nie da się przeliczyć nic wprost — trzeba wprowadzić niewiadomą na bok mniejszej figury i wyrazić obie wielkości przez nią. Skala wchodzi wtedy do pola w kwadracie: przy skali $k$ suma pól to $a^2 + k^2a^2 = \left(1+k^2\right)a^2$ . Tu daje to od razu $26a^2 = 78$ .

⚠ Użycie skali bez kwadratu, czyli zapisanie $a^2 + 5a^2 = 78$ i wyjście na $a = \sqrt{13}$ (odpowiedź C). Pole rośnie z kwadratem skali, więc drugi składnik to $25a^2$ . Kontrola: przy boku $\sqrt{13}$ pola wynosiłyby $13$ i $325$ , a ich suma $338$ , nie $78$ . Drugi błąd: podanie $3$ (odpowiedź B), czyli pola kwadratu $K_1$ zamiast długości boku — trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek.

Zadanie 8 (pokazowa 2023)1 pkttrudniejsze

Dane są dwa trójkąty podobne

ABC

KLM

o polach równych — odpowiednio —

P

oraz

2P

. Obwód trójkąta

ABC

jest równy

x

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe — wybierz odpowiedź

A

albo

B

oraz jej uzasadnienie

1

2

albo

3

.
Obwód trójkąta

KLM

jest równy ………, ponieważ stosunek obwodów trójkątów podanych jest równy ……… .

A. $\sqrt2 \cdot x$
B. $2x$
1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów
2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów
3. stosunkowi pól tych trójkątów

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 2

Zadanie sprawdza regułę, a nie rachunek — i dlatego wymaga wskazania także uzasadnienia. Cała trudność jest w tym, żeby nie pomylić kierunku.
Krok 1 — skala z pól. Stosunek pól wynosi $\tfrac{\textcolor{#16A06A}{2P}}{\textcolor{#16A06A}{P}} = \textcolor{#E0453A}{2}$ , a stosunek pól to kwadrat skali:
$k^2 = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad k = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$
Krok 2 — obwód. Obwód jest długością, więc skaluje się przez $k$ :
$\text{obwód } KLM = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2} \cdot \textcolor{#16A06A}{x}$
To odpowiedź A.
Krok 3 — uzasadnienie. Stosunek obwodów jest równy skali, a skala jest pierwiastkiem kwadratowym ze stosunku pól — czyli uzasadnienie 2.
Odpowiedź: $A$ oraz $2$ .
Sprawdźmy pozostałe uzasadnienia, bo to sedno zadania. Uzasadnienie 3 mówi, że stosunek obwodów równa się stosunkowi pól — to dałoby obwód $2x$ , czyli odpowiedź B. Uzasadnienie 1 mówi, że stosunek obwodów to kwadrat stosunku pól, czyli $\textcolor{#E0453A}{4}$ — to dałoby obwód $4x$ , którego wśród odpowiedzi w ogóle nie ma.
Kontrola liczbowa. Weźmy trójkąt równoboczny o boku $\textcolor{#E0453A}{2}$ : pole $= \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ , obwód $= \textcolor{#E0453A}{6}$ . Trójkąt podobny w skali $\sqrt2$ ma bok $\textcolor{#E0453A}{2\sqrt2}$ , pole $= \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$ (dwa razy większe ✓) i obwód $= \textcolor{#E0453A}{6\sqrt2}$ .
Stosunek obwodów: $\tfrac{6\sqrt2}{6} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$ ✓ — czyli faktycznie pierwiastek ze stosunku pól, a nie sam stosunek.
Dlaczego intuicja podpowiada źle. „Dwa razy większe pole” brzmi jak „dwa razy większa figura”, ale podwojenie pola wymaga powiększenia boków tylko $\sqrt2 \approx 1{,}41$ razy. Dlatego odpowiedź $2x$ jest tak kusząca — i dlatego arkusz każe podać uzasadnienie.

💡 Wskazówka: Odpowiedzi i uzasadnienia są tu sparowane: uzasadnienie 2 prowadzi do $\sqrt2 x$ , uzasadnienie 3 do $2x$ , a uzasadnienie 1 do $4x$ — czyli do liczby, której nie ma na liście. Sprawdzenie, do czego prowadzi każde uzasadnienie, jest najszybszą drogą do rozstrzygnięcia i od razu potwierdza spójność wybranej pary.

⚠ Wybór pary $B$ i $3$ , czyli uznanie, że dwa razy większe pole oznacza dwa razy większy obwód. Ta intuicja jest naturalna i całkowicie błędna: pole rośnie z kwadratem skali, więc podwojenie pola to powiększenie długości $\sqrt2$ razy. Drugi błąd: wybór uzasadnienia 1 („kwadratowi stosunku pól”) przez pomieszanie kierunku — kwadrat prowadzi od skali do pól, a tu idziemy od pól do skali, czyli pierwiastkujemy. Trzeci: wskazanie tylko jednej odpowiedzi — polecenie wymaga litery i cyfry.

Zadanie 9 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Pole trójkąta równobocznego

T_1

jest równe

\dfrac{(1{,}5)^2 \cdot \sqrt3}{4}

. Pole trójkąta równobocznego

T_2

jest równe

\dfrac{(4{,}5)^2 \cdot \sqrt3}{4}

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe — wybierz odpowiedź

A

albo

B

oraz jej uzasadnienie

1

2

albo

3

.
Trójkąt

T_2

jest podobny do trójkąta

T_1

w skali ………, ponieważ ……… .

A. $3$
B. $9$
1. każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii
2. pole trójkąta $T_2$ jest $9$ razy większe od pola trójkąta $T_1$
3. bok trójkąta $T_2$ jest o $3$ dłuższy od boku trójkąta $T_1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 2

Krok 1 — odczytujemy boki ze wzoru. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wynosi $\tfrac{a^2\sqrt3}{4}$ . Porównując z danymi, widzimy boki bez żadnego rachunku:
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{1{,}5}, \qquad a_2 = \textcolor{#16A06A}{4{,}5}$
Krok 2 — skala. Skala to stosunek odpowiadających sobie długości:
$k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{1{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
To odpowiedź A.
Krok 3 — uzasadnienie. Sprawdzamy każde z trzech:
Uzasadnienie 1 („trzy osie symetrii”) jest prawdziwym zdaniem o trójkątach równobocznych, ale nie uzasadnia skali — z liczby osi symetrii nie wynika, ile razy jedna figura jest większa od drugiej. Zdanie prawdziwe, lecz nie na temat.
Uzasadnienie 2 („pole $T_2$ jest $9$ razy większe”) jest prawdziwe i wystarcza: stosunek pól to kwadrat skali, więc $k = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{3}$ ✓
Sprawdźmy tę dziewiątkę: $\dfrac{(4{,}5)^2}{(1{,}5)^2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{20{,}25}}{\textcolor{#E0453A}{2{,}25}} = \textcolor{#E0453A}{9}$ ✓
Uzasadnienie 3 („bok jest o $3$ dłuższy”) jest prawdziwe liczbowo ( $4{,}5 - 1{,}5 = \textcolor{#E0453A}{3}$ ), ale mówi o różnicy, a skala jest ilorazem. Gdyby boki wynosiły $10$ i $13$ , różnica też byłaby $3$ , a skala $1{,}3$ — czyli z różnicy skala nie wynika.
Odpowiedź: $A$ oraz $2$ .
To najciekawsza pułapka tej strony. Wszystkie trzy uzasadnienia są prawdziwymi zdaniami o tych trójkątach. Tylko jedno jednak uzasadnia wartość skali — a to zupełnie inna rzecz niż być prawdą. Uzasadnienie musi być regułą, z której szukana wartość wynika.

💡 Wskazówka: Odczytaj boki wprost ze wzoru na pole — liczba w kwadracie w liczniku jest bokiem, więc nie ma tu nic do liczenia. Potem, wybierając uzasadnienie, sprawdzaj nie tylko czy zdanie jest prawdziwe, ale czy z niego wynika odpowiedź. Prawdziwe zdanie, które nie prowadzi do wyniku, nie jest uzasadnieniem.

⚠ Wybór uzasadnienia 3, bo różnica boków faktycznie wynosi $3$ — tyle samo, ile skala. To zbieg okoliczności wynikający z konkretnych liczb: skala jest ilorazem $4{,}5 : 1{,}5$ , a nie różnicą. Drugi błąd: wybór $9$ (odpowiedź B), czyli podanie stosunku pól jako skali; skala dotyczy długości i jest pierwiastkiem z tej dziewiątki. Trzeci: wybór uzasadnienia 1 jako „na pewno prawdziwego” — jest prawdziwe, ale o osiach symetrii, a nie o skali.

Zadania otwarte

Zadanie 10 (maj 2023)2 pktłatwe

Trójkąty prostokątne

T_1

T_2

są podobne. Przyprostokątne trójkąta

T_1

mają długości

5

12

. Przeciwprostokątna trójkąta

T_2

ma długość

26

. Oblicz pole trójkąta

T_2

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $P_{T_2} = 120$

Krok 1 — przeciwprostokątna trójkąta $T_1$ . Znamy obie przyprostokątne, więc bierzemy twierdzenie Pitagorasa:
$c^2 = \textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{12}^2 = 25 + 144 = \textcolor{#E0453A}{169} \qquad \Longrightarrow \qquad c = \textcolor{#E0453A}{13}$
To znana trójka pitagorejska $5$ , $12$ , $13$ — warto ją rozpoznawać na wejściu, bez liczenia.
Krok 2 — skala. Przeciwprostokątna odpowiada przeciwprostokątnej, bo obie leżą naprzeciw kąta prostego. Jest to jedyna para boków, którą w dwóch podobnych trójkątach prostokątnych można wskazać bez żadnych dodatkowych informacji:
$k = \dfrac{|c_2|}{|c_1|} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{26}}{\textcolor{#E0453A}{13}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Krok 3 — przyprostokątne trójkąta $T_2$ . Każda długość rośnie $k$ razy:
$\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{10}, \qquad \textcolor{#16A06A}{12} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{24}$
Krok 4 — pole. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są podstawą i wysokością:
$P_{T_2} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{10} \cdot \textcolor{#E0453A}{24} = 120$
Odpowiedź: $P_{T_2} = 120$ .
Kontrola drogą krótszą — przez kwadrat skali, bez liczenia boków $T_2$ . Pole mniejszego trójkąta to $P_{T_1} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{30}$ , a wtedy
$P_{T_2} = \textcolor{#E0453A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{2}^2 = \textcolor{#E0453A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 120$ ✓ ten sam wynik
Kontrola druga: policzone przyprostokątne muszą spełniać Pitagorasa w $T_2$ — $\textcolor{#E0453A}{10}^2 + \textcolor{#E0453A}{24}^2 = 100 + 576 = \textcolor{#E0453A}{676} = \textcolor{#16A06A}{26}^2$ ✓

💡 Wskazówka: W dwóch podobnych trójkątach prostokątnych przeciwprostokątne odpowiadają sobie automatycznie — leżą naprzeciw kąta prostego, więc nie trzeba dopasowywać wierzchołków. Tym te zadania różnią się od ogólnych zadań o podobieństwie, w których dopasowanie jest połową pracy. Drugi skrót, który warto mieć w odruchu: gdy znasz pole mniejszej figury, pole większej dostajesz jednym mnożeniem przez $k^2$ — nie trzeba wyznaczać jej wymiarów. Warto też znać na pamięć trójki pitagorejskie $3,4,5$ oraz $5,12,13$ i ich wielokrotności; $10, 24, 26$ to właśnie druga z nich podwojona.

⚠ Pomnożenie pola przez skalę zamiast przez jej kwadrat: $30 \cdot 2 = 60$ . To najczęstszy błąd w całym dziale. Drugi błąd: potraktowanie liczby $26$ jako przyprostokątnej trójkąta $T_2$ — treść mówi wyraźnie „przeciwprostokątna”, a to inny bok. Trzeci błąd: sparowanie przeciwprostokątnej $26$ z dłuższą przyprostokątną $12$ i skala $\tfrac{26}{12} = \tfrac{13}{6}$ ; wychodzi wtedy pole $30 \cdot \left(\tfrac{13}{6}\right)^2 = \tfrac{845}{6} \approx 140{,}8$ — liczba niecałkowita, co w takim zadaniu jest sygnałem, że coś jest sparowane źle.

Zadanie 11 (maj 2021)2 pktśrednie

Trójkąt równoboczny

ABC

ma pole równe

9\sqrt3

. Prosta równoległa do boku

BC

przecina boki

AB

AC

— odpowiednio — w punktach

K

L

. Trójkąty

ABC

AKL

są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy

\dfrac32

. Oblicz długość boku trójkąta

AKL

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Bok trójkąta $AKL$ ma długość $4$

Krok 1 — bok trójkąta $ABC$ odzyskany z pola. Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku $a$ to $P = \tfrac{a^2\sqrt3}{4}$ . Trzeba go tu użyć „w drugą stronę”:
$\textcolor{#16A06A}{9\sqrt3} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad a^2 = \dfrac{4 \cdot \textcolor{#16A06A}{9}\sqrt3}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{36} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{6}$
Krok 2 — trójkąt $AKL$ też jest równoboczny. Prosta $KL$ jest równoległa do $BC$ , więc przenosi kąty: kąt przy $A$ jest wspólny, a kąty przy $K$ i $L$ są równe kątom przy $B$ i $C$ . Wszystkie trzy mają po $60^\circ$ , więc $AKL$ jest równoboczny — i wystarczy policzyć jego jeden bok.
Krok 3 — czytamy podany stosunek. Treść mówi „stosunek długości boków tych trójkątów”, w kolejności $ABC$ do $AKL$ :
$\dfrac{|AB|}{|AK|} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac32}$
Kierunek się broni: $\tfrac32 > 1$ , a trójkąt $AKL$ jest częścią trójkąta $ABC$ , więc musi być mniejszy. Gdyby stosunek podano odwrotnie, byłby mniejszy od jedynki.
Krok 4 — bok.
$|AK| = \textcolor{#E0453A}{6} \cdot \dfrac{2}{3} = 4$
Odpowiedź: bok trójkąta $AKL$ ma długość $4$ .
Kontrola przez pole — inną drogą niż rachunek powyżej. Skala z $ABC$ do $AKL$ wynosi $\textcolor{#E0453A}{\tfrac23}$ , więc pola mają się jak jej kwadrat:
$P_{AKL} = \textcolor{#16A06A}{9\sqrt3} \cdot \left(\textcolor{#E0453A}{\tfrac23}\right)^2 = \textcolor{#16A06A}{9\sqrt3} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac49} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$
A pole trójkąta równobocznego o boku $4$ to $\tfrac{4^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$ ✓ zgadza się
Kontrola druga, na podziale boku: skala $\textcolor{#E0453A}{\tfrac23}$ znaczy, że $|AK| = \tfrac23|AB|$ , czyli $|AK| : |KB| = 4 : 2 = \textcolor{#E0453A}{2 : 1}$ . Punkt $K$ leży więc w dwóch trzecich boku $AB$ , licząc od $A$ — i to jest spójne z tym, co narysowałby ktoś, kto zna tylko skalę.

💡 Wskazówka: Wzór na pole trójkąta równobocznego, $P = \tfrac{a^2\sqrt3}{4}$ , trzeba tu umieć odwrócić — pole jest dane, bok szukany. Praktyczna sztuczka: skoro w wyniku stoi $\sqrt3$ , to $\sqrt3$ się skróci i zostanie działanie na liczbach całkowitych. Druga rzecz: stosunek $\tfrac32$ dotyczy długości, nie pól, i jest podany w kolejności $ABC$ do $AKL$ — czyli od większego do mniejszego. Sam kierunek jest kontrolą: wynik musi być mniejszy od $6$ , bo $AKL$ leży wewnątrz $ABC$ . I trzecia, oszczędzająca pracę: prosta równoległa do boku odcina trójkąt równoboczny, więc nie trzeba liczyć drugiego ani trzeciego boku.

⚠ Potraktowanie $\tfrac32$ jako stosunku pól i wyciągnięcie z niego pierwiastka: $k = \sqrt{\tfrac32} \approx 1{,}22$ , a stąd bok $\tfrac{6}{1,22} \approx 4{,}9$ . Treść mówi wprost „stosunek długości boków”, więc pierwiastek jest tu zbędny. Drugi błąd: pomnożenie zamiast podzielenia, $6 \cdot \tfrac32 = 9$ — bok większy od boku trójkąta, wewnątrz którego $AKL$ się zawiera, czyli odpowiedź niemożliwa; taki wynik trzeba odrzucić bez dalszego liczenia. Trzeci błąd: pomylenie wzoru na pole z wzorem na wysokość trójkąta równobocznego, $h = \tfrac{a\sqrt3}{2}$ . Dla $a = 6$ wysokość to $3\sqrt3$ , a pole $9\sqrt3$ — te dwie liczby łatwo pomylić właśnie przy boku $6$ , bo obie zawierają $\sqrt3$ .

Zadanie 12 (czerwiec 2021)2 pkttrudniejsze

W trójkącie

ABC

boki

BC

AC

są równej długości. Prosta

k

jest prostopadła do podstawy

AB

tego trójkąta i przecina boki

AB

oraz

BC

w punktach — odpowiednio —

D

E

. Pole czworokąta

ADEC

jest

17

razy większe od pola trójkąta

BED

. Oblicz

\dfrac{|CE|}{|EB|}

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2$

Krok 1 — liczba $18$ zamiast $17$ . Prosta $k$ rozcina trójkąt $ABC$ na dwie części: czworokąt $ADEC$ i trójkąt $BED$ . Razem dają całość, więc
$P_{ABC} = P_{ADEC} + P_{BED} = \textcolor{#16A06A}{17} \cdot P_{BED} + P_{BED} = \textcolor{#E0453A}{18} \cdot P_{BED}$
To pierwszy i najważniejszy ruch: liczba, z którą się pracuje, to $\textcolor{#E0453A}{18}$ , a nie $17$ .
Krok 2 — dorysowujemy wysokość z wierzchołka $C$ . Bez niej nie ma drugiego trójkąta do porównania. Oznaczmy przez $M$ jej spodek na podstawie $AB$ . Ponieważ $|AC| = |BC|$ , trójkąt jest równoramienny, więc wysokość $CM$ jest zarazem środkową — punkt $M$ jest środkiem $AB$ . Stąd od razu:
$P_{BMC} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} P_{ABC}$
Krok 3 — podobieństwo. Prosta $k$ jest prostopadła do $AB$ , i wysokość $CM$ też — więc $DE \parallel CM$ . Trójkąt $BDE$ jest zatem podobny do trójkąta $BMC$ : kąt przy $B$ mają wspólny, a kąty przy $D$ i $M$ są proste.
Oznaczmy skalę tego podobieństwa przez $k$ — jest to zarazem stosunek, który nas interesuje w drodze do odpowiedzi:
$k = \dfrac{|BE|}{|BC|} = \dfrac{|BD|}{|BM|} = \dfrac{|DE|}{|MC|}$
Krok 4 — skala z pól. Pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali. Wstawiamy oba pola wyrażone przez $P_{ABC}$ :
$k^2 = \dfrac{P_{BDE}}{P_{BMC}} = \dfrac{\tfrac{1}{18} P_{ABC}}{\tfrac12 P_{ABC}} = \dfrac{2}{18} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac19} \qquad \Longrightarrow \qquad k = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$
Krok 5 — z części na stosunek części. Skala mówi, że $|BE| = \textcolor{#E0453A}{\tfrac13}|BC|$ , więc pozostały fragment to
$|CE| = |BC| - |BE| = \textcolor{#E0453A}{\tfrac23}|BC|$
$\dfrac{|CE|}{|EB|} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{\tfrac23}|BC|}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac13}|BC|} = 2$
Odpowiedź: $\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2$ .
Kontrola na konkretnym trójkącie — sprawdźmy, czy warunek z treści naprawdę wychodzi. Weźmy $A = (0, 0)$ , $B = (6, 0)$ , $C = (3, 4)$ ; wtedy $|AC| = |BC| = \textcolor{#E0453A}{5}$ , a $P_{ABC} = \textcolor{#E0453A}{12}$ .
Punkt $E$ na boku $BC$ w jednej trzeciej od $B$ : $E = \left(\textcolor{#E0453A}{5}, \textcolor{#E0453A}{\tfrac43}\right)$ , a spodek prostopadłej to $D = (\textcolor{#E0453A}{5}, 0)$ . Wtedy $P_{BED} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{1} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac43} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac23}$ , a czworokąt ma pole $\textcolor{#E0453A}{12} - \textcolor{#E0453A}{\tfrac23} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{34}{3}}$ .
Sprawdzamy warunek: $\textcolor{#E0453A}{\tfrac{34}{3}} : \textcolor{#E0453A}{\tfrac23} = \textcolor{#16A06A}{17}$ ✓ dokładnie tak, jak podaje treść. A szukany stosunek to $\tfrac{10/3}{5/3} = 2$ ✓

💡 Wskazówka: Liczba $17$ jest niewygodna i to jest sygnał: czworokąt i trójkąt razem dają całość, więc pole trójkąta $ABC$ to $18$ małych pól — i dopiero z $18$ się liczy. Drugi krok trzeba wykonać samemu, bo nie ma go w treści: dorysować wysokość z wierzchołka $C$ . Bierze się ona stąd, że trójkąt jest równoramienny, więc ta wysokość jest też środkową, a to daje $P_{BMC}$ od razu jako połowę całości — bez żadnego rachunku. Na koniec uwaga na pytanie: skala podobieństwa to $\tfrac{|BE|}{|BC|}$ , czyli część do całości, a pytanie dotyczy $\tfrac{|CE|}{|EB|}$ , czyli części do części. Trzeba przejść przez „całość minus część”, i to jest miejsce, w którym najłatwiej się zatrzymać za wcześnie.

⚠ Przyjęcie, że liczba $17$ jest kwadratem skali, i policzenie $k = \sqrt{17}$ . Czworokąt $ADEC$ nie jest podobny do trójkąta $BED$ — nie jest nawet trójkątem, więc kwadrat skali w ogóle go nie dotyczy. Podobne są $BDE$ i $BMC$ , i tylko między nimi wolno porównywać pola przez $k^2$ . Drugi błąd: podanie $\tfrac13$ zamiast $2$ , czyli zatrzymanie się na skali i nieprzeliczenie jej na stosunek $\tfrac{|CE|}{|EB|}$ . Trzeci błąd: porównanie pola $BDE$ wprost z polem całego trójkąta $ABC$ , bez zauważenia, że podobny jest tylko trójkąt $BMC$ — czyli połowa. Wychodzi wtedy $k^2 = \tfrac{1}{18}$ , $k = \tfrac{1}{3\sqrt2}$ i stosunek $3\sqrt2 - 1 \approx 3{,}24$ . Liczba niewymierna w zadaniu, w którym wszystkie dane są całkowite, jest mocnym sygnałem, że gdzieś zgubiono czynnik $2$ .

Zadanie 13 (zbiór zadań CKE)4 pkttrudniejsze

Dany jest trapez równoramienny

ABCD

o podstawach

AB

CD

, gdzie

|AB| > |CD|

. Kąt ostry tego trapezu ma miarę

60^\circ

, a przekątna jest prostopadła do ramienia, którego długość jest równa

6

. Oba ramiona tego trapezu przedłużono, otrzymując trapez

DCFG

podobny do trapezu

ABCD

(zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu

DCFG

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $P_{DCFG} = \dfrac{27\sqrt3}{4} \approx 11{,}69$

Krok 1 — dłuższa podstawa z trójkąta prostokątnego. Przekątna $DB$ jest prostopadła do ramienia $AD$ , więc trójkąt $ABD$ jest prostokątny, z kątem prostym przy $D$ . Kąt przy $A$ wynosi $\textcolor{#16A06A}{60^\circ}$ , a $|AD| = \textcolor{#16A06A}{6}$ jest w tym trójkącie przyprostokątną leżącą przy tym kącie, natomiast $|AB|$ — przeciwprostokątną:
$\cos \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \dfrac{|AD|}{|AB|} \qquad \Longrightarrow \qquad |AB| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\cos \textcolor{#16A06A}{60^\circ}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{\tfrac12}} = \textcolor{#E0453A}{12}$
Krok 2 — krótsza podstawa. Trapez jest równoramienny, więc oba ramiona rzutują się na podstawę $AB$ jednakowo. Rzut jednego ramienia to
$\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \cos \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$|CD| = |AB| - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{12} - \textcolor{#E0453A}{6} = \textcolor{#E0453A}{6}$
Krok 3 — wysokość trapezu.
$h = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$
Krok 4 — pole trapezu $ABCD$ .
$P_{ABCD} = \dfrac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12} + \textcolor{#E0453A}{6}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{9} \cdot \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{27\sqrt3}$
Krok 5 — skala podobieństwa. Zapis $DCFG \sim ABCD$ paruje wierzchołki po kolei: $D \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow B$ , $F \leftrightarrow C$ , $G \leftrightarrow D$ . Dłuższą podstawą trapezu $DCFG$ jest więc $DC$ , a odpowiada jej dłuższa podstawa $AB$ :
$k = \dfrac{|DC|}{|AB|} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}$
Krok 6 — pola jak kwadrat skali.
$P_{DCFG} = P_{ABCD} \cdot k^2 = \textcolor{#E0453A}{27\sqrt3} \cdot \left(\textcolor{#E0453A}{\tfrac12}\right)^2 = \dfrac{27\sqrt3}{4}$
Odpowiedź: $P_{DCFG} = \dfrac{27\sqrt3}{4} \approx 11{,}69$ .
Kontrola pierwsza — czy trapez $DCFG$ naprawdę jest podobny do $ABCD$ . Kąt wewnętrzny trapezu $ABCD$ przy wierzchołku $D$ wynosi $180^\circ - \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#E0453A}{120^\circ}$ , więc kąt między podstawą $DC$ i przedłużeniem ramienia $AD$ za punkt $D$ to $180^\circ - \textcolor{#E0453A}{120^\circ} = \textcolor{#E0453A}{60^\circ}$ — dokładnie tyle, ile kąt ostry trapezu $ABCD$ ✓ Kąty się zgadzają, więc podobieństwo jest możliwe, a skala wynika z podstaw.
Kontrola druga — liczymy pole $DCFG$ wprost z jego wymiarów, bez odwoływania się do skali. Ramię $|DG| = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{3}$ , a krótsza podstawa $|GF| = \textcolor{#E0453A}{6} - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{3}$ . Wysokość: $\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{3\sqrt3}{2}}$ . Zatem
$P_{DCFG} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#E0453A}{3}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac92} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3\sqrt3}{2}} = \dfrac{27\sqrt3}{4}$ ✓ ten sam wynik dwiema drogami
Kontrola trzecia, najładniejsza. Wyszło $|AB| = \textcolor{#E0453A}{12}$ , a wszystkie pozostałe boki po $\textcolor{#E0453A}{6}$ : $|AD| = |BC| = |CD| = \textcolor{#E0453A}{6}$ . Trapez o trzech bokach równych i podstawie dwa razy dłuższej, z kątami $\textcolor{#E0453A}{60^\circ}$ , to dokładnie połowa sześciokąta foremnego o boku $6$ . Pole sześciokąta foremnego to sześć trójkątów równobocznych, więc $6 \cdot \tfrac{6^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{54\sqrt3}$ , a połowa tego to $\textcolor{#E0453A}{27\sqrt3}$ ✓ zgadza się z krokiem 4.

💡 Wskazówka: Dwa spostrzeżenia skracają to zadanie o połowę. Pierwsze: prostopadłość przekątnej do ramienia daje trójkąt prostokątny, w którym znasz kąt $60^\circ$ i przyprostokątną leżącą przy nim — stąd dłuższa podstawa jednym dzieleniem. Drugie: skoro wychodzi $|AB| = 12$ , a wszystkie inne boki mają po $6$ , to trapez jest połową sześciokąta foremnego o boku $6$ ; kto to zauważy, policzy pole bez wzoru na trapez. Na końcu jedna rzecz do przeczytania uważnie: zapis $DCFG \sim ABCD$ paruje $DC$ z $AB$ , czyli dłuższą podstawę z dłuższą. Skala to $\tfrac{6}{12} = \tfrac12$ , i to ona — a nie stosunek krótszych podstaw ani ramion — jest tu potrzebna. Zresztą w figurach podobnych wszystkie te stosunki są równe, więc każdy z nich by wystarczył; ważne jest tylko, żeby nie mieszać podstawy dłuższej z krótszą.

⚠ Zatrzymanie się na polu trapezu $ABCD$ i podanie $27\sqrt3$ — czyli pominięcie ostatniego kroku, choć pytanie dotyczy trapezu $DCFG$ . Przy zadaniu za cztery punkty to strata dwóch. Drugi błąd: pomnożenie pola przez skalę zamiast przez jej kwadrat, $27\sqrt3 \cdot \tfrac12 = \tfrac{27\sqrt3}{2}$ . Trzeci błąd: wyznaczenie $|AB|$ jako $\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \cos 60^\circ = 3$ albo $\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \text{tg}\,60^\circ = 6\sqrt3$ zamiast $\tfrac{6}{\cos 60^\circ}$ . Warto pamiętać regułę w tę stronę, w którą jest potrzebna: przyprostokątna leżąca przy kącie to przeciwprostokątna razy cosinus, więc przeciwprostokątna to ta przyprostokątna podzielona przez cosinus. Tu wynik musi być większy od $6$ , bo przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem — a $3$ i $6\sqrt3 \approx 10{,}4$ da się rozstrzygnąć samą tą uwagą tylko w połowie przypadków, więc lepiej znać kierunek wzoru. Czwarty błąd: przyjęcie, że przekątna jest prostopadła do podstawy; wtedy trapez byłby prostokątny, a nie równoramienny, i dane przestałyby się zgadzać.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. B	3. D	4. A	5. A	6. B
7. A	8. A, 2	9. A, 2	10. $P_{T_2} = 120$	11. Bok trójkąta $AKL$ ma długość $4$	12. $\dfrac{\|CE\|}{\|EB\|} = 2$
13. $P_{DCFG} = \dfrac{27\sqrt3}{4} \approx 11{,}69$

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

9Pytania i odpowiedzi

Jak zmienia się obwód figury podobnej?

Rośnie tak samo jak pojedynczy bok, czyli mnoży się przez skalę $k$ . Wynika to z wyłączenia wspólnego czynnika: suma boków pomnożonych przez $k$ to cała suma pomnożona przez $k$ .

Dlaczego pole rośnie k razy do kwadratu, a obwód tylko k razy?

Bo obwód jest sumą długości, a pole iloczynem dwóch wymiarów. Powiększenie mnoży przez $k$ zarówno podstawę, jak i wysokość, więc pole zostaje pomnożone dwukrotnie — przez $k$ i jeszcze raz przez $k$ .

Jak obliczyć skalę, znając pola dwóch figur podobnych?

Trzeba spierwiastkować stosunek pól. Jeśli pola wynoszą $25$ i $100$ , to ich stosunek równa się $4$ , a skala jest pierwiastkiem z czterech, czyli wynosi $2$ .

Czy dwa prostokąty o tych samych kątach są podobne?

Niekoniecznie. Wszystkie prostokąty mają kąty proste, ale prostokąt o bokach $2$ i $2$ nie jest podobny do prostokąta o bokach $2$ i $3$ , bo proporcje boków są różne. Dla czworokątów trzeba sprawdzić oba warunki.

Kiedy wystarczy sprawdzić tylko kąty?

Wyłącznie przy trójkątach, bo trójkąt jest figurą sztywną — trzy odcinki dają się złożyć tylko na jeden sposób. Dla wielokątów o większej liczbie boków ten skrót nie działa.

Co dzieje się z objętością brył podobnych?

Rośnie w skali $k^3$ , bo objętość jest iloczynem trzech wymiarów. Idąc w drugą stronę, ze stosunku objętości do skali, trzeba wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia.

Czytaj dalej

Podobieństwo trójkątówTrzy cechy podobieństwa i skąd się biorą Skala i mapaTa sama zależność w zadaniach o planach i mapach Potęgowanie i pierwiastkowaniePotrzebne przy przejściu z pól do skali Twierdzenie PitagorasaPrzydaje się przy przekątnych prostokątów Geometria płaskaPozostałe tematy z planimetrii

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.