Strona główna › Geometria › Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt

W każdy trójkąt da się wpisać okrąg — dokładnie jeden, dotykający wszystkich trzech boków od wewnątrz. O tym, gdzie leży jego środek, decydują dwusieczne kątów. Ale w zadaniach pyta się zwykle o co innego: o promień. I tu jest dobra wiadomość — liczy się go jednym wzorem, który działa w każdym trójkącie i wymaga tylko pola oraz obwodu.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres podstawowy

Wyłącz kolory

1Czym jest okrąg wpisany

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg dotykający wszystkich trzech boków. Trójkąt go „obejmuje”, a okrąg mieści się w nim w całości.

Słowo dotykający jest tu istotne. Okrąg nie przecina boków — styka się z każdym w dokładnie jednym punkcie. Dzieje się tak, bo jego środek jest jednakowo oddalony od wszystkich trzech boków, a ta odległość to właśnie promień $r$.

Środek leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta. Wynika to z własności dwusiecznej: każdy jej punkt jest równo oddalony od obu ramion kąta, więc punkt leżący na dwóch dwusiecznych naraz jest równo oddalony od wszystkich trzech boków. Całe uzasadnienie, wraz z tym, dlaczego trzy dwusieczne muszą się spotkać w jednym punkcie, rozwijam przy dwusiecznej kąta.

Tutaj zajmuję się tym, co dzieje się potem — jak z takiego okręgu wyliczyć promień, gdy zadanie podaje same boki.

2Środek zawsze leży wewnątrz

To najwyraźniejsza różnica między dwoma okręgami trójkąta — i warto ją znać, bo bywa wykorzystywana w zadaniach na rozpoznawanie.

Cała środkowa kolumna jest taka sama — i to nie przypadek. Dwusieczna kąta zawsze wchodzi do wnętrza trójkąta, bo dzieli kąt na dwie części leżące po jego stronach. Skoro każda z trzech dwusiecznych biegnie wewnątrz figury, ich punkt przecięcia też musi być w środku.

Z symetralną jest inaczej: ona jest prostopadła do boku i wcale nie musi przechodzić przez wnętrze trójkąta. Dlatego środek okręgu opisanego potrafi wypaść poza figurą, a środek wpisanego — nigdy.

3Promień — jeden wzór na wszystkie trójkąty

Zadania rzadko każą rysować. Zwykle podają boki i pytają o promień — a wtedy potrzebny jest wzór.

Skąd się to bierze? Z jednego rysunku i wzoru na pole trójkąta — nic ponadto nie jest potrzebne.

Połącz środek okręgu wpisanego z trzema wierzchołkami. Trójkąt rozpadnie się na trzy mniejsze trójkąty, a każdy z nich ma za podstawę jeden z boków. Co jest ich wysokością? Odległość środka od tego boku — czyli za każdym razem to samo $r$.

• pierwszy trójkąt: podstawa $a$, wysokość $r$, pole $\frac{ar}{2}$,
• drugi: podstawa $b$, wysokość $r$, pole $\frac{br}{2}$,
• trzeci: podstawa $c$, wysokość $r$, pole $\frac{cr}{2}$.

Ich pola muszą się zsumować do pola całego trójkąta:

A stąd wystarczy podzielić obie strony przez $p$:

Wzór nie zakłada niczego o kształcie trójkąta — działa tak samo w ostrokątnym, prostokątnym i rozwartokątnym. Jeśli umiesz policzyć pole i obwód, promień masz w jednym dzieleniu.

Zwróć uwagę na częstą pułapkę: w mianowniku stoi połowa obwodu, nie cały obwód. Wstawienie całego daje wynik dwa razy za mały.

4Dwa przypadki warte zapamiętania

Wzór $r = \frac{P}{p}$ zawsze zadziała, ale w dwóch sytuacjach da się policzyć promień jeszcze szybciej.

Pierwszy wzór jest wygodny, bo nie wymaga liczenia pola — wystarczą trzy boki i jedno odejmowanie. Dla trójkąta o bokach $3$, $4$, $5$ daje $\frac{\textcolor{#16A06A}{3+4-5}}{2} = \frac{\textcolor{#16A06A}{2}}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}$, a dla $6$, $8$, $10$ wychodzi $\frac{\textcolor{#16A06A}{6+8-10}}{2} = \textcolor{#E0453A}{2}$.

Drugi przypadek jest ciekawy z innego powodu. W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego i opisanego to ten sam punkt, a oba promienie liczy się od tej samej wysokości:

• promień wpisanego to $\frac{1}{3}$ wysokości, czyli $r = \textcolor{#E0453A}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}$,
• promień opisanego to $\frac{2}{3}$ wysokości, czyli $R = \textcolor{#2F80D8}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}$.

Ta zależność bierze się z podziału w stosunku $2:1$, w jakim punkt przecięcia dzieli środkową — tę samą własność opisuję przy środkowych w trójkącie. W równobocznym środkowa, wysokość i dwusieczna to jeden odcinek, więc wszystko schodzi się w jednym punkcie i jednym rachunku.

W żadnym innym trójkącie taka prosta zależność między $R$ a $r$ nie zachodzi — to wyjątek, nie reguła.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: promień dwoma sposobami, trójkąt równoramienny i porównanie obu okręgów.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy pojawia się w niemal każdej klasie.

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.