Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo › Moda (dominanta)

Moda (dominanta)

Q: Czym różni się moda od dominanty?

Niczym — to dwie nazwy tego samego pojęcia. W podstawie programowej i w arkuszach maturalnych używa się słowa dominanta, natomiast moda jest nazwą częstszą w mowie potocznej i w wyszukiwarkach.

Q: Czy zestaw danych może mieć dwie dominanty?

Tak. Jeżeli największa liczebność stoi przy kilku różnych wartościach, wszystkie są dominantami na równych prawach. Taki zestaw nazywamy dwumodalnym i w odpowiedzi trzeba wymienić wszystkie te wartości.

Q: Co zrobić, gdy każda wartość występuje tylko raz?

W szkolnej konwencji przyjmuje się wtedy, że dominanta nie istnieje. Nie podajemy wartości największej ani pierwszej z brzegu — brak dominanty jest pełnoprawną odpowiedzią. W zadaniach maturalnych ten przypadek się nie pojawia.

Q: Czy trzeba uporządkować dane, żeby wyznaczyć dominantę?

Nie. W odróżnieniu od mediany kolejność danych nie ma tu żadnego znaczenia, bo liczy się wyłącznie liczba wystąpień. Sortowanie bywa wygodne przy zliczaniu, ale nie jest częścią rozwiązania.

Q: Kiedy dominanta jest lepsza od średniej?

Wtedy, gdy dane są numerami lub kategoriami, a nie wielkościami mierzalnymi — na przykład przy rozmiarach ubrań, ocenach czy kolorach. Średnia daje wtedy wartość, której w danych nie ma i mieć nie może.

Moda to wartość, która w zestawie danych występuje najczęściej. Cała trudność tego pojęcia mieści się w jednym zdaniu: modą jest sama wartość, a nie liczba jej powtórzeń. Kto to raz zrozumie, ma temat z głowy — reszta strony to przypadki szczególne i sytuacje, w których moda mówi więcej niż średnia.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Moda czy dominanta — dwie nazwy tej samej liczby

W szkole i w zadaniach maturalnych spotkasz oba słowa. Znaczą dokładnie to samo.

Moda — nazwa częstsza w mowie potocznej i w wyszukiwarkach.
Dominanta — nazwa używana w podstawie programowej i w arkuszach CKE.

Podstawa dla liceum (od 2025), dział XII (Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka), zakres podstawowy, punkt 2

„oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę”.

Zwróć uwagę na czasowniki: średnią się oblicza, a medianę i dominantę znajduje. To nie jest przypadek — dominanty się nie liczy, tylko wyszukuje wśród danych.

W treści zadania maturalnego pojawi się słowo dominanta. Jeśli szukasz tego pojęcia jako moda, to ta sama rzecz.

Warto zapamiętać jedną konsekwencję tej definicji: dominanta zawsze jest jedną z wartości występujących w zestawie. Średnia może być liczbą, której w danych w ogóle nie ma — dominanta nigdy.

2Jak ją znaleźć

Procedura jest krótsza niż przy medianie, bo nie trzeba porządkować danych.

Policz, ile razy występuje każda wartość — najwygodniej w tabelce.
Znajdź największą liczebność.
Podaj wartość, przy której ta liczebność stoi — a nie samą liczebność.

Trzeci krok jest miejscem, na którym wykłada się najwięcej osób — ale pomylić się da się także w pierwszym, przy samym zliczaniu.

Kontrola, która wyłapie niekompletne zliczanie

Suma wszystkich liczebności musi być równa liczbie danych.

Jeśli w zestawie było $6$ liczb, a w tabelce wychodzi $7$ — gdzieś policzyłeś coś dwa razy.

Ta kontrola sprawdza jedną rzecz: czy zliczanie było kompletne. Nie wyłapie natomiast pomyłki, która przesuwa jedno wystąpienie z jednej wartości na drugą — suma zostaje wtedy ta sama. W zestawie powyżej rozpiska „ $21$ dwa razy, $17$ trzy razy, $30$ raz” też daje sumę $6$ , a prowadzi do dominanty $17$ zamiast $21$ . Dlatego po zliczeniu warto jeszcze raz przejrzeć dane wartość po wartości.

Gdy dane są podane od razu w tabeli liczebności, pierwszy krok jest już zrobiony — wystarczy wskazać wiersz z największą liczbą i odczytać wartość z sąsiedniej kolumny.

3Kilka dominant albo żadna

To sytuacje, które w zadaniach pojawiają się rzadziej, ale warto je znać, bo bywają punktem całego pytania.

sytuacja	przykład	dominanta
jedna wartość najczęstsza	$21, 17, 21, 30, 21, 17$	$21$
dwie wartości równie częste	$14, 22, 14, 31, 22, 45$	$14$ i $22$
wszystkie po jednym razie	$18, 25, 33, 47$	brak

Zestaw z dwiema dominantami nazywa się dwumodalnym. Nie ma tu żadnego rozstrzygania, która „bardziej” — obie są dominantami na równych prawach i obie trzeba wymienić w odpowiedzi.

Przypadek trzeci wymaga zastrzeżenia. W szkolnej konwencji przyjmuje się, że gdy wszystkie wartości występują tyle samo razy, dominanty nie ma. Nie jest to jednak jedyne możliwe ustalenie — spotyka się też podejście, że dominantą jest wtedy każda z wartości. W zadaniach maturalnych ten przypadek się nie pojawia właśnie dlatego, że wymagałby przyjęcia konwencji.

Praktyczny wniosek: jeżeli w rozwiązaniu wychodzi ci, że wszystkie wartości występują po razie, sprawdź najpierw zliczanie — znacznie częściej to pomyłka w rachunku niż celowo zbudowany zestaw.

4Kiedy dominanta mówi więcej niż średnia

Są dane, przy których średnia jest formalnie poprawna i praktycznie bezużyteczna.

Rozmiary i numery. Średni rozmiar buta $39{,}4$ nie istnieje — takiego buta nie da się zamówić. Dominanta wskazuje rozmiar, którego naprawdę trzeba najwięcej.
Dane nieliczbowe. Dla kolorów, marek czy kierunków studiów średniej nie da się w ogóle policzyć, a dominantę — owszem.
Rozkłady z długim ogonem. Przy zarobkach kilka bardzo wysokich wartości zawyża średnią; dominanta pokazuje, ile zarabia się najczęściej.

Działa to też w drugą stronę. Dominanta ignoruje wszystkie dane poza najczęstszą wartością, więc w zestawie $\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{5}, 90, 140, 200$ wynosi $5$ — mimo że większość liczb jest wielokrotnie większa. Żadna z trzech miar nie jest dobra zawsze; wybiera się ją do pytania, na które chce się odpowiedzieć.

Porównanie wszystkich trzech miar naraz — wraz z tym, kiedy która wprowadza w błąd — jest na stronie statystyki; tutaj chodzi o samą procedurę i o przypadki szczególne.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: zwykłe zliczanie, zestaw dwumodalny, zestaw bez dominanty oraz tabela liczebności, w której dominanta i średnia dają różne decyzje.

Przykład 1 Zliczanie wystąpień

Wyznacz dominantę zestawu: $21$ , $17$ , $21$ , $30$ , $21$ , $17$ .

Zliczam wystąpienia każdej wartości: $21$ występuje $3$ razy, $17$ — $2$ razy, $30$ — $1$ raz.
Kontrola kompletności: $3 + 2 + 1 = 6$ , a w zestawie jest $6$ liczb ✓
Największa liczebność to $3$ i stoi przy wartości $21$ .
Dominanta to $\textcolor{#E0453A}{21}$ — czyli wartość, a nie liczba jej powtórzeń.
Kontrola sensu: $21$ rzeczywiście występuje w zestawie ✓ — dominanta zawsze musi być jedną z danych.

Odpowiedź: Dominanta wynosi $21$ .

Odpowiedź „ $3$ ” byłaby odpowiedzią na inne pytanie — ile razy wystąpiła dominanta. To najczęstsza pomyłka w całym temacie.

Przykład 2 Zestaw dwumodalny

Wyznacz dominantę zestawu: $14$ , $22$ , $14$ , $31$ , $22$ , $45$ .

Zliczam: $14$ — $2$ razy, $22$ — $2$ razy, $31$ — $1$ raz, $45$ — $1$ raz.
Kontrola kompletności: $2 + 2 + 1 + 1 = 6$ ✓
Największa liczebność to $2$ — i stoi przy dwóch różnych wartościach.
Zestaw ma więc dwie dominanty: $\textcolor{#E0453A}{14}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{22}$ .
Kontrola: nie ma wartości o liczebności większej niż $2$ , więc żadnej z nich nie da się odrzucić ✓

Odpowiedź: Dominanty są dwie: $14$ i $22$ .

Nie wybieramy „większej” ani „pierwszej” — obie są równorzędne. Zestaw z dwiema dominantami nazywamy dwumodalnym.

Przykład 3 Zestaw bez dominanty

Wyznacz dominantę zestawu: $18$ , $25$ , $33$ , $47$ .

Zliczam: każda z czterech wartości występuje dokładnie raz.
Kontrola kompletności: $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ ✓
Nie ma wartości częstszej od pozostałych, więc w szkolnej konwencji dominanta nie istnieje.
Kontrola pułapki: odpowiedź $\textcolor{#9b1c14}{47}$ byłaby wartością największą, a nie najczęstszą — to zupełnie inne pojęcie ✓
Dla porównania mediana istnieje zawsze: tu wynosi $\frac{25 + 33}{2} = 29$ .

Odpowiedź: Dominanta nie istnieje.

Warto zauważyć różnicę: mediana i średnia dają się wyznaczyć dla każdego niepustego zestawu liczb, a dominanta nie. To jedyne z trzech pojęć, które może nie mieć wartości.

Przykład 4 Tabela liczebności i decyzja sklepu

Sklep sprzedał w ciągu dnia buty w rozmiarach: $38$ — $5$ par, $39$ — $12$ par, $40$ — $9$ par, $41$ — $4$ pary. Wyznacz dominantę i średni rozmiar. Który rozmiar sklep powinien zamówić w największej liczbie?

Kontrola kompletności: $5 + 12 + 9 + 4 = 30$ par łącznie.
Największa liczebność to $12$ i stoi przy rozmiarze $39$ , więc dominanta wynosi $\textcolor{#E0453A}{39}$ .
Średnia: $\frac{38 \cdot 5 + 39 \cdot 12 + 40 \cdot 9 + 41 \cdot 4}{30}$ .
Licznik: $190 + 468 + 360 + 164 = 1182$ .
Średnia: $\frac{1182}{30} = 39{,}4$ .
Kontrola zakresu: średnia musi leżeć między najmniejszym a największym rozmiarem, i rzeczywiście $38 < 39{,}4 < 41$ ✓
Sklep powinien zamówić najwięcej par w rozmiarze $\textcolor{#E0453A}{39}$ — buta w rozmiarze $39{,}4$ nikt nie produkuje.

Odpowiedź: Dominanta: $39$ . Średnia: $39{,}4$ . Zamówić należy rozmiar $39$ .

To najczystszy przykład na to, po co w ogóle istnieje dominanta. Średnia jest tu policzona poprawnie i jest bezużyteczna, bo wskazuje wartość, której w danych nie ma i mieć nie może.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy to pomylenie mody z inną liczbą, dwa kolejne dotyczą przypadków szczególnych, a ostatni — wyboru miary.

Podanie liczby wystąpień zamiast wartości.

Skąd się bierze: Największa liczba w tabelce liczebności rzuca się w oczy mocniej niż wartość obok niej.

Jak zrobić dobrze: W zestawie $21, 17, 21, 30, 21, 17$ dominantą jest $21$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{3}$ . Trójka mówi tylko, ile razy dominanta wystąpiła.

Porządkowanie danych i branie środkowej wartości.

Skąd się bierze: Procedura zapamiętana z mediany, uruchamiana odruchowo przy każdym zestawie danych.

Jak zrobić dobrze: Przy dominancie kolejność nie ma żadnego znaczenia — liczy się wyłącznie częstość. Sortowanie bywa wygodne przy zliczaniu, ale nie jest częścią rozwiązania.

Założenie, że dominanta zawsze jest dokładnie jedna.

Skąd się bierze: W typowych zadaniach faktycznie jest jedna, więc przypadek dwumodalny zaskakuje.

Jak zrobić dobrze: Jeśli największa liczebność stoi przy kilku wartościach, wszystkie są dominantami i wszystkie należy wymienić.

Podawanie wartości największej, gdy żadna się nie powtarza.

Skąd się bierze: Chęć udzielenia jakiejkolwiek odpowiedzi zamiast napisania „nie istnieje”.

Jak zrobić dobrze: Dominanta dotyczy częstości, nie wielkości. Gdy wszystkie wartości występują po razie, poprawną odpowiedzią jest brak dominanty.

Traktowanie średniej jako „typowej” wartości przy rozmiarach i ocenach.

Skąd się bierze: Średnia jest najlepiej znaną miarą, więc bywa używana automatycznie.

Jak zrobić dobrze: Średni rozmiar $39{,}4$ nie odpowiada żadnemu realnemu butowi. Gdy wartości są numerami, a nie wielkościami ciągłymi, sensowna jest dominanta.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się moda od dominanty?

Niczym — to dwie nazwy tego samego pojęcia. W podstawie programowej i w arkuszach maturalnych używa się słowa dominanta, natomiast moda jest nazwą częstszą w mowie potocznej i w wyszukiwarkach.

Czy zestaw danych może mieć dwie dominanty?

Tak. Jeżeli największa liczebność stoi przy kilku różnych wartościach, wszystkie są dominantami na równych prawach. Taki zestaw nazywamy dwumodalnym i w odpowiedzi trzeba wymienić wszystkie te wartości.

Co zrobić, gdy każda wartość występuje tylko raz?

W szkolnej konwencji przyjmuje się wtedy, że dominanta nie istnieje. Nie podajemy wartości największej ani pierwszej z brzegu — brak dominanty jest pełnoprawną odpowiedzią. W zadaniach maturalnych ten przypadek się nie pojawia.

Czy trzeba uporządkować dane, żeby wyznaczyć dominantę?

Nie. W odróżnieniu od mediany kolejność danych nie ma tu żadnego znaczenia, bo liczy się wyłącznie liczba wystąpień. Sortowanie bywa wygodne przy zliczaniu, ale nie jest częścią rozwiązania.

Kiedy dominanta jest lepsza od średniej?

Wtedy, gdy dane są numerami lub kategoriami, a nie wielkościami mierzalnymi — na przykład przy rozmiarach ubrań, ocenach czy kolorach. Średnia daje wtedy wartość, której w danych nie ma i mieć nie może.

Czytaj dalej

MedianaMiara, przy której kolejność danych jest kluczowa — a przy parzystej ich liczbie trzeba jeszcze uśrednić dwie środkowe.Średnia ważonaMiara, którą się oblicza, a nie znajduje; przydatna przy danych podanych w tabeli liczebności.StatystykaPorównanie średniej, mediany i dominanty oraz sytuacje, w których każda z nich wprowadza w błąd.Odchylenie standardoweMiara rozrzutu — odpowiada na pytanie, jak bardzo dane odbiegają od wartości typowej.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.