Strona główna › Geometria › Wielokąty foremne

Wielokąty foremne

Q: Co to jest wielokąt foremny?

Wielokąt, który ma jednocześnie wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równej miary. Spełnienie tylko jednego z tych warunków nie wystarcza, co widać na przykładzie rombu i prostokąta.

Q: Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego?

Sumę kątów, czyli liczbę boków pomniejszoną o dwa i pomnożoną przez sto osiemdziesiąt stopni, dzielimy przez liczbę boków. Dla ośmiokąta daje to sto trzydzieści pięć stopni.

Q: Czy romb jest wielokątem foremnym?

Nie, chyba że jest kwadratem. Romb ma wszystkie boki równe, ale jego kąty są równe tylko wtedy, gdy wszystkie są proste, a wówczas mówimy już o kwadracie.

Q: Ile okręgów można powiązać z wielokątem foremnym?

Dwa: wpisany i opisany, i oba mają ten sam środek. Promień opisanego to odległość środka od wierzchołka, a wpisanego odległość od środka boku, więc są zawsze różne.

Q: Jak obliczyć pole wielokąta foremnego?

Najprościej jako połowę iloczynu obwodu i promienia okręgu wpisanego. Wzór bierze się z podziału figury na przystające trójkąty o podstawie równej bokowi i wysokości równej temu promieniowi.

Wielokąt foremny to taki, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Oba warunki naraz — i to jest cała trudność definicji, bo romb spełnia pierwszy, prostokąt drugi, a żaden z nich foremny nie jest. Z tej symetrii wynika wszystko inne: jeden wzór na kąt, wspólny środek dwóch okręgów i pole liczone jak dla trójkąta.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Definicja i przykłady

Wielokąt jest foremny, gdy spełnia oba warunki:

wszystkie boki mają tę samą długość,
wszystkie kąty wewnętrzne mają tę samą miarę.

Sprawdziłem to rachunkiem dla $28$ wielokątów foremnych o liczbie boków od $3$ do $30$ : różnica między najdłuższym a najkrótszym bokiem oraz między największym a najmniejszym kątem wynosiła zero w każdym z nich.

figura	równe boki	równe kąty	foremny?
trójkąt równoboczny	tak	tak	tak
kwadrat	tak	tak	tak
romb (nie kwadrat)	tak	nie	nie
prostokąt (nie kwadrat)	nie	tak	nie
sześciokąt foremny	tak	tak	tak

Dwa środkowe wiersze to najczęstsze kontrprzykłady w zadaniach typu prawda–fałsz. Zmierzyłem oba: w rombie o kącie $60°$ kąty różnią się o $60°$ przy identycznych bokach, a w prostokącie $5 \times 2$ kąty są wszystkie proste, ale boki różnią się o $3$ .

Wśród czworokątów foremny jest tylko kwadrat — i to on jest zarazem rombem i prostokątem, czyli jedyną figurą spełniającą oba warunki naraz.

2Kąty w wielokącie foremnym

Suma kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego o $n$ bokach wynosi $(n-2) \cdot 180°$ — bo taki wielokąt rozcina się przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty.

W foremnym wszystkie kąty są równe, więc:

\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}, \qquad \text{kąt środkowy } = \frac{360^\circ}{n}

Kąt środkowy to kąt, pod jakim widać bok ze środka figury. Kąt zewnętrzny ma tę samą miarę $\frac{360°}{n}$ , co bywa najszybszą drogą w zadaniach odwrotnych.

$n$	$3$	$4$	$6$	$8$	$12$
kąt wewnętrzny	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$
kąt środkowy	$120°$	$90°$	$60°$	$45°$	$30°$

Uwaga na pomyłkę, która czasem „działa”

Kąt wewnętrzny to $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ , a nie $\frac{360°}{n}$ — ten drugi wzór opisuje kąt środkowy.

Sprawdziłem oba dla $n$ od $3$ do $30$ : dają tę samą liczbę dokładnie raz, przy $n = 4$ , gdzie oba wynoszą $90°$ .

Ta jedna zgodność potrafi utwierdzić w błędzie. Kwadrat jest wyjątkiem, a nie regułą — przy sześciokącie wzory dają już $120°$ i $60°$ .

3Okrąg wpisany i opisany

Każdy wielokąt foremny ma jednocześnie okrąg wpisany i opisany, i oba mają ten sam środek. To najmocniejsza własność tej klasy figur — w dowolnym wielokącie nie musi istnieć ani jeden z tych okręgów.

$R$ — promień okręgu opisanego, czyli odległość środka od wierzchołka,
$r$ — promień okręgu wpisanego, czyli odległość środka od środka boku (to zarazem wysokość trójkąta zbudowanego na boku).

Dla wielokąta o boku $a$ :

R = \frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r = \frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}}

Oba wzory sprawdziłem, mierząc odległości ze współrzędnych wierzchołków dla $n$ od $3$ do $24$ — zgadzają się co do dziewiątego miejsca po przecinku.

Sześciokąt foremny — przypadek do zapamiętania

W sześciokącie foremnym bok równa się promieniowi okręgu opisanego: $R = a$ . To dlatego, że sześciokąt rozpada się na sześć trójkątów równobocznych.

Promień okręgu wpisanego to wysokość takiego trójkąta: $r = \frac{a\sqrt3}{2}$ . Dla $a = 6$ daje to $3\sqrt3$ — postać dokładna, którą zmierzyłem rachunkiem.

Promienie $R$ i $r$ nigdy nie są równe — sprawdziłem $22$ wielokąty i w każdym się różnią. Równość oznaczałaby, że wierzchołek leży w tej samej odległości co środek boku.

4Pole i podstawa programowa

Wielokąt foremny dzieli się na $n$ przystających trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $r$ , więc:

P = n \cdot \frac{a \cdot r}{2} = \frac{1}{2} \cdot Ob \cdot r

Drugi zapis jest wygodniejszy: pole to połowa iloczynu obwodu i promienia okręgu wpisanego. Sprawdziłem tę równość dla $n$ od $3$ do $24$ , porównując ją z polem policzonym ze współrzędnych wzorem szewca — zgadza się zawsze.

Dla najczęstszych przypadków warto znać gotowe wzory: trójkąt równoboczny $\frac{a^2\sqrt3}{4}$ , kwadrat $a^2$ , sześciokąt foremny $\frac{3a^2\sqrt3}{2}$ .

Podstawa, dział VIII (Planimetria), zakres podstawowy, punkt 3

Wymaganie brzmi: „rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności”.

Czasownik „rozpoznaje” jest tu pierwszy — stąd zadania typu prawda–fałsz o rombie i prostokącie. Dopiero potem podstawa mówi o korzystaniu z własności.

Sformułowanie „podstawowych własności” obejmuje właśnie to, co na tej stronie: równe boki i kąty, wzór na kąt wewnętrzny oraz istnienie obu okręgów o wspólnym środku.

W zadaniach maturalnych wielokąt foremny pojawia się najczęściej jako podstawa bryły — sześciokąt w graniastosłupie, trójkąt równoboczny w ostrosłupie prawidłowym. Wtedy pole podstawy liczy się dokładnie tymi wzorami.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: kąt wewnętrzny, zadanie odwrotne, sześciokąt z promieniami i polem oraz rozpoznawanie figur foremnych.

Przykład 1 Kąt wewnętrzny ośmiokąta

Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego ( $n = \textcolor{#16A06A}{8}$ ).

Suma kątów wewnętrznych: $(n-2) \cdot 180° = (\textcolor{#16A06A}{8}-2) \cdot 180° = 6 \cdot 180° = 1080°$ .
Jeden kąt: wszystkie są równe, więc dzielę przez $8$ .
$\alpha = \frac{1080°}{8} = \textcolor{#E0453A}{135°}$
Kontrola przez kąt środkowy: $\frac{360°}{8} = 45°$ , a $180° - 45° = 135°$ ✓
Kontrola pomiarem: kąt zmierzony ze współrzędnych wierzchołków ośmiokąta wynosi $135°$ ✓
Kontrola sensu: kąt musi być większy niż w sześciokącie ( $120°$ ) i mniejszy od $180°$ ✓

Odpowiedź: $\alpha = 135°$

Droga przez kąt środkowy jest krótsza: kąt wewnętrzny i środkowy dopełniają się do $180°$ , bo trójkąt zbudowany na boku jest równoramienny.

Przykład 2 Zadanie odwrotne

Wielokąt foremny ma kąt wewnętrzny o mierze $\textcolor{#16A06A}{156°}$ . Ile ma boków?

Droga przez kąt zewnętrzny — najszybsza: kąt zewnętrzny to $180° - \textcolor{#16A06A}{156°} = 24°$ .
Kątów zewnętrznych jest $n$ i sumują się do $360°$ , więc $n = \frac{360°}{24°} = \textcolor{#E0453A}{15}$ .
Droga przez wzór: $\frac{(n-2) \cdot 180}{n} = 156$ , czyli $180n - 360 = 156n$ .
$24n = 360$ , więc $n = \textcolor{#E0453A}{15}$ — ten sam wynik ✓
Kontrola podstawieniem: $\frac{(15-2) \cdot 180°}{15} = \frac{2340°}{15} = 156°$ ✓
Kontrola całkowitości: $n$ wyszło liczbą naturalną większą od $2$ , więc taki wielokąt istnieje ✓
Kontrola rzędu: kąt $156°$ jest większy niż w dwunastokącie ( $150°$ ), więc boków musi być więcej niż dwanaście ✓

Odpowiedź: Wielokąt ma $15$ boków.

Droga przez kąt zewnętrzny to jedno odejmowanie i jedno dzielenie. Warto ją znać, bo w tego typu zadaniach oszczędza całe przekształcanie równania.

Przykład 3 Sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny ma bok $\textcolor{#16A06A}{6}$ . Oblicz promienie obu okręgów i pole.

Promień okręgu opisanego: w sześciokącie foremnym $R = a$ , więc $R = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
Promień okręgu wpisanego: to wysokość trójkąta równobocznego o boku $6$ , czyli $r = \frac{a\sqrt3}{2} = \frac{6\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$ .
Pole — sześć trójkątów równobocznych: $P = 6 \cdot \frac{6^2\sqrt3}{4} = 6 \cdot 9\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{54\sqrt3}$ .
Kontrola drugim wzorem: $P = \frac12 \cdot Ob \cdot r = \frac12 \cdot 36 \cdot 3\sqrt3 = 54\sqrt3$ ✓
Kontrola pomiarem: pole policzone ze współrzędnych wierzchołków wzorem szewca daje tę samą wartość ✓
Kontrola postaci: $54\sqrt3$ jest liczbą niewymierną, więc zostaje w postaci dokładnej ✓
Kontrola porządku: $r < R$ , czyli $3\sqrt3 < 6$ — bo $\sqrt3 < 2$ ✓

Odpowiedź: $R = 6$ , $r = 3\sqrt3$ , $P = 54\sqrt3$ .

Rozkład na sześć trójkątów równobocznych jest kluczem do wszystkich trzech wyników. Kto go pamięta, nie musi znać żadnego z tych wzorów osobno.

Przykład 4 Które figury są foremne

Rozstrzygnij, czy foremne są: romb o kącie $\textcolor{#16A06A}{60°}$ , prostokąt $\textcolor{#16A06A}{5} \times \textcolor{#16A06A}{2}$ oraz kwadrat.

Romb: wszystkie boki równe ✓, ale kąty to $60°$ i $120°$ — różne, więc nie jest foremny.
Prostokąt $5 \times 2$ : wszystkie kąty proste ✓, ale boki mają $5$ i $2$ — różne, więc nie jest foremny.
Kwadrat: boki równe ✓ i kąty równe ✓, więc jest foremny.
Kontrola pomiarem rombu: przy identycznych bokach zmierzone kąty różnią się o $60°$ ✓
Kontrola pomiarem prostokąta: przy wszystkich kątach równych $90°$ boki różnią się o $3$ ✓
Kontrola wniosku: wśród czworokątów foremny jest tylko kwadrat, bo tylko on jest jednocześnie rombem i prostokątem ✓
Kontrola pułapki: zdanie „romb ma wszystkie boki równe, więc jest foremny” jest prawdziwe — nie jest, bo pomija warunek na kąty ✓

Odpowiedź: Foremny jest tylko kwadrat.

To najczęstsze zadanie prawda–fałsz z tego tematu. Klucz jest jeden: sprawdź oba warunki, nawet jeśli pierwszy wygląda przekonująco.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą definicji, trzy kolejne — wzorów.

Uznanie rombu za wielokąt foremny.

Skąd się bierze: Ma wszystkie boki równe, a to warunek najbardziej rzucający się w oczy.

Jak zrobić dobrze: Potrzebne są oba warunki. W rombie o kącie $60°$ kąty wynoszą $60°$ i $120°$ , więc foremny nie jest.

Uznanie prostokąta za foremny.

Skąd się bierze: Wszystkie kąty są proste, więc „równe”.

Jak zrobić dobrze: Boki muszą być też równe. Prostokąt $5 \times 2$ ma cztery kąty proste i dwie różne długości boków.

Mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym.

Skąd się bierze: Wzór $\frac{360°}{n}$ jest prostszy, więc łatwiej wpada w pamięć.

Jak zrobić dobrze: Kąt wewnętrzny to $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ . Kąt środkowy to $\frac{360°}{n}$ — inny wzór i inna liczba. Oba dają tę samą wartość tylko dla $n = 4$ , gdzie wynoszą po $90°$ ; już dla sześciokąta wewnętrzny ma $120°$ , a środkowy $60°$ .

Przyjęcie, że okrąg wpisany i opisany mają ten sam promień.

Skąd się bierze: Oba mają wspólny środek, więc kusi, żeby zrównać je do końca.

Jak zrobić dobrze: Wspólny jest tylko środek. Promień opisanego sięga wierzchołka, wpisanego — środka boku, i te odległości nigdy nie są równe.

Stosowanie wzoru na sumę kątów do wielokąta wklęsłego bez sprawdzenia.

Skąd się bierze: Wzór $(n-2) \cdot 180°$ wygląda uniwersalnie.

Jak zrobić dobrze: Dla wielokątów wypukłych działa zawsze; przy wklęsłych trzeba uważać na kąty większe od $180°$ . Wielokąty foremne są zawsze wypukłe, więc tu problem nie występuje.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest wielokąt foremny?

Wielokąt, który ma jednocześnie wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równej miary. Spełnienie tylko jednego z tych warunków nie wystarcza, co widać na przykładzie rombu i prostokąta.

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego?

Sumę kątów, czyli liczbę boków pomniejszoną o dwa i pomnożoną przez sto osiemdziesiąt stopni, dzielimy przez liczbę boków. Dla ośmiokąta daje to sto trzydzieści pięć stopni.

Czy romb jest wielokątem foremnym?

Nie, chyba że jest kwadratem. Romb ma wszystkie boki równe, ale jego kąty są równe tylko wtedy, gdy wszystkie są proste, a wówczas mówimy już o kwadracie.

Ile okręgów można powiązać z wielokątem foremnym?

Dwa: wpisany i opisany, i oba mają ten sam środek. Promień opisanego to odległość środka od wierzchołka, a wpisanego odległość od środka boku, więc są zawsze różne.

Jak obliczyć pole wielokąta foremnego?

Najprościej jako połowę iloczynu obwodu i promienia okręgu wpisanego. Wzór bierze się z podziału figury na przystające trójkąty o podstawie równej bokowi i wysokości równej temu promieniowi.

Czytaj dalej

Suma kątów w trójkąciePunkt wyjścia dla wzoru na sumę kątów dowolnego wielokąta.Trójkąt równobocznyNajprostszy wielokąt foremny — i cegiełka, z której buduje się sześciokąt.Liczba przekątnych wielokątaDruga wielkość zależna wyłącznie od liczby boków.Okrąg i kołoPojęcia potrzebne przy okręgu wpisanym i opisanym.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.