Strona główna › Liczby i działania › Pierwiastkowanie — jak liczyć pierwiastki

Pierwiastkowanie — jak liczyć pierwiastki

Q: Co to jest pierwiastek?

Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba nieujemna, która pomnożona przez samą siebie daje tę liczbę. To działanie odwrotne do podnoszenia do kwadratu — jeśli znasz pole kwadratu, pierwiastek poda ci długość jego boku.

Q: Jak obliczyć pierwiastek z liczby bez kalkulatora?

Jeśli liczba jest kwadratem liczby całkowitej, szukaj wprost wśród znanych kwadratów. Jeśli nie jest, oszacuj: znajdź dwa sąsiednie kwadraty, między którymi leży, a wynik będzie między odpowiadającymi im liczbami. To wystarcza do porównywania i do sprawdzania rzędu wielkości.

Q: Czy pierwiastek może być ujemny?

Wynik pierwiastkowania kwadratowego nigdy nie jest ujemny — z definicji bierze się liczbę nieujemną. Sama liczba pod pierwiastkiem kwadratowym też nie może być ujemna. Inaczej jest przy pierwiastku sześciennym, gdzie i liczba podpierwiastkowa, i wynik mogą być ujemne.

Q: Co to jest liczba niewymierna?

To liczba, której nie da się zapisać jako ułamka zwykłego o całkowitym liczniku i mianowniku. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. Pierwiastek z dwóch jest takim właśnie przypadkiem — i można udowodnić, że żaden ułamek nie da w kwadracie dokładnie dwójki.

Q: Czym różni się pierwiastek kwadratowy od sześciennego?

Kwadratowy odwraca podnoszenie do drugiej potęgi, sześcienny do trzeciej. Praktyczna różnica jest jedna: z liczby ujemnej można wyciągnąć pierwiastek sześcienny, ale nie kwadratowy. Geometrycznie kwadratowy daje bok kwadratu o danym polu, a sześcienny — krawędź sześcianu o danej objętości.

Q: Kiedy pierwiastek wychodzi „ładnie”?

Tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest kwadratem liczby całkowitej albo kwadratem ułamka. We wszystkich pozostałych przypadkach wynik jest liczbą niewymierną i zostawia się go w postaci z pierwiastkiem, bo taki zapis jest dokładny, a dziesiętny tylko przybliżony.

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania — i cała reszta z tego wynika. Ta strona tłumaczy temat od zera: skąd bierze się symbol, dlaczego niektóre pierwiastki nie kończą się nigdy i jak je szacować bez kalkulatora. Zadania z arkuszy znajdziesz w osobnych zestawach na dole.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasa 7 – maturaZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Co to jest pierwiastek

Pierwiastek kwadratowy z liczby to taka liczba nieujemna, która pomnożona przez samą siebie daje tę liczbę. Zapis $\sqrt{25} = 5$ znaczy dokładnie tyle, że $5 \cdot 5 = 25$ .

Najprościej myśleć o tym jako o działaniu odwrotnym. Potęgowanie mówi: mam bok kwadratu, jakie jest pole. Pierwiastkowanie odwraca pytanie: mam pole kwadratu, jaki jest bok.

Stąd zresztą nazwa „kwadratowy” — pierwiastek kwadratowy z pola daje długość boku kwadratu. To nie metafora, tylko dokładnie ta zależność.

Symbol $\sqrt{\phantom{x}}$ nazywa się znakiem pierwiastka, a liczba pod nim — liczbą podpierwiastkową. Kreska pozioma działa jak nawias: obejmuje wszystko, co jest pod nią.

2Pierwiastek kwadratowy a sześcienny

Pierwiastek sześcienny odwraca podnoszenie do trzeciej potęgi. Zapis $\sqrt[3]{27} = 3$ , bo $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ .

Liczbę zapisaną nad znakiem pierwiastka nazywa się stopniem. Przy pierwiastku kwadratowym stopień jest równy dwa, ale się go nie pisze — to jedyne takie uproszczenie i stąd biorą się pomyłki.

Różnica praktyczna jest jedna, ale istotna: pierwiastek sześcienny można wyciągnąć z liczby ujemnej, kwadratowy nie. Trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna, więc $\sqrt[3]{-8} = -2$ . Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc $\sqrt{-8}$ nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Geometrycznie: pierwiastek kwadratowy z pola daje bok kwadratu, a pierwiastek sześcienny z objętości — krawędź sześcianu.

3Wzory, które warto mieć w głowie

Działań na pierwiastkach jest mniej, niż się wydaje. Dwa działają zawsze, jedno nie działa nigdy.

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}, \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Mnożenie i dzielenie przechodzą pod pierwiastek — można je wykonać przed pierwiastkowaniem albo po nim, wynik jest ten sam.

Dodawanie i odejmowanie nie przechodzą. Suma pierwiastków to nie pierwiastek sumy, i to jest najczęstszy błąd w całym dziale. Widać to od razu na liczbach: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ , a $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .

Warto też znać pierwiastki z kwadratów pierwszych kilkunastu liczb — od $\sqrt{1}$ do $\sqrt{225}$ . To nie jest wiedza teoretyczna, tylko narzędzie: bez niej każde szacowanie trwa dwa razy dłużej.

4Liczby niewymierne — dlaczego pierwiastek z dwóch nie kończy się nigdy

Większość pierwiastków nie daje ładnej liczby. $\sqrt{2}$ wynosi około $1{,}41$ , ale to tylko przybliżenie — rozwinięcie dziesiętne tej liczby jest nieskończone i nie ma w nim żadnego powtarzającego się okresu.

Takie liczby nazywa się niewymiernymi. Ich cecha definicyjna: nie da się ich zapisać jako ułamka zwykłego o całkowitym liczniku i mianowniku.

To nie jest kwestia niedokładności pomiaru ani słabego kalkulatora. Można udowodnić, że żaden ułamek nie da w kwadracie dokładnie dwójki — i ten dowód znano już w starożytnej Grecji.

Praktyczna konsekwencja: w matematyce zostawia się $\sqrt{2}$ w tej postaci, zamiast pisać $1{,}41$ . Zapis z pierwiastkiem jest dokładny, zapis dziesiętny — przybliżony.

Pierwiastek jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest kwadratem liczby całkowitej albo kwadratem ułamka.

5Jak to policzyć krok po kroku

Trzy sytuacje wyczerpują niemal wszystko, co można z pierwiastkiem zrobić na tym poziomie: wyliczenie dokładne, szacowanie i wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka.

Szacowanie polega na znalezieniu dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba podpierwiastkowa. To metoda, która działa bez kalkulatora i daje odpowiedź wystarczająco dokładną do porównywania liczb.

Wyłączanie czynnika opiera się na tym, że mnożenie przechodzi pod pierwiastek. Rozkłada się liczbę podpierwiastkową na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyciąga go na zewnątrz.

Przykłady poniżej pokazują wszystkie trzy przypadki na własnych liczbach.

6W której klasie się to pojawia

Pierwiastki wchodzą do programu w klasie siódmej, zaraz po potęgach — i to nie przypadek, bo są działaniem do nich odwrotnym.

klasa 7 — pojęcie pierwiastka kwadratowego, pierwiastki z kwadratów liczb całkowitych,
klasa 8 — pierwiastek sześcienny, działania na pierwiastkach, szacowanie, zastosowanie w twierdzeniu Pitagorasa,
liceum — wyłączanie czynnika, usuwanie niewymierności z mianownika, pierwiastki dowolnego stopnia i związek z potęgą o wykładniku ułamkowym.

W szkole podstawowej pierwiastki pojawiają się najczęściej przy okazji — w zadaniach o polu kwadratu i w twierdzeniu Pitagorasa, gdzie wynik trzeba wyciągnąć spod kwadratu.

Dlatego warto opanować je wcześniej, niż wynikałoby to z podręcznika: bez sprawnego pierwiastkowania cała geometria staje się wolniejsza.

7Ćwicz dalej

Materiał ćwiczeniowy jest rozdzielony według poziomu — poniżej znajdziesz odnośniki do właściwego zestawu.

Egzamin ósmoklasisty — 23 zadania z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami i kluczem odpowiedzi,
Matura — dział „Potęgi i pierwiastki” z 45 zadaniami na poziomie podstawowym,
Karta pracy PDF — osobnej karty do tego działu jeszcze nie ma; gotowe karty (m.in. o twierdzeniu Pitagorasa, kątach, wyrażeniach algebraicznych i prawdopodobieństwie) zebrane są na stronie kart pracy.

Jeśli dopiero zaczynasz, przejdź najpierw przez przykłady z tej strony, a dopiero potem sięgnij po zadania egzaminacyjne — tam zakładam już, że podstawy są opanowane.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: pierwiastek dokładny, szacowanie bez kalkulatora i wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka.

Przykład 1 Pierwiastek, który wychodzi dokładnie

Oblicz $\sqrt{144}$ .

Szukam liczby, która pomnożona przez samą siebie daje $144$ .
Sprawdzam znane kwadraty: $10^2 = 100$ — za mało, $13^2 = 169$ — za dużo.
Zostaje przedział między $10$ a $13$ . Próbuję $12$ : $12 \cdot 12 = 144$ ✓
Zatem $\sqrt{144} = 12$ .
Kontrola: wynik jest dodatni, bo pierwiastek kwadratowy z definicji nie jest ujemny ✓

Odpowiedź: $\sqrt{144} = 12$ .

Przykład 2 Szacowanie bez kalkulatora

Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{50}$ ?

Szukam dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi mieści się $50$ .
$7^2 = 49$ — trochę mniej niż $50$ . $8^2 = 64$ — wyraźnie więcej.
Zatem $49 < 50 < 64$ , czyli $7 < \sqrt{50} < 8$ .
Skoro $50$ jest bardzo blisko $49$ , to $\sqrt{50}$ jest tylko odrobinę większy od $7$ — około $7{,}07$ .
Kontrola: $7{,}1 \cdot 7{,}1 = 50{,}41$ , czyli już trochę za dużo ✓ — oszacowanie jest trafne.

Odpowiedź: $\sqrt{50}$ leży między $7$ a $8$ , bardzo blisko siódemki.

Przykład 3 Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Zapisz $\sqrt{72}$ w prostszej postaci.

Rozkładam $72$ na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby całkowitej.
$72 = 36 \cdot 2$ , a $36$ to kwadrat szóstki.
Korzystam z tego, że mnożenie przechodzi pod pierwiastek: $\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$ .
$\sqrt{36} = 6$ , więc $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .
Kontrola przybliżeniem: $6 \cdot 1{,}41 = 8{,}46$ , a $8{,}46^2 \approx 71{,}6$ — blisko $72$ , a brakująca resztka bierze się z zaokrąglenia $\sqrt{2}$ do dwóch miejsc. Z dokładniejszym $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ wychodzi $8{,}4853$ i kwadrat $72{,}00$ ✓
Warto wybrać największy możliwy kwadrat. Rozkład $72 = 4 \cdot 18$ też jest poprawny, ale daje $2\sqrt{18}$ , czyli postać jeszcze nie do końca uproszczoną.

Odpowiedź: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które widuję najczęściej przy pierwiastkach. Pierwszy jest tak powszechny, że warto go sprawdzić na liczbach raz na zawsze.

Rozdzielanie pierwiastka nad dodawaniem

Skąd się bierze: Skoro mnożenie przechodzi pod pierwiastek, odruch podpowiada, że dodawanie też. Nie przechodzi — pierwiastek z dziewięciu dodać pierwiastek z szesnastu daje siedem, a pierwiastek z dwudziestu pięciu daje pięć.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez ten właśnie przykład: trzy dodać cztery to siedem, ale pierwiastek z sumy to pięć. Pod pierwiastkiem najpierw wykonuje się dodawanie, a dopiero potem pierwiastkuje.

Mylenie pierwiastka z połową liczby

Skąd się bierze: Pierwiastek z czterech wynosi dwa i pierwiastek z dziewięciu wynosi trzy — na tak małych liczbach oba działania dają podobne wyniki, więc utrwala się fałszywe skojarzenie. Przy większych liczbach rozjeżdża się natychmiast.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź na stu: połowa to pięćdziesiąt, a pierwiastek to dziesięć. Pierwiastkowanie to odwrotność mnożenia liczby przez samą siebie, a nie dzielenie przez dwa.

Szukanie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej

Skąd się bierze: Uczeń szuka liczby, której kwadrat jest ujemny, i nie znajduje żadnej — bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zapisanie wyniku ujemnego jest wtedy zgadywaniem.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj rozróżnienie: pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, ale sześcienny owszem — bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna.

Zamiana pierwiastka na przybliżenie za wcześnie

Skąd się bierze: Wpisanie w połowie zadania, że pierwiastek z dwóch to jeden i czterdzieści jeden setnych, wprowadza błąd zaokrąglenia do wszystkich dalszych rachunków. Przy kilku krokach różnica robi się widoczna.

Jak zrobić dobrze: Zostaw pierwiastek w postaci symbolicznej do samego końca — często się skróci albo zniknie po podniesieniu do kwadratu. Na liczbę dziesiętną przechodź dopiero wtedy, gdy zadanie o to prosi.

Zadania maturalne — działania na pierwiastkach i wyłączanie czynnika

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze: wyłączony czynnik albo uproszczony argument. Trzy prawa wystarczą na całą tę stronę:

\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\tfrac{a}{b}} = \tfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

oraz

\sqrt[n]{a^n} = a

dla

a \geqslant 0

. Uwaga: dla sumy i różnicy pod pierwiastkiem nie ma żadnego prawa —

\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Liczba

\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}

jest równa

A. $6$
B. $3\sqrt[3]{6}$
C. $6\sqrt[3]{3}$
D. $6\sqrt[4]{6}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Pierwiastków nie wolno dodać pod jednym znakiem — trzeba z każdego wyłączyć czynnik i sprowadzić je do tej samej postaci.
Krok 1 — pierwszy pierwiastek. Szukamy w liczbie 24 największego sześcianu:
$\textcolor{#16A06A}{24} = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$ , więc $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{24}} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt[3]{3}}$
Krok 2 — drugi pierwiastek. W 192 największym sześcianem jest 64:
$\textcolor{#16A06A}{192} = 64 \cdot 3 = 4^3 \cdot 3$ , więc $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{192}} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[3]{3} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt[3]{3}}$
Krok 3 — teraz oba mają ten sam pierwiastek, więc dodajemy współczynniki.
$\textcolor{#E0453A}{2\sqrt[3]{3}} + \textcolor{#E0453A}{4\sqrt[3]{3}} = (2 + 4)\sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}$
Odpowiedź: $6\sqrt[3]{3}$ , czyli C.
Kontrola przybliżona: $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442$ , więc wynik to około $8{,}65$ . A $\sqrt[3]{24} \approx 2{,}88$ i $\sqrt[3]{192} \approx 5{,}77$ — razem $8{,}65$ ✓.

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku trzeciego stopnia szukaj w liczbie sześcianów: 8, 27, 64, 125. Tu $24 = 8 \cdot 3$ i $192 = 64 \cdot 3$ — po wyłączeniu oba mają ten sam „ogon” $\sqrt[3]{3}$ , i dopiero wtedy wolno je dodać.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie liczb pod pierwiastkiem, czyli $\sqrt[3]{24+192} = \sqrt[3]{216} = 6$ — dokładnie na to czeka odpowiedź A. Dla sumy pod pierwiastkiem nie ma żadnego prawa; pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków.

Zadanie 2 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Liczba

3\sqrt{45} - \sqrt{20}

jest równa

A. $(7 \cdot 5)^{\frac{1}{2}}$
B. $5^{\frac{1}{2}}$
C. $7$
D. $7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — wyłączamy czynnik z pierwszego pierwiastka. W 45 największym kwadratem jest 9:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{45}} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt5$
$\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt{45} = 3 \cdot 3\sqrt5 = \textcolor{#E0453A}{9\sqrt5}$
Krok 2 — wyłączamy czynnik z drugiego pierwiastka. W 20 największym kwadratem jest 4:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{20}} = \sqrt{4 \cdot 5} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt5}$
Krok 3 — odejmujemy współczynniki.
$\textcolor{#E0453A}{9\sqrt5} - \textcolor{#E0453A}{2\sqrt5} = (9 - 2)\sqrt5 = 7\sqrt5$
Krok 4 — zapisujemy w postaci z odpowiedzi. Pierwiastek to potęga o wykładniku $\tfrac12$ :
$7\sqrt5 = 7 \cdot 5^{\frac12}$
Odpowiedź: $7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ , czyli D.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na różnicę między odpowiedziami A i D: $(7 \cdot 5)^{1/2} = \sqrt{35}$ , a $7 \cdot 5^{1/2} = 7\sqrt5$ . Nawias obejmujący całość zmienia sens — siódemka jest przed pierwiastkiem, nie pod nim.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli wciągnięcie siódemki pod pierwiastek bez podniesienia jej do kwadratu. Gdyby wciągać, byłoby $\sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{245}$ , a nie $\sqrt{35}$ . Drugi częsty błąd: odpowiedź C ( $7$ ), czyli zgubienie $\sqrt5$ po odjęciu współczynników.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Liczba

\sqrt[3]{-\dfrac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2}

jest równa

A. $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{2}{3}$
D. $\left(-\dfrac{2}{3}\right)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Ważna uwaga na wstępie: pierwiastek trzeciego stopnia (i każdego nieparzystego) istnieje także dla liczb ujemnych — inaczej niż kwadratowy. Więc minus tu nie przeszkadza.
Krok 1 — łączymy oba pierwiastki w jeden. Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z iloczynu:
$\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{27}{16}}} \cdot \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{2}} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{27}{16}} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}}$
Krok 2 — upraszczamy argument. Dwójka skraca się z szesnastką:
$-\dfrac{27}{16} \cdot 2 = -\dfrac{27}{8} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{27}{8}}$
Krok 3 — pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno.
$\sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{27}{8}}} = \dfrac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{2}$
Odpowiedź: $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ , czyli A.
Kontrola: $\left(-\tfrac32\right)^3 = -\tfrac{27}{8}$ ✓.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz liczyć, połącz pierwiastki w jeden — wtedy ułamek często się skróci i zostanie „ładna” liczba. Tu $\tfrac{27}{16} \cdot 2 = \tfrac{27}{8}$ , a $27$ i $8$ to sześciany, więc pierwiastek wychodzi dokładnie.

⚠ Najczęstszy błąd: odrzucenie minusa jako „niedozwolonego pod pierwiastkiem” i podanie odpowiedzi B. Zakaz dotyczy tylko pierwiastków stopnia parzystego; $\sqrt[3]{-27} = -3$ jest poprawne, bo $(-3)^3 = -27$ .

Zadanie 4 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Liczba

\sqrt{128} : \sqrt[3]{64}

jest równa

A. $\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
B. $2$
C. $\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Uwaga: pierwiastki są różnych stopni — kwadratowy i trzeciego stopnia. Nie wolno ich połączyć w jeden, więc liczymy każdy osobno.
Krok 1 — pierwszy pierwiastek. W 128 największym kwadratem jest 64:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{128}} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{8\sqrt2}$
Krok 2 — drugi pierwiastek.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt[3]{64}} = \textcolor{#E0453A}{4}$ , bo $4^3 = 64$
Krok 3 — dzielimy.
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{8\sqrt2}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = 2\sqrt2$
Odpowiedź: $2\sqrt2$ , czyli D.
Kontrola przybliżona: $\sqrt{128} \approx 11{,}31$ , $11{,}31 : 4 \approx 2{,}83$ , a $2\sqrt2 \approx 2{,}83$ ✓.

💡 Wskazówka: Liczba 64 pojawia się w tym zadaniu dwa razy w różnych rolach: raz jako największy kwadrat ukryty w 128, raz jako sześcian pod pierwiastkiem trzeciego stopnia. To nie przypadek — CKE lubi takie zadania, bo sprawdzają, czy uczeń patrzy na stopień pierwiastka.

⚠ Najczęstszy błąd: połączenie pierwiastków w $\sqrt{\tfrac{128}{64}} = \sqrt2$ (odpowiedź C) — czyli zignorowanie tego, że drugi pierwiastek jest trzeciego stopnia. Prawo o dzieleniu pierwiastków wymaga tego samego stopnia.

Zadanie 5 (maj 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

\sqrt[3]{\dfrac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{81}{56}}

jest równa

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{3}{2\sqrt[3]{21}}$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{9}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Oba pierwiastki są tego samego stopnia, więc wolno je połączyć — i dopiero potem upraszczać.
Krok 1 — łączymy w jeden pierwiastek.
$\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{7}{3}}} \cdot \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{81}{56}}} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{7}{3}} \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{81}{56}}}$
Krok 2 — skracamy przed mnożeniem. Siódemka skraca się z 56 ( $56 = 7 \cdot 8$ ), a trójka z 81 ( $81 = 3 \cdot 27$ ):
$\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{81}{56} = \dfrac{7 \cdot 81}{3 \cdot 56} = \dfrac{1 \cdot 27}{1 \cdot 8} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{27}{8}}$
Krok 3 — pierwiastkujemy. I licznik, i mianownik są sześcianami:
$\sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{27}{8}}} = \dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{3}{2}$
Odpowiedź: $\dfrac{3}{2}$ , czyli C.

💡 Wskazówka: Skracaj przed mnożeniem, nie po. Gdybyś pomnożył wprost, dostałbyś $\tfrac{567}{168}$ i musiałbyś szukać wspólnego dzielnika w dużych liczbach. Po skróceniu wychodzi $\tfrac{27}{8}$ — dwa sześciany, czyli dokładnie to, co potrzebne przy pierwiastku trzeciego stopnia.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $\tfrac94$ ), czyli podanie $\tfrac{27}{8}$ „spierwiastkowanego” tylko częściowo albo pomylenie $\sqrt[3]{27} = 3$ z $\tfrac{27}{8}$ podniesionym do $\tfrac23$ . Odpowiedź B to inna pułapka — dla kogoś, kto nie zauważył, że ułamek się skraca, i został z $\sqrt[3]{21}$ w mianowniku.

Zadanie 6 (sierpień 2015)1 pkttrudniejsze

Liczba

\sqrt{\dfrac{9}{7}} + \sqrt{\dfrac{7}{9}}

jest równa

A. $\sqrt{\dfrac{16}{63}}$
B. $\dfrac{16}{3\sqrt{7}}$
C. $1$
D. $\dfrac{3 + \sqrt{7}}{3\sqrt{7}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dwa pierwiastki z ułamków — rozbijamy każdy na licznik i mianownik, a potem dodajemy jak zwykłe ułamki.
Krok 1 — pierwszy pierwiastek.
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{9}{7}}} = \dfrac{\sqrt9}{\sqrt7} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{\sqrt7}}$
Krok 2 — drugi pierwiastek.
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{7}{9}}} = \dfrac{\sqrt7}{\sqrt9} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt7}{3}}$
Krok 3 — dodajemy ułamki. Wspólny mianownik to $3\sqrt7$ :
$\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{\sqrt7}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt7}{3}} = \dfrac{3 \cdot 3}{3\sqrt7} + \dfrac{\sqrt7 \cdot \sqrt7}{3\sqrt7} = \dfrac{9}{3\sqrt7} + \dfrac{7}{3\sqrt7}$
Krok 4 — sumujemy liczniki. Tu jest sedno: $\sqrt7 \cdot \sqrt7 = 7$ , więc drugi licznik przestaje być niewymierny:
$\dfrac{9 + 7}{3\sqrt7} = \dfrac{16}{3\sqrt7}$
Odpowiedź: $\dfrac{16}{3\sqrt{7}}$ , czyli B.
Kontrola przybliżona: $\sqrt{\tfrac97} \approx 1{,}134$ , $\sqrt{\tfrac79} \approx 0{,}882$ , razem $\approx 2{,}016$ . A $\tfrac{16}{3\sqrt7} \approx \tfrac{16}{7{,}94} \approx 2{,}016$ ✓.

💡 Wskazówka: Odpowiedź C ( $1$ ) sprawdza, czy nie liczysz „na oko”: oba ułamki pod pierwiastkami są odwrotnościami, więc kusi, żeby uznać sumę za coś okrągłego. Ale odwrotne ułamki nie dają w sumie jedynki — dają jedynkę tylko przy mnożeniu.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli dodanie ułamków pod jednym pierwiastkiem ( $\tfrac97 + \tfrac79 = \tfrac{81+49}{63}$ — i tak nie daje $\tfrac{16}{63}$ ). Nie ma prawa na pierwiastek z sumy; trzeba najpierw rozbić każdy pierwiastek osobno.

Zadanie 7 (czerwiec 2015)1 pktśrednie

Liczba

2\sqrt{18} - \sqrt{32}

jest równa

A. $2^{-\frac{3}{2}}$
B. $2^{-\frac{1}{2}}$
C. $2^{\frac{1}{2}}$
D. $2^{\frac{3}{2}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — wyłączamy czynnik z pierwszego pierwiastka. W 18 największym kwadratem jest 9:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{18}} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2$
$\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt2}$
Krok 2 — drugi pierwiastek. W 32 największym kwadratem jest 16:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}} = \sqrt{16 \cdot 2} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}$
Krok 3 — odejmujemy.
$\textcolor{#E0453A}{6\sqrt2} - \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2} = 2\sqrt2$
Krok 4 — zapisujemy jako potęgę dwójki. To konieczne, bo wszystkie odpowiedzi są w tej postaci:
$2\sqrt2 = 2^1 \cdot 2^{\frac12} = 2^{\,1 + \frac12} = 2^{\frac32}$
Odpowiedź: $2^{\frac{3}{2}}$ , czyli D.

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedzi są podane jako potęgi, ostatni krok jest obowiązkowy — trzeba przetłumaczyć $2\sqrt2$ na $2^{3/2}$ . Pomaga pamiętać, że $2\sqrt2 = \sqrt8$ , a $8 = 2^3$ , więc $\sqrt{2^3} = 2^{3/2}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C ( $2^{1/2} = \sqrt2$ ), czyli zgubienie współczynnika 2 przy przepisywaniu na potęgę. Dwójka przed pierwiastkiem to $2^1$ i jej wykładnik dodaje się do $\tfrac12$ — nie znika.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. D	3. A	4. D	5. C	6. B
7. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

10Pytania i odpowiedzi

Co to jest pierwiastek?

Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba nieujemna, która pomnożona przez samą siebie daje tę liczbę. To działanie odwrotne do podnoszenia do kwadratu — jeśli znasz pole kwadratu, pierwiastek poda ci długość jego boku.

Jak obliczyć pierwiastek z liczby bez kalkulatora?

Jeśli liczba jest kwadratem liczby całkowitej, szukaj wprost wśród znanych kwadratów. Jeśli nie jest, oszacuj: znajdź dwa sąsiednie kwadraty, między którymi leży, a wynik będzie między odpowiadającymi im liczbami. To wystarcza do porównywania i do sprawdzania rzędu wielkości.

Czy pierwiastek może być ujemny?

Wynik pierwiastkowania kwadratowego nigdy nie jest ujemny — z definicji bierze się liczbę nieujemną. Sama liczba pod pierwiastkiem kwadratowym też nie może być ujemna. Inaczej jest przy pierwiastku sześciennym, gdzie i liczba podpierwiastkowa, i wynik mogą być ujemne.

Co to jest liczba niewymierna?

To liczba, której nie da się zapisać jako ułamka zwykłego o całkowitym liczniku i mianowniku. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. Pierwiastek z dwóch jest takim właśnie przypadkiem — i można udowodnić, że żaden ułamek nie da w kwadracie dokładnie dwójki.

Czym różni się pierwiastek kwadratowy od sześciennego?

Kwadratowy odwraca podnoszenie do drugiej potęgi, sześcienny do trzeciej. Praktyczna różnica jest jedna: z liczby ujemnej można wyciągnąć pierwiastek sześcienny, ale nie kwadratowy. Geometrycznie kwadratowy daje bok kwadratu o danym polu, a sześcienny — krawędź sześcianu o danej objętości.

Kiedy pierwiastek wychodzi „ładnie”?

Tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest kwadratem liczby całkowitej albo kwadratem ułamka. We wszystkich pozostałych przypadkach wynik jest liczbą niewymierną i zostawia się go w postaci z pierwiastkiem, bo taki zapis jest dokładny, a dziesiętny tylko przybliżony.

Czytaj dalej

Pierwiastkowanie — zadania z egzaminu ósmoklasisty23 zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami i kluczem odpowiedzi Potęgi — teoriaDziałanie odwrotne do pierwiastkowania, od podstawy i wykładnika Twierdzenie Pitagorasa — teoriaNajczęstsze miejsce, w którym pierwiastek pojawia się w geometrii Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.