Strona główna › Funkcje › Wartości funkcji i odczytywanie ich z wykresu

Wartości funkcji i odczytywanie ich z wykresu

Zadania z tej grupy nie wymagają liczenia — wymagają patrzenia we właściwą oś. Prawie każdy błąd polega tu na podaniu argumentu tam, gdzie pytano o wartość, albo odwrotnie. Dlatego ta strona jest zbudowana wokół jednego pytania, które warto zadawać sobie za każdym razem: czy odpowiedź jest liczbą z osi poziomej, czy z pionowej?

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 18

Przejdź od razu do zadań (18) ↓

1Argument i wartość — dwie różne osie

Wykres funkcji to zbiór punktów o współrzędnych (x,f(x))(x, f(x)). Pierwsza liczba to argument, druga — wartość. Ta różnica wygląda na oczywistą, dopóki pytanie nie jest zadane w słowach.

pytanie w zadaniuodpowiedź jest liczbą z osico robimy
ile wynosi f(3)f(3)OyOy (pionowej)wchodzimy w 33 na osi poziomej, jedziemy do wykresu, odczytujemy wysokość
dla jakiego xx funkcja przyjmuje wartość 33OxOx (poziomej)prowadzimy poziomą prostą na wysokości 33 i patrzymy, gdzie tnie wykres
miejsce zeroweOxOx (poziomej)szukamy przecięcia wykresu z osią poziomą
największa wartośćOyOy (pionowej)szukamy najwyżej położonego punktu wykresu

Zwróć uwagę na drugi wiersz: pytanie „dla jakiego xx” może mieć kilka odpowiedzi naraz, bo pozioma prosta bywa, że przecina wykres w wielu miejscach. Pytanie „ile wynosi f(3)f(3)” ma — o ile trójka należy do dziedziny — dokładnie jedną i to jest właśnie definicja funkcji. Gdy argumentu w dziedzinie nie ma, odpowiedzi nie ma wcale: w tabeli z ostatniej sekcji dziedziną jest pięć liczb i trójki wśród nich nie widać.

Test pionowej prostej

Rysunek przedstawia wykres funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy żadna pionowa prosta nie przecina go dwa razy.

Okrąg tego testu nie przechodzi: dla większości argumentów miałby dwie wartości, górną i dolną.

To ten sam powód, dla którego prosta pionowa nie jest wykresem funkcji liniowej.

2Dziedzina i zbiór wartości — rzut na osie

Obie te rzeczy odczytuje się z rysunku tym samym ruchem: rzutując wykres na oś.

Przy odczycie z rysunku decydują końce. Kropka pełna oznacza, że punkt należy do wykresu, kropka pusta — że nie należy. Stąd bierze się różnica między przedziałem domkniętym ⟨−4,6⟩\langle -4, 6 \rangle a otwartym (−4,6)(-4, 6), i stąd biorą się punkty tracone za nawiasy.

Jeżeli wykres kończy się strzałką, znaczy to, że biegnie dalej — wtedy odpowiedni koniec przedziału jest nieskończonością. Rysunek maturalny prawie zawsze ma jedno albo drugie: albo wyraźne kropki, albo wyraźne strzałki. Jeśli nie widzisz ani jednego, patrzysz na zły fragment rysunku.

Zbiór wartości bywa mylony z „wartościami na końcach”. To nie to samo: funkcja może po drodze wznieść się wyżej niż w obu końcach przedziału, i wtedy górny kres zbioru wartości leży gdzieś w środku wykresu.

3Monotoniczność — czytanie kierunku, nie liczb

Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeżeli idąc w prawo, wykres idzie w górę; malejąca, gdy idzie w dół; stała, gdy biegnie poziomo.

Trzy rzeczy, które przy tym pytaniu decydują o punktach:

  1. Przedziały monotoniczności podajemy na osi poziomej — to zbiory argumentów, nie wartości.
  2. Podajemy je jako przedziały, a nie jako pojedyncze punkty. „Funkcja rośnie dla x=2x = 2” nie znaczy nic.
  3. W punkcie zwrotnym funkcja nie jest ani rosnąca, ani malejąca — to granica dwóch przedziałów.

Warto zapamiętać, że monotoniczność i znak funkcji to dwie niezależne rzeczy. Funkcja może rosnąć, będąc cały czas ujemna — wystarczy, że wznosi się z −8-8 do −1-1. „Rośnie” mówi o kierunku, „jest dodatnia” o położeniu względem osi.

Cztery pytania, cztery różne odczyty

Gdzie funkcja rośnie → przedziały na osi poziomej, patrzymy na kierunek wykresu.

Gdzie funkcja jest dodatnia → przedziały na osi poziomej, patrzymy, czy wykres jest nad osią.

Jaka jest największa wartość → jedna liczba z osi pionowej.

Dla jakiego argumentu jest przyjmowana → liczba z osi poziomej, a czasem kilka naraz.

Trzecie i czwarte pytanie brzmią prawie identycznie, a odpowiedzi są z różnych osi. To najczęstsze źródło straconego punktu w całym dziale.

4Wartość największa i najmniejsza w przedziale domkniętym

W przedziale domkniętym wartość największa i najmniejsza istnieją zawsze, o ile wykres biegnie jedną kreską — bez przerw i bez pustych kropek. Ma wtedy początek i koniec, więc gdzieś musi być najwyżej i gdzieś najniżej. W przedziale otwartym mogą nie istnieć, bo wykres „dobiega” do wysokości, której nigdy nie osiąga.

Szukamy ich w dwóch miejscach naraz: na końcach przedziału oraz w punktach zwrotnych. Nigdzie indziej wykres nie może osiągnąć skrajnej wysokości — pomiędzy nimi biegnie monotonicznie, więc wznosi się albo opada.

Odpowiedź na takie pytanie ma zwykle dwie części i obie trzeba podać: jaka to wartość i dla jakiego argumentu jest przyjmowana. Pierwsza liczba pochodzi z osi pionowej, druga z poziomej.

Ta sama wartość największa może być przyjmowana dla kilku argumentów — jeśli wykres dotyka najwyższego poziomu dwa razy, oba argumenty należą do odpowiedzi. Wartość jest wtedy nadal jedna, argumentów jest kilka.

5Funkcja zadana tabelą

Nie każda funkcja przychodzi z wykresem. Bywa podana tabelą, i wtedy odczyt jest prostszy, ale pułapka zostaje ta sama.

xx−3-3−1-1002255
f(x)f(x)4400−2-20044

Z takiej tabeli czytamy wprost: dziedziną jest zbiór pięciu liczb {−3,−1,0,2,5}\{-3, -1, 0, 2, 5\}, a nie przedział — funkcja nie jest określona pomiędzy nimi. Zbiór wartości to {−2,0,4}\{-2, 0, 4\}; powtórzone liczby wypisujemy raz, bo zbiór nie zna krotności.

Miejsca zerowe to te argumenty, przy których w dolnym wierszu stoi 00 — tutaj −1-1 oraz 22. Znów: odpowiedzią są liczby z górnego wiersza, choć zero widnieje w dolnym.

Funkcja z tabeli często wygląda „jak parabola”, ale nią nie jest — o kształcie między punktami tabela nie mówi nic. Dorysowywanie sobie gładkiej krzywej i odczytywanie z niej wartości pośrednich to najczęstszy błąd przy tej formie zapisu. O tym, jak zachowuje się prawdziwa parabola, piszę na stronie o funkcji kwadratowej.

6Przykłady krok po kroku

W czterech przykładach korzystam z tego samego wykresu opisanego słowami — tak, jak wyglądałby na rysunku maturalnym. Za każdym razem zmienia się tylko pytanie.

Przykład 1 Dziedzina i zbiór wartości

Wykres funkcji ff zaczyna się w punkcie (−4,−3)(-4, -3) i kończy w punkcie (6,1)(6, 1), oba końce zaznaczono pełnymi kropkami. Najwyżej wykres sięga wysokości 77 w punkcie o pierwszej współrzędnej 22, a najniżej — wysokości −3-3 na samym początku. Podaj dziedzinę i zbiór wartości.

  1. Dziedzina to rzut wykresu na oś poziomą: od −4-4 do 66.
  2. Oba końce są pełnymi kropkami, więc przedział jest domknięty: D=⟨−4,6⟩D = \langle -4, 6 \rangle.
  3. Zbiór wartości to rzut na oś pionową: od najniższej wysokości do najwyższej.
  4. Najniżej wykres schodzi do −3-3, najwyżej wznosi się do 77, więc ZW=⟨−3,7⟩ZW = \langle -3, 7 \rangle.
  5. Kontrola: wartość na drugim końcu wynosi 11 i mieści się w ⟨−3,7⟩\langle -3, 7 \rangle ✓

Odpowiedź: D=⟨−4,6⟩D = \langle -4, 6 \rangle, ZW=⟨−3,7⟩ZW = \langle -3, 7 \rangle

Zauważ, że górny kres zbioru wartości, 77, nie jest wartością w żadnym z końców przedziału — leży w środku wykresu. Odczytywanie zbioru wartości „z końców” dałoby tu błędne ⟨−3,1⟩\langle -3, 1 \rangle.

Przykład 2 Wartość największa i argument

Dla tej samej funkcji podaj wartość największą oraz argument, dla którego jest przyjmowana.

  1. Wartość największa to najwyższa wysokość wykresu — liczba z osi pionowej.
  2. Wykres sięga najwyżej poziomu 77, więc wartość największa wynosi 77.
  3. Argument to pierwsza współrzędna tego punktu — liczba z osi poziomej, czyli 22.
  4. Zapis pełnej odpowiedzi: f(2)=7f(2) = 7.
  5. Kontrola: gdyby odpowiedzią miało być 22, pytanie brzmiałoby „dla jakiego argumentu”, a nie „jaka jest wartość” ✓

Odpowiedź: Wartość największa to 77, przyjmowana dla argumentu 22.

Dwie liczby, dwie osie, jedno zdanie w treści. Zapis f(2)=7f(2) = 7 jest odporny na tę pomyłkę, bo od razu widać, która liczba jest w nawiasie, a która po znaku równości.

Przykład 3 Odczyt argumentów dla danej wartości

Ta sama funkcja przecina oś poziomą tylko raz, dla x=−1x = -1. Ile ma miejsc zerowych i dla ilu argumentów przyjmuje wartość 11?

  1. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość wynosi 00 — tutaj jest jeden: −1-1. Dalej wykres wznosi się do 77, a potem opada tylko do 11, więc do osi już nie wraca.
  2. Drugie pytanie wymaga poprowadzenia poziomej prostej na wysokości 11.
  3. Wykres wznosi się z −3-3 do 77, potem opada do 11 na końcu przedziału.
  4. Prosta na wysokości 11 przecina więc gałąź rosnącą raz i trafia w koniec wykresu raz — razem dwa argumenty.
  5. Kontrola sensu: wysokość 11 leży wewnątrz zbioru wartości ⟨−3,7⟩\langle -3, 7 \rangle, więc przynajmniej jeden argument musi istnieć ✓

Odpowiedź: Jedno miejsce zerowe (−1-1); wartość 11 przyjmowana dla dwóch argumentów.

Pytanie „dla ilu argumentów” zawsze sprowadza się do poziomej prostej. Pytanie „ile wynosi wartość” — do pionowej. Jeśli nie wiadomo, którą prostą prowadzić, wystarczy sprawdzić, czy liczba w pytaniu jest podana jako xx, czy jako wartość.

Przykład 4 Monotoniczność i znak

Podaj przedział, w którym funkcja rośnie, oraz przedział, w którym przyjmuje wartości ujemne. Przyjmij, że wykres rośnie od początku aż do punktu (2,7)(2, 7), a potem maleje.

  1. Funkcja rośnie od lewego końca dziedziny do punktu zwrotnego: w przedziale ⟨−4,2⟩\langle -4, 2 \rangle.
  2. Wartości ujemne to fragment wykresu pod osią poziomą.
  3. Wykres startuje na wysokości −3-3 i przecina oś dopiero w −1-1, więc pod osią jest dla xx od −4-4 do −1-1.
  4. Za miejscem zerowym wykres pozostaje nad osią aż do końca — w 66 ma wartość 11, dodatnią.
  5. Zatem wartości ujemne występują tylko w przedziale ⟨−4,−1)\langle -4, -1 ).
  6. Kontrola: w −1-1 wartość wynosi dokładnie 00, czyli nie jest ujemna — dlatego nawias przy −1-1 jest otwarty ✓

Odpowiedź: Rośnie w ⟨−4,2⟩\langle -4, 2 \rangle; wartości ujemne w ⟨−4,−1)\langle -4, -1 ).

Oba przedziały zaczynają się w −4-4 i oba są zbiorami argumentów — ale opisują zupełnie różne rzeczy: pierwszy kierunek wykresu, drugi jego położenie względem osi. To dokładnie ta para, o którą pyta się w zadaniach zamkniętych.

7Najczęstsze błędy

Poniższe pomyłki kosztują punkty nawet przy poprawnym odczycie rysunku — bo dotyczą tego, co zostaje zapisane w odpowiedzi.

Podanie argumentu zamiast wartości (albo odwrotnie).

Skąd się bierze: Pytania „jaka jest wartość największa” i „dla jakiego argumentu jest przyjmowana” brzmią podobnie i dotyczą tego samego punktu wykresu.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj odpowiedź w postaci f(a)=bf(a) = b. Wtedy widać, że argument stoi w nawiasie, a wartość po znaku równości.

Podawanie przedziałów monotoniczności na osi pionowej.

Skąd się bierze: Wykres „rośnie do góry”, więc odruchowo wskazuje się wysokości, po których się wspina.

Jak zrobić dobrze: Monotoniczność zawsze opisuje zbiór argumentów. Odpowiedź to przedział z osi poziomej, choćby pytanie dotyczyło wznoszenia się.

Odczytywanie zbioru wartości z końców przedziału.

Skąd się bierze: Przy prostej to działa, więc nawyk przenosi się na wykresy z punktem zwrotnym.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy wykres gdzieś po drodze nie wznosi się wyżej lub nie schodzi niżej niż na końcach. Rzut na oś pionową obejmuje cały wykres.

Mylenie nawiasu domkniętego z otwartym przy wartościach dodatnich i ujemnych.

Skąd się bierze: Miejsce zerowe wygląda na naturalny koniec przedziału, więc bywa do niego wliczane.

Jak zrobić dobrze: W miejscu zerowym wartość wynosi 00 — nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Nawias przy takim końcu musi być otwarty.

Dorysowywanie krzywej między punktami funkcji zadanej tabelą.

Skąd się bierze: Punkty układają się w rozpoznawalny kształt, więc mózg domyka go w parabolę.

Jak zrobić dobrze: Tabela określa funkcję wyłącznie dla wypisanych argumentów. Między nimi funkcja nie jest zdefiniowana i nie wolno stamtąd nic odczytywać.

Wypisywanie powtórzonych liczb w zbiorze wartości.

Skąd się bierze: W tabeli ta sama wartość pojawia się przy kilku argumentach, więc bywa wpisywana kilka razy.

Jak zrobić dobrze: Zbiór wypisuje każdy element raz. {−2,0,0,4,4}\{-2, 0, 0, 4, 4\} to po prostu {−2,0,4}\{-2, 0, 4\}.

Zadania maturalne — odczytywanie wartości funkcji z wykresu

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co odczytane z rysunku. Czerwone — to, co z tego wynika. Cały ten dział stoi na jednym rozróżnieniu: dziedzina to zbiór argumentów (czytamy ją, patrząc w poziomie), a zbiór wartości to zbiór wysokości (czytamy go, patrząc w pionie). Kółko niezamalowane mówi, że dany koniec nie należy do wykresu — ale uwaga: koniec wykluczony z dziedziny nie musi wykluczać swojej wysokości ze zbioru wartości, jeśli ta sama wysokość pojawia się gdzie indziej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)2 pkttrudniejsze

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)(x,\, y) narysowano wykres funkcji y=f(x)y = f(x) (zobacz rysunek).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami AA–FF.
Dziedziną funkcji ff jest zbiór ……… , a zbiorem wartości funkcji ff jest zbiór ……… .
Wykres funkcji f zlozony z dwoch rozdzielonych czescixy0−6−4−2246−4−2246
  • A. ⟨−3, −1⟩∪⟨1, 3⟩\langle -3,\, -1 \rangle \cup \langle 1,\, 3 \rangle
  • B. ⟨−3, 3⟩\langle -3,\, 3 \rangle
  • C. (−3, −1)∪(1, 3)(-3,\, -1) \cup (1,\, 3)
  • D. ⟨−5, −1⟩∪⟨1, 5⟩\langle -5,\, -1 \rangle \cup \langle 1,\, 5 \rangle
  • E. (−5, 5)(-5,\, 5)
  • F. (−5, −1)∪(1, 5)(-5,\, -1) \cup (1,\, 5)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, A

  1. Dziedzina — patrzymy w poziomie. Wykres ma dwie części. Lewa ciągnie się od x=−5x = \textcolor{#16A06A}{-5} do x=−1x = \textcolor{#16A06A}{-1}, prawa od x=1x = \textcolor{#16A06A}{1} do x=5x = \textcolor{#16A06A}{5}. Między nimi jest przerwa: dla xx od −1-1 do 11 funkcja nie jest w ogóle określona. To od razu wyklucza odpowiedzi BB i EE, bo są jednym przedziałem bez przerwy.
  2. Czy końce należą? Wszystkie cztery kółka na końcach są niezamalowane, więc żaden koniec do wykresu nie należy i wszystkie nawiasy są okrągłe:
  3. Df=(−5, −1)∪(1, 5)D_f = \textcolor{#E0453A}{(-5,\, -1) \cup (1,\, 5)} — odpowiedź FF.
  4. Zbiór wartości — patrzymy w pionie. Tu trzeba uważać, bo nawiasy wychodzą inne niż w dziedzinie. Lewa część wykresu ma wysokości od −3\textcolor{#16A06A}{-3} do −1\textcolor{#16A06A}{-1}, prawa od 1\textcolor{#16A06A}{1} do 3\textcolor{#16A06A}{3}.
  5. Skrajne wysokości są osiągane, mimo że skrajne argumenty nie należą do dziedziny. Wysokość −3-3 przyjmuje cały poziomy odcinek między x=−5x = -5 a x=−4x = -4: punkt x=−5x = -5 odpada, ale na przykład x=−4,5x = -4{,}5 zostaje i f(−4,5)=−3f(-4{,}5) = \textcolor{#E0453A}{-3}. Tak samo wysokość −1-1 przyjmuje poziomy odcinek między −3-3 a −1-1, a punkt x=−3x = -3 do dziedziny należy.
  6. ZWf=⟨−3, −1⟩∪⟨1, 3⟩ZW_f = \textcolor{#E0453A}{\langle -3,\, -1 \rangle \cup \langle 1,\, 3 \rangle} — odpowiedź AA.
  7. Odpowiedź: dziedzina FF, zbiór wartości AA.
  8. Kontrola na kompletności odpowiedzi: sześć podanych zbiorów to trzy pary. Dwa opisują dziedzinę (DD domknięty, FF otwarty), dwa opisują zbiór wartości (AA domknięty, CC otwarty), a dwa (BB, EE) to warianty bez przerwy. Każda para różni się tylko nawiasami — czyli zadanie sprawdza wyłącznie to, czy patrzysz na kółka.

💡 Wskazówka: Rozwiąż to jako dwa niezależne zadania i za każdym razem zapytaj o co innego. Przy dziedzinie wodzisz palcem w poziomie i pytasz: od jakiego xx do jakiego xx coś jest narysowane? Przy zbiorze wartości wodzisz palcem w pionie i pytasz: na jakich wysokościach coś jest narysowane? Przerwa w środku wykresu przenosi się na obie odpowiedzi, więc suma dwóch przedziałów pojawia się w obu.

⚠ Przepisanie nawiasów z dziedziny do zbioru wartości — czyli odpowiedź CC zamiast AA. To najczęstsza pułapka tego zadania i właśnie po to jest tak zbudowane. Kółko niezamalowane wyklucza argument, a nie wysokość: skoro do wykresu należy poziomy odcinek na wysokości −3-3, to wartość −3-3 jest osiągana, choć punkt x=−5x = -5 odpadł. Drugi błąd: odpowiedź BB albo EE — przeoczenie przerwy w środku i podanie jednego przedziału zamiast sumy dwóch.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji y=f(x)y = f(x).

W przedziale (−4, 6)(-4,\, 6) równanie f(x)=−1f(x) = -1
Fragment wykresu funkcji f — waski luk i dlugi opadajacy odcinekxy0−6−4−22468−4−2246
  • A. nie ma rozwiązań.
  • B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
  • C. ma dokładnie dwa rozwiązania.
  • D. ma dokładnie trzy rozwiązania.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Równanie f(x)=−1f(x) = \textcolor{#16A06A}{-1} to pytanie: ile razy wykres przecina poziomą prostą y=−1y = -1? Nie liczymy nic — liczymy punkty przecięcia. Kluczowe jest tylko to, żeby liczyć je wyłącznie w przedziale (−4, 6)(\textcolor{#16A06A}{-4},\, \textcolor{#16A06A}{6}).
  2. Wykres składa się z dwóch części: wąskiego łuku po lewej i długiego odcinka opadającego w prawo.
  3. Łuk. Jego najniższy punkt leży na wysokości −2\textcolor{#16A06A}{-2}, czyli poniżej prostej y=−1y = -1, więc łuk przecina ją dwa razy — raz na lewym ramieniu, raz na prawym. Ale najniższy punkt wypada dokładnie przy x=−4x = \textcolor{#16A06A}{-4}, a przedział jest otwarty i zaczyna się właśnie tam. Lewe ramię leży więc poza przedziałem i liczy się tylko przecięcie na prawym ramieniu: 1\textcolor{#E0453A}{1} rozwiązanie.
  4. Odcinek opadający. Zaczyna się wysoko, powyżej prostej y=−1y = -1, a kończy poniżej niej, i cały czas opada — więc przecina ją dokładnie raz: 1\textcolor{#E0453A}{1} rozwiązanie. To przecięcie wypada mniej więcej w połowie między 44 a 55, czyli w przedziale.
  5. Razem: 2\textcolor{#E0453A}{2} rozwiązania.
  6. Odpowiedź: C.
  7. Kontrola, dlaczego przedział jest właśnie taki. Gdyby zaczynał się choć trochę wcześniej — powiedzmy od −5-5 — mieściłoby się w nim także lewe ramię łuku i rozwiązania byłyby trzy. Lewy koniec przedziału został ustawiony dokładnie w najniższym punkcie łuku, i to jest cała pułapka tego zadania.

💡 Wskazówka: Przyłóż linijkę poziomo na wysokości −1-1 i policz punkty wspólne z wykresem — ale najpierw zaznacz sobie na osi końce przedziału (−4, 6)(-4,\, 6) i zasłoń wszystko poza nimi. Prawie cała trudność polega na tym, że wykres wychodzi poza podany przedział, a zadanie pyta tylko o to, co w nim.

⚠ Odpowiedź D, czyli trzy rozwiązania — z policzenia obu przecięć z łukiem. Lewe ramię łuku leży już poza przedziałem, bo jego najniższy punkt wypada dokładnie na krańcu x=−4x = -4, a przedział jest otwarty. Drugi błąd: odpowiedź B — pominięcie łuku i policzenie tylko przecięcia z odcinkiem, bo łuk jest wąski i przecina prostą na krótkim odcinku, łatwym do przeoczenia.

Zadanie 4 (maj 2022)1 pktłatwe

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ff.

Iloczyn f(−3)⋅f(0)⋅f(4)f(-3) \cdot f(0) \cdot f(4) jest równy
Wykres funkcji f zlozony z trzech odcinkowxy0−8−6−4−22468−4−2246
  • A. −12-12
  • B. −8-8
  • C. 00
  • D. 1616
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Trzy odczyty, po jednym na każdy czynnik. Za każdym razem: znajdujemy argument na osi poziomej, idziemy w górę albo w dół do wykresu i odczytujemy wysokość.
  2. f(−3)=−2f(\textcolor{#16A06A}{-3}) = \textcolor{#E0453A}{-2} — punkt leży na odcinku wznoszącym się, dwie kratki poniżej osi poziomej.
  3. f(0)=1f(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#E0453A}{1} — wykres przecina oś pionową jedną kratkę powyżej zera.
  4. f(4)=4f(\textcolor{#16A06A}{4}) = \textcolor{#E0453A}{4} — punkt leży już na poziomym odcinku po prawej, cztery kratki nad osią.
  5. f(−3)⋅f(0)⋅f(4)=(−2)⋅1⋅4=−8f(-3) \cdot f(0) \cdot f(4) = (\textcolor{#E0453A}{-2}) \cdot \textcolor{#E0453A}{1} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#E0453A}{-8}
  6. Odpowiedź: B.
  7. Kontrola bez patrzenia na rysunek po raz drugi: odcinek wznoszący się biegnie od (−4, −3)(-4,\, -3) do (3, 4)(3,\, 4), czyli na siedmiu jednostkach w prawo idzie o siedem w górę — jego nachylenie to dokładnie 11, a wzór na tym kawałku to f(x)=x+1f(x) = x + 1. Podstawiamy: f(−3)=−2f(-3) = -2 ✓ oraz f(0)=1f(0) = 1 ✓. Punkt x=4x = 4 leży już za końcem tego odcinka, więc wzoru tam nie wolno użyć — i właśnie dlatego f(4)=4f(4) = 4, a nie 55.

💡 Wskazówka: Zanim pomnożysz, sprawdź znaki: tylko jeden czynnik jest ujemny, więc iloczyn musi wyjść ujemny. To od razu wyklucza C i D. Potem wystarczy rzetelnie odczytać trzy liczby — a najłatwiej pomylić się przy f(4)f(4), bo ten argument leży już za końcem odcinka wznoszącego się, na poziomym fragmencie.

⚠ Odczytanie f(4)=5f(4) = 5 przez przedłużenie odcinka wznoszącego się w myślach poza jego koniec — wychodzi wtedy −10-10, czego nie ma wśród odpowiedzi, więc błąd się ujawnia. Gorszy jest wariant, który daje odpowiedź z listy: pomylenie f(−3)=−2f(-3) = -2 z −3-3 (czyli odczytanie argumentu zamiast wartości) prowadzi do −3⋅1⋅4=−12-3 \cdot 1 \cdot 4 = -12, czyli A.

Zadanie 5 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ff określonej w zbiorze (−1, 7)(-1,\, 7).

Wskaż zdanie prawdziwe.
Wykres funkcji f okreslonej w zbiorze od minus 1 do 7 bez koncowxy0−22468−4−224
  • A. Funkcja ff ma trzy miejsca zerowe.
  • B. Zbiorem wartości funkcji ff jest ⟨−1, 1)\langle -1,\, 1).
  • C. Funkcja ff osiąga wartość największą równą 11.
  • D. Funkcja ff osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru (−1, 0)(-1,\, 0).
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Zdanie ma być jedno prawdziwe, ale nie da się go wskazać bez sprawdzenia wszystkich czterech — dwa z nich są bardzo blisko prawdy i różnią się od niej szczegółem.
  2. A — miejsca zerowe. Szukamy, gdzie wykres przecina oś poziomą. Odcinek opadający z lewej przecina ją raz. Odcinek wznoszący się w środku przecina ją drugi raz. Ostatni odcinek dochodzi do osi w punkcie x=7x = \textcolor{#16A06A}{7} — ale ten koniec ma kółko niezamalowane i nie należy do dziedziny (−1, 7)(\textcolor{#16A06A}{-1},\, \textcolor{#16A06A}{7}). Miejsca zerowe są więc 2\textcolor{#E0453A}{2}, a nie trzy. Fałsz.
  3. B — zbiór wartości. Najniżej wykres schodzi na wysokość −1\textcolor{#16A06A}{-1}, najwyżej sięga 1\textcolor{#16A06A}{1}. Podane zdanie domyka dół, a otwiera górę: ⟨−1, 1)\langle -1,\, 1). Tymczasem wartość 11 jest osiągana — przyjmuje ją cały poziomy odcinek między x=5x = 5 a x=6x = 6. Zbiorem wartości jest więc ⟨−1, 1⟩\textcolor{#E0453A}{\langle -1,\, 1 \rangle}, z domkniętym nawiasem po obu stronach. Fałsz.
  4. C — wartość największa. To samo spostrzeżenie, tylko sformułowane wprost: najwyższa wysokość na wykresie to 1\textcolor{#16A06A}{1} i jest osiągana na poziomym odcinku między 55 a 66. Funkcja rzeczywiście osiąga wartość największą i jest ona równa 1\textcolor{#E0453A}{1}. Prawda.
  5. D — wartości ujemne na (−1, 0)(-1,\, 0). Na tym kawałku wykres dopiero zaczyna opadać z wysokości bliskiej 11 i oś poziomą przecina dopiero w x=1x = \textcolor{#E0453A}{1}. Dla argumentów między −1-1 a 00 wartości są więc dodatnie, nie ujemne. Fałsz.
  6. Odpowiedź: C.
  7. Kontrola na zdaniach B i C, bo wyglądają na sprzeczne: B mówi, że 11 nie jest osiągane, C — że jest. Rozstrzyga poziomy odcinek na wysokości 11: gdyby wykres tylko dążył do jedynki przy lewym końcu i nigdzie jej nie przyjmował, prawdziwe byłoby B, a C fałszywe. To, że jedynkę przyjmuje na całym odcinku od 55 do 66, przesądza obie odpowiedzi naraz.

💡 Wskazówka: Sprawdź wszystkie cztery zdania, nawet jeśli pierwsze wygląda dobrze — dwa z nich mówią o tej samej wysokości 11 i wykluczają się nawzajem, więc któreś na pewno jest pułapką. Przy zdaniach o miejscach zerowych i o dziedzinie patrz przede wszystkim na kółka: prawy koniec wykresu dotyka osi poziomej, ale jest niezamalowany, więc zerem nie jest.

⚠ Wybór A — policzenie trzech miejsc zerowych razem z prawym końcem wykresu. Wykres rzeczywiście dochodzi tam do osi, ale kółko jest niezamalowane, a treść mówi wprost, że dziedziną jest przedział otwarty (−1, 7)(-1,\, 7); punkt x=7x = 7 nie jest argumentem, więc nie może być miejscem zerowym. Drugi błąd: wybór B — zapamiętanie, że lewy koniec wykresu na wysokości 11 jest wykluczony, i wyciągnięcie z tego wniosku, że jedynki nie ma w zbiorze wartości. Ta sama wysokość pojawia się jeszcze raz, po prawej, i tam już jest osiągana.

Zadanie 6 (maj 2021)1 pktśrednie

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x22x−2f(x) = \dfrac{x^2}{2x - 2} dla każdej liczby rzeczywistej x≠1x \ne 1. Wtedy dla argumentu x=3−1x = \sqrt3 - 1 wartość funkcji ff jest równa
  • A. 13−1\dfrac{1}{\sqrt3 - 1}
  • B. −1-1
  • C. 11
  • D. 13−2\dfrac{1}{\sqrt3 - 2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Podstawiamy x=3−1x = \textcolor{#16A06A}{\sqrt3 - 1} do wzoru — osobno licznik, osobno mianownik.
  2. Licznik. Kwadrat różnicy: (3−1)2=(3)2−2⋅3⋅1+12=3−23+1=4−23(\textcolor{#16A06A}{\sqrt3 - 1})^2 = (\sqrt3)^2 - 2 \cdot \sqrt3 \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt3 + 1 = \textcolor{#E0453A}{4 - 2\sqrt3}
  3. Mianownik. 2(3−1)−2=23−2−2=23−42(\textcolor{#16A06A}{\sqrt3 - 1}) - 2 = 2\sqrt3 - 2 - 2 = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3 - 4}
  4. f(3−1)=4−2323−4f(\sqrt3 - 1) = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4 - 2\sqrt3}}{\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3 - 4}}
  5. Teraz najważniejsze spostrzeżenie: licznik i mianownik to te same dwa składniki w odwrotnej kolejności, czyli licznik jest liczbą przeciwną do mianownika. Zapiszmy to wprost: 4−23=−(23−4)4 - 2\sqrt3 = -(2\sqrt3 - 4).
  6. f(3−1)=−(23−4)23−4=−1f(\sqrt3 - 1) = \dfrac{-(2\sqrt3 - 4)}{2\sqrt3 - 4} = \textcolor{#E0453A}{-1}
  7. Odpowiedź: B.
  8. Kontrola liczbowa, niezależna od tego przekształcenia: 3≈1,732\sqrt3 \approx 1{,}732, więc licznik to 4−3,464=0,5364 - 3{,}464 = 0{,}536, a mianownik 3,464−4=−0,5363{,}464 - 4 = -0{,}536. Iloraz wynosi −1-1 ✓. Warto też sprawdzić, że dzielenie jest legalne: mianownik jest różny od zera, bo 3≠2\sqrt3 \ne 2, a argument 3−1≈0,73\sqrt3 - 1 \approx 0{,}73 jest różny od 11, czyli mieści się w dziedzinie.

💡 Wskazówka: Nie usuwaj niewymierności z mianownika — to tu zbędna praca i główne źródło pomyłek. Policz licznik i mianownik osobno, a potem porównaj je: jeśli różnią się tylko kolejnością odejmowania, iloraz wynosi −1-1 i to koniec zadania. Wzór skróconego mnożenia (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 jest tu jedynym rachunkiem.

⚠ Odpowiedź C, czyli 11 — z przeoczenia, że 4−234 - 2\sqrt3 i 23−42\sqrt3 - 4 różnią się znakiem, a nie są równe. Warto podstawić przybliżenie i sprawdzić znak: mianownik 23−4≈−0,542\sqrt3 - 4 \approx -0{,}54 jest ujemny, licznik dodatni, więc iloraz musi być ujemny. Drugi błąd: policzenie (3−1)2(\sqrt3 - 1)^2 jako 3−1=23 - 1 = 2, czyli podniesienie do kwadratu każdego składnika osobno.

Zadanie 7 (maj 2021)1 pktłatwe

Do wykresu funkcji ff określonej dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem f(x)=3x−2f(x) = 3^x - 2 należy punkt o współrzędnych
  • A. (−1, −5)(-1,\, -5)
  • B. (0, −2)(0,\, -2)
  • C. (0, −1)(0,\, -1)
  • D. (2, 4)(2,\, 4)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Punkt (a, b)(a,\, b) należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy f(a)=bf(a) = b. Sprawdzamy więc podane pary po kolei — wystarczy podstawić pierwszą współrzędną i porównać z drugą.
  2. A. f(−1)=3−1−2=13−2=−53f(\textcolor{#16A06A}{-1}) = 3^{-1} - 2 = \tfrac13 - 2 = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac53}, a miało być −5-5 ✗
  3. B i C. f(0)=30−2=1−2=−1f(\textcolor{#16A06A}{0}) = 3^{0} - 2 = \textcolor{#16A06A}{1} - 2 = \textcolor{#E0453A}{-1}. To rozstrzyga obie naraz: punkt (0, −1)(0,\, -1) należy ✓, a (0, −2)(0,\, -2) nie należy ✗
  4. D. f(2)=32−2=9−2=7f(\textcolor{#16A06A}{2}) = 3^{2} - 2 = \textcolor{#16A06A}{9} - 2 = \textcolor{#E0453A}{7}, a miało być 44 ✗
  5. Odpowiedź: C.
  6. Kontrola na tym, co odróżnia B od C — a różnią się tylko drugą współrzędną. Cała rzecz w tym, że 30=13^0 = \textcolor{#16A06A}{1}, a nie 00: każda potęga o wykładniku zero równa się jeden. Gdyby ktoś przyjął 30=03^0 = 0, wyszłoby −2-2, czyli dokładnie odpowiedź B. To jest jedyna pułapka tego zadania i została w nim ustawiona celowo.

💡 Wskazówka: Nie rysuj wykresu — cztery podstawienia są szybsze i pewniejsze. Zacznij od punktów o pierwszej współrzędnej 00, bo tam potęga jest najprostsza, a w tym zadaniu takie punkty są dwa i rozstrzygasz obie odpowiedzi jednym rachunkiem.

⚠ Odpowiedź B, z przyjęcia, że 30=03^0 = 0. Potęga o wykładniku zero wynosi 11 dla każdej podstawy różnej od zera — to definicja, nie wyjątek. Drugi błąd: odpowiedź A, z policzenia 3−13^{-1} jako −3-3 zamiast 13\tfrac13. Ujemny wykładnik nie zmienia znaku potęgi, tylko odwraca ją do ułamka.

Zadanie 8 (czerwiec 2018)1 pktśrednie

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=−2(x+2)−1(x−3)2f(x) = -2(x+2)^{-1}(x-3)^2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠−2x \ne -2.

Wartość funkcji ff dla argumentu 22 jest równa
  • A. −8-8
  • B. −12-\dfrac12
  • C. 12\dfrac12
  • D. 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kluczowe jest odczytanie wzoru: wykładnik −1\textcolor{#16A06A}{-1} dotyczy tylko nawiasu (x+2)(x+2) i oznacza jego odwrotność, a nie zmianę znaku. Wzór można więc zapisać czytelniej:
  2. f(x)=−2(x−3)2x+2f(x) = \dfrac{-2(x-3)^2}{x+2}
  3. Podstawiamy x=2x = \textcolor{#16A06A}{2} i liczymy trzy kawałki osobno.
  4. • (x+2)−1=(2+2)−1=4−1=14(x+2)^{-1} = (\textcolor{#16A06A}{2} + 2)^{-1} = 4^{-1} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14}
  5. • (x−3)2=(2−3)2=(−1)2=1(x-3)^2 = (\textcolor{#16A06A}{2} - 3)^2 = (-1)^2 = \textcolor{#E0453A}{1}
  6. • przed nimi stoi −2\textcolor{#16A06A}{-2}
  7. f(2)=−2⋅14⋅1=−12f(2) = \textcolor{#16A06A}{-2} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac14} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}
  8. Odpowiedź: B.
  9. Kontrola znakiem: (x−3)2(x-3)^2 jest kwadratem, więc nigdy nie jest ujemne; dla x=2x = 2 mianownik x+2=4x + 2 = 4 jest dodatni, a przed ułamkiem stoi minus. Wynik musi więc być ujemny — to od razu wyklucza odpowiedzi C i D. Między A a B rozstrzyga wielkość: −8-8 wymagałoby, żeby ułamek (x−3)2x+2\tfrac{(x-3)^2}{x+2} wynosił 44, a on wynosi 14\tfrac14.

💡 Wskazówka: Zamień zapis z wykładnikiem −1-1 na ułamek, zanim zaczniesz podstawiać. Zapis (x+2)−1(x+2)^{-1} jest w arkuszach używany właśnie po to, żeby sprawdzić, czy uczeń wie, że to odwrotność. Po przepisaniu na 1x+2\tfrac{1}{x+2} zadanie staje się zwykłym podstawieniem.

⚠ Odpowiedź A, czyli −8-8 — z potraktowania (x+2)−1(x+2)^{-1} jako −(x+2)-(x+2), czyli pomylenia ujemnego wykładnika ze zmianą znaku. Wychodzi wtedy −2⋅(−4)⋅1=8-2 \cdot (-4) \cdot 1 = 8 albo, przy dodatkowej pomyłce znaku, −8-8. Drugi błąd: policzenie (2−3)2(2-3)^2 jako −1-1 — kwadrat liczby ujemnej jest dodatni.

Zadanie 9 (sierpień 2015)1 pktśrednie

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=2x−8xf(x) = \dfrac{2x - 8}{x} dla każdej liczby rzeczywistej x≠0x \ne 0.

Wówczas wartość funkcji f(2)f(\sqrt2) jest równa
  • A. 2−422 - 4\sqrt2
  • B. 1−221 - 2\sqrt2
  • C. 1+221 + 2\sqrt2
  • D. 2+422 + 4\sqrt2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Podstawiamy x=2x = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2} do wzoru:
  2. f(2)=22−82f(\sqrt2) = \dfrac{2\textcolor{#16A06A}{\sqrt2} - 8}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}}
  3. Rozbijamy ułamek na dwa — to najprostsza droga, bo pierwszy z nich skraca się od razu:
  4. f(2)=222−82=2−82f(\sqrt2) = \dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2} - \dfrac{8}{\sqrt2} = \textcolor{#E0453A}{2} - \dfrac{8}{\sqrt2}
  5. Zostaje usunąć niewymierność z mianownika drugiego składnika — mnożymy licznik i mianownik przez 2\sqrt2:
  6. 82=822⋅2=822=42\dfrac{8}{\sqrt2} = \dfrac{8\sqrt2}{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \dfrac{8\sqrt2}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}
  7. f(2)=2−42f(\sqrt2) = \textcolor{#E0453A}{2 - 4\sqrt2}
  8. Odpowiedź: A.
  9. Kontrola liczbowa: 2≈1,4142\sqrt2 \approx 1{,}4142, więc licznik to 2⋅1,4142−8=−5,17162 \cdot 1{,}4142 - 8 = -5{,}1716, a po podzieleniu przez 1,41421{,}4142 wychodzi ≈−3,657\approx -3{,}657. Sprawdzamy odpowiedź A: 2−4⋅1,4142≈2−5,657=−3,6572 - 4 \cdot 1{,}4142 \approx 2 - 5{,}657 = -3{,}657 ✓. Kontrola znakiem odrzuca C i D bez rachunku: dla x=2≈1,41x = \sqrt2 \approx 1{,}41 licznik 2x−82x - 8 jest ujemny, a mianownik dodatni, więc wynik musi być ujemny.

💡 Wskazówka: Rozbij ułamek na dwa składniki, zanim zaczniesz usuwać niewymierność. Pierwszy, 222\tfrac{2\sqrt2}{\sqrt2}, skraca się do dwójki bez żadnej pracy, a cała trudność zostaje w drugim. Próba usuwania niewymierności od razu z całego licznika działa, ale daje dłuższy rachunek i więcej okazji do pomyłki.

⚠ Odpowiedź B, czyli 1−221 - 2\sqrt2 — z podzielenia przez 2\sqrt2 tylko jednego składnika licznika albo z przedwczesnego skrócenia „dwójki z ósemką”. Warto sprawdzić wynik liczbowo: 1−22≈−1,831 - 2\sqrt2 \approx -1{,}83, a rachunek daje −3,66-3{,}66, czyli dwa razy tyle. Drugi błąd: odpowiedzi C i D, w których gubi się znak — dla argumentu mniejszego od 44 licznik 2x−82x - 8 jest ujemny, więc cała wartość też.

Zadania otwarte

Zadanie 2 (czerwiec 2023)2 pkttrudniejsze

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)(x,\, y) narysowano wykres funkcji y=f(x)y = f(x) (zobacz rysunek).

Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x)<−1f(x) < -1.
Wykres funkcji f zlozony z dwoch rozdzielonych czescixy0−6−4−2246−4−2246
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: (−5, −3)(-5,\, -3)

  1. Nierówność f(x)<−1f(x) < \textcolor{#16A06A}{-1} pyta o to, dla których argumentów wykres leży poniżej poziomu y=−1y = -1. Nie liczymy tu nic — szukamy na rysunku.
  2. Prawa część wykresu odpada od razu: leży w całości na wysokościach od 11 do 33, czyli powyżej zera, więc na pewno nie poniżej −1-1.
  3. Zostaje część lewa. Idziemy po niej od strony lewej:
  4. • poziomy odcinek od x=−5x = \textcolor{#16A06A}{-5} do x=−4x = \textcolor{#16A06A}{-4} na wysokości −3\textcolor{#16A06A}{-3} — jest poniżej −1-1 ✓ (koniec x=−5x = -5 odpada, bo kółko jest niezamalowane),
  5. • odcinek wznoszący się od (−4, −3)(\textcolor{#16A06A}{-4},\, \textcolor{#16A06A}{-3}) do (−3, −1)(\textcolor{#16A06A}{-3},\, \textcolor{#16A06A}{-1}) — jest poniżej −1-1 wszędzie oprócz swojego prawego końca, bo tam wartość równa się dokładnie −1-1,
  6. • poziomy odcinek od x=−3x = \textcolor{#16A06A}{-3} do x=−1x = \textcolor{#16A06A}{-1} na wysokości −1\textcolor{#16A06A}{-1} — tu wartość równa się −1-1, a nierówność jest ostra, więc te argumenty nie wchodzą.
  7. Granicą jest więc x=−3x = \textcolor{#E0453A}{-3} i sam ten punkt do zbioru nie należy:
  8. x∈(−5, −3)x \in \textcolor{#E0453A}{(-5,\, -3)}
  9. Kontrola na dwóch liczbach z brzegu przedziału. Weźmy x=−3,5x = -3{,}5: leży na odcinku wznoszącym się, w jego połowie, więc f(−3,5)=−2<−1f(-3{,}5) = -2 < -1 ✓ — należy. Weźmy x=−2x = -2: leży na poziomym odcinku, więc f(−2)=−1f(-2) = -1, a −1<−1-1 < -1 jest fałszem ✗ — nie należy.

💡 Wskazówka: Narysuj sobie poziomą prostą y=−1y = -1 i patrz, gdzie wykres jest pod nią. Cała trudność siedzi w prawym końcu: wykres dotyka tej prostej i biegnie po niej kawałek. Nierówność jest ostra, więc wszystko, co leży dokładnie na tej wysokości, odpada — i dlatego prawy nawias jest okrągły, choć w tym miejscu wykres istnieje i jest ciągły.

⚠ Odpowiedź ⟨−5, −3⟩\langle -5,\, -3 \rangle albo (−5, −1)(-5,\, -1). Pierwsza domyka lewy koniec, który jest wykluczony przez niezamalowane kółko. Druga bierze cały lewy kawałek wykresu, myląc „poniżej −1-1” z „poniżej zera” — a poziomy odcinek od −3-3 do −1-1 leży dokładnie na poziomie −1-1, nie pod nim. Warto sprawdzić jedną liczbę z podejrzanego miejsca: f(−2)=−1f(-2) = -1, więc −2-2 do zbioru nie należy.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. F, A2. (−5, −3)(-5,\, -3)3. C4. B5. C6. B
7. C8. B9. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co odczytane z rysunku albo dane w treści. Czerwone — to, co z tego wynika. Dwie rzeczy, na których wykłada się większość: po pierwsze, wartość skrajna to wysokość (yy), a nie argument (xx) — pytanie „jaka jest największa wartość” ma odpowiedź na osi pionowej. Po drugie, jeśli w treści jest przedział, to reszty wykresu po prostu nie ma: najwyższy punkt całego rysunku bywa poza nim i wtedy nie jest odpowiedzią.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2024)1 pktłatwe

Pusta bańka na mleko o pojemności 1010 litrów ma masę 6,56{,}5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,031{,}03 kg. Niech xx oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x)f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈⟨0, 10⟩x \in \langle 0,\, 10 \rangle.

Największa wartość funkcji ff jest równa
  • A. 16,816{,}8
  • B. 15,815{,}8
  • C. 11,311{,}3
  • D. 10,310{,}3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Zapisujemy wzór: masa bańki z mlekiem to masa pustej bańki plus masa mleka.
  2. f(x)=6,5+1,03⋅xf(x) = \textcolor{#16A06A}{6{,}5} + \textcolor{#16A06A}{1{,}03} \cdot x dla x∈⟨0, 10⟩x \in \textcolor{#16A06A}{\langle 0,\, 10 \rangle}
  3. Współczynnik przy xx jest dodatni, więc funkcja rośnie — im więcej mleka, tym cięższa bańka. Wartość największa wypada zatem na prawym końcu dziedziny, czyli dla x=10x = \textcolor{#16A06A}{10}.
  4. f(10)=6,5+1,03⋅10=6,5+10,3=16,8f(\textcolor{#16A06A}{10}) = 6{,}5 + 1{,}03 \cdot 10 = 6{,}5 + \textcolor{#E0453A}{10{,}3} = \textcolor{#E0453A}{16{,}8}
  5. Odpowiedź: A.
  6. Kontrola na sensie fizycznym: 1010 litrów mleka waży 10,310{,}3 kg, a sama bańka 6,56{,}5 kg — pełna bańka musi ważyć więcej niż jedno i drugie osobno. Odpowiedzi C i D są mniejsze od 10,3+6,510{,}3 + 6{,}5, więc odpadają bez liczenia. Odpowiedź B, czyli 15,815{,}8, to 16,816{,}8 pomniejszone o jeden — wynik pomyłki rachunkowej, nie modelu.

💡 Wskazówka: Funkcja liniowa nie ma „szczytu” w środku dziedziny — wartość skrajną osiąga zawsze na końcu przedziału. Wystarczy więc ustalić, czy rośnie, czy maleje, i podstawić właściwy koniec. Tutaj rośnie, więc liczy się tylko f(10)f(10); drugiego końca nie trzeba nawet sprawdzać.

⚠ Odpowiedź D, czyli 10,310{,}3 — podanie masy samego mleka zamiast masy bańki z mlekiem. Treść definiuje f(x)f(x) wprost jako masę bańki wraz z mlekiem, więc 6,56{,}5 kg musi zostać w wyniku. Drugi błąd: podstawienie x=6,5x = 6{,}5 albo pomylenie ról liczb 1010 (pojemność w litrach) i 1,031{,}03 (masa litra) — wtedy wychodzi 11,311{,}3, czyli odpowiedź C.

Zadanie 2 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)(x,\, y) narysowano wykres funkcji y=f(x)y = f(x) (zobacz rysunek).

Największa wartość funkcji ff w przedziale ⟨−4, 1⟩\langle -4,\, 1 \rangle jest równa
Wykres funkcji f zlozony z odcinka stalego, rosnacego i malejacegoxy0−6−4−2246−4−2246
  • A. 00
  • B. 11
  • C. 22
  • D. 55
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw zasłaniamy wszystko poza przedziałem ⟨−4, 1⟩\textcolor{#16A06A}{\langle -4,\, 1 \rangle}. Wykres ciągnie się od −6-6 do 55, ale pytanie dotyczy tylko kawałka między −4-4 a 11.
  2. W tym kawałku wykres składa się z dwóch części:
  3. • od x=−4x = \textcolor{#16A06A}{-4} do x=−3x = \textcolor{#16A06A}{-3} biegnie poziomo na wysokości 2\textcolor{#16A06A}{2} (to fragment dłuższego odcinka, który zaczyna się w −6-6),
  4. • od x=−3x = \textcolor{#16A06A}{-3} do x=1x = \textcolor{#16A06A}{1} wznosi się z wysokości −3\textcolor{#16A06A}{-3} do wysokości 1\textcolor{#16A06A}{1}.
  5. Największa wysokość na tym kawałku to 2\textcolor{#E0453A}{2} — przyjmuje ją cały poziomy fragment, na przykład dla x=−3,5x = -3{,}5.
  6. Odpowiedź: C.
  7. Kontrola przez porównanie z drugą częścią: na odcinku wznoszącym się największa wartość to f(1)=1f(1) = \textcolor{#E0453A}{1}, czyli mniej niż 22 ✓. Warto też zauważyć, dlaczego kółko w punkcie (−3, 2)(-3,\, 2) jest niezamalowane: wartość 22 nie jest przyjmowana w samym −3-3, ale jest przyjmowana wszędzie na lewo od niego aż do −4-4 włącznie — więc na dwójkę to nie wpływa.

💡 Wskazówka: Zanim spojrzysz na wysokości, zaznacz na osi poziomej końce przedziału i zasłoń resztę rysunku. Największy punkt całego wykresu leży tu na wysokości 55 — i jest to odpowiedź DD, przygotowana dokładnie dla tych, którzy przedział przeoczą. Po zasłonięciu zostają tylko dwie kandydatki i wybór jest oczywisty.

⚠ Odpowiedź DD, czyli 55 — największa wartość całego wykresu, przyjmowana koło x=2x = 2, a więc poza przedziałem. Drugi błąd: odpowiedź BB, czyli 11 — wzięcie wartości na prawym końcu przedziału z założeniem, że wartość skrajna musi wypaść na końcu. To prawda dla funkcji liniowej, ale ten wykres na badanym kawałku najpierw jest stały, a potem rośnie od bardzo nisko — i poziomy fragment z lewej bije prawy koniec.

Zadanie 3 (wrzesień 2022)1 pktśrednie

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)(x,\, y), przedstawiono wykres funkcji ff określonej dla każdego x∈⟨−5, 4)x \in \langle -5,\, 4). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Najmniejsza wartość funkcji ff w przedziale ⟨−4, 0⟩\langle -4,\, 0 \rangle jest równa
Wykres funkcji f z zaznaczonymi punktami o wspolrzednych calkowitychxy0−6−4−2246−4−2246
  • A. (−4)(-4)
  • B. (−3)(-3)
  • C. (−2)(-2)
  • D. 00
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Ograniczamy się do przedziału ⟨−4, 0⟩\textcolor{#16A06A}{\langle -4,\, 0 \rangle} i patrzymy, jak nisko schodzi w nim wykres.
  2. W tym przedziale wykres ma trzy kawałki: opada od punktu (−4, 0)(\textcolor{#16A06A}{-4},\, \textcolor{#16A06A}{0}) do (−3, −2)(\textcolor{#16A06A}{-3},\, \textcolor{#16A06A}{-2}), potem wznosi się do (−1, 4)(\textcolor{#16A06A}{-1},\, \textcolor{#16A06A}{4}), a następnie opada do (0, 0)(\textcolor{#16A06A}{0},\, \textcolor{#16A06A}{0}).
  3. Najniżej wykres schodzi w punkcie (−3, −2)(\textcolor{#16A06A}{-3},\, \textcolor{#16A06A}{-2}), więc szukaną wartością jest −2\textcolor{#E0453A}{-2}.
  4. Odpowiedź: C.
  5. Kontrola na tym, co poza przedziałem: najniższy punkt całego wykresu to (1, −4)(1,\, -4) na wysokości −4-4, ale x=1x = 1 nie należy do ⟨−4, 0⟩\langle -4,\, 0 \rangle. To właśnie odpowiedź AA — dystraktor dla tych, którzy przeoczą przedział. Druga kontrola: sprawdzamy oba końce przedziału, f(−4)=0f(-4) = 0 i f(0)=0f(0) = 0; obie są większe od −2-2, więc wartość skrajna wypada wewnątrz, a nie na końcu.

💡 Wskazówka: Rysunek jest zygzakiem i łatwo się w nim pogubić, ale zadanie jest proste, jeśli zrobisz jedną rzecz: zaznacz palcem końce przedziału ⟨−4, 0⟩\langle -4,\, 0 \rangle i szukaj najniższego punktu tylko między nimi. Punkty o współrzędnych całkowitych są zaznaczone kropkami specjalnie po to, żeby dało się je odczytać bez wątpliwości.

⚠ Odpowiedź AA, czyli (−4)(-4) — najniższy punkt całego wykresu, leżący w x=1x = 1, a więc poza przedziałem. Drugi błąd, subtelniejszy: odpowiedź BB, czyli (−3)(-3) — podanie argumentu zamiast wartości. Punkt najniższy w tym przedziale to (−3, −2)(-3,\, -2): liczba −3-3 jest jego pierwszą współrzędną, a pytanie dotyczy drugiej.

Zadanie 4 (sierpień 2014)1 pktśrednie

Wykorzystaj przedstawiony na rysunku wykres funkcji ff.

Największą wartością funkcji ff jest
Wykres funkcji f o dziedzinie otwartej z lewej i domknietej z prawejxy0−4−22468−4−224
  • A. 33
  • B. 00
  • C. −3-3
  • D. 88
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Tym razem nie ma żadnego przedziału — pytanie dotyczy całego wykresu. Szukamy więc po prostu najwyższego miejsca.
  2. Wykres sięga najwyżej na wysokość 3\textcolor{#16A06A}{3} i robi to w dwóch miejscach: na poziomym odcinku między x=−1x = \textcolor{#16A06A}{-1} a x=2x = \textcolor{#16A06A}{2} oraz w prawym końcu, w punkcie (8, 3)(\textcolor{#16A06A}{8},\, \textcolor{#16A06A}{3}).
  3. Największą wartością funkcji jest zatem 3\textcolor{#E0453A}{3}.
  4. Odpowiedź: A.
  5. Kontrola na kółkach: prawy koniec (8, 3)(8,\, 3) ma kółko zamalowane, więc należy do wykresu — ale nawet gdyby nie należał, wartość 33 i tak byłaby przyjmowana na odcinku poziomym. Lewy koniec ma kółko niezamalowane i leży nisko, na wysokości −3-3, więc na wynik nie wpływa. Druga kontrola: sprawdzamy, czy wykres gdzieś nie wychodzi wyżej niż 33 — najwyższy punkt między odcinkiem poziomym a prawym końcem to dolne odbicie na wysokości −3-3, więc nie.

💡 Wskazówka: „Największa wartość funkcji” to najwyższy punkt wykresu, czyli liczba odczytana z osi pionowej. Liczba 88 wśród odpowiedzi to pierwsza współrzędna prawego końca — argument, nie wartość. Zawsze sprawdź, na której osi leży to, co odczytujesz.

⚠ Odpowiedź DD, czyli 88 — odczytanie argumentu zamiast wartości. Punkt najwyżej położony po prawej to (8, 3)(8,\, 3); ósemka mówi, gdzie wykres jest najwyżej, a nie jak wysoko. Drugi błąd: odpowiedź CC, czyli −3-3 — podanie wartości najmniejszej zamiast największej, co przy wykresie mającym wyraźny dołek i wyraźną półkę zdarza się przy pobieżnym czytaniu treści.

Zadanie 5 (sierpień 2013)1 pktśrednie

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x)y = f(x).

Największa wartość funkcji ff w przedziale ⟨−1, 1⟩\langle -1,\, 1 \rangle jest równa
Wykres funkcji f zlozony z luku, odcinka poziomego i odcinka opadajacegoxy0−4−2246−4−2246
  • A. 44
  • B. 33
  • C. 22
  • D. 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Zasłaniamy wszystko poza przedziałem ⟨−1, 1⟩\textcolor{#16A06A}{\langle -1,\, 1 \rangle} — czyli poza wąskim pasem po obu stronach osi pionowej.
  2. W tym pasie wykres jest rosnący: wchodzi w niego tuż nad najniższym punktem łuku, na wysokości mniej więcej 1\textcolor{#16A06A}{1}, i wznosi się do prawego końca.
  3. Skoro wykres na całym tym kawałku rośnie, wartość największą przyjmuje na prawym końcu, czyli dla x=1x = \textcolor{#16A06A}{1}. Odczytujemy: f(1)=3f(\textcolor{#16A06A}{1}) = \textcolor{#E0453A}{3}.
  4. Odpowiedź: B.
  5. Kontrola na tym, co poza przedziałem: najwyżej cały wykres sięga na wysokość 4\textcolor{#16A06A}{4} — w lewym końcu, dla x=−3x = -3. To odpowiedź AA, przygotowana dla tych, którzy przedziału nie zauważą. Druga kontrola: najniższy punkt łuku leży na lewo od osi pionowej i tuż obok lewego końca przedziału, na wysokości bliskiej 11 — czyli odpowiedź DD to wartość najmniejsza na tym kawałku, a nie największa.

💡 Wskazówka: Wykres jest tu krzywą, nie łamaną, więc odczyt „na oko” bywa niepewny — ale nie trzeba go robić w wielu miejscach. Wystarczy zauważyć, że na całym badanym przedziale wykres rośnie: wtedy wartość największa musi wypaść na prawym końcu i jedyne, co trzeba odczytać, to f(1)f(1).

⚠ Odpowiedź AA, czyli 44 — najwyższy punkt całego wykresu, leżący w lewym końcu, daleko poza przedziałem. Drugi błąd: odpowiedź DD, czyli 11 — odczytanie wysokości w lewym końcu przedziału zamiast w prawym, czyli pomylenie wartości najmniejszej z największą. Na kawałku rosnącym oba końce dają skrajne wartości, więc trzeba pilnować, który jest który.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. C3. C4. A5. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — monotoniczność funkcji, przedziały rosnące i malejące

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co odczytane z rysunku. Czerwone — to, co z tego wynika. Monotoniczność czyta się z wykresu jednym ruchem: idziesz palcem od lewej do prawej i patrzysz, czy wykres się wznosi (funkcja rosnąca), opada (malejąca), czy biegnie poziomo (stała). Pułapka jest zawsze ta sama: odcinek poziomy nie jest ani rosnący, ani malejący — a przedział podany w odpowiedzi musi zawierać wyłącznie kawałek o jednym zachowaniu.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Pusta bańka na mleko o pojemności 1010 litrów ma masę 6,56{,}5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,031{,}03 kg. Niech xx oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x)f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈⟨0, 10⟩x \in \langle 0,\, 10 \rangle.

Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń.
Funkcja ff jest malejąca.PF
Funkcja ff nie ma miejsc zerowych.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Najpierw zapisujemy wzór, bo oba zdania da się wtedy rozstrzygnąć bez zgadywania. Masa bańki z mlekiem to masa pustej bańki plus masa mleka:
  2. f(x)=6,5+1,03⋅xf(x) = \textcolor{#16A06A}{6{,}5} + \textcolor{#16A06A}{1{,}03} \cdot x dla x∈⟨0, 10⟩x \in \textcolor{#16A06A}{\langle 0,\, 10 \rangle}
  3. Zdanie pierwsze — czy funkcja maleje? To funkcja liniowa, a o jej monotoniczności decyduje wyłącznie współczynnik przy xx. Tutaj wynosi 1,03\textcolor{#16A06A}{1{,}03}, czyli jest dodatni, więc funkcja rośnie. Zdanie jest fałszywe.
  4. Widać to też bez wzoru: im więcej mleka wlejemy, tym bańka jest cięższa. Masa nie może maleć wraz z dolewaniem mleka.
  5. Zdanie drugie — czy są miejsca zerowe? Miejsce zerowe to taki xx, dla którego f(x)=0f(x) = 0, czyli masa bańki z mlekiem byłaby zerowa. Rozwiązujemy:
  6. 6,5+1,03x=0⟹x=−6,51,03≈−6,316{,}5 + 1{,}03x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{6{,}5}{1{,}03}} \approx \textcolor{#E0453A}{-6{,}31}
  7. Ta liczba jest ujemna, a dziedziną jest przedział ⟨0, 10⟩\textcolor{#16A06A}{\langle 0,\, 10 \rangle} — nie ma w nim liczb ujemnych. Miejsca zerowego więc nie ma. Zdanie jest prawdziwe.
  8. Odpowiedź: F, P.
  9. Kontrola na dwóch końcach dziedziny: f(0)=6,5f(0) = 6{,}5 (pusta bańka) i f(10)=6,5+10,3=16,8f(10) = 6{,}5 + 10{,}3 = 16{,}8 (bańka pełna). Wartości rosną od 6,56{,}5 do 16,816{,}8 — funkcja rośnie ✓ i przez cały czas jest dodatnia, więc zera nie osiąga ✓.

💡 Wskazówka: Zapisz wzór, zanim odpowiesz — oba zdania rozstrzyga on natychmiast, a bez niego łatwo zgadywać. Przy miejscach zerowych pamiętaj o dziedzinie: równanie f(x)=0f(x) = 0 może mieć rozwiązanie, które nie należy do zbioru, na którym funkcja jest określona. Wtedy funkcja miejsca zerowego nie ma, choć wzór go „ma”.

⚠ Uznanie drugiego zdania za fałszywe, bo równanie 6,5+1,03x=06{,}5 + 1{,}03x = 0 ma rozwiązanie. Ma — ale poza dziedziną, a funkcja jest określona tylko na ⟨0, 10⟩\langle 0,\, 10 \rangle. Drugi błąd, rzadszy, ale groźniejszy: liczenie masy bańki jako 1,03⋅x1{,}03 \cdot x bez masy pustej bańki, przez co miejsce zerowe wychodzi w x=0x = 0 i drugie zdanie też wyszłoby fałszywe.

Zadanie 2 (maj 2023)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y)(x,\, y) narysowano wykres funkcji y=f(x)y = f(x) (zobacz rysunek).

Funkcja ff jest malejąca w zbiorze
Wykres funkcji f zlozony z odcinka stalego, rosnacego i malejacegoxy0−6−4−2246−4−2246
  • A. ⟨−6, −3)\langle -6,\, -3 )
  • B. ⟨−3, 1⟩\langle -3,\, 1 \rangle
  • C. (1, 2)(1,\, 2)
  • D. ⟨2, 5⟩\langle 2,\, 5 \rangle
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Idziemy po wykresie od lewej do prawej i nazywamy każdy kawałek. To wystarczy — nie trzeba nic liczyć.
  2. • Na ⟨−6, −3)\textcolor{#16A06A}{\langle -6,\, -3 )} wykres biegnie poziomo na wysokości 22. Funkcja jest tam stała, a nie malejąca. Odpowiedź AA odpada.
  3. • Na ⟨−3, 1⟩\textcolor{#16A06A}{\langle -3,\, 1 \rangle} wykres się wznosi — od punktu (−3, −3)(-3,\, -3) do (1, 1)(1,\, 1). Funkcja jest tam rosnąca. Odpowiedź BB odpada.
  4. • Na (1, 2)\textcolor{#16A06A}{(1,\, 2)} wykres znowu biegnie poziomo, tym razem na wysokości 55. Znowu stała. Odpowiedź CC odpada.
  5. • Na ⟨2, 5⟩\textcolor{#16A06A}{\langle 2,\, 5 \rangle} wykres opada — od punktu (2, 5)(2,\, 5) do (5, 3)(5,\, 3). To jedyny kawałek, na którym funkcja maleje.
  6. Odpowiedź: D.
  7. Kontrola liczbowa na tym przedziale: bierzemy dwa argumenty, mniejszy i większy, i porównujemy wartości. f(2)=5f(2) = \textcolor{#E0453A}{5}, a f(5)=3f(5) = \textcolor{#E0453A}{3}. Większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość, czyli funkcja rzeczywiście maleje ✓. Ta sama kontrola na przedziale BB dałaby f(−3)=−3f(-3) = -3 i f(1)=1f(1) = 1 — wartość rośnie, więc BB na pewno nie.

💡 Wskazówka: Trzy z czterech odpowiedzi wskazują kawałki, na których funkcja nie maleje — i to jest cała robota: przejść wykres od lewej do prawej i przypisać każdemu kawałkowi jedno słowo: *stały*, *rosnący* albo *malejący*. Uwaga na odcinki poziome: kuszą, bo „nie rosną”, ale funkcja stała nie jest malejąca.

⚠ Wybór AA albo CC — uznanie odcinka poziomego za malejący, bo wykres „nie idzie w górę”. Funkcja malejąca musi przy większym argumencie dawać mniejszą wartość, a na odcinku poziomym wartość się nie zmienia. Drugi błąd: wybór BB przez pomylenie kierunku — kawałek od (−3, −3)(-3,\, -3) do (1, 1)(1,\, 1) zaczyna się nisko i kończy wysoko, więc rośnie.

Zadanie 3 (czerwiec 2015)1 pktśrednie

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ff.

Funkcja ff jest rosnąca w przedziale
Wykres funkcji f zlozony z czterech odcinkowxy0−4−2246810−2246
  • A. ⟨−1, 1⟩\langle -1,\, 1 \rangle
  • B. ⟨1, 5⟩\langle 1,\, 5 \rangle
  • C. ⟨5, 6⟩\langle 5,\, 6 \rangle
  • D. ⟨6, 8⟩\langle 6,\, 8 \rangle
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Znowu przechodzimy wykres od lewej do prawej i nazywamy kawałki.
  2. • Od x=−2x = \textcolor{#16A06A}{-2} do x=1x = \textcolor{#16A06A}{1} wykres biegnie poziomo na wysokości 66 — funkcja stała. Przedział ⟨−1, 1⟩\langle -1,\, 1 \rangle w całości leży w tym kawałku, więc odpowiedź AA odpada.
  3. • Od x=1x = \textcolor{#16A06A}{1} do x=5x = \textcolor{#16A06A}{5} wykres opada z wysokości 66 do −1-1 — funkcja malejąca. Odpowiedź BB odpada.
  4. • Od x=5x = \textcolor{#16A06A}{5} do x=6x = \textcolor{#16A06A}{6} wykres wznosi się z −1-1 do 11 — funkcja rosnąca. To jedyny taki kawałek.
  5. • Od x=6x = \textcolor{#16A06A}{6} do x=9x = \textcolor{#16A06A}{9} wykres znowu biegnie poziomo, na wysokości 11 — funkcja stała. Przedział ⟨6, 8⟩\langle 6,\, 8 \rangle leży w tym kawałku, więc odpowiedź DD odpada.
  6. Odpowiedź: C.
  7. Kontrola liczbowa: f(5)=−1f(5) = \textcolor{#E0453A}{-1}, a f(6)=1f(6) = \textcolor{#E0453A}{1}. Większemu argumentowi odpowiada większa wartość ✓. Warto sprawdzić też odpowiedź DD tą samą metodą: f(6)=1f(6) = 1 i f(8)=1f(8) = 1 — wartości są równe, więc funkcja tam nie rośnie, tylko jest stała.

💡 Wskazówka: Wykres ma cztery kawałki, a odpowiedzi wskazują dokładnie po jednym z nich — więc wystarczy znaleźć ten jeden, który się wznosi. Najszybciej idzie od końca: dwa poziome kawałki odpadają od razu, a z dwóch pochyłych jeden opada, drugi się wznosi.

⚠ Wybór DD — odcinek poziomy uznany za rosnący, bo leży wyżej niż to, co było przed nim. Monotoniczność zależy od tego, co dzieje się wewnątrz przedziału, a nie od tego, na jakiej wysokości ten kawałek leży. Najprościej to sprawdzić dwiema wartościami: f(6)f(6) i f(8)f(8) są równe, więc rośnięcia tam nie ma. Drugi błąd: wybór BB przez pomylenie „rosnąca” z „malejąca” — na ⟨1, 5⟩\langle 1,\, 5 \rangle wykres opada najbardziej stromo z całego rysunku i łatwo go wybrać jako „ten najbardziej zmienny”.

Zadanie 4 (sierpień 2023)1 pktśrednie

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) narysowano wykres funkcji y=f(x)y = f(x) (zobacz rysunek). Dziedziną funkcji ff jest zbiór [−7, −5]∪[−4, 4]∪[5, 7][-7,\, -5] \cup [-4,\, 4] \cup [5,\, 7].

Dokończ zdanie. Funkcja ff jest rosnąca w przedziale
Wykres funkcji f o dziedzinie zlozonej z trzech przedzialowxy0−8−6−4−22468−6−4−2246
  • A. [−5, 4][-5,\, 4]
  • B. [5, 7][5,\, 7]
  • C. [1, 5][1,\, 5]
  • D. [−1, 5][-1,\, 5]
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Krok 1 — przeczytaj wykres kawałek po kawałku. Wykres składa się z trzech rozłącznych części, bo dziedzina też ma trzy części:
  2. na [−7, −5]\textcolor{#16A06A}{[-7,\, -5]} wykres jest poziomy na wysokości 4\textcolor{#16A06A}{4} — funkcja jest tam stała;
  3. na [−4, 4]\textcolor{#16A06A}{[-4,\, 4]} najpierw biegnie poziomo do x=−1x = \textcolor{#16A06A}{-1}, a potem opada do punktu (4, −1)\textcolor{#16A06A}{(4,\, -1)} — funkcja jest tam stała, a następnie malejąca;
  4. na [5, 7]\textcolor{#16A06A}{[5,\, 7]} wykres wznosi się od (5, 1)\textcolor{#16A06A}{(5,\, 1)} do (7, 6)\textcolor{#16A06A}{(7,\, 6)} — i to jedyny fragment, na którym funkcja rośnie.
  5. Krok 2 — sprawdź każdą odpowiedź. Przedział z odpowiedzi musi w całości mieścić się w dziedzinie i w całości leżeć na fragmencie rosnącym.
  6. A=[−5, 4]A = [-5,\, 4] — zawiera lukę między −5\textcolor{#16A06A}{-5} a −4\textcolor{#16A06A}{-4}, więc nie mieści się w dziedzinie; w dodatku obejmuje fragment malejący. Odpada.
  7. C=[1, 5]C = [1,\, 5] — zawiera lukę między 4\textcolor{#16A06A}{4} a 5\textcolor{#16A06A}{5} oraz cały fragment malejący. Odpada.
  8. D=[−1, 5]D = [-1,\, 5] — to dokładnie ten fragment, na którym funkcja maleje, plus luka. Odpada.
  9. B=[5, 7]B = [5,\, 7] — leży w całości w trzeciej części dziedziny i pokrywa się z jedynym fragmentem rosnącym. ✓
  10. Odpowiedź: B.
  11. Kontrola dwoma punktami — najprostsza, jaka istnieje. Bierzemy dwa argumenty z przedziału BB i porównujemy wartości: f(5)=1f(\textcolor{#16A06A}{5}) = \textcolor{#16A06A}{1} oraz f(7)=6f(\textcolor{#16A06A}{7}) = \textcolor{#16A06A}{6}. Skoro 5<7\textcolor{#16A06A}{5} < \textcolor{#16A06A}{7} i 1<6\textcolor{#16A06A}{1} < \textcolor{#16A06A}{6}, to na tym przedziale większemu argumentowi odpowiada większa wartość — czyli funkcja rośnie ✓.
  12. Ta sama kontrola obala DD: f(−1)=4f(\textcolor{#16A06A}{-1}) = \textcolor{#16A06A}{4}, a f(4)=−1f(\textcolor{#16A06A}{4}) = \textcolor{#16A06A}{-1}. Argument urósł, wartość zmalała — funkcja tam nie rośnie.

💡 Wskazówka: Zanim spojrzysz na monotoniczność, sprawdź dziedzinę. Wykres tej funkcji ma dwie przerwy — między −5-5 a −4-4 oraz między 44 a 55 — a przedział monotoniczności musi leżeć w dziedzinie w całości. To odsiewa dwie odpowiedzi, zanim w ogóle zaczniesz patrzeć, gdzie funkcja rośnie. Uwaga: fragment poziomy to funkcja stała, a nie rosnąca.

⚠ Potraktowanie fragmentu poziomego jako rosnącego — wtedy przedziałem monotoniczności wydaje się także [−7,−5][-7, -5]. Drugi, częstszy błąd to zignorowanie przerw w dziedzinie i wybranie przedziału, który je przeskakuje, jak [−5,4][-5, 4] albo [1,5][1, 5]. Trzeci to pomylenie kierunku i wskazanie [−1,5][-1, 5], czyli fragmentu, na którym funkcja właśnie maleje.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. F, P2. D3. C4. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Czy funkcja może przyjmować tę samą wartość dla dwóch różnych argumentów?

Tak i jest to normalne — pozioma prosta może przecinać wykres wiele razy. Zabronione jest coś odwrotnego: jeden argument nie może mieć dwóch wartości, bo wtedy nie byłaby to funkcja.

Jak odróżnić dziedzinę od zbioru wartości na rysunku?

Dziedzina to cień wykresu rzucony na oś poziomą, zbiór wartości — na pionową. Dosłownie: przesuń wykres prostopadle na jedną i drugą oś, a zobaczysz oba zbiory.

Czy funkcja może rosnąć i jednocześnie mieć wartości ujemne?

Tak. Monotoniczność mówi o kierunku, a znak o położeniu względem osi poziomej. Funkcja wznosząca się z −8-8 do −1-1 rośnie przez cały czas, pozostając ujemną.

Co oznacza pusta kropka na końcu wykresu?

Że ten punkt nie należy do wykresu — argument nie ma przypisanej wartości. W zapisie przedziału odpowiada mu nawias otwarty, a przy zbiorze wartości oznacza to, że danej wysokości funkcja nie osiąga.

Czy wartość największa zawsze istnieje?

W przedziale domkniętym tak. W otwartym może nie istnieć: funkcja rosnąca na (0,3)(0, 3) zbliża się do wartości z krańca, ale nigdy jej nie przyjmuje, więc największej wartości nie ma.

Czytaj dalej

Wykres funkcji liniowejNajprostszy wykres do czytania — dwie liczby opisują całą prostą.Funkcja kwadratowaWykres z punktem zwrotnym, czyli ten, przy którym zbioru wartości nie da się odczytać z końców.Układ współrzędnychOsie, ćwiartki i kolejność liczb w nawiasie — fundament każdego odczytu.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.