Strona główna › Ciągi › Suma ciągu geometrycznego

Suma ciągu geometrycznego

Q: Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?

S_n = a_1 · 1 - q^ n1 - q dla q ≠ 1. Równoważnie S_n = a_1 · q^ n - 1q - 1 — obie postacie dają ten sam wynik, bo licznik i mianownik zmieniają znak jednocześnie.

Q: Dlaczego wzór nie działa dla q = 1?

Bo mianownik 1 - q byłby zerem. Widać to w wyprowadzeniu: mnożymy sumę przez q i odejmujemy, a przy q = 1 obie strony są identyczne i po odjęciu zostaje 0 = 0. Dla ciągu stałego suma to po prostu S_n = n · a_1.

Q: Jak odczytać a_1 i q, gdy ciąg zadano wzorem a_n = 2^n?

Podstaw n = 1: pierwszy wyraz to 2^1 = 2. Iloraz jest podstawą potęgi, czyli 2 — można to sprawdzić, dzieląc a_2 przez a_1. Przyjęcie a_1 = 2^0 = 1 to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

Q: Jak sprawdzić, czy policzona suma jest poprawna?

Przy małym n najprościej dodać wyrazy ręcznie. Przy większym sprawdź przedział: dla q > 1 i dodatniego a_1 suma musi być większa od ostatniego wyrazu, ale mniejsza od n razy ten wyraz. Przy ujemnym ilorazie ta kontrola nie działa — suma bywa wtedy mniejsza od pierwszego wyrazu, a nawet ujemna.

Sumowanie wyrazów ciągu geometrycznego po kolei jest wykonalne dla pięciu wyrazów, ale nie dla dwudziestu. Dlatego istnieje wzór, który robi to jednym rachunkiem — z jednym zastrzeżeniem: nie działa, gdy iloraz równa się jedynce. Ta strona pokazuje, skąd wzór się bierze, dlaczego akurat wtedy zawodzi i co wtedy zrobić — a osobno bierze pod lupę drugie źródło pomyłek, czyli znaki przy ujemnym ilorazie.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Wzór i skąd się bierze

Sumę $n$ początkowych wyrazów oznaczamy $S_n$ . Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$ :

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^{\,n}}{1 - q} \qquad \text{dla } q \neq 1

Podstawa programowa wymienia ten wzór wprost — dział VI. Ciągi, zakres podstawowy, punkt 6: „stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego”. Punkt 5 tego samego działu mówi to samo o ciągu arytmetycznym — oba wzory są więc wymagane na równi.

Wyprowadzenie jest krótkie i warto je raz zobaczyć, bo tłumaczy zarazem, skąd bierze się zastrzeżenie przy $q = 1$ .

Sztuczka z odejmowaniem

Zapisujemy sumę: $S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{\,n-1}$ .

Mnożymy całość przez $q$ : $qS_n = a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{\,n-1} + a_1q^{\,n}$ .

Odejmujemy stronami. Wszystkie środkowe składniki się kasują — zostaje tylko pierwszy z góry i ostatni z dołu:

$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^{\,n}$ , czyli $S_n(1 - q) = a_1(1 - q^{\,n})$ .

Dzielimy przez $(1 - q)$ i wzór gotowy. I tu widać, gdzie jest problem: dla $q = 1$ dzielilibyśmy przez zero.

Wzór zapisuje się też w równoważnej postaci z odwróconymi znakami — bywa wygodniejsza, gdy $q > 1$ , bo unika ujemnych liczb w liczniku i mianowniku:

S_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}

Obie dają ten sam wynik, bo licznik i mianownik zmieniły znak jednocześnie. Wybierz tę, przy której mniej minusów.

Sam wzór na pojedynczy wyraz $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$ opisuję osobno — tutaj chodzi wyłącznie o sumę.

2Przypadek q = 1 — osobny wzór, nie wyjątek do zapamiętania

Gdy iloraz wynosi $1$ , każdy wyraz jest taki sam jak poprzedni. Ciąg wygląda tak: $7, 7, 7, 7, \ldots$

Suma jest wtedy trywialna — to po prostu ten sam wyraz dodany $n$ razy:

S_n = n \cdot a_1 \qquad \text{dla } q = 1

Nie trzeba tego pamiętać jako osobnej reguły. Wystarczy zauważyć, że przy $q = 1$ ciąg jest stały, a suma $n$ jednakowych składników to mnożenie.

Dlaczego główny wzór nie da się „naprawić”

Podstawiając $q = 1$ do wzoru dostajemy $\frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$ — wyrażenie nieoznaczone.

To nie jest usterka wzoru, tylko konsekwencja wyprowadzenia: mnożyliśmy przez $q$ i odejmowali, a przy $q = 1$ obie strony byłyby identyczne i po odjęciu zostałoby $0 = 0$ . Sztuczka po prostu nic nie daje.

Dlatego $q = 1$ nie jest „wyjątkiem do zapamiętania”, tylko innym przypadkiem, który liczy się innym, prostszym sposobem.

W zadaniach maturalnych ten przypadek pojawia się rzadko, ale bywa użyty jako pułapka: treść podaje ciąg, w którym po obliczeniu okazuje się, że $q = 1$ , a uczeń mechanicznie wstawia go do głównego wzoru.

3Ujemny iloraz — kiedy suma nie rośnie

Przy $q < 0$ wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, więc suma nie rośnie miarowo — skacze.

Wzór działa bez zmian, ale trzeba uważnie policzyć potęgę. Kluczowa jest parzystość wykładnika:

wykładnik $n$	znak $q^{\,n}$ przy $q < 0$	przykład dla $q = -2$
parzysty	dodatni	$(-2)^{10} = 1024$
nieparzysty	ujemny	$(-2)^{9} = -512$

Najczęstszy błąd w tym miejscu to policzenie $(-2)^{10}$ jako $-1024$ . Nawias obejmuje minus, więc podnosimy do potęgi całą liczbę ujemną — a parzysta potęga liczby ujemnej jest dodatnia.

Warto też zauważyć, co się dzieje z samą sumą. Przy $q = -2$ kolejne sumy częściowe ciągu $5, -10, 20, -40, \ldots$ to $5$ , $-5$ , $15$ , $-25$ — na przemian dodatnie i ujemne, a od drugiego kroku rosnące co do wartości bezwzględnej (dwie pierwsze mają ten sam moduł $5$ ). Suma nie dąży do żadnej liczby.

Inaczej jest, gdy $|q| < 1$ : kolejne wyrazy maleją co do wartości bezwzględnej — przy ujemnym $q$ same wyrazy nadal skaczą — więc suma stabilizuje się. To wstęp do szeregu geometrycznego, który należy już do zakresu rozszerzonego (dział VI. Ciągi, zakres rozszerzony, punkt 2: „rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę”) — tutaj wystarczy wiedzieć, że taka różnica istnieje.

4Jak rozpoznać, czego wymaga zadanie

Zadania z tego tematu dzielą się na trzy typy i różnią się tym, czego szukamy.

dane	szukane	co robisz
$a_1$ , $q$ , $n$	$S_n$	podstawiasz wprost
wzór ogólny $a_n$	$S_n$	najpierw odczytujesz $a_1$ i $q$ ze wzoru
$S_n$ , $a_1$ , $q$	$n$	przekształcasz — wychodzi równanie z $q^n$

Drugi wiersz bywa mylący. Gdy ciąg zadano wzorem $a_n = 2^n$ , pierwszym wyrazem nie jest $2$ w potędze zero, tylko $a_1 = 2^1 = 2$ . Iloraz odczytujemy jako $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{2} = 2$ .

Ogólna reguła dla wzoru postaci $a_n = c \cdot q^{\,n}$ : iloraz to podstawa potęgi, a pierwszy wyraz dostajemy, podstawiając $n = 1$ . Nie trzeba nic wyprowadzać.

Kontrola przedziałem — i kiedy ona działa

Kontrola działa wprost, gdy wszystkie wyrazy są dodatnie, czyli przy $a_1 > 0$ i $q > 0$ . Po policzeniu $S_n$ sprawdź wtedy, czy wynik jest sensownie większy od pierwszego wyrazu.

Przy $q > 1$ i dodatnim $a_1$ suma musi być większa od $a_n$ (ostatniego, a zarazem największego składnika), ale mniejsza od $n \cdot a_n$ . Przy ujemnym $a_1$ ostatni wyraz jest najmniejszy i nierówności odwracają się.

Przy ujemnym ilorazie ta kontrola milknie: suma bywa mniejsza od pierwszego wyrazu, a nawet ujemna — jak w przykładzie 3 niżej, gdzie $S_{10} = -1705$ przy $a_1 = 5$ . Zostaje wtedy porównanie modułów. Przy małym $n$ najprościej dodać wyrazy ręcznie i porównać. Dla czterech czy pięciu składników to kwestia dziesięciu sekund, a wyłapuje pomyłkę w potędze.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, ciąg zadany wzorem ogólnym i ujemny iloraz.

Przykład 1 Suma z danych a₁ i q

W ciągu geometrycznym $a_1 = 3$ oraz $q = 4$ . Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów.

Podstawiam do wzoru w postaci wygodnej dla $q > 1$ : $S_6 = 3 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1}$ .
Liczę potęgę: $4^6 = 4096$ .
Licznik: $4096 - 1 = 4095$ . Mianownik: $4 - 1 = 3$ .
$S_6 = 3 \cdot \frac{4095}{3} = 4095$ .
Kontrola przez dodanie: wyrazy to $3, 12, 48, 192, 768, 3072$ . Suma: $3 + 12 + 48 + 192 + 768 + 3072 = 4095$ ✓
Kontrola przedziałem: ostatni wyraz to $3072$ , więc suma musi być większa od niego, ale mniejsza od $6 \cdot 3072 = 18432$ — i $4095$ mieści się w tym przedziale ✓

Odpowiedź: $S_6 = 4095$

Zwróć uwagę, że trójka z $a_1$ skróciła się z mianownikiem — to nie przypadek, tylko skutek tego, że $q - 1 = 3$ . Przy dobranych liczbach takie skrócenie zdarza się często i warto go wypatrywać, zanim zacznie się mnożyć.

Przykład 2 Ciąg zadany wzorem ogólnym

Ciąg geometryczny określony jest wzorem $a_n = 2^n$ dla $n \geqslant 1$ . Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

Odczytuję pierwszy wyraz, podstawiając $n = 1$ : $a_1 = 2^1 = 2$ .
Iloraz to podstawa potęgi, czyli $q = 2$ . Sprawdzam: $a_2 = 2^2 = 4$ , a $\frac{4}{2} = 2$ ✓
Podstawiam: $S_{10} = 2 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1}$ .
$2^{10} = 1024$ , więc licznik to $1023$ , a mianownik $1$ .
$S_{10} = 2 \cdot 1023 = 2046$ .
Kontrola: wyrazy to $2, 4, 8, \ldots, 1024$ , a ich suma to $2046$ . Sprawdzam inaczej — suma potęg dwójki od $2^1$ do $2^{10}$ jest o $2$ mniejsza od $2^{11} = 2048$ ✓
Kontrola pułapki: gdyby ktoś przyjął $a_1 = 2^0 = 1$ , dostałby $S_{10} = 1023$ — dokładnie połowę. To najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

Odpowiedź: $S_{10} = 2046$

Ostatni krok pokazuje, dlaczego warto zawsze podstawić $n = 1$ , zamiast zakładać, że ciąg zaczyna się od potęgi zerowej. Wzór $a_n = 2^n$ z warunkiem $n \geqslant 1$ daje pierwszy wyraz równy $2$ , a nie $1$ .

Przykład 3 Ujemny iloraz

W ciągu geometrycznym $a_1 = 5$ , a iloraz $q = -2$ . Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

Podstawiam do wzoru: $S_{10} = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)}$ .
Potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia: $(-2)^{10} = 1024$ , a nie $-1024$ .
Licznik: $1 - 1024 = -1023$ .
Mianownik: $1 - (-2) = 1 + 2 = 3$ .
$S_{10} = 5 \cdot \frac{-1023}{3} = 5 \cdot (-341) = -1705$ .
Kontrola sensu: suma wyszła ujemna, choć pierwszy wyraz jest dodatni — to normalne przy ujemnym ilorazie, bo składniki skaczą, a ostatni ( $a_{10} = 5 \cdot (-2)^9 = -2560$ ) jest ujemny i największy co do wartości bezwzględnej ✓
Kontrola częściowa: pierwsze cztery wyrazy to $5, -10, 20, -40$ , a ich suma to $-25$ — już ujemna, więc kierunek się zgadza ✓

Odpowiedź: $S_{10} = -1705$

Dwa miejsca decydują o wyniku: znak potęgi w liczniku i podwójny minus w mianowniku. Oba warto wypisać osobno, zamiast liczyć w pamięci — $1 - (-2)$ czyta się szybko jako $-1$ , a to jest $3$ .

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze biorą się ze znaków, dwa kolejne z odczytu danych.

Parzysta potęga liczby ujemnej ze znakiem minus

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{(-2)^{10} = -1024}$ jest błędny — mnożymy dziesięć liczb ujemnych, a parzysta liczba minusów daje plus. Poprawnie $1024$ . Błąd zmienia znak całego licznika i wynik wychodzi z przeciwnym znakiem.

Jak zrobić dobrze: Policz najpierw parzystość wykładnika, a dopiero potem wartość. Parzysty — wynik dodatni, nieparzysty — ujemny. Nawias wokół liczby ujemnej znaczy, że do potęgi idzie także minus.

Zgubienie podwójnego minusa w mianowniku

Skąd się bierze: Przy $q = -2$ mianownik $1 - q$ to $1 - (-2) = 3$ , a nie $-1$ . Uczeń odejmuje dwójkę zamiast dodać. Wynik wychodzi wtedy trzykrotnie za duży i z przeciwnym znakiem.

Jak zrobić dobrze: Wypisz podstawienie w nawiasach, zanim policzysz: $1 - (-2)$ . Zapisany nawias praktycznie eliminuje ten błąd, bo podwójny minus staje się widoczny.

Przyjęcie $a_1 = q^0$ przy ciągu zadanym wzorem

Skąd się bierze: Dla $a_n = 2^n$ z warunkiem $n \geqslant 1$ pierwszym wyrazem jest $2^1 = 2$ , a nie $2^0 = 1$ . Przyjęcie jedynki daje sumę $1023$ zamiast $2046$ — dokładnie połowę poprawnego wyniku.

Jak zrobić dobrze: Zawsze podstaw $n = 1$ do podanego wzoru i przeczytaj, co wyszło. Zajmuje to sekundę i usuwa całą klasę pomyłek z indeksowaniem.

Użycie głównego wzoru przy $q = 1$

Skąd się bierze: Podstawienie $q = 1$ daje $\frac{0}{0}$ — wyrażenie nieoznaczone, więc rachunek się załamuje albo kalkulator zwraca błąd. Dla ciągu stałego suma to po prostu $n \cdot a_1$ .

Jak zrobić dobrze: Przed podstawieniem sprawdź, czy iloraz nie jest jedynką. Jeśli jest, ciąg jest stały i suma to mnożenie — bez żadnego wzoru.

Zadania maturalne — suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Przy trzech–pięciu wyrazach nie warto sięgać po wzór

S_n = a_1 \cdot \tfrac{1 - q^n}{1 - q}

— szybciej i pewniej jest wypisać wyrazy i je dodać. Wzór opłaca się dopiero przy kilkunastu wyrazach albo gdy liczba wyrazów jest literą.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Ciąg geometryczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. W tym ciągu

a_1 = 3{,}75

oraz

a_2 = -7{,}5

. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_n)

jest równa

A. $11{,}25$
B. $(-18{,}75)$
C. $15$
D. $(-15)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — iloraz. Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy:
$q = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-7{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{3{,}75}} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Krok 2 — trzeci wyraz. Mnożymy drugi przez iloraz; dwa minusy dają plus:
$a_3 = \textcolor{#16A06A}{-7{,}5} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-2)} = \textcolor{#E0453A}{15}$
Krok 3 — dodajemy trzy wyrazy.
$\textcolor{#16A06A}{3{,}75} + \textcolor{#16A06A}{(-7{,}5)} + \textcolor{#E0453A}{15} = 3{,}75 - 7{,}5 + 15$
Licząc od lewej: $3{,}75 - 7{,}5 = -3{,}75$ , a potem $-3{,}75 + 15 = 11{,}25$
Odpowiedź: $11{,}25$ , czyli A.
Ciąg to $3{,}75,\; -7{,}5,\; 15,\; -30,\; \ldots$ — wartości rosną, ale znaki się zmieniają, bo iloraz jest ujemny.

💡 Wskazówka: Przy ujemnym ilorazie warto wypisać wyrazy z ich znakami, zanim zaczniesz dodawać. Suma trzech wyrazów wychodzi tu dodatnia, mimo że drugi jest ujemny — bo trzeci przewyższa go wartością.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $-15$ ), czyli policzenie trzeciego wyrazu jako $-15$ — z pominięcia tego, że iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Odpowiedź C ( $15$ ) to sam trzeci wyraz, podany zamiast sumy.

Zadanie 2 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Dany jest ciąg geometryczny

(a_n)

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu

(a_n)

są równe

2

. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $1$
B. $11$
C. $21$
D. $31$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Uwaga: dany jest drugi wyraz, a suma liczy się od pierwszego. Trzeba więc najpierw cofnąć się o jeden krok.
Krok 1 — cofamy się do pierwszego wyrazu. Mnożenie przez $q$ idzie w przód, więc dzielenie przez $q$ cofa:
$a_1 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a_2}}{\textcolor{#16A06A}{q}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Krok 2 — wypisujemy pięć wyrazów. Każdy to poprzedni razy $\textcolor{#16A06A}{2}$ :
$\textcolor{#E0453A}{1},\; \textcolor{#16A06A}{2},\; \textcolor{#E0453A}{4},\; \textcolor{#E0453A}{8},\; \textcolor{#E0453A}{16}$
Krok 3 — dodajemy.
$\textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{16} = 31$
Odpowiedź: $31$ , czyli D.
Warto zapamiętać ten wzorzec: suma kolejnych potęg dwójki od $1$ jest zawsze o jeden mniejsza od następnej potęgi. Tu $31 = 32 - 1 = 2^5 - 1$ .

💡 Wskazówka: Najczęstsza pułapka w tym zadaniu to zacząć sumowanie od dwójki, bo to ona jest podana. Przeczytaj dokładnie: suma dotyczy pięciu początkowych wyrazów, czyli od $a_1$ — a $a_1$ trzeba dopiero policzyć.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie pierwszego wyrazu i zsumowanie $2 + 4 + 8 + 16 = 30$ — czyli policzenie czterech wyrazów zamiast pięciu, bo dwójka z treści wygląda na początek ciągu. Drugi błąd: odpowiedź A ( $1$ ), czyli podanie samego $a_1$ zamiast sumy. Warto wypisać wyrazy z numerami $a_1$ – $a_5$ , zanim się je doda.

Zadanie 3 (czerwiec 2015)1 pkttrudniejsze

Ciąg geometryczny

(a_n)

jest określony wzorem

a_n = 2^n

dla

n \geqslant 1

. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $2\left(1 - 2^{10}\right)$
B. $-2\left(1 - 2^{10}\right)$
C. $2\left(1 + 2^{10}\right)$
D. $-2\left(1 + 2^{10}\right)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dziesięć wyrazów to już za dużo, żeby wypisywać — tu wzór na sumę się opłaca. Odpowiedzi są zresztą podane w jego postaci, więc nawet nie trzeba nic upraszczać.
Krok 1 — pierwszy wyraz i iloraz ze wzoru ogólnego.
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{2}^{\,1} = \textcolor{#E0453A}{2}, \qquad a_2 = \textcolor{#16A06A}{2}^{\,2} = \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad q = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
(iloraz można też odczytać wprost: we wzorze $a_n = 2^n$ podstawą potęgi jest $\textcolor{#16A06A}{2}$ , więc $q = 2$ )
Krok 2 — wzór na sumę. Dla $q \ne 1$ :
$S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$
$S_{10} = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{#E0453A}{2}^{\,10}}{1 - \textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{#E0453A}{2}^{\,10}}{\textcolor{#E0453A}{-1}} = -\textcolor{#E0453A}{2}\left(1 - \textcolor{#E0453A}{2}^{\,10}\right)$
Odpowiedź: $-2\left(1 - 2^{10}\right)$ , czyli B.
Dlaczego to musi być dodatnie. Wszystkie wyrazy ciągu $2, 4, 8, \ldots$ są dodatnie, więc suma też. Sprawdźmy znak każdej odpowiedzi, pamiętając, że $2^{10} = \textcolor{#E0453A}{1024}$ , czyli $1 - 2^{10} = \textcolor{#E0453A}{-1023}$ :
A: $2 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1023}) = \textcolor{#E0453A}{-2046}$ — ujemne, odpada.
B: $-2 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-1023}) = \textcolor{#E0453A}{2046}$ — dodatnie ✓
C: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{1025} = \textcolor{#E0453A}{2050}$ — dodatnie, ale za duże o $4$ .
D: $-2 \cdot \textcolor{#E0453A}{1025} = \textcolor{#E0453A}{-2050}$ — ujemne, odpada.
Zostają B i C, a rozstrzyga rachunek: $2 + 4 + 8 + \ldots + 1024 = 2046$ ✓ — czyli B.
Warto znać ten wzorzec: suma kolejnych potęg dwójki od $2^1$ do $2^{10}$ równa się $2^{11} - 2 = 2048 - 2 = 2046$ .

💡 Wskazówka: Kontrola znaku odrzuca tu połowę odpowiedzi w jednej sekundzie: wszystkie wyrazy są dodatnie, więc suma musi być dodatnia, a $1 - 2^{10}$ jest liczbą ujemną. Zwróć też uwagę, że mianownik $1 - q = 1 - 2 = -1$ zamienia znak całego wyrażenia — to dokładnie ten minus, który odróżnia odpowiedź B od A.

⚠ Zgubienie minusa z mianownika i wybór odpowiedzi A. Przy $q > 1$ mianownik $1 - q$ jest ujemny, więc wynik zmienia znak — i dlatego wygodniej jest wtedy używać równoważnej postaci $S_n = a_1 \cdot \tfrac{q^{\,n} - 1}{q - 1}$ , w której oba nawiasy są dodatnie. Drugi błąd: pomylenie znaku wewnątrz nawiasu i wybór C zamiast B — różnica między $1 - 2^{10}$ i $1 + 2^{10}$ to w wyniku tylko $4$ , więc na oko tego nie widać; trzeba policzyć.

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pkttrudniejsze

W ciągu geometrycznym

(a_n)

, określonym dla

n \geqslant 1

, wyraz

a_1 = 5

, natomiast iloraz

q = -2

. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $(-1705)$
B. $(-1023)$
C. $1705$
D. $5115$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Dziesięć wyrazów i ujemny iloraz — wzór na sumę jest tu jedyną rozsądną drogą, ale trzeba uważać na znaki w obu nawiasach.
$S_{10} = a_1 \cdot \dfrac{1 - q^{\,10}}{1 - q} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \dfrac{1 - (\textcolor{#16A06A}{-2})^{\,10}}{1 - (\textcolor{#16A06A}{-2})}$
Licznik. Wykładnik $10$ jest parzysty, więc potęga liczby ujemnej wychodzi dodatnia:
$(\textcolor{#16A06A}{-2})^{\,10} = \textcolor{#E0453A}{1024} \qquad \Longrightarrow \qquad 1 - \textcolor{#E0453A}{1024} = \textcolor{#E0453A}{-1023}$
Mianownik. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$1 - (\textcolor{#16A06A}{-2}) = 1 + \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Składamy:
$S_{10} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-1023}}{\textcolor{#E0453A}{3}} = \textcolor{#16A06A}{5} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-341}) = -1705$
Odpowiedź: $-1705$ , czyli A.
Sprawdzenie — wypiszmy ciąg i dodajmy parami. Wyrazy: $5,\; -10,\; 20,\; -40,\; 80,\; -160,\; 320,\; -640,\; 1280,\; -2560$ .
Każda kolejna para daje ujemną liczbę: $5 - 10 = \textcolor{#E0453A}{-5}$ , $20 - 40 = \textcolor{#E0453A}{-20}$ , $80 - 160 = \textcolor{#E0453A}{-80}$ , $320 - 640 = \textcolor{#E0453A}{-320}$ , $1280 - 2560 = \textcolor{#E0453A}{-1280}$ .
Suma tych pięciu liczb: $-5 - 20 - 80 - 320 - 1280 = -1705$ ✓ Wynik potwierdzony drogą całkowicie niezależną od wzoru.
Zwróć uwagę, że ten podział na pary wyjaśnia też znak wyniku: ostatni wyraz jest ujemny i największy co do wartości bezwzględnej, więc przeważa nad wszystkimi wcześniejszymi dodatnimi.

💡 Wskazówka: Przy ujemnym ilorazie policz licznik i mianownik osobno i zapisz je, zanim podzielisz. Dwa najczęstsze miejsca pomyłki to parzystość wykładnika w liczniku ( $(-2)^{10}$ jest dodatnie) i podwójny minus w mianowniku ( $1 - (-2) = 3$ , nie $-1$ ). Jeśli chcesz kontroli, dodaj wyrazy parami — pięć par to pięć prostych odejmowań.

⚠ Przyjęcie $(-2)^{10} = -1024$ , czyli zignorowanie parzystości wykładnika. Wtedy licznik wychodzi $1025$ , a suma $\tfrac{5 \cdot 1025}{3} \approx 1708$ — liczba bliska poprawnej, ale nie występująca wśród odpowiedzi. Drugi błąd: mianownik policzony jako $1 - 2 = -1$ zamiast $1 + 2 = 3$ ; wtedy wychodzi $5115$ , czyli odpowiedź D, dokładnie trzy razy za duża. Trzeci: odpowiedź $-1023$ (B) to sam licznik, czyli zapomnienie o pomnożeniu przez $a_1$ i podzieleniu przez mianownik.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A

2. D

3. B

4. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ . Równoważnie $S_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}$ — obie postacie dają ten sam wynik, bo licznik i mianownik zmieniają znak jednocześnie.

Dlaczego wzór nie działa dla

q = 1

Bo mianownik $1 - q$ byłby zerem. Widać to w wyprowadzeniu: mnożymy sumę przez $q$ i odejmujemy, a przy $q = 1$ obie strony są identyczne i po odjęciu zostaje $0 = 0$ . Dla ciągu stałego suma to po prostu $S_n = n \cdot a_1$ .

Jak policzyć sumę przy ujemnym ilorazie?

Tym samym wzorem — trzeba tylko uważać na dwa znaki. Parzysta potęga liczby ujemnej jest dodatnia, więc $(-2)^{10} = 1024$ . W mianowniku wychodzi podwójny minus: $1 - (-2) = 3$ .

Jak odczytać

a_1

q

, gdy ciąg zadano wzorem

a_n = 2^n

Podstaw $n = 1$ : pierwszy wyraz to $2^1 = 2$ . Iloraz jest podstawą potęgi, czyli $2$ — można to sprawdzić, dzieląc $a_2$ przez $a_1$ . Przyjęcie $a_1 = 2^0 = 1$ to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

Czy suma ciągu geometrycznego zawsze rośnie?

Nie. Przy ilorazie ujemnym wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, więc sumy częściowe skaczą — dla $a_1 = 5$ i $q = -2$ kolejne wynoszą $5$ , $-5$ , $15$ , $-25$ . Przy $|q| < 1$ suma z kolei stabilizuje się, zamiast rosnąć.

Jak sprawdzić, czy policzona suma jest poprawna?

Przy małym $n$ najprościej dodać wyrazy ręcznie. Przy większym sprawdź przedział: dla $q > 1$ i dodatniego $a_1$ suma musi być większa od ostatniego wyrazu, ale mniejsza od $n$ razy ten wyraz. Przy ujemnym ilorazie ta kontrola nie działa — suma bywa wtedy mniejsza od pierwszego wyrazu, a nawet ujemna.

Czytaj dalej

n-ty wyraz ciągu geometrycznegoSkąd biorą się $a_1$ i $q$ — punkt wyjścia do sumy PotęgiZnak potęgi liczby ujemnej decyduje o wyniku ProcentyProcent składany i sumowanie wpłat

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.