Strona główna › Geometria przestrzenna › Walec

Walec

Walec jest najprostszą bryłą obrotową i jedyną, której powierzchnia boczna rozwija się w prostokąt — stożek daje wycinek koła, a kuli nie da się rozwinąć w ogóle. Ta jedna obserwacja zastępuje wzór do zapamiętania: rozwinięta powierzchnia boczna ma wysokość walca i szerokość równą obwodowi podstawy. Reszta tematu to przekrój osiowy i kąty — bo tam kończy się szkolne liczenie pól, a zaczynają zadania maturalne.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Skąd biorą się wzory

Walec powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Podstawami są dwa przystające koła o promieniu $r$ , a odległość między nimi to wysokość $H$ .

V = \pi r^2 H, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H

Objętość to pole podstawy razy wysokość — tak samo jak w graniastosłupie, bo walec jest jego granicznym przypadkiem przy podstawie o coraz większej liczbie boków.

Pole powierzchni składa się z dwóch części i drugą warto wyprowadzać, a nie pamiętać:

Powierzchnia boczna to prostokąt

Rozetnij walec wzdłuż jednej tworzącej i rozwiń. Dostajesz prostokąt.

Jego wysokość to $H$ , a szerokość to obwód podstawy, czyli $2\pi r$ — bo rozwinięta krawędź podstawy była okręgiem.

Stąd $P_b = 2\pi r H$ i nie ma tu nic do zapamiętania poza obwodem koła.

Podstawa programowa wymienia walec w dziale X, zakres podstawowy, punkt 5: „oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii”. Punkt 4 dodaje kąty — o nich w ostatniej sekcji.

Zapis wyników: $\pi$ zostaje w wyniku. Objętość walca o $r = 2$ i $H = 5$ wynosi $20\pi$ , a nie liczba dziesiętna — chyba że zadanie wyraźnie każe przyjąć przybliżenie.

Rozbite na osobne wielkości — komplet, po który warto tu wracać:

wielkość	wzór	dla $r = 3$ , $H = 4$
obwód podstawy	$Ob = 2\pi r$	$6\pi$
pole podstawy $P_p$	$\pi r^2$	$9\pi$
pole boczne $P_b$	$2\pi r H$	$24\pi$
pole całkowite $P_c$	$2\pi r(r + H)$	$42\pi$
objętość $V$	$\pi r^2 H$	$36\pi$
przekrój osiowy	prostokąt $2r \times H$	$6 \times 4$
przekątna przekroju $d$	$\sqrt{4r^2 + H^2}$	$2\sqrt{13}$
promień kuli opisanej $R$	$\sqrt{r^2 + \left(\tfrac{H}{2}\right)^2}$	$\sqrt{13}$

Ostatni wiersz to po prostu połowa przekątnej przekroju osiowego: środek kuli opisanej leży w połowie osi, a do każdego punktu brzegu podstawy jest stamtąd $\sqrt{r^2 + \left(\tfrac{H}{2}\right)^2}$ . Dla $r = 3$ , $H = 4$ wychodzi $\sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ , czyli dokładnie połowa z $2\sqrt{13}$ ✓

Kula wpisana — tylko w walcu równobocznym

Kula styczna do obu podstaw i do powierzchni bocznej naraz mieści się w walcu wtedy i tylko wtedy, gdy $H = 2r$ — czyli w walcu równobocznym. Jej promień jest wtedy równy $r$ .

Przy $H > 2r$ kula o promieniu $r$ dotknie powierzchni bocznej, ale nie sięgnie podstaw; przy $H < 2r$ dotknie podstaw, ale nie boku. W obu przypadkach nie jest to kula wpisana.

Dlatego wzór na promień kuli wpisanej podaje się tylko dla walca równobocznego — i wtedy jest trywialny.

2Przekrój osiowy

Przekrój osiowy to przecięcie walca płaszczyzną przechodzącą przez oś. Powstaje z niego prostokąt o wymiarach:

2r \times H

Szerokość jest średnicą, a nie promieniem — to najczęstsza pomyłka w zadaniach z przekrojem. Płaszczyzna tnie obie podstawy wzdłuż ich średnic.

Dwa przypadki szczególne mają własne nazwy w treściach zadań:

przekrój osiowy jest kwadratem — wtedy $H = 2r$ , czyli wysokość równa się średnicy;
walec równoboczny — to ta sama sytuacja, tylko nazwana inaczej.

Jeśli zadanie mówi „przekrojem osiowym jest kwadrat o polu $36$ ”, to bok kwadratu wynosi $6$ , więc $H = 6$ oraz $2r = 6$ , czyli $r = 3$ . Jedna informacja daje oba wymiary bryły i to jest cały sens tego sformułowania.

Warto odróżniać przekrój osiowy od przekroju równoległego do podstawy — ten drugi jest zawsze kołem przystającym do podstawy, niezależnie od wysokości, na której tniemy.

3Kąty i trygonometria

Punkt 4 tego samego działu brzmi w całości: „rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów”. W praktyce w walcu chodzi o jeden odcinek: przekątną przekroju osiowego.

Przekątna prostokąta $2r \times H$ tworzy z podstawą kąt $\alpha$ , dla którego:

\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{2r}

Jej długość liczy się z twierdzenia Pitagorasa: $d = \sqrt{4r^2 + H^2}$ . To najkrótsza droga w zadaniach, które podają kąt zamiast wymiaru — mając $\alpha$ i jeden wymiar, drugi wyznacza się z tangensa.

Trzy dane, z których wynika reszta

Walec jest opisany dwiema liczbami: $r$ i $H$ . Każda inna wielkość — objętość, pole, przekątna przekroju, kąt — jest ich funkcją.

Dlatego zadanie zawsze podaje dokładnie dwie niezależne informacje. Jeśli wydaje ci się, że masz tylko jedną, poszukaj drugiej w słowach: „przekrój osiowy jest kwadratem”, „walec równoboczny”, „wysokość równa średnicy”. Dwie dane są jednak warunkiem koniecznym, a nie zawsze wystarczającym. Gdy obie są wielkościami pochodnymi, rozwiązania bywają dwa: walec o $r = 1$ i $H = 8$ ma dokładnie tę samą objętość i to samo pole całkowite co walec o $r \approx 2{,}37$ i $H \approx 1{,}42$ — a to zupełnie inne bryły, bo przekątne ich przekrojów osiowych wynoszą $\approx 8{,}25$ oraz $\approx 4{,}95$ . Dlatego zadania podają zwykle jeden wymiar i jedną wielkość pochodną, a nie dwie pochodne naraz.

Kontrola: gdy znasz $r$ i $H$ , wszystko inne policzysz bez dodatkowych danych.

Przy zadaniach z kątem $45°$ wynik upraszcza się szczególnie: tangens wynosi wtedy $1$ , więc $H = 2r$ — i przekrój osiowy jest kwadratem. Warto to rozpoznawać, bo skraca rachunek o połowę.

4Walec wśród innych brył

Trzy porównania, które pomagają zapamiętać wzory i wyłapać błąd rzędu wielkości.

bryła	objętość	związek
walec	$\pi r^2 H$	pole podstawy razy wysokość
stożek o tej samej podstawie i wysokości	$\frac{1}{3}\pi r^2 H$	trzy razy mniej
kula o promieniu $r$	$\frac{4}{3}\pi r^3$	równa objętości walca o $H = \frac{4r}{3}$

Drugi wiersz jest tym samym stosunkiem, który zachodzi między ostrosłupem a graniastosłupem. Decyduje o nim liniowe zwężanie: promień (albo bok podstawy) maleje wprost proporcjonalnie do wysokości, więc pole przekroju maleje z kwadratem, a to daje właśnie $\frac13$ . Bryła zwężająca się inaczej dałaby inną stałą.

Trzeci wiersz warto znać jako ciekawostkę Archimedesa: kula wpisana w walec (czyli o $H = 2r$ ) ma objętość równą dwóm trzecim objętości tego walca. To jedna z niewielu zależności między bryłami, którą da się zapamiętać jako ułamek.

Przy porównaniach uważaj na skalę: jeśli promień rośnie dwukrotnie, objętość rośnie czterokrotnie przy stałej wysokości, bo $r$ występuje w kwadracie. Zwiększenie wysokości dwukrotnie podwaja objętość — i ta asymetria bywa treścią zadania.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wzory wprost, przekrój osiowy jako kwadrat, kąt przekątnej i porównanie wymiarów.

Przykład 1 Objętość i pole z wymiarów

Walec ma promień podstawy $3$ i wysokość $5$ . Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

$V = \pi r^2 H = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi$ .
Pole podstaw: $2\pi r^2 = 2\pi \cdot 9 = 18\pi$ .
Pole boczne: rozwinięty prostokąt ma wymiary $2\pi r \times H = 6\pi \times 5$ , czyli $30\pi$ .
$P_c = 18\pi + 30\pi = 48\pi$ .
Kontrola konstrukcji: szerokość prostokąta to obwód podstawy $2\pi \cdot 3 = 6\pi$ ✓
Kontrola rzędu: pole boczne jest tu większe od pola podstaw, bo $H = 5$ przewyższa $r = 3$ ✓

Odpowiedź: $V = 45\pi$ , $P_c = 48\pi$

Wyniki zostawiam z $\pi$ — to postać dokładna i pełna odpowiedź. Zamiana na liczbę dziesiętną byłaby przybliżeniem, o które nikt nie prosił.

Przykład 2 Przekrój osiowy jest kwadratem

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o polu $36$ . Oblicz objętość walca.

Bok kwadratu: $\sqrt{36} = 6$ .
Przekrój osiowy ma wymiary $2r \times H$ , więc z kwadratu wynika $2r = 6$ oraz $H = 6$ .
Stąd $r = 3$ , $H = 6$ .
$V = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi$ .
Kontrola definicji: skoro $H = 2r$ , walec jest równoboczny — zgodnie z treścią ✓
Kontrola pola przekroju: $2r \cdot H = 6 \cdot 6 = 36$ ✓

Odpowiedź: $V = 54\pi$

Kluczowy krok to drugi: szerokość przekroju jest średnicą, nie promieniem. Przyjęcie $r = 6$ dałoby objętość czterokrotnie za dużą, a rachunek wyglądałby poprawnie.

Przykład 3 Kąt przekątnej przekroju

W walcu o promieniu $4$ przekątna przekroju osiowego tworzy z podstawą kąt, którego tangens wynosi $\frac{3}{2}$ . Oblicz wysokość walca i długość tej przekątnej.

Podstawa przekroju ma długość $2r = 8$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{2r}$ , więc $\frac{3}{2} = \frac{H}{8}$ .
$H = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$ .
Przekątna: $d = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208}$ .
$\sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ — zostawiam w postaci dokładnej.
Kontrola: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ ✓
Kontrola rzędu: przekątna musi być dłuższa od obu boków — $4\sqrt{13} > 12$ , bo $16 \cdot 13 = 208 > 144$ ✓

Odpowiedź: $H = 12$ , $d = 4\sqrt{13}$

Tangens większy od jedynki od razu mówi, że walec jest wyższy niż szerszy. Warto to zauważyć przed rachunkiem — daje kontrolę wyniku bez liczenia.

Przykład 4 Co się dzieje po zmianie wymiarów

Promień walca zwiększono dwukrotnie, a wysokość pozostawiono bez zmian. Ile razy wzrosła objętość? A gdyby zamiast promienia podwojono wysokość?

Objętość zależy od promienia przez kwadrat: $V = \pi r^2 H$ .
Po podwojeniu promienia: $\pi (2r)^2 H = 4\pi r^2 H$ — objętość rośnie czterokrotnie.
Po podwojeniu wysokości: $\pi r^2 (2H) = 2\pi r^2 H$ — objętość rośnie dwukrotnie.
Kontrola liczbowa: dla $r = 3$ , $H = 5$ mamy $45\pi$ ; po podwojeniu promienia $180\pi$ , a po podwojeniu wysokości $90\pi$ ✓
Kontrola ilorazu: $\frac{180\pi}{45\pi} = 4$ oraz $\frac{90\pi}{45\pi} = 2$ ✓

Odpowiedź: Czterokrotnie po podwojeniu promienia, dwukrotnie po podwojeniu wysokości.

Asymetria bierze się z wykładników: promień stoi w kwadracie, wysokość w pierwszej potędze. Ta sama zasada tłumaczy, dlaczego szerokie naczynie mieści znacznie więcej niż wysokie o tej samej różnicy wymiarów.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą przekroju, trzy kolejne — wzorów i zapisu.

Przyjęcie promienia jako szerokości przekroju osiowego.

Skąd się bierze: W przekroju widać jedną podstawę „od boku” i łatwo pomylić ją z promieniem.

Jak zrobić dobrze: Przekrój osiowy przechodzi przez oś, więc tnie podstawę wzdłuż średnicy. Jego wymiary to $2r \times H$ .

Liczenie pola bocznego jako $\pi r H$ .

Skąd się bierze: Wzór na pole koła zawiera $\pi r^2$ , więc dwójka bywa gubiona.

Jak zrobić dobrze: Rozwiń bryłę: prostokąt ma szerokość równą obwodowi podstawy, czyli $2\pi r$ . Stąd $P_b = 2\pi r H$ .

Pominięcie jednej z dwóch podstaw w polu całkowitym.

Skąd się bierze: Na rysunku widać zwykle tylko górną podstawę.

Jak zrobić dobrze: Walec ma dwie podstawy, więc $2\pi r^2$ . Jeśli zadanie mówi o naczyniu bez pokrywki, wtedy — i tylko wtedy — liczy się jedną.

Zamiana wyniku z $\pi$ na liczbę dziesiętną bez polecenia.

Skąd się bierze: Wynik $45\pi$ wygląda na niedokończony.

Jak zrobić dobrze: $45\pi$ jest odpowiedzią dokładną i pełną. Przybliżenie podajemy tylko wtedy, gdy zadanie prosi, na przykład słowami „przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ ”.

Uznanie, że podwojenie promienia podwaja objętość.

Skąd się bierze: Intuicja podpowiada proporcjonalność prostą.

Jak zrobić dobrze: Promień występuje w kwadracie, więc podwojenie daje czterokrotny wzrost objętości. Podwojenie wysokości daje dwukrotny.

Zadania maturalne — walec

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Walec opisują dwie liczby: promień

r

i wysokość

H

. Trzy wzory, które tu wystarczą:

V = \pi r^2 H

P_b = 2\pi r H

oraz

P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2017)1 pktłatwe

Pole powierzchni bocznej walca jest równe

16\pi

, a promień jego podstawy ma długość

2

. Wysokość tego walca jest równa

A. $4$
B. $8$
C. $4\pi$
D. $8\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o szerokości równej obwodowi podstawy:
$P_b = 2\pi r H$
Podstawiamy dane: $\textcolor{#16A06A}{16\pi} = 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot H$ , czyli $16\pi = 4\pi H$ .
Dzielimy obie strony przez $4\pi$ :
$H = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Liczba $\pi$ stoi po obu stronach równania, więc skraca się — wynik jest zwykłą liczbą. Odpowiedzi C i D z $\pi$ można odrzucić, zanim policzy się cokolwiek.

⚠ Podzielenie $16\pi$ tylko przez $2\pi$ i pominięcie promienia. Wyszłoby $8$ , czyli odpowiedź B. We wzorze $2\pi r H$ dzielimy przez całe $2\pi r$ , a nie przez samo $2\pi$ .

Zadanie 2 (sierpień 2013)1 pktłatwe

Objętość walca o wysokości

8

jest równa

72\pi

. Promień podstawy tego walca jest równy

A. $9$
B. $8$
C. $6$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

$V = \pi r^2 H$ , więc $\textcolor{#16A06A}{72\pi} = \pi r^2 \cdot \textcolor{#16A06A}{8}$ .
Dzielimy obie strony przez $8\pi$ :
$r^2 = \textcolor{#E0453A}{9}$
Promień jest długością, więc bierzemy pierwiastek dodatni:
$r = \textcolor{#E0453A}{3}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Warto sprawdzić wynik w drugą stronę: $\pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi$ . Takie podstawienie zajmuje pięć sekund i wyłapuje pominięcie pierwiastka.

⚠ Zatrzymanie się na $r^2 = 9$ i wskazanie odpowiedzi A. We wzorze promień występuje w kwadracie, więc po podzieleniu trzeba jeszcze spierwiastkować.

Zadanie 3 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Objętość walca o promieniu podstawy

4

jest równa

96\pi

. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

A. $16\pi$
B. $24\pi$
C. $32\pi$
D. $48\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie jest dwuetapowe: najpierw brakujący wymiar, potem dopiero pytanie.
Krok 1 — wysokość z objętości: $\textcolor{#16A06A}{96\pi} = \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{4}^2 \cdot H = 16\pi H$ , więc $H = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
Krok 2 — pole boczne: $P_b = 2\pi r H = 2\pi \cdot 4 \cdot 6$
$P_b = \textcolor{#E0453A}{48\pi}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, sprawdź, czego zadanie nie podało. Tu brakuje wysokości, a bez niej pola bocznego nie da się ruszyć — to wyznacza pierwszy krok.

⚠ Odpowiedź B ( $24\pi$ ) to dokładnie połowa wyniku — tyle wychodzi po zgubieniu dwójki i policzeniu $\pi r H$ zamiast $2\pi r H$ . Powierzchnia boczna obiega cały obwód podstawy, którego długość wynosi $2\pi r$ .

Zadanie 4 (sierpień 2015)1 pktśrednie

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy

4

, a wysokość jest równa

6

, ma długość

A. $\sqrt{10}$
B. $\sqrt{20}$
C. $\sqrt{52}$
D. $10$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Przekrój osiowy walca to prostokąt: jego wysokość to $H$ , a podstawa to średnica, czyli $2r$ .
Boki prostokąta mają więc $2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{8}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
$d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100}$
$d = \textcolor{#E0453A}{10}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Boki $6$ i $8$ zapowiadają przekątną $10$ — to trójka pitagorejska, która wraca w zadaniach maturalnych najczęściej ze wszystkich.

⚠ Użycie promienia zamiast średnicy. Wyszłoby $\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}$ , czyli odpowiedź C — i właśnie po to znalazła się wśród wariantów. Przekrój osiowy przechodzi przez oś walca, więc obejmuje obie połowy podstawy.

Zadanie 5 (sierpień 2011)1 pktśrednie

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości

6

. Objętość tego walca jest równa

A. $108\pi$
B. $54\pi$
C. $36\pi$
D. $27\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Skoro przekrój osiowy jest kwadratem, to jego oba boki są równe: średnica podstawy tyle samo co wysokość.
$2r = \textcolor{#16A06A}{6}$ , więc $r = \textcolor{#E0453A}{3}$ , oraz $H = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
$V = \pi r^2 H = \pi \cdot 9 \cdot 6$
$V = \textcolor{#E0453A}{54\pi}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: „Przekrój osiowy jest kwadratem” to skrót informacji, że $H = 2r$ — jedno zdanie zastępuje oba wymiary. Warto rozpoznawać ten zwrot od razu.

⚠ Przyjęcie boku kwadratu za promień. Wyszłoby $\pi \cdot 36 \cdot 6 = 216\pi$ — liczby, której nie ma nawet wśród odpowiedzi. Brak swojego wyniku na liście to sygnał do sprawdzenia założeń, a nie do wybierania najbliższej opcji.

Zadanie 6 (sierpień 2014)1 pktśrednie

Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości

4

, jest równe

A. $256\pi$
B. $128\pi$
C. $48\pi$
D. $24\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Z kwadratowego przekroju osiowego o boku $\textcolor{#16A06A}{4}$ : $r = \textcolor{#E0453A}{2}$ oraz $H = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Pole całkowite to dwie podstawy plus bok:
$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 2\pi \cdot 4 + 2\pi \cdot 2 \cdot 4$
$P_c = 8\pi + 16\pi = \textcolor{#E0453A}{24\pi}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Rozbij rachunek na dwie liczby i zapisz obie: $8\pi$ za podstawy, $16\pi$ za bok. Kontrola jest wtedy natychmiastowa — bok walca o kwadratowym przekroju jest zawsze dwa razy większy od sumy podstaw.

⚠ Odpowiedź C ( $48\pi$ ) to dwukrotność wyniku — wychodzi, gdy podstawy policzy się cztery razy zamiast dwóch, np. przez pomylenie $2\pi r^2$ z $2 \cdot 2\pi r^2$ . Walec ma dwie podstawy, nie cztery.

Zadanie 7 (sierpień 2016)1 pkttrudniejsze

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy

r

, a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa

A. $2\pi r^3$
B. $4\pi r^3$
C. $\pi r^2 (r+2)$
D. $\pi r^2 (r-2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

„Wysokość dwa razy większa od promienia” znaczy $H = \textcolor{#16A06A}{2r}$ — mnożymy, a nie dodajemy.
$V = \pi r^2 H = \pi r^2 \cdot 2r$
$V = \textcolor{#E0453A}{2\pi r^3}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Objętość jest wielkością trójwymiarową, więc przy jednej literze musi wyjść $r^3$ . Odpowiedzi C i D po wymnożeniu dają $r^3 + 2r^2$ — sumę dwóch różnych potęg, co dla bryły o jednym parametrze nie ma sensu.

⚠ Odczytanie „dwa razy większa” jako „o dwa większa”, czyli $H = r + 2$ . Stąd biorą się odpowiedzi C i D. Pułapka jest podstępna, bo dla $r = 2$ wzory A i C dają ten sam wynik $16\pi$ — dopiero $r = 3$ je rozróżnia.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. D	3. D	4. D	5. B	6. D
7. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Dlaczego pole boczne walca to prostokąt?

Bo po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozwinięciu powierzchnia boczna leży płasko. Jej wysokość to wysokość walca, a szerokość to obwód podstawy, czyli $2\pi r$ — okrąg rozwinięty w odcinek.

Co to jest walec równoboczny?

Walec, w którym wysokość równa się średnicy podstawy, czyli $H = 2r$ . Jego przekrojem osiowym jest kwadrat, więc obie nazwy w treści zadania znaczą dokładnie to samo.

Czy w odpowiedzi zostawiać

\pi

Tak, to postać dokładna i pełna odpowiedź. Liczbę dziesiętną podaje się wyłącznie wtedy, gdy zadanie wprost prosi o przybliżenie albo o wynik z określoną dokładnością.

Ile danych trzeba, żeby policzyć wszystko o walcu?

Dwie niezależne. Walec jest opisany promieniem i wysokością, więc każda inna wielkość z nich wynika. Jeśli w treści widać tylko jedną liczbę, druga informacja kryje się w słowach, na przykład „przekrój osiowy jest kwadratem”.

Jak walec ma się do stożka o tych samych wymiarach?

Stożek o tej samej podstawie i wysokości ma trzy razy mniejszą objętość — tak samo jak ostrosłup wobec graniastosłupa. Stała $\frac13$ bierze się z tego, że promień maleje liniowo, więc pole przekroju maleje z kwadratem. Gdyby bryła zwężała się inaczej, wyszłaby inna liczba: paraboloida obrotowa mieści połowę walca, choć też kończy się w punkcie.

Czytaj dalej

Ostrosłup prawidłowy czworokątnyBryła z tym samym współczynnikiem jednej trzeciej i z kątami liczonymi tą samą metodą.Pole kołaPodstawa walca — wzór, z którego bierze się cała objętość.Okrąg i kołoObwód $2\pi r$ — szerokość rozwiniętego prostokąta, czyli źródło wzoru na pole boczne.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.