Strona główna › Równania i nierówności › Nierówności kwadratowe

Nierówności kwadratowe

Q: Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Znaleźć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę z ramionami zgodnymi ze znakiem współczynnika a i odczytać przedziały, w których wykres leży po żądanej stronie osi. Odpowiedzią jest zbiór, a nie liczba.

Q: Kiedy nawias jest okrągły, a kiedy kwadratowy?

Przy znakach ostrych (>, <) okrągły, bo miejsca zerowe nie należą do zbioru. Przy nieostrych (≥q, ≤q) kwadratowy, bo wtedy zero spełnia warunek. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Q: Co zrobić, gdy delta jest ujemna?

Parabola nie przecina osi, więc trójmian ma stały znak — zgodny ze znakiem współczynnika a. Przy a>0 nierówność ze znakiem > spełnia całe R, a ze znakiem < nie ma rozwiązań.

Q: Dlaczego przy ramionach w górę rozwiązaniem są dwa przedziały?

Bo parabola z ramionami w górę leży nad osią po obu stronach miejsc zerowych, a pod osią tylko między nimi. Nierówność >0 obejmuje więc dwa rozłączne kawałki, zapisywane jako suma przedziałów.

Nierówność kwadratowa wygląda jak równanie ze zmienionym znakiem, ale rozwiązuje się ją zupełnie inaczej: nie rachunkiem, tylko rysunkiem. Pytanie nie brzmi „ile wynosi $x$ ”, lecz „dla których $x$ wykres leży nad osią”. Kiedy raz zobaczysz to jako pytanie o znak, cała metoda sprowadza się do naszkicowania paraboli i odczytania odpowiedzi.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Nierówność to pytanie o znak

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum (wersja od 2025), dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy, punkt 4: „rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe”.

Równania i nierówności stoją w tym samym punkcie, ale metoda jest inna — i to właśnie ta różnica sprawia najwięcej trudności.

Nierówność kwadratowa to nierówność, którą da się zapisać w jednej z postaci:

ax^2+bx+c > 0, \quad ax^2+bx+c \geq 0, \quad ax^2+bx+c < 0, \quad ax^2+bx+c \leq 0

przy czym $a \neq 0$ . Wyrażenie $ax^2+bx+c$ nazywa się trójmianem kwadratowym.

Kluczowa zmiana perspektywy: równanie pyta, gdzie trójmian równa się zeru — czyli gdzie parabola przecina oś. Nierówność pyta, gdzie trójmian jest dodatni albo ujemny — czyli gdzie parabola leży nad osią albo pod nią.

zapis	pytanie	co odczytujesz z wykresu
$ax^2+bx+c > 0$	gdzie trójmian dodatni	gdzie parabola jest nad osią $OX$
$ax^2+bx+c < 0$	gdzie trójmian ujemny	gdzie parabola jest pod osią $OX$
$ax^2+bx+c = 0$	gdzie trójmian zerowy	gdzie parabola przecina oś

Dlatego odpowiedzią nie jest liczba, tylko zbiór — zwykle przedział albo suma dwóch przedziałów.

Miejsca zerowe są przy tym niezbędne, bo to jedyne punkty, w których trójmian może zmienić znak. Między nimi znak jest stały, więc wystarczy je znaleźć, żeby wiedzieć, gdzie przebiega granica.

2Metoda w czterech krokach

Sposób jest zawsze ten sam, niezależnie od znaku nierówności.

Uporządkuj nierówność do postaci z zerem po prawej stronie.
Znajdź miejsca zerowe trójmianu — tak jak przy równaniu kwadratowym, przez deltę albo rozkład na czynniki.
Naszkicuj parabolę: zaznacz miejsca zerowe i skieruj ramiona zgodnie ze znakiem $a$ .
Odczytaj przedziały, w których wykres jest po żądanej stronie osi.

Szkic nie musi być dokładny. Nie liczy się wierzchołek ani skala — wystarczy, żeby było widać, gdzie wykres przecina oś i w którą stronę idą ramiona.

Weźmy $x^2 - 5x + 6 > 0$ . Miejsca zerowe to $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ (bo $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 6$ i $\textcolor{#16A06A}{2}+\textcolor{#16A06A}{3} = 5$ ). Współczynnik $a = 1 > 0$ , więc ramiona w górę.

Parabola z ramionami w górę leży nad osią po bokach, a pod osią między miejscami zerowymi. Skoro szukamy wartości dodatnich:

x \in (-\infty, \textcolor{#16A06A}{2}) \cup (\textcolor{#16A06A}{3}, +\infty)

Reguła, którą warto zapamiętać obrazem

Przy ramionach w górę ( $a>0$ ): na zewnątrz dodatnie, w środku ujemne.

Przy ramionach w dół ( $a<0$ ): odwrotnie — w środku dodatnie, na zewnątrz ujemne.

Stąd wygodny skrót: „ $a$ dodatnie, znak $>$ → dwa przedziały; $a$ dodatnie, znak $<$ → jeden przedział w środku”.

Ta sama nierówność ze znakiem $<$ dałaby odpowiedź $x \in (\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{3})$ — czyli sam środek. Miejsca zerowe są te same, zmienia się tylko to, którą część bierzemy.

3Nawias otwarty czy domknięty

To drugie miejsce, w którym najczęściej giną punkty — a reguła jest krótka.

znak nierówności	czy miejsca zerowe należą	nawias
$>$ oraz $<$ (ostre)	nie	okrągły: $(2, 3)$
$\geq$ oraz $\leq$ (nieostre)	tak	kwadratowy: $\langle 2, 3 \rangle$

Powód jest prosty: w miejscach zerowych trójmian równa się zeru. Przy znaku ostrym zero nie spełnia warunku, przy nieostrym — spełnia.

Przy nieskończonościach nawias jest zawsze okrągły: zapis $(-\infty, 2\rangle$ jest poprawny, ale $\langle-\infty$ już nie, bo nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru.

Dla $x^2-5x+6 \leq 0$ odpowiedź to $x \in \langle \textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{3} \rangle$ — ten sam przedział co przy znaku $<$ , ale z końcami.

Kontrola przez podstawienie

Wybierz liczbę z wnętrza przedziału i podstaw do nierówności. Dla $x \in (2,3)$ weź $x = 2{,}5$ : $2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 + 6 = 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ , czyli wartość ujemna ✓

Potem sprawdź liczbę spoza przedziału, na przykład $x = 0$ : $0 - 0 + 6 = \textcolor{#2F80D8}{6}$ , czyli dodatnia ✓

Dwa podstawienia rozstrzygają, czy wybrano właściwą część — i zajmują kilkanaście sekund.

4Gdy delta nie jest dodatnia

Te przypadki wyglądają na trudniejsze, a są łatwiejsze — bo parabola w ogóle nie przechodzi na drugą stronę osi.

$\Delta$	położenie paraboli ( $a>0$ )	$>0$	$<0$
$\Delta < 0$	cała nad osią	wszystkie liczby: $\mathbb{R}$	zbiór pusty
$\Delta = 0$	dotyka osi w jednym punkcie $x_0$	$\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$	zbiór pusty

Przykład z deltą ujemną. Dla $x^2+2x+5 > 0$ mamy $\Delta = 4 - 20 = \textcolor{#16A06A}{-16}$ , więc miejsc zerowych nie ma, a ramiona idą w górę — cała parabola leży nad osią. Nierówność spełnia każda liczba rzeczywista.

Ta sama nierówność ze znakiem $<$ nie ma rozwiązań: skoro wykres nigdzie nie schodzi pod oś, nie ma takich $x$ , dla których trójmian byłby ujemny.

Przykład z deltą zerową. Dla $x^2-6x+9 > 0$ mamy $\Delta = \textcolor{#16A06A}{0}$ i jedno miejsce zerowe $x = \textcolor{#E0453A}{3}$ . Parabola dotyka osi w tym jednym punkcie, a wszędzie indziej jest nad nią — więc rozwiązaniem są wszystkie liczby oprócz trójki.

Przy znaku nieostrym $\geq$ ta sama nierówność ma za rozwiązanie całe $\mathbb{R}$ , bo w punkcie $\textcolor{#E0453A}{3}$ trójmian równa się zeru, a zero spełnia warunek „większe lub równe”.

Skrót, który warto znać

Delta zerowa oznacza, że trójmian jest pełnym kwadratem: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$ .

A kwadrat jest zawsze nieujemny — stąd od razu wiadomo, że $(x-3)^2 \geq 0$ zachodzi dla każdego $x$ , a $(x-3)^2 > 0$ dla wszystkich poza $x=3$ .

Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia pozwala pominąć całą deltę.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dwa przedziały, przedział domknięty i delta ujemna.

Przykład 1 Nierówność ostra, dwa przedziały

Rozwiąż nierówność $x^2 - x - 6 > 0$ .

Nierówność jest już uporządkowana. Współczynniki: $a=\textcolor{#16A06A}{1}$ , $b=\textcolor{#16A06A}{-1}$ , $c=\textcolor{#16A06A}{-6}$ .
Szukam miejsc zerowych: $\Delta = \textcolor{#16A06A}{(-1)}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{(-6)} = 1 + 24 = \textcolor{#E0453A}{25}$ .
$\sqrt{\textcolor{#E0453A}{25}} = 5$ , więc $x_1 = \frac{1-5}{2} = \textcolor{#2F80D8}{-2}$ , a $x_2 = \frac{1+5}{2} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
$a = \textcolor{#16A06A}{1} > 0$ , więc ramiona w górę — trójmian jest dodatni na zewnątrz miejsc zerowych.
Znak jest ostry, więc końce nie należą: $x \in (-\infty, \textcolor{#2F80D8}{-2}) \cup (\textcolor{#2F80D8}{3}, +\infty)$ .
Kontrola wewnątrz: dla $x=0$ mamy $0-0-6 = \textcolor{#8B5CF6}{-6} < 0$ ✓ — środek rzeczywiście odpada.
Kontrola na zewnątrz: dla $x=4$ mamy $16-4-6 = \textcolor{#E0453A}{6} > 0$ ✓
Kontrola drugiej strony: dla $x=-3$ mamy $9+3-6 = \textcolor{#E0453A}{6} > 0$ ✓

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$ .

Trzy podstawienia — po jednym w każdym z trzech obszarów — potwierdzają wynik pewniej niż ponowne liczenie delty. Warto je robić zawsze, bo są tanie.

Przykład 2 Nierówność nieostra, przedział domknięty

Rozwiąż nierówność $2x^2 - 7x + 3 \leq 0$ .

Współczynniki: $a=\textcolor{#16A06A}{2}$ , $b=\textcolor{#16A06A}{-7}$ , $c=\textcolor{#16A06A}{3}$ .
$\Delta = \textcolor{#16A06A}{(-7)}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 49 - 24 = \textcolor{#E0453A}{25}$
$x_1 = \frac{7-5}{4} = \textcolor{#2F80D8}{0{,}5}$ , $x_2 = \frac{7+5}{4} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
$a = \textcolor{#16A06A}{2} > 0$ , więc ramiona w górę — trójmian jest ujemny w środku, między miejscami zerowymi.
Znak jest nieostry, więc końce należą do zbioru: $x \in \langle \textcolor{#2F80D8}{0{,}5}, \textcolor{#2F80D8}{3} \rangle$ .
Kontrola wewnątrz: dla $x=1$ mamy $2-7+3 = \textcolor{#8B5CF6}{-2} \leq 0$ ✓
Kontrola końca: dla $x=\textcolor{#2F80D8}{3}$ mamy $18-21+3 = \textcolor{#E0453A}{0}$ , a zero spełnia $\leq$ ✓
Kontrola na zewnątrz: dla $x=0$ mamy $0-0+3 = 3 > 0$ ✓ — nie należy

Odpowiedź: $x \in \langle 0{,}5, 3 \rangle$ .

Sprawdzenie samego końca przedziału to najlepsza kontrola przy znaku nieostrym — jeśli w tym punkcie wychodzi zero, nawias musi być kwadratowy.

Przykład 3 Delta ujemna — odpowiedź bez liczenia

Rozwiąż nierówności $x^2+2x+5 > 0$ oraz $x^2+2x+5 < 0$ .

$\Delta = \textcolor{#16A06A}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 4 - 20 = \textcolor{#E0453A}{-16}$
Delta ujemna, więc miejsc zerowych nie ma — parabola nie dotyka osi.
$a = \textcolor{#16A06A}{1} > 0$ , więc ramiona w górę, a skoro wykres nie przecina osi, leży w całości nad nią.
Pierwsza nierówność: trójmian jest wszędzie dodatni, więc rozwiązaniem jest $\textcolor{#2F80D8}{\mathbb{R}}$ .
Druga nierówność: trójmian nigdzie nie jest ujemny, więc zbiór rozwiązań jest pusty.
Kontrola przez postać kanoniczną: $x^2+2x+5 = (x+1)^2 + \textcolor{#E0453A}{4}$ , a kwadrat jest nieujemny, więc całość jest zawsze co najmniej $4$ ✓
Kontrola liczbowa: dla $x=-1$ (wierzchołek) wychodzi $1-2+5 = \textcolor{#E0453A}{4}$ — najmniejsza możliwa wartość, wciąż dodatnia ✓

Odpowiedź: Pierwsza: $x \in \mathbb{R}$ . Druga: zbiór pusty.

Przy ujemnej delcie odpowiedź zależy wyłącznie od znaku $a$ i kierunku nierówności — nie trzeba nic liczyć. Kontrola przez postać kanoniczną pokazuje przy okazji, o ile wykres leży nad osią.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy wynika z traktowania nierówności jak równania.

Podawanie liczb zamiast zbioru

Skąd się bierze: Po policzeniu miejsc zerowych kusi, żeby zapisać je jako odpowiedź. Ale $x=2$ i $x=3$ to rozwiązania równania, a nierówność pyta o całe przedziały — punkty są tylko ich granicami.

Jak zrobić dobrze: Traktuj miejsca zerowe jako etap pośredni, a nie wynik. Odpowiedź nierówności zawsze ma postać przedziału, sumy przedziałów, $\mathbb{R}$ albo zbioru pustego.

Mylenie nawiasu przy znaku nieostrym

Skąd się bierze: Przy $\leq$ i $\geq$ miejsca zerowe należą do zbioru, bo zero spełnia taki warunek. Zapisanie nawiasu okrągłego gubi dwa punkty, co bywa liczone jako błąd nawet przy poprawnej metodzie.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj: kreska pod znakiem nierówności to kreska w nawiasie. Kontrola: podstaw sam koniec przedziału — jeśli wyjdzie zero, nawias ma być kwadratowy.

Wybieranie złej części przy ujemnym $a$

Skąd się bierze: Reguła „na zewnątrz dodatnie” obowiązuje tylko dla ramion w górę. Przy $a<0$ parabola jest odwrócona i wszystko się zamienia — pominięcie tego daje odpowiedź dokładnie odwrotną do poprawnej.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zaczynaj od znaku $a$ i szkicuj ramiona, zanim odczytasz przedziały. Kontrola przez podstawienie jednej liczby ze środka wychwyci odwrócenie natychmiast.

Uznanie, że brak miejsc zerowych oznacza brak rozwiązań

Skąd się bierze: Ujemna delta znaczy tylko tyle, że parabola nie przecina osi — ale nadal leży po jednej jej stronie. Dla $x^2+2x+5>0$ rozwiązaniem jest całe $\mathbb{R}$ , a nie zbiór pusty.

Jak zrobić dobrze: Przy ujemnej delcie sprawdź znak $a$ i kierunek nierówności. Ramiona w górę oznaczają trójmian zawsze dodatni, więc znak $>$ daje $\mathbb{R}$ , a znak $<$ zbiór pusty.

7Pytania i odpowiedzi

Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Znaleźć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę z ramionami zgodnymi ze znakiem współczynnika $a$ i odczytać przedziały, w których wykres leży po żądanej stronie osi. Odpowiedzią jest zbiór, a nie liczba.

Kiedy nawias jest okrągły, a kiedy kwadratowy?

Przy znakach ostrych ( $>$ , $<$ ) okrągły, bo miejsca zerowe nie należą do zbioru. Przy nieostrych ( $\geq$ , $\leq$ ) kwadratowy, bo wtedy zero spełnia warunek. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły.

Co zrobić, gdy delta jest ujemna?

Parabola nie przecina osi, więc trójmian ma stały znak — zgodny ze znakiem współczynnika $a$ . Przy $a>0$ nierówność ze znakiem $>$ spełnia całe $\mathbb{R}$ , a ze znakiem $<$ nie ma rozwiązań.

Dlaczego przy ramionach w górę rozwiązaniem są dwa przedziały?

Bo parabola z ramionami w górę leży nad osią po obu stronach miejsc zerowych, a pod osią tylko między nimi. Nierówność $>0$ obejmuje więc dwa rozłączne kawałki, zapisywane jako suma przedziałów.

Czy trzeba dokładnie rysować parabolę?

Nie. Wystarczy szkic pokazujący miejsca zerowe i kierunek ramion — wierzchołek ani skala nie mają znaczenia. Rysunek służy tylko do odczytania, gdzie wykres jest nad osią, a gdzie pod nią.

Jak sprawdzić, czy zbiór rozwiązań jest poprawny?

Podstawić po jednej liczbie z każdego obszaru — ze środka i z zewnątrz. Jeśli znaki wychodzą zgodnie z oczekiwaniem, wybrano właściwe przedziały. Przy znaku nieostrym warto sprawdzić też sam koniec.

Czytaj dalej

Równania kwadratoweDelta i wzory na miejsca zerowe Funkcja kwadratowaParabola, ramiona i położenie względem osi Wzory skróconego mnożeniaPełny kwadrat jako skrót przy delcie zerowej Układ współrzędnychOdczytywanie położenia wykresu względem osi Wartość bezwzględnaInny typ nierówności rozwiązywany podobnym sposobem

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.