Strona główna › Geometria › Pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Ten temat wygląda na dwa osobne wzory do wykucia, a jest jednym pomysłem zapisanym dwa razy. Kąt $60°$ to szósta część pełnego obrotu — więc wycina szóstą część obwodu i szóstą część pola. Cała reszta to podstawienie. Kto to zobaczy, nie musi pamiętać żadnego z dwóch wzorów; kto tego nie zobaczy, będzie je mylił do matury.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Dwa słowa, które trzeba rozdzielić

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział VIII. Planimetria, zakres podstawowy, punkt 6 brzmi dosłownie: „stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu”.

Wzory na obwód całego okręgu i pole całego koła zakładam tu jako znane — opisuję je przy okręgu i kole oraz przy polu koła.

Łuk to kawałek okręgu, czyli kawałek linii. Ma długość, mierzoną w centymetrach.

Wycinek to kawałek koła, czyli kawałek powierzchni — ograniczony dwoma promieniami i łukiem między nimi. Ma pole, mierzone w centymetrach kwadratowych.

Ten sam podział, który przy okręgu i kole oddziela linię od powierzchni, wraca więc przy ich kawałkach. Zawsze warto zacząć od pytania: pytają mnie o linię czy o powierzchnię?

obiekt	co to jest	co się mierzy	jednostka
okrąg	cała linia	długość (obwód)	cm
łuk	kawałek linii	długość	cm
koło	cała powierzchnia	pole	cm²
wycinek	kawałek powierzchni	pole	cm²

Wycinek to nie odcinek koła

Wycinek ograniczają dwa promienie i łuk — wygląda jak kawałek pizzy z czubkiem w środku koła.

Odcinek koła (nazywany też segmentem) ograniczają cięciwa i łuk — wygląda jak kawałek odkrojony prostym cięciem, bez czubka w środku.

Wzory z tej strony dotyczą wycinka. Do pola odcinka koła dochodzi się przez odjęcie: od pola wycinka odejmuje się pole trójkąta o dwóch bokach będących promieniami.

2Jeden pomysł zamiast dwóch wzorów

Pełny obrót to $360°$ . Kąt środkowy $\alpha$ zajmuje więc ułamek $\frac{\alpha}{360°}$ pełnego obrotu — i dokładnie taki sam ułamek całego okręgu oraz całego koła.

To wszystko. Oba wzory powstają przez pomnożenie tego ułamka przez wielkość dla całej figury:

Dwa wzory, jedna proporcja

Długość łuku: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$

Pole wycinka: $P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$

W obu ten sam czynnik $\frac{\alpha}{360°}$ ; różni się tylko to, co po nim stoi — obwód albo pole całej figury.

Sprawdźmy skrajne przypadki, bo one najszybciej pokazują, czy wzór jest zapamiętany dobrze:

$\alpha = \textcolor{#16A06A}{360°}$ — ułamek wynosi $\frac{360}{360} = 1$ , więc $l = \textcolor{#E0453A}{2\pi r}$ i $P = \textcolor{#E0453A}{\pi r^2}$ , czyli cały okrąg i całe koło ✓
$\alpha = \textcolor{#16A06A}{180°}$ — ułamek to $\frac{1}{2}$ , więc wychodzi półokrąg i półkole ✓
$\alpha = \textcolor{#16A06A}{0°}$ — ułamek to $0$ , więc $l = \textcolor{#E0453A}{0}$ i $P = \textcolor{#E0453A}{0}$ , czyli nic ✓

Jeśli podstawienie $360°$ nie daje wzorów na całe koło, wzór jest przekręcony. Ta kontrola zajmuje pięć sekund i ratuje przed najczęstszym błędem — zamianą $2\pi r$ z $\pi r^2$ .

kąt środkowy	ułamek koła	łuk	pole wycinka
$30°$	$\frac{1}{12}$	$\frac{\pi r}{6}$	$\frac{\pi r^2}{12}$
$45°$	$\frac{1}{8}$	$\frac{\pi r}{4}$	$\frac{\pi r^2}{8}$
$60°$	$\frac{1}{6}$	$\frac{\pi r}{3}$	$\frac{\pi r^2}{6}$
$90°$	$\frac{1}{4}$	$\frac{\pi r}{2}$	$\frac{\pi r^2}{4}$
$120°$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2\pi r}{3}$	$\frac{\pi r^2}{3}$
$180°$	$\frac{1}{2}$	$\pi r$	$\frac{\pi r^2}{2}$

Tabeli nie trzeba pamiętać — warto natomiast skracać ułamek od razu. Zapis $\frac{120}{360}$ zamieniony na $\frac{1}{3}$ zamienia całe zadanie w jedno mnożenie.

3Zależność, która skraca rachunki: $P = \frac{1}{2}lr$

Skoro oba wzory mają ten sam czynnik, to znając jedno, drugie liczy się bez kąta. Podzielmy pole przez długość łuku:

\frac{P}{l} = \frac{\frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2}{\frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r} = \frac{\pi r^2}{2\pi r} = \frac{r}{2}

Ułamek $\frac{\alpha}{360°}$ skrócił się razem z $\pi$ i jednym $r$ . Zostaje zależność, w której kąt w ogóle nie występuje:

P = \frac{1}{2} \cdot l \cdot r

Warto zauważyć, jak bardzo przypomina to wzór na pole trójkąta $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ . To nie zbieg okoliczności: wycinek o bardzo małym kącie jest praktycznie trójkątem o podstawie $l$ i wysokości $r$ , a wzór okazuje się dokładny dla każdego kąta.

Do czego to służy w zadaniu

Jako kontrola — policz $P$ i $l$ osobno ze wzorów z kątem, a potem sprawdź, czy $P = \frac{1}{2}lr$ . Zgodność dwóch niezależnych dróg to najlepsze potwierdzenie, jakie można sobie zrobić.

Jako skrót — gdy zadanie podaje długość łuku i promień, a pyta o pole, kąta nie trzeba w ogóle liczyć.

4Obwód wycinka — nie sam łuk

To miejsce, w którym gubi się najwięcej punktów, a wzoru do wykucia tu nie ma — wystarczy patrzeć na rysunek.

Wycinek jest figurą zamkniętą trzema odcinkami brzegu: łukiem oraz dwoma promieniami. Jego obwód to suma wszystkich trzech:

\text{Obw} = l + 2r = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r + 2r

Pytanie „oblicz obwód wycinka” nie jest więc tym samym co „oblicz długość łuku”. Odpowiedź różni się o $2r$ — a w typowym zadaniu jest to różnica rzędu kilkudziesięciu procent, nie kilku.

Sprawdzenie sensu jest proste: obwód wycinka musi być większy od samego łuku, bo łuk jest tylko jego częścią. Jeśli wynik wyszedł równy łukowi, promienie zostały pominięte.

Poza zakresem podstawowym: to samo w radianach

Gdy kąt podano w radianach, wzory robią się jeszcze krótsze, bo znika dzielenie przez $360°$ :

$l = r\alpha$ oraz $P = \frac{1}{2}r^2\alpha$ .

To nie są nowe wzory, tylko te same po podstawieniu $\alpha_{\text{rad}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi$ . Ich prostota jest właśnie głównym powodem, dla którego radiany w ogóle wprowadzono — piszę o tym przy mierze łukowej kąta.

Miara łukowa należy do zakresu rozszerzonego (dział VII, punkt 1). Do zakresu podstawowego wystarczą wzory ze stopniami, ale nie wolno ich mieszać: kąt w radianach wstawiony do wzoru z $360°$ daje wynik bez sensu.

5Przykłady krok po kroku

Cztery przykłady: w przód, dwa razy w tył i jeden z życia. W każdym wynik zostaje dokładny, z $\pi$ .

Przykład 1 Łuk i pole przy danym kącie

W kole o promieniu $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm dany jest wycinek o kącie środkowym $\textcolor{#16A06A}{60°}$ . Oblicz długość łuku i pole wycinka.

Ułamek koła: $\frac{\textcolor{#16A06A}{60°}}{360°} = \frac{1}{6}$ — skracam od razu, żeby dalej mnożyć przez małą liczbę.
Długość łuku: $l = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \frac{1}{6} \cdot 12\pi = \textcolor{#E0453A}{2\pi}$ cm.
Pole wycinka: $P = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{6}^2 = \frac{1}{6} \cdot 36\pi = \textcolor{#2F80D8}{6\pi}$ cm².
Kontrola zależnością $P = \frac{1}{2}lr$ : $\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\pi} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#2F80D8}{6\pi}$ ✓ — druga droga, ten sam wynik.
Kontrola sensu: szósta część obwodu $12\pi$ to $2\pi$ ✓, szósta część pola $36\pi$ to $6\pi$ ✓

Odpowiedź: $l = 2\pi$ cm, $P = 6\pi$ cm².

Wynik zostaje dokładny, z $\pi$ — tak należy go zapisać, jeśli zadanie nie każe zaokrąglać. Przybliżenia $6{,}28$ cm i $18{,}85$ cm² są mniej dokładne, a nie bardziej „gotowe”.

Przykład 2 Kąt z długości łuku

Łuk okręgu o promieniu $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm ma długość $\textcolor{#16A06A}{5\pi}$ cm. Oblicz kąt środkowy oparty na tym łuku oraz pole odpowiadającego mu wycinka.

Zapisuję wzór z niewiadomym kątem: $\textcolor{#16A06A}{5\pi} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{10}$ .
Prawa strona to $\frac{\alpha}{360°} \cdot 20\pi$ , więc $\frac{\alpha}{360°} = \frac{5\pi}{20\pi} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{4}}$ — $\pi$ skróciło się samo.
Stąd $\alpha = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{4}} \cdot 360° = \textcolor{#2F80D8}{90°}$ .
Pole wycinka: $P = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{4}} \cdot \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#8B5CF6}{25\pi}$ cm².
Kontrola zależnością: $\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{5\pi} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#8B5CF6}{25\pi}$ ✓
Kontrola sensu: kąt $\textcolor{#2F80D8}{90°}$ to ćwiartka koła, a $\textcolor{#16A06A}{5\pi}$ to rzeczywiście ćwiartka obwodu $20\pi$ ✓

Odpowiedź: $\alpha = 90°$ , $P = 25\pi$ cm².

Zadanie „w tył” rozwiązuje się tym samym wzorem — zmienia się tylko to, która litera jest niewiadoma. Zwróć uwagę, że $\pi$ skróciło się jeszcze przed obliczeniem kąta; to typowe i warto na to liczyć.

Przykład 3 Kąt z pola, potem obwód wycinka

Wycinek koła o promieniu $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm ma pole $\textcolor{#16A06A}{12\pi}$ cm². Oblicz jego kąt środkowy, długość łuku oraz obwód wycinka.

Ze wzoru na pole: $\textcolor{#16A06A}{12\pi} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{6}^2 = \frac{\alpha}{360°} \cdot 36\pi$ .
Zatem $\frac{\alpha}{360°} = \frac{12\pi}{36\pi} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{3}}$ , czyli $\alpha = \textcolor{#2F80D8}{120°}$ .
Długość łuku: $l = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{3}} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{3}} \cdot 12\pi = \textcolor{#8B5CF6}{4\pi}$ cm.
Obwód wycinka to łuk plus dwa promienie: $\text{Obw} = \textcolor{#8B5CF6}{4\pi} + 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{4\pi + 12}$ cm.
Kontrola zależnością: $\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#8B5CF6}{4\pi} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#16A06A}{12\pi}$ ✓ — wróciło zadane pole.
Kontrola sensu: obwód $4\pi + 12$ jest większy od samego łuku $4\pi$ ✓, bo doszły dwa promienie.

Odpowiedź: $\alpha = 120°$ , $l = 4\pi$ cm, obwód wycinka $= 4\pi + 12$ cm.

Wyniku $4\pi + 12$ nie da się zapisać prościej — to suma liczby niewymiernej i wymiernej, więc zostaje w tej postaci. Próba „dokończenia” działania jest tu najczęstszym błędem.

Przykład 4 Zraszacz w ogrodzie

Zraszacz o zasięgu $\textcolor{#16A06A}{8}$ m obraca się w wachlarzu o kącie $\textcolor{#16A06A}{135°}$ . Jaką powierzchnię podlewa i jak długi jest zewnętrzny brzeg podlanego obszaru?

Podlany obszar to wycinek koła o promieniu równym zasięgowi, czyli $\textcolor{#16A06A}{8}$ m.
Ułamek koła: $\frac{\textcolor{#16A06A}{135°}}{360°} = \frac{135}{360} = \textcolor{#E0453A}{\frac{3}{8}}$ — skracam przez $45$ .
Pole: $P = \textcolor{#E0453A}{\frac{3}{8}} \cdot \pi \cdot \textcolor{#16A06A}{8}^2 = \textcolor{#E0453A}{\frac{3}{8}} \cdot 64\pi = \textcolor{#2F80D8}{24\pi}$ m².
Zewnętrzny brzeg to łuk: $l = \textcolor{#E0453A}{\frac{3}{8}} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{\frac{3}{8}} \cdot 16\pi = \textcolor{#8B5CF6}{6\pi}$ m.
Kontrola zależnością: $\frac{1}{2} \cdot \textcolor{#8B5CF6}{6\pi} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#2F80D8}{24\pi}$ ✓
Dopiero tu przybliżam, bo pytanie jest praktyczne: $24\pi \approx 75{,}4$ m² i $6\pi \approx 18{,}8$ m.

Odpowiedź: Pole $24\pi$ m² (około $75{,}4$ m²), łuk $6\pi$ m (około $18{,}8$ m).

Kolejność ma znaczenie: najpierw dokładnie, potem przybliżenie. Zaokrąglanie $\pi$ na starcie i mnożenie przez $64$ powiększa błąd, a poza tym uniemożliwia skrócenie, które tu ładnie zadziałało.

6Najczęstsze błędy

Pięć błędów. Pierwszy i ostatni odpowiadają za większość straconych punktów w tym temacie.

Podanie samego łuku, gdy pytano o obwód wycinka

Skąd się bierze: Słowo „obwód” kojarzy się z okrągłym brzegiem, a wycinek ma brzeg złożony z trzech części: łuku i dwóch promieni. Uczeń liczy poprawnie $l$ i na tym kończy, tracąc składnik $2r$ — przy kącie $120°$ i promieniu $6$ to różnica między $4\pi \approx 12{,}6$ a $4\pi + 12 \approx 24{,}6$ , czyli wynik prawie dwa razy za mały.

Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz liczyć, obrysuj brzeg palcem po rysunku. Palec przejdzie po promieniu, po łuku i po drugim promieniu — trzy odcinki brzegu, trzy składniki sumy.

Zamiana wzorów: $2\pi r$ tam, gdzie powinno być $\pi r^2$

Skąd się bierze: Oba wzory zaczynają się tym samym ułamkiem, więc różnica siedzi w drugim czynniku i łatwo ją przeoczyć. Wynik wychodzi wtedy w złych jednostkach — pole w centymetrach, długość w centymetrach kwadratowych.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj jednostkę wyniku, a nie wzór. Pole musi wyjść w cm², więc w rachunku musi wystąpić $r$ w kwadracie. Druga kontrola: podstaw $\alpha = 360°$ i sprawdź, czy wychodzi wzór dla całej figury.

Mylenie wycinka z odcinkiem koła

Skąd się bierze: Obie figury są „kawałkiem koła” i obie ogranicza łuk. Różnią się drugą częścią brzegu: wycinek mają zamykać dwa promienie, a odcinek koła — cięciwa. Zastosowanie wzoru na wycinek do odcinka daje wynik zawyżony, bo dolicza trójkąt, którego w odcinku nie ma.

Jak zrobić dobrze: Popatrz, czy figura ma czubek w środku koła. Jeśli tak — to wycinek i wzory z tej strony działają. Jeśli brzeg jest prosty i nie przechodzi przez środek — to odcinek koła i trzeba odjąć pole trójkąta.

Wstawienie kąta w radianach do wzoru z $360°$

Skąd się bierze: W zadaniach z zakresu rozszerzonego kąt bywa podany jako $\frac{\pi}{3}$ zamiast $60°$ . Podstawienie $\frac{\pi}{3}$ w miejsce $\alpha$ we wzorze $\frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$ zaniża wynik dokładnie $\frac{180}{\pi} \approx 57$ razy — i co gorsza zawsze o tyle samo, niezależnie od kąta i promienia, więc żadna liczba w rachunku nie wygląda podejrzanie.

Jak zrobić dobrze: Najpierw rozstrzygnij jednostkę kąta. Symbol $°$ albo liczba w okolicy setek to stopnie; wyrażenie z $\pi$ albo liczba mniejsza od $7$ to prawie na pewno radiany. Przy radianach użyj krótszych wzorów $l = r\alpha$ i $P = \frac{1}{2}r^2\alpha$ .

Zaokrąglanie $\pi$ na starcie i podawanie przybliżenia jako wyniku

Skąd się bierze: Wpisanie $3{,}14$ w pierwszym kroku psuje wszystkie skrócenia — zamiast czystego $6\pi$ wychodzi $18{,}84$ , którego nie da się porównać z odpowiedzią w kluczu. Poza tym błąd narasta: pomnożony przez $64$ daje już kilka dziesiątych różnicy.

Jak zrobić dobrze: Prowadź cały rachunek z symbolem $\pi$ i zostaw wynik w postaci $6\pi$ , $24\pi$ , $4\pi + 12$ . Przybliżaj na samym końcu i tylko wtedy, gdy zadanie o to prosi — na przykład gdy pyta o realną powierzchnię trawnika.

Zadania maturalne — długość łuku i wycinek koła

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści — promień i kąt. Czerwone — to, co wyliczamy. Cała rodzina tych zadań stoi na proporcji: kąt środkowy do 360° tak, jak łuk do całego okręgu (i tak samo wycinek do koła). Jeśli w treści jest kąt wpisany, najpierw go podwajamy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Koło ma promień równy

3

. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym

30°

jest równy

A. $\frac34\pi$
B. $\frac12\pi$
C. $\frac34\pi + 6$
D. $\frac12\pi + 6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Długość łuku to taka część obwodu koła, jaką część kąta pełnego stanowi kąt środkowy:
$\ell = \frac{\textcolor{#16A06A}{30°}}{360°} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \frac{1}{12} \cdot 6\pi = \textcolor{#E0453A}{\frac{\pi}{2}}$
Obwód wycinka to jednak nie sam łuk — wycinek jest ograniczony jeszcze dwoma promieniami.
$Ob = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{\frac{\pi}{2} + 6}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Rysunek wycinka to „kawałek pizzy”: jego brzeg składa się z łuku i dwóch prostych krawędzi. Jeśli w odpowiedziach są warianty z liczbą i bez niej, pytanie prawie na pewno dotyczy obwodu, a nie samej długości łuku.

⚠ Odpowiedź B to sama długość łuku — pułapka na pominięcie promieni. Odpowiedzi A i C biorą się z pomylenia wzoru na długość łuku ze wzorem na pole wycinka.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktłatwe

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

6

. Miara kąta wpisanego

ACB

jest równa

60°

. Długość łuku

AB

, na którym oparty jest kąt wpisany

ACB

, jest równa

A. $2\pi$
B. $4\pi$
C. $6\pi$
D. $12\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

W treści podany jest kąt wpisany, a długość łuku zależy od środkowego — najpierw więc podwajam.
$\alpha_{\text{śr}} = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{60°} = \textcolor{#E0453A}{120°}$
Długość łuku: $\ell = \frac{120°}{360°} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \frac13 \cdot 12\pi = \textcolor{#E0453A}{4\pi}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kontrola rzędu wielkości: cały okrąg ma obwód $12\pi$ , a łuk odpowiada jednej trzeciej okręgu — więc wynik musi być trzy razy mniejszy od $12\pi$ ✓

⚠ Odpowiedź A powstaje z wstawienia do wzoru kąta wpisanego ( $60°$ ) zamiast środkowego. Odpowiedź D to obwód całego okręgu.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Punkty

A

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

. Długość łuku

AB

, na którym jest oparty kąt wpisany

ACB

, jest równa

\frac15

długości okręgu. Miara kąta ostrego

ACB

jest równa

A. $18°$
B. $30°$
C. $36°$
D. $72°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie odwrotne: z ułamka okręgu wracam do kąta środkowego.
$\alpha_{\text{śr}} = \textcolor{#16A06A}{\frac15} \cdot 360° = \textcolor{#E0453A}{72°}$
Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest połową środkowego:
$\alpha_{\text{wp}} = \frac{72°}{2} = \textcolor{#E0453A}{36°}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Ułamek długości łuku i ułamek kąta pełnego to ta sama liczba — dlatego $\frac15$ okręgu odpowiada $\frac15$ z $360°$ . Promień jest tu niepotrzebny i celowo nie został podany.

⚠ Odpowiedź D to kąt środkowy — czyli zatrzymanie się jeden krok przed końcem. Odpowiedź A powstaje z podzielenia przez $4$ zamiast przez $2$ .

Zadanie 4 (maj 2014)1 pktłatwe

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa

\frac49

długości okręgu, ma miarę

A. $20°$
B. $40°$
C. $80°$
D. $160°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kąt środkowy stanowi taką część kąta pełnego, jaką część okręgu stanowi jego łuk.
$\alpha = \textcolor{#16A06A}{\frac49} \cdot 360° = 4 \cdot 40° = \textcolor{#E0453A}{160°}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Kontrola sensu: $\frac49$ to trochę mniej niż połowa, więc kąt musi być trochę mniejszy od $180°$ — i jest.

⚠ Odpowiedź C ( $80°$ ) to miara kąta wpisanego opartego na tym łuku. Pytanie dotyczy jednak środkowego, więc dzielenie przez dwa jest tu zbędne.

Zadanie 5 (sierpień 2025)1 pkttrudniejsze

Punkty

A

B

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

i o promieniu

36

. Punkt

S

leży na odcinku

BD

. Kąt

BDA

ma miarę

40°

, a kąt

DBC

ma miarę

65°

. Długość łuku

BC

, na którym jest oparty kąt wpisany

CDB

, jest równa

A. $8\pi$
B. $10\pi$
C. $13\pi$
D. $20\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa obserwacja: punkt $S$ leży na odcinku $BD$ , więc $BD$ jest średnicą okręgu.
Kąt $BCD$ jest oparty na średnicy, więc ma miarę $\textcolor{#E0453A}{90°}$ .
W trójkącie $BCD$ : $|\sphericalangle CDB| = 180° - 90° - \textcolor{#16A06A}{65°} = \textcolor{#E0453A}{25°}$ .
To kąt wpisany oparty na łuku $BC$ , więc kąt środkowy ma $2 \cdot 25° = \textcolor{#E0453A}{50°}$ .
$\ell = \frac{50°}{360°} \cdot 2\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{36} = \frac{5}{36} \cdot 72\pi = \textcolor{#E0453A}{10\pi}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Zdanie „punkt $S$ leży na odcinku $BD$ ” nie jest ozdobnikiem — to ono zamienia $BD$ w średnicę i daje kąt prosty. Kąt $BDA = 40°$ jest w tym podpunkcie daną zbędną.

⚠ Odpowiedź C ( $13\pi$ ) powstaje z wzięcia kąta $65°$ jako wpisanego dla łuku $BC$ — to kąt przy innym wierzchołku i opiera się na innym łuku.

Zadanie 6 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Na dziesięciokącie foremnym

ABCDEFGHIJ

opisano okrąg o środku w punkcie

S

. Miara kąta wpisanego

AGD

jest równa

A. $18°$
B. $36°$
C. $54°$
D. $60°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wierzchołki dziesięciokąta foremnego dzielą okrąg na dziesięć równych łuków.
Jeden taki łuk odpowiada kątowi środkowemu $\frac{360°}{\textcolor{#16A06A}{10}} = \textcolor{#E0453A}{36°}$ .
Kąt wpisany $AGD$ opiera się na łuku od $A$ do $D$ , czyli na trzech kolejnych łukach: $3 \cdot 36° = \textcolor{#E0453A}{108°}$ .
Kąt wpisany to połowa środkowego: $\frac{108°}{2} = \textcolor{#E0453A}{54°}$ .
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Ogólnie w $N$ -kącie foremnym kąt wpisany oparty na $k$ łukach ma miarę $\frac{k \cdot 180°}{N}$ — sprawdziłem tę zależność rachunkiem dla $170$ par $(N, k)$ .

⚠ Odpowiedź B ( $36°$ ) to miara kąta środkowego opartego na jednym łuku, a nie wpisanego opartego na trzech.

Zadanie 7 (informator CKE)1 pktłatwe

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa

180°

. Jaka jest miara kąta środkowego?

A. $60°$
B. $90°$
C. $120°$
D. $135°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Oznaczam kąt wpisany przez $\alpha$ . Wtedy kąt środkowy na tym samym łuku ma miarę $2\alpha$ .
Z warunku zadania: $\alpha + 2\alpha = \textcolor{#16A06A}{180°}$ , czyli $3\alpha = 180°$ .
$\alpha = \textcolor{#E0453A}{60°}$ , a kąt środkowy $2\alpha = \textcolor{#E0453A}{120°}$ .
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Kontrola: $120° + 60° = 180°$ ✓ i jednocześnie $120° = 2 \cdot 60°$ ✓ — oba warunki spełnione naraz.

⚠ Odpowiedź A ( $60°$ ) to kąt wpisany. Pytanie dotyczy środkowego, więc trzeba jeszcze pomnożyć przez dwa — to najczęstsza pomyłka w tym zadaniu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. B	3. C	4. D	5. B	6. C
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć pole wycinka koła?

Trzeba pomnożyć pole całego koła przez ułamek, jaki kąt środkowy stanowi z pełnego obrotu. Wzór ma postać $P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$ . Dla kąta sześćdziesięciu stopni i promienia sześć centymetrów wychodzi szósta część pola, czyli sześć pi centymetrów kwadratowych.

Jak obliczyć długość łuku okręgu?

Tak samo jak pole wycinka, tylko zamiast pola koła bierze się jego obwód. Wzór to $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$ . Ułamek przed mnożeniem warto od razu skrócić, bo wtedy całe zadanie sprowadza się do jednego mnożenia.

Czym różni się wycinek koła od odcinka koła?

Wycinek ograniczają dwa promienie i łuk, więc ma ostry czubek w środku koła i przypomina kawałek pizzy. Odcinek koła ograniczają cięciwa i łuk, więc powstaje przez proste odcięcie i czubka nie ma. Pole odcinka liczy się jako pole wycinka pomniejszone o pole trójkąta.

Jaki jest obwód wycinka koła?

Obwód wycinka to długość łuku powiększona o dwa promienie, czyli $\text{Obw} = l + 2r$ . Sam łuk to za mało, bo wycinek jest zamknięty jeszcze dwoma odcinkami prostymi. To najczęstsze źródło błędów w tym temacie.

Czy między polem wycinka a długością łuku jest jakiś związek?

Tak, i jest bardzo prosty: pole równa się połowie iloczynu długości łuku i promienia, czyli $P = \frac{1}{2}lr$ . Kąt w tej zależności w ogóle nie występuje, bo skraca się przy dzieleniu jednego wzoru przez drugi. Świetnie nadaje się na kontrolę wyniku.

Czy wynik trzeba zamieniać na liczbę dziesiętną?

Nie, jeśli polecenie tego nie wymaga. Postać dokładna z symbolem pi, na przykład sześć pi, jest pełnoprawną odpowiedzią i zwykle właśnie takiej oczekuje klucz. Zaokrąglenie warto zostawić na sam koniec i tylko wtedy, gdy pytanie dotyczy praktycznej wielkości.

Czy pole wycinka koła jest w podstawie programowej?

Tak. Podstawa dla liceum umieszcza ten temat w dziale ósmym, czyli w planimetrii, w punkcie szóstym zakresu podstawowego. Sformułowanie mówi wprost o stosowaniu wzorów na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.

Czytaj dalej

Okrąg i kołoSkąd bierze się podział na linię i powierzchnię Pole kołaWzór $\pi r^2$, od którego zaczyna się wycinek Miara łukowa kątaW radianach oba wzory stają się krótsze Kąty środkowe i wpisaneSkąd bierze się kąt $\alpha$ w tych wzorach Geometria płaskaPrzewodnik po całym dziale

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Pole wycinka koła i długość łuku okręgu

1Dwa słowa, które trzeba rozdzielić

2Jeden pomysł zamiast dwóch wzorów

3Zależność, która skraca rachunki: P=12lrP = \frac{1}{2}lrP=21​lr

4Obwód wycinka — nie sam łuk

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — długość łuku i wycinek koła

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktłatwe

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Zadanie 4 (maj 2014)1 pktłatwe

Zadanie 5 (sierpień 2025)1 pkttrudniejsze

Zadanie 6 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Zadanie 7 (informator CKE)1 pktłatwe

Odpowiedzi

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

3Zależność, która skraca rachunki: $P = \frac{1}{2}lr$