Strona główna › Procenty › Procent składany i kapitalizacja odsetek

Procent składany i kapitalizacja odsetek

Q: Jaki jest wzór na procent składany?

Kwota po n okresach to K_n = K_0 · (1+p)^n, gdzie K_0 jest kapitałem początkowym, a p oprocentowaniem zapisanym ułamkiem. Dla pięciu procent podstawia się 0,05, a nie 5.

Lokata na $10\,\%$ przez dwa lata daje nie $20\,\%$ , tylko $21\,\%$ . Ten dodatkowy procent to cały temat: w drugim roku odsetki naliczają się już od kwoty powiększonej o odsetki z roku pierwszego. Nazywa się to kapitalizacją, a rachunek sprowadza się do jednego wzoru z potęgą — bo mnożenie przez tę samą liczbę powtarza się tyle razy, ile jest okresów.

Dział: ProcentyPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 8

Przejdź od razu do zadań (8) ↓

1Skąd bierze się wzór

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział I. Liczby rzeczywiste, zakres podstawowy, punkt 8 brzmi dosłownie: „wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów”.

Procent składany stoi więc w podstawie razem z potęgowaniem — i nie jest to przypadek. Wzór jest potęgą, a nie osobną formułą do zapamiętania.

Zacznijmy od jednego roku. Kapitał $K_0$ przy oprocentowaniu $p$ rośnie o $p \cdot K_0$ , więc na koniec roku mamy:

K_1 = K_0 + p K_0 = K_0(1 + \textcolor{#16A06A}{p})

Kluczowa obserwacja: rok oszczędzania to mnożenie przez $(1+p)$ . Nie dodawanie — mnożenie.

Drugi rok wygląda tak samo, tylko punktem wyjścia jest już $K_1$ , a nie $K_0$ :

K_2 = K_1(1+\textcolor{#16A06A}{p}) = K_0(1+\textcolor{#16A06A}{p})(1+\textcolor{#16A06A}{p}) = K_0(1+\textcolor{#16A06A}{p})^2

Każdy kolejny rok dokłada jeden czynnik $(1+p)$ . Po $n$ latach czynników jest $n$ :

K_n = K_0 \cdot (1 + \textcolor{#16A06A}{p})^{\textcolor{#E0453A}{n}}

To jest cały wzór. Litera $p$ oznacza oprocentowanie zapisane ułamkiem, nie procentem: dla $5\,\%$ podstawiamy $0{,}05$ , a nie $5$ .

Dlaczego to nie może być $K_0(1 + np)$

Wzór z mnożeniem przez $n$ opisuje procent prosty — sytuację, w której odsetki wypłaca się co roku i nie pracują dalej.

Przy składanym odsetki zostają na koncie i same zaczynają zarabiać. Dlatego okresy się mnożą, a nie dodają.

Liczbowo: $20\,000$ zł na $5\,\%$ przez dwa lata daje przy procencie prostym $\textcolor{#9b1c14}{22\,000}$ zł, a przy składanym $\textcolor{#E0453A}{22\,050}$ zł. Różnica $50$ zł to odsetki od odsetek z pierwszego roku.

Sprawdźmy obietnicę z pierwszego zdania. Dla $p = 10\,\% = \textcolor{#16A06A}{0{,}1}$ i $n = \textcolor{#16A06A}{2}$ :

(1 + \textcolor{#16A06A}{0{,}1})^{\textcolor{#16A06A}{2}} = 1{,}1^2 = \textcolor{#E0453A}{1{,}21}

Mnożnik $\textcolor{#E0453A}{1{,}21}$ oznacza wzrost o $\textcolor{#E0453A}{21}\,\%$ , nie o $20\,\%$ . Ten jeden brakujący punkt procentowy to odsetki od odsetek.

2Kapitalizacja częstsza niż roczna

Kapitalizacja to moment, w którym bank dolicza odsetki do kapitału. Bywa roczna, ale też półroczna, kwartalna albo miesięczna — i wtedy wzór wymaga dwóch poprawek naraz.

oprocentowanie dzieli się przez liczbę okresów w roku: zamiast $p$ mamy $\frac{p}{m}$ ,
liczba okresów mnoży się przez tę samą liczbę: zamiast $n$ mamy $m \cdot n$ .

K = K_0 \left(1 + \frac{p}{\textcolor{#16A06A}{m}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{m} n}

Litera $m$ to liczba kapitalizacji w roku: $2$ dla półrocznej, $4$ dla kwartalnej, $12$ dla miesięcznej.

Obie poprawki są konieczne. Podzielenie oprocentowania bez zwiększenia wykładnika zaniżyłoby odsetki mniej więcej $m$ -krotnie (przy kapitalizacji kwartalnej — czterokrotnie), a zwiększenie wykładnika bez podzielenia — mocno je zawyżyło.

Czy częstsza kapitalizacja daje więcej? Tak, ale mniej, niż podpowiada intuicja. Porównajmy $4\,\%$ rocznie przez rok:

kapitalizacja	rachunek	mnożnik	efektywnie
roczna	$1{,}04^1$	$1{,}0400$	$4{,}00\,\%$
półroczna	$1{,}02^2$	$1{,}0404$	$4{,}04\,\%$
kwartalna	$1{,}01^4$	$1{,}0406$	$4{,}06\,\%$
miesięczna	$\left(1+\tfrac{0{,}04}{12}\right)^{12}$	$1{,}0407$	$4{,}07\,\%$

Różnica między roczną a miesięczną to niecałe osiem setnych punktu procentowego — dokładna wartość to $0{,}074154\ldots$ , czyli $\approx 0{,}0742$ . Zyski rosną, ale coraz wolniej i nigdy nie przekroczą pewnej granicy: przy kapitalizacji ciągłej mnożnik dąży do $e^{0{,}04} \approx 1{,}0408$ , czyli do $\approx 4{,}08\,\%$ efektywnie.

Oprocentowanie nominalne a efektywne

Nominalne to liczba z reklamy — tu $4\,\%$ . Efektywne to rzeczywisty roczny wzrost kapitału — przy kwartalnej kapitalizacji $4{,}06\,\%$ .

Dwie lokaty o tym samym oprocentowaniu nominalnym mogą więc dawać różny zysk. Porównywać da się je dopiero po przeliczeniu na oprocentowanie efektywne.

W zadaniach maturalnych podawane jest zwykle nominalne, a treść osobno mówi, jak często następuje kapitalizacja.

3Podatek od odsetek

Zadania często dopisują zdanie o podatku — najczęściej $19\,\%$ od zysku. To nie jest skomplikowanie wzoru, tylko dodatkowy krok na końcu.

Uczciwie o zakresie

Podstawa programowa dla liceum nie wymienia podatków osobnym punktem — punkt 8 mówi o procentach składanych, zyskach z lokat i kosztach kredytów.

Podatek pojawia się natomiast w treściach zadań maturalnych jako element realistycznej sytuacji. Rachunkowo nie wykracza poza zwykłe obliczenie procentu, więc warto go umieć, choć nie jest osobnym wymaganiem.

Podatek płaci się od odsetek, nie od całej kwoty. To najważniejsze rozróżnienie w tym fragmencie.

policz kwotę po kapitalizacji ze wzoru,
odejmij kapitał początkowy — zostają same odsetki,
od odsetek policz podatek,
odejmij podatek od kwoty końcowej.

Przykład. $1000$ zł na $4\,\%$ przez rok, podatek $19\,\%$ :

kwota brutto: $1000 \cdot 1{,}04 = \textcolor{#16A06A}{1040}$ zł,
odsetki: $\textcolor{#16A06A}{1040} - 1000 = \textcolor{#E0453A}{40}$ zł,
podatek: $0{,}19 \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = \textcolor{#2F80D8}{7{,}60}$ zł,
do wypłaty: $\textcolor{#16A06A}{1040} - \textcolor{#2F80D8}{7{,}60} = \textcolor{#8B5CF6}{1032{,}40}$ zł.

Można też szybciej: skoro z odsetek zostaje $81\,\%$ , to $1000 + 0{,}81 \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 1000 + 32{,}40 = \textcolor{#8B5CF6}{1032{,}40}$ zł ✓ — ten sam wynik jednym działaniem.

Uwaga na skrót, który nie działa: nie wolno pomnożyć całej kwoty $1040$ przez $0{,}81$ . Dałoby to $842{,}40$ zł, czyli mniej niż wpłacony kapitał — podatek zjadłby wtedy także wkład własny.

4Idąc w drugą stronę — pierwiastek

Zadania bywają odwrócone: znana jest kwota końcowa, a szukane oprocentowanie albo kapitał początkowy. Wtedy wzór trzeba przekształcić.

dane	szukane	przekształcenie
$K_0$ , $p$ , $n$	$K_n$	podstawić do wzoru
$K_n$ , $p$ , $n$	$K_0$	podzielić: $K_0 = \frac{K_n}{(1+p)^n}$
$K_0$ , $K_n$ , $n$	$p$	pierwiastek $n$ -tego stopnia z ilorazu
$K_0$ , $K_n$ , $p$	$n$	logarytm: $n = \frac{\log \frac{K_n}{K_0}}{\log(1+p)}$ — w zakresie podstawowym

Czwarty wiersz bywa opisywany jako „materiał rozszerzony” — i nie jest to prawda. Podstawa dla liceum wymienia logarytmy w zakresie podstawowym: dział I punkt 9 brzmi „stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi”. Właśnie „logarytm potęgi” wystarcza, żeby z $\left(1+p\right)^n = \frac{K_n}{K_0}$ zejść do $n \log(1+p) = \log \frac{K_n}{K_0}$ . Do zakresu rozszerzonego należy tylko „wzór na zamianę podstawy logarytmu”, czyli zapis $n = \log_{1+p} \frac{K_n}{K_0}$ .

Trzeci wiersz jest najczęstszy. Skoro $\frac{K_n}{K_0} = (1+p)^n$ , to żeby wydobyć $p$ , trzeba spierwiastkować — dokładnie tak, jak przy skali podobieństwa:

1 + p = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} \quad \Rightarrow \quad p = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1

Przykład. Kapitał wzrósł z $10\,000$ zł do $12\,100$ zł przez dwa lata. Iloraz to $\textcolor{#16A06A}{1{,}21}$ , a $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{1{,}21}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}1}$ , więc $p = \textcolor{#E0453A}{1{,}1} - 1 = 0{,}1$ , czyli $\textcolor{#2F80D8}{10}\,\%$ .

Uwaga na częsty błąd: wzrost o $21\,\%$ przez dwa lata to nie $10{,}5\,\%$ rocznie. Dzielenie procentu przez liczbę lat działałoby tylko przy procencie prostym.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: lokata dwuletnia, kapitalizacja kwartalna i szukanie kapitału początkowego.

Przykład 1 Lokata dwuletnia z podatkiem

Klient wpłacił $20\,000$ zł na lokatę dwuletnią oprocentowaną $5\,\%$ w skali roku, z roczną kapitalizacją. Jaką kwotę otrzyma po dwóch latach, jeśli od odsetek pobierany jest podatek $19\,\%$ ?

Mnożnik roczny: $1 + 0{,}05 = \textcolor{#16A06A}{1{,}05}$ .
Po dwóch latach: $K_2 = 20\,000 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}05}^2$ .
$\textcolor{#16A06A}{1{,}05}^2 = \textcolor{#E0453A}{1{,}1025}$
$K_2 = 20\,000 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}1025} = \textcolor{#2F80D8}{22\,050}$ zł — to kwota brutto.
Odsetki: $\textcolor{#2F80D8}{22\,050} - 20\,000 = \textcolor{#8B5CF6}{2050}$ zł.
Podatek: $0{,}19 \cdot \textcolor{#8B5CF6}{2050} = 389{,}50$ zł.
Do wypłaty: $\textcolor{#2F80D8}{22\,050} - 389{,}50 = 21\,660{,}50$ zł.
Kontrola przez $81\,\%$ odsetek: $20\,000 + 0{,}81 \cdot \textcolor{#8B5CF6}{2050} = 20\,000 + 1660{,}50 = 21\,660{,}50$ ✓
Kontrola sensu: procent prosty dałby $22\,000$ zł brutto, składany $\textcolor{#2F80D8}{22\,050}$ — więcej o $50$ zł ✓

Odpowiedź: Klient otrzyma $21\,660{,}50$ zł.

Dwa kroki, dwa różne procenty — najpierw $5\,\%$ dwukrotnie od kapitału, potem $19\,\%$ jednorazowo od samych odsetek. Pomylenie podstawy podatku to najczęstszy błąd w tym typie zadania.

Przykład 2 Kapitalizacja kwartalna

Pan Nowak kupił obligacje za $40\,000$ zł oprocentowane $8\,\%$ w skali roku. Odsetki są kapitalizowane co kwartał. Jaka będzie wartość obligacji po roku?

Kapitalizacja kwartalna oznacza $m = \textcolor{#16A06A}{4}$ okresy w roku.
Oprocentowanie na jeden kwartał: $\frac{0{,}08}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}02}$ , czyli $2\,\%$ .
Liczba okresów: $\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 1 = \textcolor{#16A06A}{4}$ .
$K = 40\,000 \cdot (1 + \textcolor{#E0453A}{0{,}02})^{\textcolor{#16A06A}{4}} = 40\,000 \cdot 1{,}02^4$
$1{,}02^4 = \textcolor{#2F80D8}{1{,}08243216}$
$K = 40\,000 \cdot \textcolor{#2F80D8}{1{,}08243216} = \textcolor{#8B5CF6}{43\,297{,}29}$ zł (po zaokrągleniu do groszy).
Kontrola kierunku: kapitalizacja roczna dałaby $40\,000 \cdot 1{,}08 = 43\,200$ zł — kwartalna daje więcej ✓
Kontrola rzędu: nadwyżka nad kapitalizacją roczną to $97{,}29$ zł, czyli $0{,}243\,\%$ kapitału — czyli oprocentowanie efektywne wynosi tu $8{,}243\,\%$ zamiast nominalnych $8\,\%$ ✓ (uwaga: tabela wyżej liczy nadwyżkę dla $4\,\%$ i wychodzi w niej $0{,}06$ punktu procentowego — przy dwukrotnie większym oprocentowaniu nadwyżka rośnie mniej więcej czterokrotnie, bo zależy od kwadratu oprocentowania)

Odpowiedź: Wartość obligacji po roku wyniesie około $43\,297{,}29$ zł.

Obie poprawki naraz: oprocentowanie dzielone przez cztery i wykładnik mnożony przez cztery. Wykonanie tylko jednej z nich to najczęstsza pomyłka przy kapitalizacji podokresowej.

Przykład 3 Szukanie kapitału początkowego

Pani Aniela po dwóch latach oszczędzania na lokacie o oprocentowaniu $10\,\%$ rocznie ma na koncie $60\,500$ zł. Jaką kwotę wpłaciła na początku?

Znane jest $K_2$ , a szukane $K_0$ — wzór trzeba odwrócić.
$K_2 = K_0 \cdot (1{,}1)^2$ , więc $K_0 = \frac{K_2}{(1{,}1)^2}$ .
$(1{,}1)^2 = \textcolor{#16A06A}{1{,}21}$
$K_0 = \frac{60\,500}{\textcolor{#16A06A}{1{,}21}} = \textcolor{#E0453A}{50\,000}$ zł.
Kontrola w przód, rok pierwszy: $\textcolor{#E0453A}{50\,000} \cdot 1{,}1 = \textcolor{#2F80D8}{55\,000}$ zł.
Rok drugi: $\textcolor{#2F80D8}{55\,000} \cdot 1{,}1 = 60\,500$ zł ✓ — zgadza się z treścią
Kontrola sensu: kapitał wzrósł o $10\,500$ zł, czyli o $21\,\%$ — tyle, ile daje dziesięć procent przez dwa lata ✓

Odpowiedź: Pani Aniela wpłaciła $50\,000$ zł.

Cofanie się w czasie to dzielenie przez mnożnik, nie odejmowanie procentu. Odjęcie $21\,\%$ od $60\,500$ zł dałoby $47\,795$ zł — wynik błędny, bo procent liczyłby się od złej podstawy.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze odpowiadają za większość utraconych punktów.

Mnożenie procentu przez liczbę lat

Skąd się bierze: Zapis $K_0(1 + np)$ opisuje procent prosty, w którym odsetki nie pracują dalej. Przy składanym okresy się mnożą, więc dwa lata po $10\,\%$ dają $21\,\%$ , a nie $20\,\%$ .

Jak zrobić dobrze: Pamiętaj, że rok oszczędzania to mnożenie przez $(1+p)$ . Powtórzenie mnożenia $n$ razy daje potęgę, i stąd wykładnik we wzorze.

Naliczenie podatku od całej kwoty

Skąd się bierze: Podatek dotyczy wyłącznie zysku. Pomnożenie kwoty końcowej przez $0{,}81$ obcina także wpłacony kapitał — przy $1000$ zł wkładu wyszłoby $842{,}40$ zł, czyli mniej, niż klient wpłacił.

Jak zrobić dobrze: Najpierw odejmij kapitał początkowy, żeby zostały same odsetki, i dopiero od nich licz podatek. Kontrola: wynik po opodatkowaniu nigdy nie może być mniejszy od wkładu.

Przy kapitalizacji kwartalnej tylko jedna poprawka

Skąd się bierze: Podzielenie oprocentowania przez cztery bez zwiększenia wykładnika zaniża odsetki mniej więcej czterokrotnie — w przykładzie z obligacjami wyszłoby $800$ zł zamiast $3297{,}29$ zł. Zwiększenie samego wykładnika zawyża je podobną krotnością: $1{,}08^4$ dałoby $14\,419{,}56$ zł odsetek.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj parę: $p$ na dół, $n$ w górę — obie przez tę samą liczbę $m$ . Sprawdź wynik: kapitalizacja częstsza musi dać trochę więcej niż roczna, ale nie dwa razy tyle.

Cofanie się przez odjęcie procentu

Skąd się bierze: Skoro wzrost jest mnożeniem, powrót jest dzieleniem. Odjęcie $21\,\%$ od kwoty końcowej liczy procent od złej podstawy i daje wynik zaniżony.

Jak zrobić dobrze: Podziel kwotę końcową przez $(1+p)^n$ , a potem sprawdź w przód: pomnożenie wyniku przez mnożnik musi odtworzyć dane z treści.

Zadania maturalne — procent składany i kapitalizacja odsetek

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Cała rzecz opiera się na jednym przestawieniu: wzrost o

p\%

to nie dodawanie, tylko mnożenie przez

1 + \tfrac{p}{100}

. Gdy wzrost powtarza się

n

razy, mnożnik podnosi się do potęgi

n

— i stąd bierze się cała różnica między procentem prostym a składanym. Dla dwóch okresów ta różnica ma zresztą prosty wzór: wynosi dokładnie

K_0 \cdot \left(\tfrac{p}{100}\right)^2

, czyli „procent od procentu”. Przy

3\%

20\,000

zł to

18

zł, przy

7\%

40\,000

zł —

196

zł. Im dłużej trwa lokata, tym bardziej ta poprawka rośnie.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (pokazowy 2023)1 pktłatwe

Klient wpłacił do banku

20\,000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

3\%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po

2

latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A. $20\,000 \cdot (1{,}12)^2$
B. $20\,000 \cdot 2 \cdot 1{,}03$
C. $20\,000 \cdot 1{,}06$
D. $20\,000 \cdot (1{,}03)^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najważniejsze słowa w tej treści to „od kwoty bieżącego kapitału”. Znaczą one, że w drugim roku procent liczy się od kwoty już powiększonej o odsetki z pierwszego roku — a nie od wpłaty.
Wzrost o $\textcolor{#16A06A}{3\%}$ to mnożenie przez $\textcolor{#E0453A}{1{,}03}$ . Po pierwszym roku na lokacie jest $\textcolor{#16A06A}{20\,000} \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}03}$ .
W drugim roku ta sama operacja powtarza się na nowej kwocie:
$\textcolor{#16A06A}{20\,000} \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}03} \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}03} = \textcolor{#16A06A}{20\,000} \cdot (\textcolor{#E0453A}{1{,}03})^2$
Odpowiedź: D.
Kontrola rachunkiem: $20\,000 \cdot 1{,}0609 = 21\,218$ zł. Odpowiedź C daje $20\,000 \cdot 1{,}06 = 21\,200$ zł — mniej o $18$ zł. Te $18$ zł to odsetki od odsetek: $3\%$ z $600$ zł, czyli z odsetek pierwszego roku.

💡 Wskazówka: Nie licz odsetek osobno i nie dodawaj ich do kapitału ręcznie. Zapamiętaj jedno: wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $1 + \tfrac{p}{100}$ , a $n$ takich wzrostów po sobie to mnożenie przez tę samą liczbę $n$ razy — czyli podniesienie jej do potęgi $n$ .

⚠ Odpowiedź C, czyli $20\,000 \cdot 1{,}06$ — to procent prosty: dwa razy po $3\%$ , ale wciąż liczone od wpłaty. Różnica wynosi dokładnie $20\,000 \cdot 0{,}03^2 = 18$ zł i to jest jedyny powód, dla którego C jest złe. Odpowiedź B mnoży przez $2$ zamiast podnosić do kwadratu — daje $41\,200$ zł, czyli ponad podwojenie wkładu w dwa lata przy $3\%$ . Odpowiedź A ma podstawę $1{,}12$ , czyli stopę $12\%$ — cztery razy większą niż podana; dałaby $25\,088$ zł, o jedną czwartą więcej niż wpłata.

Zadanie 2 (grudzień 2022)1 pktłatwe

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za

40\,000

zł oprocentowane

7\%

w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa

A. $40\,000 \cdot (1{,}07)^2$ zł
B. $40\,000 \cdot (1{,}7)^2$ zł
C. $40\,000 \cdot 1{,}14$ zł
D. $40\,000 \cdot 1{,}49$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Słowo „kapitalizowane” znaczy dokładnie to samo, co „doliczane do kapitału”: od następnego roku odsetki naliczają się także od nich samych. To jest procent składany, tylko nazwany po bankowemu.
$\textcolor{#16A06A}{7\%}$ w skali roku to mnożnik $\textcolor{#E0453A}{1{,}07}$ na każdy rok.
Dwa lata, więc mnożnik działa dwa razy:
$\textcolor{#16A06A}{40\,000} \cdot (\textcolor{#E0453A}{1{,}07})^2$
Odpowiedź: A.
Kontrola rachunkiem: $40\,000 \cdot 1{,}1449 = 45\,796$ zł.
Kontrola drugą drogą, rok po roku: odsetki za pierwszy rok to $7\%$ z $40\,000$ , czyli $2800$ zł; kapitał rośnie do $42\,800$ zł. Odsetki za drugi rok to $7\%$ z $42\,800$ , czyli $2996$ zł. Razem $2800 + 2996 = 5796$ zł, a $40\,000 + 5796 = 45\,796$ zł ✓.

💡 Wskazówka: „Kapitalizacja” to słowo-klucz. Jeśli w treści pada, że odsetki są kapitalizowane (albo doliczane do kapitału, albo naliczane od kwoty bieżącej), to jest procent składany i mnożnik idzie do potęgi. Jeśli treść mówi, że odsetki są wypłacane co roku, to procent prosty i mnoży się przez liczbę lat.

⚠ Odpowiedź C, $40\,000 \cdot 1{,}14$ — procent prosty, dwa razy po $7\%$ od kwoty zakupu. Daje $45\,600$ zł, o $196$ zł mniej. Te $196$ zł to $7\%$ z odsetek pierwszego roku, czyli dokładnie $40\,000 \cdot 0{,}07^2$ — ten sam wzór na różnicę, co w zadaniu 1. Odpowiedź B ma przecinek o jedno miejsce nie tam: $1{,}7$ zamiast $1{,}07$ odpowiada oprocentowaniu $70\%$ i daje $115\,600$ zł. Odpowiedź D, $1{,}49$ , to dokładnie $1 + 0{,}7^2$ — ten sam przesunięty przecinek, tylko do kwadratu podniesiona jest sama część po przecinku.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości

K_0

zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

6\%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A. $K_0 \cdot (1{,}06)^3$
B. $K_0 \cdot (1{,}02)^3$
C. $K_0 \cdot (1{,}03)^6$
D. $K_0 \cdot 1{,}18$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kwota wpłaty jest literą, ale to niczego nie zmienia — mnożnik działa na nią tak samo, jak na liczbę.
$\textcolor{#16A06A}{6\%}$ na rok to mnożnik $\textcolor{#E0453A}{1{,}06}$ ; lat jest $\textcolor{#16A06A}{3}$ , więc:
$\textcolor{#16A06A}{K_0} \cdot (\textcolor{#E0453A}{1{,}06})^3$
Odpowiedź: A.
Kontrola rachunkiem: $1{,}06^3 = 1{,}191016$ , czyli kapitał rośnie o niecałe $19{,}1\%$ — a nie o $18\%$ , jak sugeruje odpowiedź D.
Odpowiedź C zasługuje na osobne spojrzenie, bo wygląda na to samo: połowa stopy, ale dwa razy więcej okresów. Tyle że $(1{,}03)^6 = 1{,}194052\ldots$ , a $(1{,}06)^3 = 1{,}191016$ — to nie jest ta sama liczba. Kapitalizacja półroczna po $3\%$ daje więcej niż roczna po $6\%$ , bo odsetki zaczynają pracować wcześniej. Właśnie dlatego banki podają, jak często kapitalizują.

💡 Wskazówka: Nie sumuj procentów przez lata i nie rozdzielaj ich między lata. W procencie składanym stopa się nie zmienia — zmienia się tylko liczba mnożeń. Podstawa to $1 + \tfrac{p}{100}$ dla jednego okresu kapitalizacji, a wykładnik to liczba tych okresów.

⚠ Odpowiedź D, $1{,}18$ , to procent prosty: $3 \times 6\% = 18\%$ . Różnica wobec poprawnej wynosi $1{,}191016 - 1{,}18 = 0{,}011016$ , czyli przy wkładzie $10\,000$ zł — $110{,}16$ zł. Odpowiedź B bierze $2\%$ zamiast $6\%$ , tak jakby $6\%$ dotyczyło całych trzech lat i trzeba je było podzielić na lata; to zaniża wynik jeszcze mocniej, do $1{,}061208$ . Odpowiedź C jest najbardziej podchwytliwa, bo różni się od poprawnej dopiero na trzecim miejscu po przecinku — samo „na oko” jej nie odrzucisz, trzeba policzyć.

Zadanie 4 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Klient wpłacił do banku

30\,000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

7\%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

A. $2100$ zł
B. $2247$ zł
C. $4200$ zł
D. $4347$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Uwaga na pytanie. Nie chodzi o kwotę na lokacie, tylko o same odsetki. Rachunek jest ten sam, ale na końcu trzeba odjąć wkład.
Kwota po dwóch latach: $\textcolor{#16A06A}{30\,000} \cdot (\textcolor{#E0453A}{1{,}07})^2 = \textcolor{#16A06A}{30\,000} \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}1449} = \textcolor{#E0453A}{34\,347}$ zł.
Odsetki to nadwyżka nad wpłatą:
$\textcolor{#E0453A}{34\,347} - \textcolor{#16A06A}{30\,000} = \textcolor{#E0453A}{4347}$ zł
Odpowiedź: D.
Kontrola drugą drogą — rok po roku, bez potęgowania. Pierwszy rok: $7\%$ z $30\,000$ , czyli $2100$ zł; na lokacie jest $32\,100$ zł. Drugi rok: $7\%$ z $32\,100$ , czyli $2247$ zł. Razem $2100 + 2247 = 4347$ zł ✓ — zgadza się z rachunkiem przez potęgę.
Zwróć uwagę, że wszystkie cztery odpowiedzi to liczby, które w tym rachunku naprawdę występują: $2100$ to odsetki za pierwszy rok, $2247$ — za drugi, $4200$ to ich suma, gdyby odsetki się nie kapitalizowały, a $4347$ — suma prawdziwa. Zadanie sprawdza, czy wiesz, o którą z nich pytano.

💡 Wskazówka: Policz najpierw kwotę końcową, a dopiero potem odejmij wkład — to krótsze niż liczenie odsetek osobno za każdy rok. Ale ta druga droga jest świetną kontrolą, bo prowadzi do wyniku zupełnie inaczej: bez potęgowania, samym dodawaniem.

⚠ Najczęstszy błąd to podanie odsetek za jeden rok ( $2100$ zł) albo za drugi rok ( $2247$ zł) zamiast ich sumy — czyli zatrzymanie się w połowie. Drugi to procent prosty: $2 \times 2100 = 4200$ zł. Różnica wobec poprawnej odpowiedzi wynosi $147$ zł, czyli dokładnie $30\,000 \cdot 0{,}07^2$ — znowu ten sam wzór na „procent od procentu”.

Zadanie 5 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości

5\%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę

4851

zł (bez uwzględnienia podatków). Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

A. $4300$ zł
B. $4400$ zł
C. $4500$ zł
D. $4600$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tu znamy koniec, a szukamy początku. Wzór jest ten sam — niewiadoma stoi tylko w innym miejscu.
Oznaczmy wpłatę przez $x$ . Wzrost o $\textcolor{#16A06A}{5\%}$ dwa razy pod rząd daje:
$x \cdot (\textcolor{#E0453A}{1{,}05})^2 = \textcolor{#16A06A}{4851}$
$1{,}05^2 = \textcolor{#E0453A}{1{,}1025}$ , więc $x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4851}}{\textcolor{#E0453A}{1{,}1025}} = \textcolor{#E0453A}{4400}$ zł.
Odpowiedź: B.
Kontrola „do przodu”, czyli tak, jak działał bank: $4400 \cdot 1{,}05 = 4620$ zł po roku, $4620 \cdot 1{,}05 = 4851$ zł po dwóch ✓.
W zadaniu zamkniętym można też w ogóle nie dzielić: wystarczy pomnożyć każdą z czterech kwot przez $1{,}1025$ i zobaczyć, która daje $4851$ . Wychodzi kolejno $4740{,}75$ , $4851$ , $4961{,}25$ i $5071{,}50$ — pasuje tylko druga. Ta droga bywa szybsza i trudniej się na niej pomylić niż przy dzieleniu przez liczbę z czterema miejscami po przecinku.

💡 Wskazówka: Zapisz równanie w kierunku od wpłaty do wypłaty — $x \cdot (1{,}05)^2 = 4851$ — i dopiero potem je odwróć. Zapisywanie od razu „w tył”, czyli $x = 4851 \cdot 0{,}95^2$ , jest tu najczęstszym źródłem błędu, bo spadek o $5\%$ nie odwraca wzrostu o $5\%$ : dałoby $4378{,}03$ zł zamiast $4400$ .

⚠ To zadanie ma pułapkę innego rodzaju: zły sposób daje dobrą literę. Kto policzy procentem prostym, dostanie $\tfrac{4851}{1{,}10} = 4410$ zł — a najbliższą odpowiedzią wciąż jest B. Na tym arkuszu przejdzie, ale przy zadaniu otwartym już nie, i przy innych liczbach też nie. Drugi typowy błąd to mnożenie zamiast dzielenia: $4851 \cdot 1{,}1025 \approx 5348$ zł, co nie pasuje do żadnej odpowiedzi — i to samo w sobie jest sygnałem, że rachunek poszedł w złą stronę.

Zadanie 6 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę

60\,000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości

p\%

w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa

67\,925{,}76

zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków). Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

A. $6\%$
B. $6{,}4\%$
C. $6{,}5\%$
D. $7\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Teraz niewiadomą jest stopa, a nie kwota. Wzór wciąż ten sam; oznaczmy roczny mnożnik przez $q = 1 + \tfrac{p}{100}$ .
$\textcolor{#16A06A}{60\,000} \cdot q^2 = \textcolor{#16A06A}{67\,925{,}76}$
Dzielimy obie strony przez wpłatę — to od razu daje kwadrat mnożnika, bez rozbijania na odsetki:
$q^2 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{67\,925{,}76}}{\textcolor{#16A06A}{60\,000}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}132096}$
$q = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{1{,}132096}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}064}$ , a stąd $p = \textcolor{#E0453A}{6{,}4\%}$ .
Odpowiedź: B.
Kontrola bez pierwiastkowania — podnosimy do kwadratu wszystkie cztery podane mnożniki: $1{,}06^2 = 1{,}1236$ , $1{,}064^2 = 1{,}132096$ , $1{,}065^2 = 1{,}134225$ , $1{,}07^2 = 1{,}1449$ . Tylko drugi trafia w $1{,}132096$ , i to co do ostatniej cyfry.
Skąd biorą się pozostałe odpowiedzi: odsetki wyniosły $7925{,}76$ zł. Kto podzieli je po równo na dwa lata, dostanie $3962{,}88$ zł rocznie, czyli $6{,}6048\%$ — liczbę, której nie ma wśród odpowiedzi, więc kusi, żeby ją „zaokrąglić” do $6{,}5\%$ albo $7\%$ . To zawsze wyjdzie za dużo, bo część przyrostu pochodzi z odsetek od odsetek, a nie z samej stopy.

💡 Wskazówka: Podziel kwotę końcową przez początkową. Dostaniesz od razu $q^n$ — bez liczenia odsetek, bez odejmowania wkładu. Potem albo pierwiastkuj, albo (szybciej, gdy odpowiedzi są podane) podnieś do potęgi $n$ cztery gotowe mnożniki i porównaj.

⚠ Podzielenie przyrostu przez liczbę lat i uznanie wyniku za roczną stopę. Tak wyliczone $6{,}6\%$ jest zawsze za duże — dla dodatniego wzrostu procent składany daje stopę niższą niż średnia z przyrostu, bo część wzrostu wypracowały odsetki, a nie kapitał. Drugi błąd to porównywanie samych kwot „na oko”: $67\,925{,}76$ zł leży między wynikiem dla $6\%$ ( $67\,416$ zł) a dla $7\%$ ( $68\,694$ zł), ale bliżej środka, więc łatwo strzelić $6{,}5\%$ — a to daje $68\,053{,}50$ zł, czyli o ponad $127$ zł za dużo.

Zadanie 7 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi

3\%

w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po

10

latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do

1\%

)

A. $30\%$
B. $34\%$
C. $36\%$
D. $43\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kwota wpłaty nie jest podana — i nie musi być. Pytanie dotyczy wzrostu wyrażonego w procentach, a ten od wkładu nie zależy: każdy kapitał mnoży się przez tę samą liczbę.
Po $\textcolor{#16A06A}{10}$ latach kapitał mnoży się przez $(\textcolor{#E0453A}{1{,}03})^{10}$ .
Tę potęgę można policzyć w czterech mnożeniach zamiast dziewięciu, podnosząc do kwadratu to, co już mamy: $1{,}03^2 = \textcolor{#E0453A}{1{,}0609}$ , dalej $1{,}03^4 = 1{,}0609^2 = \textcolor{#E0453A}{1{,}12550881}$ , potem $1{,}03^5 = 1{,}03^4 \cdot 1{,}03 = \textcolor{#E0453A}{1{,}159274\ldots}$ , i wreszcie $1{,}03^{10} = \left(1{,}03^5\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{1{,}343916\ldots}$
Mnożnik $\textcolor{#E0453A}{1{,}3439\ldots}$ znaczy wzrost o $\textcolor{#E0453A}{34{,}39\ldots\%}$ , czyli po zaokrągleniu — o $\textcolor{#E0453A}{34\%}$ .
Odpowiedź: B.
Kontrola bez dokładnego rachunku: wystarczy pokazać, że wynik leży między $1{,}34$ a $1{,}35$ . To już wyklucza wszystkie trzy pozostałe odpowiedzi naraz — $30\%$ , $36\%$ i $43\%$ wymagałyby mnożnika poza tym przedziałem.

💡 Wskazówka: Skoro wkład nie jest podany, przyjmij $1$ zł albo $100$ zł — wynik w procentach wyjdzie ten sam. Interesuje cię wyłącznie mnożnik $(1{,}03)^{10}$ , a szukany procent odczytujesz z jego części po przecinku. Wysokie potęgi licz przez kolejne kwadraty: $x^{10} = \left(\left(x^2\right)^2 \cdot x\right)^2$ .

⚠ Odpowiedź A, $30\%$ — procent prosty, $10 \times 3\%$ . Różnica to ponad cztery punkty procentowe i z każdym rokiem rośnie coraz szybciej: po $20$ latach procent prosty dawałby $60\%$ , a składany daje $80{,}6\%$ . Drugi błąd to zaokrąglanie za wcześnie — kto po drodze zaokrągli $1{,}0609$ do $1{,}06$ , dostanie po dziesięciu latach $1{,}3382$ , czyli $34\%$ (jeszcze dobrze), ale przy dłuższym okresie takie zaokrąglenie zaczyna zmieniać odpowiedź.

Zadanie 8 (maj 2015)1 pktśrednie

Kwotę

1000

zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości

4\%

w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości

19\%

. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

A. $1000 \cdot \left(1 - \dfrac{81}{100} \cdot \dfrac{4}{100}\right)$
B. $1000 \cdot \left(1 + \dfrac{19}{100} \cdot \dfrac{4}{100}\right)$
C. $1000 \cdot \left(1 + \dfrac{81}{100} \cdot \dfrac{4}{100}\right)$
D. $1000 \cdot \left(1 - \dfrac{19}{100} \cdot \dfrac{4}{100}\right)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Lokata jest roczna, więc kapitalizacja jest tylko jedna — odsetek od odsetek tu nie ma. Nowy jest za to podatek, i to on decyduje o wyniku.
Odsetki przed podatkiem: $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ z $\textcolor{#16A06A}{1000}$ zł, czyli $\textcolor{#16A06A}{1000} \cdot \tfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{100} = \textcolor{#E0453A}{40}$ zł.
Podatek zabiera $\textcolor{#16A06A}{19\%}$ odsetek — nie kapitału. Z odsetek zostaje więc $100\% - \textcolor{#16A06A}{19\%} = \textcolor{#E0453A}{81\%}$ .
Do wypłaty: kapitał plus to, co zostało z odsetek:
$\textcolor{#16A06A}{1000} + \textcolor{#E0453A}{0{,}81} \cdot \textcolor{#E0453A}{40} = 1000 + \textcolor{#E0453A}{32{,}40} = \textcolor{#E0453A}{1032{,}40}$ zł
Ten sam rachunek zapisany jednym wyrażeniem — a o taki zapis pyta zadanie:
$\textcolor{#16A06A}{1000} \cdot \left(1 + \tfrac{\textcolor{#E0453A}{81}}{100} \cdot \tfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{100}\right)$
Odpowiedź: C.
Kontrola: $1000 \cdot (1 + 0{,}81 \cdot 0{,}04) = 1000 \cdot 1{,}0324 = 1032{,}40$ zł ✓ — dokładnie tyle, co rachunek krok po kroku.

💡 Wskazówka: Podatek liczy się od odsetek, a nie od kwoty na koncie. Dlatego $19\%$ i $4\%$ się mnożą, a nie odejmują: najpierw $4\%$ tworzy odsetki, potem $19\%$ zabiera część z nich. Zapisuj to, co zostaje ( $81\%$ ), a nie to, co znika ( $19\%$ ) — wtedy w nawiasie zawsze będzie plus.

⚠ Odpowiedzi A i D mają minus, czyli zakładają, że po roku wypłacisz mniej, niż wpłaciłeś. Lokata z dodatnim oprocentowaniem tak nie działa — sam znak wystarczy, żeby obie odrzucić bez liczenia (dałyby $967{,}60$ zł i $992{,}40$ zł). Odpowiedź B zostawia $19\%$ zamiast $81\%$ : daje $1007{,}60$ zł, czyli odsetki netto $7{,}60$ zł — a to jest dokładnie kwota podatku, nie to, co po nim zostaje. Zamiana tych dwóch liczb miejscami jest tu najczęstszym błędem.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. A	3. A	4. D	5. B	6. B
7. B	8. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na procent składany?

Kwota po $n$ okresach to $K_n = K_0 \cdot (1+p)^n$ , gdzie $K_0$ jest kapitałem początkowym, a $p$ oprocentowaniem zapisanym ułamkiem. Dla pięciu procent podstawia się $0{,}05$ , a nie $5$ .

Dlaczego dwa lata po 10 procent dają 21, a nie 20 procent?

Bo w drugim roku odsetki naliczają się już od kwoty powiększonej o odsetki z pierwszego roku. Mnożnik wynosi $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$ , a dodatkowy punkt procentowy to właśnie odsetki od odsetek.

Co zmienia kapitalizacja kwartalna?

Oprocentowanie dzieli się przez cztery, a liczba okresów mnoży przez cztery. Wzór przyjmuje postać $K_0\left(1+\frac{p}{4}\right)^{4n}$ , a wynik jest nieco wyższy niż przy kapitalizacji rocznej.

Od czego liczy się podatek od odsetek?

Wyłącznie od zysku, czyli od różnicy między kwotą końcową a wpłaconym kapitałem. Naliczenie go od całej kwoty obcięłoby także wkład własny i dało wynik mniejszy od wpłaty.

Jak obliczyć oprocentowanie, znając kwotę początkową i końcową?

Trzeba podzielić kwotę końcową przez początkową i wyciągnąć z ilorazu pierwiastek stopnia równego liczbie okresów, a następnie odjąć jeden. Dzielenie łącznego wzrostu przez liczbę lat daje wynik błędny.

Czym różni się oprocentowanie nominalne od efektywnego?

Nominalne to wartość podawana w ofercie, a efektywne to rzeczywisty roczny wzrost kapitału po uwzględnieniu częstotliwości kapitalizacji. Przy czterech procentach kapitalizowanych kwartalnie efektywne wynosi około $4{,}06$ procent.

Czytaj dalej

ProcentyPodstawy: obliczanie procentu i punkty procentowe Potęgowanie i pierwiastkowanieWzór jest potęgą, a odwracanie go pierwiastkiem Ciąg geometrycznyKolejne stany konta to ciąg o ilorazie $1+p$LogarytmyPotrzebne, gdy szukaną jest liczba lat

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.