Strona główna › Geometria › Twierdzenie Pitagorasa — wzór, dowód i zastosowania

Twierdzenie Pitagorasa — wzór, dowód i zastosowania

Q: Który bok to przeciwprostokątna?

Ten leżący naprzeciw kąta prostego, czyli jedyny, który go nie tworzy. Jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego i ta własność służy za najprostszą kontrolę wyniku — obliczona przeciwprostokątna krótsza od przyprostokątnej oznacza błąd.

Q: Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś do kwadratu dwa krótsze boki, dodaj i porównaj z kwadratem najdłuższego. Równość oznacza, że trójkąt jest prostokątny — to twierdzenie odwrotne. Uwaga: po prawej stronie musi stać kwadrat boku najdłuższego, inaczej sprawdzenie da fałszywy wynik.

Q: Co to są trójki pitagorejskie?

Zestawy trzech liczb całkowitych spełniających tę zależność, na przykład trzy, cztery, pięć albo pięć, dwanaście, trzynaście. Każdą można pomnożyć przez dowolną liczbę naturalną i nadal działa — mnożnik ułamkowy zepsułby całkowitość, a zero dałoby same zera. Rozpoznanie takiej trójki w zadaniu oszczędza całe pierwiastkowanie.

Q: Czy twierdzenie Pitagorasa działa w każdym trójkącie?

Nie, wyłącznie w prostokątnym — i to nie jest szczegół, tylko warunek jego prawdziwości. W trójkątach ostrokątnych suma kwadratów krótszych boków jest większa od kwadratu najdłuższego, w rozwartokątnych mniejsza. Właśnie na tym opiera się twierdzenie odwrotne.

Q: Do czego się to przydaje poza szkołą?

Do liczenia przekątnej ekranu ze znanych wymiarów, do wyznaczania wysokości, na jaką sięgnie drabina, i do sprawdzania kąta prostego bez przyrządów — sznurem z węzłami składanym w trójkąt o bokach trzy, cztery i pięć. Ta ostatnia metoda jest starsza niż sama szkoła.

Q: Jak brzmi wzór Pitagorasa?

Wzór Pitagorasa zapisuje się jako a do kwadratu plus b do kwadratu równa się c do kwadratu, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna. Obowiązuje wyłącznie w trójkącie prostokątnym i tylko wtedy, gdy c oznacza bok leżący naprzeciw kąta prostego.

Najbardziej rozpoznawalny wzór w całej szkolnej matematyce — i jednocześnie ten, który najczęściej stosuje się tam, gdzie nie wolno. Twierdzenie Pitagorasa działa wyłącznie w trójkącie prostokątnym. Ta strona tłumaczy, skąd się bierze, jak bezbłędnie rozpoznać przeciwprostokątną i po co to wszystko poza lekcją.

Dział: GeometriaPoziom: klasa 7 – maturaZadań z matury: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

a^2 + b^2 = c^2

Litery $a$ i $b$ oznaczają przyprostokątne — boki tworzące kąt prosty. Litera $c$ to przeciwprostokątna, czyli bok naprzeciw kąta prostego.

Warunek „w trójkącie prostokątnym” nie jest ozdobnikiem. To jedyny rodzaj trójkąta, w którym ta równość zachodzi — i pierwsza rzecz do sprawdzenia przed użyciem wzoru.

Sformułowanie mówi o kwadratach długości, a nie o samych długościach. Suma boków nie ma z twierdzeniem nic wspólnego.

2Który bok to przeciwprostokątna

Odpowiedź brzmi: ten naprzeciw kąta prostego. W praktyce działają dwa rozpoznania, obydwa niezawodne.

przeciwprostokątna nie dotyka kąta prostego — pozostałe dwa boki go tworzą,
przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

Druga własność wynika wprost ze wzoru: skoro jej kwadrat równa się sumie dwóch dodatnich kwadratów, musi być większy od każdego z nich osobno.

Stąd bierze się najprostsza kontrola wyniku, jaką znam: jeśli obliczona przeciwprostokątna wyszła krótsza od którejś przyprostokątnej, rachunek jest na pewno błędny.

Na rysunkach kąt prosty oznacza się łukiem z kropką. Nie należy zgadywać z wyglądu — trójkąt narysowany „prawie prostokątnie” prostokątny nie jest.

3Skąd się to bierze — dowód, który widać

Nazwa „kwadrat długości” nie jest przypadkowa. Twierdzenie ma dosłowną interpretację polami kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta.

Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, a na każdym jego boku kwadrat wystawiony na zewnątrz. Kwadrat na przeciwprostokątnej ma pole równe sumie pól dwóch pozostałych kwadratów.

Dla trójkąta o bokach $3$ , $4$ i $5$ daje to obraz nie do podważenia: kwadraty o polach $9$ i $16$ mieszczą się dokładnie w kwadracie o polu $25$ .

Ten obraz warto mieć w głowie, bo tłumaczy, dlaczego we wzorze występują kwadraty, a nie same długości. Twierdzenie jest zdaniem o polach, tylko zapisanym przez boki.

Znanych dowodów tego twierdzenia jest kilkaset. Ten wizualny należy do najstarszych znanych i wystarcza do zrozumienia, o co chodzi.

4Twierdzenie odwrotne — sprawdzanie, czy trójkąt jest prostokątny

Twierdzenie działa też w drugą stronę i to bywa pomijane. Jeśli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków równa się kwadratowi najdłuższego, to trójkąt jest prostokątny.

W szkole podstawowej to jedyny sposób, żeby rozstrzygnąć prostokątność z samych długości boków, bez mierzenia kąta. W liceum dochodzi twierdzenie cosinusów, które z trzech boków wylicza miarę kąta — daje więc więcej niż odpowiedź „tak” albo „nie”, ale w przypadku kąta prostego sprowadza się dokładnie do tej samej równości.

Kolejność ma znaczenie: do kwadratu po prawej stronie bierze się zawsze najdłuższy bok. Sprawdzanie z niewłaściwym bokiem daje fałszywy wynik negatywny.

Zastosowanie praktyczne jest starsze niż szkoła: budowniczowie wyznaczali kąt prosty sznurem z węzłami co jeden metr, składając trójkąt o bokach trzy, cztery i pięć.

5Trójki pitagorejskie

To zestawy trzech liczb całkowitych spełniających zależność z twierdzenia. Warto znać kilka na pamięć, bo pojawiają się w zadaniach nieustannie.

$3, 4, 5$ — najpopularniejsza,
$5, 12, 13$ ,
$8, 15, 17$ ,
$7, 24, 25$ .

Każdą z nich można pomnożyć przez dowolną liczbę naturalną i nadal będzie trójką pitagorejską. Z $3, 4, 5$ powstaje $6, 8, 10$ , potem $9, 12, 15$ i tak dalej. Zastrzeżenie o liczbie naturalnej jest potrzebne: mnożnik $\frac{1}{2}$ dałby $1{,}5$ , $2$ i $2{,}5$ — równość nadal zachodzi, ale liczby przestają być całkowite, a zero dałoby trzy zera, czyli żaden trójkąt.

Rozpoznanie wielokrotności oszczędza całe pierwiastkowanie. Widząc boki $6$ i $8$ , można od razu podać $10$ zamiast liczyć $\sqrt{36+64}$ .

Większość trójkątów prostokątnych nie ma boków całkowitych. Trójki są wygodnym wyjątkiem, nie regułą — dlatego typowy wynik zawiera pierwiastek.

6Jak to policzyć krok po kroku

Zadania dzielą się na dwa typy i różnią się jednym działaniem.

Szukamy przeciwprostokątnej — dodajemy kwadraty przyprostokątnych i pierwiastkujemy sumę.

Szukamy przyprostokątnej — od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat znanej przyprostokątnej, a potem pierwiastkujemy.

Odejmowanie w drugim przypadku jest źródłem większości błędów, bo odruch podpowiada dodawanie. Kontrola jest natychmiastowa: przyprostokątna musi wyjść krótsza niż przeciwprostokątna.

Przykłady poniżej pokazują oba typy oraz zastosowanie praktyczne.

7Gdzie się to przydaje poza lekcją

Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z niewielu szkolnych wzorów o codziennym zastosowaniu — i warto to pokazać, zanim uczeń zapyta „po co mi to”.

Przekątna ekranu. Telewizory i telefony opisuje się długością przekątnej, a nie wymiarami. Znając szerokość i wysokość, przekątną liczy się dokładnie tym wzorem.

Drabina oparta o ścianę. Wysokość, na jaką sięgnie drabina, to przyprostokątna: znamy jej długość i odległość podstawy od ściany.

Wyznaczanie kąta prostego. Murarze i geodeci używają twierdzenia odwrotnego — trójkąt o bokach trzy, cztery i pięć daje kąt prosty bez żadnego przyrządu.

Najkrótsza droga na skos. Przejście przez plac po przekątnej zamiast wzdłuż dwóch boków to oszczędność, którą da się policzyć co do metra.

8W której klasie się to pojawia

Twierdzenie wchodzi do programu w klasie siódmej i zostaje na dobre — jest jednym z nielicznych wzorów używanych nieprzerwanie aż do matury.

klasa 7 — sformułowanie, obliczanie trzeciego boku, trójki pitagorejskie,
klasa 8 — twierdzenie odwrotne, zastosowania w bryłach, przekątna prostokąta i kwadratu,
liceum — długość odcinka w układzie współrzędnych, trygonometria, geometria przestrzenna.

Warunkiem wstępnym jest sprawne pierwiastkowanie — bo wynik prawie zawsze wymaga wyciągnięcia pierwiastka, a często zostawienia go w postaci niewymiernej.

9Ćwicz dalej

Materiał ćwiczeniowy jest rozdzielony według poziomu:

Egzamin ósmoklasisty — 15 zadań z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami,
Matura — dział planimetrii, gdzie twierdzenie wraca w zadaniach o wielokątach i okręgach,
Karta pracy PDF — pięć zadań na wydruk z kluczem, ramka z odnośnikiem jest pod tekstem strony.

Zanim sięgniesz po zadania egzaminacyjne, sprawdź, czy potrafisz bez wahania wskazać przeciwprostokątną na rysunku obróconym o dowolny kąt. To umiejętność, na której wykłada się najwięcej osób.

10Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: szukanie przeciwprostokątnej, szukanie przyprostokątnej i zastosowanie praktyczne.

Przykład 1 Szukamy przeciwprostokątnej

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne o długościach $6$ cm i $8$ cm. Jaka jest długość przeciwprostokątnej?

Sprawdzam, czego szukam: przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest bokiem najdłuższym.
Podstawiam do wzoru: $c^2 = 6^2 + 8^2$ .
$c^2 = 36 + 64 = 100$ .
Pierwiastkuję: $c = \sqrt{100} = 10$ cm.
Kontrola: wynik jest większy od obu przyprostokątnych ✓
Można było policzyć szybciej: $6, 8, 10$ to podwojona trójka $3, 4, 5$ .

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma $10$ cm.

Przykład 2 Szukamy przyprostokątnej

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma $13$ cm, a jedna z przyprostokątnych $5$ cm. Ile wynosi druga przyprostokątna?

Szukam boku krótszego niż przeciwprostokątna, więc będę odejmował, nie dodawał.
Zapisuję wzór z podstawionymi danymi: $5^2 + b^2 = 13^2$ .
$25 + b^2 = 169$ , więc $b^2 = 169 - 25 = 144$ .
$b = \sqrt{144} = 12$ cm.
Kontrola: $12$ jest mniejsze od $13$ ✓ — przyprostokątna nie może być dłuższa od przeciwprostokątnej.
To znana trójka $5, 12, 13$ — warto ją zapamiętać.

Odpowiedź: Druga przyprostokątna ma $12$ cm.

Przykład 3 Przekątna ekranu telewizora

Ekran telewizora ma szerokość $120$ cm i wysokość $70$ cm. Jaka jest długość jego przekątnej?

Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, w których boki ekranu są przyprostokątnymi.
Podstawiam: $d^2 = 120^2 + 70^2 = 14\,400 + 4900 = 19\,300$ .
$d = \sqrt{19\,300}$ . Rozkładam liczbę pod pierwiastkiem: $19\,300 = 100 \cdot 193$ , więc $d = 10\sqrt{193}$ cm — i to jest postać dokładna. Dopiero na potrzeby porównania z katalogiem: $10\sqrt{193} \approx 139$ cm.
Kontrola: przekątna jest dłuższa od każdego z boków ✓
W praktyce producenci podają przekątną w calach — $139$ cm to około $55$ cali.
Wynik nie wyszedł liczbą całkowitą i to jest normalne. Trójki pitagorejskie są wyjątkiem, nie regułą.

Odpowiedź: Przekątna ekranu ma $10\sqrt{193}$ cm, czyli w przybliżeniu $139$ cm.

11Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które widuję przy tym twierdzeniu najczęściej. Pierwszy jest najgroźniejszy, bo daje wynik wyglądający poprawnie.

Stosowanie wzoru w trójkącie, który nie jest prostokątny

Skąd się bierze: Twierdzenie zachodzi wyłącznie w trójkącie prostokątnym, a rysunek bywa mylący — trójkąt narysowany „prawie prostokątnie” prostokątny nie jest. Wynik wychodzi wtedy liczbą sensowną, ale nieprawdziwą.

Jak zrobić dobrze: Przed użyciem wzoru znajdź na rysunku oznaczenie kąta prostego — łuk z kropką. Jeśli go nie ma, prostokątność musi wynikać z treści zadania albo z wcześniejszych obliczeń.

Przyjęcie za przeciwprostokątną boku, który nią nie jest

Skąd się bierze: Gdy rysunek jest obrócony, kąt prosty nie leży u dołu i trudniej się zorientować. Podstawienie boków w złych rolach daje wynik zaniżony albo zawyżony, a wzór pozornie zastosowano poprawnie.

Jak zrobić dobrze: Znajdź kąt prosty i weź bok, który go nie dotyka — to zawsze przeciwprostokątna. Kontrolą jest długość: przeciwprostokątna musi być bokiem najdłuższym.

Dodawanie zamiast odejmowania przy szukaniu przyprostokątnej

Skąd się bierze: Wzór zapamiętuje się jako dodawanie, więc odruch działa nawet wtedy, gdy szukany jest bok krótszy. Wynik wychodzi wtedy dłuższy od przeciwprostokątnej, co jest geometrycznie niemożliwe.

Jak zrobić dobrze: Ustal najpierw, którego boku szukasz. Jeśli krótszego, odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej. Sprawdź, czy wynik wyszedł mniejszy od przeciwprostokątnej.

Zapomnienie o pierwiastkowaniu na końcu

Skąd się bierze: Ze wzoru wychodzi kwadrat szukanego boku, a nie sam bok. Zapisanie tej liczby jako odpowiedzi daje wynik wielokrotnie za duży i jest to najczęstsza pomyłka wśród osób, które wzór znają dobrze.

Jak zrobić dobrze: Zapisz obliczoną wartość z symbolem kwadratu, a pierwiastkowanie potraktuj jako osobny, ostatni krok. Kontrola rzędu wielkości: bok trójkąta o przyprostokątnych sześć i osiem ma dziesięć, a nie sto.

Karta pracy: twierdzenie Pitagorasa

Pięć zadań na wydruk — szukanie przeciwprostokątnej i przyprostokątnej, trójki pitagorejskie i zastosowania praktyczne. Klucz odpowiedzi na ostatniej stronie.

Przejdź do kart pracy

Zadania maturalne — twierdzenie Pitagorasa

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Twierdzenie Pitagorasa brzmi

a^2 + b^2 = c^2

, gdzie

c

to przeciwprostokątna — bok leżący naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższy. W zadaniach maturalnych rzadko jest podane wprost, w którym trójkącie je stosować; najczęściej trzeba ten trójkąt samemu zobaczyć. Trzy miejsca, w których pojawia się najczęściej: przekątna prostokąta (dzieli go na dwa trójkąty prostokątne), wysokość w trójkącie równoramiennym (dzieli podstawę na połowy) oraz wysokość opuszczona na bok (tworzy dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej).

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2010)1 pktłatwe

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość

6

, a ramię ma długość

5

. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość

A. $3$
B. $4$
C. $\sqrt{34}$
D. $\sqrt{61}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa własność. W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części — i to jest cała myśl tego zadania.
$\text{połowa podstawy} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Powstały trójkąt prostokątny. Wysokość, połowa podstawy i ramię tworzą trójkąt prostokątny, w którym ramię jest przeciwprostokątną (leży naprzeciw kąta prostego):
$\textcolor{#E0453A}{3}^2 + h^2 = \textcolor{#16A06A}{5}^2$
$h^2 = \textcolor{#16A06A}{5}^2 - \textcolor{#E0453A}{3}^2 = \textcolor{#E0453A}{25} - \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#E0453A}{16} \qquad \Longrightarrow \qquad h = 4$
Odpowiedź: $h = 4$ , czyli B.
Sprawdzenie: to trójka pitagorejska $\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{4}, \textcolor{#E0453A}{5}$ ✓ Ramię $5$ jest najdłuższym bokiem powstałego trójkąta, jak być powinno.
Kontrola sensowności. Wysokość musi być krótsza od ramienia, bo ramię jest przeciwprostokątną. Wynik $4 < 5$ ✓ To od razu odrzuca odpowiedzi $\sqrt{34} \approx \textcolor{#E0453A}{5{,}83}$ i $\sqrt{61} \approx \textcolor{#E0453A}{7{,}81}$ — obie są dłuższe od ramienia.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz cokolwiek, podziel podstawę na pół — bez tego kroku nie ma trójkąta prostokątnego. Potem uważaj, który bok jest przeciwprostokątną: to ramię, bo wysokość i połowa podstawy stoją pod kątem prostym. Przeciwprostokątna zawsze idzie po prawej stronie równania Pitagorasa, więc od jej kwadratu odejmujemy.

⚠ Dodawanie zamiast odejmowania: $h^2 = 5^2 + 3^2 = 34$ , skąd $h = \sqrt{34}$ , czyli odpowiedź C. Ta pomyłka bierze się z odruchowego pisania „ $a^2+b^2$ ” bez sprawdzenia, co jest przeciwprostokątną — a tu jest nią dana długość $5$ , więc szukamy przyprostokątnej i musimy odejmować. Kontrola: wysokość nie może być dłuższa od ramienia. Drugi błąd: użycie całej podstawy zamiast połowy, czyli $h^2 = 25 - 36 < 0$ — wynik ujemny jest sygnałem, że pominięto podział na pół. Odpowiedź $3$ (A) to sama połowa podstawy, czyli wynik pośredni.

Zadanie 2 (listopad 2009)1 pktłatwe

W trójkącie równoramiennym

ABC

dane są

|AC| = |BC| = 7

oraz

|AB| = 12

. Wysokość opuszczona z wierzchołka

C

jest równa

A. $\sqrt{13}$
B. $\sqrt5$
C. $1$
D. $5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Który bok jest podstawą? Ramiona są równe, więc równe boki to $\textcolor{#16A06A}{|AC|} = \textcolor{#16A06A}{|BC|} = \textcolor{#16A06A}{7}$ , a podstawą jest $\textcolor{#16A06A}{|AB|} = \textcolor{#16A06A}{12}$ . Wysokość z wierzchołka $C$ pada właśnie na tę podstawę i dzieli ją na pół.
$\text{połowa podstawy} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{2} = \textcolor{#E0453A}{6}$
Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie o przyprostokątnych $h$ i $\textcolor{#E0453A}{6}$ oraz przeciwprostokątnej $\textcolor{#16A06A}{7}$ :
$h^2 = \textcolor{#16A06A}{7}^2 - \textcolor{#E0453A}{6}^2 = \textcolor{#E0453A}{49} - \textcolor{#E0453A}{36} = \textcolor{#E0453A}{13} \qquad \Longrightarrow \qquad h = \sqrt{13}$
Odpowiedź: $h = \sqrt{13}$ , czyli A.
Kontrola liczbowa: $\sqrt{13} \approx \textcolor{#E0453A}{3{,}606}$ , a sprawdzenie Pitagorasem: $3{,}606^2 + 6^2 \approx \textcolor{#E0453A}{13} + \textcolor{#E0453A}{36} = \textcolor{#E0453A}{49} = 7^2$ ✓
Wynik niewymierny jest tu normalny. Liczby $6$ , $7$ nie należą do żadnej trójki pitagorejskiej, więc pierwiastek nie da się usunąć — i tak wygląda odpowiedź w arkuszu.
Kontrola sensowności. Wysokość musi być krótsza od ramienia ( $3{,}6 < 7$ ✓) i wyraźnie krótsza, bo połowa podstawy $6$ jest prawie tak długa jak ramię $7$ . Trójkąt jest więc niski i szeroki — odpowiedź $5$ (D) byłaby za duża.

💡 Wskazówka: Najpierw rozstrzygnij, który bok jest podstawą. Podstawa to ten bok, który różni się od dwóch pozostałych — tu $AB = 12$ , bo $AC$ i $BC$ są równe. Nazwa wierzchołka w treści („wysokość z $C$ ”) potwierdza to samo: wysokość wychodzi z wierzchołka między ramionami. Jeśli pomylisz podstawę z ramieniem, cały rachunek pójdzie w złą stronę.

⚠ Podzielenie na pół ramienia zamiast podstawy, czyli policzenie $h^2 = 12^2 - 3{,}5^2$ ; wtedy wychodzi $\approx 11{,}5$ , liczby nie ma wśród odpowiedzi. Drugi błąd: dodawanie zamiast odejmowania, czyli $h^2 = 49 + 36 = 85$ i $h = \sqrt{85} \approx 9{,}2$ — wysokość dłuższa od ramienia jest geometrycznie niemożliwa. Trzeci: odpowiedź $5$ (D) wychodzi z przyjęcia trójki $5, 12, 13$ przez skojarzenie z liczbami $12$ i $13$ z zadania — ale $13$ jest tu wynikiem pod pierwiastkiem, a nie długością boku.

Zadanie 3 (maj 2021)1 pktśrednie

W trójkącie

ABC

bok

BC

ma długość

13

, a wysokość

CD

tego trójkąta dzieli bok

AB

na odcinki o długościach

|AD| = 3

|BD| = 12

(zobacz rysunek). Długość boku

AC

jest równa

A. $\sqrt{34}$
B. $\dfrac{13}{4}$
C. $2\sqrt{14}$
D. $3\sqrt{45}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wysokość $CD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty prostokątne: $ADC$ i $DBC$ . Mają one wspólną przyprostokątną — właśnie wysokość $CD$ . To ona jest kluczem: policzymy ją z jednego trójkąta i użyjemy w drugim.
Krok 1 — wysokość z trójkąta $DBC$ . Znamy w nim przyprostokątną $\textcolor{#16A06A}{|BD|} = \textcolor{#16A06A}{12}$ i przeciwprostokątną $\textcolor{#16A06A}{|BC|} = \textcolor{#16A06A}{13}$ :
$|CD|^2 = \textcolor{#16A06A}{13}^2 - \textcolor{#16A06A}{12}^2 = \textcolor{#E0453A}{169} - \textcolor{#E0453A}{144} = \textcolor{#E0453A}{25} \qquad \Longrightarrow \qquad |CD| = \textcolor{#E0453A}{5}$
(trójka pitagorejska $\textcolor{#E0453A}{5}, \textcolor{#16A06A}{12}, \textcolor{#16A06A}{13}$ )
Krok 2 — bok $AC$ z trójkąta $ADC$ . Teraz znamy oba przyprostokątne: $\textcolor{#16A06A}{|AD|} = \textcolor{#16A06A}{3}$ i policzone $\textcolor{#E0453A}{|CD|} = \textcolor{#E0453A}{5}$ . Szukany $AC$ jest przeciwprostokątną, więc tym razem dodajemy:
$|AC|^2 = \textcolor{#16A06A}{3}^2 + \textcolor{#E0453A}{5}^2 = \textcolor{#E0453A}{9} + \textcolor{#E0453A}{25} = \textcolor{#E0453A}{34} \qquad \Longrightarrow \qquad |AC| = \sqrt{34}$
Odpowiedź: $|AC| = \sqrt{34}$ , czyli A.
Kontrola liczbowa: $\sqrt{34} \approx \textcolor{#E0453A}{5{,}831}$ . Sprawdzenie: $3^2 + 5^2 = 34$ ✓ oraz $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ ✓
Zwróć uwagę na zmianę kierunku. W pierwszym kroku odejmowaliśmy (bo szukaliśmy przyprostokątnej, znając przeciwprostokątną), w drugim dodawaliśmy (bo szukaliśmy przeciwprostokątnej). To ta sama formuła użyta dwa razy w przeciwnych kierunkach i najczęstsze miejsce pomyłki w tym zadaniu.
Kontrola sensowności. Bok $AC$ musi być dłuższy od $|AD| = 3$ i od $|CD| = 5$ , ale krótszy od ich sumy — czyli między $5$ i $8$ . Wynik $5{,}83$ mieści się ✓ Odpowiedź $\tfrac{13}{4} = 3{,}25$ jest za mała, a $3\sqrt{45} \approx \textcolor{#E0453A}{20{,}1}$ absurdalnie duża.

💡 Wskazówka: Gdy wysokość dzieli trójkąt na dwie części, policz ją najpierw — jest wspólna dla obu trójkątów prostokątnych i stanowi pomost między nimi. Wybierz ten trójkąt, w którym znasz dwa boki (tu $DBC$ z bokami $12$ i $13$ ), a potem przejdź do drugiego. Za każdym razem sprawdzaj, czy szukany bok jest przeciwprostokątną (dodajesz) czy przyprostokątną (odejmujesz).

⚠ Zastosowanie Pitagorasa od razu do całego trójkąta $ABC$ , czyli policzenie $|AC|^2 = |AB|^2 - |BC|^2 = 15^2 - 13^2 = 56$ i wybór $2\sqrt{14}$ (odpowiedź C). Trójkąt $ABC$ nie jest prostokątny — kąt prosty jest tylko przy punkcie $D$ , gdzie wysokość spotyka podstawę. To najgroźniejsza pułapka tego zadania i dlatego $2\sqrt{14}$ siedzi wśród odpowiedzi. Drugi błąd: dodawanie w pierwszym kroku, czyli $|CD|^2 = 169 + 144$ ; wysokość nie może być dłuższa od boku $BC$ , którego jest częścią rachunku. Trzeci: pomylenie kierunku w drugim kroku i odjęcie, czyli $25 - 9 = 16$ i $|AC| = 4$ — a bok $AC$ musi być dłuższy od $|CD| = 5$ .

Zadanie 4 (sierpień 2010)1 pktśrednie

Przekątna

AC

prostokąta

ABCD

ma długość

11

, a bok

AB

jest od niej o

5

krótszy. Oblicz długość boku

AD

A. $\sqrt{157}$
B. $\sqrt{85}$
C. $5$
D. $\sqrt{83}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — odczytujemy drugi bok z opisu. „Bok $AB$ jest od niej o $5$ krótszy” znaczy: krótszy od przekątnej, czyli od $\textcolor{#16A06A}{11}$ :
$|AB| = \textcolor{#16A06A}{11} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{6}$
Krok 2 — przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie $ABC$ kąt prosty jest przy wierzchołku $B$ , boki $AB$ i $BC$ są przyprostokątnymi, a przekątna $AC$ przeciwprostokątną.
W prostokącie przeciwległe boki są równe, więc $|BC| = |AD|$ — a to jest właśnie szukana długość.
$|AD|^2 = \textcolor{#16A06A}{11}^2 - \textcolor{#E0453A}{6}^2 = \textcolor{#E0453A}{121} - \textcolor{#E0453A}{36} = \textcolor{#E0453A}{85} \qquad \Longrightarrow \qquad |AD| = \sqrt{85}$
Odpowiedź: $|AD| = \sqrt{85}$ , czyli B.
Kontrola liczbowa: $\sqrt{85} \approx \textcolor{#E0453A}{9{,}220}$ . Sprawdzenie: $6^2 + 9{,}22^2 \approx \textcolor{#E0453A}{36} + \textcolor{#E0453A}{85} = \textcolor{#E0453A}{121} = 11^2$ ✓
Kontrola sensowności. Każdy bok prostokąta jest krótszy od przekątnej, więc $|AD| < 11$ . Wynik $9{,}22$ ✓ To odrzuca odpowiedź $\sqrt{157} \approx \textcolor{#E0453A}{12{,}53}$ , która jest dłuższa od przekątnej — geometrycznie niemożliwa.
Skąd $\sqrt{157}$ . To $\textcolor{#E0453A}{121} + \textcolor{#E0453A}{36}$ , czyli dodawanie zamiast odejmowania. Odpowiedź $\sqrt{83}$ (D) leży bardzo blisko poprawnej ( $\approx \textcolor{#E0453A}{9{,}11}$ wobec $\textcolor{#E0453A}{9{,}22}$ ) i właśnie dlatego jest groźna — nie odrzuci jej żadne oszacowanie, tylko rachunek. Kontrola Pitagorasem: $6^2 + 83 = \textcolor{#E0453A}{119}$ , a musi wyjść $\textcolor{#E0453A}{121}$ ✗

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, od czego bok jest krótszy: treść mówi „od niej”, czyli od przekątnej, a nie od drugiego boku. Przeczytaj to zdanie dwa razy — od tego zależy cały rachunek. Potem pamiętaj, że w prostokącie $|BC| = |AD|$ , więc licząc jedną z tych długości, dostajesz drugą.

⚠ Dodawanie zamiast odejmowania i wybór $\sqrt{157}$ (odpowiedź A) — przekątna jest przeciwprostokątną, więc od jej kwadratu odejmujemy. Kontrola: bok prostokąta nie może być dłuższy od przekątnej, a $\sqrt{157} > 11$ . Drugi błąd: odczytanie „o $5$ krótszy” jako „ $5$ razy krótszy”, czyli $|AB| = \tfrac{11}{5} = 2{,}2$ ; wtedy $|AD| = \sqrt{121 - 4{,}84} \approx 10{,}8$ , liczby nie ma wśród odpowiedzi. Trzeci: podanie $5$ (odpowiedź C), czyli liczby przepisanej z treści.

Zadanie 5 (listopad 2010)1 pktśrednie

Ogród ma kształt prostokąta o bokach długości

20

m i

40

m. Na dwóch końcach przekątnej tego prostokąta wbito słupki. Odległość między słupkami jest

A. równa $40$ m
B. większa niż $50$ m
C. większa niż $40$ m i mniejsza niż $45$ m
D. większa niż $45$ m i mniejsza niż $50$ m

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — rozpoznajemy, czego szuka zadanie. Słupki stoją na końcach przekątnej, więc odległość między nimi jest długością przekątnej prostokąta.
Krok 2 — przekątna z twierdzenia Pitagorasa:
$d^2 = \textcolor{#16A06A}{20}^2 + \textcolor{#16A06A}{40}^2 = \textcolor{#E0453A}{400} + \textcolor{#E0453A}{1600} = \textcolor{#E0453A}{2000}$
$d = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{2000}}$
Krok 3 — odpowiedzi są przedziałami, więc wystarczy oszacować. Nie trzeba liczyć pierwiastka dokładnie; wystarczy porównać $\textcolor{#E0453A}{2000}$ z kwadratami liczb z odpowiedzi:
$40^2 = \textcolor{#E0453A}{1600}, \qquad 45^2 = \textcolor{#E0453A}{2025}, \qquad 50^2 = \textcolor{#E0453A}{2500}$
Skoro $\textcolor{#E0453A}{1600} < \textcolor{#E0453A}{2000} < \textcolor{#E0453A}{2025}$ , to $40 < d < 45$ .
Odpowiedź: przekątna jest większa niż $40$ m i mniejsza niż $45$ m, czyli C.
Kontrola: $\sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = \textcolor{#E0453A}{20\sqrt5} \approx 20 \cdot 2{,}236 \approx \textcolor{#E0453A}{44{,}72}$ m ✓ — mieści się między $40$ i $45$ .
Dlaczego porównywanie kwadratów jest tu lepsze od liczenia pierwiastka. Wynik $44{,}72$ leży blisko granicy $45$ — różnica to niecałe $0{,}3$ metra. Przy szacowaniu „na oko” łatwo pomylić się o tę granicę, a porównanie $2000$ z $2025$ jest rozstrzygające i nie wymaga kalkulatora.
Kontrola sensowności bez rachunku. Przekątna jest zawsze dłuższa od każdego boku (więc więcej niż $40$ m — to odrzuca A) i krótsza od sumy boków (więc mniej niż $60$ m). Zostają C i D, a rozstrzyga porównanie z $45$ .

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedziami są przedziały, nie licz pierwiastka — porównaj liczbę pod pierwiastkiem z kwadratami granic. Tu wystarczy wiedzieć, że $45^2 = 2025$ , żeby rozstrzygnąć całe zadanie. To szybsze i pewniejsze niż przybliżanie $\sqrt{2000}$ , zwłaszcza że wynik wypada blisko granicy przedziału.

⚠ Wybór $40$ m (odpowiedź A) przez uznanie, że odległość między słupkami to długość dłuższego boku — słupki stoją na końcach przekątnej, a nie boku. Drugi błąd: dodanie boków, czyli $20 + 40 = 60$ , i wybór B jako „większa niż $50$ ”; przekątna jest krótsza od sumy boków, bo w trójkącie żaden bok nie przekracza sumy dwóch pozostałych. Trzeci błąd: oszacowanie $\sqrt{2000}$ „na oko” jako mniej więcej $45$ – $46$ i wybór D — dlatego lepiej porównać $2000$ z $2025$ niż zgadywać pierwiastek.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B

2. A

3. A

4. B

5. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

12Pytania i odpowiedzi

Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Kluczowe są dwa słowa: „prostokątnym”, bo w innych trójkątach to nie zachodzi, oraz „kwadratów”, bo twierdzenie mówi o polach, nie o samych długościach.

Który bok to przeciwprostokątna?

Ten leżący naprzeciw kąta prostego, czyli jedyny, który go nie tworzy. Jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego i ta własność służy za najprostszą kontrolę wyniku — obliczona przeciwprostokątna krótsza od przyprostokątnej oznacza błąd.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś do kwadratu dwa krótsze boki, dodaj i porównaj z kwadratem najdłuższego. Równość oznacza, że trójkąt jest prostokątny — to twierdzenie odwrotne. Uwaga: po prawej stronie musi stać kwadrat boku najdłuższego, inaczej sprawdzenie da fałszywy wynik.

Co to są trójki pitagorejskie?

Zestawy trzech liczb całkowitych spełniających tę zależność, na przykład trzy, cztery, pięć albo pięć, dwanaście, trzynaście. Każdą można pomnożyć przez dowolną liczbę naturalną i nadal działa — mnożnik ułamkowy zepsułby całkowitość, a zero dałoby same zera. Rozpoznanie takiej trójki w zadaniu oszczędza całe pierwiastkowanie.

Czy twierdzenie Pitagorasa działa w każdym trójkącie?

Nie, wyłącznie w prostokątnym — i to nie jest szczegół, tylko warunek jego prawdziwości. W trójkątach ostrokątnych suma kwadratów krótszych boków jest większa od kwadratu najdłuższego, w rozwartokątnych mniejsza. Właśnie na tym opiera się twierdzenie odwrotne.

Do czego się to przydaje poza szkołą?

Do liczenia przekątnej ekranu ze znanych wymiarów, do wyznaczania wysokości, na jaką sięgnie drabina, i do sprawdzania kąta prostego bez przyrządów — sznurem z węzłami składanym w trójkąt o bokach trzy, cztery i pięć. Ta ostatnia metoda jest starsza niż sama szkoła.

Jak brzmi wzór Pitagorasa?

Wzór Pitagorasa zapisuje się jako a do kwadratu plus b do kwadratu równa się c do kwadratu, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna. Obowiązuje wyłącznie w trójkącie prostokątnym i tylko wtedy, gdy c oznacza bok leżący naprzeciw kąta prostego.

Czytaj dalej

Twierdzenie Pitagorasa — zadania z egzaminu ósmoklasisty15 zadań z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku Pierwiastkowanie — teoriaBez tego nie da się dokończyć żadnego zadania z Pitagorasa Pola figur — teoriaKwadraty na bokach trójkąta, czyli dowód, który widać Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.