Strona główna › Równania i nierówności › Zadania tekstowe z układami równań

Zadania tekstowe z układami równań

Rozwiązanie układu równań to część łatwiejsza — trudność zadania tekstowego leży w ułożeniu go z treści. Trzeba nazwać dwie niewiadome, wyłowić ze zdań dwie niezależne informacje i zapisać je równaniami. Ta strona jest o tym pierwszym kroku; metody rozwiązywania mają własne miejsce.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Cztery kroki

Nazwij niewiadome. Dwie wielkości, o które pyta zadanie — i zapisz, co dokładnie oznaczają, razem z jednostką.
Przetłumacz zdania na równania. Każde zdanie z liczbą to kandydat na równanie. Potrzebne są dwa niezależne.
Rozwiąż układ dowolną metodą: podstawiania, przeciwnych współczynników albo wyznaczników.
Sprawdź w treści, nie w równaniach. Czy wynik jest dodatni? Całkowity, jeśli chodzi o osoby albo cyfry? Czy pasuje do zdania, którego nie użyłeś?

Krok czwarty jest tym, który odróżnia rozwiązanie poprawne od tylko rachunkowo zgodnego. Podstawienie do własnych równań sprawdza rachunek, a nie model — jeśli równania były źle ułożone, wynik i tak je spełni.

Sygnały, że model jest zły

Układ sprzeczny — najczęściej znaczy, że dwa razy zapisałeś tę samą zależność w sprzecznych wersjach. Sprawdziłem to: dwa warunki „ojciec trzy razy starszy” podane dla różnych chwil dają układ bez rozwiązań.

Układ nieoznaczony — to samo zdanie zapisane dwa razy innymi liczbami. Z jednej informacji nie da się zrobić dwóch równań.

Wynik ułamkowy tam, gdzie musi być całkowity — przy cyfrach albo liczbie osób oznacza, że takie zadanie nie ma rozwiązania. Przykład zmierzony: przy różnicy cyfr $3$ zamiast $2$ wychodzą „cyfry” $4{,}5$ i $7{,}5$ , a przegląd wszystkich $90$ liczb dwucyfrowych potwierdza, że żadna nie pasuje.

2Słownik: zdanie po zdaniu

Większość treści składa się z kilkunastu powtarzalnych zwrotów. Warto je tłumaczyć mechanicznie:

zdanie	równanie
$x$ jest o $5$ większe od $y$	$x = y + 5$
$x$ jest $3$ razy większe od $y$	$x = 3y$
razem mają $40$	$x + y = 40$
różnią się o $6$	$x - y = 6$ (przy założeniu $x > y$ )
stosunek $x$ do $y$ wynosi $2:3$	$3x = 2y$
za $12$ lat	$x + 12$ oraz $y + 12$ — obie wielkości rosną
liczba dwucyfrowa o cyfrach $d$ i $j$	$10d + j$
po zamianie cyfr	$10j + d$

Dwa ostatnie wiersze są kluczowe w całej rodzinie zadań o cyfrach: liczba to nie suma cyfr, tylko $10d + j$ . Zapis $d + j$ opisuje sumę cyfr i bywa drugim warunkiem, ale nigdy samą liczbą.

Podobnie przy wieku — jeśli od zdarzenia mija $12$ lat, to obaj bohaterowie są starsi o $12$ . Zapisanie tego tylko po jednej stronie to najczęstszy błąd modelowania w tej rodzinie.

3Pięć rodzin zadań

Prawie każde zadanie maturalne z tego działu należy do jednej z nich:

rodzina	niewiadome	typowe równania
wiek	wiek dwóch osób teraz	stosunek teraz + stosunek za $n$ lat
cyfry liczby	cyfra dziesiątek i jedności	suma cyfr + warunek po zamianie
zakupy	ceny dwóch towarów	dwa różne koszyki
ruch	prędkości albo czasy	łączna droga + różnica prędkości
mieszaniny	masy dwóch składników	masa łączna + ilość substancji

W rodzinie mieszanin drugie równanie zawsze dotyczy ilości substancji, a nie procentów: $0{,}1x + 0{,}4y$ to kilogramy soli, a nie stężenie. Stężenie wychodzi dopiero po podzieleniu przez masę całkowitą.

Kontrola sensu specyficzna dla rodziny

Mieszaniny: stężenie wyniku musi leżeć między stężeniami składników. Gdyby zadanie żądało $50\%$ z roztworów $10\%$ i $40\%$ , rozwiązania nie ma i widać to bez rachunku.

Ruch: prędkość pieszego rzędu $3$ km/h jest realna, a $30$ km/h nie — to sygnał, że któreś równanie jest źle ułożone.

Zakupy: ceny muszą być dodatnie. Ujemna cena oznacza sprzeczne dane albo pomyloną kolejność koszyków.

4Co mówi podstawa programowa

Dział o układach równań ma w zakresie podstawowym tylko dwa punkty, a drugi z nich dotyczy wprost tej strony.

Podstawa, dział IV (Układy równań), zakres podstawowy, punkt 2

Wymaganie brzmi: „stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych”.

Punkt 1 tego działu dotyczy samego rozwiązywania układów i interpretacji geometrycznej układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.

Podział jest więc czytelny: punkt 1 to technika, punkt 2 to modelowanie. Zadanie tekstowe sprawdza jedno i drugie, ale punktowane jest głównie za to drugie.

W arkuszu maturalnym takie zadanie występuje zwykle w części otwartej i jest warte $2$ – $4$ punkty. Schemat oceniania niemal zawsze przewiduje osobny punkt za poprawne ułożenie układu — nawet jeśli dalszy rachunek zawiedzie.

Praktyczny wniosek: zapisz układ wyraźnie i z opisem niewiadomych, zanim zaczniesz liczyć. To najtańszy punkt w całym zadaniu.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania z różnych rodzin: cyfry liczby, wiek, mieszanina procentowa i ruch.

Przykład 1 Cyfry liczby dwucyfrowej

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi $\textcolor{#16A06A}{12}$ . Po zamianie cyfr miejscami otrzymamy liczbę o $\textcolor{#16A06A}{18}$ większą. Znajdź tę liczbę.

Niewiadome: $d$ — cyfra dziesiątek, $j$ — cyfra jedności. Sama liczba to $10d + j$ .
Pierwsze równanie (suma cyfr): $d + j = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Drugie równanie (po zamianie): $(10j + d) - (10d + j) = \textcolor{#16A06A}{18}$ , czyli $9j - 9d = 18$ , a po podzieleniu $j - d = 2$ .
Dodaję równania stronami: $2j = 14$ , więc $j = \textcolor{#E0453A}{7}$ , a stąd $d = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Szukana liczba to $10 \cdot 5 + 7 = \textcolor{#E0453A}{57}$ .
Kontrola w treści: $5 + 7 = 12$ ✓ oraz $75 - 57 = 18$ ✓
Kontrola zakresu: obie cyfry mieszczą się w przedziale od $0$ do $9$ , a cyfra dziesiątek jest niezerowa ✓
Kontrola przeglądem: sprawdziłem wszystkie $90$ liczb dwucyfrowych i tylko $57$ spełnia oba warunki ✓
Kontrola niezbędności drugiego warunku: sam warunek „suma cyfr $= 12$ ” spełnia siedem liczb: $39$ , $48$ , $57$ , $66$ , $75$ , $84$ , $93$ ✓

Odpowiedź: Szukana liczba to $57$ .

Cała trudność siedzi w zapisie liczby jako $10d + j$ . Kto zapisze ją jako $d + j$ , dostanie układ sprzeczny albo bezsensowny wynik — i to jest wtedy sygnał, a nie porażka.

Przykład 2 Zadanie o wieku

Ojciec jest $\textcolor{#16A06A}{3}$ razy starszy od syna. Za $\textcolor{#16A06A}{12}$ lat będzie od niego $\textcolor{#16A06A}{2}$ razy starszy. Ile lat mają teraz?

Niewiadome: $o$ — wiek ojca dziś, $s$ — wiek syna dziś.
Pierwsze równanie: $o = \textcolor{#16A06A}{3}s$ .
Drugie równanie: za $12$ lat obaj są starsi o $12$ , więc $o + 12 = \textcolor{#16A06A}{2}(s + 12)$ .
Podstawiam pierwsze do drugiego: $3s + 12 = 2s + 24$ .
$s = \textcolor{#E0453A}{12}$ , a stąd $o = 3 \cdot 12 = \textcolor{#E0453A}{36}$ .
Kontrola w treści: dziś $36 = 3 \cdot 12$ ✓, a za dwanaście lat $48 = 2 \cdot 24$ ✓
Kontrola sensu: oba wieki dodatnie i całkowite, ojciec starszy od syna o $24$ lata ✓
Kontrola przeglądem: wśród $14\,400$ par wieków do $120$ lat tylko ta jedna spełnia oba warunki ✓

Odpowiedź: Ojciec ma $36$ lat, syn $12$ lat.

Najczęstszy błąd to dodanie $12$ tylko ojcu. Zapisz sobie na brudno „za 12 lat: $o+12$ i $s+12$ ” — to jedno przypomnienie ratuje całe zadanie.

Przykład 3 Mieszanina procentowa

Zmieszano roztwór $\textcolor{#16A06A}{10}\%$ z roztworem $\textcolor{#16A06A}{40}\%$ i otrzymano $\textcolor{#16A06A}{6}$ kg roztworu $\textcolor{#16A06A}{20}\%$ . Ile było każdego?

Niewiadome: $x$ — masa roztworu $10\%$ , $y$ — masa roztworu $40\%$ (w kilogramach).
Pierwsze równanie (masy): $x + y = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Drugie równanie (ilość substancji): $0{,}1x + 0{,}4y = 0{,}2 \cdot 6 = 1{,}2$ .
Z pierwszego $x = 6 - y$ ; podstawiam: $0{,}1(6-y) + 0{,}4y = 1{,}2$ .
$0{,}6 + 0{,}3y = 1{,}2$ , więc $0{,}3y = 0{,}6$ i $y = \textcolor{#E0453A}{2}$ , a stąd $x = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Kontrola w treści: $4 + 2 = 6$ kg ✓ oraz $0{,}4 + 0{,}8 = 1{,}2$ kg substancji ✓
Kontrola stężenia: $\frac{1{,}2}{6} = 0{,}2$ , czyli $20\%$ ✓
Kontrola sensu: stężenie wyniku leży między $10\%$ a $40\%$ — inaczej zadanie nie miałoby rozwiązania ✓

Odpowiedź: $4$ kg roztworu $10\%$ i $2$ kg roztworu $40\%$ .

Drugie równanie dotyczy kilogramów substancji, nie procentów. Dodawanie procentów wprost to najczęstszy błąd w tej rodzinie i prowadzi do liczb, które nic nie znaczą.

Przykład 4 Zadanie o ruchu

Z dwóch miejscowości odległych o $\textcolor{#16A06A}{30}$ km wyruszają naprzeciw siebie rowerzysta i pieszy. Spotykają się po $\textcolor{#16A06A}{2}$ godzinach, a rowerzysta jedzie o $\textcolor{#16A06A}{9}$ km/h szybciej. Jakie mają prędkości?

Niewiadome: $v_1$ — prędkość rowerzysty, $v_2$ — prędkość pieszego (w km/h).
Pierwsze równanie: w ciągu $2$ godzin pokonują razem całą trasę: $2(v_1 + v_2) = \textcolor{#16A06A}{30}$ , czyli $v_1 + v_2 = 15$ .
Drugie równanie: $v_1 - v_2 = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Dodaję stronami: $2v_1 = 24$ , więc $v_1 = \textcolor{#E0453A}{12}$ , a stąd $v_2 = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Kontrola w treści: razem $12 + 3 = 15$ km na godzinę, więc w dwie godziny $30$ km ✓
Kontrola różnicy: $12 - 3 = 9$ km/h ✓
Kontrola sensu: $3$ km/h to typowa prędkość marszu, a $12$ km/h spokojnej jazdy rowerem ✓
Kontrola dodatniości: obie prędkości dodatnie, rowerzysta szybszy — zgodnie z treścią ✓

Odpowiedź: Rowerzysta jedzie $12$ km/h, pieszy idzie $3$ km/h.

Kontrola realności prędkości nic nie kosztuje, a wyłapuje pomyłkę w pierwszym równaniu — na przykład zapomnienie o pomnożeniu przez czas.

6Najczęstsze błędy

Trzy pierwsze błędy dotyczą układania równań, dwa kolejne — sprawdzania wyniku.

Zapisanie liczby dwucyfrowej jako sumy cyfr.

Skąd się bierze: W treści mowa o cyfrach, więc kusi, żeby liczbą był ich zapis obok siebie.

Jak zrobić dobrze: Liczba o cyfrach $d$ i $j$ to $10d + j$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{d + j}$ . Suma cyfr jest osobnym warunkiem.

Zwiększenie tylko jednej wielkości o upływ czasu.

Skąd się bierze: Zdanie „za 12 lat ojciec będzie…” wymienia z nazwy jedną osobę.

Jak zrobić dobrze: Za $12$ lat obaj są starsi: $o+12$ oraz $s+12$ . Pominięcie drugiego składnika daje inny wiek i wynik niezgodny z treścią.

Zapisanie tej samej informacji dwa razy.

Skąd się bierze: Dwa zdania z liczbami wyglądają jak dwa warunki.

Jak zrobić dobrze: Trzeba dwóch niezależnych informacji. Powtórzenie daje układ nieoznaczony — nieskończenie wiele rozwiązań zamiast jednego.

Sprawdzanie wyniku tylko w swoich równaniach.

Skąd się bierze: Podstawienie wychodzi zgodnie, więc wydaje się, że wszystko gra.

Jak zrobić dobrze: To sprawdza rachunek, nie model. Wróć do treści: czy wiek jest całkowity, cena dodatnia, cyfra mniejsza od dziesięciu.

Dodawanie procentów zamiast ilości substancji.

Skąd się bierze: Procenty są w treści podane wprost, więc kuszą do zsumowania.

Jak zrobić dobrze: Sumują się kilogramy substancji, nie stężenia. Zapis $10\% + 40\% = \textcolor{#9b1c14}{50\%}$ nie opisuje żadnej wielkości fizycznej.

7Pytania i odpowiedzi

Jak ułożyć układ równań z treści zadania?

Najpierw nazywamy dwie niewiadome wraz z jednostkami, a potem szukamy w treści dwóch niezależnych informacji liczbowych i zapisujemy każdą jako osobne równanie. Dopiero potem przystępujemy do rozwiązywania.

Jak zapisać liczbę dwucyfrową w zadaniu o cyfrach?

Jako dziesięć razy cyfra dziesiątek plus cyfra jedności. Zapis w postaci sumy samych cyfr opisuje coś innego i prowadzi do układu, który nie odpowiada treści zadania.

Co oznacza układ sprzeczny w zadaniu tekstowym?

Najczęściej błąd w modelowaniu, na przykład dwukrotne zapisanie tej samej zależności w sprzecznych wersjach. Rzadziej oznacza to, że dane w zadaniu są ze sobą niezgodne i rozwiązanie nie istnieje.

Dlaczego wynik trzeba sprawdzać w treści, a nie w równaniach?

Bo podstawienie do własnych równań potwierdza tylko poprawność rachunku. Jeśli równania zostały ułożone błędnie, rozwiązanie i tak je spełni, mimo że nie odpowiada sytuacji opisanej w zadaniu.

Jak układa się równanie w zadaniach o mieszaninach?

Pierwsze równanie dotyczy mas składników, a drugie ilości substancji rozpuszczonej, czyli iloczynów mas i stężeń. Same stężenia procentowe nie sumują się i nie wolno ich dodawać.

Czytaj dalej

Układy równańMetody rozwiązywania: podstawianie, przeciwne współczynniki i interpretacja graficzna.Zadania tekstoweOgólne strategie czytania treści, dane ukryte i zbędne.ProcentyPodstawa rodziny zadań o mieszaninach i stężeniach.Prędkość, droga, czasZależności potrzebne w zadaniach o ruchu naprzeciw siebie i w pościgu.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.