Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Potęgowanie i pierwiastkowanie

Potęgowanie i pierwiastkowanie

Q: Dlaczego a^1/2 to pierwiastek kwadratowy?

Bo po podniesieniu do kwadratu daje a: (a^1/2)^2 = a^1 = a. Szukamy więc liczby, której kwadrat wynosi a — a to jest definicja pierwiastka kwadratowego. To wniosek z praw potęg, nie osobna definicja.

Q: Czy można dodawać pierwiastki?

Tylko takie same, i to jak wyrazy podobne: 2 3 + 3 3 = 5 3. Różnych pierwiastków dodać się nie da, ale warto najpierw wyłączyć czynniki — często okazuje się, że po uproszczeniu są takie same.

W szkole podstawowej potęgowanie i pierwiastkowanie wyglądają na dwa osobne działania z osobnymi zestawami wzorów. W liceum okazuje się, że to jedno działanie zapisane na dwa sposoby: pierwiastek jest potęgą o wykładniku ułamkowym. Ta jedna obserwacja likwiduje połowę wzorów do zapamiętania — bo wszystkie prawa działań na pierwiastkach stają się znanymi prawami potęg.

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 18

Przejdź od razu do zadań (18) ↓

1Pierwiastek to potęga

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział I. Liczby rzeczywiste, zakres podstawowy, punkt 4: „stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach”.

Punkt 3 dodaje: „stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych”. Cała ta strona mieści się w zakresie podstawowym.

Zacznijmy od pytania, które porządkuje resztę: ile wynosi $a^{1/2}$ ?

Skorzystajmy z prawa potęg, które już znasz: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ . Podnieśmy $a^{1/2}$ do kwadratu:

\left(a^{1/2}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = \textcolor{#16A06A}{a}

Szukamy więc liczby, która podniesiona do kwadratu daje $a$ — a to jest dokładnie definicja pierwiastka kwadratowego.

a^{1/2} = \sqrt{a}, \qquad a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

Nie jest to nowa definicja, tylko wniosek. Wykładnik ułamkowy musi znaczyć pierwiastek, żeby prawa potęg dalej działały — inaczej cały system by się rozpadł.

Sprawdźmy na liczbach: $\textcolor{#16A06A}{8}^{2/3} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{8}^2} = \sqrt[3]{64} = \textcolor{#E0453A}{4}$ . Można też odwrotnie: $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{8}} = 2$ , a $2^2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ — kolejność nie ma znaczenia.

Trzy działania, jedna rodzina

Z tego samego równania $a^n = b$ biorą się trzy pytania: o wynik (potęgowanie), o podstawę (pierwiastkowanie) i o wykładnik (logarytm).

Pierwiastkowanie i logarytmowanie to więc dwa działania odwrotne do potęgowania — różnią się tym, czego szukają.

2Wzory, które nie są nowe

Skoro pierwiastek jest potęgą, prawa działań na pierwiastkach muszą wyglądać jak prawa potęg. I wyglądają.

prawo potęg	to samo dla pierwiastków
$a^m \cdot b^m = (ab)^m$	$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
$\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m$	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$(a^m)^k = a^{mk}$	$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$

Ostatni wiersz bywa zaskoczeniem, a wychodzi w jednej linijce: $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \left(a^{1/k}\right)^{1/n} = a^{\frac{1}{nk}} = \sqrt[nk]{a}$ . Pierwiastek z pierwiastka to pierwiastek stopnia będącego iloczynem stopni.

Czego w tej tabeli nie ma — i nie będzie. Nie istnieje wzór na pierwiastek sumy. Kontrprzykład jest natychmiastowy: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ , a $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = \textcolor{#9b1c14}{7}$ .

To ta sama zasada, która wraca w całej matematyce: działania rozdzielają się względem mnożenia i dzielenia, nigdy względem dodawania. Widać ją przy wzorach skróconego mnożenia i przy logarytmach.

Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej

$\sqrt{-4}$ nie istnieje w liczbach rzeczywistych, bo kwadrat nigdy nie jest ujemny.

Ale $\sqrt[3]{-8} = \textcolor{#E0453A}{-2}$ istnieje, bo $(-2)^3 = -8$ . Sześcian liczby ujemnej jest ujemny, więc pierwiastek nieparzystego stopnia działa bez przeszkód.

Reguła: stopień parzysty wymaga liczby nieujemnej, stopień nieparzysty nie wymaga niczego. Podstawa wymienia to wprost w punkcie 3.

3Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

To najczęściej używana operacja w całym dziale — służy do upraszczania wyników, które inaczej wyglądałyby brzydko.

Pomysł: rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyciągnij go.

\sqrt{\textcolor{#16A06A}{50}} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{2}}

Działa to dzięki wzorowi na pierwiastek iloczynu — nie jest żadną osobną regułą.

Kluczowe jest znalezienie największego kwadratu, który dzieli liczbę. Dla $\textcolor{#16A06A}{72}$ można wziąć $4$ i otrzymać $2\sqrt{18}$ , ale to nie koniec: $18 = 9 \cdot 2$ , więc trzeba jeszcze raz. Od razu $36$ : $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{72}} = \sqrt{36 \cdot 2} = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt{2}}$ .

Operacja odwrotna też się przydaje — włączanie czynnika pod pierwiastek. Liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnosi się do kwadratu:

\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt{2} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{3}^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}

Po co? Głównie do porównywania. Które jest większe: $3\sqrt{2}$ czy $2\sqrt{5}$ ? Po włączeniu: $\sqrt{18}$ i $\sqrt{20}$ — od razu widać, że drugie ✓

Dodawanie pierwiastków — tylko po uproszczeniu

Pierwiastków nie da się dodawać wprost, ale te same pierwiastki można zsumować jak wyrazy podobne: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .

Dlatego przed dodawaniem warto wyłączyć czynniki: $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{3}}$ .

Bez uproszczenia wyglądałoby to na dwa niepodobne składniki — a po uproszczeniu okazuje się, że to jedna wielkość.

4Usuwanie niewymierności z mianownika

Wynik z pierwiastkiem w mianowniku uchodzi za nieuproszczony i w zadaniach maturalnych zwykle wymaga doprowadzenia do postaci bez niego.

Zabieg ten nosi też drugą, częściej spotykaną w podręcznikach nazwę: racjonalizacja mianownika. Nazwa bierze się stąd, że mianownik z niewymiernego staje się wymierny (po łacinie rationalis) — jeśli spotkasz polecenie „zracjonalizuj mianownik”, chodzi dokładnie o to, co opisuję niżej.

Przypadek prosty — sam pierwiastek w mianowniku. Mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek:

\frac{1}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \frac{1 \cdot \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}}}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \textcolor{#E0453A}{\frac{\sqrt{2}}{2}}

Mianownik przestaje być niewymierny, bo $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ . Wartość ułamka się nie zmienia — mnożymy przecież przez jedynkę zapisaną jako $\frac{\sqrt2}{\sqrt2}$ .

Częsty wariant z liczbą w liczniku: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = \textcolor{#2F80D8}{2\sqrt{3}}$ . Po pomnożeniu warto skrócić — inaczej wynik zostaje niepotrzebnie duży.

Przypadek trudniejszy — suma w mianowniku. Wtedy mnoży się przez wyrażenie sprzężone, czyli tę samą sumę ze zmienionym znakiem:

\frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \textcolor{#E0453A}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}

Mianownik uprościł się dzięki różnicy kwadratów: $(\sqrt3+1)(\sqrt3-1) = 3 - 1 = 2$ . To ten sam wzór, którego uczysz się przy wyrażeniach algebraicznych — tu tylko litery zastąpiono pierwiastkami.

Kontrola liczbowa: $\frac{1}{\sqrt3+1} \approx \frac{1}{2{,}732} \approx 0{,}366$ , a $\frac{\sqrt3-1}{2} \approx \frac{0{,}732}{2} \approx \textcolor{#2F80D8}{0{,}366}$ ✓

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wykładnik ułamkowy, upraszczanie sumy i usuwanie niewymierności.

Przykład 1 Potęga o wykładniku ułamkowym

Oblicz $\textcolor{#16A06A}{27}^{2/3}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{16}^{-1/2}$ .

Pierwsza. Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, licznik to potęga: $\textcolor{#16A06A}{27}^{2/3} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{27}^2}$ .
Wygodniej najpierw pierwiastkować: $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{27}} = 3$ , a potem podnieść do kwadratu: $3^2 = \textcolor{#E0453A}{9}$ .
Kontrola drugą kolejnością: $\textcolor{#16A06A}{27}^2 = 729$ , a $\sqrt[3]{729} = \textcolor{#E0453A}{9}$ ✓ — ten sam wynik.
Druga. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: $\textcolor{#16A06A}{16}^{-1/2} = \frac{1}{\textcolor{#16A06A}{16}^{1/2}}$ .
$\textcolor{#16A06A}{16}^{1/2} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{16}} = 4$ , więc wynik to $\textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{4}}$ .
Kontrola sensu: podstawa większa od jedynki i ujemny wykładnik dają wynik mniejszy od jedynki ✓
Kontrola prawem potęg: $\left(\textcolor{#2F80D8}{\frac14}\right)^{-2} = 4^2 = \textcolor{#16A06A}{16}$ ✓

Odpowiedź: $27^{2/3} = 9$ , $16^{-1/2} = \frac{1}{4}$ .

Przy wykładniku ułamkowym prawie zawsze łatwiej najpierw pierwiastkować, potem potęgować — liczby są wtedy mniejsze. Dla $27^{2/3}$ różnica to rachunek na $3$ zamiast na $729$ .

Przykład 2 Upraszczanie sumy pierwiastków

Oblicz $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}} + \sqrt{\textcolor{#16A06A}{27}} - \sqrt{\textcolor{#16A06A}{75}}$ .

Pierwiastków nie da się dodać wprost — najpierw wyłączam czynniki przed każdy z nich.
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}} = \sqrt{4 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{27}} = \sqrt{9 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{75}} = \sqrt{25 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3}$
Wszystkie sprowadziły się do $\sqrt3$ , więc mogę je dodać jak wyrazy podobne.
$\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3} = (2+3-5)\sqrt3 = \textcolor{#2F80D8}{0}$
Kontrola liczbowa: $\sqrt{12} \approx 3{,}464$ , $\sqrt{27} \approx 5{,}196$ , $\sqrt{75} \approx 8{,}660$ ; $3{,}464 + 5{,}196 - 8{,}660 = \textcolor{#2F80D8}{0}$ ✓
Kontrola sensu: wszystkie trzy liczby to wielokrotności trójki pod pierwiastkiem, więc uproszczenie do wspólnego $\sqrt3$ było do przewidzenia ✓

Odpowiedź: $0$ .

Wynik zerowy nie jest przypadkiem — zadania tego typu często konstruuje się tak, żeby składniki się zniosły. Gdyby nie wyłączyć czynników, trzy pierwiastki wyglądałyby na niepodobne i nie dałoby się nic zrobić.

Przykład 3 Usuwanie niewymierności

Doprowadź do postaci bez pierwiastka w mianowniku: $\frac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}-1}$ .

W mianowniku jest różnica, więc mnożę przez wyrażenie sprzężone $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1$ — i to samo robię z licznikiem.
$\frac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}-1} \cdot \frac{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1}$
Mianownik liczę wzorem na różnicę kwadratów: $(\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}-1)(\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1) = \textcolor{#16A06A}{5} - 1 = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Licznik: $\textcolor{#16A06A}{4} \cdot (\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1) = \textcolor{#2F80D8}{4\sqrt5 + 4}$ .
$\frac{\textcolor{#2F80D8}{4\sqrt5+4}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#8B5CF6}{\sqrt5 + 1}$ — po skróceniu przez $4$ .
Kontrola liczbowa: $\sqrt5 \approx 2{,}236$ , więc lewa strona to $\frac{4}{1{,}236} \approx 3{,}236$ , a prawa $2{,}236 + 1 = \textcolor{#8B5CF6}{3{,}236}$ ✓
Kontrola sensu: w mianowniku nie ma już pierwiastka, a wynik jest prostszy niż wyjściowy ułamek ✓

Odpowiedź: $\sqrt5 + 1$ .

Wynik wyszedł wyjątkowo ładny, bo mianownik uprościł się do czwórki, przez którą dało się skrócić licznik. Warto zawsze sprawdzić możliwość skrócenia — to ostatni krok, o którym najłatwiej zapomnieć.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy pierwiastka sumy.

Rozbijanie pierwiastka sumy

Skąd się bierze: Zapis $\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ wygląda symetrycznie do wzoru na iloczyn, ale jest fałszywy. Dla $9$ i $16$ daje $7$ zamiast $5$ — różnica jest widoczna gołym okiem.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj granicę: pierwiastek rozdziela się względem mnożenia i dzielenia, nigdy względem dodawania. Gdy pod pierwiastkiem stoi suma, najpierw ją policz.

Mylenie licznika z mianownikiem w wykładniku ułamkowym

Skąd się bierze: W zapisie $a^{m/n}$ mianownik to stopień pierwiastka, a licznik to potęga. Zamiana ról daje przy $27^{2/3}$ wynik $\sqrt{27^3}$ zamiast $\sqrt[3]{27^2}$ — czyli $81\sqrt{3} \approx 140$ zamiast $9$ .

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez najprostszy przypadek: $a^{1/2} = \sqrt{a}$ , a dwójka stoi w mianowniku. Kontrola: wynik powinien być zwykle mniejszy od podstawy, jeśli wykładnik jest mniejszy od jedynki.

Wyłączanie niepełnego czynnika

Skąd się bierze: Przy $\sqrt{72}$ wyciągnięcie czwórki daje $2\sqrt{18}$ — poprawnie, ale nie do końca, bo $18$ nadal zawiera kwadrat. Odpowiedź nieuproszczona bywa uznawana za niepełną.

Jak zrobić dobrze: Szukaj największego kwadratu dzielącego liczbę. Kontrola: po wyłączeniu sprawdź, czy to, co zostało pod pierwiastkiem, nie dzieli się jeszcze przez $4$ , $9$ , $25$ albo $49$ .

Mnożenie tylko mianownika przy usuwaniu niewymierności

Skąd się bierze: Pomnożenie samego mianownika przez $\sqrt{2}$ zmienia wartość ułamka dwukrotnie. Mnożyć trzeba licznik i mianownik, bo tylko wtedy mnoży się przez jedynkę.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj to jawnie jako mnożenie przez $\frac{\sqrt2}{\sqrt2}$ — wtedy widać, że to jedynka. Kontrola liczbowa: przybliżona wartość przed i po przekształceniu musi być identyczna.

Zadania maturalne — kwadraty sum i różnic z pierwiastkami

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cała ta strona stoi na trzech wzorach:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

oraz

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

. Kiedy

a

b

są pierwiastkami, ich kwadraty przestają być pierwiastkami — i właśnie dlatego wynik wychodzi liczbą wymierną. Najważniejsze: nigdy nie pomijaj wyrazu środkowego

2ab

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Liczba

\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 - \sqrt{12}

jest równa

A. $4 - 4\sqrt{3}$
B. $4 - 2\sqrt{3}$
C. $2$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — rozwijamy kwadrat sumy. Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{\sqrt3}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} + \textcolor{#16A06A}{1}\right)^2 = \left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}\right)^2 + 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{1}^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = \textcolor{#E0453A}{4 + 2\sqrt3}$
Krok 2 — wyłączamy czynnik z drugiego pierwiastka. W 12 największym kwadratem jest 4:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{12}} = \sqrt{4 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$
Krok 3 — odejmujemy. I tu następuje sedno zadania: oba wyrazy z $\sqrt3$ się kasują:
$\textcolor{#E0453A}{4 + 2\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = 4$
Odpowiedź: $4$ , czyli D.
Kontrola przybliżona: $\sqrt3 \approx 1{,}732$ , więc $(1{,}732+1)^2 \approx 7{,}46$ , a $\sqrt{12} \approx 3{,}46$ . Różnica: $7{,}46 - 3{,}46 = 4$ ✓.

💡 Wskazówka: Zadanie jest tak zbudowane, żeby $\sqrt{12}$ okazało się dokładnie tym samym co wyraz środkowy $2\sqrt3$ . Jeśli po wyłączeniu czynnika widzisz taki sam pierwiastek jak w rozwinięciu kwadratu, wiesz, że wynik będzie liczbą całkowitą.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $4 - 2\sqrt3$ ), czyli pominięcie wyrazu środkowego i policzenie $(\sqrt3+1)^2$ jako $3 + 1 = 4$ . Kwadrat sumy nie jest sumą kwadratów — wyraz $2ab$ zawsze tam jest.

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

Liczba

\left(\sqrt{32} - \sqrt{2}\right)^2

jest równa

A. $16$
B. $18$
C. $30$
D. $34$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — rozwijamy kwadrat różnicy. Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ :
$\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}}\right)^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}} \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt2} + \left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}\right)^2 = 32 - 2\sqrt{32 \cdot 2} + 2$
Krok 2 — liczymy wyraz środkowy. Iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu:
$\sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64} = \textcolor{#E0453A}{8}$ , więc $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{16}$
Krok 3 — składamy.
$32 - \textcolor{#E0453A}{16} + 2 = 18$
Odpowiedź: $18$ , czyli B.
Można było też najpierw uprościć nawias: $\sqrt{32} = 4\sqrt2$ , więc $4\sqrt2 - \sqrt2 = 3\sqrt2$ , a $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$ ✓. Ta droga jest krótsza — warto ją sprawdzić w pierwszej kolejności.

💡 Wskazówka: Zanim rozwiniesz kwadrat, spróbuj uprościć nawias. Tu $\sqrt{32} - \sqrt2 = 4\sqrt2 - \sqrt2 = 3\sqrt2$ — i zostaje jedno mnożenie zamiast trzech wyrazów. Rozwijanie wzoru jest zawsze poprawne, ale rzadko najszybsze.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $34$ ), czyli pominięcie wyrazu środkowego ( $32 + 2 = 34$ ). To dokładnie ta sama pomyłka co w poprzednim zadaniu — dystraktor czeka na nią w każdym zadaniu tego typu.

Zadanie 3 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba

\left(2\sqrt{8} - 3\sqrt{2}\right)^2

jest równa

A. $2$
B. $1$
C. $26$
D. $14$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tutaj upraszczanie nawiasu jest wyraźnie najkrótszą drogą — po nim zostaje jeden pierwiastek.
Krok 1 — wyłączamy czynnik z $\sqrt8$ .
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt2$ , więc $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt8 = 2 \cdot 2\sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}$
Krok 2 — odejmujemy w nawiasie. Oba wyrazy mają ten sam pierwiastek, więc odejmujemy współczynniki:
$\textcolor{#E0453A}{4\sqrt2} - \textcolor{#16A06A}{3}\sqrt2 = (4 - 3)\sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$
Krok 3 — podnosimy do kwadratu.
$\left(\textcolor{#E0453A}{\sqrt2}\right)^2 = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli A.
Kontrola przez rozwinięcie wzoru: $\left(4\sqrt2\right)^2 - 2 \cdot 4\sqrt2 \cdot 3\sqrt2 + \left(3\sqrt2\right)^2 = 32 - 48 + 18 = 2$ ✓ — ta sama liczba, tylko dłuższą drogą.

💡 Wskazówka: Gdy w nawiasie oba wyrazy da się sprowadzić do tego samego pierwiastka, zawsze upraszczaj przed potęgowaniem. Tu $2\sqrt8$ i $3\sqrt2$ to w istocie $4\sqrt2$ i $3\sqrt2$ — różnica wychodzi $\sqrt2$ , a kwadrat tego to po prostu 2.

⚠ Dwa najczęstsze błędy mają tu osobne dystraktory. Odpowiedź D ( $14$ ) to odjęcie samych kwadratów, $32 - 18$ , czyli pominięcie wyrazu środkowego. Odpowiedź B ( $1$ ) czeka na tego, kto poprawnie uprości nawias do $\sqrt2$ , ale zapomni podnieść wynik do kwadratu — a $\left(\sqrt2\right)^2$ to $2$ , nie $1$ .

Zadanie 4 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia

\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right) + \sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right)

jest równa

A. $5 - 2\sqrt{6}$
B. $5$
C. $5 + 2\sqrt{6}$
D. $-1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najpierw warto zauważyć strukturę: oba składniki mają ten sam nawias. To zaproszenie do wyłączenia go przed nawias, a nie do mnożenia wszystkiego po kolei.
Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt2} \cdot \textcolor{#16A06A}{\left(\sqrt2 - \sqrt3\right)} + \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} \cdot \textcolor{#16A06A}{\left(\sqrt2 - \sqrt3\right)} = \left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt2} + \textcolor{#16A06A}{\sqrt3}\right)\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt2} - \textcolor{#16A06A}{\sqrt3}\right)$
Krok 2 — rozpoznajemy różnicę kwadratów. Wzór: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :
$\left(\sqrt2 + \sqrt3\right)\left(\sqrt2 - \sqrt3\right) = \left(\sqrt2\right)^2 - \left(\sqrt3\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{3}$
Krok 3 — liczymy.
$\textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{3} = -1$
Odpowiedź: $-1$ , czyli D.
Kontrola drogą „na piechotę”: $\sqrt2 \cdot \sqrt2 - \sqrt2\sqrt3 + \sqrt3\sqrt2 - \sqrt3 \cdot \sqrt3 = 2 - \sqrt6 + \sqrt6 - 3 = -1$ ✓ — środkowe wyrazy się kasują, co widać od razu po wyłączeniu nawiasu.

💡 Wskazówka: Dostrzeżenie różnicy kwadratów zamienia to zadanie z czterech mnożeń w jedno odejmowanie. Gdy widzisz ten sam nawias przy dwóch składnikach, wyłącz go — a jeśli to, co zostanie, różni się od nawiasu tylko znakiem, masz wzór $a^2 - b^2$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi A lub C, czyli zgubienie znaku przy jednym z wyrazów $\sqrt6$ i pozostawienie go w wyniku. Po poprawnym rozwinięciu wyrazy $-\sqrt6$ i $+\sqrt6$ muszą się skasować — jeśli w Twoim wyniku został pierwiastek, gdzieś jest błąd znaku.

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Liczba

1 - \left(2^7 - 1\right)^2

jest równa

A. $-2^{14}$
B. $2^8 - 2^{14}$
C. $2 - 2^{14}$
D. $-2^{14} - 2 \cdot 2^7 + 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie nie o pierwiastkach, ale o tym samym wzorze — i o pilnowaniu znaków przy odejmowaniu całego nawiasu.
Krok 1 — rozwijamy kwadrat różnicy. Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{2^7}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$\left(\textcolor{#16A06A}{2^7} - \textcolor{#16A06A}{1}\right)^2 = \left(\textcolor{#16A06A}{2^7}\right)^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2^7} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{1}^2 = \textcolor{#E0453A}{2^{14}} - \textcolor{#E0453A}{2 \cdot 2^7} + 1$
Krok 2 — upraszczamy wyraz środkowy. Dwójka przed potęgą to $2^1$ , więc wykładniki się dodają:
$\textcolor{#E0453A}{2 \cdot 2^7} = 2^{1+7} = \textcolor{#E0453A}{2^8}$
Krok 3 — odejmujemy cały nawias od jedynki. Tu trzeba zmienić znak każdego wyrazu:
$\textcolor{#16A06A}{1} - \left(\textcolor{#E0453A}{2^{14}} - \textcolor{#E0453A}{2^8} + 1\right) = 1 - \textcolor{#E0453A}{2^{14}} + \textcolor{#E0453A}{2^8} - 1$
Krok 4 — jedynki się kasują.
$\textcolor{#E0453A}{2^8} - \textcolor{#E0453A}{2^{14}}$
Odpowiedź: $2^8 - 2^{14}$ , czyli B.

💡 Wskazówka: Minus przed nawiasem zmienia znak wszystkich trzech wyrazów rozwinięcia, nie tylko pierwszego. Najbezpieczniej rozwinąć kwadrat osobno, zapisać go w nawiasie i dopiero potem odejmować — tak jak w kroku 3.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli przepisanie rozwinięcia bez zmiany znaków przy drugim i trzecim wyrazie. Drugi częsty: odpowiedź A ( $-2^{14}$ ), z pominięcia wyrazu środkowego — i zauważ, że wtedy jedynki też by się skasowały, więc wynik wygląda „czysto”. To najbardziej zdradliwy dystraktor w tym zadaniu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D

2. B

3. A

4. D

5. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — potęga o wykładniku wymiernym i pierwiastek jako potęga

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — wykładnik policzony po drodze. Cała ta strona sprowadza się do jednej zamiany:

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

. Po niej zostają już tylko trzy działania na wykładnikach — mnożąc potęgi wykładniki dodajemy, dzieląc odejmujemy, a potęgę potęgi mnożymy. Nic więcej tu nie jest potrzebne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 13 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Liczba

\left(\sqrt[5]{5} \cdot \dfrac{1}{5}\right)^{-5}

jest równa

A. $5^4$
B. $5^{-4}$
C. $5^{0{,}25}$
D. $5^{-0{,}25}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wszystko zamieniamy na potęgi piątki i pracujemy tylko na wykładnikach.
Krok 1 — pierwiastek na potęgę.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt[5]{5}} = 5^{\textcolor{#E0453A}{1/5}}$
Krok 2 — ułamek na potęgę o wykładniku ujemnym.
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{5}} = 5^{\textcolor{#E0453A}{-1}}$
Krok 3 — mnożymy potęgi: wykładniki dodajemy.
$5^{\textcolor{#E0453A}{1/5}} \cdot 5^{\textcolor{#E0453A}{-1}} = 5^{\frac15 - 1} = 5^{\textcolor{#E0453A}{-4/5}}$
Krok 4 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(5^{\textcolor{#E0453A}{-4/5}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-5}} = 5^{\left(-\frac45\right) \cdot \textcolor{#16A06A}{(-5)}} = 5^{4}$
Odpowiedź: $5^4$ , czyli A.
Warto zauważyć, jak działa minus w wykładniku zewnętrznym: zamienia $-\tfrac45$ na $+4$ . Dwa minusy dają plus, a piątka w mianowniku skraca się z piątką z wykładnika.

💡 Wskazówka: Nie licz wartości liczbowych — $\sqrt[5]{5}$ to liczba niewymierna i nic Ci nie da. Zamień wszystko na potęgi tej samej podstawy i wykonaj działania na samych wykładnikach; to jedyna sensowna droga.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie minusa w wykładniku zewnętrznym i podanie $5^{-4}$ (odpowiedź B). Drugi częsty: pomnożenie wykładników w kroku 3 zamiast dodania — przy mnożeniu potęg wykładniki się dodają, mnoży się je dopiero przy potęgowaniu potęgi.

Zadanie 2 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Liczba

\left(\dfrac{4}{25}\right)^{-0{,}5}

jest równa

A. $0{,}04$
B. $0{,}8$
C. $2{,}5$
D. $0{,}4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wykładnik $\textcolor{#16A06A}{-0{,}5}$ mówi dwie rzeczy naraz: minus każe odwrócić ułamek, a połówka oznacza pierwiastek kwadratowy.
Krok 1 — minus odwraca ułamek.
$\left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{25}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-0{,}5}} = \left(\textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{4}}\right)^{0{,}5}$
Krok 2 — wykładnik $\tfrac12$ to pierwiastek kwadratowy. Pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno:
$\left(\textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{4}}\right)^{1/2} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$
Odpowiedź: $2{,}5$ , czyli C.
Kontrola: $2{,}5^{-2} = \dfrac{1}{2{,}5^2} = \dfrac{1}{6{,}25} = 0{,}16 = \dfrac{4}{25}$ ✓ — podniesienie wyniku do potęgi $-2$ (odwrotność $-0{,}5$ ) wraca do liczby z zadania.

💡 Wskazówka: Zapisz $-0{,}5$ jako $-\tfrac12$ — wtedy od razu widać oba działania: odwrócenie ułamka i pierwiastek. Kolejność nie ma znaczenia, można też najpierw spierwiastkować, a potem odwrócić: $\sqrt{\tfrac{4}{25}} = \tfrac25$ , a $\left(\tfrac25\right)^{-1} = \tfrac52$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $0{,}4$ ), czyli policzenie $\sqrt{\tfrac{4}{25}} = \tfrac25$ i zapomnienie o minusie — czyli o odwróceniu. Drugi częsty: odpowiedź A ( $0{,}04$ ), z potraktowania $-0{,}5$ jako mnożnika, a nie wykładnika.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Liczba

2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}}

jest równa

A. $(-16)$
B. $(-4)$
C. $2$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Obie liczby są potęgami dwójki — sprowadzamy je do wspólnej podstawy.
Krok 1 — rozkładamy 32.
$\textcolor{#16A06A}{32} = 2^5$
Krok 2 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy. Piątki się skracają:
$\textcolor{#16A06A}{32}^{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = \left(2^5\right)^{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = 2^{\,5 \cdot \frac35} = 2^{\textcolor{#E0453A}{3}}$
Krok 3 — mnożymy potęgi: wykładniki dodajemy.
$2^{\textcolor{#16A06A}{-1}} \cdot 2^{\textcolor{#E0453A}{3}} = 2^{\,-1 + 3} = 2^{2} = 4$
Odpowiedź: $4$ , czyli D.

💡 Wskazówka: Ułamkowy wykładnik $\tfrac35$ przy podstawie $32 = 2^5$ to sygnał, że piątka się skróci i wyjdzie liczba całkowita. Gdy w zadaniu wykładnik ma mianownik równy wykładnikowi rozkładu podstawy, rachunki są zawsze „okrągłe”.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi A lub B — czyli uznanie, że minus w wykładniku daje liczbę ujemną. Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność ( $2^{-1} = \tfrac12$ ), a nie liczba przeciwna; wynik dodatniej podstawy jest zawsze dodatni.

Zadanie 4 (grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

Liczba

\left(3^{-2{,}4} \cdot 3^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}}

jest równa

A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $0{,}3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

W wykładnikach jest ułamek dziesiętny i zwykły — najpierw sprowadźmy je do jednej postaci.
Krok 1 — ujednolicamy wykładniki.
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$
Krok 2 — mnożenie potęg: wykładniki dodajemy.
$3^{\textcolor{#16A06A}{-2{,}4}} \cdot 3^{\textcolor{#E0453A}{0{,}4}} = 3^{\,-2{,}4 + 0{,}4} = 3^{\textcolor{#E0453A}{-2}}$
Krok 3 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(3^{\textcolor{#E0453A}{-2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/2}} = 3^{\,(-2) \cdot \frac12} = 3^{\textcolor{#E0453A}{-1}}$
Krok 4 — wykładnik $-1$ to odwrotność.
$3^{\textcolor{#E0453A}{-1}} = \dfrac{1}{3}$
Odpowiedź: $\dfrac{1}{3}$ , czyli C.

💡 Wskazówka: Zamiana $\tfrac25$ na $0{,}4$ upraszcza całe zadanie — nagle wykładniki dodają się „w głowie” do okrągłego $-2$ . Warto sprawdzić, czy ułamek w wykładniku nie jest przypadkiem prostym ułamkiem dziesiętnym.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $0{,}3$ ), czyli pomylenie $3^{-1} = \tfrac13 \approx 0{,}33$ z liczbą $0{,}3$ . To dwie różne liczby — $\tfrac13$ ma rozwinięcie nieskończone. Drugi częsty błąd: odpowiedź B, z niepotrzebnego usuwania niewymierności tam, gdzie żadnego pierwiastka nie ma.

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

iloczyn

\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x}

jest równy

A. $x$
B. $\sqrt[10]{x}$
C. $\sqrt[18]{x}$
D. $x^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Trzy pierwiastki różnych stopni z tej samej liczby — zamieniamy każdy na potęgę i dodajemy wykładniki.
Krok 1 — pierwiastki na potęgi.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{x}} = x^{1/2}, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt[3]{x}} = x^{1/3}, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt[6]{x}} = x^{1/6}$
Krok 2 — mnożenie potęg: wykładniki dodajemy. Wspólny mianownik to 6:
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Krok 3 — składamy wynik.
$x^{\textcolor{#E0453A}{1}} = x$
Odpowiedź: $x$ , czyli A.
Kontrola na liczbie: dla $x = 64$ mamy $\sqrt{64} \cdot \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[6]{64} = 8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$ ✓.

💡 Wskazówka: Podstawienie konkretnej liczby to najszybsza kontrola w zadaniach z literami. Wybierz taką, z której wszystkie trzy pierwiastki wychodzą całkowite — tu $64 = 2^6$ jest idealne, bo dzieli się na 2, 3 i 6.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi B lub C, czyli dodanie stopni pierwiastków ( $2+3+6 = 11$ , albo pomnożenie $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ ) zamiast dodania wykładników. Stopnie pierwiastków są w mianownikach wykładników i nie sumują się wprost.

Zadanie 6 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Liczba

\left(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}

jest równa

A. $\sqrt[6]{5}$
B. $\sqrt[3]{25}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt[3]{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — w nawiasie mnożymy potęgi. Piątka bez wykładnika to $5^1$ :
$\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{5^{1/2}} = 5^{\,1 + \frac12} = 5^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}$
Krok 2 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(5^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/3}} = 5^{\,\frac32 \cdot \frac13} = 5^{\textcolor{#E0453A}{1/2}}$
Krok 3 — wracamy do pierwiastka.
$5^{\textcolor{#E0453A}{1/2}} = \sqrt{5}$
Odpowiedź: $\sqrt{5}$ , czyli C.
Trójki skróciły się w kroku 2 — to typowe dla tych zadań: liczby są dobrane tak, żeby końcowy wykładnik był prosty.

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że liczba bez wykładnika ma wykładnik 1 — to najczęściej pomijany element w takich rachunkach. Gdy dodasz $1 + \tfrac12$ , dostajesz $\tfrac32$ , a nie $\tfrac12$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $\sqrt[3]{5}$ ), czyli zignorowanie wykładnika $\tfrac12$ w nawiasie i policzenie samego $5^{1/3}$ . Drugi częsty: odpowiedź A ( $\sqrt[6]{5}$ ), z pomnożenia $\tfrac12 \cdot \tfrac13$ bez wcześniejszego dodania jedynki.

Zadanie 7 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba

3^{2 + \frac{1}{4}}

jest równa

A. $3^2 \cdot \sqrt[4]{3}$
B. $\sqrt[4]{3^3}$
C. $3^2 + \sqrt[4]{3}$
D. $3^2 + \sqrt{3^4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Suma w wykładniku oznacza iloczyn potęg — i to jest jedyna treść tego zadania.
Krok 1 — rozbijamy wykładnik na sumę. Prawo działa w obie strony: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ :
$3^{\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{\frac14}} = 3^{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot 3^{\textcolor{#16A06A}{1/4}}$
Krok 2 — drugi czynnik zapisujemy jako pierwiastek.
$3^{\textcolor{#16A06A}{1/4}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt[4]{3}}$
Krok 3 — składamy.
$3^{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sqrt[4]{3}}$
Odpowiedź: $3^2 \cdot \sqrt[4]{3}$ , czyli A.
Kontrola liczbowa: $3^{2{,}25} \approx 11{,}84$ , a $9 \cdot \sqrt[4]{3} \approx 9 \cdot 1{,}316 = 11{,}84$ ✓. Dla porównania odpowiedź C dałaby $9 + 1{,}316 \approx 10{,}32$ ✗.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj kierunek: dodawanie w wykładniku ↔ mnożenie potęg. Odpowiedzi C i D podstawiają w to miejsce dodawanie liczb — to najczęstsza pomyłka w całym temacie potęg.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C, czyli rozbicie sumy w wykładniku na sumę potęg ( $3^{2+\frac14} \to 3^2 + 3^{\frac14}$ ). Nie ma takiego prawa. Wystarczy sprawdzić na małych liczbach: $2^{1+1} = 4$ , ale $2^1 + 2^1 = 4$ … tu wyjdzie przypadkiem to samo, więc lepszy test to $2^{2+1} = 8$ wobec $2^2 + 2^1 = 6$ .

Zadanie 8 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Liczba

\left(7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}

jest równa

A. $7^{\frac{5}{3}}$
B. $7^1$
C. $7^{\frac{3}{2}}$
D. $7^{\frac{10}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — mnożenie w nawiasie: wykładniki dodajemy. Mianowniki są takie same, więc dodajemy same liczniki:
$7^{\textcolor{#16A06A}{5/4}} \cdot 7^{\textcolor{#16A06A}{1/4}} = 7^{\,\frac54 + \frac14} = 7^{\frac{6}{4}} = 7^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}$
Krok 2 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(7^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{2/3}} = 7^{\,\frac32 \cdot \frac23} = 7^{\textcolor{#E0453A}{1}}$
Odpowiedź: $7^1$ , czyli B.
Zwróć uwagę na kroku 2: $\tfrac32$ i $\tfrac23$ to liczby odwrotne, więc ich iloczyn jest równy 1. Zadanie jest tak zbudowane, żeby to zauważyć.

💡 Wskazówka: Skracaj ułamki od razu: $\tfrac64$ to $\tfrac32$ , a nie „sześć czwartych”. Bez skrócenia trudniej dostrzec, że wykładnik zewnętrzny jest liczbą odwrotną i wszystko zredukuje się do jedynki.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C ( $7^{3/2}$ ) — czyli zatrzymanie się po pierwszym kroku i zignorowanie wykładnika zewnętrznego. Drugi częsty: odpowiedź D, z dodania $\tfrac32 + \tfrac23$ zamiast pomnożenia.

Zadanie 9 (marzec 2021)1 pktśrednie

Dla każdej dodatniej liczby

b

wyrażenie

\left(\sqrt{b} \cdot \sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}

jest równe

A. $b^2$
B. $b^{0{,}25}$
C. $b^{\frac{8}{3}}$
D. $b^{\frac{4}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — pierwiastki na potęgi.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{b}} = b^{1/2}, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt[4]{b}} = b^{1/4}$
Krok 2 — mnożenie w nawiasie: wykładniki dodajemy.
$b^{1/2} \cdot b^{1/4} = b^{\,\frac24 + \frac14} = b^{\textcolor{#E0453A}{3/4}}$
Krok 3 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(b^{\textcolor{#E0453A}{3/4}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/3}} = b^{\,\frac34 \cdot \frac13} = b^{\textcolor{#E0453A}{1/4}}$
Krok 4 — zapisujemy w postaci z odpowiedzi.
$b^{\textcolor{#E0453A}{1/4}} = b^{0{,}25}$
Odpowiedź: $b^{0{,}25}$ , czyli B.
Kontrola na liczbie: dla $b = 16$ mamy $\left(\sqrt{16} \cdot \sqrt[4]{16}\right)^{1/3} = (4 \cdot 2)^{1/3} = 8^{1/3} = 2$ , a $16^{0{,}25} = \sqrt[4]{16} = 2$ ✓.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że odpowiedzi są zapisane w trzech różnych konwencjach — jako potęga całkowita, dziesiętna i ułamkowa. Twój wynik $b^{1/4}$ trzeba jeszcze przetłumaczyć na $b^{0{,}25}$ , żeby go rozpoznać na liście.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi C lub D, czyli dzielenie przez $\tfrac13$ zamiast mnożenia (co daje $\tfrac34 \cdot 3 = \tfrac94$ albo podobne). Wykładnik zewnętrzny zawsze mnoży wykładnik wewnętrzny.

Zadanie 10 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Liczbę

\sqrt[4]{9 \cdot \sqrt{3}}

można zapisać w postaci

A. $3^{\frac{5}{8}}$
B. $3^{\frac{11}{4}}$
C. $3^{\frac{1}{4}}$
D. $3^{\frac{9}{8}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pracujemy od środka na zewnątrz: najpierw upraszczamy to, co pod pierwiastkiem czwartego stopnia.
Krok 1 — wszystko na potęgi trójki.
$\textcolor{#16A06A}{9} = 3^2, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} = 3^{1/2}$
Krok 2 — mnożenie pod pierwiastkiem: wykładniki dodajemy.
$\textcolor{#16A06A}{9} \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} = 3^2 \cdot 3^{1/2} = 3^{\,2 + \frac12} = 3^{\textcolor{#E0453A}{5/2}}$
Krok 3 — pierwiastek czwartego stopnia to potęga $\tfrac14$ , a potęgę potęgi mnożymy.
$\sqrt[4]{3^{\textcolor{#E0453A}{5/2}}} = \left(3^{\textcolor{#E0453A}{5/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/4}} = 3^{\,\frac52 \cdot \frac14} = 3^{\textcolor{#E0453A}{5/8}}$
Odpowiedź: $3^{\frac{5}{8}}$ , czyli A.
Kontrola przybliżona: $3^{5/8} \approx 1{,}99$ , a $\sqrt[4]{9 \cdot 1{,}732} = \sqrt[4]{15{,}59} \approx 1{,}99$ ✓.

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku z pierwiastka nie próbuj liczyć niczego numerycznie — zapisz wszystko jako potęgi jednej liczby i pracuj na wykładnikach. Kolejność jest zawsze ta sama: uprość wnętrze, potem zastosuj pierwiastek zewnętrzny.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $3^{11/4}$ ), czyli dodanie $\tfrac14$ do wykładnika $\tfrac52$ zamiast pomnożenia ( $\tfrac52 + \tfrac14 = \tfrac{11}{4}$ ). Pierwiastek zewnętrzny mnoży wykładnik, nie dodaje się do niego.

Zadanie 11 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Liczba

\sqrt{\sqrt[3]{2}}

jest równa

A. $2^{\frac{1}{6}}$
B. $2^{\frac{1}{5}}$
C. $2^{\frac{1}{3}}$
D. $2^{\frac{2}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pierwiastek z pierwiastka — dwa razy z rzędu ta sama zamiana.
Krok 1 — pierwiastek wewnętrzny.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt[3]{2}} = 2^{\textcolor{#16A06A}{1/3}}$
Krok 2 — pierwiastek zewnętrzny to potęga $\tfrac12$ ; wykładniki mnożymy.
$\sqrt{2^{\textcolor{#16A06A}{1/3}}} = \left(2^{\textcolor{#16A06A}{1/3}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/2}} = 2^{\,\frac13 \cdot \frac12} = 2^{\textcolor{#E0453A}{1/6}}$
Odpowiedź: $2^{\frac{1}{6}}$ , czyli A.
Ogólna reguła, którą warto zapamiętać: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ — stopnie pierwiastków mnożą się. Tu $2 \cdot 3 = 6$ , więc od razu $\sqrt[6]{2}$ .

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku z pierwiastka wystarczy pomnożyć stopnie: $\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[6]{2}$ . To ta sama reguła co mnożenie wykładników $\tfrac12 \cdot \tfrac13 = \tfrac16$ , tylko zapisana krócej.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $2^{1/5}$ ), czyli dodanie stopni pierwiastków ( $2 + 3 = 5$ ). Stopnie się mnożą, bo w wykładnikach mamy iloczyn ułamków, a nie ich sumę.

Zadanie 12 (czerwiec 2016)1 pktśrednie

Liczba

\sqrt[3]{3\sqrt{3}}

jest równa

A. $\sqrt[6]{3}$
B. $\sqrt[4]{3}$
C. $\sqrt[3]{3}$
D. $\sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — upraszczamy wnętrze. Iloczyn $3\sqrt3$ to jedna potęga trójki:
$\textcolor{#16A06A}{3\sqrt3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{\,1 + \frac12} = 3^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}$
Krok 2 — pierwiastek trzeciego stopnia: mnożymy wykładniki.
$\sqrt[3]{3^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}} = \left(3^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/3}} = 3^{\,\frac32 \cdot \frac13} = 3^{\textcolor{#E0453A}{1/2}}$
Krok 3 — wracamy do pierwiastka.
$3^{\textcolor{#E0453A}{1/2}} = \sqrt{3}$
Odpowiedź: $\sqrt{3}$ , czyli D.
Kontrola: $\left(\sqrt3\right)^3 = 3\sqrt3$ ✓ — sześcian wyniku daje liczbę spod pierwiastka, więc pierwiastek trzeciego stopnia się zgadza.

💡 Wskazówka: Najszybsza kontrola przy pierwiastku stopnia $n$ : podnieś swój wynik do potęgi $n$ i sprawdź, czy dostajesz liczbę spod pierwiastka. Tutaj $\left(\sqrt3\right)^3 = 3\sqrt3$ — zgadza się w jednej linijce.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A ( $\sqrt[6]{3}$ ), czyli pomnożenie stopni pierwiastków ( $3 \cdot 2 = 6$ ) bez uwzględnienia, że przed pierwiastkiem wewnętrznym stoi jeszcze trójka. Reguła „stopnie się mnożą” dotyczy tylko czystego $\sqrt[3]{\sqrt{3}}$ — a tu pod pierwiastkiem jest iloczyn.

Zadanie 13 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Liczbą większą od

5

jest

A. $\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}$
B. $\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}}$
C. $125^{\frac{2}{3}}$
D. $125^{\frac{1}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trzeba policzyć wszystkie cztery liczby — ale każda sprowadza się do potęgi piątki, więc idzie szybko.
Odpowiedź A. Wykładnik ujemny odwraca ułamek, a $\tfrac12$ to pierwiastek:
$\left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac{1}{25}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-\frac12}} = 25^{\frac12} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ — równe 5, więc nie większe ✗
Odpowiedź B. Tak samo odwracamy, ale wykładnik jest mniejszy:
$\left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac{1}{25}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-\frac15}} = 25^{\frac15} = \left(5^2\right)^{\frac15} = 5^{\frac25} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}9}$ ✗
Odpowiedź C.
$\textcolor{#16A06A}{125}^{\textcolor{#16A06A}{\frac23}} = \left(5^3\right)^{\frac23} = 5^{\,3 \cdot \frac23} = 5^{2} = \textcolor{#E0453A}{25}$ — większe od 5 ✓
Odpowiedź D.
$\textcolor{#16A06A}{125}^{\textcolor{#16A06A}{\frac13}} = \left(5^3\right)^{\frac13} = 5^{1} = \textcolor{#E0453A}{5}$ — równe 5 ✗
Odpowiedź: C.
Warto zauważyć, że aż dwie odpowiedzi (A i D) dają dokładnie 5 — zadanie sprawdza, czy czytasz „większa od 5”, a nie „równa 5”.

💡 Wskazówka: Sprowadź wszystko do potęgi piątki i porównuj same wykładniki: A daje $5^1$ , B daje $5^{0{,}4}$ , C daje $5^2$ , D daje $5^1$ . Przy podstawie większej od 1 większy wykładnik oznacza większą liczbę — więc wygrywa $5^2$ .

⚠ Najczęstszy błąd: wybór A albo D, bo wyszło „ładnie” — i przeoczenie, że wynik jest równy 5, a nie większy. Drugi częsty: uznanie, że wykładnik ujemny daje liczbę mniejszą od 1; tutaj odwraca ułamek $\tfrac{1}{25}$ na $25$ , więc wynik rośnie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. C	3. D	4. C	5. A	6. C
7. A	8. B	9. B	10. A	11. A	12. D
13. C

7Pytania i odpowiedzi

Dlaczego

a^{1/2}

to pierwiastek kwadratowy?

Bo po podniesieniu do kwadratu daje $a$ : $(a^{1/2})^2 = a^{1} = a$ . Szukamy więc liczby, której kwadrat wynosi $a$ — a to jest definicja pierwiastka kwadratowego. To wniosek z praw potęg, nie osobna definicja.

Jak obliczyć potęgę o wykładniku ułamkowym?

Mianownik wykładnika mówi, jakiego stopnia jest pierwiastek, a licznik — do której potęgi podnieść. Dla $27^{2/3}$ liczymy $\sqrt[3]{27} = 3$ , a potem $3^2 = 9$ . Wygodniej pierwiastkować najpierw, bo liczby są mniejsze.

Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek?

Rozłożyć liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn zawierający kwadrat i wyciągnąć go. Dla $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2$ . Trzeba szukać największego kwadratu, inaczej wynik zostanie nieuproszczony.

Jak usunąć pierwiastek z mianownika?

Pomnożyć licznik i mianownik przez ten pierwiastek, a przy sumie w mianowniku — przez wyrażenie sprzężone. W drugim przypadku mianownik upraszcza się dzięki wzorowi na różnicę kwadratów.

Czy pierwiastek z liczby ujemnej istnieje?

Zależy od stopnia. Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, ale nieparzystego — owszem: $\sqrt[3]{-8} = -2$ , bo $(-2)^3 = -8$ .

Czy można dodawać pierwiastki?

Tylko takie same, i to jak wyrazy podobne: $2\sqrt3 + 3\sqrt3 = 5\sqrt3$ . Różnych pierwiastków dodać się nie da, ale warto najpierw wyłączyć czynniki — często okazuje się, że po uproszczeniu są takie same.

Czytaj dalej

PotęgiPrawa działań, z których wynikają wszystkie wzory PierwiastkowaniePodstawy: pierwiastek kwadratowy i sześcienny LogarytmyTrzecie działanie z tej samej rodziny Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów przy usuwaniu niewymierności Liczby rzeczywisteDział podstawy, do którego ten temat należy

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.