Strona główna › Funkcje › Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa

Q: Jak rozpoznać, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli?

Decyduje znak współczynnika a przy x^2. Dodatnie a daje ramiona w górę i wierzchołek będący minimum, ujemne — ramiona w dół i wierzchołek będący maksimum. Nic więcej nie trzeba liczyć.

Q: Jak obliczyć współrzędne wierzchołka?

Pierwszą ze wzoru p = -b/2a, a drugą przez podstawienie tej liczby do wzoru funkcji, czyli q = f(p). Jeśli funkcja ma miejsca zerowe, p można też odczytać jako ich średnią arytmetyczną.

Q: Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji kwadratowej?

Ze współrzędnej q wierzchołka. Dla ramion w górę zbiorem wartości jest q, + ), dla ramion w dół (- , q . Nawias przy q jest domknięty, bo funkcja osiąga tę wartość w wierzchołku.

Q: Co oznacza delta w kontekście wykresu?

Liczbę punktów wspólnych paraboli z osią OX: dodatnia delta to dwa przecięcia, zerowa oznacza dotknięcie osi wierzchołkiem, a ujemna — że cały wykres leży po jednej stronie osi.

Wykres funkcji kwadratowej to parabola — i cała umiejętność polega na tym, żeby ją odczytać, nie narysować. Z samego wzoru da się powiedzieć, w którą stronę zwrócone są ramiona, gdzie leży wierzchołek i jakie wartości funkcja w ogóle przyjmuje. Sposób rozwiązywania równania kwadratowego opisuję osobno; tutaj chodzi o coś innego — o czytanie kształtu.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 23

Przejdź od razu do zadań (23) ↓

1Trzy postacie wzoru i co widać z każdej

Ten sam wzór można zapisać na trzy sposoby. Nie są to trzy różne funkcje, tylko trzy sposoby patrzenia na tę samą — a każdy pokazuje coś innego od razu, bez liczenia.

postać	wzór	co widać natychmiast
ogólna	$f(x) = ax^2 + bx + c$	kierunek ramion (znak $a$ ) i punkt przecięcia z osią $OY$ , bo $f(0) = c$
kanoniczna	$f(x) = a(x-p)^2 + q$	wierzchołek $W = (p, q)$ , a stąd zbiór wartości
iloczynowa	$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$	miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$

Postać iloczynowa nie zawsze istnieje — tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe, czyli gdy parabola dotyka osi $OX$ albo ją przecina.

Litera $a$ występuje we wszystkich trzech i wszędzie znaczy to samo. To ona odpowiada za kształt: kierunek ramion i to, jak bardzo parabola jest „wąska”.

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział V. Funkcje, zakres podstawowy: „szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem”, „interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)”, „wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym”.

Cała ta strona mieści się więc w zakresie podstawowym.

2Kierunek ramion — jedna litera rozstrzyga

Zanim policzysz cokolwiek, spójrz na współczynnik $a$ . On sam mówi, jak wygląda cały wykres.

znak $a$	ramiona	wierzchołek to	zbiór wartości
$a > 0$	w górę	minimum funkcji	$\langle q, +\infty)$
$a < 0$	w dół	maksimum funkcji	$(-\infty, q\rangle$

Warto zapamiętać to obrazem, a nie regułą: dodatnie $a$ to uśmiech, ujemne to smutek. Prymitywne, ale działa i nie myli się.

Skąd to się bierze? Dla bardzo dużych $|x|$ o wartości funkcji decyduje wyraz $ax^2$ , bo rośnie najszybciej. A $x^2$ jest zawsze dodatnie, więc o znaku całości decyduje $a$ — przy dodatnim wartości lecą w górę, przy ujemnym w dół.

Wielkość $|a|$ też ma znaczenie, choć rzadziej się o niej mówi. Im większa, tym parabola węższa: wykres $y = 3x^2$ jest trzy razy „bardziej stromy” niż $y = x^2$ , a $y = 0{,}5x^2$ — rozłożysty.

Współczynnik $c$ ma z kolei jedną prostą rolę: to wartość funkcji w zerze, czyli wysokość, na której wykres przecina oś $OY$ . Bo $f(0) = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c$ .

3Wierzchołek — najważniejszy punkt wykresu

Wierzchołek to punkt, w którym parabola „zawraca”. Jego współrzędne oznacza się $p$ i $q$ .

p = \frac{-b}{2a}, \qquad q = f(p)

Drugą współrzędną najlepiej liczyć przez podstawienie $p$ do wzoru funkcji — jest to krótsze i mniej podatne na błąd niż osobny wzór z deltą.

Skąd bierze się $p$ ? Parabola jest symetryczna, a jej oś symetrii przechodzi przez wierzchołek. Jeśli funkcja ma dwa miejsca zerowe, wierzchołek leży dokładnie w połowie między nimi — i to daje najszybszy sposób jego znalezienia.

Oś symetrii paraboli to prosta pionowa o równaniu $x = p$ , gdzie $p$ jest pierwszą współrzędną wierzchołka. Warto zapamiętać ją właśnie jako równanie, a nie tylko jako „prostą przez wierzchołek”: zadania często pytają wprost „podaj równanie osi symetrii”, a odpowiedzią jest wtedy $x = p$ , nie sama liczba $p$ .

p = \frac{x_1 + x_2}{2}

Dla funkcji o miejscach zerowych $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{6}$ wierzchołek ma pierwszą współrzędną $\frac{\textcolor{#16A06A}{2}+\textcolor{#16A06A}{6}}{2} = \textcolor{#E0453A}{4}$ — bez żadnego wzoru z literami.

Zbiór wartości odczytuje się z $q$

To jedno z najczęstszych pytań w zadaniach i odpowiedź jest zawsze taka sama: zbiór wartości zaczyna się (lub kończy) na $q$ .

Dla $a > 0$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $q$ w górę: $ZW = \langle q, +\infty)$ .

Dla $a < 0$ — wszystkie od $q$ w dół: $ZW = (-\infty, q\rangle$ .

Nawias przy $q$ jest domknięty, bo tę wartość funkcja rzeczywiście osiąga — dokładnie w wierzchołku.

Zwróć uwagę, czego tu nie ma: dziedziny. Funkcja kwadratowa jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, bo podnoszenie do kwadratu i mnożenie zawsze się udaje. Ograniczony bywa zbiór wartości, nie dziedzina.

4Wartość największa i najmniejsza w przedziale

To typ zadania, w którym najłatwiej o błąd — bo odruch podpowiada odpowiedź „wierzchołek”, a ta bywa fałszywa.

W przedziale domkniętym $\langle m, n \rangle$ wartości skrajne mogą leżeć tylko w trzech miejscach: na obu końcach przedziału albo w wierzchołku. Rozstrzyga jedno pytanie:

Czy wierzchołek należy do przedziału

Tak → policz trzy wartości: $f(m)$ , $f(n)$ i $q$ . Największa i najmniejsza z nich są odpowiedzią.

Nie → funkcja jest w tym przedziale monotoniczna, więc wartości skrajne przyjmuje na jego końcach. Wystarczą $f(m)$ i $f(n)$ .

Drugi przypadek jest źródłem częstej pomyłki. Jeśli wierzchołek wypada poza przedziałem, jego $q$ nie jest ani wartością największą, ani najmniejszą — funkcja po prostu nigdy tam nie dochodzi.

Sprawdzenie należności jest proste: porównujesz $p$ z końcami przedziału. Dla $p = \textcolor{#16A06A}{4}$ i przedziału $\langle \textcolor{#16A06A}{0}, \textcolor{#16A06A}{3} \rangle$ wierzchołek nie należy, bo $\textcolor{#16A06A}{4} > \textcolor{#16A06A}{3}$ .

Warto zapamiętać jeszcze jedno: funkcja kwadratowa na całej prostej ma tylko jedną wartość skrajną. Przy ramionach w górę istnieje wartość najmniejsza, ale największej nie ma — wykres rośnie bez ograniczeń. Dlatego zadania o obu wartościach naraz zawsze dotyczą przedziału.

5Ile razy parabola przecina oś OX

Miejsca zerowe funkcji to punkty, w których wykres przecina oś $OX$ — czyli rozwiązania równania $f(x) = 0$ .

Ich liczbę rozstrzyga delta, którą liczy się i omawia przy równaniach kwadratowych. Tutaj interesuje nas tylko to, co z niej wynika dla wykresu:

$\Delta$	miejsca zerowe	jak leży parabola
$\Delta > 0$	dwa	przecina oś $OX$ w dwóch punktach
$\Delta = 0$	jedno	dotyka osi $OX$ wierzchołkiem
$\Delta < 0$	brak	leży w całości nad osią albo pod nią

Środkowy wiersz warto sobie wyobrazić: delta zerowa oznacza, że wierzchołek leży dokładnie na osi $OX$ , czyli $q = 0$ . Parabola dotyka osi w jednym punkcie i wraca.

Ostatni wiersz też ma czytelny obraz. Gdy miejsc zerowych nie ma, cały wykres jest po jednej stronie osi — nad nią przy ramionach w górę i pod nią przy ramionach w dół. Znak wartości funkcji jest wtedy stały.

Praktyczny wniosek do szkicowania

Do naszkicowania paraboli wystarczą trzy informacje: znak $a$ , wierzchołek i punkt przecięcia z osią $OY$ (czyli $c$ ).

Miejsca zerowe są przydatne, ale nie zawsze istnieją — a wierzchołek i $c$ są zawsze.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: odczytanie własności ze wzoru, wartości skrajne w przedziale i zadanie tekstowe.

Przykład 1 Odczytanie własności ze wzoru

Dana jest funkcja $f(x) = x^2 - 8x + 12$ . Wyznacz kierunek ramion, wierzchołek i zbiór wartości.

Współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{-8}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Ramiona: $a = \textcolor{#16A06A}{1} > 0$ , więc skierowane w górę — wierzchołek będzie minimum.
Pierwsza współrzędna wierzchołka: $p = \frac{-\textcolor{#16A06A}{(-8)}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{1}} = \frac{8}{2} = \textcolor{#E0453A}{4}$
Druga — przez podstawienie: $q = f(\textcolor{#E0453A}{4}) = \textcolor{#E0453A}{4}^2 - 8 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} + 12 = 16 - 32 + 12 = \textcolor{#2F80D8}{-4}$
Wierzchołek: $W = (\textcolor{#E0453A}{4}, \textcolor{#2F80D8}{-4})$ .
Ramiona w górę, więc zbiór wartości zaczyna się od $q$ : $ZW = \langle \textcolor{#2F80D8}{-4}, +\infty)$ .
Kontrola przez miejsca zerowe: $x^2-8x+12 = (x-2)(x-6)$ , więc zera to $2$ i $6$ , a ich środek to $\frac{2+6}{2} = \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ — zgadza się z $p$ .
Kontrola $c$ : $f(0) = 12$ ✓ — wykres przecina oś $OY$ na wysokości $\textcolor{#16A06A}{12}$ .

Odpowiedź: Ramiona w górę, $W = (4, -4)$ , $ZW = \langle -4, +\infty)$ .

Kontrola przez środek miejsc zerowych jest tu wyjątkowo tania i wyłapuje najczęstszy błąd — pomyłkę znaku przy $-b$ . Jeśli oba sposoby dadzą to samo $p$ , wierzchołek na pewno jest poprawny.

Przykład 2 Wartości skrajne w przedziale

Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji $f(x) = x^2 - 8x + 12$ w przedziale $\langle \textcolor{#16A06A}{0}, \textcolor{#16A06A}{3} \rangle$ .

Z poprzedniego przykładu wiem, że wierzchołek ma $p = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Sprawdzam, czy należy do przedziału: $\textcolor{#E0453A}{4} > \textcolor{#16A06A}{3}$ , więc wierzchołek leży poza przedziałem.
To znaczy, że funkcja jest w tym przedziale monotoniczna — wartości skrajne będą na końcach.
$f(\textcolor{#16A06A}{0}) = 0 - 0 + 12 = \textcolor{#2F80D8}{12}$
$f(\textcolor{#16A06A}{3}) = 9 - 24 + 12 = \textcolor{#8B5CF6}{-3}$
Największa to $\textcolor{#2F80D8}{12}$ , najmniejsza $\textcolor{#8B5CF6}{-3}$ .
Kontrola sensu: ramiona w górę, a wierzchołek leży na prawo od przedziału, więc funkcja na całym przedziale maleje — największa wartość na lewym końcu, najmniejsza na prawym ✓
Kontrola pułapki: $q = \textcolor{#E0453A}{-4}$ nie jest odpowiedzią, bo funkcja nie dochodzi do wierzchołka w tym przedziale ✓

Odpowiedź: Największa $12$ (dla $x=0$ ), najmniejsza $-3$ (dla $x=3$ ).

Gdyby przedział brzmiał $\langle 0, 5 \rangle$ , wierzchołek by do niego należał i wartością najmniejszą byłoby $q = -4$ . Cała różnica sprowadza się do jednego porównania — dlatego warto je robić jako pierwszy krok.

Przykład 3 Zadanie tekstowe o największym polu

Ogrodzenie o długości $\textcolor{#16A06A}{40}$ m ma otoczyć prostokątną działkę. Jakie wymiary dają największe pole?

Oznaczam jeden bok przez $x$ . Obwód wynosi $\textcolor{#16A06A}{40}$ , więc suma dwóch sąsiednich boków to $\textcolor{#E0453A}{20}$ , a drugi bok ma $\textcolor{#E0453A}{20} - x$ .
Pole jako funkcja $x$ : $P(x) = x(\textcolor{#E0453A}{20}-x) = -x^2 + \textcolor{#E0453A}{20}x$ .
To funkcja kwadratowa o $a = \textcolor{#16A06A}{-1}$ , więc ramiona w dół — istnieje wartość największa i jest nią $q$ .
$p = \frac{-\textcolor{#E0453A}{20}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{(-1)}} = \frac{-20}{-2} = \textcolor{#2F80D8}{10}$
$q = P(\textcolor{#2F80D8}{10}) = -100 + 200 = \textcolor{#8B5CF6}{100}$
Drugi bok: $\textcolor{#E0453A}{20} - \textcolor{#2F80D8}{10} = \textcolor{#2F80D8}{10}$ — działka jest kwadratem.
Kontrola: obwód $4 \cdot \textcolor{#2F80D8}{10} = \textcolor{#16A06A}{40}$ ✓, pole $\textcolor{#2F80D8}{10}^2 = \textcolor{#8B5CF6}{100}$ m² ✓
Kontrola porównawcza: dla boków $8$ i $12$ pole wynosi $96$ , dla $5$ i $15$ tylko $75$ — oba mniej niż $\textcolor{#8B5CF6}{100}$ ✓

Odpowiedź: Kwadrat o boku $10$ m, pole $100$ m².

To klasyczny wynik: przy danym obwodzie największe pole ma kwadrat. Warto zauważyć, że ramiona w dół były tu konieczne — gdyby $a$ było dodatnie, zadanie o wartości największej nie miałoby rozwiązania.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy pojawia się w niemal każdym zadaniu o przedziale.

Podawanie $q$ jako wartości skrajnej bez sprawdzenia przedziału

Skąd się bierze: Odruch podpowiada, że wartość najmniejsza to zawsze wierzchołek. Gdy wierzchołek leży poza przedziałem, funkcja nigdy tej wartości nie osiąga — dla przedziału $\langle 0,3 \rangle$ i $p=4$ odpowiedź $-4$ jest po prostu fałszywa.

Jak zrobić dobrze: Zacznij od porównania $p$ z końcami przedziału. Jeśli wierzchołek nie należy, licz tylko wartości na końcach; jeśli należy, dołóż do porównania $q$ .

Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości

Skąd się bierze: Ograniczenie widoczne na wykresie dotyczy wartości, nie argumentów. Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych, bo wzór da się policzyć dla każdego $x$ .

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez oś: dziedzina to zakres poziomy (zawsze cała prosta), zbiór wartości to zakres pionowy (ograniczony przez $q$ z jednej strony).

Gubienie znaku przy liczeniu $p$

Skąd się bierze: We wzorze $p = \frac{-b}{2a}$ minus dotyczy współczynnika $b$ wraz z jego znakiem. Dla $b=-8$ licznik wynosi $+8$ , a nie $-8$ — pomyłka daje wierzchołek po niewłaściwej stronie osi.

Jak zrobić dobrze: Wstawiaj $b$ w nawiasie: $\frac{-(-8)}{2}$ . Kontrola: jeśli funkcja ma miejsca zerowe, $p$ musi leżeć dokładnie w ich środku.

Szukanie postaci iloczynowej, gdy nie istnieje

Skąd się bierze: Postać iloczynowa wymaga miejsc zerowych, a przy ujemnej delcie ich nie ma. Próba zapisania wzoru w tej postaci prowadzi wtedy do pierwiastka z liczby ujemnej.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź najpierw znak delty. Przy $\Delta < 0$ dostępne są tylko postać ogólna i kanoniczna — i to w zupełności wystarcza do naszkicowania wykresu.

Zadania maturalne — funkcja kwadratowa: wzór, zbiór wartości, monotoniczność

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co z tego wynika. Prawie wszystko o funkcji kwadratowej wynika z dwóch rzeczy: znaku współczynnika $a$ (ramiona w górę czy w dół) i wierzchołka $(p,\, q)$ . Z nich czyta się monotoniczność (przed

p

i po

p

funkcja idzie w przeciwne strony), zbiór wartości (

\langle q, +\infty)

przy

a>0

(-\infty, q\rangle

przy

a<0

) oraz liczbę miejsc zerowych. Jeśli w treści zamiast wierzchołka podane są miejsca zerowe, to

p

jest ich średnią. Jeśli podana jest oś symetrii i jedno miejsce zerowe, drugie liczy się jako

x_2 = 2p - x_1

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2015)1 pktłatwe

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem

f(x) = x^2 + x + c

. Jeżeli

f(3) = 4

, to

A. $f(1) = -6$
B. $f(1) = 0$
C. $f(1) = 6$
D. $f(1) = 18$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie ma dwa kroki i nie da się ich pominąć: najpierw z warunku $f(3) = 4$ wyznaczamy brakujący wyraz wolny, a dopiero potem liczymy $f(1)$ .
Krok 1 — wyznaczamy $c$ . Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{3}$ :
$f(\textcolor{#16A06A}{3}) = \textcolor{#16A06A}{3}^2 + \textcolor{#16A06A}{3} + c = \textcolor{#E0453A}{12} + c$
$\textcolor{#E0453A}{12} + c = \textcolor{#16A06A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad c = \textcolor{#E0453A}{-8}$
Wzór funkcji jest więc kompletny: $f(x) = x^2 + x \textcolor{#E0453A}{- 8}$ .
Krok 2 — liczymy $f(1)$ :
$f(1) = 1^2 + 1 \textcolor{#E0453A}{- 8} = \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{8} = -6$
Odpowiedź: A.
Kontrola: sprawdźmy, czy gotowy wzór spełnia warunek z treści. $f(3) = 9 + 3 - 8 = 4$ ✓

💡 Wskazówka: Wyraz wolny $c$ jest w tym zadaniu jedyną nieznaną liczbą, a warunek $f(3) = 4$ służy wyłącznie do jej wyznaczenia. Zapisz sobie na boku „ $c = -8$ ” i dopiero potem wracaj do pytania — próba liczenia $f(1)$ „od razu” kończy się zwykle podstawieniem $c = 0$ .

⚠ Pominięcie $c$ przy liczeniu $f(1)$ , czyli rachunek $1 + 1 = 2$ — a stąd blisko do odpowiedzi B, jeśli ktoś doda jeszcze coś „na oko”. Odpowiedź $6$ to $f(1)$ policzone z $c = +4$ zamiast $-8$ : kto potraktuje $f(3) = 4$ jako „ $c = 4$ ”, dostanie $1 + 1 + 4 = 6$ . Kontrola przez podstawienie do warunku z treści wyłapuje oba te warianty.

Zadanie 2 (sierpień 2016)1 pktśrednie

Jeśli funkcja kwadratowa

f(x) = x^2 + 2x + 3a

nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba

a

spełnia warunek

A. $a < -1$
B. $-1 \leqslant a < 0$
C. $0 \leqslant a < \dfrac{1}{3}$
D. $a > \dfrac{1}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

„Nie ma ani jednego miejsca zerowego” znaczy dla funkcji kwadratowej dokładnie jedno: delta jest ujemna. To jedyny warunek, jaki trzeba zapisać.
Współczynniki: $a_{\text{kw}} = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{3a}$ . (Uwaga na oznaczenia — litera $a$ w tym zadaniu jest parametrem w wyrazie wolnym, a nie współczynnikiem przy $x^2$ .)
$\Delta = \textcolor{#16A06A}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{3a} = \textcolor{#E0453A}{4} - \textcolor{#E0453A}{12}a$
$\textcolor{#E0453A}{4} - \textcolor{#E0453A}{12}a < 0$
$\textcolor{#E0453A}{4} < \textcolor{#E0453A}{12}a \qquad \Longrightarrow \qquad a > \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{12}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$
Odpowiedź: D.
Kontrola na dwóch liczbach. Dla $a = 1$ (spełnia warunek): $f(x) = x^2 + 2x + 3$ , $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$ — brak miejsc zerowych ✓ Dla $a = 0$ (nie spełnia): $f(x) = x^2 + 2x = x(x+2)$ , czyli miejsca zerowe $0$ i $-2$ — są ✓

💡 Wskazówka: Największa pułapka tego zadania jest notacyjna: litera $a$ oznacza tu parametr siedzący w wyrazie wolnym, a nie współczynnik przy $x^2$ (ten jest równy $1$ ). Zanim zaczniesz liczyć deltę, wypisz osobno wszystkie trzy współczynniki — wtedy nie ma jak ich pomieszać.

⚠ Potraktowanie $3a$ jako współczynnika przy $x^2$ i policzenie $\Delta = 4 - 12a$ „odwrotnie”, czyli $\Delta = 4 - 4 \cdot 3a \cdot 1$ — to akurat wychodzi tak samo, ale przy innym rozmieszczeniu liczb już nie. Prawdziwym błędem jest tu kierunek nierówności: z $4 < 12a$ wynika $a > \tfrac13$ , a nie $a < \tfrac13$ ; odpowiedź C podaje właśnie przedział po niewłaściwej stronie tej granicy. Warto podstawić jedną liczbę i sprawdzić — dla $a = 0$ miejsca zerowe istnieją, więc zero nie może należeć do szukanego zbioru, co od razu skreśla B i C.

Zadanie 3 (sierpień 2015)1 pktłatwe

Parabola o wierzchołku

W = (-3,\, 5)

i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

A. $y = 2 \cdot (x + 3)^2 + 5$
B. $y = -2 \cdot (x - 3)^2 + 5$
C. $y = -2 \cdot (x + 3)^2 + 5$
D. $y = -2 \cdot (x - 3)^2 - 5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Treść daje dwa warunki i każdy odsiewa część odpowiedzi. Sprawdzamy je po kolei.
Warunek 1 — ramiona w dół znaczy $a < 0$ , czyli przed nawiasem musi stać minus. To wyklucza odpowiedź A.
Warunek 2 — wierzchołek $(\textcolor{#16A06A}{-3},\, \textcolor{#16A06A}{5})$ . W postaci kanonicznej nawias ma kształt $x - p$ , a $p = \textcolor{#16A06A}{-3}$ , więc
$x - p = x - (\textcolor{#16A06A}{-3}) = x \textcolor{#E0453A}{+ 3}$
Nawias musi być $(x + 3)$ — to wyklucza B i D, w których stoi $(x - 3)$ .
Za nawiasem stoi $q = \textcolor{#16A06A}{5}$ , czyli $+5$ — co dodatkowo wyklucza D.
$y = \textcolor{#E0453A}{-2}(x \textcolor{#E0453A}{+ 3})^2 + \textcolor{#16A06A}{5}$
Odpowiedź: C.
Kontrola: dla $x = -3$ nawias się zeruje, więc $y = 5$ ✓ — wierzchołek jest tam, gdzie ma być. A skoro $a = -2 < 0$ , to $5$ jest wartością największą, czyli ramiona faktycznie idą w dół ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na słowo „może” w treści. Współczynnik $a$ nie jest tu wyznaczony — dwójka mogłaby być dowolną liczbą ujemną i parabola nadal miałaby ten wierzchołek. Zadanie nie pyta więc o jedyny możliwy wzór, tylko o taki, który jest zgodny z opisem; wystarczy sprawdzić trzy rzeczy: znak przed nawiasem, zawartość nawiasu i liczbę za nim.

⚠ Przepisanie $p = -3$ wprost do nawiasu, czyli $(x - 3)$ . To najczęstszy błąd przy postaci kanonicznej i tutaj prowadzi do odpowiedzi B, która jest poprawna pod każdym innym względem. Pewny test: nawias musi się zerować w wierzchołku. Dla $(x-3)$ zeruje się przy $x = 3$ , więc opisuje parabolę o wierzchołku $(3, 5)$ , a nie $(-3, 5)$ .

Zadanie 4 (sierpień 2014)1 pktśrednie

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział

(-\infty,\, -3\rangle

, może być określona wzorem

A. $y = (x + 2)^2 - 3$
B. $y = -(x + 3)^2$
C. $y = -(x - 2)^2 - 3$
D. $y = -x^2 + 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zbiór wartości funkcji kwadratowej zależy od dwóch rzeczy: znaku $a$ i wartości $q$ . Przedział z treści, $(-\infty,\, \textcolor{#16A06A}{-3}\rangle$ , mówi nam obie.
Jest domknięty z prawej i nieograniczony z lewej, więc funkcja przyjmuje wartość największą — a to znaczy $a < 0$ , ramiona w dół.
Największa wartość to $\textcolor{#16A06A}{-3}$ , czyli $q = \textcolor{#16A06A}{-3}$ .
Sprawdzamy odpowiedzi pod tymi dwoma kątami:
A: $a > 0$ (brak minusa) — ramiona w górę, więc zbiór wartości to $\langle -3, +\infty)$ , a nie $(-\infty, -3\rangle$ . ✗
B: $a < 0$ ✓, ale $q = \textcolor{#E0453A}{0}$ — zbiór wartości to $(-\infty, 0\rangle$ . ✗
C: $a = \textcolor{#E0453A}{-1} < 0$ ✓ oraz $q = \textcolor{#E0453A}{-3}$ ✓ — zbiór wartości to $(-\infty, -3\rangle$ . ✓
D: $a < 0$ ✓, ale $q = \textcolor{#E0453A}{3}$ , czyli dodatnie — zbiór wartości to $(-\infty, 3\rangle$ . ✗
Odpowiedź: C.
Warto zauważyć, że liczba $2$ w nawiasie odpowiedzi C nie ma żadnego wpływu na zbiór wartości — przesuwa parabolę w poziomie, a nie w pionie.

💡 Wskazówka: Sprawdzaj odpowiedzi w kolejności: najpierw znak $a$ (jedno spojrzenie na minus przed nawiasem), potem liczba za nawiasem. Znak $a$ odrzuca zwykle połowę opcji w jednej sekundzie, a wtedy zostaje porównanie samych wartości $q$ — bez żadnego rachunku.

⚠ Szukanie trójki w nawiasie zamiast za nawiasem — odpowiedź B ma $(x+3)^2$ i wygląda kusząco, ale trójka siedzi tam w roli $p$ , czyli odpowiada za położenie w poziomie. Za nawiasem nie ma nic, więc $q = 0$ . Drugi błąd: pominięcie znaku przy $q$ i wybór odpowiedzi D, w której największa wartość to $+3$ , a nie $-3$ .

Zadanie 5 (sierpień 2023)2 pkttrudniejsze

Funkcje

A

B

C

D

E

oraz

F

są określone dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wzory tych funkcji podano poniżej. Uzupełnij zdanie — wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami

A

–

F

.
Przedział

(-\infty,\, 2\rangle

jest zbiorem wartości funkcji ……… oraz ……… .

A. $A(x) = -(x - 3)^2 + 2$
B. $B(x) = x^2 + 2$
C. $C(x) = -5(x - 2)^2$
D. $D(x) = (x - 2)^2$
E. $E(x) = 2x^2 - 8x + 10$
F. $F(x) = -2x^2 + 4x$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, F

Szukamy funkcji, których zbiorem wartości jest $(-\infty,\, \textcolor{#16A06A}{2}\rangle$ . To wymaga dwóch rzeczy naraz: ramion w dół ( $a < 0$ ) oraz wartości największej równej $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Pierwsze sito — znak $a$ . Funkcje $B$ , $D$ i $E$ mają $a > 0$ , więc ich zbiory wartości są nieograniczone z góry, a nie z dołu. Odpadają natychmiast, bez liczenia.
Zostają trzy: $A$ , $C$ i $F$ . Dla każdej sprawdzamy $q$ .
$A(x) = -(x-3)^2 + \textcolor{#16A06A}{2}$ — postać kanoniczna, więc $q = \textcolor{#16A06A}{2}$ wprost. Zbiór wartości: $(-\infty, \textcolor{#E0453A}{2}\rangle$ ✓
$C(x) = -5(x-2)^2$ — za nawiasem nie ma nic, więc $q = \textcolor{#E0453A}{0}$ . Zbiór wartości: $(-\infty, \textcolor{#E0453A}{0}\rangle$ ✗
$F(x) = -2x^2 + 4x$ — postać ogólna, trzeba policzyć wierzchołek. $a = \textcolor{#16A06A}{-2}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{4}$ :
$p = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-2})} = \textcolor{#E0453A}{1}, \qquad q = F(\textcolor{#E0453A}{1}) = -\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Zbiór wartości: $(-\infty, \textcolor{#E0453A}{2}\rangle$ ✓
Odpowiedź: $A$ oraz $F$ .
Kontrola dla $E$ , bo jej wierzchołek też ma $q = 2$ i to ją czyni najlepszym dystraktorem: $p = -\tfrac{-8}{4} = 2$ , $q = E(2) = 8 - 16 + 10 = 2$ . Ale $a = 2 > 0$ , więc dwójka jest wartością najmniejszą i zbiorem wartości jest $\langle 2, +\infty)$ — ten sam wierzchołek, przeciwny przedział.

💡 Wskazówka: Nie licz wierzchołków wszystkich sześciu funkcji. Najpierw odsiej po znaku $a$ — połowa opcji odpada w kilka sekund. Dopiero dla pozostałych sprawdzaj $q$ , a przy postaci kanonicznej wystarczy odczytać liczbę za nawiasem: jeśli nic tam nie stoi, $q = 0$ .

⚠ Wybranie funkcji $E$ zamiast $F$ . To najgroźniejszy dystraktor w zadaniu, bo $E$ ma wierzchołek o tej samej wysokości $q = 2$ — różni się tylko znakiem $a$ . Dwójka jest tam wartością najmniejszą, więc zbiór wartości jest odwrócony. Drugi błąd: wybór funkcji $C$ , bo „ma minus i dwójkę” — dwójka siedzi tam jednak w nawiasie, w roli $p$ , a $q$ wynosi zero.

Zadanie 6 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Informacja do zadań 6–8. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3,\, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0,\, -9)

.

Funkcja

f

jest malejąca w przedziale

A. $(-\infty,\, 0\rangle$
B. $(-\infty,\, 3\rangle$
C. $\langle 0,\, +\infty)$
D. $\langle 3,\, +\infty)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Monotoniczność funkcji kwadratowej zależy od dwóch rzeczy: gdzie leży wierzchołek i w którą stronę idą ramiona. Pierwszą mamy z treści, drugą trzeba wywnioskować.
Wierzchołek: $(\textcolor{#16A06A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{0})$ , więc $p = \textcolor{#16A06A}{3}$ — to punkt, w którym funkcja zmienia kierunek.
Znak $a$ . Wierzchołek leży na osi $Ox$ (bo $q = 0$ ), a parabola przechodzi przez punkt $(\textcolor{#16A06A}{0}, \textcolor{#16A06A}{-9})$ , czyli poniżej tej osi. Skoro najdalszy punkt wierzchołkowy jest na wysokości $0$ , a wykres schodzi do $-9$ , to wierzchołek musi być najwyższym punktem paraboli:
$a \textcolor{#E0453A}{< 0}$ — ramiona skierowane w dół.
Dla ramion w dół funkcja rośnie przed wierzchołkiem i maleje po nim:
maleje w przedziale $\langle \textcolor{#E0453A}{3},\, +\infty)$
Odpowiedź: D.
Dla porządku wyznaczmy wzór — przyda się w kolejnych zadaniach tego klastra. Postać kanoniczna: $f(x) = a(x - \textcolor{#16A06A}{3})^2 + \textcolor{#16A06A}{0}$ . Z warunku $f(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#16A06A}{-9}$ :
$a \cdot \textcolor{#E0453A}{9} = \textcolor{#16A06A}{-9} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{-1}, \qquad f(x) = \textcolor{#E0453A}{-(x-3)^2}$
To potwierdza $a < 0$ ✓

💡 Wskazówka: Znak $a$ da się tu ustalić bez liczenia, samym porównaniem dwóch wysokości: wierzchołek jest na poziomie $0$ , a inny punkt wykresu na poziomie $-9$ . Skoro istnieje punkt niżej niż wierzchołek, to wierzchołek jest maksimum — a więc ramiona idą w dół. Ten sposób myślenia działa zawsze, gdy w treści są podane wierzchołek i jeszcze jeden punkt.

⚠ Odpowiedzi A i C operują zerem, bo zero występuje w treści dwa razy — jako druga współrzędna wierzchołka i jako pierwsza współrzędna drugiego punktu. Żadne z nich nie jest jednak $p$ : o monotoniczności decyduje pierwsza współrzędna wierzchołka, czyli $3$ . Drugi błąd: przyjęcie ramion w górę i odpowiedź B — wtedy funkcja malałaby przed wierzchołkiem. Warto sprawdzić na liczbach: $f(0) = -9$ , a $f(3) = 0$ , więc od $0$ do $3$ funkcja rośnie, co wyklucza B.

Zadanie 7 (grudzień 2024)2 pktśrednie

Informacja do zadań 6–8. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3,\, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0,\, -9)

.

Uzupełnij zdanie — wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami

A

–

F

.
Wzór funkcji

f

zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: ……… oraz ……… .

A. $f(x) = -x^2 - 9$
B. $f(x) = -(x - 3)^2$
C. $f(x) = -(x + 3)^2$
D. $f(x) = -x^2 + 6x - 9$
E. $f(x) = -x^2 - 6x + 9$
F. $f(x) = -x^2 - 6x - 9$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Zadanie pyta o dwa zapisy tej samej funkcji — jeden w postaci kanonicznej, drugi w ogólnej. Najpierw wyznaczamy wzór, potem szukamy obu jego wersji na liście.
Postać kanoniczna z wierzchołka. Wierzchołek to $(\textcolor{#16A06A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{0})$ , więc
$f(x) = a(x - \textcolor{#16A06A}{3})^2 + \textcolor{#16A06A}{0} = a(x - \textcolor{#16A06A}{3})^2$
Współczynnik $a$ wyznaczamy z drugiego punktu, $f(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#16A06A}{-9}$ :
$a(\textcolor{#16A06A}{0} - \textcolor{#16A06A}{3})^2 = \textcolor{#16A06A}{-9} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{9}a = \textcolor{#16A06A}{-9} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{-1}$
$f(x) = \textcolor{#E0453A}{-(x - 3)^2}$ — to odpowiedź B.
Postać ogólna — rozwijamy kwadrat, pamiętając, że minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika:
$-(x-3)^2 = -\left(x^2 - \textcolor{#E0453A}{6}x + \textcolor{#E0453A}{9}\right) = \textcolor{#E0453A}{-x^2 + 6x - 9}$ — to odpowiedź D.
Odpowiedź: $B$ oraz $D$ .
Kontrola obu warunków na postaci ogólnej: $f(3) = -9 + 18 - 9 = 0$ ✓ (wierzchołek) oraz $f(0) = -9$ ✓ (drugi punkt).
Warto obejrzeć pozostałe odpowiedzi — każda z nich to inna funkcja: $C$ i $F$ opisują parabolę o wierzchołku $(-3, 0)$ , $E$ ma wierzchołek $(-3, 18)$ , a $A$ wierzchołek $(0, -9)$ .

💡 Wskazówka: Wśród sześciu odpowiedzi trzy są w postaci kanonicznej, a trzy w ogólnej — i szukamy jednej z każdej grupy. To znacząco zawęża pracę: wyznacz postać kanoniczną (jedno równanie na $a$ ), wybierz ją z pierwszej trójki, a potem po prostu rozwiń nawias i porównaj z drugą trójką.

⚠ Zgubienie znaku przy rozwijaniu $-(x-3)^2$ . Poprawnie jest $-x^2 + 6x - 9$ ; częsty zapis $-x^2 - 6x + 9$ (odpowiedź E) powstaje, gdy minus rozdzieli się tylko na część składników. Kontrola jest natychmiastowa: wyraz wolny postaci ogólnej to $f(0)$ , a $f(0)$ ma być równe $-9$ — więc na końcu musi stać $-9$ , co od razu skreśla E. Drugi błąd: pomylenie znaku w nawiasie i wybór $C$ zamiast $B$ ; nawias musi zerować się dla $x = 3$ .

Zadanie 8 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Informacja do zadań 6–8. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3,\, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0,\, -9)

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g(x) = f(x) - 1

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Funkcja $g$ ma jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x = 3$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Z poprzednich zadań tego klastra wiemy, że $f(x) = \textcolor{#16A06A}{-(x-3)^2}$ , więc
$g(x) = f(x) - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{-(x-3)^2 - 1}$
Wierzchołek funkcji $g$ to $(\textcolor{#E0453A}{3},\, \textcolor{#E0453A}{-1})$ — odjęcie jedynki przesuwa cały wykres o jednostkę w dół, nie zmieniając niczego w poziomie.
Zdanie 1 — liczba miejsc zerowych. Ramiona idą w dół ( $a = \textcolor{#E0453A}{-1}$ ), więc $\textcolor{#E0453A}{-1}$ jest wartością największą funkcji $g$ . Największa wartość jest ujemna, czyli cały wykres leży pod osią $Ox$ i nie przecina jej ani razu.
Miejsc zerowych jest zatem zero, a nie jedno ✗ F
Zdanie 2 — oś symetrii. Przesunięcie w pionie nie zmienia pierwszej współrzędnej wierzchołka, więc oś symetrii zostaje tam, gdzie była: $x = \textcolor{#E0453A}{3}$ ✓ P
Odpowiedź: F, P.
Kontrola pierwszego zdania rachunkiem: $g(x) = 0$ daje $-(x-3)^2 = 1$ , czyli $(x-3)^2 = -1$ — a kwadrat nigdy nie jest ujemny, więc równanie jest sprzeczne i miejsc zerowych nie ma ✓

💡 Wskazówka: Zdanie pierwsze jest pułapką na odruch: funkcja $f$ miała dokładnie jedno miejsce zerowe (wierzchołek leżał na osi $Ox$ ), więc kusi, żeby $g$ też miała jedno. Ale to właśnie tę jedyną styczność przesunięcie w dół niszczy — parabola odrywa się od osi. Zawsze sprawdzaj położenie wierzchołka po przesunięciu, a nie przed.

⚠ Odpowiedź „P” w pierwszym zdaniu, czyli przeniesienie własności $f$ na $g$ bez sprawdzenia. Warto zapamiętać regułę: przy ramionach w dół funkcja ma zero miejsc zerowych, gdy $q < 0$ , jedno, gdy $q = 0$ , i dwa, gdy $q > 0$ . Tutaj przesunięcie zmieniło $q$ z $0$ na $-1$ , czyli przeprowadziło funkcję z drugiego przypadku do pierwszego. Drugi błąd: uznanie, że skoro wykres się przesunął, to i oś symetrii — przesunięcie w pionie nie rusza osi symetrii wcale.

Zadanie 9 (sierpień 2025)1 pkttrudniejsze

Informacja do zadań 9–11. Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + bx + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

f

jest określona wzorem

A. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 4)(x - 6)$
B. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 4)(x + 6)$
C. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)(x - 6)$
D. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)(x + 6)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wszystkie odpowiedzi są w postaci iloczynowej, a do jej zapisania potrzebne są dwa miejsca zerowe. Jedno mamy z treści, drugie wyliczymy z osi symetrii.
Drugie miejsce zerowe. Oś symetrii przechodzi dokładnie w środku między miejscami zerowymi, więc odbijamy znane miejsce zerowe względem prostej $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$x_2 = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} - \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{-4}$
Zapisujemy postać iloczynową. Współczynnik $a = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}$ przepisujemy z postaci ogólnej — zmiana zapisu go nie dotyczy. Miejsca zerowe to $\textcolor{#E0453A}{-4}$ i $\textcolor{#16A06A}{6}$ , a w nawiasach stoją wyrażenia $x - x_1$ i $x - x_2$ :
$f(x) = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}\left(x - (\textcolor{#E0453A}{-4})\right)\left(x - \textcolor{#16A06A}{6}\right) = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}\left(x \textcolor{#E0453A}{+ 4}\right)\left(x \textcolor{#16A06A}{- 6}\right)$
Odpowiedź: C.
Kontrola obu warunków. Miejsca zerowe: nawiasy zerują się dla $x = -4$ i $x = 6$ , a $6$ jest wśród nich ✓ Oś symetrii: $\tfrac{-4 + 6}{2} = 1$ ✓

💡 Wskazówka: Kluczowa jest zależność $x_2 = 2p - x_1$ : oś symetrii to średnia miejsc zerowych, więc znając jedno z nich i oś, drugie dostajemy jednym odejmowaniem. Zwróć uwagę, że oś $x = 1$ leży na lewo od miejsca zerowego $6$ , więc drugie miejsce zerowe musi być jeszcze bardziej na lewo — czyli ujemne. To pozwala odrzucić A i D, zanim cokolwiek policzysz.

⚠ Przepisanie miejsc zerowych wprost do nawiasów bez zmiany znaku, czyli zapis $(x - 4)$ dla miejsca zerowego $-4$ — stąd odpowiedź A. W postaci iloczynowej nawias ma kształt $x - x_1$ , więc dla $x_1 = -4$ powstaje $x + 4$ . Drugi błąd: obliczenie drugiego miejsca zerowego jako $1 - 6 = -5$ albo $6 - 1 = 5$ , czyli pomylenie odległości od osi z samym miejscem zerowym; odległość wynosi $5$ , ale miejsce zerowe leży o te $5$ od osi, a nie od zera: $1 - 5 = -4$ .

Zadanie 10 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Informacja do zadań 9–11. Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + bx + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Oba współczynniki da się wyznaczyć na dwa sposoby. Pokażę krótszy — przez wzory, bez rozwijania nawiasów — a potem sprawdzę wynik rozwinięciem.
Współczynnik $b$ z osi symetrii. Zachodzi $p = -\dfrac{b}{2a}$ , a z treści $p = \textcolor{#16A06A}{1}$ oraz $a = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12}$ :
$\textcolor{#16A06A}{1} = -\dfrac{b}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{\frac12}} = -\dfrac{b}{\textcolor{#E0453A}{1}} \qquad \Longrightarrow \qquad b = \textcolor{#E0453A}{-1}$
Liczba $-1$ jest ujemna ✗ F
Współczynnik $c$ jako wartość $f(0)$ . Wyraz wolny to zawsze wartość funkcji w zerze. Z zadania 9 wiemy, że $f(x) = \tfrac12(x+4)(x-6)$ , więc
$c = f(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#16A06A}{\tfrac12} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-6}) = \textcolor{#E0453A}{-12}$
Liczba $-12$ jest ujemna ✗ F
Odpowiedź: F, F.
Kontrola przez rozwinięcie postaci iloczynowej: $\tfrac12(x+4)(x-6) = \tfrac12(x^2 - 2x - 24) = \tfrac12 x^2 - x - 12$ . Odczytujemy $b = -1$ ✓ oraz $c = -12$ ✓ — zgodnie z oboma rachunkami powyżej.

💡 Wskazówka: Znak $c$ można ustalić bez żadnego rachunku. Wyraz wolny to $f(0)$ , czyli wysokość, na której wykres przecina oś $Oy$ . Ramiona idą w górę ( $a = \tfrac12 > 0$ ), a miejsca zerowe to $-4$ i $6$ — zero leży między nimi, czyli w obszarze, gdzie parabola jest pod osią $Ox$ . Zatem $f(0) < 0$ , więc $c < 0$ .

⚠ Odczytanie znaku $b$ wprost z osi symetrii: „ $p = 1$ jest dodatnie, więc $b$ też”. Jest odwrotnie — we wzorze $p = -\tfrac{b}{2a}$ stoi minus, więc przy dodatnim $a$ znaki $p$ i $b$ są przeciwne. Drugi błąd dotyczy $c$ : wzięcie za wyraz wolny liczby $6$ z treści. Szóstka jest miejscem zerowym, czyli mówi, gdzie wykres przecina oś $Ox$ , a $c$ mówi, gdzie przecina oś $Oy$ — to dwie różne osie i dwie różne liczby.

Zadanie 11 (sierpień 2025)1 pkttrudniejsze

Informacja do zadań 9–11. Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + bx + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g(x) = f(x - 3)

. Osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

A. $x = -2$
B. $x = 1$
C. $x = 3$
D. $x = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zapis $g(x) = f(x \textcolor{#16A06A}{- 3})$ oznacza przesunięcie wykresu w prawo o 3 jednostki — i to jest jedyna trudność tego zadania, bo znak sugeruje coś przeciwnego.
Skąd wiadomo, że w prawo? Zobaczmy, dla jakiego argumentu funkcja $g$ przyjmuje tę samą wartość, którą $f$ przyjmuje w wierzchołku. Wierzchołek $f$ jest przy $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ , a $g(x) = f(x-3)$ , więc szukamy $x$ takiego, że
$x - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{4}$
Wierzchołek funkcji $g$ leży zatem przy $x = \textcolor{#E0453A}{4}$ , a osią symetrii jest prosta
$x = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: D.
Kontrola na konkretnym wzorze. Z zadań 9 i 10 wiemy, że $f(x) = \tfrac12 x^2 - x - 12$ , czyli $f(x) = \tfrac12(x-1)^2 - 12{,}5$ w postaci kanonicznej. Wtedy
$g(x) = f(x-3) = \tfrac12\left((x-3) - 1\right)^2 - 12{,}5 = \tfrac12(x - \textcolor{#E0453A}{4})^2 - 12{,}5$
Wierzchołek jest przy $x = 4$ ✓ Można też sprawdzić bezpośrednio: $g(4) = f(1)$ , a $f(1)$ to właśnie wartość wierzchołkowa.

💡 Wskazówka: Reguła, którą warto mieć w głowie: $f(x - 3)$ przesuwa w prawo, $f(x + 3)$ w lewo — czyli przeciwnie do znaku. Jeśli nie chcesz jej pamiętać, użyj metody z rozwiązania: przyrównaj zawartość nawiasu do starego położenia wierzchołka i wylicz nowe. Ta metoda nigdy nie zawodzi i nie wymaga zapamiętywania kierunku.

⚠ Odjęcie trójki od osi symetrii i odpowiedź $x = -2$ — czyli przesunięcie w lewo zamiast w prawo. To najczęstszy błąd przy przekształceniach wykresów i dlatego odpowiedź A jest podstawiona dokładnie na niego. Drugi błąd: odpowiedź $x = 3$ , czyli przepisanie liczby z nawiasu jako gotowego wyniku; trójka mówi tylko o ile przesuwamy, a nie gdzie ląduje oś. Trzeci wariant: odpowiedź $x = 1$ , gdy ktoś uzna, że przesunięcie w poziomie nie zmienia osi symetrii — zmienia, i to dokładnie o wartość przesunięcia. Osi symetrii nie zmienia dopiero przesunięcie w pionie, jak w zadaniu 8.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. D	3. C	4. C	5. A, F	6. D
7. B, D	8. F, P	9. C	10. F, F	11. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — wykres funkcji kwadratowej, odczytywanie wzoru z paraboli

Zielone jest to, co odczytane z rysunku. Czerwone — to, co z tego wynika. Z wykresu paraboli odczytuje się trzy rzeczy i każda daje coś innego: kierunek ramion (znak

a

), wierzchołek

(p,\, q)

— czyli oś symetrii, zbiór wartości i monotoniczność, oraz miejsca zerowe — czyli postać iloczynową. Współczynnik

a

liczy się z dowolnego trzeciego punktu: wstawiamy go do postaci kanonicznej

a(x-p)^2 + q

i wyznaczamy jedyną nieznaną liczbę.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 11 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2014)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie

A = (2,\, 4)

, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

. Funkcja

f

może być opisana wzorem

A. $f(x) = (x - 2)^2 + 4$
B. $f(x) = (x + 2)^2 + 4$
C. $f(x) = -(x - 2)^2 + 4$
D. $f(x) = -(x + 2)^2 + 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wszystkie cztery odpowiedzi są w postaci kanonicznej i mają to samo $q = 4$ , więc różnią się tylko dwiema rzeczami: znakiem przed nawiasem i znakiem w nawiasie. Wystarczy ustalić obie.
Znak przed nawiasem — z kierunku ramion. Na rysunku parabola opada za punktem $A$ , czyli $A$ jest jej najwyższym punktem. Zatem $a \textcolor{#E0453A}{< 0}$ i przed nawiasem musi stać minus. To wyklucza odpowiedzi A i B.
Znak w nawiasie — z wierzchołka. Treść podaje $A = (\textcolor{#16A06A}{2},\, \textcolor{#16A06A}{4})$ , więc $p = \textcolor{#16A06A}{2}$ , a nawias ma postać $x - p = x \textcolor{#E0453A}{- 2}$ . To wyklucza D.
$f(x) = \textcolor{#E0453A}{-}(x \textcolor{#E0453A}{- 2})^2 + \textcolor{#16A06A}{4}$
Odpowiedź: C.
Kontrola na rysunku: wykres przechodzi przez początek układu, więc powinno być $f(0) = 0$ . Sprawdzamy: $-(0-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$ ✓ Dla odpowiedzi D wyszłoby $-(0+2)^2+4 = 0$ — też zero, więc ta kontrola nie rozstrzyga między C i D; rozstrzyga dopiero położenie wierzchołka, który na rysunku leży po prawej stronie osi $Oy$ .

💡 Wskazówka: Zadanie sprawdza dwa niezależne odczyty, więc rozdziel je: najpierw spójrz tylko na kierunek ramion, potem tylko na pierwszą współrzędną wierzchołka. Każdy odczyt odrzuca połowę odpowiedzi, a razem zostawiają dokładnie jedną. Wartości $a$ nie trzeba tu liczyć wcale — wszystkie odpowiedzi mają $|a| = 1$ .

⚠ Przepisanie $p = 2$ wprost do nawiasu ze znakiem minus przy całości, czyli $-(x+2)^2+4$ — odpowiedź D. Nawias musi się zerować w wierzchołku: dla $x = 2$ wyrażenie $(x-2)$ daje zero, a $(x+2)$ daje $4$ . Drugi błąd: przeoczenie, że narysowany jest tylko fragment paraboli, i uznanie ramion za skierowane w górę, bo lewa część krzywej wznosi się. Rozstrzyga to, co dzieje się za wierzchołkiem — a tam krzywa opada.

Zadanie 2 (sierpień 2024)1 pktłatwe

Informacja do zadań 2–4. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

Ox

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

A. $(-\infty,\, -2\rangle$
B. $\langle 1,\, +\infty)$
C. $\langle -1,\, 3\rangle$
D. $\langle -2,\, +\infty)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zbiór wartości zależy od dwóch rzeczy: kierunku ramion i wysokości wierzchołka. Oba odczytujemy z rysunku.
Ramiona idą w górę, więc wierzchołek jest najniższym punktem wykresu i funkcja przyjmuje wartość najmniejszą. Zbiór wartości będzie więc miał postać $\langle q,\, +\infty)$ .
Wierzchołek leży w kratce o współrzędnych $(\textcolor{#16A06A}{1},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ — treść gwarantuje, że są całkowite, więc odczyt jest pewny. Zatem $q = \textcolor{#16A06A}{-2}$ .
$\text{ZW} = \langle \textcolor{#E0453A}{-2},\, +\infty)$
Odpowiedź: D.
Kontrola: najniższy punkt krzywej leży na wysokości $-2$ , a krzywa biegnie w górę bez ograniczenia — więc funkcja przyjmuje wszystkie wartości od $-2$ w górę, i $-2$ też, bo wierzchołek należy do wykresu ✓

💡 Wskazówka: Zbiór wartości czyta się z osi pionowej, nie z poziomej. Odpowiedź C, $\langle -1, 3\rangle$ , podaje miejsca zerowe — czyli to, co widać na osi $Ox$ . Przy pytaniu o zbiór wartości warto wodzić palcem po osi $Oy$ i pytać: „na jakich wysokościach pojawia się krzywa?”.

⚠ Podanie przedziału $\langle -1, 3\rangle$ , czyli miejsc zerowych zamiast zbioru wartości. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dlatego odpowiedź C jest podstawiona. Drugi błąd: odpowiedź A, czyli poprawna liczba $-2$ , ale przedział skierowany w złą stronę — to byłby zbiór wartości funkcji o ramionach w dół. Kierunek przedziału zawsze wynika ze znaku $a$ , a nie z samego $q$ .

Zadanie 3 (sierpień 2024)1 pktłatwe

Informacja do zadań 2–4. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

Ox

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

A. $x = 1$
B. $y = 1$
C. $x = -2$
D. $y = -2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Oś symetrii paraboli to prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, więc jej równanie ma postać $x = p$ . To od razu wyklucza odpowiedzi B i D, w których równania opisują proste poziome.
Pierwsza współrzędna wierzchołka odczytana z rysunku to $\textcolor{#16A06A}{1}$ , więc
osią symetrii jest prosta $x = \textcolor{#E0453A}{1}$
Odpowiedź: A.
Kontrola przez symetrię miejsc zerowych: krzywa przecina oś $Ox$ w punktach $\textcolor{#16A06A}{-1}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ , a ich średnia to $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#16A06A}{3}}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}$ ✓ Oba odczyty dają tę samą liczbę, co potwierdza, że wierzchołek został odczytany poprawnie.

💡 Wskazówka: Jeśli wierzchołek trudno odczytać precyzyjnie, użyj miejsc zerowych — oś symetrii jest dokładnie w ich środku. W tym zadaniu obie drogi prowadzą do jedynki, a ich zgodność jest darmowym sprawdzeniem, czy dobrze widzisz siatkę.

⚠ Odpowiedzi C i D operują liczbą $-2$ , czyli drugą współrzędną wierzchołka. Odpowiada ona za wysokość, na której leży wierzchołek, a nie za położenie osi symetrii. Warto zapamiętać podział: pierwsza współrzędna wierzchołka daje oś symetrii, druga — zbiór wartości. Drugi błąd: wybór $y = 1$ z poprawną liczbą, ale złą zmienną; oś symetrii paraboli nigdy nie jest pozioma.

Zadanie 4 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Informacja do zadań 2–4. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

Ox

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja

f

jest określona wzorem

A. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 + 2$
B. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$
C. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 - 2$
D. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wszystkie odpowiedzi mają ten sam współczynnik $a = \tfrac12$ , więc jego liczyć nie trzeba — wystarczy poprawnie wstawić wierzchołek $(\textcolor{#16A06A}{1},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ odczytany z rysunku.
$f(x) = \tfrac12 \left(x - \textcolor{#16A06A}{1}\right)^2 \textcolor{#16A06A}{- 2}$
Nawias: $x - p = x \textcolor{#E0453A}{- 1}$ , bo $p = \textcolor{#16A06A}{1}$ jest dodatnie. Za nawiasem: $q = \textcolor{#16A06A}{-2}$ , czyli minus dwa.
Odpowiedź: C.
Warto sprawdzić, czy $a = \tfrac12$ zgadza się z rysunkiem — bo choć zadanie tego nie wymaga, jest to dobra kontrola odczytu. Podstawiamy miejsce zerowe $\textcolor{#16A06A}{3}$ :
$f(\textcolor{#16A06A}{3}) = \tfrac12 (\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{1})^2 - \textcolor{#16A06A}{2} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓
Gdyby $a$ było równe $1$ , wyszłoby $4 - 2 = 2 \neq 0$ — czyli parabola nie przechodziłaby przez $3$ . Współczynnik $\tfrac12$ jest więc zgodny z tym, co widać.

💡 Wskazówka: Gdy wszystkie odpowiedzi mają identyczne $a$ , zadanie sprowadza się do dwóch znaków: w nawiasie i za nawiasem. Zamiast rozważać cztery wzory, zapisz sobie wierzchołek jako parę liczb $(1, -2)$ i przepisz je do schematu $a(x - p)^2 + q$ — z pamięcią, że przy $p$ znak się odwraca, a przy $q$ nie.

⚠ Odwrócenie znaku przy $q$ i wybór odpowiedzi A — czyli $+2$ zamiast $-2$ . Wierzchołek leży pod osią $Ox$ , więc $q$ musi być ujemne; to widać na rysunku bez żadnego rachunku. Drugi błąd: odwrócenie znaku w nawiasie (odpowiedzi B i D). Pewny test: podstaw $x = 1$ — nawias musi dać zero, a $(1+1)^2 = 4$ zera nie daje.

Zadanie 5 (maj 2024)1 pktśrednie

Informacja do zadań 5–6. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

A. $f(x) = -(x + 1)^2 - 9$
B. $f(x) = -(x - 1)^2 + 9$
C. $f(x) = -(x - 1)^2 - 9$
D. $f(x) = -(x + 1)^2 + 9$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wszystkie odpowiedzi mają $a = -1$ , co zgadza się z rysunkiem (ramiona w dół). Różnią się dwoma znakami, więc znowu wystarczy poprawnie odczytać wierzchołek.
Wierzchołek leży w kratce $(\textcolor{#16A06A}{1},\, \textcolor{#16A06A}{9})$ .
Nawias: $x - \textcolor{#16A06A}{1}$ . Za nawiasem: $+\textcolor{#16A06A}{9}$ .
$f(x) = -(x \textcolor{#E0453A}{- 1})^2 \textcolor{#E0453A}{+ 9}$
Odpowiedź: B.
Kontrola na trzech punktach odczytanych z rysunku — i to jest tu szczególnie pouczające, bo rysunek daje ich aż trzy. Miejsca zerowe $\textcolor{#16A06A}{-2}$ i $\textcolor{#16A06A}{4}$ :
$f(-2) = -(-3)^2 + 9 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓ $f(4) = -(3)^2 + 9 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓
Przecięcie z osią $Oy$ w punkcie $\textcolor{#16A06A}{8}$ : $f(0) = -(-1)^2 + 9 = \textcolor{#E0453A}{8}$ ✓
Trzy zgodności to mocne potwierdzenie, że odczyt wierzchołka był poprawny.

💡 Wskazówka: Ten rysunek daje trzy niezależne punkty kontrolne: dwa miejsca zerowe i przecięcie z osią $Oy$ . Wybierz wzór z wierzchołka, a potem sprawdź go na przecięciu z $Oy$ — to jedno podstawienie ( $x = 0$ ) i natychmiast widać, czy znaki są poprawne. Odpowiedzi z $q = -9$ dają $f(0) = -10$ , co z rysunkiem nie ma nic wspólnego.

⚠ Wzięcie za $q$ liczby $-9$ (odpowiedzi A i C) — wtedy cały wykres leżałby pod osią $Ox$ i nie miałby miejsc zerowych, a na rysunku widać dwa. Drugi błąd: nawias $(x+1)$ zamiast $(x-1)$ , czyli odpowiedź D. Wierzchołek leży po prawej stronie osi $Oy$ , więc $p > 0$ , a przy dodatnim $p$ w nawiasie stoi minus.

Zadanie 6 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Informacja do zadań 5–6. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dla funkcji

f

prawdziwa jest równość

A. $f(-4) = f(6)$
B. $f(-4) = f(5)$
C. $f(-4) = f(4)$
D. $f(-4) = f(7)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Parabola jest symetryczna względem swojej osi, więc funkcja przyjmuje równe wartości w punktach jednakowo od tej osi odległych. Nie trzeba liczyć żadnych wartości — wystarczy znaleźć punkt symetryczny do $-4$ .
Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, czyli przez $p = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
Odległość $-4$ od osi: $\textcolor{#16A06A}{1} - (\textcolor{#16A06A}{-4}) = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Punkt symetryczny leży o te same $\textcolor{#E0453A}{5}$ z drugiej strony osi:
$\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{6}$
Zatem $f(-4) = f(\textcolor{#E0453A}{6})$ .
Odpowiedź: A.
Ogólnie: $x_2 = 2p - x_1 = 2 \cdot 1 - (-4) = 6$ — ten sam wzór, którym liczy się drugie miejsce zerowe, bo to ta sama symetria.
Kontrola rachunkiem na wzorze z poprzedniego zadania: $f(-4) = -(-5)^2 + 9 = \textcolor{#E0453A}{-16}$ oraz $f(6) = -(5)^2 + 9 = \textcolor{#E0453A}{-16}$ ✓ Dla porównania $f(5) = -16 + 9 = -7 \neq -16$ , więc odpowiedź B jest fałszywa.

💡 Wskazówka: Odpowiedź C, $f(-4) = f(4)$ , byłaby poprawna, gdyby osią symetrii była oś $Oy$ — czyli gdyby $p$ było równe zero. Tu $p = 1$ , więc symetria jest przesunięta o jedną jednostkę w prawo i punkt symetryczny do $-4$ też przesuwa się o jedną jednostkę: nie $4$ , a $6$ . Warto to sobie wyobrazić jako lustro postawione w $x = 1$ , a nie w zerze.

⚠ Odbicie względem zera zamiast względem osi symetrii, czyli odpowiedź $f(-4) = f(4)$ . To najczęstszy błąd w tym zadaniu i dlatego C jest podstawione. Drugi błąd: policzenie odległości od osi jako $|-4| - 1 = 3$ zamiast $1 - (-4) = 5$ , co prowadzi do $1 + 3 = 4$ — znowu odpowiedzi C. Bezpieczniej użyć wzoru $x_2 = 2p - x_1$ , w którym nie ma miejsca na pomyłkę w kierunku.

Zadanie 7 (grudzień 2023)1 pktłatwe

Informacja do zadań 7–8. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

A. $(-\infty,\, -2\rangle$
B. $(-\infty,\, 4\rangle$
C. $\langle -2,\, +\infty)$
D. $\langle 4,\, +\infty)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Ramiona idą w górę, więc wierzchołek jest najniższym punktem i zbiór wartości ma postać $\langle q,\, +\infty)$ .
Wierzchołek leży w kratce $(\textcolor{#16A06A}{4},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ , więc $q = \textcolor{#16A06A}{-2}$ .
$\text{ZW} = \langle \textcolor{#E0453A}{-2},\, +\infty)$
Odpowiedź: C.
Kontrola: krzywa schodzi najniżej na wysokość $-2$ i stamtąd rośnie w obie strony bez ograniczenia ✓

💡 Wskazówka: W tym zadaniu obie liczby z wierzchołka — $4$ i $-2$ — pojawiają się w odpowiedziach, więc samo „widzę czwórkę na rysunku” nie wystarcza. Do zbioru wartości bierze się drugą współrzędną wierzchołka, bo zbiór wartości mieszka na osi pionowej. Czwórka jest pierwszą współrzędną i odpowiada za oś symetrii.

⚠ Wybór odpowiedzi z czwórką (B albo D), czyli wzięcie pierwszej współrzędnej wierzchołka zamiast drugiej. Odpowiedzi są tak dobrane, że wszystkie cztery kombinacje „która liczba” × „w którą stronę” są dostępne — trzeba więc świadomie rozstrzygnąć obie rzeczy. Drugi błąd: odpowiedź A, z poprawną liczbą $-2$ , ale przedziałem w złą stronę; przy ramionach w górę zbiór wartości zawsze idzie do plus nieskończoności.

Zadanie 8 (grudzień 2023)2 pkttrudniejsze

Informacja do zadań 7–8. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Uzupełnij zdanie — wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami

A

–

F

.
Wzór funkcji

f

można przedstawić w postaci: ……… oraz ……… .

A. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 2)(x - 6)$
B. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 4)^2 - 2$
C. $f(x) = 2(x - 2)(x - 6)$
D. $f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)^2 - 2$
E. $f(x) = 2(x + 2)(x + 6)$
F. $f(x) = 2(x + 4)^2 - 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, B

Szukamy dwóch zapisów tej samej funkcji: jednego w postaci iloczynowej, drugiego w kanonicznej. Z rysunku odczytujemy wszystko, co potrzebne.
Odczyty: wierzchołek $(\textcolor{#16A06A}{4},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ , miejsca zerowe $\textcolor{#16A06A}{2}$ i $\textcolor{#16A06A}{6}$ , przecięcie z osią $Oy$ w punkcie $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
Współczynnik $a$ . Wszystkie odpowiedzi mają $a$ równe $\tfrac12$ albo $2$ — rozstrzygamy to jednym podstawieniem. Bierzemy postać kanoniczną $a(x-4)^2 - 2$ i miejsce zerowe $\textcolor{#16A06A}{6}$ :
$a(\textcolor{#16A06A}{6} - \textcolor{#16A06A}{4})^2 - \textcolor{#16A06A}{2} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{4}a = \textcolor{#16A06A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$
Postać kanoniczna: $f(x) = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}(x - \textcolor{#16A06A}{4})^2 - \textcolor{#16A06A}{2}$ — to odpowiedź B.
Postać iloczynowa ma kształt $a(x - x_1)(x - x_2)$ z tym samym $a$ i miejscami zerowymi $\textcolor{#16A06A}{2}$ , $\textcolor{#16A06A}{6}$ :
$f(x) = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}(x - \textcolor{#16A06A}{2})(x - \textcolor{#16A06A}{6})$ — to odpowiedź A.
Odpowiedź: $A$ oraz $B$ .
Kontrola na przecięciu z osią $Oy$ , którego jeszcze nie użyliśmy: $f(0) = \tfrac12 \cdot (-2) \cdot (-6) = \textcolor{#E0453A}{6}$ ✓ — zgadza się z rysunkiem. Ta sama kontrola na postaci kanonicznej: $\tfrac12 \cdot 16 - 2 = 6$ ✓

💡 Wskazówka: Trzy odpowiedzi są w postaci iloczynowej, trzy w kanonicznej — a szukamy jednej z każdej grupy. Najpierw wyznacz $a$ jednym podstawieniem (najtaniej: miejsce zerowe do postaci kanonicznej), a potem wybierz z każdej trójki tę, która ma to $a$ i właściwe znaki. Przecięcie z osią $Oy$ zostaw jako kontrolę na koniec — jest darmowe, bo to po prostu $f(0)$ .

⚠ Przyjęcie $a = 2$ zamiast $\tfrac12$ , czyli odwrócenie ułamka — odpowiedzi C, E i F są zbudowane właśnie na tym. Kontrola jest natychmiastowa: dla $a = 2$ wyszłoby $f(0) = 2 \cdot 16 - 2 = 30$ , a rysunek pokazuje $6$ . Drugi błąd: nawias $(x+4)$ w postaci kanonicznej (odpowiedzi D i F) — wierzchołek leży w $x = 4$ , więc nawias musi się zerować dla $x = 4$ . Trzeci: znaki w postaci iloczynowej (odpowiedź E) — miejsca zerowe są dodatnie, więc w nawiasach stoją minusy.

Zadanie 9 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x) = -(x+1)^2 + 4

. Na jednym z rysunków

A

–

D

przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, fragment wykresu funkcji

y = f(x)

. Fragment wykresu funkcji

y = f(x)

przedstawiono na rysunku

A. rysunek $A$
B. rysunek $B$
C. rysunek $C$
D. rysunek $D$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — wzór jest już w postaci kanonicznej i to jest cała podpowiedź. Zapis $f(x) = a(x - p)^2 + q$ podaje wprost dwie rzeczy, których szukamy na rysunku: kierunek ramion (znak $a$ ) oraz wierzchołek $(p, q)$ . Nie trzeba niczego przekształcać.
Porównajmy nasz wzór z ogólnym schematem — uwaga na znak wewnątrz nawiasu:
$f(x) = \textcolor{#16A06A}{-}\left(x \textcolor{#16A06A}{+ 1}\right)^2 \textcolor{#16A06A}{+ 4} \qquad \text{czyli} \qquad a = \textcolor{#E0453A}{-1}, \quad p = \textcolor{#E0453A}{-1}, \quad q = \textcolor{#E0453A}{4}$
Krok 2 — pierwsza cecha: kierunek ramion. Współczynnik $a = \textcolor{#E0453A}{-1}$ jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
Na rysunkach $A$ i $C$ ramiona idą w górę — odpadają obie. Zostają $B$ i $D$ , i to jest połowa zadania załatwiona jednym spojrzeniem na znak.
Krok 3 — druga cecha: odcięta wierzchołka. Wierzchołek leży w punkcie $\left(\textcolor{#E0453A}{-1}, \textcolor{#E0453A}{4}\right)$ , czyli na lewo od osi $Oy$ .
Na rysunku $D$ wierzchołek leży po prawej stronie, w punkcie $(1, 4)$ — czyli $D$ jest lustrzanym odbiciem tego, czego szukamy. Zostaje B.
Odpowiedź: rysunek B.
Kontrola przez miejsca zerowe — niezależna od wierzchołka i tania w rachunku:
$\textcolor{#16A06A}{-}(x + \textcolor{#16A06A}{1})^2 + \textcolor{#16A06A}{4} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad (x + \textcolor{#16A06A}{1})^2 = \textcolor{#16A06A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad x + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{2} \ \text{ lub } \ x + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
$x = \textcolor{#E0453A}{1} \qquad \text{lub} \qquad x = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Parabola przecina oś $Ox$ w punktach $\textcolor{#E0453A}{-3}$ i $\textcolor{#E0453A}{1}$ — obie liczby leżą przeważnie po lewej stronie układu. Na rysunku $B$ jest dokładnie tak; na $D$ przecięcia wypadają w $-1$ i $3$ , czyli przeważnie po prawej ✓
Kontrola druga, najszybsza ze wszystkich: policz $f(0)$ i sprawdź, gdzie parabola przecina oś $Oy$ .
$f(0) = \textcolor{#16A06A}{-}(0 + \textcolor{#16A06A}{1})^2 + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Punkt $(0, \textcolor{#E0453A}{3})$ leży na wykresie. Na rysunku $B$ parabola przecina oś $Oy$ powyżej trójki-czwórki, opadając już w prawo — zgadza się. To najtańsza kontrola w całym zadaniu, bo wymaga jednego podstawienia.

💡 Wskazówka: Postać kanoniczna $a(x-p)^2 + q$ jest zbudowana dokładnie pod takie zadania: znak $a$ daje kierunek ramion, a para $(p, q)$ — wierzchołek. Idź po jednej cesze naraz i odrzucaj: najpierw znak (połowa rysunków odpada), potem znak odciętej wierzchołka (odpada połowa reszty). Zwykle wystarczają dwa kroki i nie trzeba nic liczyć. Największa pułapka to znak $p$ : we wzorze stoi $(x + 1)^2$ , a wierzchołek ma odciętą $-1$ , bo schemat to $(x - p)^2$ i $x + 1 = x - (-1)$ . Kto tego nie odwróci, wskaże lustrzane odbicie. Gdy trzeba dodatkowego potwierdzenia, najtaniej policzyć $f(0)$ — jedno podstawienie daje punkt przecięcia z osią $Oy$ .

⚠ Odczytanie wierzchołka jako $(1, 4)$ , czyli przepisanie jedynki ze wzoru bez zmiany znaku. To prowadzi wprost do rysunku $D$ — lustrzanego odbicia poprawnego względem osi $Oy$ — i jest najczęstszym błędem w tym zadaniu, bo wszystko inne (kierunek ramion, wysokość wierzchołka, kształt) się zgadza. Warto sprawdzić znak podstawieniem: $f(-1) = -(0)^2 + 4 = 4$ , a $f(1) = -(2)^2 + 4 = 0$ ; skoro $f(1) = 0$ , to w punkcie $x = 1$ parabola przecina oś, a nie ma tam wierzchołka. Drugi błąd: uznanie, że minus przed nawiasem dotyczy tylko jedynki w środku, i przyjęcie $a = +1$ — wtedy wybiera się rysunek z ramionami w górę. Trzeci błąd: pomylenie $q$ z wyrazem wolnym postaci ogólnej, czyli przyjęcie, że parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $4$ . Wierzchołek jest na wysokości $4$ , ale oś $Oy$ wykres przecina w $f(0) = 3$ — to dwie różne liczby i mylenie ich prowadzi do złego panelu, gdy wierzchołek nie leży na osi.

Zadanie 10 (sierpień 2014)1 pktśrednie

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem

f(x) = (x - 2)(x + 4)

A. rysunek $A$
B. rysunek $B$
C. rysunek $C$
D. rysunek $D$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — postać iloczynowa mówi wprost, gdzie parabola przecina oś $Ox$ . Iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników:
$(x - \textcolor{#16A06A}{2})(x + \textcolor{#16A06A}{4}) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{2} \quad \text{lub} \quad x = \textcolor{#E0453A}{-4}$
Szukamy więc paraboli przecinającej oś $Ox$ w punktach $\textcolor{#E0453A}{-4}$ i $\textcolor{#E0453A}{2}$ — a nie w $-2$ i $4$ . To są różne pary liczb i na tym polega cała pułapka tego zadania.
Krok 2 — kierunek ramion. Po wymnożeniu nawiasów przy $x^2$ zostaje $\textcolor{#E0453A}{1}$ , bo mnożymy $x \cdot x$ :
$(x - \textcolor{#16A06A}{2})(x + \textcolor{#16A06A}{4}) = x^2 + \textcolor{#E0453A}{2}x - \textcolor{#E0453A}{8}$
Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona idą w górę. Rysunki $A$ i $B$ mają ramiona w dół — odpadają.
Krok 3 — który z dwóch pozostałych. Zostają $C$ i $D$ , oba z ramionami w górę. Różnią się miejscami zerowymi:
na rysunku $C$ parabola przecina oś w $-2$ i $4$ (dalej leży punkt prawy), na rysunku $D$ w $\textcolor{#E0453A}{-4}$ i $\textcolor{#E0453A}{2}$ (dalej leży punkt lewy).
Odpowiedź: rysunek D.
Kontrola niezależna — wierzchołek. Leży w połowie między miejscami zerowymi:
$x_W = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-4} + \textcolor{#E0453A}{2}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-1}, \qquad f(\textcolor{#E0453A}{-1}) = (\textcolor{#E0453A}{-1} - \textcolor{#16A06A}{2})(\textcolor{#E0453A}{-1} + \textcolor{#16A06A}{4}) = (\textcolor{#E0453A}{-3}) \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{-9}$
Wierzchołek $(\textcolor{#E0453A}{-1}, \textcolor{#E0453A}{-9})$ leży na lewo od osi $Oy$ i nisko pod osią $Ox$ — dokładnie tak, jak na rysunku $D$ .
Druga kontrola, jednym rachunkiem: $f(0) = (0 - \textcolor{#16A06A}{2})(0 + \textcolor{#16A06A}{4}) = \textcolor{#E0453A}{-8}$ . Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $\left(0, \textcolor{#E0453A}{-8}\right)$ , czyli poniżej zera — na rysunkach $A$ i $B$ przecięcie z osią $Oy$ wypada wysoko nad zerem.

💡 Wskazówka: Nie wymnażaj nawiasów, żeby znaleźć miejsca zerowe — postać iloczynowa już je pokazuje. Uważaj tylko na znaki: czynnik $(x - 2)$ daje miejsce zerowe $+2$ , a $(x + 4)$ daje $-4$ . Znak w nawiasie i znak miejsca zerowego są przeciwne. Wymnożenie przydaje się dopiero do drugiego pytania — o kierunek ramion.

⚠ Odczytanie miejsc zerowych z zachowaniem znaków z nawiasów, czyli $2$ i $-4$ zamienione miejscami na $-2$ i $4$ — i wybranie rysunku $C$ . To ta sama para cyfr w odwrotnej kolejności, więc obie parabole wyglądają podobnie i różnią się tylko odbiciem. Kontrola jednym rachunkiem: policz $f(0)$ . Wyjdzie $-8$ , a parabola z zerami $-2$ i $4$ dawałaby w zerze też $-8$ — więc tu ta kontrola nie wystarcza i trzeba sprawdzić wierzchołek: $-1$ wobec $+1$ .

Zadanie 11 (maj 2011)1 pktśrednie

Dane są funkcje liniowe

f(x) = x - 2

oraz

g(x) = x + 4

określone dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji

h(x) = f(x) \cdot g(x)

A. rysunek $A$
B. rysunek $B$
C. rysunek $C$
D. rysunek $D$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — iloczyn dwóch funkcji liniowych jest funkcją kwadratową. Nie trzeba go jednak wymnażać, żeby narysować wykres. Wystarczy zauważyć, że iloczyn zeruje się dokładnie tam, gdzie zeruje się którykolwiek z czynników:
$h(x) = \textcolor{#16A06A}{(x - 2)} \cdot \textcolor{#16A06A}{(x + 4)} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{2} \quad \text{lub} \quad x = \textcolor{#E0453A}{-4}$
Miejsca zerowe funkcji $h$ to więc miejsca zerowe funkcji $f$ i $g$ razem wzięte: $\textcolor{#E0453A}{-4}$ i $\textcolor{#E0453A}{2}$ .
Krok 2 — kierunek ramion. Interesuje nas tylko wyraz z $x^2$ , a ten powstaje z pomnożenia $x$ przez $x$ :
$\textcolor{#16A06A}{(x - 2)} \cdot \textcolor{#16A06A}{(x + 4)} = x^2 + \ldots$
Współczynnik przy $x^2$ wynosi $\textcolor{#E0453A}{1}$ , jest dodatni, więc ramiona idą w górę. Rysunki $B$ i $D$ mają ramiona w dół — odpadają.
Krok 3 — rozstrzygnięcie między $A$ i $C$ . Oba mają ramiona w górę i oba przecinają oś $Ox$ w dwóch punktach, ale w różnych:
rysunek $A$ w $\textcolor{#E0453A}{-4}$ i $\textcolor{#E0453A}{2}$ , rysunek $C$ w $-2$ i $4$ . Szukamy pierwszej pary.
Odpowiedź: rysunek A.
Kontrola bez rysunku — wartość w zerze. Iloczyn liczymy wprost z podanych wzorów:
$h(0) = f(0) \cdot g(0) = (\textcolor{#16A06A}{0 - 2}) \cdot (\textcolor{#16A06A}{0 + 4}) = (\textcolor{#E0453A}{-2}) \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#E0453A}{-8}$
Wykres przechodzi więc przez punkt $\left(0, \textcolor{#E0453A}{-8}\right)$ , czyli pod osią $Ox$ — a to możliwe tylko przy ramionach w górę i dwóch miejscach zerowych po przeciwnych stronach zera.

💡 Wskazówka: Miejsca zerowe iloczynu to suma miejsc zerowych czynników — zerowanie jednego nawiasu wystarczy, żeby cały iloczyn był zerem. Kierunek ramion wystarczy odczytać z wyrazu przy $x^2$ : mnożąc $x$ przez $x$ , dostajemy $+x^2$ , więc ramiona zawsze idą w górę, gdy oba czynniki mają przy $x$ jedynkę.

⚠ Pomylenie znaków miejsc zerowych: czynnik $(x - 2)$ zeruje się w $+2$ , a nie w $-2$ . Zamiana obu znaków daje parabolę z zerami $-2$ i $4$ , czyli rysunek $C$ — lustrzane odbicie właściwego. Drugi typowy błąd to szukanie wykresu funkcji liniowej: „iloczyn dwóch prostych” bywa mylony z prostą, a jest parabolą.

Zadanie 12 (sierpień 2010)1 pktłatwe

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej

f

jest przedział

(-\infty,\, 3)

. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

A. rysunek $A$
B. rysunek $B$
C. rysunek $C$
D. rysunek $D$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — co mówi zbiór wartości. Zbiór wartości to zestaw wszystkich liczb, które funkcja przyjmuje. Czyta się go z osi pionowej: to rzut wykresu na oś $Oy$ .
Podany przedział $\textcolor{#16A06A}{(-\infty,\, 3)}$ jest nieograniczony od dołu i ograniczony od góry liczbą $\textcolor{#16A06A}{3}$ .
Krok 2 — kierunek ramion. Skoro wartości schodzą dowolnie nisko, a wyżej niż $\textcolor{#16A06A}{3}$ nie sięgają, to parabola ma największą wartość i nie ma najmniejszej. Tak zachowuje się wyłącznie parabola o ramionach skierowanych w dół.
Rysunki $A$ i $C$ mają ramiona w górę — tam zbiór wartości byłby postaci $\langle q,\, +\infty)$ , czyli ograniczony od dołu. Odpadają obie.
Krok 3 — na jakiej wysokości leży wierzchołek. Największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku, więc druga współrzędna wierzchołka musi wynosić $\textcolor{#E0453A}{3}$ .
Na rysunku $B$ wierzchołek leży nad osią $Ox$ , na wysokości $\textcolor{#E0453A}{3}$ . Na rysunku $D$ wierzchołek leży pod osią, na wysokości $-3$ — tam zbiorem wartości byłby przedział $(-\infty,\, -3)$ .
Odpowiedź: rysunek B.
Kontrola: pierwsza współrzędna wierzchołka nie ma tu znaczenia. Przesunięcie paraboli w lewo lub w prawo nie zmienia zbioru wartości ani o jotę — zmienia go tylko ruch w pionie i kierunek ramion. Dlatego rysunki różniące się wyłącznie stroną, po której leży wierzchołek, są dla tego zadania nie do odróżnienia i nie mogą być poprawną parą.

💡 Wskazówka: Zbiór wartości czyta się z osi pionowej, a nie poziomej — to najczęstsze źródło pomyłki w tym typie zadania. Nieskończoność po stronie $-\infty$ mówi, że ramiona idą w dół; liczba po drugiej stronie to wysokość wierzchołka. Dwie informacje, dwa spojrzenia na rysunek.

⚠ Odczytanie przedziału z osi poziomej, czyli pomylenie zbioru wartości z dziedziną. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zawsze cały zbiór liczb rzeczywistych, więc taki odczyt nigdy nie prowadzi do sensownej odpowiedzi. Drugi błąd to wybór rysunku $D$ : ramiona są tam skierowane dobrze, ale wierzchołek leży na wysokości $-3$ zamiast $3$ , więc zbiór wartości wychodzi $(-\infty,\, -3)$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. D	3. A	4. C	5. B	6. A
7. C	8. A, B	9. B	10. D	11. A	12. B

8Pytania i odpowiedzi

Jak rozpoznać, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli?

Decyduje znak współczynnika $a$ przy $x^2$ . Dodatnie $a$ daje ramiona w górę i wierzchołek będący minimum, ujemne — ramiona w dół i wierzchołek będący maksimum. Nic więcej nie trzeba liczyć.

Jak obliczyć współrzędne wierzchołka?

Pierwszą ze wzoru $p = \frac{-b}{2a}$ , a drugą przez podstawienie tej liczby do wzoru funkcji, czyli $q = f(p)$ . Jeśli funkcja ma miejsca zerowe, $p$ można też odczytać jako ich średnią arytmetyczną.

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji kwadratowej?

Ze współrzędnej $q$ wierzchołka. Dla ramion w górę zbiorem wartości jest $\langle q, +\infty)$ , dla ramion w dół $(-\infty, q\rangle$ . Nawias przy $q$ jest domknięty, bo funkcja osiąga tę wartość w wierzchołku.

Jaka jest dziedzina funkcji kwadratowej?

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, bo wzór da się obliczyć dla każdego argumentu. Ograniczony bywa zbiór wartości, a nie dziedzina — to dwie różne rzeczy i łatwo je pomylić.

Czy wartość najmniejsza w przedziale to zawsze wierzchołek?

Nie. Tylko wtedy, gdy wierzchołek należy do przedziału. Jeśli leży poza nim, funkcja jest w tym przedziale monotoniczna i wartości skrajne przyjmuje na jego końcach.

Co oznacza delta w kontekście wykresu?

Liczbę punktów wspólnych paraboli z osią $OX$ : dodatnia delta to dwa przecięcia, zerowa oznacza dotknięcie osi wierzchołkiem, a ujemna — że cały wykres leży po jednej stronie osi.

Czytaj dalej

Równania kwadratoweDelta i wzory na miejsca zerowe Układ współrzędnychOdczytywanie punktów i osie OX, OY Wzory skróconego mnożeniaZamiana postaci ogólnej na kanoniczną Pole kwadratuDlaczego przy danym obwodzie kwadrat ma największe pole Wyrażenia algebraicznePrzekształcanie wzoru między postaciami

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.