Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo › Średnia ważona

Średnia ważona

Średnia ważona pojawia się na maturze prawie zawsze w przebraniu. Zadanie nie mówi „policz średnią ważoną” — mówi „w tabeli zestawiono liczbę uczniów, którzy dostali poszczególne oceny” albo „pierwsza grupa liczy 40 osób, druga 60”. Umiejętność polega więc na rozpoznaniu, że dane są pogrupowane, i na zorientowaniu się, co jest wagą. Sam wzór jest najprostszą częścią zadania.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 10

Przejdź od razu do zadań (10) ↓

1Wagą jest liczba powtórzeń

Średnia ważona to suma iloczynów wartości przez wagi, podzielona przez sumę wag:

\bar{x} = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \ldots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}

Podstawa programowa wymienia ją razem ze zwykłą średnią (dział XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, zakres podstawowy, punkt 2: „oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę”).

Najważniejsze zdanie o tym wzorze jest takie: waga mówi, ile razy dana wartość ma się liczyć. Ocena z wagą trzy liczy się tak, jakby wystąpiła trzy razy; wartość, którą w tabeli ma dwunastu uczniów, liczy się dwanaście razy. Sam pomysł opisuję szerzej przy średniej arytmetycznej — tutaj interesuje mnie, jak rozpoznać wagi w danych i co z nich policzyć.

Mianownik to nie liczba wierszy tabeli

W mianowniku stoi suma wag, czyli łączna liczba obserwacji — a nie liczba różnych wartości.

Tabela z czterema wierszami może opisywać trzydziestu dwóch uczniów. Wtedy dzielimy przez $32$ , nie przez $4$ .

To ten sam błąd, który przy medianie każe szukać środka wśród czterech pozycji zamiast wśród trzydziestu dwóch.

Kontrola, która nic nie kosztuje i wyłapuje większość pomyłek: średnia musi leżeć między najmniejszą a największą wartością z danych. Wynik poza tym przedziałem oznacza zwykle pomylony mianownik.

2Dane z tabeli i z diagramu

To najczęstsza postać zadania. Dane są pogrupowane, a wagami są liczebności — trzeba je tylko odczytać.

Tabela liczebności — górny wiersz to wartości, dolny to wagi. Wystarczy przemnożyć kolumnami.
Diagram słupkowy — wysokości słupków są wagami. Wartości odczytujemy z osi poziomej, wagi z pionowej.
Diagram procentowy — wagami są procenty. Nie trzeba znać liczby osób: procenty sumują się do $100$ , więc można je potraktować jak liczebności.

Trzeci przypadek bywa zaskoczeniem, a jest wygodny. Jeśli $30\%$ pracowników zarabia $4000$ zł, a $70\%$ — $6000$ zł, to średnia wynosi $\frac{30 \cdot 4000 + 70 \cdot 6000}{100}$ . Konkretna liczba pracowników skraca się i wynik od niej nie zależy.

Przy odczycie z diagramu warto najpierw wypisać pary „wartość – waga” na boku, zanim zacznie się liczyć. Większość błędów w tym typie zadania to nie pomyłki rachunkowe, tylko przestawienie osi: potraktowanie wysokości słupka jako wartości, a nie jako liczby wystąpień.

Suma wag ma zwykle sens, który da się sprawdzić w treści — to liczba ankietowanych, uczniów w klasie albo pracowników firmy. Jeśli po zsumowaniu wag wyjdzie inna liczba niż podana w zadaniu, gdzieś zgubiono słupek.

3Łączenie dwóch grup

Drugi typ zadania wygląda zupełnie inaczej, a jest tą samą średnią ważoną. Dane są dwie średnie i dwie liczebności — pytanie dotyczy średniej całości.

\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}

Wagami są liczebności grup. Nie wolno policzyć zwykłej średniej z dwóch średnich — wynik byłby poprawny tylko wtedy, gdyby grupy były równoliczne.

Wzór wynika wprost z definicji: $n_1 \bar{x}_1$ to suma wszystkich wyników pierwszej grupy (bo średnia razy liczebność daje sumę), więc licznik jest sumą wszystkich wyników, a mianownik — łączną liczbą osób. To zwykła średnia, tylko policzona bez wypisywania danych.

Kontrola jakościowa, zanim policzysz

Średnia całości leży zawsze między dwiema średnimi cząstkowymi.

Bliżej tej z liczniejszej grupy — jeśli pierwsza grupa jest większa, wynik wypadnie bliżej jej średniej.

Dlatego przy średnich $30$ i $25$ oraz grupach $40$ i $60$ osób odpowiedź musi być bliżej $25$ niż $30$ . Wynik $28$ byłby podejrzany, a $32$ na pewno błędny.

Ten sam wzór obsługuje zadania odwrotne: znana jest średnia całości i jedna ze średnich cząstkowych, a szukana jest druga albo liczebność grupy. Wtedy podstawiamy do wzoru i rozwiązujemy równanie — technika jak przy równaniach liniowych.

4Kiedy wagi nie są liczebnościami

Trzecia postać zadania to wagi nadane z zewnątrz — najczęściej oceny szkolne, gdzie sprawdzian waży więcej niż kartkówka.

Rachunek jest identyczny, ale zmienia się interpretacja: waga nie mówi już, ile razy coś wystąpiło, tylko ile ma znaczyć. To rozróżnienie bywa treścią pytania „czy średnia ważona może być wyższa od średniej zwykłej” — może, jeśli wyższe oceny mają większe wagi.

Dwie obserwacje, które warto mieć w głowie przy takich zadaniach:

Pomnożenie wszystkich wag przez tę samą liczbę nie zmienia wyniku — wagi $1, 2, 3$ dają tę samą średnią co $2, 4, 6$ . Liczy się tylko ich stosunek.
Jeśli wszystkie wagi są równe, średnia ważona sprowadza się do zwykłej. Zwykła średnia jest więc szczególnym przypadkiem ważonej, a nie osobnym pojęciem.

Zadania odwrotne z tej grupy pytają zwykle o brakującą ocenę: jaką ocenę trzeba dostać z pracy o wadze trzy, żeby średnia wyniosła tyle a tyle. Rozwiązuje się je, wstawiając niewiadomą w licznik i rozwiązując równanie — z jednym zastrzeżeniem, o którym łatwo zapomnieć: wynik musi być oceną, która w ogóle istnieje.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: tabela liczebności, dane procentowe, łączenie dwóch grup i zadanie odwrotne z wagami.

Przykład 1 Średnia z tabeli liczebności

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów: punkty $1$ , $2$ , $3$ , $4$ otrzymało odpowiednio $4$ , $10$ , $12$ i $6$ uczniów. Oblicz średnią liczbę punktów.

Sprawdzam sumę wag: $4 + 10 + 12 + 6 = 32$ — zgadza się z liczbą uczniów z treści ✓
Licznik: $1 \cdot 4 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 6 = 4 + 20 + 36 + 24 = 84$ .
Średnia: $\frac{84}{32} = 2{,}625$ .
Kontrola zakresu: wynik leży między $1$ a $4$ ✓
Kontrola przesunięcia: najliczniejsza grupa dostała $3$ punkty, a wynik jest bliżej trójki niż jedynki ✓

Odpowiedź: Średnia wynosi $2{,}625$ punktu.

Pierwszy krok wygląda na formalność, a jest najtańszą kontrolą w całym zadaniu: gdyby suma liczebności nie zgadzała się z liczbą uczniów, znaczyłoby to, że któryś wiersz został pominięty przy odczycie.

Przykład 2 Dane w procentach

W pewnej firmie $30\%$ pracowników zarabia $4000$ zł, $50\%$ zarabia $5000$ zł, a $20\%$ zarabia $9000$ zł. Oblicz średnie wynagrodzenie.

Wagami są procenty; ich suma wynosi $30 + 50 + 20 = 100$ .
Licznik: $30 \cdot 4000 + 50 \cdot 5000 + 20 \cdot 9000 = 120\,000 + 250\,000 + 180\,000 = 550\,000$ .
Średnia: $\frac{550\,000}{100} = 5500$ zł.
Kontrola zakresu: wynik leży między $4000$ a $9000$ ✓
Kontrola niezależności od liczby osób: dla $200$ pracowników wagi wyniosłyby $60$ , $100$ i $40$ , a wynik $\frac{1\,100\,000}{200} = 5500$ zł — ten sam ✓

Odpowiedź: Średnie wynagrodzenie wynosi $5500$ zł.

Ostatnia kontrola tłumaczy, dlaczego zadanie nie musi podawać liczby pracowników. Podwojenie wszystkich wag mnoży licznik i mianownik przez dwa, więc iloraz się nie zmienia.

Przykład 3 Średnia dwóch grup

Pierwsza grupa licząca $40$ studentów uzyskała średnio $30$ punktów, a druga, licząca $60$ studentów — średnio $25$ punktów. Oblicz średnią dla wszystkich studentów.

Zanim policzę: grupy nie są równoliczne, więc wynik nie będzie średnią z $30$ i $25$ , czyli $27{,}5$ .
Suma punktów pierwszej grupy: $40 \cdot 30 = 1200$ . Drugiej: $60 \cdot 25 = 1500$ .
Łącznie $2700$ punktów na $100$ studentów.
Średnia: $\frac{2700}{100} = 27$ .
Kontrola położenia: wynik leży między $25$ a $30$ i bliżej $25$ , bo druga grupa jest liczniejsza ✓
Kontrola różnicy: $27$ jest o $3$ od średniej pierwszej grupy ( $30$ ) i o $2$ od średniej drugiej ( $25$ ) — odległości w stosunku $3 : 2$ , a liczebności w stosunku $40 : 60 = 2 : 3$ . Te dwa stosunki są odwrotne i o to chodzi: dalej od średniej grupy mniej licznej ✓

Odpowiedź: Średnia dla wszystkich studentów wynosi $27$ punktów.

Ostatnia kontrola jest wersją prawa dźwigni: średnia dzieli odcinek między wartościami w stosunku odwrotnym do wag. Kto to zauważy, potrafi oszacować wynik przed rachunkiem.

Przykład 4 Zadanie odwrotne — brakująca ocena

Uczeń ma ocenę $4$ z kartkówki (waga $1$ ) i $3$ z odpowiedzi (waga $1$ ). Jaką ocenę musi dostać ze sprawdzianu o wadze $3$ , żeby średnia ważona wyniosła $3{,}8$ ?

Suma wag: $1 + 1 + 3 = 5$ .
Zapisuję równanie: $\frac{4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + x \cdot 3}{5} = 3{,}8$ .
Mnożę obie strony przez $5$ : $7 + 3x = 19$ .
$3x = 12$ , czyli $x = 4$ .
Kontrola: $\frac{4 + 3 + 12}{5} = \frac{19}{5} = 3{,}8$ ✓
Kontrola sensu: $4$ jest oceną istniejącą w skali szkolnej ✓

Odpowiedź: Uczeń musi dostać ocenę $4$ .

Ostatni krok bywa pomijany, a bywa istotą zadania. Gdyby z równania wyszło $x = 6{,}2$ , poprawną odpowiedzią byłoby „taka średnia jest nieosiągalna”, a nie liczba $6{,}2$ .

6Najczęstsze błędy

Pierwsze trzy błędy dotyczą wag, dwa ostatnie — interpretacji wyniku.

Dzielenie przez liczbę wierszy tabeli zamiast przez sumę wag.

Skąd się bierze: Wierszy jest kilka i wyglądają jak „liczba danych”.

Jak zrobić dobrze: Mianownikiem jest łączna liczba obserwacji. Cztery wiersze mogą opisywać $32$ uczniów — dzielimy przez $32$ .

Liczenie zwykłej średniej z dwóch średnich grupowych.

Skąd się bierze: Dane są dwie liczby, więc odruch podpowiada dodać je i podzielić przez dwa.

Jak zrobić dobrze: Wagami są liczebności grup. Wynik jest średnią z $30$ i $25$ tylko wtedy, gdy grupy są równoliczne.

Przestawienie osi przy odczycie z diagramu.

Skąd się bierze: Słupek jest wysoki, więc wygląda na „dużą wartość”, choć oznacza dużą liczbę wystąpień.

Jak zrobić dobrze: Wartości są na osi poziomej, wagi na pionowej. Wypisz pary „wartość – waga” na boku, zanim zaczniesz liczyć.

Przyjęcie wyniku spoza zakresu danych.

Skąd się bierze: Rachunek bywa długi i wynik nie budzi podejrzeń.

Jak zrobić dobrze: Średnia zawsze leży między najmniejszą a największą wartością. Wynik poza tym przedziałem oznacza błąd, najczęściej w mianowniku.

Podanie w zadaniu odwrotnym oceny, która nie istnieje.

Skąd się bierze: Równanie rozwiązuje się mechanicznie i daje liczbę.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy wynik mieści się w skali. Jeśli nie, poprawną odpowiedzią jest stwierdzenie, że żądana średnia jest nieosiągalna.

Zadania maturalne — średnia ważona i średnia z tabeli liczebności

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Średnia ważona to jeden wzór:

\dfrac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}

. Gdy dane są w tabeli liczebności albo na diagramie słupkowym, wagami są liczebności — mnożysz każdą wartość przez to, ile razy wystąpiła, sumujesz i dzielisz przez liczbę wszystkich danych. Najczęstszy błąd w całym dziale: podzielenie przez liczbę różnych wartości zamiast przez sumę wag.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 10 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2018)1 pktłatwe

Wśród

100

osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba książek	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba osób	$23$	$14$	$28$	$17$	$11$	$7$

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

A. $0{,}5$
B. $1$
C. $2$
D. $2{,}5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Danych jest tu sto — po jednej liczbie od każdej ankietowanej osoby. Nie wypisujemy ich, tylko mnożymy każdą wartość przez to, ile razy wystąpiła. To właśnie średnia ważona, w której wagami są liczebności.
Licznik — suma wszystkich przeczytanych książek:
$\textcolor{#16A06A}{0} \cdot \textcolor{#16A06A}{23} + \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{14} + \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{28} + \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{17} + \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{11} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{7}$
$= 0 + 14 + 56 + 51 + 44 + 35 = \textcolor{#E0453A}{200}$
Mianownik — suma wag, czyli liczba osób:
$23 + 14 + 28 + 17 + 11 + 7 = \textcolor{#E0453A}{100}$ ✓ zgadza się z treścią, więc tabela została odczytana poprawnie.
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{200}}{\textcolor{#E0453A}{100}} = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: C.
Kontrola zdroworozsądkowa: średnia musi wypaść między najmniejszą a największą wartością z tabeli, czyli między $0$ a $5$ — i tak jest. Więcej: skoro najliczniejsza grupa to $28$ osób przy dwóch książkach, a rozkład jest w miarę symetryczny wokół dwójki, wynik bliski $2$ jest dokładnie tym, czego się spodziewamy.

💡 Wskazówka: Pierwszy wiersz tabeli to wartości, drugi to wagi. Mnożysz je parami w pionie, sumujesz iloczyny, a potem dzielisz przez sumę drugiego wiersza. Zawsze sprawdź, czy suma wag zgadza się z liczbą podaną w treści — tutaj sto osób — bo to najtańsza kontrola poprawnego odczytu tabeli.

⚠ Podzielenie sumy iloczynów przez $6$ , czyli przez liczbę kolumn zamiast przez liczbę osób. Wychodzi wtedy $\tfrac{200}{6} \approx 33{,}3$ — liczba absurdalnie duża, bo nikt nie przeczytał więcej niż pięć książek. Drugi błąd: policzenie średniej samego górnego wiersza, czyli $\tfrac{0+1+2+3+4+5}{6} = 2{,}5$ ; to odpowiedź $D$ i jest przygotowana dokładnie na tę pomyłkę — ignoruje ona to, że dwójkę wskazało $28$ osób, a piątkę tylko $7$ .

Zadanie 2 (sierpień 2024)1 pktśrednie

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez

32

uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.

Liczba punktów	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba uczniów	$2$	$2$	$5$	$6$	$11$	$6$

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa

A. $2{,}5$
B. $3{,}25$
C. $3{,}31$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ten sam schemat: wartości razy wagi, podzielone przez sumę wag.
Licznik — łączna liczba punktów zdobytych przez całą klasę:
$\textcolor{#16A06A}{0} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{11} + \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{6}$
$= 0 + 2 + 10 + 18 + 44 + 30 = \textcolor{#E0453A}{104}$
Mianownik: $2+2+5+6+11+6 = \textcolor{#E0453A}{32}$ ✓ zgadza się z liczbą uczniów podaną w treści.
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{104}}{\textcolor{#E0453A}{32}} = \textcolor{#E0453A}{3{,}25}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: dzielenie warto wykonać dokładnie, bo dwie odpowiedzi są bardzo blisko siebie. $\tfrac{104}{32}$ skraca się przez $8$ do $\tfrac{13}{4} = 3{,}25$ — wynik jest dokładny, a nie przybliżony. Odpowiedź $C$ , czyli $3{,}31$ , to zaokrąglenie ilorazu $\tfrac{106}{32}$ , czyli wyniku z jednym błędem w licznik.

💡 Wskazówka: Skracaj ułamek zamiast dzielić w pamięci: $\tfrac{104}{32}$ po podzieleniu licznika i mianownika przez $8$ daje $\tfrac{13}{4}$ , a to już widać jako $3{,}25$ . Gdy dwie odpowiedzi różnią się o setne części, przybliżony rachunek nie wystarcza — trzeba wyniku dokładnego.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $2{,}5$ — średnia samego górnego wiersza $\tfrac{0+1+2+3+4+5}{6}$ , czyli policzona tak, jakby każdą liczbę punktów uzyskał dokładnie jeden uczeń. Widać, że to nie może być prawda: najwięcej uczniów, bo aż $11$ , dostało cztery punkty, więc średnia musi być wyraźnie powyżej środka skali. Drugi błąd: odpowiedź $D$ — podanie liczby punktów, którą uzyskało najwięcej osób, czyli dominanty zamiast średniej.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

A. $3$
B. $3{,}12$
C. $3{,}5$
D. $4{,}1(6)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Diagram to tabela liczebności narysowana słupkami. Odczytujemy wysokości:
ocena $\textcolor{#16A06A}{1}$ — $\textcolor{#16A06A}{2}$ uczniów, $\textcolor{#16A06A}{2}$ — $\textcolor{#16A06A}{9}$ , $\textcolor{#16A06A}{3}$ — $\textcolor{#16A06A}{5}$ , $\textcolor{#16A06A}{4}$ — $\textcolor{#16A06A}{3}$ , $\textcolor{#16A06A}{5}$ — $\textcolor{#16A06A}{5}$ , $\textcolor{#16A06A}{6}$ — $\textcolor{#16A06A}{1}$ .
Mianownik najpierw — bo od razu sprawdza odczyt: $2+9+5+3+5+1 = \textcolor{#E0453A}{25}$ uczniów.
Licznik — suma wszystkich ocen:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 1 = 2 + 18 + 15 + 12 + 25 + 6 = \textcolor{#E0453A}{78}$
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{78}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{3{,}12}$
Odpowiedź: B.
Kontrola przez zamianę na ułamek dziesiętny bez dzielenia pisemnego: $\tfrac{78}{25} = \tfrac{78 \cdot 4}{100} = \tfrac{312}{100} = 3{,}12$ ✓. Druga kontrola, zdroworozsądkowa: najliczniejsza jest dwójka ( $9$ uczniów), więc średnia musi być niżej niż środek skali, czyli poniżej $3{,}5$ — co od razu wyklucza odpowiedzi $C$ i $D$ .

💡 Wskazówka: Gdy mianownik kończy się na $25$ , nie dziel pisemnie — pomnóż licznik i mianownik przez $4$ , a dostaniesz setne części wprost. To działa dla każdego mianownika będącego dzielnikiem stu ( $4$ , $5$ , $20$ , $25$ , $50$ ) i oszczędza najwięcej pomyłek w tym dziale.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $4{,}1(6)$ — policzenie $\tfrac{25}{6}$ , a więc podzielenie liczby uczniów przez liczbę ocen, czyli odwrócenie ról obu wierszy. Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $3{,}5$ — średnia samych ocen od $1$ do $6$ bez uwzględnienia, ilu uczniów każdą dostało. Obie pomyłki wykrywa ta sama kontrola: skoro najwięcej osób ma dwójkę, średnia nie może wyjść powyżej środka skali.

Zadanie 4 (wrzesień 2022)1 pktśrednie

Firma

F

zatrudnia

160

osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano — wyrażoną w złotych — miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy

F

, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Średnia miesięczna płaca brutto w firmie

F

jest równa

A. $4593{,}75$ zł
B. $4800{,}00$ zł
C. $5360{,}00$ zł
D. $2399{,}33$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Odczytujemy z diagramu liczby pracowników: $\textcolor{#16A06A}{4000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{75}$ osób, $\textcolor{#16A06A}{4800}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{50}$ , $\textcolor{#16A06A}{5000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{20}$ , $\textcolor{#16A06A}{6000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{10}$ , $\textcolor{#16A06A}{7000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{5}$ .
Sprawdzamy sumę: $75+50+20+10+5 = \textcolor{#E0453A}{160}$ ✓ — tyle, ile podaje treść.
Licznik — łączna kwota wypłat:
$4000 \cdot 75 + 4800 \cdot 50 + 5000 \cdot 20 + 6000 \cdot 10 + 7000 \cdot 5$
$= 300\,000 + 240\,000 + 100\,000 + 60\,000 + 35\,000 = \textcolor{#E0453A}{735\,000}$ zł
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{735\,000}}{\textcolor{#E0453A}{160}} = \textcolor{#E0453A}{4593{,}75}$ zł
Odpowiedź: A.
Kontrola przedziałem: średnia musi leżeć między najniższą a najwyższą płacą, czyli między $4000$ a $7000$ zł. To od razu wyklucza odpowiedź $D$ ( $2399{,}33$ zł), która jest niższa niż jakakolwiek płaca w firmie — a bierze się z podzielenia sumy przez $\text{160} \cdot \text{liczbę słupków}$ zamiast przez samo $160$ . Druga kontrola: prawie połowa załogi ( $75$ ze $160$ ) zarabia najmniej, więc średnia musi być bliżej dolnego końca — i jest.

💡 Wskazówka: Zacznij od sumy wag i porównaj ją z liczbą podaną w treści — jeśli się nie zgadza, któryś słupek został źle odczytany i nie ma sensu liczyć dalej. Potem przy dużych liczbach warto liczyć w tysiącach: $4 \cdot 75 + 4{,}8 \cdot 50 + 5 \cdot 20 + 6 \cdot 10 + 7 \cdot 5 = 735$ , czyli $735$ tysięcy złotych.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $4800$ zł — to mediana tej firmy, a nie średnia. Obie wielkości opisują „przeciętną płacę”, ale odpowiadają na różne pytania i tutaj różnią się o ponad dwieście złotych. Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $5360$ zł — średnia samych wysokości płac $\tfrac{4000+4800+5000+6000+7000}{5}$ , bez uwzględnienia, ile osób każdą dostaje. Ta pomyłka zawsze zawyża wynik, gdy najwięcej osób zarabia najmniej.

Zadanie 5 (sierpień 2023)1 pkttrudniejsze

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

A. $5690$ zł
B. $5280$ zł
C. $6257$ zł
D. $5900$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Siedem różnych wynagrodzeń, więc rachunek jest dłuższy — ale schemat ten sam. Odczytujemy z diagramu:
$\textcolor{#16A06A}{4800}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{10}$ osób, $\textcolor{#16A06A}{5100}$ — $\textcolor{#16A06A}{36}$ , $\textcolor{#16A06A}{5500}$ — $\textcolor{#16A06A}{5}$ , $\textcolor{#16A06A}{5900}$ — $\textcolor{#16A06A}{25}$ , $\textcolor{#16A06A}{6400}$ — $\textcolor{#16A06A}{18}$ , $\textcolor{#16A06A}{7500}$ — $\textcolor{#16A06A}{4}$ , $\textcolor{#16A06A}{8600}$ — $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Suma wag: $10+36+5+25+18+4+2 = \textcolor{#E0453A}{100}$ ✓ — zgadza się ze „stu pracownikami” z treści.
Licznik. Liczymy składnik po składniku:
$4800 \cdot 10 = 48\,000$ , $\quad 5100 \cdot 36 = 183\,600$ , $\quad 5500 \cdot 5 = 27\,500$ , $\quad 5900 \cdot 25 = 147\,500$ ,
$6400 \cdot 18 = 115\,200$ , $\quad 7500 \cdot 4 = 30\,000$ , $\quad 8600 \cdot 2 = 17\,200$
Suma: $\textcolor{#E0453A}{569\,000}$ zł.
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{569\,000}}{\textcolor{#E0453A}{100}} = \textcolor{#E0453A}{5690}$ zł
Odpowiedź: A.
Kontrola: przy stu danych dzielenie jest wyjątkowo łatwe — wystarczy przesunąć przecinek o dwa miejsca. Warto z tego skorzystać jako z kontroli rzędu wielkości: suma wypłat to około $570$ tysięcy, więc średnia to około $5{,}7$ tysiąca. Odpowiedź $C$ ( $6257$ zł) to średnia samych wysokości wynagrodzeń, bez wag — zawyżona, bo najliczniejsza grupa zarabia poniżej środka skali.

💡 Wskazówka: Przy stu danych mianownik jest darmowy — całą pracę robi licznik. Warto liczyć iloczyny w kolumnie i sumować dopiero na końcu, zamiast dodawać w pamięci po drodze. I znowu: najpierw suma wag, żeby sprawdzić odczyt siedmiu słupków, bo przy tylu wartościach łatwo pomylić się o jedną.

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $6257$ zł — średnia siedmiu kwot z osi poziomej, bez uwzględnienia liczby osób. Ta pomyłka zawsze zawyża wynik, gdy najliczniejsza grupa zarabia mało: tutaj $36$ osób dostaje $5100$ zł, a tylko $2$ osoby $8600$ zł, więc traktowanie obu tak samo mocno przesuwa wynik w górę. Drugi błąd: odpowiedź $D$ , czyli $5900$ zł — podanie wynagrodzenia z środkowego słupka diagramu, co nie jest ani średnią, ani medianą, tylko odczytem z niewłaściwego miejsca.

Zadanie 6 (maj 2024)1 pktśrednie

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a,\, b,\, c

, jest równa

9

.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb:

a,\, a,\, b,\, b,\, c,\, c

, jest równa

A. $9$
B. $6$
C. $4{,}5$
D. $18$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Nie da się wyliczyć $a$ , $b$ ani $c$ — i nie trzeba. Wystarczy ich suma, bo tylko ona wchodzi do średniej.
Z pierwszego zdania: skoro średnia trzech liczb wynosi $\textcolor{#16A06A}{9}$ , to ich suma to $3 \cdot 9 = \textcolor{#E0453A}{27}$ .
W drugim zestawie każda z tych liczb występuje dwa razy, więc suma podwaja się:
$a+a+b+b+c+c = 2(a+b+c) = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{27} = \textcolor{#E0453A}{54}$
Liczb jest teraz sześć, więc:
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{54}}{6} = \textcolor{#E0453A}{9}$
Odpowiedź: A.
Sedno tego zadania widać dopiero, gdy spojrzeć na nie jak na średnią ważoną: pierwszy zestaw to trzy liczby z wagami $1, 1, 1$ , drugi — te same trzy liczby z wagami $2, 2, 2$ . Pomnożenie wszystkich wag przez tę samą liczbę nie zmienia średniej ważonej, bo ta sama dwójka pojawia się i w liczniku, i w mianowniku, i się skraca. Kontrola na konkretnych liczbach: dla $a=8$ , $b=9$ , $c=10$ druga średnia to $\tfrac{8+8+9+9+10+10}{6} = \tfrac{54}{6} = 9$ ✓.

💡 Wskazówka: Zamiast szukać poszczególnych liczb, zapytaj o sumę — średnia to zawsze suma podzielona przez liczbę składników, więc suma jest jedyną informacją, jakiej potrzebujesz. Tutaj podwaja się i suma, i liczba składników, więc iloraz zostaje ten sam. Ta obserwacja jest ogólna: powielenie każdej danej tyle samo razy nie zmienia średniej.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $18$ — podwojenie sumy bez zauważenia, że liczba składników też się podwoiła; dzielenie wtedy przez $3$ zamiast przez $6$ . Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $4{,}5$ — odwrotna pomyłka, czyli podzielenie starej sumy $27$ przez nową liczbę składników $6$ , bez podwojenia licznika. Oba warianty są przygotowane wśród odpowiedzi, bo są dokładnie tak samo prawdopodobne.

Zadanie 7 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a,\, b,\, c

, jest równa

12

.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb:

2a,\, 3a,\, 2b,\, 3b,\, 2c,\, 3c

, jest równa

A. $10$
B. $12$
C. $30$
D. $60$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Znowu wystarczy suma. Z pierwszego zdania: $a+b+c = 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{36}$ .
Sumujemy sześć nowych liczb, grupując je po literach:
$2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c = \textcolor{#E0453A}{5a} + \textcolor{#E0453A}{5b} + \textcolor{#E0453A}{5c} = 5(a+b+c)$
Podstawiamy znaną sumę:
$5 \cdot \textcolor{#E0453A}{36} = \textcolor{#E0453A}{180}$
Liczb jest sześć, więc:
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{180}}{6} = \textcolor{#E0453A}{30}$
Odpowiedź: C.
Kontrola na konkretnych liczbach — najpewniejszy sposób sprawdzenia takiego rachunku. Bierzemy $a = b = c = 12$ (ich średnia to rzeczywiście $12$ ). Nowy zestaw to $24, 36, 24, 36, 24, 36$ , a jego średnia $\tfrac{180}{6} = 30$ ✓. Dla pewności druga trójka, $a = 6$ , $b = 12$ , $c = 18$ : nowy zestaw daje sumę $5 \cdot 36 = 180$ i znowu średnią $30$ ✓ — wynik nie zależy od tego, jakie konkretnie są te liczby.

💡 Wskazówka: Grupuj po literach, zanim podstawisz cokolwiek: $2a+3a = 5a$ , i tak samo dla $b$ oraz $c$ . Wtedy cała suma zwija się do $5(a+b+c)$ i wystarczy jedna znana liczba. Widać wtedy też strukturę: każda dana została zastąpiona przez swoje dwie kopie o łącznej wadze pięć, więc suma rośnie pięciokrotnie, a liczba danych tylko dwukrotnie.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $60$ — policzenie samej sumy przemnożonej przez pięć i podzielenie jej przez $3$ zamiast przez $6$ , czyli zapomnienie, że liczb jest teraz dwa razy więcej. Drugi błąd: odpowiedź $B$ , czyli $12$ — przeniesienie wniosku z zadania poprzedniego, gdzie średnia rzeczywiście się nie zmieniała. Tam każda liczba była powielona, a tu każda jest pomnożona przez inny czynnik; to nie ten sam przypadek i średnia się zmienia.

Zadanie 8 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej

40

studentów, jest równa

30

. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie

1800

punktów.

Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy

A. $20$ pkt
B. $30$ pkt
C. $50$ pkt
D. $60$ pkt

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

To najczystszy przykład średniej ważonej: dwie grupy o różnej liczebności, więc nie można po prostu uśrednić ich średnich. Wagami są liczby studentów.
Grupa I. Znamy średnią, więc liczymy sumę punktów:
$\textcolor{#16A06A}{40} \cdot \textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{1200}$ punktów
Grupa II. Sumę mamy podaną wprost: $\textcolor{#16A06A}{1800}$ punktów, a studentów jest $\textcolor{#16A06A}{20}$ . (Ich średnia to $90$ punktów, ale do rachunku nie jest nam potrzebna.)
Razem:
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1200} + \textcolor{#16A06A}{1800}}{\textcolor{#16A06A}{40} + \textcolor{#16A06A}{20}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3000}}{\textcolor{#E0453A}{60}} = \textcolor{#E0453A}{50}$ punktów
Odpowiedź: C.
Kontrola przedziałem: wspólna średnia musi leżeć między średnimi obu grup, czyli między $30$ a $90$ — i faktycznie $50$ w tym przedziale leży ✓. Co więcej, powinna być bliżej średniej grupy liczniejszej: grupa I ma dwa razy więcej studentów, więc wynik ma być bliżej trzydziestki niż dziewięćdziesiątki. Odległości wynoszą $20$ i $40$ , czyli dokładnie w stosunku $1:2$ ✓ — to odwrotność stosunku liczebności.

💡 Wskazówka: Nie uśredniaj średnich. Sprowadź obie grupy do tego, co da się dodać: do sum punktów. Suma dzielona przez łączną liczbę osób zawsze daje poprawną średnią, niezależnie od tego, jak różne są grupy. Zwróć uwagę, że dla grupy II podano od razu sumę — nie trzeba więc liczyć jej średniej, choć zadanie kusi, żeby to zrobić.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $60$ — uśrednienie samych średnich: $\tfrac{30 + 90}{2} = 60$ . To działa tylko wtedy, gdy grupy są równoliczne, a tu jedna jest dwa razy większa i ciągnie wynik ku sobie. Drugi błąd: odpowiedź $B$ , czyli $30$ — przepisanie średniej pierwszej grupy z przekonania, że jest liczniejsza, więc „decyduje”. Decyduje mocniej, ale nie wyłącznie.

Zadanie 9 (zbiór zadań CKE)1 pktśrednie

Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa

24

lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa

26

lat.

Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa

A. $25$
B. $25{,}2$
C. $24{,}9$
D. $25{,}5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Znowu dwie grupy o różnej liczebności. Zamieniamy średnie na sumy lat.
Kobiety: $\textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{24} = \textcolor{#E0453A}{96}$ lat
Mężczyźni: $\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{26} = \textcolor{#E0453A}{156}$ lat
Razem:
$\text{średnia} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{96} + \textcolor{#E0453A}{156}}{\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{6}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{252}}{\textcolor{#E0453A}{10}} = \textcolor{#E0453A}{25{,}2}$
Odpowiedź: B.
Kontrola położeniem: średnia musi wypaść między $24$ a $26$ — leży ✓. I bliżej grupy liczniejszej, czyli mężczyzn ( $26$ ), bo jest ich sześciu na dziesięć osób. Rzeczywiście: od $24$ dzieli ją $1{,}2$ , a od $26$ tylko $0{,}8$ ✓. Ta jedna obserwacja wyklucza odpowiedź $C$ ( $24{,}9$ , przesuniętą w złą stronę) i odpowiedź $A$ ( $25$ , czyli dokładny środek, który wyszedłby tylko przy równych liczebnościach).

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, powiedz sobie, w którą stronę ma się przesunąć wynik. Liczniejsza grupa przeciąga średnią ku sobie, więc skoro mężczyzn jest więcej i są starsi, wynik musi być powyżej $25$ . Zostają wtedy tylko dwie odpowiedzi i rachunek jest już tylko formalnością.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $25$ — uśrednienie samych średnich, $\tfrac{24+26}{2}$ . Wychodzi dokładny środek, a więc wynik, który byłby poprawny tylko przy równej liczbie kobiet i mężczyzn. Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $24{,}9$ — przesunięcie w stronę grupy mniej licznej, czyli pomylenie kierunku, w którym działają wagi.

Zadanie 10 (maj 2011)1 pkttrudniejsze

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?”. Wyniki przedstawiono w tabeli.

Liczba osób w rodzinie	$3$	$4$	$x$
Liczba uczniów	$6$	$12$	$2$

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa

4

.

Wtedy liczba

x

jest równa

A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $7$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Tym razem niewiadoma siedzi wśród wartości, a nie wśród wag — więc układamy równanie ze wzoru na średnią ważoną i rozwiązujemy je względem $x$ .
Suma wag (liczba uczniów): $\textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{12} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{20}$ .
Suma iloczynów wartość × waga: $\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{12} + x \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 18 + 48 + 2x = \textcolor{#E0453A}{66 + 2x}$ .
Wstawiamy do wzoru i przyrównujemy do podanej średniej:
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{66 + 2x}}{\textcolor{#E0453A}{20}} = \textcolor{#16A06A}{4}$
$66 + 2x = \textcolor{#E0453A}{80} \quad\Longrightarrow\quad 2x = \textcolor{#E0453A}{14} \quad\Longrightarrow\quad x = \textcolor{#E0453A}{7}$
Odpowiedź: D.
Kontrola przez podstawienie: przy $x = 7$ suma osób to $3 \cdot 6 + 4 \cdot 12 + 7 \cdot 2 = 18 + 48 + 14 = 80$ , a $\tfrac{80}{20} = 4$ ✓. Kontrola dodatkowa, jakościowa: gdyby $x$ było równe $3$ albo $4$ , wszystkie rodziny miałyby najwyżej cztery osoby i średnia nie mogłaby wynosić dokładnie $4$ — musiałaby wyjść mniej. Sama ta obserwacja odrzuca odpowiedzi $A$ i $B$ .

💡 Wskazówka: Ułóż równanie, zanim zaczniesz podstawiać kandydatów — jest szybsze i pewniejsze. Ale jeśli utkniesz, podstawianie też działa: cztery odpowiedzi to cztery szybkie rachunki, a tylko jedna da średnią równą $4$ . Warto najpierw policzyć sumę wag, bo ona jest niezależna od $x$ i pojawi się w każdej wersji rachunku.

⚠ Podzielenie sumy iloczynów przez $3$ , czyli przez liczbę kolumn zamiast przez liczbę uczniów — najczęstszy błąd całego działu. Wychodzi wtedy $x = 3$ , czyli odpowiedź $A$ , przygotowana dokładnie na tę pomyłkę. Drugi błąd: potraktowanie tabeli tak, jakby $x$ było wagą, a nie wartością — czyli pomylenie wierszy; wtedy równanie w ogóle nie ma sensownego rozwiązania.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. B	3. B	4. A	5. A	6. A
7. C	8. C	9. B	10. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się średnia ważona od arytmetycznej?

Zwykła średnia traktuje wszystkie dane jednakowo, ważona pozwala jednym liczyć się bardziej niż innym. Przy równych wagach obie dają ten sam wynik, więc zwykła średnia jest szczególnym przypadkiem ważonej.

Co jest wagą w zadaniu z tabelą liczebności?

Liczba wystąpień danej wartości, czyli liczba osób, uczniów albo pomiarów w danej grupie. Suma wag jest wtedy łączną liczbą obserwacji i musi zgadzać się z liczbą podaną w treści.

Czy trzeba znać liczbę osób, gdy dane są w procentach?

Nie. Procenty można potraktować jak wagi, bo sumują się do stu. Konkretna liczebność skraca się w rachunku i wynik od niej nie zależy.

Czy średnia ważona może wypaść poza zakresem danych?

Nie, przy dodatnich wagach nigdy. Zawsze leży między najmniejszą a największą wartością — to najprostsza kontrola poprawności rachunku. Gdy wartości są dwie, średnia wypada dodatkowo bliżej tej o większej wadze. Przy trzech i więcej wartościach ta druga reguła już nie działa: dla wartości $0$ , $10$ i $100$ z wagami $5$ , $1$ i $4$ średnia wynosi $41$ , więc najbliżej jest wartości $10$ , która ma najmniejszą wagę.

Czy pomnożenie wszystkich wag przez tę samą liczbę zmienia wynik?

Nie zmienia. Licznik i mianownik zostają pomnożone przez tę samą liczbę, więc iloraz jest ten sam. Wagi $1, 2, 3$ dają identyczny wynik co $10, 20, 30$ — liczy się wyłącznie ich stosunek.

Jak obliczyć średnią ważoną?

Każdą wartość mnożymy przez jej wagę, sumujemy te iloczyny, a wynik dzielimy przez sumę wag. Kluczowe jest to ostatnie: dzielimy przez sumę wag, a nie przez liczbę danych — i to właśnie odróżnia średnią ważoną od arytmetycznej.

Czytaj dalej

Średnia arytmetycznaPojęcie wyjściowe: równy podział i skąd bierze się pomysł ważenia danych.MedianaDruga miara środka — inaczej reaguje na dane skrajne i inaczej czyta tabelę liczebności.StatystykaDział, w którym te zadania stoją: opis danych jedną liczbą i czytanie diagramów.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.