Strona główna › Ciągi › Ciągi liczbowe

Ciągi liczbowe

Ciąg to funkcja, której argumentami są kolejne liczby naturalne dodatnie: 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots Ta jedna obserwacja porządkuje cały dział: wyrazy ciągu to wartości, numery wyrazów to argumenty, a wzór ogólny to zwykły wzór funkcji. Ta strona jest o ciągach w ogóle — o dwóch sposobach ich zadawania i o badaniu monotoniczności. Ciągi arytmetyczne i geometryczne, czyli dwa najważniejsze przypadki szczególne, mają własne strony.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Ciąg jako funkcja numeru wyrazu

Wyrazy ciągu oznaczamy a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots, a numer wyrazu literą nn. Zapis ana_n czyta się jako „wyraz o numerze nn” i jest odpowiednikiem f(n)f(n) w języku funkcji.

Dwie konsekwencje tej definicji są w zadaniach ważniejsze niż sama definicja:

Warto rozróżnić dwa pytania, które brzmią podobnie, a mają zupełnie różne odpowiedzi: „ile wynosi wyraz numer 55” to podstawienie n=5n = 5, natomiast „który wyraz jest równy 55” to równanie an=5a_n = 5 z niewiadomą w numerze. Drugie pytanie bywa bez rozwiązania — i to też jest odpowiedź.

Numer wyrazu a jego wartość

W ciągu an=2n+1a_n = 2n + 1 wyraz numer 55 ma wartość 1111.

Zdanie „piąty wyraz wynosi 1111” zapisujemy a5=11a_5 = 11 — numer w indeksie, wartość po znaku równości.

Pomylenie tych dwóch liczb psuje odpowiedź nawet wtedy, gdy cały rachunek jest poprawny — dokładnie tak samo jak mylenie argumentu z wartością przy odczycie funkcji z wykresu.

2Wzór ogólny — liczenie wprost

Wzór ogólny podaje przepis na dowolny wyraz od razu: wstawiamy numer i dostajemy wartość, bez liczenia wyrazów wcześniejszych.

To najwygodniejszy sposób zadania ciągu i podstawa programowa wymienia go jako pierwszą umiejętność działu (VI, zakres podstawowy, punkt 1: „oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym”).

Przy podstawianiu obowiązuje jedna zasada, o której łatwo zapomnieć: numer wstawiamy wszędzie tam, gdzie stoi nn, łącznie z wykładnikami i mianownikami. Wyrażenie an=n+12na_n = \frac{n+1}{2^n} dla n=3n = 3 daje 48\frac{4}{8}, a nie 46\frac{4}{6}.

Wzór ogólny pozwala też odpowiedzieć na pytanie odwrotne — czy dana liczba jest wyrazem ciągu. Układamy wtedy równanie an=ca_n = c i sprawdzamy, czy jego rozwiązanie jest liczbą naturalną dodatnią. Jeśli nie, odpowiedź brzmi „nie jest”.

Czy ciąg zadany wzorem jest arytmetyczny albo geometryczny

Arytmetyczny — gdy różnica an+1−ana_{n+1} - a_n nie zależy od nn.

Geometryczny — gdy iloraz an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} nie zależy od nn.

Oba sprawdzenia wykonuje się na literach, nie na trzech pierwszych wyrazach — te mogą pasować przypadkiem. Szczegóły opisuję na stronach o ciągu arytmetycznym i geometrycznym.

3Rekurencja — liczenie po kolei

Drugi sposób zadania ciągu podaje pierwszy wyraz i przepis na następny. Wzór rekurencyjny wygląda tak:

a1=2,an+1=3an−1a_1 = 2, \qquad a_{n+1} = 3a_n - 1

Taki zapis mówi: żeby dostać kolejny wyraz, weź poprzedni, pomnóż przez trzy i odejmij jeden. Podstawa wymienia to jako punkt 2 działu VI: „oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie”.

Słowo „początkowe” jest tu istotne i tłumaczy, dlaczego zadania proszą zwykle o cztery, pięć wyrazów. Rekurencja nie pozwala policzyć setnego wyrazu bez policzenia dziewięćdziesięciu dziewięciu wcześniejszych — i to jest jej pierwsza słabość wobec wzoru ogólnego. Druga stoi w tabeli niżej: sam przepis nie wystarcza, trzeba jeszcze podać pierwszy wyraz.

wzór ogólnywzór rekurencyjny
jak liczymy a100a_{100}jednym podstawieniempo policzeniu wszystkich wcześniejszych
co musi być podanesam wzórwzór oraz pierwszy wyraz
co opisuje naturalniezależność od numeruzależność od poprzedniego stanu

Środkowy wiersz wskazuje najczęstszą pułapkę: wzór rekurencyjny bez pierwszego wyrazu nie określa ciągu. Ten sam przepis an+1=3an−1a_{n+1} = 3a_n - 1 przy a1=2a_1 = 2 daje 2,5,14,412, 5, 14, 41, a przy a1=0a_1 = 0 — ciąg 0,−1,−4,−130, -1, -4, -13, malejący zamiast rosnącego. Jeden warunek początkowy zmienia wszystko, łącznie z kierunkiem.

Ostatni wiersz tłumaczy, po co rekurencja w ogóle istnieje. Zjawiska takie jak procent składany, przyrost populacji czy spłata kredytu naturalnie opisuje się przez „stan następny zależy od poprzedniego” — i dopiero potem, jeśli się da, przekłada na wzór ogólny.

4Monotoniczność ciągu

Ciąg jest rosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, i malejący, gdy jest mniejszy. Sprawdza się to jednym rachunkiem — badaniem różnicy kolejnych wyrazów:

an+1−an>0  dla kaz˙dego n⟹ciąg rosnącya_{n+1} - a_n > 0 \ \text{ dla każdego } n \quad \Longrightarrow \quad \text{ciąg rosnący}

Podstawa mówi tu ostrożnie: punkt 3 działu VI brzmi „w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący”. Zastrzeżenie „w prostych przypadkach” oznacza, że na maturze podstawowej różnica zwykle upraszcza się do czegoś, czego znak widać gołym okiem.

Sprawdzenie kilku pierwszych wyrazów nie jest dowodem. Ciąg może rosnąć przez dziesięć wyrazów, a potem zacząć maleć — i zadania z ujemnym ilorazem albo z różnicą zależną od nn są zbudowane właśnie na tej pułapce.

Trzeba też pamiętać, że nie każdy ciąg jest monotoniczny w którąkolwiek stronę. Ciąg stały nie jest ani rosnący, ani malejący, a ciąg skaczący między wartościami — tym bardziej.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wyrazy ze wzoru ogólnego, wyrazy z rekurencji, badanie rodzaju ciągu i badanie monotoniczności.

Przykład 1 Wyrazy ze wzoru ogólnego

Dany jest ciąg an=n+12na_n = \frac{n+1}{2^n}. Oblicz a1a_1, a3a_3 i sprawdź, czy liczba 12\frac{1}{2} jest wyrazem tego ciągu.

  1. a1=1+121=22=1a_1 = \frac{1+1}{2^1} = \frac{2}{2} = 1.
  2. a3=3+123=48=12a_3 = \frac{3+1}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.
  3. Trzeci wyraz wyszedł równy 12\frac{1}{2}, więc odpowiedź na ostatnie pytanie brzmi: tak, dla n=3n = 3.
  4. Kontrola drugiego wyrazu: a2=34a_2 = \frac{3}{4} — leży między a1=1a_1 = 1 a a3=12a_3 = \frac{1}{2} ✓
  5. Kontrola pułapki: gdyby wykładnik potraktować jak mnożnik, wyszłoby 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3} — liczba wyglądająca sensownie, ale błędna ✓

Odpowiedź: a1=1a_1 = 1, a3=12a_3 = \frac{1}{2}; tak, 12=a3\frac{1}{2} = a_3.

Numer wstawiamy również do wykładnika — to najczęstsza pomyłka przy wzorach z potęgą. Wynik 23\frac{2}{3} zamiast 12\frac{1}{2} niczego nie sygnalizuje, bo wygląda równie porządnie.

Przykład 2 Wyrazy z rekurencji

Ciąg dany jest wzorem a1=2a_1 = 2 oraz an+1=3an−1a_{n+1} = 3a_n - 1. Oblicz cztery początkowe wyrazy.

  1. a1=2a_1 = 2 — podane w treści.
  2. a2=3⋅2−1=5a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5.
  3. a3=3⋅5−1=14a_3 = 3 \cdot 5 - 1 = 14.
  4. a4=3⋅14−1=41a_4 = 3 \cdot 14 - 1 = 41.
  5. Kontrola kierunku: wyrazy rosną coraz szybciej, co pasuje do mnożenia przez trzy ✓
  6. Kontrola wrażliwości: przy a1=0a_1 = 0 ten sam wzór dałby 0,−1,−4,−130, -1, -4, -13, czyli ciąg malejący — pierwszy wyraz jest częścią definicji ✓

Odpowiedź: 22, 55, 1414, 4141

Ostatnia kontrola pokazuje, dlaczego zapis rekurencyjny zawsze podaje pierwszy wyraz. Bez niego ten sam przepis opisuje nieskończenie wiele różnych ciągów.

Przykład 3 Czy ciąg jest geometryczny

Sprawdź, czy ciąg an=52na_n = \frac{5}{2^n} jest geometryczny.

  1. Wyznaczam kolejny wyraz: an+1=52 n+1a_{n+1} = \frac{5}{2^{\,n+1}}.
  2. Liczę iloraz: an+1an=52 n+1⋅2n5\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5}{2^{\,n+1}} \cdot \frac{2^n}{5}.
  3. Piątki się skracają, a przy potęgach o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki: 2 n−(n+1)=2−1=122^{\,n - (n+1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}.
  4. Iloraz nie zależy od nn, więc ciąg jest geometryczny o q=12q = \frac{1}{2}.
  5. Kontrola liczbowa: a1=52a_1 = \frac{5}{2}, a2=54a_2 = \frac{5}{4}, a 54:52=12\frac{5}{4} : \frac{5}{2} = \frac{1}{2} ✓
  6. Kontrola rodzaju: różnice a2−a1=−54a_2 - a_1 = -\frac{5}{4} oraz a3−a2=−58a_3 - a_2 = -\frac{5}{8} nie są równe, więc arytmetyczny nie jest ✓

Odpowiedź: Tak, ciąg jest geometryczny o ilorazie q=12q = \frac{1}{2}.

Ostatnia kontrola jest warta wykonania zawsze, gdy zadanie pyta o rodzaj ciągu: sprawdzenie obu hipotez naraz kosztuje jedną linijkę, a zamyka temat.

Przykład 4 Badanie monotoniczności

Zbadaj monotoniczność ciągu an=n2−8na_n = n^2 - 8n.

  1. Liczę różnicę: an+1−an=[(n+1)2−8(n+1)]−[n2−8n]a_{n+1} - a_n = \big[(n+1)^2 - 8(n+1)\big] - \big[n^2 - 8n\big].
  2. Rozwijam: (n2+2n+1−8n−8)−(n2−8n)=2n−7(n^2 + 2n + 1 - 8n - 8) - (n^2 - 8n) = 2n - 7.
  3. Różnica zależy od nn, więc sprawdzam jej znak: 2n−7>02n - 7 > 0 dla n>3,5n > 3{,}5.
  4. Dla n=1,2,3n = 1, 2, 3 różnica jest ujemna, dla n≥4n \geq 4 dodatnia — ciąg nie jest monotoniczny.
  5. Kontrola wyrazami: a1=−7a_1 = -7, a2=−12a_2 = -12, a3=−15a_3 = -15, a4=−16a_4 = -16, a5=−15a_5 = -15 — najpierw maleje, potem rośnie ✓
  6. Kontrola progu: różnica a4−a3a_4 - a_3 wynosi −1-1, a a5−a4a_5 - a_4 już +1+1 — zwrot wypada dokładnie tam, gdzie zapowiadał rachunek ✓

Odpowiedź: Ciąg nie jest monotoniczny: maleje do czwartego wyrazu, potem rośnie.

Sprawdzenie trzech pierwszych wyrazów dałoby tu odpowiedź „malejący” — błędną. To najlepszy przykład na to, dlaczego różnicę bada się na literach, a nie na kilku wyrazach.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą liczenia wyrazów, trzy kolejne — wniosków o całym ciągu.

Pominięcie numeru w wykładniku albo w mianowniku.

Skąd się bierze: Wzrok zatrzymuje się na liczniku, a wykładnik wygląda jak stała.

Jak zrobić dobrze: Numer wstawiaj wszędzie, gdzie stoi nn. We wzorze n+12n\frac{n+1}{2^n} dla n=3n = 3 mianownik wynosi 88, nie 66.

Liczenie wyrazu rekurencyjnego bez policzenia poprzedniego.

Skąd się bierze: Wzór wygląda jak przepis na dowolny wyraz, tak jak wzór ogólny.

Jak zrobić dobrze: Rekurencja wymaga kolejności. Żeby dostać a4a_4, trzeba mieć a3a_3, a żeby mieć a3a_3 — a2a_2.

Uznanie ciągu za monotoniczny po sprawdzeniu kilku wyrazów.

Skąd się bierze: Początek ciągu zwykle zachowuje się regularnie, więc wygląda przekonująco.

Jak zrobić dobrze: Zbadaj różnicę an+1−ana_{n+1} - a_n na literach. Ciąg n2−8nn^2 - 8n maleje przez trzy wyrazy, a potem rośnie.

Przyjęcie niecałkowitego nn jako numeru wyrazu.

Skąd się bierze: Równanie an=ca_n = c rozwiązuje się jak każde inne i wynik bywa ułamkiem.

Jak zrobić dobrze: Numery wyrazów są liczbami naturalnymi dodatnimi. Wynik n=4,5n = 4{,}5 — a tak samo n=0n = 0 czy n=−2n = -2 — oznacza, że dana liczba nie jest wyrazem ciągu.

Podanie wzoru rekurencyjnego bez pierwszego wyrazu.

Skąd się bierze: Sam przepis wygląda na komplet informacji.

Jak zrobić dobrze: Wzór rekurencyjny bez warunku początkowego nie określa ciągu. Ten sam przepis przy różnych a1a_1 daje zupełnie różne ciągi.

Zadania maturalne — czy ciąg podany wzorem jest geometryczny

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Sposób pracy jest tu zawsze ten sam: wypisz kilka pierwszych wyrazów i sprawdź definicję. Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnice kolejnych wyrazów są równe; geometryczny, gdy równe są ilorazy. Do zaprzeczenia wystarczą trzy wyrazy — jeśli dwa pierwsze ilorazy się różnią, ciąg geometryczny nie jest i nie trzeba liczyć dalej.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktśrednie

Ciąg (an)(a_n) jest określony następująco:   a1=2  \;a_1 = 2\; oraz   an+1=2an+1  \;a_{n+1} = 2a_n + 1\; dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Ciąg (an)(a_n) jest arytmetyczny.PF
Ciąg (an)(a_n) jest geometryczny.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Wzór jest rekurencyjny — każdy wyraz liczymy z poprzedniego. Wypiszmy więc cztery pierwsze.
  2. Krok 1 — wypisujemy wyrazy.
  3. a1=2a_1 = \textcolor{#16A06A}{2}
  4. a2=2⋅2+1=5a_2 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{5}
  5. a3=2⋅5+1=11a_3 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{11}
  6. a4=2⋅11+1=23a_4 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{11} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{23}
  7. Krok 2 — sprawdzamy, czy arytmetyczny. Liczymy różnice kolejnych wyrazów:
  8. 5−2=3,11−5=6,23−11=12\textcolor{#E0453A}{5} - \textcolor{#16A06A}{2} = 3, \qquad \textcolor{#E0453A}{11} - \textcolor{#E0453A}{5} = 6, \qquad \textcolor{#E0453A}{23} - \textcolor{#E0453A}{11} = 12
  9. Różnice 3,6,123, 6, 12 nie są równe → ciąg nie jest arytmetyczny   ✗ F
  10. Krok 3 — sprawdzamy, czy geometryczny. Liczymy ilorazy:
  11. 52=2,5,115=2,2\dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = 2{,}5, \qquad \dfrac{\textcolor{#E0453A}{11}}{\textcolor{#E0453A}{5}} = 2{,}2
  12. Ilorazy nie są równe → ciąg nie jest geometryczny   ✗ F
  13. Odpowiedź: F, F.
  14. Warto zauważyć, skąd bierze się złudzenie: to „prawie” ciąg geometryczny o ilorazie 2, ale dodawana jedynka za każdym razem psuje proporcję. Gdyby wzór brzmiał an+1=2ana_{n+1} = 2a_n, ciąg byłby geometryczny.

💡 Wskazówka: Do zaprzeczenia wystarczą trzy wyrazy — dwa pierwsze ilorazy różne od siebie zamykają sprawę. Do potwierdzenia trzech wyrazów nie wystarcza; wtedy trzeba pokazać, że iloraz jest stały dla dowolnego nn, wprost ze wzoru.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie ciągu za geometryczny, bo we wzorze stoi mnożenie przez 2. Sama obecność mnożnika nie wystarcza — decyduje to, czy iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Tutaj psuje go dodawana jedynka.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=3⋅(−1)n+10a_n = 3 \cdot (-1)^n + 10 dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Ciąg (an)(a_n) jest geometryczny.PF
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an)(a_n) jest równa 8080.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

  1. Czynnik (−1)n(-1)^n oznacza, że wyrazy skaczą między dwiema wartościami — zależnie od parzystości numeru.
  2. Krok 1 — wypisujemy wyrazy. Dla nn nieparzystego (−1)n=−1(-1)^n = -1, dla parzystego (−1)n=1(-1)^n = 1:
  3. a1=3⋅(−1)+10=7,a2=3⋅1+10=13a_1 = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot (-1) + \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{7}, \qquad a_2 = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot 1 + \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{13}
  4. a3=7,a4=13,…a_3 = \textcolor{#E0453A}{7}, \qquad a_4 = \textcolor{#E0453A}{13}, \qquad \ldots
  5. Ciąg to 7,13,7,13,7,13,…7, 13, 7, 13, 7, 13, \ldots
  6. Zdanie 1 — czy geometryczny? Liczymy dwa pierwsze ilorazy:
  7. 137≠713\dfrac{\textcolor{#E0453A}{13}}{\textcolor{#E0453A}{7}} \neq \dfrac{\textcolor{#E0453A}{7}}{\textcolor{#E0453A}{13}} → ilorazy różne, ciąg nie jest geometryczny   ✗ F
  8. Zdanie 2 — suma ośmiu wyrazów. Osiem wyrazów to cztery pary (7+13)(7 + 13):
  9. 4⋅(7+13)=4⋅20=80\textcolor{#E0453A}{4} \cdot (\textcolor{#E0453A}{7} + \textcolor{#E0453A}{13}) = \textcolor{#E0453A}{4} \cdot 20 = 80   ✓ P
  10. Odpowiedź: F, P.

💡 Wskazówka: Przy wzorze z (−1)n(-1)^n nie licz ośmiu wyrazów po kolei — sprawdź tylko dwa pierwsze i pogrupuj resztę w pary. Osiem wyrazów to cztery pary, dziesięć to pięć par; suma pary jest zawsze taka sama.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: policzenie 8⋅10=808 \cdot 10 = 80 „na skróty”, bo dziesiątka jest we wzorze — przypadkiem wychodzi ta sama liczba, ale rozumowanie jest błędne i przy innej liczbie wyrazów zawiedzie. Warto grupować w pary, a nie mnożyć przez wyraz wolny.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=2⋅(−1)n+1+5a_n = 2 \cdot (-1)^{n+1} + 5 dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Ciąg (an)(a_n) jest malejący.PF
Ciąg (an)(a_n) jest geometryczny.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Uwaga na wykładnik: tu jest n+1n+1, a nie nn — więc znaki wychodzą odwrotnie niż w poprzednim zadaniu.
  2. Krok 1 — wypisujemy wyrazy. Dla n=1n = 1 wykładnik to 22, czyli (−1)2=1(-1)^2 = 1:
  3. a1=2⋅1+5=7,a2=2⋅(−1)+5=3a_1 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 1 + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{7}, \qquad a_2 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot (-1) + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{3}
  4. a3=7,a4=3,…a_3 = \textcolor{#E0453A}{7}, \qquad a_4 = \textcolor{#E0453A}{3}, \qquad \ldots
  5. Ciąg to 7,3,7,3,…7, 3, 7, 3, \ldots
  6. Zdanie 1 — czy malejący? Ciąg malejący to taki, w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Tutaj:
  7. a1=7>a2=3a_1 = \textcolor{#E0453A}{7} > a_2 = \textcolor{#E0453A}{3} — spada, ale   a2=3<a3=7a_2 = \textcolor{#E0453A}{3} < a_3 = \textcolor{#E0453A}{7} — rośnie
  8. Ciąg nie jest malejący, bo raz maleje, raz rośnie   ✗ F
  9. Zdanie 2 — czy geometryczny?
  10. 37≠73\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{7}} \neq \dfrac{\textcolor{#E0453A}{7}}{\textcolor{#E0453A}{3}} → nie jest geometryczny   ✗ F
  11. Odpowiedź: F, F.

💡 Wskazówka: Sprawdź wykładnik przy (−1)(-1): przy (−1)n(-1)^n pierwszy wyraz dostaje minus, przy (−1)n+1(-1)^{n+1} — plus. To jedyna różnica między tym zadaniem i poprzednim, a zmienia kolejność wartości.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: uznanie ciągu za malejący, bo pierwszy krok jest w dół (7→37 \to 3). Do monotoniczności potrzeba, żeby warunek zachodził dla każdego nn — jeden krok w górę wystarcza do zaprzeczenia. Taki ciąg nazywa się naprzemiennym i nie jest ani rosnący, ani malejący.

Zadanie 4 (wrzesień 2022)1 pkttrudniejsze

Dany jest ciąg (an)(a_n) określony wzorem an=7n21a_n = \dfrac{7^n}{21} dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Ciąg (an)(a_n) jest geometryczny.PF
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an)(a_n) jest równa 2020.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Zdanie 1 — dowód wprost ze wzoru. Tu warto nie wypisywać wyrazów, a policzyć iloraz ogólnie — wtedy dostajemy pewność, a nie tylko przypuszczenie:
  2. an+1an=7n+1217n21=7n+17n=7 (n+1)−n=7\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^{n}}{21}} = \dfrac{7^{n+1}}{7^{n}} = 7^{\,(n+1) - n} = \textcolor{#E0453A}{7}
  3. Iloraz jest stały i równy 7 dla każdego nn → ciąg jest geometryczny   ✓ P
  4. Zdanie 2 — liczymy trzy pierwsze wyrazy.
  5. a1=721=13,a2=4921=73,a3=34321=493a_1 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7}}{\textcolor{#16A06A}{21}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{3}}, \qquad a_2 = \dfrac{49}{\textcolor{#16A06A}{21}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{3}}, \qquad a_3 = \dfrac{343}{\textcolor{#16A06A}{21}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{49}{3}}
  6. Dodajemy — mianowniki są równe, więc sumujemy liczniki:
  7. 13+73+493=1+7+493=573=19\textcolor{#E0453A}{\dfrac13} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac73} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{49}{3}} = \dfrac{1 + 7 + 49}{3} = \dfrac{57}{3} = \textcolor{#E0453A}{19}
  8. A zdanie mówi o 2020 → fałsz   ✗ F
  9. Odpowiedź: P, F.

💡 Wskazówka: To jedyne zadanie w tej grupie, w którym odpowiedź na pytanie „czy geometryczny” jest twierdząca — i dlatego trzeba to udowodnić ogólnie, a nie na trzech wyrazach. Iloraz an+1an\tfrac{a_{n+1}}{a_n} policzony z liter daje pewność dla wszystkich nn naraz.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: pomylenie 573=19\tfrac{57}{3} = 19 z 2020 przez zaokrąglenie albo przez policzenie 1+7+49=571 + 7 + 49 = 57 i podzielenie „na oko”. Różnica jednego to cała odpowiedź — warto ten rachunek zrobić na piśmie. Drugi częsty błąd: uznanie ciągu za niegeometryczny, bo mianownik 21 „nie pasuje” do potęg siódemki; stała w mianowniku skraca się przy dzieleniu i nie wpływa na iloraz.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. F, F2. F, P3. F, F4. P, F

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — ciąg określony rekurencyjnie i wzór z przesuniętym indeksem

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Wzór rekurencyjny nie mówi, ile wynosi ana_n dla dowolnego nn — mówi tylko, jak z jednego wyrazu zrobić następny. Dostajesz więc dwie rzeczy:
  • wyraz startowy (np. a1=2a_1 = 2),
  • przepis na krok (np. an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1).
Stąd jedyna metoda: licz po kolei, od pierwszego wyrazu, aż dojdziesz do szukanego. Skrótu nie ma i nie trzeba go szukać — na maturze pytają zwykle o trzeci albo czwarty wyraz, czyli o dwa lub trzy kroki.
Druga rzecz, o którą pytają najczęściej: czy taki ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny. Odpowiedź sprawdza się zawsze tak samo — wypisz trzy początkowe wyrazy i policz różnice kolejnych par (dla arytmetycznego muszą być równe) oraz ilorazy (dla geometrycznego muszą być równe). Jedna para, która nie pasuje, wystarcza, żeby odpowiedzieć „nie”.
Osobny przypadek to wzór z przesuniętym indeksem, na przykład an+3=…a_{n+3} = \ldots. Wtedy nie podstawiaj numeru szukanego wyrazu w miejsce nn — najpierw rozwiąż równanie na indeks.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Ciąg (an)(a_n) jest określony następująco: a1=2a_1 = 2 oraz an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Trzeci wyraz ciągu (an)(a_n) jest równy
  • A. 1111
  • B. 77
  • C. 55
  • D. 44
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — co właściwie dostajemy. Wzór an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 nie pozwala policzyć trzeciego wyrazu wprost. Mówi tylko: żeby dostać następny wyraz, weź poprzedni, pomnóż przez 2\textcolor{#16A06A}{2} i dodaj 1\textcolor{#16A06A}{1}. Punktem zaczepienia jest wyraz startowy a1=2a_1 = \textcolor{#16A06A}{2}.
  2. Krok 2 — drugi wyraz. Podstawiamy n=1n = 1, czyli po lewej stronie mamy a2a_2, a po prawej a1a_1:
  3. a2=2⋅a1+1=2⋅2+1=5a_2 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot a_1 + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{5}
  4. Krok 3 — trzeci wyraz. Teraz n=2n = 2, więc po lewej a3a_3, a po prawej świeżo policzone a2a_2:
  5. a3=2⋅a2+1=2⋅5+1=11a_3 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot a_2 + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#16A06A}{1} = 11
  6. Odpowiedź: trzeci wyraz jest równy 1111, czyli A.
  7. Kontrola: wypiszmy początek ciągu i sprawdźmy, czy każdy wyraz powstaje z poprzedniego zgodnie z przepisem — 2\textcolor{#16A06A}{2}, 5\textcolor{#E0453A}{5}, 1111, 23\textcolor{#E0453A}{23}, 47\textcolor{#E0453A}{47}. Rzeczywiście 2⋅5+1=112 \cdot 5 + 1 = 11 oraz 2⋅11+1=232 \cdot 11 + 1 = 23  ✓
  8. Kontrola sensowności: przy każdym kroku wyraz jest ponad dwa razy większy od poprzedniego, więc trzeci wyraz musi być wyraźnie większy od 2⋅2⋅2=8\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 8. Spośród podanych odpowiedzi tylko 1111 jest większe od 88 — samo to rozstrzyga zadanie, jeszcze przed rachunkiem.
  9. Warto zauważyć, skąd biorą się pozostałe liczby w odpowiedziach: 5\textcolor{#E0453A}{5} to drugi wyraz, a 4\textcolor{#E0453A}{4} to 2⋅22 \cdot 2, czyli wynik pominięcia dodawania jedynki. To nie są przypadkowe liczby — każda odpowiada konkretnej pomyłce.

💡 Wskazówka: Przy wzorze rekurencyjnym nie ma skrótu — trzeba policzyć wyrazy po kolei, od pierwszego. Dobrym nawykiem jest wypisywanie ich w rzędzie: a1=2a_1 = 2, a2=5a_2 = 5, a3=11a_3 = 11. Uwaga na numerację: żeby dostać a3a_3, podstawiamy n=2n = 2, a nie n=3n = 3 — bo wzór opisuje an+1a_{n+1}, czyli wyraz o jeden dalej niż ten, który wstawiamy po prawej stronie. Praktycznie: numer po prawej jest zawsze o jeden mniejszy od tego, który liczymy.

⚠ Podstawienie n=3n = 3 i policzenie 2⋅a3+12 \cdot a_3 + 1 — czyli wyliczenie czwartego wyrazu zamiast trzeciego. Wzór an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 przy n=3n = 3 daje a4a_4, a nie a3a_3. Drugi błąd: zatrzymanie się na a2=5a_2 = 5 i wskazanie odpowiedzi C — jeden krok za wcześnie; to najczęstsza pomyłka w tym zadaniu, bo 55 faktycznie jest wyrazem tego ciągu, tylko nie tym, o który pytano. Trzeci błąd: pominięcie dodawania jedynki i potraktowanie ciągu jak geometrycznego o ilorazie 22, czyli 2,4,82, 4, 8 — stąd odpowiedź 44 wśród opcji. Czwarty: potraktowanie wzoru jako an=2n+1a_n = 2n + 1 i policzenie 2⋅3+1=72 \cdot 3 + 1 = 7; to wzór ogólny, a tu mamy rekurencyjny, w którym po prawej stoi poprzedni wyraz, a nie numer.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Ciąg (an)(a_n) jest określony następująco: a1=2a_1 = 2 oraz an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 dla każdej liczby naturalnej n⩾1n \geqslant 1. Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń.
Ciąg (an)(a_n) jest arytmetyczny.PF
Ciąg (an)(a_n) jest geometryczny.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

  1. Krok 1 — wypisujemy trzy początkowe wyrazy. Bez nich nie da się ocenić żadnego ze zdań, a z nimi oba idą od ręki:
  2. a1=2,a2=2⋅2+1=5,a3=2⋅5+1=11a_1 = \textcolor{#16A06A}{2}, \qquad a_2 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{5}, \qquad a_3 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{11}
  3. Zdanie 1 — czy ciąg jest arytmetyczny. Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę kolejnych wyrazów. Liczymy dwie pierwsze różnice:
  4. a2−a1=5−2=3,a3−a2=11−5=6a_2 - a_1 = \textcolor{#E0453A}{5} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}, \qquad a_3 - a_2 = \textcolor{#E0453A}{11} - \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{6}
  5. Różnice 3\textcolor{#E0453A}{3} i 6\textcolor{#E0453A}{6} nie są równe, więc ciąg arytmetyczny nie jest.  ✗ F
  6. Zdanie 2 — czy ciąg jest geometryczny. Ciąg geometryczny ma stały iloraz kolejnych wyrazów. Liczymy dwa pierwsze ilorazy:
  7. a2a1=52=2,5,a3a2=115=2,2\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2{,}5}, \qquad \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{11}}{\textcolor{#E0453A}{5}} = \textcolor{#E0453A}{2{,}2}
  8. Ilorazy 2,5\textcolor{#E0453A}{2{,}5} i 2,2\textcolor{#E0453A}{2{,}2} nie są równe, więc ciąg geometryczny też nie jest.  ✗ F
  9. Odpowiedź: F, F.
  10. Warto zobaczyć, dlaczego ten ciąg wymyka się obu definicjom, mimo że wygląda regularnie. Gdyby przepis brzmiał an+1=2ana_{n+1} = 2a_n, ciąg byłby geometryczny o ilorazie 22. Gdyby brzmiał an+1=an+1a_{n+1} = a_n + 1, byłby arytmetyczny o różnicy 11. Tutaj mamy jedno i drugie naraz — mnożenie i dodawanie — i to psuje obie regularności.
  11. Kontrola: sprawdźmy jeszcze jedną parę, żeby wykluczyć przypadek. a4=2⋅11+1=23a_4 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{11} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{23}, więc kolejna różnica to 23−11=12\textcolor{#E0453A}{23} - \textcolor{#E0453A}{11} = \textcolor{#E0453A}{12}, a iloraz 2311≈2,09\tfrac{23}{11} \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}09}. Ani różnice (33, 66, 1212), ani ilorazy (2,52{,}5; 2,22{,}2; 2,092{,}09) nie są stałe  ✓
  12. Ciekawostka, która porządkuje obraz: różnice 3\textcolor{#E0453A}{3}, 6\textcolor{#E0453A}{6}, 12\textcolor{#E0453A}{12} same tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 22. Ilorazy zaś maleją i zbliżają się do 22 — bo dodawana jedynka waży coraz mniej przy coraz większych wyrazach.

💡 Wskazówka: Żeby odrzucić arytmetyczność albo geometryczność, wystarczą trzy początkowe wyrazy: dwie różnice i dwa ilorazy. Jeśli choć jedna para nie pasuje, odpowiedź brzmi „nie” i można przestać liczyć. Uwaga: trzy wyrazy wystarczają do odrzucenia, ale nie wystarczają do potwierdzenia — żeby uznać ciąg za arytmetyczny, trzeba sprawdzić różnicę dla dowolnego nn, a nie tylko dla kilku pierwszych. Tutaj oba zdania są fałszywe, więc trzy wyrazy załatwiają całe zadanie.
Reguła ogólna dla przepisów postaci „pomnóż i dodaj”, czyli an+1=q⋅an+ra_{n+1} = q \cdot a_n + r przy qeq1q eq 1 i req0r eq 0: taki ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny tylko wtedy, gdy jest stały — a to zdarza się dla dokładnie jednego wyrazu startowego, a1=r1−qa_1 = \frac{r}{1-q}. Dla każdego innego startu nie jest ani jednym, ani drugim. W tym zadaniu q=2q = 2 i r=1r = 1, więc wartością krytyczną byłoby a1=11−2=−1a_1 = \frac{1}{1-2} = -1; treść podaje a1=2a_1 = 2, czyli ciąg stały nie jest — i stąd obie odpowiedzi „fałsz”.

⚠ Uznanie ciągu za geometryczny, bo we wzorze widać mnożenie przez 22. Mnożenie owszem jest, ale zaraz po nim dochodzi +1+1 — i to wystarcza, żeby iloraz przestał być stały. Sam wygląd wzoru nie rozstrzyga; rozstrzygają policzone wyrazy. Drugi błąd: sprawdzenie tylko jednej różnicy albo jednego ilorazu. Z jednej pary nic nie wynika — każde dwa wyrazy mają jakąś różnicę i jakiś iloraz, więc trzeba mieć co najmniej dwie pary, żeby było co porównać. Trzeci błąd: błędne policzenie wyrazów, najczęściej a2=2⋅2+1=5a_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5 dobrze, ale potem a3=2⋅2+1a_3 = 2 \cdot 2 + 1 jeszcze raz — czyli podstawienie znowu a1a_1 zamiast świeżo policzonego a2a_2. Wtedy oba wyrazy wychodzą równe 55, różnica zerowa i ciąg wygląda na stały.

Zadanie 3 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

W ciągu (an)(a_n) określonym dla każdej liczby n⩾1n \geqslant 1 jest spełniony warunek an+3=−2⋅3n+1a_{n+3} = -2 \cdot 3^{n+1}. Wtedy
  • A. a5=−54a_5 = -54
  • B. a5=−27a_5 = -27
  • C. a5=27a_5 = 27
  • D. a5=54a_5 = 54
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — najpierw indeks, dopiero potem rachunek. Wzór opisuje wyraz o numerze n+3n + 3, a nie o numerze nn. Szukamy a5a_5, więc rozwiązujemy najpierw równanie na numer:
  2. n+3=5⟹n=2n + 3 = 5 \qquad \Longrightarrow \qquad n = \textcolor{#E0453A}{2}
  3. To jest cała trudność tego zadania — reszta jest podstawieniem.
  4. Krok 2 — podstawiamy n=2n = \textcolor{#E0453A}{2} do prawej strony.
  5. a5=−2⋅32+1=−2⋅33=−2⋅27=−54a_5 = -\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{2}+1} = -\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{3}} = -\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{27} = -54
  6. Odpowiedź: a5=−54a_5 = -54, czyli A.
  7. Kontrola przez wypisanie kilku wyrazów. Wzór działa dla n⩾1n \geqslant 1, więc opisuje wyrazy od czwartego w górę:
  8. n=1⇒a4=−2⋅32=−18,n=2⇒a5=−54,n=3⇒a6=−2⋅34=−162n = 1 \Rightarrow a_4 = -\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^2 = \textcolor{#E0453A}{-18}, \qquad n = 2 \Rightarrow a_5 = \textcolor{#E0453A}{-54}, \qquad n = 3 \Rightarrow a_6 = -\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}^4 = \textcolor{#E0453A}{-162}
  9. Kolejne wyrazy mnożą się przez 3\textcolor{#16A06A}{3}: −18-18, −54-54, −162-162  ✓ Ciąg jest geometryczny o ilorazie 3\textcolor{#16A06A}{3}, co zresztą widać wprost we wzorze.
  10. Kontrola znaku: przed wyrażeniem stoi minus, a potęga 33\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{3}} jest dodatnia, więc wynik musi być ujemny. To od razu wyrzuca odpowiedzi 2727 i 5454 i zostawia tylko dwie do rozważenia.
  11. Skąd bierze się dystraktor −27-27: to 33\textcolor{#16A06A}{3}^{\textcolor{#E0453A}{3}} bez pomnożenia przez −2-2, ze znakiem przepisanym z całości. A 5454 to poprawna wartość bezwzględna z zagubionym minusem.

💡 Wskazówka: Gdy we wzorze indeks jest przesunięty — an+3a_{n+3}, an−1a_{n-1}, a2na_{2n} — nigdy nie podstawiaj numeru szukanego wyrazu w miejsce nn. Najpierw rozwiąż małe równanie: „jakie nn daje indeks, o który pytają”. Tutaj n+3=5n + 3 = 5, więc n=2n = 2, i dopiero ta dwójka idzie do prawej strony. Sprawdzenie, czy dobrze się podstawiło, jest tanie: wypisz dwa sąsiednie wyrazy i zobacz, czy układają się sensownie. Warto też zauważyć, że wzór z 3n+1\textcolor{#16A06A}{3}^{n+1} opisuje ciąg geometryczny o ilorazie 33 — każdy kolejny wyraz jest trzy razy większy co do wartości bezwzględnej.

⚠ Podstawienie n=5n = 5 zamiast n=2n = 2, czyli policzenie −2⋅36=−1458-2 \cdot 3^6 = -1458 — to jest a8a_8, nie a5a_5. Ta pomyłka nie ma nawet swojej odpowiedzi wśród opcji, co bywa mylące: brak wyniku na liście to sygnał, żeby wrócić do indeksu, a nie żeby szukać błędu w potędze. Drugi błąd: podstawienie n=2n = 2 dobrze, ale policzenie wykładnika jako n=2n = 2 zamiast n+1=3n + 1 = 3, czyli −2⋅32=−18-2 \cdot 3^2 = -18 — to wartość a4a_4. Trzeci błąd: zgubienie minusa i wskazanie 5454; znak stoi przed całym iloczynem, a potęga trójki jest zawsze dodatnia, więc wynik musi być ujemny. Czwarty: potraktowanie −2⋅3n+1-2 \cdot 3^{n+1} jako (−2⋅3)n+1=(−6)3=−216(-2 \cdot 3)^{n+1} = (-6)^3 = -216 — mnożenie wykonuje się po potęgowaniu, bo potęga wiąże mocniej.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. F, F3. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się wzór ogólny od rekurencyjnego?

Ogólny podaje dowolny wyraz od razu, po wstawieniu numeru. Rekurencyjny opisuje, jak z jednego wyrazu otrzymać następny, więc wymaga policzenia wszystkich wcześniejszych i podania pierwszego wyrazu.

Czy ciąg może nie być ani rosnący, ani malejący?

Tak, i to na dwa sposoby. Ciąg stały ma wszystkie wyrazy równe, a ciąg o zmiennym kierunku — jak n2−8nn^2 - 8n albo geometryczny o ujemnym ilorazie — najpierw idzie w jedną stronę, potem w drugą.

Jak sprawdzić, czy dana liczba jest wyrazem ciągu?

Ułożyć równanie an=ca_n = c i rozwiązać je względem nn. Jeśli rozwiązanie jest liczbą naturalną dodatnią, liczba jest wyrazem o tym numerze; jeśli wyjdzie ułamek, liczba ujemna albo zero — nie jest. Zero warto sprawdzać osobno, bo w polskiej konwencji jest liczbą naturalną: dla ciągu an=2n+1a_n = 2n+1 równanie an=1a_n = 1 daje n=0n = 0, a jedynki wśród wyrazów 3,5,7,…3, 5, 7, \ldots nie ma.

Czy wykres ciągu można narysować linią ciągłą?

Nie. Ciąg jest określony tylko dla kolejnych liczb naturalnych dodatnich, więc jego wykresem są osobne punkty. Łączenie ich linią sugerowałoby wartości dla argumentów, dla których ciąg nie istnieje.

Po co uczyć się rekurencji, skoro wzór ogólny jest wygodniejszy?

Bo wiele zjawisk naturalnie opisuje się przez zależność od stanu poprzedniego: procent składany, spłata kredytu, przyrost populacji. Wzór ogólny bywa dla nich trudny do wyprowadzenia, a rekurencyjny wynika wprost z opisu.

Czytaj dalej

Ciąg arytmetycznyNajważniejszy przypadek szczególny: stała różnica kolejnych wyrazów.Ciąg geometrycznyDrugi przypadek szczególny: stały iloraz zamiast stałej różnicy.Wartości funkcji i odczyt z wykresuCiąg jest funkcją, więc obowiązuje ta sama różnica między argumentem a wartością.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.