Strona główna › Podstawa programowa › Podstawa programowa z matematyki — liceum i technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa z matematyki — liceum i technikum, zakres rozszerzony

Co dokładnie dochodzi w zakresie rozszerzonym — 44 punktów ponad wymagania podstawowe, dział po dziale. Ta lista odpowiada na pytanie, które przed wyborem rozszerzenia zadaje każdy: o ile więcej materiału to naprawdę jest.

Dział: Podstawa programowaPoziom: szkoła ponadpodstawowa, zakres rozszerzony

1Co to za dokument

Poniżej pełne, dosłowne brzmienie wymagań zakresu rozszerzonego — 44 punktów w jedenastu działach oraz dwa wymagania zapisane w prozie, bez numeru. Każdy dział zaczyna się w dokumencie od tego samego zdania: „Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto…”. To nie jest formuła grzecznościowa, tylko treść normatywna — zakres rozszerzony nie zastępuje podstawowego, lecz go nadbudowuje. Pełną listę wymagań podstawowych mamy na osobnej stronie.

2Dział I. Liczby rzeczywiste

Rozszerzenie działu I. Liczby rzeczywiste — jedno wymaganie, zapisane bez numeru.

I. Liczby rzeczywiste — zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

3Dział II. Wyrażenia algebraiczne

Rozszerzenie działu II. Wyrażenia algebraiczne — 6 punktów ponad zakres podstawowy.

II. Wyrażenia algebraiczne. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x − a;
• 2)rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
• 3)znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
• 4)stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona): $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, $\binom{n}{n-1} = n$, $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$;
• 5)korzysta ze wzorów na: $a^3 + b^3$, $a^3 - b^3$, $a^n - b^n$, $(a + b)^n$ i $(a - b)^n$;
• 6)dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, np.: $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$, $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}$, $\frac{x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x+1}$.

4Dział III. Równania i nierówności

Rozszerzenie działu III. Równania i nierówności — 7 punktów ponad zakres podstawowy.

III. Równania i nierówności. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W(x) = 0$ oraz nierówności wielomianowe typu: $W(x) > 0$, $W(x) \ge 0$, $W(x) < 0$, $W(x) \le 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
• 2)rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;
• 3)stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
• 4)rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną;
• 5)analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności: wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają określone znaki bądź należą do określonego przedziału, wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów;
• 6)rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
• 7)rozwiązuje równania wymierne postaci $\frac{V(x)}{W(x)} = 0$, gdzie wielomiany $V(x)$ i $W(x)$ są zapisane w postaci iloczynowej.

5Dział IV. Układy równań

Rozszerzenie działu IV. Układy równań — jedno wymaganie, zapisane bez numeru.

IV. Układy równań — zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto rozwiązuje układy równań liniowych i kwadratowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego, a które nie są trudniejsze niż $\begin{cases} x^2 + y^2 + ax + by = c \\ x^2 + y^2 + dx + ey = f \end{cases}$.

6Dział V. Funkcje

Rozszerzenie działu V. Funkcje — 3 punkty ponad zakres podstawowy.

V. Funkcje. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ rysuje wykresy funkcji $y = -f(x)$, $y = f(-x)$;
• 2)posługuje się złożeniami funkcji;
• 3)dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$ jest monotoniczna w przedziale $(-\infty, -2)$.

7Dział VI. Ciągi

Rozszerzenie działu VI. Ciągi — 2 punkty ponad zakres podstawowy.

VI. Ciągi. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu $\frac{1}{n}$, $\sqrt[n]{a}$ oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;
• 2)rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

8Dział VII. Trygonometria

Rozszerzenie działu VII. Trygonometria — 8 punktów ponad zakres podstawowy.

VII. Trygonometria. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)stosuje miarę łukową, zamienia stopnie na radiany i odwrotnie;
• 2)posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
• 3)wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
• 4)stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
• 5)korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
• 6)rozwiązuje równania trygonometryczne;
• 7)stosuje twierdzenie sinusów;
• 8)oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

9Dział VIII. Planimetria

Rozszerzenie działu VIII. Planimetria — 2 punkty ponad zakres podstawowy.

VIII. Planimetria. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;
• 2)stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

10Dział IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Rozszerzenie działu IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej — 4 punkty ponad zakres podstawowy.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)znajduje punkty wspólne prostej i okręgu;
• 2)znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
• 3)zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;
• 4)wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.

11Dział X. Stereometria

Rozszerzenie działu X. Stereometria — 2 punkty ponad zakres podstawowy.

X. Stereometria. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
• 2)wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

12Dział XI. Kombinatoryka

Rozszerzenie działu XI. Kombinatoryka — 2 punkty ponad zakres podstawowy.

XI. Kombinatoryka. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
• 2)stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

13Dział XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rozszerzenie działu XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka — 2 punkty ponad zakres podstawowy.

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
• 2)stosuje schemat Bernoullego.

14Dział XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Rozszerzenie działu XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy — 6 punktów ponad zakres podstawowy.

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

• 1)oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
• 2)stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji;
• 3)stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
• 4)oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
• 5)stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
• 6)rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

15Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-04. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.