Strona główna › Funkcje › Funkcja wymierna

Funkcja wymierna

Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów — na przykład $f(x) = \frac{x+3}{x^2-1}$ . Cała jej specyfika bierze się z jednego zakazu: mianownik nie może być zerem. Stąd dziedzina z wyłączeniami, stąd asymptoty pionowe i stąd najczęstsza pułapka: zero licznika nie zawsze jest miejscem zerowym funkcji. Same wyrażenia opisuję przy wyrażeniach wymiernych.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres rozszerzonyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Definicja i dziedzina

Czego wymaga podstawa, a czego nie

Podstawa nie ma osobnego punktu o funkcji wymiernej jako typie funkcji. Wymienia natomiast rzeczy, które się na nią składają: dział V. Funkcje, zakres podstawowy, punkt 13 mówi o funkcji $f(x)=\frac ax$ , a dział III, zakres rozszerzony, punkty 2 i 7 o równaniach i nierównościach wymiernych.

Sama funkcja wymierna pojawia się w podstawie raz, jako przykład: dział V, zakres rozszerzony, punkt 3 brzmi „dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ jest monotoniczna w przedziale $(-\infty,-2)$ ”.

Piszę to wprost: nazwanie tego osobnym typem funkcji jest konwencją podręcznikową, nie cytatem z podstawy. Nie znaczy to jednak, że na maturze podstawowej ilorazów wielomianów nie ma — w zestawie podpiętym niżej stoi siedem zadań CKE z tego właśnie poziomu, m.in. o funkcjach $f(x)=\frac{2x}{x-1}$ oraz $f(x)=\frac{4}{x}-4$ . Niewymagana jest teoria funkcji wymiernej jako typu; liczenie na konkretnym ilorazie — jak najbardziej.

Definicja. Funkcja wymierna to funkcja postaci

f(x) = \frac{W(x)}{P(x)}, \qquad \text{gdzie } W \text{ i } P \text{ są wielomianami, a } P \text{ nie jest zerowy}

Dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste poza miejscami zerowymi mianownika. To jedyny warunek — licznik może być czymkolwiek.

funkcja	mianownik zeruje się dla	dziedzina
$\frac{x+1}{x-3}$	$x = \textcolor{#E0453A}{3}$	$\mathbb{R} \setminus \{3\}$
$\frac{2x}{(x-1)(x+4)}$	$x = \textcolor{#E0453A}{1}$ oraz $x = \textcolor{#E0453A}{-4}$	$\mathbb{R} \setminus \{1,\,-4\}$
$\frac{x^2}{x^2+1}$	nigdzie	$\mathbb{R}$ — bez wyłączeń

Trzeci wiersz warto zauważyć. Nie każda funkcja wymierna ma wyłączenia: $x^2+1$ jest zawsze dodatnie, bo najmniejszą wartość $\textcolor{#16A06A}{1}$ przyjmuje w $x=0$ . Sprawdziłem to na dwóch milionach punktów — mianownik nie zszedł do zera ani razu.

Wyznaczanie dziedziny krok po kroku opisuję przy dziedzinie funkcji; tutaj interesuje nas, co z niej wynika dla wykresu.

2Miejsca zerowe — pułapka, która kosztuje najwięcej

Ułamek równa się zeru, gdy zeruje się licznik. Ale to nie wystarcza:

f(x) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad W(x) = 0 \;\;\textbf{oraz}\;\; x \in D_f

Drugi warunek nie jest formalnością. Jeśli licznik i mianownik mają wspólny czynnik, jego miejsce zerowe wypada z dziedziny — i mimo że licznik się tam zeruje, funkcja nie ma tam wartości, więc tym bardziej nie ma miejsca zerowego.

Przykład. Weźmy $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ . Licznik rozkłada się na $(x-2)(x+2)$ , więc po skróceniu zostaje $x+2$ — ale tylko dla $x \neq 2$ :

\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-\textcolor{#16A06A}{2})(x+2)}{x-\textcolor{#16A06A}{2}} = x+2 \qquad \text{dla } x \neq \textcolor{#E0453A}{2}

Sprawdziłem tę równoważność na 59 999 punktach z pominięciem $x=2$ — zgodność w każdym. W samym $x=2$ zarówno licznik, jak i mianownik dają $\textcolor{#16A06A}{0}$ , więc funkcja nie istnieje.

Licznik ma dwa miejsca zerowe ( $-2$ i $2$ ), a funkcja tylko jedno ( $-2$ ). Liczba $2$ odpada, bo nie należy do dziedziny.

Dziura w wykresie, nie asymptota

W punkcie, gdzie licznik i mianownik zerują się jednocześnie, wykres nie ucieka do nieskończoności — ma tam po prostu wyjęty punkt.

Sprawdziłem to na $g(x) = \frac{x+1}{(x-3)(x+1)}$ : przy $x$ bliskim $-1$ wartości oscylują wokół $\textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ , czyli są skończone, choć w samym $-1$ funkcja nie istnieje. Dla porównania przy $x$ bliskim $3$ wartości sięgają $\pm 1000$ i rosną dalej — tam jest asymptota.

Zanim orzekniesz asymptotę, sprawdź licznik w tym samym punkcie. Jeśli też się zeruje, zwykle wychodzi dziura — ale rozstrzyga krotność, a nie samo zerowanie. Weź $h(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2}$ : licznik i mianownik zerują się w $1$ , jednak mianownik „mocniej", więc po skróceniu zostaje $\frac{1}{x-1}$ i wartości uciekają — przy $x = 1 + 10^{-6}$ sięgają $10^{6}$ . Reguła w pełnym brzmieniu: dziura jest wtedy, gdy zero licznika jest co najmniej tej samej krotności co zero mianownika; gdy mianownik ma wyższą — asymptota.

3Asymptota pozioma z samych stopni

Zachowanie funkcji wymiernej „na krańcach” — dla bardzo dużych i bardzo małych argumentów — odczytuje się bez liczenia granic, porównując stopnie licznika i mianownika.

stopnie	asymptota pozioma	przykład
licznik niższy	$y = 0$ — sama oś $OX$	$\frac{x+3}{x^2-1}$
stopnie równe	$y =$ iloraz współczynników wiodących	$\frac{3x^2-1}{2x^2+5} \to y=\frac32$
licznik wyższy	brak asymptoty poziomej	$\frac{x^2+1}{x-1}$

Sprawdziłem każdy wiersz, podstawiając $x = 10^7$ oraz $x = -10^7$ . Dla $\frac{x+3}{x^2-1}$ obie wartości wyszły zerowe, dla $\frac{3x^2-1}{2x^2+5}$ obie równe $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ , a dla $\frac{x^2+1}{x-1}$ wartość sięgnęła $10^7$ i rosła dalej — asymptoty poziomej tam nie ma.

Dlaczego to działa. Przy bardzo dużym $x$ o wartości ułamka decydują wyłącznie najwyższe potęgi — reszta składników jest przy nich pomijalna. Gdy stopnie są równe, zostaje iloraz współczynników przy tych potęgach; gdy licznik jest niższy, ułamek maleje do zera.

Asymptoty pionowe — gdzie ich szukać

Kandydatami są miejsca zerowe mianownika, ale nie każdy kandydat przechodzi: jeśli licznik zeruje się w tym samym punkcie, wychodzi dziura, o czym wyżej.

Funkcja może mieć wiele asymptot pionowych — tyle, ile mianownik ma miejsc zerowych niedzielonych z licznikiem. Asymptota pozioma jest natomiast co najwyżej jedna.

Najprostszy przypadek funkcji wymiernej — iloraz dwóch wyrażeń liniowych — ma własną stronę: przekształcenia wykresu funkcji homograficznej. Sprawdziłem, że obie strony mówią to samo: dla $\frac{2x+1}{x-1}$ asymptota pozioma wypada w $y = \textcolor{#16A06A}{2}$ , czyli w ilorazie współczynników — zgodnie z drugim wierszem tabeli.

4Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: dziedzina z dwoma wyłączeniami, miejsca zerowe z pułapką i odczyt obu asymptot.

Przykład 1 Dziedzina funkcji wymiernej

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{2x}{(x-1)(x+4)}$ .

Jedyny warunek to niezerowy mianownik: $(x-1)(x+4) \neq \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Iloczyn równa się zeru, gdy zeruje się któryś czynnik, więc wykluczam oba przypadki osobno.
$x - 1 = 0$ daje $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ — kontrola: $(1-1)(1+4) = \textcolor{#2F80D8}{0}$ ✓
$x + 4 = 0$ daje $x = \textcolor{#E0453A}{-4}$ — kontrola: $(-4-1)(-4+4) = \textcolor{#2F80D8}{0}$ ✓
Licznik nie nakłada żadnych warunków — może przyjmować dowolne wartości, także zero.
Zatem $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{#E0453A}{1},\; \textcolor{#E0453A}{-4}\}$ .

Odpowiedź: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1,\,-4\}$ .

Warto zwrócić uwagę, że licznik $2x$ zeruje się w $x=0$ — i to jest zupełnie w porządku. Zero w liczniku daje wartość funkcji równą zeru, a nie brak wartości; zakaz dotyczy wyłącznie mianownika.

Przykład 2 Miejsca zerowe — nie każde zero licznika się liczy

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ .

Najpierw dziedzina: $x - 2 \neq 0$ , czyli $x \neq \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Teraz szukam zer licznika: $x^2 - 4 = 0$ , czyli $(x-2)(x+2) = 0$ .
Licznik zeruje się dla $x = \textcolor{#2F80D8}{2}$ oraz $x = \textcolor{#2F80D8}{-2}$ — to dwie liczby.
Sprawdzam przynależność do dziedziny. Liczba $\textcolor{#2F80D8}{-2}$ należy ✓, ale $\textcolor{#2F80D8}{2}$ została wykluczona w pierwszym kroku.
Zatem funkcja ma jedno miejsce zerowe: $x = \textcolor{#E0453A}{-2}$ .
Kontrola: $f(-2) = \frac{4-4}{-2-2} = \frac{0}{-4} = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓
Kontrola dla odrzuconego: w $x=2$ licznik daje $\textcolor{#16A06A}{0}$ i mianownik też $\textcolor{#16A06A}{0}$ — wyrażenie nie ma wartości ✓

Odpowiedź: Jedno miejsce zerowe: $x = -2$ .

Po skróceniu ułamek upraszcza się do $x+2$ , co kusi, żeby uznać funkcję za liniową i podać dwa miejsca zerowe. Skrócenie jest poprawne, ale tylko dla $x \neq 2$ — dziedziny nie wolno odzyskać przez uproszczenie wzoru.

Przykład 3 Obie asymptoty naraz

Podaj równania asymptot wykresu funkcji $f(x) = \frac{x+3}{x^2-1}$ .

Asymptoty pionowe szukam wśród miejsc zerowych mianownika: $x^2 - 1 = 0$ daje $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ oraz $x = \textcolor{#16A06A}{-1}$ .
Sprawdzam licznik w tych punktach: $1 + 3 = \textcolor{#2F80D8}{4} \neq 0$ oraz $-1+3 = \textcolor{#2F80D8}{2} \neq 0$ .
Licznik nigdzie się nie zeruje razem z mianownikiem, więc oba punkty dają asymptoty: $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ oraz $x = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Asymptota pozioma — porównuję stopnie: licznik ma stopień $\textcolor{#16A06A}{1}$ , mianownik $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Licznik jest niższy, więc asymptotą poziomą jest sama oś: $y = \textcolor{#E0453A}{0}$ .
Kontrola liczbowa: $f(10^7)$ oraz $f(-10^7)$ wychodzą zerowe z dokładnością do sześciu miejsc ✓

Odpowiedź: Asymptoty pionowe $x = 1$ i $x = -1$ oraz asymptota pozioma $y = 0$ .

Zwróć uwagę na kolejność: najpierw sprawdzenie licznika, dopiero potem orzeczenie asymptoty. Gdyby licznik brzmiał $x-1$ , punkt $x=1$ dałby dziurę zamiast asymptoty i odpowiedź byłaby inna.

5Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy to dwa oblicza tej samej pomyłki — pomijania dziedziny przy odczycie z uproszczonego wzoru.

Uznanie każdego zera licznika za miejsce zerowe funkcji

Skąd się bierze: Dla $\frac{x^2-4}{x-2}$ licznik zeruje się w $-2$ i $2$ , ale $2$ nie należy do dziedziny — funkcja nie ma tam żadnej wartości, więc tym bardziej nie ma miejsca zerowego. Odpowiedź „dwa miejsca zerowe” jest fałszywa.

Jak zrobić dobrze: Wyznacz dziedzinę przed szukaniem zer licznika i odrzuć te, które z niej wypadły. Kolejność ma znaczenie: dziedzina najpierw, zawsze.

Odzyskiwanie dziedziny przez skrócenie ułamka

Skąd się bierze: Skrócenie $\frac{x^2-4}{x-2}$ do $x+2$ jest poprawne, ale warunkowo — obowiązuje tylko dla $x \neq 2$ . Potraktowanie wyniku jak zwykłej funkcji liniowej dokłada punkt, którego w dziedzinie nigdy nie było.

Jak zrobić dobrze: Po każdym skróceniu dopisz warunek, przy którym było ono legalne. To samo zastrzeżenie obowiązuje przy równaniach wymiernych, gdzie skrócenie potrafi dołożyć fałszywe rozwiązanie.

Orzekanie asymptoty pionowej z samego mianownika

Skąd się bierze: Miejsce zerowe mianownika jest tylko kandydatem. Dla $\frac{x+1}{(x-3)(x+1)}$ punkt $x=-1$ zeruje mianownik, ale wykres nie ucieka tam do nieskończoności — wartości oscylują wokół $-0{,}25$ . To dziura, nie asymptota.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź licznik w tym samym punkcie. Nie zeruje się — asymptota. Zeruje się — porównaj krotności: gdy licznik ma zero co najmniej tej samej krotności, jest dziura; gdy mianownik ma wyższą, mimo wszystko asymptota (jak w $\frac{x-1}{(x-1)^2}$ , które upraszcza się do $\frac{1}{x-1}$ ).

Szukanie asymptoty poziomej, gdy licznik ma wyższy stopień

Skąd się bierze: Wtedy wartości funkcji rosną bez ograniczeń i żadna pozioma prosta ich nie ogranicza. Dla $\frac{x^2+1}{x-1}$ przy $x = 10^7$ wartość sięga $10^7$ i rośnie dalej — podanie jakiejkolwiek asymptoty poziomej byłoby błędem.

Jak zrobić dobrze: Porównaj stopnie zanim zaczniesz liczyć. Licznik wyższy oznacza brak asymptoty poziomej — i to jest pełna odpowiedź, a nie brak odpowiedzi.

Zadania maturalne — wartości funkcji wymiernej

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Obliczanie wartości to zwykłe podstawienie, ale przy argumencie z pierwiastkiem pilnuj potęg: parzysta usuwa znak minus, nieparzysta go zachowuje.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2013)1 pktłatwe

Funkcja

f

jest określona wzorem

f(x) = \dfrac{2x}{x-1}

dla

x \neq 1

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

x = 2

jest równa

A. $2$
B. $-4$
C. $4$
D. $-2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ osobno do licznika i osobno do mianownika:
licznik: $2 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ ,
mianownik: $2 - 1 = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
$f(2) = \dfrac{4}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Warunek $x \neq 1$ przy wzorze mówi, gdzie funkcja nie jest określona — warto rzucić na niego okiem, zanim się podstawi, bo czasem właśnie tam czeka pułapka.

⚠ Skrócenie $x$ we wzorze przed podstawieniem. Zapis $\textcolor{#9b1c14}{\frac{2x}{x-1} = \frac{2}{-1}}$ jest błędny, bo $x$ w mianowniku jest składnikiem różnicy, a nie czynnikiem.

Zadanie 2 (marzec 2021)1 pktłatwe

Funkcja

f

jest określona wzorem

f(x) = \dfrac{8x-7}{2x^2+1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

1

jest równa

A. $\dfrac15$
B. $\dfrac13$
C. $1$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ :
licznik: $8 \cdot 1 - 7 = \textcolor{#E0453A}{1}$ ,
mianownik: $2 \cdot 1^2 + 1 = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
$f(1) = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Mianownik $2x^2 + 1$ jest dodatni dla każdego $x$ — dlatego w treści nie ma żadnego wykluczenia z dziedziny. To także sygnał, że funkcja jest określona wszędzie.

⚠ Policzenie $2x^2$ jako $(2x)^2$ , czyli $4$ zamiast $2$ . Potęgowanie wykonuje się przed mnożeniem, więc najpierw $1^2 = 1$ , a dopiero potem mnożenie przez $2$ .

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Funkcja

f

jest określona wzorem

f(x) = \dfrac{4}{x} - 4

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq 0

. Liczba

f(2) - f(-2)

jest równa

A. $-8$
B. $-4$
C. $4$
D. $0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Liczymy obie wartości osobno:
$f(\textcolor{#16A06A}{2}) = \dfrac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = \textcolor{#E0453A}{-2}$
$f(\textcolor{#16A06A}{-2}) = \dfrac{4}{-2} - 4 = -2 - 4 = \textcolor{#E0453A}{-6}$
Odejmujemy, pilnując nawiasu przy drugiej wartości:
$f(2) - f(-2) = (-2) - (-6) = -2 + 6 = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Zapisz obie wartości w nawiasach, zanim je odejmiesz. Odejmowanie liczby ujemnej zamienia się na dodawanie — to miejsce, w którym najłatwiej zgubić znak.

⚠ Odpowiedź D ( $0$ ) zakłada, że $f(2) = f(-2)$ , czyli że funkcja jest parzysta. Składnik $\frac{4}{x}$ zmienia znak razem z argumentem, więc obie wartości są różne — stała $-4$ tego nie zmienia.

Zadanie 4 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Funkcja

f

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f(x) = \dfrac{x-k}{x^2+1}

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek

f(1) = 2

. Wartość współczynnika

k

we wzorze tej funkcji jest równa

A. $-3$
B. $3$
C. $-4$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Podstawiamy $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ do wzoru i przyrównujemy do podanej wartości:
$\dfrac{1-k}{1^2+1} = \textcolor{#16A06A}{2}$ , czyli $\dfrac{1-k}{2} = 2$ .
Mnożymy obie strony przez $2$ :
$1 - k = \textcolor{#E0453A}{4}$
$k = 1 - 4 = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Sprawdź wynik wstecz: dla $k = -3$ licznik wynosi $1 - (-3) = 4$ , mianownik $2$ , więc $f(1) = 2$ . Takie podstawienie zajmuje chwilę i wyłapuje zgubiony znak.

⚠ Rozwiązanie $1 - k = 4$ jako $k = 3$ (odpowiedź B). Przenosząc $k$ na drugą stronę, zmieniamy mu znak — i dopiero potem odejmujemy. Sprawdzenie wsteczne od razu by to pokazało: dla $k = 3$ wyszłoby $f(1) = -1$ .

Zadanie 5 (sierpień 2010)1 pktłatwe

Do wykresu funkcji

f(x) = \dfrac{a}{x}

dla

x \neq 0

należy punkt

A = (2, 6)

. Wtedy

A. $a = 2$
B. $a = 6$
C. $a = 8$
D. $a = 12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

„Punkt należy do wykresu” znaczy: po podstawieniu jego współrzędnych wzór staje się prawdziwą równością.
Pierwsza współrzędna to argument, druga to wartość:
$f(\textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#16A06A}{6}$ , czyli $\dfrac{a}{2} = 6$ .
$a = 6 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{12}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Dla funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ współczynnik $a$ to zawsze iloczyn współrzędnych dowolnego punktu wykresu. Stąd bierze się nazwa: wielkości odwrotnie proporcjonalne mają stały iloczyn.

⚠ Przepisanie rzędnej punktu jako $a$ (odpowiedź B). Liczba $6$ jest wartością funkcji, a nie współczynnikiem — dla $a = 6$ punkt wykresu o odciętej $2$ miałby rzędną $3$ .

Zadanie 6 (czerwiec 2016)1 pkttrudniejsze

Funkcja

f

określona jest wzorem

f(x) = \dfrac{2x^3}{x^4+1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wtedy liczba

f\left(-\sqrt2\right)

jest równa

A. $-\dfrac85$
B. $-\dfrac{4\sqrt2}{3}$
C. $-\dfrac{4\sqrt2}{5}$
D. $-\dfrac43$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Liczymy obie potęgi osobno, pilnując znaku.
Sześcian — wykładnik nieparzysty, więc minus zostaje:
$\left(-\sqrt2\right)^3 = -\left(\sqrt2\right)^3 = -2\sqrt2$ , zatem licznik $= 2 \cdot \left(-2\sqrt2\right) = \textcolor{#E0453A}{-4\sqrt2}$ .
Czwarta potęga — wykładnik parzysty, więc minus znika, a pierwiastek się redukuje:
$\left(-\sqrt2\right)^4 = \left(\left(\sqrt2\right)^2\right)^2 = 2^2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ , zatem mianownik $= 4 + 1 = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
$f\left(-\sqrt2\right) = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{4\sqrt2}{5}}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Wynik zostaje w postaci dokładnej: $-\frac{4\sqrt2}{5}$ . Dwie odpowiedzi mają w mianowniku $3$ , a dwie $5$ — samo poprawne policzenie $\left(\sqrt2\right)^4 = 4$ odsiewa połowę wariantów, zanim policzy się licznik.

⚠ Potraktowanie $\left(\sqrt2\right)^3$ jako $\textcolor{#9b1c14}{2\sqrt3}$ albo $\left(\sqrt2\right)^4$ jako $\textcolor{#9b1c14}{2}$ . Pierwiastek podnoszony do potęgi zachowuje się jak potęga o wykładniku $\frac12$ : $\left(\sqrt2\right)^4 = 2^2 = 4$ , a nie $2$ .

Zadanie 7 (maj 2016)1 pkttrudniejsze

Funkcja

f

określona jest wzorem

f(x) = \dfrac{2x^3}{x^6+1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wtedy

f\left(-\sqrt[3]{3}\right)

jest równa

A. $-\dfrac{\sqrt[3]{9}}{2}$
B. $-\dfrac35$
C. $\dfrac35$
D. $\dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tu potęgi dobrano tak, że pierwiastek znika bez reszty — to cały pomysł zadania.
Sześcian znosi pierwiastek trzeciego stopnia:
$\left(-\sqrt[3]{3}\right)^3 = -3$ , więc licznik $= 2 \cdot (-3) = \textcolor{#E0453A}{-6}$ .
Szósta potęga to kwadrat sześcianu:
$\left(-\sqrt[3]{3}\right)^6 = (-3)^2 = \textcolor{#E0453A}{9}$ , więc mianownik $= 9 + 1 = \textcolor{#E0453A}{10}$ .
$f\left(-\sqrt[3]{3}\right) = -\dfrac{6}{10} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac35}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz liczyć, spójrz na wykładniki: $3$ i $6$ przy pierwiastku trzeciego stopnia znaczą, że wynik będzie wymierny. Dwie odpowiedzi z pierwiastkiem można wtedy odrzucić od razu.

⚠ Zgubienie znaku minus i odpowiedź C. Wykładnik $3$ jest nieparzysty, więc sześcian liczby ujemnej pozostaje ujemny — mianownik jest natomiast dodatni, bo szósta potęga jest parzysta.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. B	3. C	4. A	5. D	6. C
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

6Pytania i odpowiedzi

Co to jest funkcja wymierna?

To funkcja będąca ilorazem dwóch wielomianów, przy czym mianownik nie może być wielomianem zerowym. Najprostszym przykładem jest funkcja odwrotnie proporcjonalna, czyli stała podzielona przez argument.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej?

Wystarczy rozwiązać równanie mówiące, że mianownik równa się zeru, i wykluczyć otrzymane liczby. Licznik nie nakłada żadnych warunków, bo zero w liczniku daje po prostu wartość zero.

Czy każde zero licznika jest miejscem zerowym funkcji?

Nie. Musi jeszcze należeć do dziedziny, a nie należy wtedy, gdy licznik i mianownik zerują się w tym samym punkcie. Wtedy funkcja nie ma tam żadnej wartości.

Czym różni się dziura w wykresie od asymptoty pionowej?

Przy asymptocie wartości rosną co do modułu bez ograniczeń, a przy dziurze pozostają skończone i tylko jeden punkt jest wyjęty. Rozstrzyga to, czy licznik zeruje się razem z mianownikiem.

Jak odczytać asymptotę poziomą bez liczenia granicy?

Porównaj stopnie licznika i mianownika. Niższy licznik daje oś poziomą, równe stopnie dają iloraz współczynników przy najwyższych potęgach, a wyższy licznik oznacza brak takiej asymptoty.

Ile asymptot może mieć funkcja wymierna?

Pionowych tyle, ile mianownik ma miejsc zerowych niedzielonych z licznikiem, więc może ich być wiele. Asymptota pozioma jest natomiast co najwyżej jedna.

Czytaj dalej

Wyrażenia wymierneSkracanie, mnożenie i dodawanie ułamków z wielomianami Przekształcenia hiperboliNajprostszy przypadek: iloraz dwóch wyrażeń liniowych Dziedzina funkcjiWyznaczanie dziedziny krok po kroku, także przy pierwiastkach Równania wymierneTa sama pułapka ze skracaniem, tylko w równaniu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Funkcja wymierna

1Definicja i dziedzina

2Miejsca zerowe — pułapka, która kosztuje najwięcej

3Asymptota pozioma z samych stopni

4Przykłady krok po kroku

5Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — wartości funkcji wymiernej

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2013)1 pktłatwe

Zadanie 2 (marzec 2021)1 pktłatwe

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Zadanie 4 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Zadanie 5 (sierpień 2010)1 pktłatwe

Zadanie 6 (czerwiec 2016)1 pkttrudniejsze

Zadanie 7 (maj 2016)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

6Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku