Strona główna › Liczby i działania › Liczby rzeczywiste — czym są i co się w nich mieści

Liczby rzeczywiste — czym są i co się w nich mieści

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, jakie da się zaznaczyć na osi liczbowej — i to jest ich najkrótsza, a zarazem najuczciwsza definicja. Zbiór oznaczamy literą R\mathbb{R}. Pojęcie wygląda na trudne, bo nazwa jest nowa, a w istocie nie wprowadza żadnej nowej liczby: porządkuje to, co uczeń zna od klasy czwartej, i dokłada jedną grupę, o której wcześniej mówiło się półgębkiem.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z E8: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Zanim zaczniesz — w której klasie to jest

Warto to powiedzieć na wstępie, bo pytanie o liczby rzeczywiste trafia często do uczniów klas siódmej i ósmej, którzy szukają go do sprawdzianu.

To materiał liceum, nie szkoły podstawowej

W podstawie programowej szkoły podstawowej nie ma ani pojęcia „liczby rzeczywiste”, ani „liczby niewymierne”. Sprawdzone w źródle i policzone: w całej matematycznej części dokumentu (32 kB tekstu) rdzeń „niewymiern” pada zero razy, a „liczb rzeczywist” — również zero razy.

Klasy VII–VIII mają dział II „Pierwiastki”, ale zawężony. Punkt 1 brzmi: „oblicza wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych” — czyli takich, które wychodzą równo, jak 49\sqrt{49} albo 83\sqrt[3]{8}. Pierwiastek z dwójki jako liczba w wymaganiach nie pada.

Nazwa i cały podział na wymierne i niewymierne wchodzi dopiero w pierwszej klasie liceum lub technikum — i to od razu w zakresie podstawowym, jako pierwszy dział podstawy programowej („I. Liczby rzeczywiste”). Nie jest to więc materiał dla chętnych: obowiązuje każdego maturzystę.

Nie znaczy to, że ósmoklasista nie powinien tego czytać — znaczy, że nie zostanie z tego odpytany na egzaminie ósmoklasisty.

Jeśli szukasz materiału do szkoły podstawowej, właściwe strony to liczby całkowite, ułamki i pierwiastkowanie. Ta strona zaczyna się tam, gdzie tamte się kończą.

2Oś liczbowa bez dziur

Najlepszym obrazem zbioru R\mathbb{R} jest oś liczbowa — i to nie jest metafora, tylko dokładny opis.

Każdemu punktowi osi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista, i odwrotnie. Zbiór liczb rzeczywistych to zbiór, który wypełnia oś bez ani jednej dziury.

Poprzednie zbiory dziury miały i właśnie dlatego trzeba było je rozszerzać:

zbiórczego w nim brakowałoco dołożono
naturalne N\mathbb{N}wyniku odejmowania 3−53 - 5liczby ujemne
całkowite Z\mathbb{Z}wyniku dzielenia 3:43 : 4ułamki
wymierne Q\mathbb{Q}długości przekątnej kwadratu o boku 11liczby niewymierne
rzeczywiste R\mathbb{R}— oś jest pełna—

Trzeci wiersz jest sednem tej strony. Przekątna kwadratu o boku 11 ma długość 2\sqrt{2} — odcinek, który da się narysować linijką i cyrklem, a którego długości nie da się zapisać żadnym ułamkiem. Punkt na osi istnieje, liczba wymierna mu nie odpowiada. Ta dziura wymusiła rozszerzenie zbioru.

Stąd bierze się cała definicja: liczby rzeczywiste to liczby wymierne razem z niewymiernymi. Nic więcej i nic mniej.

3Wymierne i niewymierne — jak rozpoznać

Podział jest rozłączny i wyczerpujący: każda liczba rzeczywista jest albo wymierna, albo niewymierna, i nigdy jednocześnie.

wymierne Q\mathbb{Q}niewymierne
definicjada się zapisać jako pq\frac{p}{q}, gdzie pp, qq całkowite, q≠0q \neq 0nie da się zapisać żadnym ułamkiem
rozwinięcie dziesiętneskończone albo okresowenieskończone i nieokresowe
przykłady55, −3-3, 27\frac{2}{7}, 0,250{,}25, 0,(3)0{,}(3), 49\sqrt{49}2\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, π\pi, 53\sqrt[3]{5}

Test rozwinięcia dziesiętnego jest rozstrzygający i wart zapamiętania: jeśli rozwinięcie się kończy albo od pewnego miejsca powtarza cyklicznie — liczba jest wymierna. Jeśli biegnie w nieskończoność bez powtarzalnego okresu — niewymierna.

Dlatego 0,333…0{,}333\ldots jest wymierna (to 13\frac{1}{3}), choć rozwinięcie jest nieskończone. Decyduje okres, nie długość.

Pierwiastek nie znaczy niewymierny

To najczęstsze uproszczenie w całym temacie. 49=7\sqrt{49} = 7 — liczba całkowita, więc wymierna. Tak samo 0,25=0,5\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 i 83=2\sqrt[3]{8} = 2.

Reguła jest prosta: pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest niewymierny dokładnie wtedy, gdy ta liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej. 49\sqrt{49} wymierny, 50\sqrt{50} niewymierny.

Warto więc znać kwadraty przynajmniej do 152=22515^2 = 225 — przy zadaniach maturalnych oszczędza to całą klasę pomyłek.

Liczba π\pi jest niewymierna, ale z innego powodu niż 2\sqrt{2} — i to jest ciekawostka warta jednego zdania: 2\sqrt{2} jest pierwiastkiem równania x2=2x^2 = 2, a π\pi nie jest pierwiastkiem żadnego równania o współczynnikach całkowitych. Liczby tego drugiego rodzaju nazywa się przestępnymi, ale w szkole ten podział się nie pojawia.

Skąd wiadomo, że 2\sqrt{2} naprawdę nie jest ułamkiem

To pytanie zadaje sobie każdy, kto usłyszy, że pewnych liczb „nie da się zapisać ułamkiem”. Skąd taka pewność? Może po prostu nikt jeszcze nie znalazł właściwego ułamka?

Nie — i da się to udowodnić w kilku linijkach. Dowód jest nie wprost: zakładamy coś przeciwnego i doprowadzamy do sprzeczności.

  1. Przypuśćmy, że 2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q}, gdzie ułamek jest nieskracalny — czyli pp i qq nie mają wspólnego dzielnika większego od 11.
  2. Podnosimy obie strony do kwadratu: 2=p2q22 = \frac{p^2}{q^2}, czyli p2=2q2p^2 = 2q^2.
  3. Skoro p2p^2 równa się czemuś razy dwa, to p2p^2 jest parzyste. A kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty, więc pp też musi być parzyste.
  4. Zapiszmy więc p=2kp = 2k. Wtedy p2=4k2p^2 = 4k^2, a z drugiego kroku 4k2=2q24k^2 = 2q^2, czyli q2=2k2q^2 = 2k^2.
  5. Tym samym rozumowaniem: q2q^2 jest parzyste, więc qq też jest parzyste.
  6. Ale wyszło, że pp i qq są oba parzyste — mają wspólny dzielnik 22. To sprzeczność z założeniem, że ułamek był nieskracalny.

Skoro założenie prowadzi do sprzeczności, jest fałszywe: nie istnieje ułamek równy 2\sqrt{2}. Nie chodzi więc o to, że go nie znaleziono — chodzi o to, że nie może istnieć.

Dlaczego to jest ważniejsze, niż wygląda

Ten dowód ma dwa i pół tysiąca lat i przypisuje się go szkole pitagorejczyków. Był dla nich wstrząsem: przekątna kwadratu o boku 11 to odcinek, który da się narysować, a jego długości nie da się wyrazić stosunkiem liczb całkowitych.

To pierwszy w historii dowód, że liczby wymierne nie wystarczają do opisania geometrii — i właśnie z tego niedoboru wyrósł zbiór R\mathbb{R}.

Ta sama metoda działa dla 3\sqrt{3}, 5\sqrt{5} i każdego pierwiastka z liczby, która nie jest kwadratem. Nie działa natomiast dla π\pi — tam potrzeba zupełnie innych narzędzi, spoza szkoły.

4Zbiory jeden w drugim

Zbiory liczbowe zawierają się w sobie i to zawieranie idzie tylko w jedną stronę — dokładnie jak przy czworokątach w geometrii.

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Każda liczba naturalna jest rzeczywista, ale nie każda rzeczywista jest naturalna. Odwracanie tego zdania to ten sam błąd co „każdy romb jest kwadratem” — i wraca w zadaniach typu prawda–fałsz równie często.

Zwróć uwagę na jedną pułapkę: liczby niewymierne nie tworzą osobnego szczebla tej drabiny. Nie zawierają w sobie wymiernych ani na odwrót — to dwie rozłączne części zbioru R\mathbb{R}. Symbolu na nie zwykle się nie wprowadza; pisze się R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, czyli „rzeczywiste bez wymiernych”.

Praktyczna konsekwencja przy zadaniach: liczba −4-4 należy do Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} i R\mathbb{R}, ale nie do N\mathbb{N}. Liczba 2\sqrt{2} należy tylko do R\mathbb{R}. Liczba 63\frac{6}{3} należy do wszystkich czterech, bo równa się 22 — o przynależności decyduje wartość, nie zapis.

5Co wolno robić w tym zbiorze

Zbiór R\mathbb{R} jest zamknięty na cztery działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie nigdy z niego nie wyprowadzają. Uwaga jednak — samo to nie odróżnia go od Q\mathbb{Q}, bo zbiór liczb wymiernych ma tę własność dokładnie tak samo. Powodem rozszerzenia była dziura w osi, opisana wyżej; zamkniętość jest wygodą, a nie przyczyną.

działanieczy wynik zostaje w R\mathbb{R}
dodawanie, odejmowanie, mnożeniezawsze tak
dzielenietak — poza dzieleniem przez zero, które nie jest wykonalne
potęgowanie o wykładniku naturalnymzawsze tak
pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnejtak
pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnejnie — wychodzi poza R\mathbb{R}

Ostatni wiersz jest granicą całego szkolnego świata liczb. −4\sqrt{-4} nie jest liczbą rzeczywistą, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego — kwadrat liczby dodatniej jest dodatni, kwadrat ujemnej też, a kwadrat zera to zero.

Dlatego w zadaniach maturalnych pojawia się dziedzina: zapis x−3\sqrt{x - 3} ma sens tylko dla x⩾3x \geqslant 3. Sprawdzenie, kiedy wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne, to standardowy pierwszy krok.

Uwaga: ograniczenie dotyczy pierwiastka stopnia parzystego. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny: −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2, bo (−2)3=−8(-2)^3 = -8.

Poza R\mathbb{R} istnieje jeszcze zbiór liczb zespolonych, w którym −4\sqrt{-4} już ma wartość — ale to materiał studiów, nie liceum. W szkole R\mathbb{R} jest zbiorem największym i wszystkie zadania rozgrywają się w nim.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: klasyfikacja liczb, rozstrzyganie przez rozwinięcie i wyznaczanie dziedziny.

Przykład 1 Do których zbiorów należy liczba

Dla każdej z liczb −7-7, 93\frac{9}{3}, 25\frac{2}{5}, 16\sqrt{16}, 20\sqrt{20} podaj, do których zbiorów należy: N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R}.

  1. −7-7 — całkowita, ale ujemna, więc nie jest naturalna. Należy do Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q}, R\mathbb{R}.
  2. 93\frac{9}{3} — najpierw upraszczam: 93=3\frac{9}{3} = 3. To liczba naturalna, więc należy do wszystkich czterech zbiorów. Zapis ułamkowy niczego tu nie zmienia.
  3. 25\frac{2}{5} — ułamek nieskracalny, wartość 0,40{,}4. Nie jest całkowita, więc należy do Q\mathbb{Q} i R\mathbb{R}.
  4. 16\sqrt{16} — 1616 jest kwadratem czwórki, więc 16=4\sqrt{16} = 4. Liczba naturalna: należy do wszystkich czterech.
  5. 20\sqrt{20} — 2020 nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej (42=164^2 = 16, 52=255^2 = 25), więc pierwiastek jest niewymierny. Należy tylko do R\mathbb{R}.
  6. Kontrola przez sąsiednie kwadraty: 16<20<2516 < 20 < 25, więc 4<20<54 < \sqrt{20} < 5 — a między czwórką a piątką nie ma żadnej liczby całkowitej ✓

Odpowiedź: −7∈Z,Q,R-7 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} · 93\frac{9}{3} i 16\sqrt{16} — wszystkie cztery · 25∈Q,R\frac{2}{5} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R} · 20\sqrt{20} — tylko R\mathbb{R}

Dwie liczby z pięciu były pułapkami na zapis zamiast wartości: 93\frac{9}{3} wygląda na ułamek, a jest trójką, i 16\sqrt{16} wygląda na niewymierną, a jest czwórką. Przed klasyfikacją zawsze najpierw uprość.

Przykład 2 Wymierna czy niewymierna

Rozstrzygnij, czy liczby 0,1250{,}125, 0,(27)0{,}(27), 0,1010010001…0{,}1010010001\ldots (po każdej jedynce o jedno zero więcej) oraz 50\sqrt{50} są wymierne.

  1. 0,1250{,}125 — rozwinięcie skończone, więc wymierna. Konkretnie 1251000=18\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}.
  2. 0,(27)0{,}(27) — rozwinięcie nieskończone, ale okresowe (powtarza się 2727), więc wymierna. To 2799=311\frac{27}{99} = \frac{3}{11}.
  3. 0,1010010001…0{,}1010010001\ldots — rozwinięcie nieskończone i nieokresowe: odstępy między jedynkami stale rosną, więc żaden fragment się nie powtarza cyklicznie. Liczba niewymierna.
  4. 50\sqrt{50} — sprawdzam, czy 5050 jest kwadratem liczby naturalnej: 72=497^2 = 49, 82=648^2 = 64. Nie jest, więc pierwiastek jest niewymierny.
  5. Kontrola dla 0,(27)0{,}(27): 311=3:11\frac{3}{11} = 3 : 11, a dzielenie daje 0,272727…0{,}272727\ldots ✓
  6. Kontrola dla 50\sqrt{50}: 49<50<6449 < 50 < 64, więc 7<50<87 < \sqrt{50} < 8 — pierwiastek leży między kwadratami sąsiednich liczb całkowitych ✓

Odpowiedź: Wymierne: 0,1250{,}125 i 0,(27)0{,}(27). Niewymierne: 0,1010010001…0{,}1010010001\ldots i 50\sqrt{50}.

Trzecia liczba jest w zadaniu celowo: pokazuje, że nieskończoność rozwinięcia nie wystarcza do niewymierności — potrzebny jest brak okresu. To rozróżnienie odpowiada za większość błędnych odpowiedzi w tym typie zadań.

Przykład 3 Dla jakich liczb wyrażenie ma sens

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste xx, dla których wyrażenie 2x−6\sqrt{2x - 6} ma wartość rzeczywistą.

  1. Pierwiastek kwadratowy jest liczbą rzeczywistą tylko wtedy, gdy wyrażenie pod nim jest nieujemne.
  2. Zapisuję warunek: 2x−6⩾02x - 6 \geqslant 0.
  3. Dodaję 66 do obu stron: 2x⩾62x \geqslant 6.
  4. Dzielę przez 22: x⩾3x \geqslant 3.
  5. Sprawdzenie granicy: dla x=3x = 3 mamy 2⋅3−6=0=0\sqrt{2 \cdot 3 - 6} = \sqrt{0} = 0 — wartość istnieje, więc trójka należy do rozwiązania ✓
  6. Sprawdzenie poza zakresem: dla x=2x = 2 wychodzi −2\sqrt{-2}, a to nie jest liczba rzeczywista ✓
  7. Sprawdzenie wewnątrz: dla x=5x = 5 mamy 4=2\sqrt{4} = 2 ✓

Odpowiedź: x⩾3x \geqslant 3, czyli x∈⟨3;+∞)x \in \langle 3; +\infty)

Trzy sprawdzenia — na granicy, poniżej i powyżej — to najtańszy sposób upewnienia się, że nierówność została rozwiązana w dobrą stronę. Szczególnie warto sprawdzić samą granicę, bo o to, czy jest ostra, pyta się w zadaniach najczęściej.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze biorą się z patrzenia na zapis zamiast na wartość.

„Każdy pierwiastek jest niewymierny”

Skąd się bierze: Zapis 49 — niewymierna\textcolor{#9b1c14}{\sqrt{49} \text{ — niewymierna}} jest błędny, bo 49=7\sqrt{49} = 7. Pierwiastek jest znakiem działania, a nie właściwością liczby — o wymierności decyduje wynik, nie sposób zapisania.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy liczba pod pierwiastkiem jest kwadratem liczby naturalnej. Jeśli tak, pierwiastek jest wymierny. Warto znać kwadraty przynajmniej do 152=22515^2 = 225 — wtedy rozstrzygnięcie zajmuje sekundę.

„Każdy ułamek to liczba niecałkowita”

Skąd się bierze: Zapis 93\frac{9}{3} wygląda na ułamek, ale jego wartość to 33 — liczba naturalna. Klasyfikowanie po wyglądzie zamiast po wartości daje złą odpowiedź w zadaniach o przynależność do zbiorów, a to jeden z najczęstszych typów zadań maturalnych z tego działu.

Jak zrobić dobrze: Najpierw uprość, potem klasyfikuj. Skróć ułamek, oblicz pierwiastek, wykonaj działania — dopiero na wyniku sprawdzaj przynależność.

„Nieskończone rozwinięcie znaczy niewymierna”

Skąd się bierze: Liczba 0,(3)0{,}(3) ma rozwinięcie nieskończone, a jest wymierna — to 13\frac{1}{3}. Decyduje nie długość rozwinięcia, tylko okresowość. Pominięcie tego warunku wyklucza ze zbioru Q\mathbb{Q} wszystkie ułamki o mianownikach niebędących iloczynem dwójek i piątek.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj pełne kryterium: wymierne = rozwinięcie skończone albo okresowe. Niewymierne = nieskończone i nieokresowe. Oba warunki muszą być spełnione naraz.

Traktowanie liczb niewymiernych jak kolejnego szczebla drabiny zbiorów

Skąd się bierze: Uczeń dopisuje je do ciągu N⊂Z⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} jako następny zbiór zawierający poprzednie. Tymczasem niewymierne są rozłączne z wymiernymi — żadna liczba nie jest jednocześnie jedną i drugą, a razem dopiero tworzą R\mathbb{R}.

Jak zrobić dobrze: Myśl o R\mathbb{R} jako o zbiorze podzielonym na dwie części bez części wspólnej: Q\mathbb{Q} i reszta, oznaczana R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}. Drabina N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} kończy się na czterech szczeblach.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami (−26)\left(-\dfrac{2}{6}\right) oraz (−16)\left(-\dfrac{1}{6}\right) znajduje się liczba
Oś liczbowa z podziałką co 1/6 i zaznaczonym przedziałem między −2/6 a −1/6−1−2/6−1/60
  • A. −14-\dfrac{1}{4}
  • B. −13-\dfrac{1}{3}
  • C. −512-\dfrac{5}{12}
  • D. −12-\dfrac{1}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
  2. Granice przedziału: −26=−0,33…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots} oraz −16=−0,16…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}
  3. A. −14=−0,25-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25} — leży między −0,33\textcolor{#16A06A}{-0{,}33} a −0,17\textcolor{#16A06A}{-0{,}17} ✓
  4. B. −13=−0,33…-\dfrac13 = -0{,}33\ldots — to dokładnie granica (bo 13=26\tfrac13 = \tfrac26), więc nie leży *między* ✗
  5. C. −512≈−0,42-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42 — za daleko w lewo ✗  ·  D. −12=−0,5-\dfrac12 = -0{,}5 — jeszcze dalej ✗
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to (−412,−212)\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right), a odpowiedzi to −312-\tfrac{3}{12}, −412-\tfrac{4}{12}, −512-\tfrac{5}{12}, −612-\tfrac{6}{12}. Od razu widać, że pasuje tylko −312-\tfrac{3}{12}.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór −13-\tfrac13, bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu −26=−13-\tfrac26 = -\tfrac13 — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 2 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia (1−56)−0,5\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5 znajduje się między
  • A. −1-1 i −0,5-0{,}5
  • B. −0,5-0{,}5 i 00
  • C. 00 i 0,50{,}5
  • D. 0,50{,}5 i 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw liczymy nawias: 1−56=161 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}.
  2. Teraz odejmujemy 0,5=12=360{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}.
  3. 16−36=−26=−13\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
  4. Zamieniamy na ułamek dziesiętny: −13≈−0,33-\dfrac13 \approx -0{,}33.
  5. Ta liczba leży między −0,5-0{,}5 a 00 — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią (16\tfrac16), a odejmujemy od niej 0,50{,}5 — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako 56\tfrac56 (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 3 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba 120\sqrt{120} znajduje się na osi liczbowej między
  • A. 1010 i 1111
  • B. 1111 i 1212
  • C. 1212 i 2020
  • D. 3030 i 4040
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba 120.
  2. 102=100\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{100}  oraz  112=121\textcolor{#E0453A}{11}^2 = \textcolor{#E0453A}{121}.
  3. Skoro 100<120<121\textcolor{#16A06A}{100} < 120 < \textcolor{#E0453A}{121}, to po spierwiastkowaniu: 10<120<11\textcolor{#16A06A}{10} < \sqrt{120} < \textcolor{#E0453A}{11}.
  4. Odpowiedź A.
  5. Warto zauważyć, jak blisko jedenastki jest ta liczba — 120 to tylko o jeden mniej niż 121\textcolor{#E0453A}{121}, więc 120≈10,95\sqrt{120} \approx 10{,}95.

💡 Wskazówka: Naucz się kwadratów do 20 na pamięć — zwłaszcza 112=12111^2 = 121, 122=14412^2 = 144, 132=16913^2 = 169, 152=22515^2 = 225. Szacowanie pierwiastków robi się wtedy natychmiastowe.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 120 przez 2 i szukanie w okolicach 60, albo wybór przedziału „12 i 20” — bo 120 kojarzy się z tymi liczbami. Pierwiastek z liczby trzycyfrowej jest zawsze dwucyfrowy.

Zadanie 4 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb   0\;0,   34\;\dfrac{3}{4},   −52\;-\dfrac{5}{2},   −2  \;-2\; jest równa
Oś liczbowa z liczbami −5/2, −2, 0 i 3/4−3−2−101−5/2−203/4
  • A. 1341\dfrac{3}{4}
  • B. 3143\dfrac{1}{4}
  • C. 2342\dfrac{3}{4}
  • D. 1141\dfrac{1}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: 00,  34=0,75\tfrac34 = 0{,}75,  −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5,  −2-2.
  2. Rosnąco: −2,5<−2<0<0,75-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75.
  3. Największa to 34\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}, najmniejsza to −52\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}.
  4. Odległość =34−(−52)=0,75+2,5=3,25= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25.
  5. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 3,25=3143{,}25 = 3\dfrac{1}{4} — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5 jest mniejsze od −2-2, mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie −2-2 za najmniejszą (bo 2<2,52 < 2{,}5 „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby 2342\tfrac34 — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. B3. A4. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Co to są liczby rzeczywiste?

To wszystkie liczby, jakie da się zaznaczyć na osi liczbowej — wymierne razem z niewymiernymi. Zbiór oznaczamy R\mathbb{R}. Jego cechą charakterystyczną jest to, że wypełnia oś bez żadnej dziury: każdemu punktowi odpowiada dokładnie jedna liczba i odwrotnie.

Czym różnią się liczby wymierne od niewymiernych?

Wymierne da się zapisać jako ułamek pq\frac{p}{q} z liczbami całkowitymi i mianownikiem różnym od zera; ich rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo okresowe. Niewymiernych nie da się zapisać żadnym ułamkiem, a ich rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe — jak 2\sqrt{2} czy π\pi.

Czy każdy pierwiastek jest liczbą niewymierną?

Nie. 49=7\sqrt{49} = 7, a 83=2\sqrt[3]{8} = 2 — obie są wymierne. Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest niewymierny dokładnie wtedy, gdy ta liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej: 49\sqrt{49} wymierny, 50\sqrt{50} niewymierny.

Czy 0,(3)0{,}(3) jest liczbą wymierną?

Tak — to 13\frac{1}{3}. Rozwinięcie jest nieskończone, ale okresowe, a to wystarcza do wymierności. Niewymierność wymaga rozwinięcia nieskończonego i nieokresowego naraz.

Skąd wiadomo, że 2\sqrt{2} nie jest ułamkiem?

Z dowodu nie wprost. Gdyby 2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q} było ułamkiem nieskracalnym, to po podniesieniu do kwadratu wychodzi p2=2q2p^2 = 2q^2 — a stąd, że oba pp i qq muszą być parzyste. To sprzeczność z nieskracalnością. Nie chodzi więc o to, że takiego ułamka nie znaleziono; chodzi o to, że nie może istnieć.

Dlaczego −4\sqrt{-4} nie jest liczbą rzeczywistą?

Bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego: kwadrat liczby dodatniej jest dodatni, ujemnej też, a zera równy zeru. Ograniczenie dotyczy pierwiastków stopnia parzystego — sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2.

W której klasie uczy się o liczbach rzeczywistych?

W pierwszej klasie liceum lub technikum. W podstawie programowej szkoły podstawowej pojęcia „liczby rzeczywiste” ani „niewymierne” nie ma — klasy VII–VIII mają dział „Pierwiastki”, ograniczony do liczb będących kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych.

Czytaj dalej

Liczby i działaniaHub działu: rodzaje liczb i cztery działaniaLiczby całkowiteDrugi szczebel drabiny — poziom szkoły podstawowejPierwiastkowanieSkąd biorą się liczby niewymierne w rachunkachRozwinięcia dziesiętneTest skończone–okresowe–nieokresowe w praktyceOś liczbowaObraz, na którym stoi cała definicja zbioru ℝ
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.