Zadania optymalizacyjne

Przykład 1 Ogrodzenie przy ścianie — bez pochodnej

Mając $60$ m siatki, chcemy ogrodzić prostokątny wybieg przylegający jednym bokiem do ściany budynku. Jakie wymiary dają największe pole?

1. Oznaczam przez $y$ długość boku prostopadłego do ściany, a przez $x$ — boku równoległego. Siatka pokrywa trzy boki: $x + 2y = \textcolor{#16A06A}{60}$.
2. Stąd $x = 60 - 2y$, więc pole $P(y) = y(60 - 2y) = 60y - 2y^2$.
3. Dziedzina z sytuacji: $y > 0$ oraz $x > 0$, czyli $60 - 2y > 0$, a więc $y < 30$. Zatem $y \in (0;\ 30)$.
4. To funkcja kwadratowa o współczynniku $a = -2 < 0$, więc wierzchołek daje maksimum.
5. $y_w = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = \textcolor{#E0453A}{15}$, a stąd $x = 60 - 30 = \textcolor{#E0453A}{30}$.
6. Największe pole: $P(15) = 15 \cdot 30 = 450$ m².
7. Kontrola liczbowa: $P(14) = 14 \cdot 32 = 448$ oraz $P(16) = 16 \cdot 28 = 448$ — obie mniejsze od $450$ ✓
8. Kontrola dziedziny: $15 \in (0;\ 30)$ ✓

Odpowiedź: Wymiary: $30$ m wzdłuż ściany i $15$ m w głąb; pole $450$ m².

Bok przy ścianie wychodzi dwa razy dłuższy od pozostałych — i tak jest zawsze przy tym modelu, niezależnie od długości siatki. Warto to znać jako kontrolę, ale w rozwiązaniu i tak trzeba pokazać rachunek.

Przykład 2 Pudełko z kwadratowego arkusza

Z kwadratowego arkusza o boku $30$ cm wycinamy w narożnikach cztery jednakowe kwadraty o boku $x$ i zaginamy brzegi, tworząc otwarte pudełko. Dla jakiego $x$ objętość jest największa?

1. Podstawa pudełka to kwadrat o boku $30 - 2x$, a wysokość wynosi $x$.
2. $V(x) = x(30 - 2x)^2$, przy czym z sytuacji $x > 0$ oraz $30 - 2x > 0$, czyli $x \in (0;\ 15)$.
3. Pochodna: $V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)\big[(30-2x) - 4x\big]$.
4. $V'(x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$.
5. Miejsca zerowe: $x = 15$ (poza dziedziną — pudełko o zerowej podstawie) oraz $x = \textcolor{#E0453A}{5}$.
6. Znak pochodnej: dla $x < 5$ oba czynniki są dodatnie, więc $V' > 0$; dla $5 < x < 15$ drugi czynnik jest ujemny, więc $V' < 0$. Zmiana z plusa na minus, czyli maksimum ✓
7. $V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000$ cm³.
8. Kontrola liczbowa: $V(4) = 4 \cdot 22^2 = 1936$ oraz $V(6) = 6 \cdot 18^2 = 1944$ — obie mniejsze ✓

Odpowiedź: $x = 5$ cm, objętość $2000$ cm³.

Zauważ, że pochodnej nie rozwijaliśmy do postaci wielomianu — wyłączenie wspólnego czynnika $(30-2x)$ od razu daje oba miejsca zerowe. Rozwinięcie prowadzi do tego samego, ale przez równanie kwadratowe.

Przykład 3 Puszka o najmniejszym polu powierzchni

Puszka w kształcie walca ma mieć objętość $500$ cm³. Jaki powinien być promień podstawy, żeby zużyć jak najmniej blachy?

1. Z warunku objętości: $\pi r^2 h = \textcolor{#16A06A}{500}$, więc $h = \frac{500}{\pi r^2}$.
2. Pole powierzchni całkowitej: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.
3. Wstawiam $h$: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$, dla $r > 0$.
4. $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$.
5. $S'(r) = 0 \iff 4\pi r^3 = 1000 \iff r^3 = \frac{250}{\pi}$, czyli $r = \textcolor{#E0453A}{\sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}}$ cm.
6. Znak pochodnej: dla mniejszych $r$ przeważa składnik $-\frac{1000}{r^2}$, więc $S' < 0$; dla większych — składnik $4\pi r$, więc $S' > 0$. Zmiana z minusa na plus, czyli minimum ✓
7. Kontrola przez wysokość: skoro $\pi r^3 = 250$, to $500 = 2\pi r^3$, a więc $h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ ✓
8. Wysokość równa się średnicy podstawy — dokładnie tak, jak zapowiada kontrola z sekcji o modelach ✓

Odpowiedź: $r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}}$ cm, przy czym wtedy $h = 2r$.

Wynik zostaje w postaci dokładnej — polecenie nie każe zaokrąglać, a pierwiastek trzeciego stopnia z $\frac{250}{\pi}$ jest liczbą tak samo konkretną jak jego rozwinięcie dziesiętne. Zdanie „wysokość równa średnicy” niesie tu więcej informacji niż jakikolwiek przybliżony wynik.

Przykład 4 Najmniejsza odległość od paraboli

Znajdź punkt paraboli $y = x^2$ położony najbliżej punktu $A = (3,\, 0)$.

1. Punkt paraboli ma postać $(x,\, x^2)$, więc kwadrat odległości wynosi $d^2(x) = (x - \textcolor{#16A06A}{3})^2 + x^4$.
2. Minimalizuję kwadrat, nie odległość — pierwiastek jest rosnący, więc minimum wypada w tym samym miejscu.
3. $\left(d^2\right)'(x) = 2(x - 3) + 4x^3 = 4x^3 + 2x - 6$.
4. Przyrównuję do zera: $4x^3 + 2x - 6 = 0$, czyli $2(2x^3 + x - 3) = 0$.
5. Zgaduję pierwiastek całkowity: $x = 1$ daje $2 + 1 - 3 = 0$ ✓, więc $2x^3 + x - 3 = (x-1)(2x^2 + 2x + 3)$.
6. Drugi czynnik nie ma pierwiastków, bo $\Delta = 4 - 24 = -20 < 0$ — kandydat jest tylko jeden.
7. Szukany punkt: $\textcolor{#E0453A}{(1,\, 1)}$, a odległość wynosi $\sqrt{(1-3)^2 + 1^2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{5}}$.
8. Kontrola liczbowa: dla $x = 0$ mamy $d^2 = 9$, dla $x = 1$ mamy $d^2 = 5$, dla $x = 2$ mamy $d^2 = 17$ — kandydat daje najmniejszą wartość ✓

Odpowiedź: Punkt $(1,\, 1)$, odległość $\sqrt{5}$.

Gdyby minimalizować samą odległość, pochodna miałaby pierwiastek w mianowniku i rachunek byłby dwa razy dłuższy przy identycznym wyniku. Odległość zostaje w postaci $\sqrt{5}$ — to wartość dokładna.