Strona główna › Liczby całkowite › Wartość bezwzględna — odległość od zera

Wartość bezwzględna — odległość od zera

Q: Co to jest wartość bezwzględna?

To odległość liczby od zera na osi liczbowej, zapisywana dwiema pionowymi kreskami. |5| = 5 i |-5| = 5, bo obie liczby leżą pięć jednostek od zera — tylko po przeciwnych stronach. Odległość nigdy nie jest ujemna, więc wartość bezwzględna też nie.

Q: Ile wynosi |3 - 7|?

4. Kreski działają jak nawias: najpierw liczymy 3 - 7 = -4, a dopiero potem bierzemy odległość od zera, czyli 4. To co innego niż |3| - |7|, gdzie najpierw bierzemy obie odległości, a potem odejmujemy — tam wychodzi -4.

Q: Czy wartość bezwzględna może być ujemna?

Nie — |a| ≥ 0 zawsze, bo odległość ujemna nie istnieje. Ujemne może być natomiast całe wyrażenie, jeśli minus stoi przed kreskami: -|3 - 7| = -4. Reguła dotyczy tego, co w środku, nie tego, co na zewnątrz.

Q: Jak rozwiązać równanie |x| = 5?

Ma dwa rozwiązania: x = 5 oraz x = -5, bo obie liczby leżą pięć jednostek od zera. Zawsze, gdy po prawej stronie stoi liczba dodatnia, rozwiązania są dwa. Gdy stoi zero — jedno (x = 0), a gdy liczba ujemna — nie ma żadnego.

Q: Jak policzyć odległość między dwiema liczbami na osi?

Odejmij je od siebie i weź wartość bezwzględną: |a - b|. Kolejność nie ma znaczenia, bo |a - b| = |b - a|. Odległość między -3 a 5 to |-3 - 5| = 8.

Q: Czy |a + b| to to samo co |a| + |b|?

Nie. Dla a = 3 i b = -7 pierwsze wyrażenie daje 4, a drugie 10. Sumy nie wolno rozdzielać. Za to iloczyn — owszem: |a · b| = |a| · |b|, bo tam znaki i tak znikają po obu stronach.

Wartość bezwzględną tłumaczy się zwykle jako „liczbę bez znaku” — i to działa dokładnie do momentu, w którym pod kreskami stanie coś więcej niż goła liczba. Wtedy zapis $|3 - 7|$ zaczyna sprawiać kłopot, a $|-x|$ już zupełny. Lepsza definicja jest jedna i wystarcza na wszystko: wartość bezwzględna to odległość liczby od zera. Odległość nigdy nie bywa ujemna i to jedno zdanie tłumaczy każdą regułę na tej stronie.

Dział: Liczby całkowitePoziom: klasy 6–8Zadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Odległość od zera, nie „usuwanie minusa”

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją dwiema pionowymi kreskami: $|a|$ .

|5| = 5 \qquad |-5| = 5 \qquad |0| = 0

Liczby $5$ i $-5$ leżą po przeciwnych stronach zera, ale w tej samej odległości — pięć jednostek. Dlatego ich wartości bezwzględne są równe.

Dlaczego definicja przez odległość jest lepsza

„Liczba bez znaku” to opis wyniku, a nie reguła. Nie mówi, co zrobić z $|3 - 7|$ , bo tam nie ma jednego znaku do usunięcia — jest działanie.

Odległość mówi wprost: najpierw policz, co stoi pod kreskami, dopiero potem sprawdź, jak daleko wynik leży od zera. $3 - 7 = -4$ , a $-4$ jest w odległości $4$ , więc $|3 - 7| = 4$ .

Ta sama definicja tłumaczy, dlaczego wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna: odległość ujemna nie istnieje. Nie ma czegoś takiego jak „minus trzy kroki”.

Formalnie zapisuje się to dwoma przypadkami — i warto ten zapis rozumieć, bo pojawia się w podręcznikach:

|a| = \begin{cases} \textcolor{#16A06A}{a} & \text{gdy } a \ge 0 \\ \textcolor{#E0453A}{-a} & \text{gdy } a < 0 \end{cases}

Drugi wiersz bywa mylący: $-a$ nie znaczy „liczba ujemna”. Jeśli $a = -5$ , to $-a = 5$ . Minus przed literą oznacza liczbę przeciwną, a liczba przeciwna do ujemnej jest dodatnia.

2Cztery własności, które wynikają z definicji

Żadnej z nich nie trzeba kuć osobno — wszystkie widać na osi.

$|a| \ge 0$ zawsze. Odległość nie bywa ujemna — także wtedy, gdy $a$ jest ujemne.
$|a| = 0$ tylko dla $a = 0$ . Jedyna liczba leżąca w odległości zero od zera to samo zero.
$|a| = |-a|$ . Liczba i liczba do niej przeciwna leżą tak samo daleko od zera, tylko po przeciwnych stronach.
$|a - b| = |b - a|$ . Odległość nie zależy od kolejności: z Warszawy do Krakowa jest tyle samo co z Krakowa do Warszawy.

Uwaga na trzecią własność

$|a| = |-a|$ nie znaczy, że $a = -a$ . To dwie różne rzeczy: liczby są różne, a ich odległości od zera równe.

Dlatego z równania $|x| = 5$ nie wynika jedna odpowiedź, tylko dwie: $x = 5$ albo $x = -5$ . Obie liczby leżą pięć jednostek od zera i obie spełniają warunek.

To najczęstsze źródło straconych punktów w tym dziale: uczeń podaje jedno rozwiązanie zamiast dwóch.

Wartość bezwzględna przydaje się wszędzie tam, gdzie liczy się jak daleko, a nie w którą stronę: różnica temperatur, odległość między punktami na osi, odchylenie od normy.

3Wartość bezwzględna w wyrażeniach

Kreski wartości bezwzględnej działają jak nawias. Najpierw wykonujemy wszystko, co jest w środku, a dopiero potem bierzemy odległość od zera.

|3 - 7| = |-4| = 4

|3| - |7| = 3 - 7 = -4

Te dwa zapisy dają różne wyniki i różnią się tylko położeniem kresek. W pierwszym odejmujemy przed wzięciem odległości, w drugim po. Warto na tym przykładzie zobaczyć, że kolejność ma znaczenie.

Stąd ważna obserwacja: wartości bezwzględnej nie wolno „rozdzielać” na sumę ani różnicę.

|a + b| \ne |a| + |b|

Kontrprzykład wystarczy jeden: dla $a = 3$ i $b = -7$ lewa strona to $|3 + (-7)| = |-4| = 4$ , a prawa $|3| + |-7| = 3 + 7 = 10$ . Cztery to nie dziesięć.

Mnożenie zachowuje się inaczej — tu rozdzielanie jest dozwolone:

|a \cdot b| = |a| \cdot |b|

Dla $a = 3$ i $b = -7$ : $|3 \cdot (-7)| = |-21| = 21$ oraz $|3| \cdot |-7| = 3 \cdot 7 = 21$ ✓ Znaki i tak zniknęłyby po obu stronach, więc wynik jest ten sam.

zapis	wynik	uwaga
$\|3 - 7\|$	$4$	najpierw działanie, potem odległość
$\|3\| - \|7\|$	$-4$	najpierw odległości, potem odejmowanie
$-\|3 - 7\|$	$-4$	minus stoi przed kreskami, więc zostaje
$\|-3\| \cdot \|-7\|$	$21$	iloczyn odległości
$\|(-3) \cdot (-7)\|$	$21$	ten sam wynik — mnożenie wolno rozdzielić

Trzeci wiersz jest wart uwagi: minus postawiony przed kreskami nie znika. Wartość bezwzględna jest nieujemna, ale nic nie stoi na przeszkodzie, żeby wziąć jej liczbę przeciwną.

4Odległość między dwiema liczbami

To jedno z najważniejszych zastosowań i warto je znać wcześniej niż równania.

|a - b| = \text{odległość między } a \text{ i } b \text{ na osi}

Kolejność odejmowania nie ma znaczenia, bo $|a - b| = |b - a|$ — odległość z Warszawy do Krakowa jest taka sama jak z Krakowa do Warszawy.

Przykład: odległość między $-3$ a $5$ to $|-3 - 5| = |-8| = 8$ . Sprawdzenie na osi: z $-3$ do $0$ jest $3$ kreski, z $0$ do $5$ jeszcze $5$ — razem $8$ ✓

Dzięki temu zapisy z wartością bezwzględną dają się czytać po ludzku:

$|x - 4| = 2$ — „liczba $x$ leży dwie jednostki od czwórki”, czyli $x = 6$ albo $x = 2$ ;
$|x| < 3$ — „ $x$ leży bliżej niż trzy jednostki od zera”, czyli $x$ jest między $-3$ a $3$ ;
$|x| > 3$ — „ $x$ leży dalej niż trzy jednostki od zera”, czyli $x < -3$ albo $x > 3$ .

Nierówność z wartością bezwzględną rozpada się na dwa przypadki i to jest reguła, którą trzeba zapamiętać. Znak „mniejsze” daje przedział między dwiema liczbami, znak „większe” — dwa przedziały na zewnątrz. Tak jak przy równaniach warto najpierw spojrzeć na prawą stronę: gdy jest ujemna, $|x| < k$ nie ma rozwiązań w ogóle, a $|x| > k$ spełnia każda liczba; gdy jest zerem — $|x| < 0$ nadal nie ma rozwiązań, a $|x| > 0$ spełniają wszystkie liczby prócz samego zera.

5Proste równania z wartością bezwzględną

Schemat jest zawsze ten sam: to, co pod kreskami, może być równe dwóm rzeczom — wartości po prawej stronie albo liczbie do niej przeciwnej.

|x - 4| = 6 \ \Longrightarrow \ x - 4 = 6 \ \text{ lub } \ x - 4 = -6

Z pierwszego równania $x = 10$ , z drugiego $x = -2$ . Oba są rozwiązaniami i oba trzeba podać.

Sprawdzenie odległością: $|10 - 4| = |6| = 6$ ✓ oraz $|-2 - 4| = |-6| = 6$ ✓ Obie liczby leżą sześć jednostek od czwórki — jedna z lewej, druga z prawej.

Kiedy rozwiązań nie ma wcale

Równanie $|x| = -3$ nie ma rozwiązań. Nie dlatego, że nie umiemy go rozwiązać, tylko dlatego, że żądałoby odległości ujemnej — a takiej nie ma.

Za to $|x| = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 0$ . To jedyny przypadek, w którym dwa rozwiązania zlewają się w jedno.

Zanim rozpiszesz przypadki, spójrz więc na prawą stronę: ujemna — brak rozwiązań, zero — jedno, dodatnia — dwa.

Te trzy możliwości — dwa rozwiązania, jedno albo żadne — widać od razu na wykresie, bo odpowiadają położeniu prostej poziomej względem wierzchołka litery V. Rysunek i sposób odczytu opisuję przy wykresie wartości bezwzględnej.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wyrażenie z kreskami w różnych miejscach, odległość na osi i równanie.

Przykład 1 Wyrażenie z kilkoma wartościami bezwzględnymi

Oblicz $|2 - 9| - |{-4}| + |{-3} \cdot 2|$ .

Traktuję kreski jak nawiasy — najpierw liczę to, co w środku każdej pary.
$|2 - 9| = |-7| = 7$ , bo $-7$ leży siedem jednostek od zera.
$|-4| = 4$ .
$|-3 \cdot 2| = |-6| = 6$ .
Podstawiam i liczę od lewej: $7 - 4 + 6 = 9$ .
Kontrola sensu: wszystkie trzy wartości bezwzględne są dodatnie, a odejmujemy tylko jedną i to najmniejszą — więc wynik musi być dodatni i większy od $6$ ✓

Odpowiedź: $|2 - 9| - |{-4}| + |{-3} \cdot 2| = 9$

Zwróć uwagę, że drugi składnik jest odejmowany, choć sama wartość bezwzględna jest dodatnia. Znak działania stoi na zewnątrz kresek i nie ma z nimi nic wspólnego — to ta sama pułapka co przy $-|3-7|$ .

Przykład 2 Odległość między liczbami na osi

O ile stopni różnią się temperatury $-7^\circ$ C i $12^\circ$ C? Zapisz to za pomocą wartości bezwzględnej.

Różnica temperatur to odległość między nimi na osi, więc zapisuję ją z kreskami: $|12 - (-7)|$ .
Liczę to, co pod kreskami: $12 - (-7) = 12 + 7 = 19$ .
Odległość: $|19| = 19$ . Temperatury różnią się o $19$ stopni.
Sprawdzam w drugą stronę, żeby potwierdzić, że kolejność nie ma znaczenia: $|-7 - 12| = |-19| = 19$ ✓
Kontrola na osi: z $-7$ do $0$ jest $7$ kresek, z $0$ do $12$ jeszcze $12$ — razem $19$ ✓

Odpowiedź: Temperatury różnią się o $19$ stopni: $|12 - (-7)| = 19$ .

Gdyby zapytano „o ile wzrosła temperatura”, odpowiedź brzmiałaby $+19$ , a przy spadku $-19$ — tam kierunek ma znaczenie i wartości bezwzględnej nie używamy. Kreski wstawiamy dokładnie wtedy, gdy pytanie brzmi „o ile się różnią”, a nie „o ile wzrosła”.

Przykład 3 Równanie z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie $|2x + 1| = 7$ .

Prawa strona jest dodatnia, więc spodziewam się dwóch rozwiązań.
To, co pod kreskami, może być równe $7$ albo $-7$ . Rozpisuję oba przypadki.
Pierwszy: $2x + 1 = 7$ , więc $2x = 6$ i $x = 3$ .
Drugi: $2x + 1 = -7$ , więc $2x = -8$ i $x = -4$ .
Sprawdzenie pierwszego: $|2 \cdot 3 + 1| = |7| = 7$ ✓
Sprawdzenie drugiego: $|2 \cdot (-4) + 1| = |-7| = 7$ ✓ Oba rozwiązania są poprawne.

Odpowiedź: $x = 3$ albo $x = -4$

Sprawdzenie obu rozwiązań nie jest formalnością — przy równaniach z niewiadomą po obu stronach kresek część rozwiązań bywa pozorna i odpada dopiero przy podstawieniu. Tutaj oba przechodzą, ale nawyk warto mieć od początku.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy: pierwszy i trzeci biorą się z definicji „liczba bez znaku”, drugi z pomijania drugiego rozwiązania, a czwarty z mylenia tego, co w kreskach, z tym, co przed nimi.

Wykreślanie minusa zamiast liczenia tego, co pod kreskami

Skąd się bierze: Definicja „wartość bezwzględna usuwa minus” podpowiada, żeby po prostu skreślić znaki. Wtedy $|3 - 7|$ zamienia się w $\textcolor{#9b1c14}{3 + 7 = 10}$ albo w $\textcolor{#9b1c14}{|3| - |7|}$ , choć poprawnie jest $|-4| = 4$ . Kreski są nawiasem: najpierw działanie, potem odległość.

Jak zrobić dobrze: Czytaj $|\ldots|$ jako „jak daleko od zera leży to, co w środku”. Najpierw policz zawartość, zapisz wynik, dopiero potem zapytaj o odległość. Przy dwóch krokach zapisanych osobno nie da się ich pomylić.

Podanie jednego rozwiązania równania zamiast dwóch

Skąd się bierze: Z $|x| = 5$ uczeń zapisuje $\textcolor{#9b1c14}{x = 5}$ i kończy. Tymczasem $-5$ też leży pięć jednostek od zera, więc rozwiązania są dwa. To najczęstsza strata punktów w tym dziale, bo połowa odpowiedzi jest poprawna i błąd łatwo przeoczyć przy sprawdzaniu.

Jak zrobić dobrze: Po dojściu do postaci $|\text{coś}| = k$ z dodatnim $k$ od razu zapisz dwa równania, zanim zaczniesz je rozwiązywać. Jeśli okaże się, że dają tę samą liczbę — trudno, ale to musi wyjść z rachunku, a nie z pominięcia przypadku.

Rozdzielanie wartości bezwzględnej na sumę

Skąd się bierze: Skoro $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ , kusi, żeby tak samo potraktować dodawanie i napisać $\textcolor{#9b1c14}{|a + b| = |a| + |b|}$ . To nieprawda: dla $a = 3$ , $b = -7$ lewa strona daje $4$ , a prawa $10$ . Przy mnożeniu znaki i tak znikają po obu stronach, przy dodawaniu — nie, bo mogą się częściowo znieść.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj krótko: iloczyn wolno rozdzielić, sumy nie. W razie wątpliwości sprawdź kontrprzykładem na dwóch liczbach o różnych znakach — to zajmuje pięć sekund i rozstrzyga.

Uznanie, że wynik z wartością bezwzględną nie może być ujemny

Skąd się bierze: Reguła „wartość bezwzględna jest nieujemna” dotyczy całego zapisu $|\ldots|$ razem z kreskami, a nie działania, w którym ten zapis stoi. Zapis $-|3 - 7|$ jest jak najbardziej ujemny i wynosi $-4$ , bo minus stoi przed kreskami. Podobnie $|3| - |7| = -4$ .

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, gdzie dokładnie stoi znak. Nieujemna jest wartość całego zapisu $|\ldots|$ ; to, co zostaje wewnątrz kresek po obliczeniu, bywa ujemne — w $|3 - 7|$ jest to $-4$ . Wszystko, co na zewnątrz kresek, działa normalnie.

Zadania maturalne — wartość bezwzględna

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej, więc nigdy nie jest ujemna. Stąd reguła zdejmowania kresek:

|a| = a

, gdy

a \geqslant 0

, oraz

|a| = -a

, gdy

a < 0

. Drugi znak minus nie robi liczby ujemnej — odwraca liczbę, która już była ujemna. Jeszcze wygodniejsze jest drugie spojrzenie:

|a-b|

to odległość między liczbami

a

b

. Widać z niego od razu, że

|a-b| = |b-a|

, i to ono jest kluczem do nierówności —

|x-a| \leqslant r

znaczy po prostu „

x

jest oddalone od

a

o nie więcej niż

r

”. Czego robić nie wolno: kreski nie są nawiasami, więc

|a-b|

na ogół nie równa się

|a|-|b|

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (listopad 2010)1 pktłatwe

Liczba

|5 - 7| - |-3 + 4|

jest równa

A. $-3$
B. $-5$
C. $1$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kreski zdejmuje się osobno dla każdego nawiasu, i dopiero po policzeniu tego, co jest w środku. Kolejność jest tu jedyną rzeczą, o którą można się potknąć.
Pierwszy nawias: $\textcolor{#16A06A}{5 - 7} = \textcolor{#E0453A}{-2}$ , a to jest liczba ujemna, więc kreski ją odwracają: $|{-2}| = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Drugi nawias: $\textcolor{#16A06A}{-3 + 4} = \textcolor{#E0453A}{1}$ , a to jest liczba dodatnia, więc kreski nic nie zmieniają: $|1| = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Zostaje zwykłe odejmowanie: $\textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Odpowiedź: C.
Kontrola znakiem wyniku: pierwszy składnik po zdjęciu kresek wynosi $2$ , drugi $1$ , więc różnica musi być dodatnia i mniejsza od $2$ . Spośród podanych odpowiedzi warunek ten spełnia tylko jedna.

💡 Wskazówka: Policz najpierw to, co jest wewnątrz kresek, i dopiero potem patrz na znak. Odwrotna kolejność — zdejmowanie kresek z każdej liczby z osobna — jest źródłem prawie wszystkich błędów w tym typie zadania, bo kreski nie działają na składniki, tylko na całą sumę.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $3$ — z potraktowania kresek jak nawiasów i zdjęcia ich z każdej liczby osobno: $|5| - |7| - |-3| + |4|$ dałoby $5 - 7 - 3 + 4 = -1$ , a częściej jeszcze $|5| - |{-7}| \ldots$ prowadzi do dodania $2 + 1$ zamiast odjęcia. Odpowiedzi $A$ i $B$ są ujemne, a wynik ujemny jest tu niemożliwy: odejmujemy od $2$ liczbę mniejszą od $2$ .

Zadanie 2 (sierpień 2011)1 pktłatwe

Liczba

|5 - 2| + |1 - 6|

jest równa

A. $8$
B. $2$
C. $3$
D. $-2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Ten sam schemat co poprzednio: najpierw wnętrze, potem znak.
$\textcolor{#16A06A}{5 - 2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ — dodatnia, więc $|3| = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
$\textcolor{#16A06A}{1 - 6} = \textcolor{#E0453A}{-5}$ — ujemna, więc kreski ją odwracają: $|{-5}| = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
$\textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{8}$
Odpowiedź: A.
Kontrola drugim spojrzeniem — przez odległość. $|5-2|$ to odległość między $5$ a $2$ na osi, czyli $3$ kratki. $|1-6|$ to odległość między $1$ a $6$ , czyli $5$ kratek. Razem $8$ ✓. Ten sposób w ogóle nie wymaga myślenia o znakach, bo odległość z definicji jest dodatnia.

💡 Wskazówka: Suma dwóch wartości bezwzględnych nigdy nie jest ujemna — każdy składnik z osobna jest nieujemny. To od razu odrzuca każdą ujemną odpowiedź, zanim cokolwiek policzysz. Przy takim zadaniu warto zacząć właśnie od tego przeglądu.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $-2$ , oraz $B$ , czyli $2$ — obie biorą się z policzenia $(5-2) + (1-6) = 3 - 5 = -2$ , czyli z całkowitego pominięcia kresek; różnią się tylko tym, czy ktoś na końcu odwrócił znak, bo „przecież wartość bezwzględna jest dodatnia”. Tak to nie działa: kreski trzeba zdjąć z każdego składnika osobno, a nie z gotowej sumy. Odpowiedź $C$ , czyli $3$ , to policzenie tylko pierwszego składnika.

Zadanie 3 (czerwiec 2017)1 pktłatwe

Liczba

|9 - 2| - |4 - 7|

jest równa

A. $4$
B. $10$
C. $-10$
D. $-4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

$\textcolor{#16A06A}{9 - 2} = \textcolor{#E0453A}{7}$ — dodatnia, kreski nic nie zmieniają.
$\textcolor{#16A06A}{4 - 7} = \textcolor{#E0453A}{-3}$ — ujemna, kreski ją odwracają: $|{-3}| = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
$\textcolor{#E0453A}{7} - \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: A.
Kontrola przez odległości: $|9-2|$ to odległość między $9$ a $2$ , czyli $7$ ; $|4-7|$ to odległość między $4$ a $7$ , czyli $3$ . Różnica: $7 - 3 = 4$ ✓.
Warto zobaczyć, skąd biorą się wszystkie trzy pozostałe odpowiedzi, bo każda odpowiada innej pomyłce. $10 = 7 + 3$ — dodawanie zamiast odejmowania. $-10$ — to samo z odwróconym znakiem całości. $-4 = 3 - 7$ — odjęcie w złej kolejności.

💡 Wskazówka: Po zdjęciu kresek zostają dwie liczby dodatnie — i dopiero między nimi wykonujesz działanie zapisane w zadaniu. Kreski zmieniają wyłącznie to, co jest pod nimi; znak działania między nimi zostaje taki, jak w treści.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $10$ — z dodania obu wyników zamiast odjęcia, najczęściej dlatego, że po zamianie $-3$ na $3$ minus przed drugimi kreskami „przechodzi” razem z nią. Tak nie jest: minus stoi przed kreskami, a nie w środku, więc zostaje. Odpowiedź $D$ , czyli $-4$ , to odjęcie w odwrotnej kolejności.

Zadanie 4 (sierpień 2016)1 pktśrednie

Liczba

\dfrac{|3 - 9|}{-3}

jest równa

A. $2$
B. $-2$
C. $0$
D. $-4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kreski są tylko w liczniku. To jedyna trudność tego zadania — mianownik zostaje ujemny.
Licznik: $\textcolor{#16A06A}{3 - 9} = \textcolor{#E0453A}{-6}$ , a po zdjęciu kresek $|{-6}| = \textcolor{#E0453A}{6}$ .
Mianownik jest dany i wynosi $\textcolor{#16A06A}{-3}$ — nie ma przy nim żadnych kresek, więc nic z nim nie robimy.
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{-3}} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Odpowiedź: B.
Kontrola znakiem: licznik po zdjęciu kresek jest dodatni, mianownik jest ujemny, więc iloraz musi być ujemny. To od razu odrzuca odpowiedzi $A$ i $C$ , jeszcze zanim policzysz cokolwiek.

💡 Wskazówka: Sprawdź, dokąd sięgają kreski. Tutaj obejmują wyłącznie licznik, więc ujemny mianownik pozostaje ujemny i decyduje o znaku całego ułamka. To zadanie sprawdza właśnie tę czujność, a nie rachunek — sam rachunek to $6$ podzielone przez $3$ .

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $2$ — z pominięcia kresek w ogóle: $\tfrac{3-9}{-3} = \tfrac{-6}{-3} = 2$ . To najczęstsza pomyłka i jedyna, która daje „ładny” wynik, bo dwa minusy się znoszą. Warto zauważyć, że pozostałe dwie odpowiedzi, $0$ i $-4$ , nie wychodzą z żadnej naturalnej pomyłki — a to sama w sobie wskazówka, że prawdziwa pułapka jest tylko jedna i jest nią $A$ .

Zadanie 5 (sierpień 2025)1 pkttrudniejsze

Liczba

\left|\sqrt{5} - 3\right| + \left|\sqrt{5} - 1\right|

jest równa

A. $2\sqrt{5} - 4$
B. $2\sqrt{5} + 4$
C. $2$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tu nie da się policzyć wnętrza kresek „na liczbę” — trzeba najpierw ustalić znak każdego z dwóch wyrażeń. A do tego wystarczy wiedzieć, gdzie na osi leży $\textcolor{#16A06A}{\sqrt{5}}$ .
Skoro $4 < 5 < 9$ , to $2 < \textcolor{#16A06A}{\sqrt{5}} < 3$ . Pierwiastek z pięciu leży więc między $\textcolor{#16A06A}{1}$ a $\textcolor{#16A06A}{3}$ , czyli między obiema liczbami, które pojawiają się w zadaniu.
Stąd $\textcolor{#16A06A}{\sqrt{5}} - \textcolor{#16A06A}{3}$ jest ujemne — kreski je odwracają: $\left|\sqrt{5}-3\right| = \textcolor{#E0453A}{3 - \sqrt{5}}$ .
A $\textcolor{#16A06A}{\sqrt{5}} - \textcolor{#16A06A}{1}$ jest dodatnie — kreski nic nie zmieniają: $\left|\sqrt{5}-1\right| = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{5} - 1}$ .
Dodajemy i pierwiastki się skracają:
$\left(\textcolor{#E0453A}{3 - \sqrt{5}}\right) + \left(\textcolor{#E0453A}{\sqrt{5} - 1}\right) = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: C.
Kontrola przybliżeniem: $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ , więc pierwszy składnik to około $0{,}76$ , a drugi około $1{,}24$ . Suma wychodzi około $2{,}00$ ✓. Warto zrobić taki rachunek szacunkowy zawsze, gdy wynik jest liczbą wymierną, a w zadaniu występuje pierwiastek — bo to znaczy, że coś się miało skrócić, i przybliżenie natychmiast pokazuje, czy się skróciło dobrze.
Kontrola przez odległości: $\left|\sqrt{5}-3\right|$ to odległość od $\sqrt{5}$ do $3$ , a $\left|\sqrt{5}-1\right|$ — od $\sqrt{5}$ do $1$ . Skoro $\sqrt{5}$ leży między $1$ a $3$ , obie odległości składają się na całą drogę od $1$ do $3$ , czyli na $3 - 1 = 2$ . I to działa dla dowolnej liczby leżącej między $1$ a $3$ — pierwiastek z pięciu nie jest tu w niczym wyjątkowy.

💡 Wskazówka: Zanim ruszysz kreski, ustal znak każdego wyrażenia — a przy pierwiastku najprościej oszacować go między dwiema liczbami całkowitymi: $\sqrt{5}$ leży między $2$ a $3$ , bo $2^2 = 4$ i $3^2 = 9$ . Dopiero mając znaki, zdejmujesz kreski: przy dodatnim nic się nie zmienia, przy ujemnym odwracasz cały nawias.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $2\sqrt{5}-4$ — ze zdjęcia kresek z obu wyrażeń bez sprawdzania znaku: $\left(\sqrt{5}-3\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)$ . Wynik wychodzi wtedy około $0{,}47$ , czyli mniejszy niż sam pierwszy składnik — a suma dwóch odległości nie może być mniejsza od jednej z nich. Odpowiedź $D$ , czyli $4$ , powstaje z odwrócenia niewłaściwego nawiasu: $\left(3-\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{5}+1\right)$ . Odpowiedź $B$ , czyli $2\sqrt{5}+4$ , bierze się z potraktowania $|a-b|$ jak $a+b$ .

Zadanie 6 (arkusz nieustalony)1 pktśrednie

Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność

|x + 4{,}5| \geqslant 6

jest

A. $x = 1$
B. $x = 2$
C. $x = 3$
D. $x = 6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie jest zamknięte i pyta o liczbę całkowitą dodatnią, więc najszybciej po prostu sprawdzić kandydatów po kolei, zaczynając od najmniejszego. Rozwiązywanie nierówności nie jest tu konieczne.
Dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ : $|1 + \textcolor{#16A06A}{4{,}5}| = \textcolor{#E0453A}{5{,}5}$ , a $5{,}5 < 6$ — nierówność nie jest spełniona.
Dla $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ : $|2 + \textcolor{#16A06A}{4{,}5}| = \textcolor{#E0453A}{6{,}5}$ , a $6{,}5 \geqslant 6$ — spełniona ✓.
Skoro $x = 1$ odpada, a $x = 2$ przechodzi, to $\textcolor{#E0453A}{2}$ jest najmniejszą taką liczbą.
Odpowiedź: B.
Kontrola rachunkiem, drugą drogą. Dla $x$ dodatniego wyrażenie $x + 4{,}5$ jest dodatnie, więc kreski można od razu opuścić: $x + 4{,}5 \geqslant 6$ , czyli $x \geqslant 1{,}5$ . Najmniejsza liczba całkowita spełniająca ten warunek to $2$ ✓.
Uwaga na całość rozwiązania nierówności: pełny zbiór to $x \geqslant 1{,}5$ lub $x \leqslant -10{,}5$ . Druga część nie zawiera żadnej liczby dodatniej, więc dla tego pytania nie ma znaczenia — ale warto wiedzieć, że istnieje, bo w zadaniu otwartym trzeba by ją wypisać.

💡 Wskazówka: Przy zadaniu zamkniętym z niewielkimi liczbami całkowitymi podstawianie jest szybsze niż rozwiązywanie. Wystarczy sprawdzić dwie pierwsze odpowiedzi: jeśli mniejsza nie przechodzi, a większa przechodzi, to masz wynik. Sprawdzać zaczynaj zawsze od najmniejszej, bo pytanie brzmi „najmniejsza”.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $x = 1$ — z policzenia $x \geqslant 6 - 4{,}5 = 1{,}5$ i zaokrąglenia w dół. Przy warunku „nie mniejsze niż” zaokrągla się w górę: $1$ jest mniejsze od $1{,}5$ , więc nierówności nie spełnia. Odpowiedź $D$ , czyli $x = 6$ , bierze się z zignorowania składnika $4{,}5$ . Odpowiedź $C$ spełnia nierówność, ale nie jest najmniejsza — to typowa pułapka na tych, którzy przestają szukać po znalezieniu pierwszej działającej liczby, nie sprawdziwszy mniejszych.

Zadanie 7 (maj 2011)1 pkttrudniejsze

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba

\pi

A. $|x + 1| > 5$
B. $|x - 1| < 2$
C. $\left|x + \dfrac{2}{3}\right| \leqslant 4$
D. $\left|x - \dfrac{1}{3}\right| \geqslant 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Nie trzeba rozwiązywać czterech nierówności. Wystarczy podstawić $\textcolor{#16A06A}{\pi}$ do każdej i sprawdzić, która wychodzi prawdziwa. Potrzebne jest tylko przybliżenie $\textcolor{#16A06A}{\pi} \approx \textcolor{#E0453A}{3{,}14}$ .
A: $|\pi + 1| = \textcolor{#E0453A}{4{,}14\ldots}$ , a warunek żąda więcej niż $5$ . Fałsz.
B: $|\pi - 1| = \textcolor{#E0453A}{2{,}14\ldots}$ , a warunek żąda mniej niż $2$ . Fałsz.
C: $\left|\pi + \tfrac{2}{3}\right| = \textcolor{#E0453A}{3{,}80\ldots}$ , a warunek żąda nie więcej niż $4$ . Prawda ✓
D: $\left|\pi - \tfrac{1}{3}\right| = \textcolor{#E0453A}{2{,}80\ldots}$ , a warunek żąda co najmniej $3$ . Fałsz.
Odpowiedź: C.
Kontrola drugim spojrzeniem — przez odległość, bez liczenia wszystkich czterech. Każda z tych nierówności mówi coś o odległości $x$ od pewnej liczby. Warunek $B$ znaczy „bliżej niż $2$ od jedynki”, czyli $x < 3$ — a $\pi$ jest większe od $3$ . Warunek $D$ znaczy „nie bliżej niż $3$ od $\tfrac13$ ”, czyli $x \geqslant 3\tfrac13$ — a $\pi$ jest od $3\tfrac13$ mniejsze. Warunek $A$ wymagałby $x > 4$ . Zostaje $C$ — i rzeczywiście $C$ dopuszcza wszystko aż do $3\tfrac13$ .
Widać stąd, jak ustawiono to zadanie: granice czterech warunków wypadają w $3$ , $3\tfrac13$ i $4$ , a $\pi \approx 3{,}14$ leży w przedziale między $3$ a $3\tfrac13$ . Cały ten przedział daje odpowiedź $C$ , więc nawet przybliżenie $\pi \approx 3$ prowadzi do właściwej odpowiedzi — ale wyłącznie dlatego, że nierówność w $B$ jest ostra. Dla $x = 3$ lewa strona warunku $B$ wynosi dokładnie $2$ , a warunek żąda *mniej* niż $2$ , więc jest fałszywy. Gdyby stało tam $\leqslant$ , liczba $3$ spełniałaby $B$ i $C$ naraz i zadanie przestałoby mieć jedną odpowiedź. To jest miejsce, w którym trzeba czytać znak nierówności, a nie tylko liczby.

💡 Wskazówka: Przy pytaniu „wskaż nierówność, którą spełnia liczba…” podstawiaj, nie rozwiązuj. Cztery podstawienia to cztery rachunki na liczbach; cztery rozwiązania to cztery rozbicia na przypadki. I czytaj znak nierówności równie uważnie jak liczby — tutaj to on decyduje o losie odpowiedzi $B$ .

⚠ Najgroźniejsza jest odpowiedź $B$ przy niedokładnym rachunku. Kto przyjmie $\pi \approx 3$ , dostanie $|3 - 1| = 2$ — czyli dokładnie granicę — a warunek żąda *mniej* niż $2$ . Równość to nie jest „mniej”, więc $B$ jest fałszywe; ale zapisane jako „ $2 < 2$ ✓” wygląda niewinnie. Drugi błąd to mylenie kierunku przy przechodzeniu na odległość: $|x-a| \leqslant r$ znaczy „blisko $a$ ”, a $|x-a| \geqslant r$ — „daleko od $a$ ”. Zamiana tych dwóch prowadzi prosto do odpowiedzi $D$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. A	3. A	4. B	5. C	6. B
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest wartość bezwzględna?

To odległość liczby od zera na osi liczbowej, zapisywana dwiema pionowymi kreskami. $|5| = 5$ i $|-5| = 5$ , bo obie liczby leżą pięć jednostek od zera — tylko po przeciwnych stronach. Odległość nigdy nie jest ujemna, więc wartość bezwzględna też nie.

Ile wynosi

|3 - 7|

$4$ . Kreski działają jak nawias: najpierw liczymy $3 - 7 = -4$ , a dopiero potem bierzemy odległość od zera, czyli $4$ . To co innego niż $|3| - |7|$ , gdzie najpierw bierzemy obie odległości, a potem odejmujemy — tam wychodzi $-4$ .

Czy wartość bezwzględna może być ujemna?

Nie — $|a| \ge 0$ zawsze, bo odległość ujemna nie istnieje. Ujemne może być natomiast całe wyrażenie, jeśli minus stoi przed kreskami: $-|3 - 7| = -4$ . Reguła dotyczy tego, co w środku, nie tego, co na zewnątrz.

Jak rozwiązać równanie

|x| = 5

Ma dwa rozwiązania: $x = 5$ oraz $x = -5$ , bo obie liczby leżą pięć jednostek od zera. Zawsze, gdy po prawej stronie stoi liczba dodatnia, rozwiązania są dwa. Gdy stoi zero — jedno ( $x = 0$ ), a gdy liczba ujemna — nie ma żadnego.

Jak policzyć odległość między dwiema liczbami na osi?

Odejmij je od siebie i weź wartość bezwzględną: $|a - b|$ . Kolejność nie ma znaczenia, bo $|a - b| = |b - a|$ . Odległość między $-3$ a $5$ to $|-3 - 5| = 8$ .

Czy

|a + b|

to to samo co

|a| + |b|

Nie. Dla $a = 3$ i $b = -7$ pierwsze wyrażenie daje $4$ , a drugie $10$ . Sumy nie wolno rozdzielać. Za to iloczyn — owszem: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ , bo tam znaki i tak znikają po obu stronach.

Czytaj dalej

Liczby całkowiteHub działu: oś liczbowa, liczby przeciwne, działania Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnychSkąd biorą się liczby pod kreskami i jak je policzyć Mnożenie i dzielenie liczb ujemnychReguła znaków — potrzebna przy wyrażeniach w środku kresek Oś liczbowa na egzaminie ósmoklasistyZadania CKE o położeniu i odległości liczb na osi

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.