Strona główna › Podstawa programowa › Warunki i sposób realizacji — matematyka w liceum i technikum

Warunki i sposób realizacji — matematyka w liceum i technikum

Część, w której podstawa programowa przestaje wyliczać wymagania, a zaczyna tłumaczyć, jak je realizować. Jest tu m.in. jedyne w całym dokumencie wskazanie terminów (co ma być zrobione do końca klasy I) i lista pięciu równoważnych zapisów rozwiązania nierówności — przydatna każdemu, kto usłyszał, że jego poprawna odpowiedź jest „źle zapisana”.

Dział: Podstawa programowaPoziom: szkoła ponadpodstawowa

1Czym jest ta część

Po wymaganiach szczegółowych podstawa programowa dla szkoły ponadpodstawowej podaje piętnaście ponumerowanych wskazówek realizacyjnych, a na końcu — szesnastą, z imienną listą twierdzeń do udowodnienia. Nie są to wymagania wobec ucznia, tylko wobec sposobu prowadzenia zajęć, ale kilka z nich zmienia rozumienie samych wymagań.

Najbardziej praktyczny jest punkt 3 („Przedziały”): wylicza pięć równoważnych zapisów rozwiązania nierówności i stwierdza, że najważniejsza jest poprawność odpowiedzi, a nie jej forma. Najbardziej niedoceniany jest punkt 1 („Korelacja”) — jedyne miejsce, w którym dokument podaje terminy realizacji konkretnych treści.

Poniżej wszystkie piętnaście punktów w brzmieniu dokumentu. Szesnasty, wraz z listą dwudziestu jeden twierdzeń, opisujemy na osobnej stronie.

21. Korelacja

Jedyne miejsce w całym dokumencie, w którym podstawa mówi o kolejności i terminach — i to bardzo konkretnie: logarytmy oraz pojęcie funkcji i funkcje liniowe w pierwszym półroczu klasy I, funkcja kwadratowa i proporcjonalność odwrotna do końca klasy I. Powód jest zewnętrzny: tych treści potrzebuje fizyka, chemia, geografia i informatyka.

1. Korelacja.

Ze względu na użyteczność matematyki i jej zastosowania w szkolnym nauczaniu fizyki, informatyki, geografii i chemii zaleca się zrealizować treści nauczania określone w działach: I pkt 9 (logarytmy) i w miarę możliwości V pkt 14, V pkt 1 (pojęcie funkcji) i V pkt 5 (funkcje liniowe) w pierwszym półroczu klasy I, zaś treści nauczania określone w działach: V pkt 11 (funkcje kwadratowe) i V pkt 13 (proporcjonalność odwrotna) nie później niż do końca klasy I. Treści nauczania określone w dziale VI pkt 2 (obliczanie początkowych wyrazów ciągów określonych rekurencyjnie) można realizować w korelacji z analogicznym zagadnieniem podstawy programowej z informatyki.

32. Oznaczenia

2. Oznaczenia.

Uczniowie powinni używać powszechnie przyjętego oznaczenia zbiorów liczbowych, a w szczególności: dla liczb naturalnych symbolu 𝑁, dla liczb całkowitych symbolu Z, dla liczb wymiernych symbolu Q, dla liczb rzeczywistych symboli R.

43. Przedziały

Ten punkt istnieje po to, żeby nauczyciel nie odejmował punktów za formę poprawnej odpowiedzi. Dokument wylicza pięć równoważnych zapisów tego samego rozwiązania — od zdania po polsku po sumę przedziałów.

3. Przedziały.

Uczeń powinien wykorzystywać przedziały do opisu zbioru rozwiązań nierówności.

Najważniejsza w odpowiedzi jest jej poprawność. Na przykład rozwiązanie nierówności $x^2 - 9x + 20 > 0$ może być zapisane na każdy z poniższych sposobów:

1) rozwiązaniem nierówności może być każda liczba x, która jest mniejsza od 4 lub większa od 5;

2) rozwiązaniami są wszystkie liczby x, mniejsze od 4 i wszystkie liczby x większe od 5;

3) $x < 4$ lub $x > 5$;

4) 𝑥 ∈ (−∞ub) lub 𝑥 ∈ (5, ∞);

5) 𝑥 ∈ (−∞∞b) ∪ (5, ∞).

54. Zastosowania logarytmów

Dwa gotowe zadania (skala Richtera i eliminacja leku z organizmu) wstawione wprost do aktu prawnego jako wzorzec poziomu trudności.

4. Zastosowania logarytmów.

Przy nauczaniu logarytmów warto podkreślić ich zastosowania w wyjaśnianiu zjawisk przyrodniczych, których przebieg opisuje funkcja logarytmiczna. Procesy takie zachodzą, gdy w przedziale czasowym pewna wielkość zawsze rośnie (lub maleje) ze stałą krotnością.

Poniższe przykładowe zadania ilustrują zastosowania logarytmu.

Z1. Skala Richtera służy do określenia siły trzęsień ziemi. Siła ta jest opisana wzorem $R = \log \frac{A}{A_0}$, gdzie $A$ oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, $A_0 = 10^{-4}$ cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 25 kwietnia 2015 r. w Nepalu miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 7,8 w skali Richtera. Oblicz amplitudę tego trzęsienia ziemi.

Z2. Chory przyjął dawkę 100 mg leku. Masę tego leku pozostałą w organizmie po czasie $t$ określa zależność $M(t) = a \cdot b^t$. Po pięciu godzinach organizm usuwa 30 % leku. Oblicz, ile leku pozostanie w organizmie chorego po upływie doby.

65. Zastosowanie algebry

5. Zastosowanie algebry.

Warunkiem powodzenia procesu nauczania matematyki jest sprawne posługiwanie się wyrażeniami algebraicznymi. Metody algebraiczne często dają się stosować w sytuacjach geometrycznych i na odwrót ilustracja geometryczna pozwala lepiej zrozumieć zagadnienia algebraiczne.

76. Przekształcenia równoważne

Punkt, który legalizuje metodę „analizy starożytnych”: wolno wyznaczyć zbiór kandydatów, a potem sprawdzić, które z nich faktycznie są rozwiązaniami. Dokument dodaje wprost, że nie zawsze warto domagać się przekształceń równoważnych.

6. Przekształcenia równoważne.

W trakcie rozwiązywania równań i nierówności należy zwracać uwagę, że obok metody przekształceń równoważnych można stosować metodę wnioskowania (metoda analizy starożytnych). Po wyznaczeniu potencjalnego zbioru rozwiązań następuje sprawdzenie, które z wyznaczonych wartości istotnie są rozwiązaniami. W wielu sytuacjach nie warto domagać się przekształceń równoważnych, gdy metoda wnioskowania prowadzi do szybkich rezultatów.

Ponadto uczniowie powinni wiedzieć, że uprawnioną metodą dowodzenia jest równoważne przekształcanie tezy.

87. Postać kanoniczna

Mocne zdanie o funkcji kwadratowej: wzory na pierwiastki, współrzędne wierzchołka i wyróżnik są tu nazwane wnioskami z postaci kanonicznej, a nie osobnymi faktami do zapamiętania.

7. Postać kanoniczna.

Przy omawianiu funkcji kwadratowej należy podkreślać znaczenie postaci kanonicznej i wynikających z tej postaci własności. Warto zwrócić uwagę, że wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego oraz na współrzędne wierzchołka paraboli, a także pojęcie i własności wyróżnika są jedynie wnioskami z postaci kanonicznej. Wiele zagadnień związanych z funkcją kwadratową daje się rozwiązać bezpośrednio z tej postaci, bez mechanicznego stosowania wzorów. W szczególności postać kanoniczna pozwala znajdować najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej, a także oś symetrii jej wykresu.

98. Złożenia funkcji i funkcje odwrotne

8. Złożenia funkcji i funkcje odwrotne.

Definicja funkcji złożonej pojawia się dopiero w zakresie rozszerzonym, ale już w zakresie podstawowym oczekuje się od ucznia umiejętności operowania równocześnie danymi zaczerpniętymi z kilku źródeł. Nie wymaga to jednak formalnego wprowadzenia operacji złożenia czy odwracania funkcji.

109. Ciągi

9. Ciągi.

Zagadnienie to należy omawiać tak, aby uczniowie zdali sobie sprawę, że poza ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi istnieją też inne. Podobnie należy podkreślić, że poza ciągami niemalejącymi, rosnącymi, nierosnącymi, malejącymi i stałymi istnieją też takie, które nie są monotoniczne. Warto zwrócić uwagę uczniów, że niektóre ciągi opisują dynamikę procesów występujących w przyrodzie bądź społeczeństwie, np. szybkość rozprzestrzeniania się plotki (liczba an podaje, ile osób o plotce słyszało).

1110. Granica ciągu

10. Granica ciągu.

Przed sformułowaniem definicji granicy ciągu warto zadawać uczniom pytania w rodzaju: czy istnieje taka liczba naturalna $k$, że dla każdej liczby naturalnej $n$ większej od $k$ zachodzi nierówność $\frac{1}{3} < \frac{n}{2n+1} < \frac{2}{3}$? Twierdzenie o trzech ciągach wspiera także budowanie intuicji granicy ciągu. Obliczanie granic ciągów warto poprzedzić wykorzystaniem programów komputerowych do rysowania wykresów ciągów. Dokładniejsze obliczenia ułatwią w odpowiednio dobranych przykładach formułowanie hipotez na temat istnienia wartości granicy ciągu.

1211. Funkcje trygonometryczne

11. Funkcje trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne, oprócz szerokich zastosowań w fizyce, służą do opisu związków miarowych w figurach płaskich oraz bryłach (np. twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów). W wielu sytuacjach dla danego argumentu nie są potrzebne dokładne wartości tych funkcji, tylko ich przybliżenia. Uczniowie powinni umieć korzystać z tablic matematycznych jak i kalkulatora w dwóch celach: wyznaczania przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta oraz określenia kąta, dla którego funkcja trygonometryczna osiąga określoną wartość.

1312. Planimetria

12. Planimetria.

Rozwiązywanie klasycznych problemów geometrycznych jest skutecznym sposobem kształtowania świadomości matematycznej. Uczniowie, którzy rozwiązują zadania konstrukcyjne, nabywają przez to wprawy w rozwiązywaniu zadań geometrycznych różnego typu, np. uczeń z łatwością przyswoi własności okręgów wpisanych w trójkąt czy czworokąt, jeśli potrafi skonstruować te figury. Nauczanie konstrukcji geometrycznych można przeprowadzać w sposób klasyczny, za pomocą linijki i cyrkla, można też używać specjalistycznych programów komputerowych, takich jak np. GeoGebra.

1413. Dwumian Newtona

Podaje drugi zapis symbolu Newtona — ten, w którym widać interpretację i który łatwiej policzyć dla małych $k$.

13. Dwumian Newtona.

Ważne jest, żeby przy okazji nauczania wzoru na $(a + b)^n$ podkreślić znaczenie współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) $\binom{n}{k}$ w kombinatoryce. Warto go również zapisywać w postaci $\binom{n}{k} = \frac{n(n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+2)(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}$, gdyż w tej formie jest bardziej widoczna jego interpretacja i łatwiej obliczyć jego wartość dla małych $k$.

1514. Rachunek prawdopodobieństwa

14. Rachunek prawdopodobieństwa.

Uczniowie w przyszłości będą mieli do czynienia z zagadnieniami powiązanymi z losowością, które występują w różnych dziedzinach życia i nauki, np. przy analizie sondaży, zagadnień z zakresu ekonomii i badaniach rynków finansowych lub w naukach przyrodniczych i społecznych. Warto wspomnieć o paradoksach rachunku prawdopodobieństwa, które pokazują typowe błędy w rozumowaniu, i omówić niektóre z nich. Warto też przeprowadzać z uczniami eksperymenty, np. eksperyment, w którym uczniowie zapisują długi ciąg orłów i reszek bez losowania, a następnie zapisują ciąg orłów i reszek powstały w wyniku losowych rzutów monetą. Błędne intuicje na temat losowości podpowiadają zwykle, że nie powinny pojawiać się długie sekwencje orłów (albo reszek), podczas gdy w rzeczywistości takie długie sekwencje orłów (lub reszek) występują.

W zakresie rozszerzonym jest ważne uświadomienie uczniom, że rachunek prawdopodobieństwa nie ogranicza się jedynie do schematu klasycznego i używanej tam kombinatoryki. Dobrą ilustracją są przykłady zastosowania schematu Bernoullego dla dużej liczby prób.

1615. Pochodne

15. Pochodne.

Posługiwanie się pojęciem granicy ilorazu różnicowego konieczne do zrozumienia pojęcia pochodnej wymaga dużych możliwości poznawczych. Dlatego też pochodne należy wprowadzać w pierwszej kolejności intuicyjnie, posługując się interpretacją fizyczną (prędkość chwilowa, natężenie prądu) oraz geometryczną (styczna, nachylenie wykresu). Podstawowym zastosowaniem definicji pochodnej może być wyprowadzenie wzoru na pochodną jednomianu i pochodną sumy, iloczynu i złożenia funkcji (gdy funkcja wewnętrzna jest różnowartościowa).

Uczniowie powinni też poznać twierdzenie mówiące, że funkcja ciągła na przedziale i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału jest niemalejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest nieujemna.

17Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-04. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.