Równania wymierne

Odpowiedź: C

1. Dziedzina najpierw. Mianownik $3(x+2)$ nie może być zerem, więc $x \neq \textcolor{#16A06A}{-2}$. Zapamiętuję to — na końcu sprawdzę wynik.
2. Mnożę na krzyż. Kierunek jest jeden: licznik lewej razy mianownik prawej równa się licznikowi prawej razy mianownik lewej.
3. $9 \cdot (x - 2) = 1 \cdot 3(x + 2)$.
4. Rozwijam obie strony: $\;9x - 18 = 3x + 6$.
5. Przenoszę $x$-y na lewo, liczby na prawo: $\;9x - 3x = 6 + 18$, czyli $\textcolor{#E0453A}{6x} = \textcolor{#E0453A}{24}$.
6. Stąd $x = 4$.
7. Sprawdzenie dziedziny. $4 \neq \textcolor{#16A06A}{-2}$, więc liczba przechodzi ✓
8. Sprawdzenie w równaniu. $\dfrac{4-2}{3(4+2)} = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$ ✓ — zgadza się z prawą stroną.
9. Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz liczyć, wypisz zastrzeżenie dziedziny. Kosztuje jedną linijkę, a chroni przed przyjęciem liczby, która zeruje mianownik.

⚠ Pomnożenie na krzyż w odwrotną stronę: $3(x-2) = 9(x+2)$. Wychodzi wtedy $3x - 6 = 9x + 18$, czyli $x = \textcolor{#9b1c14}{-4}$ — dokładnie wariant D. Mnoży się licznik jednego ułamka przez mianownik drugiego, nie przez własny.

Odpowiedź: C

1. Dziedzina. $2a + 1 \neq 0$, czyli $a \neq \textcolor{#16A06A}{-\tfrac12}$. Żaden z czterech wariantów nie jest tą liczbą, więc dziedzina nikogo tu nie odrzuci.
2. Mnożę obie strony przez $2a+1$ — i pamiętam, że mnożę całą lewą stronę, razem z dwójką.
3. $(2 + a)(2a + 1) = 9a$.
4. Rozwijam lewą stronę: $\;4a + 2 + 2a^2 + a = 2a^2 + 5a + 2$.
5. Równanie przyjmuje postać $2a^2 + 5a + 2 = 9a$, czyli po przeniesieniu $\textcolor{#E0453A}{2a^2 - 4a + 2} = 0$.
6. Dzielę przez $2$: $\;a^2 - 2a + 1 = 0$. To wzór skróconego mnożenia — lewa strona to $(a-1)^2$.
7. Wyróżnik wynosi $\textcolor{#2F80D8}{\Delta = 4 - 4 = 0}$, więc pierwiastek jest tylko jeden: $a = 1$.
8. Sprawdzenie. Lewa strona: $2 + 1 = 3$. Prawa: $\dfrac{9 \cdot 1}{2 + 1} = \dfrac{9}{3} = 3$ ✓
9. Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Równanie wymierne po pomnożeniu przez mianownik często staje się kwadratowe. Jeśli wyróżnik wyjdzie zerowy, rozwiązanie jest jedno — nie szukaj drugiego na siłę.

⚠ Pomnożenie przez mianownik tylko wyrazu $a$, z pominięciem dwójki: $2 + a(2a+1) = 9a$. Powstaje $2a^2 - 8a + 2 = 0$, a jego pierwiastki $2 \pm \sqrt3$ nie występują wśród wariantów — to sygnał, że gdzieś zginął składnik.

Odpowiedź: B

1. Uwaga na sformułowanie — pytanie dotyczy rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych. To zmienia odpowiedź, choć nie zmienia rachunku.
2. Dziedzina. $x \neq \textcolor{#16A06A}{0}$.
3. Mnożę obie strony przez $x$: $\;1 - x = 2x^2$.
4. Porządkuję: $\;\textcolor{#E0453A}{2x^2 + x - 1} = 0$.
5. Wyróżnik: $\;\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = \textcolor{#2F80D8}{9}$, więc $\sqrt{\Delta} = \textcolor{#2F80D8}{3}$.
6. Pierwiastki: $\;x = \dfrac{-1 - 3}{4} = \textcolor{#E0453A}{-1}$ oraz $\;x = \dfrac{-1 + 3}{4} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$.
7. Oba różne od $\textcolor{#16A06A}{0}$, więc oba są rozwiązaniami w liczbach rzeczywistych — ale pytanie brzmiało inaczej.
8. Spośród nich całkowita jest tylko liczba $\textcolor{#E0453A}{-1}$, bo $\textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$ całkowita nie jest.
9. Sprawdzenie. Dla $x=-1$: $\dfrac{1-(-1)}{-1} = \dfrac{2}{-1} = -2$, a prawa strona $2 \cdot (-1) = -2$ ✓
10. Odpowiedź: B — dokładnie jedno rozwiązanie.

💡 Wskazówka: Gdy w treści pojawia się „w zbiorze liczb całkowitych” albo „naturalnych”, policz najpierw wszystkie pierwiastki rzeczywiste, a dopiero potem odsiej te spoza wskazanego zbioru.

⚠ Zignorowanie zwrotu „w zbiorze liczb całkowitych” i policzenie obu pierwiastków. Odpowiedź brzmi wtedy „dwa rozwiązania”, czyli wariant C — rachunkowo poprawny, ale odpowiadający na inne pytanie niż zadane.

Odpowiedź: D

1. Dziedzina. $x + 1 \neq 0$, czyli $x \neq \textcolor{#16A06A}{-1}$. To od razu wyklucza wariant C.
2. Nie skracam przez $(x-1)$ — po obu stronach stoi ten sam czynnik i skrócenie zgubiłoby rozwiązanie. Zamiast tego przenoszę wszystko na jedną stronę.
3. Mnożę przez $x+1$: $\;x - 1 = (x-1)(x+1)$.
4. Przenoszę: $\;(x-1) - (x-1)(x+1) = 0$.
5. Wyłączam wspólny czynnik $(x-1)$: $\;(x-1)\bigl[1 - (x+1)\bigr] = 0$.
6. Nawias upraszcza się do $1 - x - 1 = \textcolor{#E0453A}{-x}$, więc równanie ma postać $\textcolor{#E0453A}{(x-1) \cdot (-x)} = 0$.
7. Iloczyn zeruje się, gdy $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ albo $x = \textcolor{#E0453A}{0}$. Obie liczby są różne od $\textcolor{#16A06A}{-1}$, więc obie zostają.
8. Sprawdzenie $x=1$: lewa $\dfrac{0}{2} = 0$, prawa $0$ ✓    Sprawdzenie $x=0$: lewa $\dfrac{-1}{1} = -1$, prawa $-1$ ✓
9. Odpowiedź: D — dwa rozwiązania.

💡 Wskazówka: Gdy ten sam nawias stoi po obu stronach równania, przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz go przed nawias. Skracanie przez wyrażenie z niewiadomą jest dzieleniem przez coś, co może być zerem.

⚠ Skrócenie obu stron przez $(x-1)$. Zostaje $\dfrac{1}{x+1} = 1$, stąd $x = \textcolor{#9b1c14}{0}$ jako jedyne rozwiązanie — czyli wariant B. Zgubione zostało $x=1$, bo właśnie dla niego dzielono przez zero.

Odpowiedź: A

1. Ułamek równa się zeru tylko wtedy, gdy zeruje się jego licznik — mianownik nie ma tu nic do rzeczy poza tym, że musi być różny od zera.
2. Dziedzina. $x - 6 \neq 0$, czyli $x \neq \textcolor{#16A06A}{6}$.
3. Warunek na licznik: $\;x^2 + 36 = 0$, czyli $x^2 = \textcolor{#E0453A}{-36}$.
4. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny — najmniejsza możliwa wartość $x^2$ to zero.
5. Zatem $x^2 + 36 \geqslant \textcolor{#2F80D8}{36} > 0$ dla każdego $x$: licznik nigdy się nie zeruje.
6. Skoro licznik nie ma miejsc zerowych, cały ułamek też ich nie ma.
7. Kontrola. Podstawienie największego kandydata z sąsiedztwa, $x = 0$, daje $\dfrac{36}{-6} = -6 \neq 0$ — a to i tak wartość najbliższa zeru, jaką licznik może przyjąć.
8. Odpowiedź: A — brak rozwiązań.

💡 Wskazówka: Suma kwadratu i liczby dodatniej jest zawsze dodatnia. Warto rozpoznawać takie wyrażenia od razu — oszczędzają całą deltę.

⚠ Potraktowanie $x^2 = -36$ tak, jakby dawało $x = \textcolor{#9b1c14}{\pm 6}$, i wskazanie dwóch rozwiązań, czyli wariantu C. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych — a $6$ i tak jest wyłączone z dziedziny.

Odpowiedź: A

1. Dziedzina. $x \neq \textcolor{#16A06A}{0}$.
2. Mnożę obie strony przez $x$: $\;2x + 1 = 3x^2$.
3. Porządkuję, zostawiając dodatni współczynnik przy $x^2$: $\;\textcolor{#E0453A}{3x^2 - 2x - 1} = 0$.
4. Wyróżnik: $\;\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = \textcolor{#2F80D8}{16}$, więc $\sqrt{\Delta} = \textcolor{#2F80D8}{4}$.
5. Pierwiastki: $\;x_1 = \dfrac{2 - 4}{6} = \dfrac{-2}{6} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac13}$ oraz $\;x_2 = \dfrac{2 + 4}{6} = \textcolor{#E0453A}{1}$.
6. Obie liczby są różne od $\textcolor{#16A06A}{0}$, więc obie należą do dziedziny.
7. Sprawdzenie $x=1$: lewa $\dfrac{3}{1} = 3$, prawa $3 \cdot 1 = 3$ ✓
8. Sprawdzenie $x=-\tfrac13$: lewa $\dfrac{-\tfrac23 + 1}{-\tfrac13} = \dfrac{\tfrac13}{-\tfrac13} = -1$, prawa $3 \cdot \left(-\tfrac13\right) = -1$ ✓
9. Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Warianty B i A różnią się wyłącznie znakiem jednego pierwiastka. W takich zadaniach szybsze od ponownego liczenia delty jest podstawienie spornej liczby do równania.

⚠ Zgubienie minusa we wzorze na pierwiastek i zapisanie $\dfrac{-2}{6}$ jako $\textcolor{#9b1c14}{\tfrac13}$ — prowadzi to wprost do wariantu B. Podstawienie $x=\tfrac13$ daje lewą stronę $5$ przy prawej równej $1$, więc pomyłkę widać od razu.

Odpowiedź: B

1. Dziedzina. $x^2 - 11 \neq 0$, czyli $x \neq \textcolor{#16A06A}{\sqrt{11}}$ i $x \neq \textcolor{#16A06A}{-\sqrt{11}}$. Zostawiam te liczby w postaci dokładnej — zaokrąglenie tylko utrudniłoby porównanie.
2. Warunek na licznik: $\;11 - x = 0$, czyli $x = \textcolor{#E0453A}{11}$.
3. Teraz najważniejszy krok: sprawdzam, czy znaleziona liczba nie zeruje przypadkiem mianownika.
4. $\;11^2 - 11 = 121 - 11 = \textcolor{#2F80D8}{110}$, a $\textcolor{#2F80D8}{110} \neq 0$ — mianownik jest w porządku.
5. Dlaczego to nie jest oczywiste: w mianowniku stoi ta sama liczba $11$, ale pod kwadratem zmiennej, a nie w tej samej roli. To $\textcolor{#16A06A}{\pm\sqrt{11}}$ są wykluczone, nie $\textcolor{#E0453A}{11}$.
6. Dla porządku: $\sqrt{11}$ leży między $3$ a $4$, więc na pewno nie jest jedenastką.
7. Sprawdzenie. $\dfrac{11 - 11}{110} = \dfrac{0}{110} = 0$ ✓
8. Licznik jest wielomianem stopnia pierwszego, więc innych miejsc zerowych mieć nie może.
9. Odpowiedź: B — dokładnie jedno rozwiązanie.

💡 Wskazówka: Schemat jest stały: licznik równy zeru daje kandydatów, mianownik różny od zera ich zatwierdza albo odrzuca. Pominięcie drugiego kroku to najczęstsza przyczyna błędu w tym dziale.

⚠ Uznanie, że skoro liczba $11$ występuje i w liczniku, i w mianowniku, to musi być wyłączona z dziedziny — i wskazanie wariantu A. Z mianownika wypadają $\pm\sqrt{11}$, a nie $11$; wystarczy podstawić, żeby to rozstrzygnąć.