Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia

Q: Jakie są wzory skróconego mnożenia?

W zakresie podstawowym trzy: kwadrat sumy (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2, kwadrat różnicy (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 oraz różnica kwadratów a^2-b^2 = (a-b)(a+b). Wzory na sześciany należą już do zakresu rozszerzonego.

Q: Dlaczego (a+b)^2 nie równa się a^2+b^2?

Bo przy mnożeniu (a+b)(a+b) powstają cztery składniki, a nie dwa — oprócz a^2 i b^2 pojawiają się jeszcze ab i ba, które dają razem 2ab. Dla a=3 i b=4 różnica wynosi 24: poprawnie 49, błędnie 25.

Q: Jak policzyć 103 · 97 w pamięci?

Zauważyć, że obie liczby leżą o 3 od setki, i użyć różnicy kwadratów: (100+3)(100-3) = 100^2-3^2 = 10 000-9 = 9991. Metoda działa tylko wtedy, gdy obie liczby są jednakowo oddalone od tej samej okrągłej liczby.

Q: Czy wzory na sześciany są na maturze podstawowej?

Nie. Podstawa programowa wymienia a^3+b^3 oraz (a b)^n w zakresie rozszerzonym, w punkcie 5 działu o wyrażeniach algebraicznych. Do matury podstawowej wystarczą trzy wzory z kwadratami.

Trzy wzory, które w liceum wracają wszędzie: przy równaniach, dowodach, pochodnych i rachunku w pamięci. Nie trzeba ich kuć — wszystkie trzy wychodzą ze zwykłego mnożenia nawiasów w dwie linijki. Warto je jednak umieć rozpoznać w locie, bo najwięcej punktów traci się nie na ich zapomnieniu, tylko na wzorze wymyślonym: $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ . To zdanie jest fałszywe i za chwilę zobaczysz, o ile.

Dział: Wyrażenia algebraicznePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 10

Przejdź od razu do zadań (10) ↓

1Trzy wzory zakresu podstawowego

Co dokładnie jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział II. Wyrażenia algebraiczne, zakres podstawowy, punkt 1 wymienia dokładnie trzy wzory: $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ i $a^2-b^2$ .

Wzory na sześciany — $a^3+b^3$ oraz $(a\pm b)^n$ — są dopiero w zakresie rozszerzonym (punkt 5). Piszę o nich na końcu strony, oddzielnie i wyraźnie oznaczone.

nazwa	wzór
kwadrat sumy	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
kwadrat różnicy	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
różnica kwadratów	$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Zwróć uwagę na dwie rzeczy, które łatwo przeoczyć przy przepisywaniu.

W kwadracie różnicy ostatni wyraz jest dodatni. Minus stoi tylko przy środkowym składniku — bo $b^2$ powstaje z pomnożenia $(-b) \cdot (-b)$ , a dwa minusy dają plus.

Nie istnieje wzór na sumę kwadratów. Wyrażenia $a^2 + b^2$ nie da się rozłożyć na czynniki w liczbach rzeczywistych. Rozkłada się tylko różnicę, i to jest cała asymetria trzeciego wzoru.

Warto też od razu zobaczyć, że trzeci wzór to nie to samo co dwa pierwsze. Pierwsze dwa zamieniają nawias na sumę, a trzeci działa najczęściej w drugą stronę — zamienia sumę na iloczyn.

2Skąd się biorą — dwa wyprowadzenia

Żaden z tych wzorów nie jest regułą do zapamiętania. Każdy wychodzi z mnożenia nawiasów, które już znasz.

Kwadrat sumy. Zapisujemy potęgę jako iloczyn i mnożymy każdy składnik przez każdy:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = \textcolor{#16A06A}{a^2} + \textcolor{#E0453A}{ab} + \textcolor{#E0453A}{ba} + \textcolor{#2F80D8}{b^2}

Dwa środkowe składniki są identyczne, bo $ab = ba$ . Po ich połączeniu zostaje:

(a+b)^2 = \textcolor{#16A06A}{a^2} + \textcolor{#E0453A}{2ab} + \textcolor{#2F80D8}{b^2}

Kwadrat różnicy liczy się tak samo, tylko z minusem przy $b$ :

(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = \textcolor{#16A06A}{a^2} - \textcolor{#E0453A}{ab} - \textcolor{#E0453A}{ba} + \textcolor{#2F80D8}{b^2} = \textcolor{#16A06A}{a^2} - \textcolor{#E0453A}{2ab} + \textcolor{#2F80D8}{b^2}

Ostatni składnik to $(-b)\cdot(-b) = +b^2$ — stąd plus, o którym była mowa wyżej.

Różnica kwadratów wychodzi najładniej, bo tu środkowe wyrazy się znoszą:

(a-b)(a+b) = \textcolor{#16A06A}{a^2} + \textcolor{#E0453A}{ab} - \textcolor{#E0453A}{ab} - \textcolor{#2F80D8}{b^2} = \textcolor{#16A06A}{a^2} - \textcolor{#2F80D8}{b^2}

I to jest cały mechanizm: $+ab$ i $-ab$ to liczby przeciwne, więc dają zero.

Drugie wyprowadzenie — bez litery, samym rysunkiem

Weź kwadrat o boku $a+b$ . Jego pole to $(a+b)^2$ .

Podziel go dwiema prostymi na cztery części: kwadrat $a \times a$ , kwadrat $b \times b$ i dwa jednakowe prostokąty $a \times b$ .

Pola muszą się zgadzać: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ . Ten sam wzór, tylko widziany jako pole kwadratu.

Ten obraz tłumaczy też, czego brakuje w błędnej wersji: zapominając o $2ab$ , pomija się dwa prostokąty, które fizycznie leżą na rysunku.

3Pułapka: (a+b)² to nie a² + b²

To najczęstszy błąd całego działu, a przy tym najłatwiejszy do sprawdzenia — wystarczy podstawić liczby.

Weźmy $a = \textcolor{#16A06A}{3}$ i $b = \textcolor{#16A06A}{4}$ :

zapis	obliczenie	wynik
poprawnie $(a+b)^2$	$(\textcolor{#16A06A}{3}+\textcolor{#16A06A}{4})^2 = 7^2$	$\textcolor{#E0453A}{49}$
błędnie $a^2+b^2$	$\textcolor{#16A06A}{3}^2 + \textcolor{#16A06A}{4}^2 = 9 + 16$	$\textcolor{#9b1c14}{25}$
czego brakuje	$2ab = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4}$	$\textcolor{#2F80D8}{24}$

\textcolor{#9b1c14}{25} + \textcolor{#2F80D8}{24} = \textcolor{#E0453A}{49}

Różnica wynosi $24$ — czyli prawie tyle, ile cały błędny wynik. To nie jest drobna nieścisłość, tylko połowa odpowiedzi.

Pułapka ma szerszy zasięg, niż się wydaje. Potęgowanie nie „rozdziela się” na dodawanie — i to samo dotyczy pierwiastków:

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ ,
$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — dla $9$ i $16$ mamy $\sqrt{25} = 5$ , a nie $3+4=7$ ,
ale $(ab)^2 = a^2b^2$ jest prawdą — bo mnożenie zachowuje się inaczej niż dodawanie.

Ostatni wiersz jest kluczowy dla zrozumienia, gdzie leży granica: wzory na potęgi rozdzielają się względem mnożenia, nigdy względem dodawania. Piszę o tym szerzej przy potęgach.

Kontrola, która zajmuje pięć sekund

Nie jesteś pewien przekształcenia? Podstaw dwie małe liczby, na przykład $a=2$ , $b=3$ , i policz obie strony osobno.

Jeśli wyjdą różne wyniki, wzór jest zły — i to jest dowód, nie przypuszczenie. Jeden kontrprzykład wystarczy, żeby obalić równość.

4Różnica kwadratów w obie strony

Trzeci wzór jest w praktyce najbardziej użyteczny, bo czyta się go od prawej do lewej — czyli służy do rozkładu na czynniki.

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Żeby go zastosować, trzeba zobaczyć w wyrażeniu dwa kwadraty odjęte od siebie:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = \textcolor{#E0453A}{(x-4)(x+4)}$ ,
$49 - x^2 = 7^2 - x^2 = \textcolor{#E0453A}{(7-x)(7+x)}$ ,
$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = \textcolor{#E0453A}{(2x-3)(2x+3)}$ — tu kwadratem jest cały $2x$ .

Ostatni przykład bywa przeoczony, bo $4x^2$ nie wygląda na kwadrat, dopóki nie zauważy się, że $4 = 2^2$ .

Druga zastosowanie to rachunek w pamięci. Iloczyn dwóch liczb jednakowo oddalonych od okrągłej setki liczy się natychmiast:

\textcolor{#16A06A}{103} \cdot \textcolor{#16A06A}{97} = (100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 = 10\,000 - 9 = \textcolor{#E0453A}{9\,991}

Tak samo działają kwadraty liczb bliskich okrągłym, tylko z pierwszym wzorem:

$51^2 = (50+1)^2 = 2500 + 100 + 1 = \textcolor{#E0453A}{2601}$ ,
$98^2 = (100-2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = \textcolor{#E0453A}{9604}$ .

To nie jest sztuczka na pokaz — na maturze bez kalkulatora taki rachunek bywa szybszy i pewniejszy od mnożenia pisemnego.

5Zakres rozszerzony: sześciany

Materiał rozszerzony

Ta sekcja wykracza poza zakres podstawowy. Podstawa wymienia wzory na $a^3+b^3$ oraz $(a\pm b)^n$ dopiero w zakresie rozszerzonym (dz. II, pkt 5).

Do matury podstawowej nie są potrzebne. Warto je jednak znać, jeśli piszesz rozszerzenie albo trafisz na nie w zadaniu dodatkowym.

nazwa	wzór
sześcian sumy	$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
sześcian różnicy	$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
suma sześcianów	$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
różnica sześcianów	$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Dwa ostatnie wzory warto zestawić z różnicą kwadratów, bo różnica jest znacząca: sumy kwadratów rozłożyć się nie da, ale sumę sześcianów już tak.

Kontrola liczbowa dla $a=\textcolor{#16A06A}{2}$ , $b=\textcolor{#16A06A}{1}$ : $a^3+b^3 = 8+1 = \textcolor{#E0453A}{9}$ , a z prawej strony $(2+1)(4-2+1) = 3 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{9}$ ✓

Kontrola sześcianu sumy dla tych samych liczb: $(2+1)^3 = \textcolor{#E0453A}{27}$ , a rozwinięcie daje $8 + 12 + 6 + 1 = \textcolor{#E0453A}{27}$ ✓

W nawiasie przy sumie sześcianów stoi minus przy $ab$ , a przy różnicy plus — odwrotnie, niż podpowiada intuicja. To najczęstsza pomyłka w tej parze i warto ją sprawdzać podstawieniem.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozwinięcie nawiasu, rozkład na czynniki i rachunek w pamięci.

Przykład 1 Rozwinięcie kwadratu z liczbą przy zmiennej

Rozwiń wyrażenia $(2x+3)^2$ oraz $(x-5)^2$ .

Korzystam ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{2x}$ , a $b = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Pierwszy składnik: $a^2 = (\textcolor{#16A06A}{2x})^2 = \textcolor{#E0453A}{4x^2}$ — do kwadratu podnosi się całe $2x$ , razem z dwójką.
Środkowy: $2ab = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2x} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#2F80D8}{12x}$ .
Ostatni: $b^2 = \textcolor{#16A06A}{3}^2 = \textcolor{#8B5CF6}{9}$ .
Zatem $(2x+3)^2 = \textcolor{#E0453A}{4x^2} + \textcolor{#2F80D8}{12x} + \textcolor{#8B5CF6}{9}$ .
Drugie wyrażenie — wzór z minusem, $a = \textcolor{#16A06A}{x}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{5}$ : $(x-5)^2 = x^2 - \textcolor{#2F80D8}{10x} + \textcolor{#8B5CF6}{25}$ .
Kontrola podstawieniem $x = 1$ : lewa strona $(2+3)^2 = 25$ , prawa $4 + 12 + 9 = 25$ ✓
Kontrola drugiego dla $x = 1$ : lewa $(1-5)^2 = 16$ , prawa $1 - 10 + 25 = 16$ ✓

Odpowiedź: $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$ oraz $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$ .

Najczęstszy błąd to napisanie $2x^2$ zamiast $4x^2$ — czyli podniesienie do kwadratu samego $x$ , z pominięciem współczynnika. Pomaga zapisanie $a = 2x$ jawnie, w nawiasie.

Przykład 2 Rozkład na czynniki

Rozłóż na czynniki wyrażenia $x^2 - 36$ oraz $9x^2 - 25$ .

Sprawdzam, czy to różnica dwóch kwadratów — bo tylko wtedy wzór zadziała.
$\textcolor{#16A06A}{36} = 6^2$ , więc $x^2 - \textcolor{#16A06A}{36} = x^2 - 6^2$ .
Stosuję $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ dla $a = x$ , $b = 6$ : otrzymuję $\textcolor{#E0453A}{(x-6)(x+6)}$ .
Drugie wyrażenie: $\textcolor{#16A06A}{9}x^2 = (3x)^2$ oraz $\textcolor{#16A06A}{25} = 5^2$ .
Zatem $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = \textcolor{#2F80D8}{(3x-5)(3x+5)}$ .
Kontrola przez wymnożenie: $(x-6)(x+6) = x^2 + 6x - 6x - 36 = x^2 - 36$ ✓
Kontrola podstawieniem $x = 2$ w drugim: lewa $36 - 25 = 11$ , prawa $(6-5)(6+5) = 1 \cdot 11 = 11$ ✓

Odpowiedź: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$ oraz $9x^2 - 25 = (3x-5)(3x+5)$ .

Rozkład na czynniki to najczęstsze zastosowanie tego wzoru — wraca przy skracaniu wyrażeń wymiernych i przy rozwiązywaniu równań, gdzie iloczyn równy zeru rozbija zadanie na dwa proste przypadki.

Przykład 3 Rachunek w pamięci

Oblicz w pamięci $\textcolor{#16A06A}{102} \cdot \textcolor{#16A06A}{98}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{99}^2$ .

Zauważam, że $\textcolor{#16A06A}{102}$ i $\textcolor{#16A06A}{98}$ leżą jednakowo daleko od setki — po $2$ w każdą stronę.
To znaczy, że mogę zapisać iloczyn jako $(100+2)(100-2)$ , czyli różnicę kwadratów.
$100^2 - 2^2 = 10\,000 - 4 = \textcolor{#E0453A}{9996}$
Drugie działanie: $\textcolor{#16A06A}{99}^2 = (100-1)^2$ , czyli kwadrat różnicy.
$100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10\,000 - 200 + 1 = \textcolor{#2F80D8}{9801}$
Kontrola rzędu wielkości: $102 \cdot 98$ musi być trochę mniej niż $100^2 = 10\,000$ ✓
Kontrola drugiego: $99^2$ też jest tuż poniżej $10\,000$ , i to bardziej — bo $99$ jest dalej od setki niż średnia z $102$ i $98$ ✓

Odpowiedź: $102 \cdot 98 = 9996$ oraz $99^2 = 9801$ .

Warunek dla pierwszej metody jest jeden: obie liczby muszą być jednakowo oddalone od tej samej okrągłej liczby. Dla $102 \cdot 97$ wzór nie zadziała, bo odległości są różne.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów w tym dziale.

Pisanie $(a+b)^2 = a^2 + b^2$

Skąd się bierze: Wykładnik wygląda, jakby „rozdzielał się” na oba składniki, tak jak przy mnożeniu. Dla $a=3$ , $b=4$ daje to $25$ zamiast $49$ — błąd o $2ab = 24$ , czyli o niemal cały wynik.

Jak zrobić dobrze: Zawsze dopisuj środkowy składnik $2ab$ . Gdy nie masz pewności, podstaw dwie małe liczby i porównaj obie strony — jeden kontrprzykład rozstrzyga sprawę w pięć sekund.

Ujemny ostatni wyraz w kwadracie różnicy

Skąd się bierze: Skoro we wzorze jest minus, uczeń zapisuje $(a-b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$ . Tymczasem ostatni składnik powstaje z $(-b) \cdot (-b)$ , czyli jest dodatni.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że minus występuje tylko raz, przy środkowym wyrazie. Kontrola: $(5-3)^2 = 4$ , a $25 - 30 - 9$ dałoby $-14$ — kwadrat nie może być ujemny.

Próba rozkładu sumy kwadratów

Skąd się bierze: Przez analogię do $a^2-b^2$ uczeń pisze $a^2+b^2 = (a+b)(a+b)$ albo $(a+b)(a-b)$ . Żadne z tych nie jest prawdą: pierwsze daje $(a+b)^2$ , drugie różnicę kwadratów.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj asymetrię: rozkłada się tylko różnica kwadratów. Suma kwadratów nie ma rozkładu w liczbach rzeczywistych i w zadaniu jest zwykle sygnałem, że trzeba iść inną drogą.

Pomijanie współczynnika przy podnoszeniu do kwadratu

Skąd się bierze: Przy $(2x+3)^2$ uczeń traktuje jako $a$ samo $x$ i pisze $2x^2$ zamiast $4x^2$ . Ten sam błąd wraca przy rozkładzie: $4x^2-9$ bywa nierozpoznane jako różnica kwadratów.

Jak zrobić dobrze: Wypisz jawnie, co jest $a$ , a co $b$ — najlepiej w nawiasach: $a = (2x)$ , $b = (3)$ . Wtedy $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$ nasuwa się samo.

Zadania maturalne — wzory skróconego mnożenia

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Trzy wzory, z których bierze się wszystko:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

oraz

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

. Najważniejsza obserwacja całego działu: gdy odejmujesz od siebie kwadraty sumy i różnicy tych samych składników, kwadraty się skracają i zostaje sam podwojony podwójny iloczyn, czyli

4ab

. Dlatego

(2a+b)^2 - (2a-b)^2

nie wymaga wcale rozwijania.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 10 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2024)1 pktłatwe

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

wartość wyrażenia

(2a+b)^2 - (2a-b)^2

jest równa wartości wyrażenia

A. $8a^2$
B. $8ab$
C. $-8ab$
D. $2b^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

To jest wzorzec, który wraca niemal co sesję: kwadrat sumy minus kwadrat różnicy tych samych składników. Warto go raz rozpisać do końca, żeby potem rozpoznawać go od razu.
Rozwijamy oba kwadraty, traktując $\textcolor{#16A06A}{2a}$ i $\textcolor{#16A06A}{b}$ jako składniki:
$(2a+b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
$(2a-b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$
Odejmujemy — i tu dzieje się cała rzecz. Składniki $4a^2$ oraz $b^2$ występują w obu nawiasach z tym samym znakiem, więc znikają. Zostaje tylko podwójny iloczyn, i to dwa razy, bo w drugim nawiasie miał minus:
$(4a^2 + \textcolor{#E0453A}{4ab} + b^2) - (4a^2 \textcolor{#E0453A}{- 4ab} + b^2) = \textcolor{#E0453A}{4ab + 4ab} = \textcolor{#E0453A}{8ab}$
Odpowiedź: B.
Kontrola liczbowa — najprostszy sposób, żeby sprawdzić każdą tożsamość z literami. Podstawiamy $a = 1$ , $b = 1$ : lewa strona to $(2+1)^2 - (2-1)^2 = 9 - 1 = 8$ , a $8ab = 8$ ✓. Dla pewności druga para, $a = 2$ , $b = 3$ : $(4+3)^2 - (4-3)^2 = 49 - 1 = 48$ , a $8 \cdot 2 \cdot 3 = 48$ ✓. Odpowiedź $A$ dałaby $32$ , a $D$ — $18$ .

💡 Wskazówka: Zapamiętaj sam wynik, a nie drogę: kwadrat sumy minus kwadrat różnicy to poczwórny iloczyn składników, czyli $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ . Tutaj $p = 2a$ i $q = b$ , więc od razu $4 \cdot 2a \cdot b = 8ab$ . Ta jedna tożsamość rozwiązuje w tym dziale połowę zadań i oszczędza całe rozwijanie.

⚠ Odpowiedź $A$ albo $D$ — czyli policzenie różnicy kwadratów składników zamiast różnicy kwadratów całych nawiasów. Kusi to, bo $4a^2$ i $b^2$ rzeczywiście się w rachunku pojawiają, tylko że się skracają. Drugi błąd: podanie $4ab$ zamiast $8ab$ — zapomnienie, że podwójny iloczyn występuje dwa razy: raz z plusem z pierwszego nawiasu i drugi raz z plusem po opuszczeniu minusa przed drugim.

Zadanie 2 (sierpień 2025)1 pktłatwe

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

(3x+y)^2 - (3x-y)^2

jest równa wartości wyrażenia

A. $12xy$
B. $(-12xy)$
C. $2y^2$
D. $4y^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Ten sam wzorzec co w poprzednim zadaniu, tylko z innymi literami — więc korzystamy z gotowej tożsamości $(p+q)^2 - (p-q)^2 = \textcolor{#16A06A}{4pq}$ .
Tutaj $p = \textcolor{#16A06A}{3x}$ oraz $q = \textcolor{#16A06A}{y}$ , zatem:
$(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3x} \cdot \textcolor{#16A06A}{y} = \textcolor{#E0453A}{12xy}$
Odpowiedź: A.
Kontrola przez pełne rozwinięcie, dla pewności: $(3x+y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$ , a $(3x-y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$ . Po odjęciu zostaje $6xy + 6xy = \textcolor{#E0453A}{12xy}$ ✓.
Kontrola liczbowa: dla $x = 1$ , $y = 1$ mamy $(3+1)^2 - (3-1)^2 = 16 - 4 = 12$ , a $12xy = 12$ ✓. Ten jeden rachunek odrzuca wszystkie trzy pozostałe odpowiedzi naraz: $B$ dałoby $-12$ , $C$ dałoby $2$ , $D$ dałoby $4$ .

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, sprawdź znak. Odjęcie kwadratu różnicy od kwadratu sumy daje zawsze wynik o znaku iloczynu $pq$ — a więc dodatni, gdy oba czynniki są dodatnie. Odpowiedź $B$ różni się od $A$ tylko znakiem i jest przygotowana dla tych, którzy pomylą kolejność odejmowania.

⚠ Odpowiedź $B$ — z odjęcia w odwrotnej kolejności, czyli policzenia $(3x-y)^2 - (3x+y)^2$ . Kolejność ma tu znaczenie: pierwszy jest ten nawias, który stoi przed minusem. Drugi błąd: odpowiedzi $C$ i $D$ , w których zostaje samo $y^2$ — wtedy skróciło się to, co nie powinno, a przetrwało to, co miało zniknąć.

Zadanie 3 (pokazowy 2023)1 pktłatwe

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wartość wyrażenia

(3+4a)^2 - (3-4a)^2

jest równa

A. $32a^2$
B. $0$
C. $48a$
D. $8a^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Znowu ten sam wzorzec, tylko składniki są zapisane w odwrotnej kolejności: liczba najpierw, litera potem. Na wynik to nie wpływa — dodawanie jest przemienne.
Podstawiamy do tożsamości $(p+q)^2 - (p-q)^2 = \textcolor{#16A06A}{4pq}$ , gdzie $p = \textcolor{#16A06A}{3}$ oraz $q = \textcolor{#16A06A}{4a}$ :
$(3+4a)^2 - (3-4a)^2 = 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4a} = \textcolor{#E0453A}{48a}$
Odpowiedź: C.
Kontrola liczbowa dla $a = 1$ : $(3+4)^2 - (3-4)^2 = 49 - 1 = 48$ , a $48a = 48$ ✓. Warto sprawdzić jeszcze $a = 2$ , żeby odróżnić wynik liniowy od kwadratowego: lewa strona daje $(3+8)^2 - (3-8)^2 = 121 - 25 = 96$ , czyli dwa razy tyle co dla $a=1$ ✓. Odpowiedź $A$ dałaby czterokrotność ( $128$ ), bo zależy od $a^2$ — sam ten test ją wyklucza.

💡 Wskazówka: Wynik takiego odejmowania jest zawsze iloczynem obu składników, więc jeśli jeden z nich jest liczbą, a drugi zawiera literę w pierwszej potędze, to wynik też ma literę w pierwszej potędze. Odpowiedzi z $a^2$ można odrzucić bez liczenia — po samej postaci.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli zero — z przekonania, że skoro nawiasy różnią się tylko znakiem w środku, to ich kwadraty są równe. To prawda tylko wtedy, gdy całe nawiasy są liczbami przeciwnymi, a $3+4a$ i $3-4a$ przeciwne nie są. Drugi błąd: odpowiedź $A$ , czyli $32a^2$ — policzenie różnicy kwadratów samych składników, $(4a)^2 \cdot 2$ , zamiast kwadratów całych nawiasów.

Zadanie 4 (maj 2023)1 pktśrednie

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wyrażenie

(2a-3)^2 - (2a+3)^2

jest równe

A. $-24a$
B. $0$
C. $18$
D. $16a^2 - 24a$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Uwaga na kolejność: tym razem najpierw stoi kwadrat różnicy, a dopiero potem odejmujemy kwadrat sumy. To odwrotnie niż w poprzednich zadaniach, więc wynik zmieni znak.
Tożsamość ma teraz postać $(p-q)^2 - (p+q)^2 = \textcolor{#16A06A}{-4pq}$ , gdzie $p = \textcolor{#16A06A}{2a}$ oraz $q = \textcolor{#16A06A}{3}$ :
$(2a-3)^2 - (2a+3)^2 = -4 \cdot \textcolor{#16A06A}{2a} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{-24a}$
Odpowiedź: A.
Kontrola przez pełne rozwinięcie: $(2a-3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$ , a $(2a+3)^2 = 4a^2 + 12a + 9$ . Po odjęciu $4a^2$ i $9$ znikają, a zostaje $-12a - 12a = \textcolor{#E0453A}{-24a}$ ✓.
Kontrola liczbowa dla $a = 1$ : $(2-3)^2 - (2+3)^2 = 1 - 25 = -24$ ✓. Ta jedna liczba rozstrzyga wszystko: odpowiedź $B$ dałaby $0$ , $C$ dałoby $18$ , a $D$ dałoby $16 - 24 = -8$ .

💡 Wskazówka: Zanim policzysz, ustal znak wyniku. Pierwszy nawias, $2a-3$ , jest „mniejszy” od drugiego dla dodatnich $a$ , więc jego kwadrat też bywa mniejszy — a skoro odejmujemy od mniejszego większy, wynik dla dodatnich $a$ musi wyjść ujemny. To od razu zostawia tylko odpowiedź $A$ .

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $16a^2 - 24a$ — z rozwinięcia tylko pierwszego nawiasu i zapomnienia, że składnik $4a^2$ skraca się z drugim. Widać to po kontroli liczbowej: dla $a = 1$ wychodzi $-8$ zamiast $-24$ . Drugi błąd: podanie $24a$ bez minusa, czyli zignorowanie kolejności odejmowania — pierwszy jest ten nawias, który stoi przed znakiem minus.

Zadanie 5 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Wartość wyrażenia

\left(2 - \sqrt3\right)^2 - \left(\sqrt3 - 2\right)^2

jest równa

A. $\left(-2\sqrt3\right)$
B. $0$
C. $6$
D. $8\sqrt3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tym razem nie ma czego rozwijać — i o to właśnie chodzi w tym zadaniu. Porównajmy oba nawiasy:
$\textcolor{#16A06A}{2 - \sqrt3}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3 - 2}$
To są liczby przeciwne: jedna powstaje z drugiej przez zmianę znaku, bo $\sqrt3 - 2 = -(2 - \sqrt3)$ .
A liczby przeciwne mają równe kwadraty, bo minus podniesiony do kwadratu znika: $(-t)^2 = t^2$ .
Odejmujemy więc od siebie dwie równe liczby:
$\left(2-\sqrt3\right)^2 - \left(\sqrt3-2\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{0}$
Odpowiedź: B.
Kontrola rachunkiem, żeby to nie było tylko rozumowanie. $\left(2-\sqrt3\right)^2 = 4 - 4\sqrt3 + 3 = 7 - 4\sqrt3$ . Oraz $\left(\sqrt3-2\right)^2 = 3 - 4\sqrt3 + 4 = 7 - 4\sqrt3$ . Te same liczby ✓, więc różnica wynosi zero. Liczbowo: $7 - 4 \cdot 1{,}732 \approx 0{,}072$ — obie strony dają to samo.

💡 Wskazówka: Zanim sięgniesz po wzór, spójrz na oba nawiasy obok siebie. Jeśli różnią się wyłącznie kolejnością odejmowania, to są liczbami przeciwnymi, a ich kwadraty są równe — i całe zadanie kończy się na zerze. Ta obserwacja jest tu szybsza i pewniejsza niż jakikolwiek rachunek na pierwiastkach.

⚠ Potraktowanie tego jak poprzednich zadań, czyli jako „kwadrat sumy minus kwadrat różnicy”, i zastosowanie wzoru $4pq$ . Tamten wzór wymaga, żeby oba nawiasy miały ten sam pierwszy składnik i różniły się tylko znakiem drugiego — a tutaj składniki są zamienione miejscami, co daje zupełnie inną sytuację. Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $6$ , z policzenia różnicy $4 - 3$ dwa razy albo z pomylenia kwadratu różnicy z różnicą kwadratów.

Zadanie 6 (maj 2025)1 pktśrednie

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

(3x+2)^2 - (2x-3)^2

jest równa wartości wyrażenia

A. $5x^2 - 5$
B. $5x^2 + 13$
C. $5x^2 + 24x - 5$
D. $5x^2 + 24x - 13$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tu skrót nie zadziała: nawiasy mają różne pierwsze składniki ( $3x$ i $2x$ ), więc nic się nie skróci samo i trzeba rozwinąć oba kwadraty.
$(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = \textcolor{#16A06A}{9x^2 + 12x + 4}$
$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = \textcolor{#16A06A}{4x^2 - 12x + 9}$
Odejmujemy — i tu trzeba uważać, bo minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku:
$(9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9) = 9x^2 + 12x + 4 \textcolor{#E0453A}{- 4x^2 + 12x - 9}$
Redukujemy wyrazy podobne:
$\textcolor{#E0453A}{5x^2} + \textcolor{#E0453A}{24x} \textcolor{#E0453A}{- 5}$
Odpowiedź: C.
Kontrola liczbowa dla $x = 1$ : lewa strona to $(3+2)^2 - (2-3)^2 = 25 - 1 = 24$ . Sprawdzamy odpowiedzi: $A$ daje $0$ , $B$ daje $18$ , $C$ daje $5 + 24 - 5 = 24$ ✓, $D$ daje $16$ . Jedno podstawienie rozstrzyga całe zadanie.

💡 Wskazówka: Najpierw sprawdź, czy skrót jest w ogóle dostępny: czy oba nawiasy mają ten sam pierwszy składnik? Tutaj nie mają, więc rozwijasz oba i redukujesz. Największym źródłem pomyłek jest minus przed drugim nawiasem — zapisz sobie osobno całe drugie rozwinięcie ze zmienionymi znakami, zanim zaczniesz sumować.

⚠ Odpowiedź $D$ — ze zmiany znaku tylko przy pierwszym składniku drugiego nawiasu, a nie przy wszystkich trzech. Wychodzi wtedy $4 - 9 = -5$ zamienione na $4 - 9$ przy jednoczesnym $-12x$ zamiast $+12x$ . Drugi błąd: odpowiedzi $A$ i $B$ , w których w ogóle nie ma składnika $24x$ — czyli podwójne iloczyny zostały pominięte albo błędnie skrócone, jakby zadanie było tym samym typem co poprzednie.

Zadanie 7 (sierpień 2022)1 pktśrednie

Liczba

\left(5 - 2\sqrt3\right)^2

jest równa

A. $25 + 4\sqrt3$
B. $25 - 4\sqrt3$
C. $37 + 20\sqrt3$
D. $37 - 20\sqrt3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zwykły kwadrat różnicy, tylko z pierwiastkiem w drugim składniku. Stosujemy $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ dla $a = \textcolor{#16A06A}{5}$ oraz $b = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3}$ .
Liczymy trzy składniki osobno — to jedyny sposób, żeby się nie pomylić:
• $a^2 = 5^2 = \textcolor{#E0453A}{25}$
• $2ab = 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{20\sqrt3}$
• $b^2 = \left(2\sqrt3\right)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt3\right)^2 = 4 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{12}$
Składamy: $25 - 20\sqrt3 + 12 = \textcolor{#E0453A}{37 - 20\sqrt3}$
Odpowiedź: D.
Kontrola liczbowa: $\sqrt3 \approx 1{,}732$ , więc $5 - 2 \cdot 1{,}732 = 1{,}536$ , a jej kwadrat to $\approx 2{,}359$ . Sprawdzamy $D$ : $37 - 20 \cdot 1{,}732 = 37 - 34{,}64 = 2{,}36$ ✓. Odpowiedź $B$ dałaby $25 - 6{,}93 = 18{,}07$ — zupełnie nie tyle.

💡 Wskazówka: Najwięcej pomyłek bierze się z kwadratu składnika z pierwiastkiem. $\left(2\sqrt3\right)^2$ to nie $2 \cdot 3$ ani $2\sqrt3$ , tylko $4 \cdot 3 = 12$ — do kwadratu idzie cały składnik, i liczba, i pierwiastek. Policz go osobno i zapisz, zanim wrócisz do reszty wzoru.

⚠ Odpowiedzi $A$ i $B$ , w których wyraz wolny został jako $25$ — czyli składnik $b^2 = 12$ w ogóle nie został dodany, a podwójny iloczyn policzono jako $4\sqrt3$ zamiast $20\sqrt3$ . To ślad rozwinięcia „na skróty”, w którym pomnożono tylko liczby przy pierwiastkach. Drugi błąd: odpowiedź $C$ — poprawne liczby, ale plus zamiast minusa, czyli zastosowanie wzoru na kwadrat sumy do wyrażenia z różnicą.

Zadanie 8 (sierpień 2020)1 pktśrednie

Liczba

\left(\sqrt5 + 2\sqrt3\right)^2

jest równa

A. $11$
B. $17$
C. $17 + 4\sqrt{15}$
D. $17 + 2\sqrt{15}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kwadrat sumy, ale tym razem oba składniki mają pierwiastek. Stosujemy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ dla $a = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}$ oraz $b = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt3}$ .
• $a^2 = \left(\sqrt5\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{5}$
• $b^2 = \left(2\sqrt3\right)^2 = 4 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{12}$
• $2ab = 2 \cdot \sqrt5 \cdot 2\sqrt3 = 4 \cdot \sqrt5 \cdot \sqrt3 = 4\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt{15}}$
Składamy: $5 + 4\sqrt{15} + 12 = \textcolor{#E0453A}{17 + 4\sqrt{15}}$
Odpowiedź: C.
Kontrola liczbowa: $\sqrt5 \approx 2{,}236$ i $2\sqrt3 \approx 3{,}464$ , więc suma to $5{,}700$ , a jej kwadrat $\approx 32{,}49$ . Sprawdzamy $C$ : $\sqrt{15} \approx 3{,}873$ , czyli $17 + 4 \cdot 3{,}873 = 17 + 15{,}49 = 32{,}49$ ✓. Odpowiedź $B$ dałaby $17$ , czyli o połowę za mało — to ślad pominięcia całego podwójnego iloczynu.

💡 Wskazówka: Podwójny iloczyn dwóch pierwiastków liczy się przez wymnożenie liczb pod pierwiastkami: $\sqrt5 \cdot \sqrt3 = \sqrt{15}$ . Pierwiastków się nie dodaje ani nie skraca — $\sqrt5 + \sqrt3$ to nie $\sqrt8$ . Ta jedna reguła rozstrzyga całe zadanie, bo pozostałe dwa składniki wychodzą liczbami całkowitymi.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli samo $17$ — z pominięcia podwójnego iloczynu i potraktowania $(a+b)^2$ jako $a^2 + b^2$ . To najczęstszy błąd w całym dziale i wart osobnego sprawdzenia: dla $a = b = 1$ mamy $(1+1)^2 = 4$ , a $1^2 + 1^2 = 2$ — wzór bez środkowego składnika po prostu nie działa. Drugi błąd: odpowiedź $D$ , czyli $2\sqrt{15}$ zamiast $4\sqrt{15}$ — zgubienie dwójki z czynnika $2\sqrt3$ przy liczeniu podwójnego iloczynu.

Zadanie 9 (czerwiec 2016)1 pktśrednie

Różnica

50001^2 - 49999^2

jest równa

A. $2\,000\,000$
B. $200\,000$
C. $20\,000$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Podnoszenie tych liczb do kwadratu byłoby karą, a nie zadaniem — i właśnie dlatego w treści jest różnica kwadratów. Rozkładamy ją na iloczyn wzorem $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .
$a = \textcolor{#16A06A}{50001}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{49999}$ , więc:
• $a - b = 50001 - 49999 = \textcolor{#E0453A}{2}$
• $a + b = 50001 + 49999 = \textcolor{#E0453A}{100\,000}$
$50001^2 - 49999^2 = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{100\,000} = \textcolor{#E0453A}{200\,000}$
Odpowiedź: B.
Kontrola na mniejszych liczbach, gdzie da się policzyć wszystko wprost: $11^2 - 9^2 = 121 - 81 = 40$ , a wzór daje $(11-9)(11+9) = 2 \cdot 20 = 40$ ✓. Ta sama struktura — dwie liczby odległe o $2$ , symetrycznie po obu stronach okrągłej liczby — i ten sam mechanizm.

💡 Wskazówka: Kiedy w zadaniu widzisz różnicę dwóch kwadratów dużych liczb, nigdy nie licz kwadratów. Rozłóż na iloczyn: różnica tych liczb jest maleńka, a suma okrągła, więc mnożenie robi się pamięciowe. To jedyny sens, w jakim te wzory są „skróconego mnożenia” — mają skracać rachunek, a nie zapis.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $4$ — z policzenia $(50001 - 49999)^2$ zamiast różnicy kwadratów. To dwie zupełnie różne rzeczy: $a^2 - b^2$ kontra $(a-b)^2$ . Drugi błąd: pomyłka o rząd wielkości przy sumie — $50001 + 49999$ to $100\,000$ , a nie $10\,000$ ani $1\,000\,000$ ; stąd biorą się odpowiedzi $C$ i $A$ .

Zadanie 10 (sierpień 2017)1 pkttrudniejsze

Liczba

\left(2\sqrt7 - 5\right)^2 \cdot \left(2\sqrt7 + 5\right)^2

jest równa

A. $9$
B. $3$
C. $2809$
D. $28 - 20\sqrt7$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kusi, żeby rozwinąć oba kwadraty i mnożyć — ale jest krótsza droga. Oba czynniki są kwadratami, więc można je najpierw połączyć w jeden kwadrat iloczynu:
$\left(2\sqrt7 - 5\right)^2 \cdot \left(2\sqrt7 + 5\right)^2 = \left[\left(2\sqrt7 - 5\right)\left(2\sqrt7 + 5\right)\right]^2$
W nawiasie kwadratowym mamy teraz różnicę i sumę tych samych składników, czyli wzór $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ z $a = \textcolor{#16A06A}{2\sqrt7}$ i $b = \textcolor{#16A06A}{5}$ :
• $a^2 = \left(2\sqrt7\right)^2 = 4 \cdot 7 = \textcolor{#E0453A}{28}$
• $b^2 = 5^2 = \textcolor{#E0453A}{25}$
$\left(2\sqrt7 - 5\right)\left(2\sqrt7 + 5\right) = 28 - 25 = \textcolor{#E0453A}{3}$
Zostaje podnieść to do kwadratu: $\textcolor{#E0453A}{3}^2 = \textcolor{#E0453A}{9}$
Odpowiedź: A.
Kontrola liczbowa: $2\sqrt7 \approx 5{,}2915$ , więc pierwszy nawias to $0{,}2915$ , a drugi $10{,}2915$ . Kwadraty: $0{,}085$ oraz $105{,}91$ , a ich iloczyn $\approx 9{,}00$ ✓. Warto zauważyć, że odpowiedź $B$ , czyli $3$ , to wynik przed ostatnim podniesieniem do kwadratu — dystraktor dla tych, którzy zapomną, że kwadraty były dwa.

💡 Wskazówka: Reguła $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$ pozwala najpierw pomnożyć podstawy, a dopiero potem podnieść do kwadratu — i to zwykle radykalnie skraca rachunek. Tutaj po pomnożeniu podstaw zostaje różnica kwadratów, czyli zwykłe $28 - 25$ . Zawsze warto sprawdzić, czy czynniki nie tworzą razem takiej pary.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $3$ — poprawne pomnożenie podstaw i zapomnienie o ostatnim kroku, czyli podniesieniu wyniku do kwadratu. Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $2809$ — to $53^2$ , wynik pomnożenia $(28+25)$ zamiast $(28-25)$ , czyli zastosowania wzoru na różnicę kwadratów z plusem.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A	3. C	4. A	5. B	6. C
7. D	8. C	9. B	10. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jakie są wzory skróconego mnożenia?

W zakresie podstawowym trzy: kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ , kwadrat różnicy $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ oraz różnica kwadratów $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ . Wzory na sześciany należą już do zakresu rozszerzonego.

Dlaczego

(a+b)^2

nie równa się

a^2+b^2

Bo przy mnożeniu $(a+b)(a+b)$ powstają cztery składniki, a nie dwa — oprócz $a^2$ i $b^2$ pojawiają się jeszcze $ab$ i $ba$ , które dają razem $2ab$ . Dla $a=3$ i $b=4$ różnica wynosi $24$ : poprawnie $49$ , błędnie $25$ .

Czy da się rozłożyć sumę kwadratów

a^2+b^2

Nie, w liczbach rzeczywistych sumy kwadratów rozłożyć się nie da. Rozkłada się wyłącznie różnica. To ważna asymetria — przy sześcianach jest inaczej, bo tam rozkłada się zarówno suma, jak i różnica.

Jak policzyć

103 \cdot 97

w pamięci?

Zauważyć, że obie liczby leżą o $3$ od setki, i użyć różnicy kwadratów: $(100+3)(100-3) = 100^2-3^2 = 10\,000-9 = 9991$ . Metoda działa tylko wtedy, gdy obie liczby są jednakowo oddalone od tej samej okrągłej liczby.

Czy wzory na sześciany są na maturze podstawowej?

Nie. Podstawa programowa wymienia $a^3+b^3$ oraz $(a\pm b)^n$ w zakresie rozszerzonym, w punkcie 5 działu o wyrażeniach algebraicznych. Do matury podstawowej wystarczą trzy wzory z kwadratami.

Do czego wzory skróconego mnożenia przydają się poza przekształcaniem?

Przede wszystkim do rozkładu na czynniki, który upraszcza wyrażenia wymierne i rozbija równania na prostsze przypadki. Wracają też w dowodach algebraicznych oraz w rachunku w pamięci przy liczbach bliskich okrągłym.

Czytaj dalej

Wyrażenia algebraiczneHub działu: litery, wyrazy podobne, minus przed nawiasem PotęgiDlaczego wzory rozdzielają się względem mnożenia, a nie dodawania Pole kwadratuGeometryczne wyprowadzenie kwadratu sumy Potęgi na egzaminieTam ta sama pułapka pojawia się bez podania wzoru Przekształcanie wzorówKontrola poprawności przez podstawienie liczb

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.