Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo › Mediana

Mediana

Q: Czy dane trzeba porządkować rosnąco, czy można malejąco?

Można w dowolną stronę, byle konsekwentnie — środek zestawu jest ten sam niezależnie od kierunku. Rosnąco jest po prostu wygodniej, bo tak zapisuje się wyniki i łatwiej sprawdzić kolejność.

Q: Co zrobić, gdy dane się powtarzają?

Nic szczególnego — powtórzone wartości wypisujemy tyle razy, ile występują, i traktujemy jak osobne dane. Zestaw 4, 5, 5, 6, 60 ma pięć danych, nie cztery.

Q: Czy mediana może być liczbą, której nie ma w danych?

Tak, przy parzystej liczbie danych. Dla 7, 9, 11, 12 mediana wynosi 10, choć takiej liczby w zestawie nie ma — to średnia dwóch środkowych wyrazów.

Q: Dlaczego o zarobkach podaje się medianę, a nie średnią?

Bo kilka bardzo wysokich wynagrodzeń podnosi średnią tak, że przestaje ona opisywać typowy przypadek. Mediana mówi wprost: połowa zarabia mniej, połowa więcej.

Q: Czy mediana wystarczy do opisania danych?

Nie. Mówi, gdzie leży środek, ale nic o rozrzucie — dwa bardzo różne zestawy mogą mieć tę samą medianę. Dlatego podaje się ją razem ze średnią albo z miarą rozproszenia.

Mediana to wartość środkowa uporządkowanego zestawu danych — liczba, która dzieli go na dwie równe części. Cała procedura mieści się w dwóch krokach: uporządkuj, wskaż środek. Mimo to jest to jedno z częściej mylonych pojęć w statystyce, bo drugi krok wygląda inaczej przy parzystej, a inaczej przy nieparzystej liczbie danych — i bo pierwszy krok bywa pomijany.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 9

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Co to jest mediana — definicja i dwa przypadki

Medianę wyznacza się wyłącznie z danych uporządkowanych — rosnąco albo malejąco, to bez znaczenia, byle konsekwentnie. Dopiero wtedy patrzymy na środek:

Nieparzysta liczba danych — mediana to wyraz stojący dokładnie w środku. Przy $n$ danych jest to wyraz o numerze $\frac{n+1}{2}$ .
Parzysta liczba danych — środkowych wyrazów są dwa, więc medianą jest ich średnia arytmetyczna.

W drugim przypadku mediana nie musi być żadną z danych. Dla zestawu $7, 9, 11, 12$ medianą jest $\frac{9+11}{2} = 10$ — liczba, której w danych w ogóle nie ma. To poprawny wynik, nie błąd.

Numer środkowego wyrazu, nie jego wartość

Wzór $\frac{n+1}{2}$ podaje pozycję w uporządkowanym zestawie, a nie samą medianę.

Dla $n = 7$ wychodzi $4$ — czyli mediana to czwarty wyraz, cokolwiek nim jest.

Dla $n = 6$ wychodzi $3{,}5$ — pozycja „między trzecim a czwartym”, co jest właśnie sygnałem, że trzeba uśrednić dwa wyrazy.

Porządkowanie danych to nie kosmetyka, tylko część definicji. Mediana zestawu $3, 8, 2$ wynosi $3$ , a nie $8$ — mimo że ósemka stoi w środku wypisanego ciągu. Pominięcie tego kroku jest najczęstszym błędem w całym temacie.

2Mediana a średnia — kiedy się rozjeżdżają

Obie liczby opisują „typową wartość” zestawu, ale reagują zupełnie inaczej na dane skrajne.

	średnia arytmetyczna	mediana
jak powstaje	suma podzielona przez liczbę danych	wartość środkowa po uporządkowaniu
czy zależy od wszystkich danych	tak, każda liczba wpływa na wynik	nie, liczy się głównie kolejność
reakcja na wartość odstającą	silna — jedna liczba potrafi przesunąć wynik	znikoma
czy musi należeć do danych	nie	nie (przy parzystej liczbie danych)

Trzeci wiersz jest powodem, dla którego mediana w ogóle istnieje jako osobna miara. Gdy w zestawie pojawia się wartość wyraźnie odstająca — bardzo wysoka pensja w małej firmie, jedna bardzo droga transakcja — średnia przestaje opisywać typowy przypadek, a mediana nadal go opisuje.

Dlatego w komunikatach o zarobkach czy cenach mieszkań podaje się zwykle medianę. Zdanie „połowa zarabia mniej, połowa więcej” jest wprost definicją mediany i nie da się go powiedzieć o średniej.

Ogólne porównanie trzech miar — średniej, mediany i dominanty — jest na stronie o statystyce; tutaj chodzi o samą procedurę liczenia mediany i o zadania, w których to ona jest szukana.

3Mediana z tabeli liczebności

Zadania maturalne rzadko podają dane jako wypisany ciąg. Częściej jest tabela: wartość i liczba jej wystąpień. Procedura się nie zmienia, ale trzeba pamiętać, że każda wartość występuje tyle razy, ile mówi tabela.

Zsumuj liczebności — to jest $n$ , czyli łączna liczba danych. Nie liczba wierszy tabeli.
Wyznacz pozycję środka ze wzoru $\frac{n+1}{2}$ . Ten punkt i następny opisują przypadek nieparzystego $n$ ; przy parzystym postępuj tak, jak w akapicie pod listą.
Idź po tabeli od góry, sumując liczebności, aż przekroczysz tę pozycję. Wartość z tego wiersza jest medianą.

Pierwszy punkt jest tym, który decyduje. Tabela z czterema wierszami może opisywać czterdzieści danych — i to czterdzieści, a nie cztery, wchodzi do wzoru na pozycję.

Przy parzystym $n$ sprawdzamy dwie pozycje: $\frac{n}{2}$ oraz $\frac{n}{2} + 1$ . Bardzo często obie wypadają w tym samym wierszu tabeli i wtedy mediana jest po prostu wartością z tego wiersza — uśrednianie dwóch identycznych liczb niczego nie zmienia.

Dlaczego mediana ocen bywa „ładniejsza” niż średnia

Uczeń z ocenami $1, 5, 5, 5, 5$ ma średnią $4{,}2$ , ale medianę $5$ .

Jedna jedynka obniża średnią o prawie cały stopień, a na medianę nie ma wpływu — bo mediana widzi tylko pozycję tej oceny, nie jej wartość.

To dobrze pokazuje, czego która miara nie zauważa. Mediana ignoruje skalę odchyleń, średnia ignoruje kolejność.

4Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: nieparzysta liczba danych, parzysta, wpływ wartości odstającej i odczyt z tabeli liczebności.

Przykład 1 Nieparzysta liczba danych

Wyznacz medianę zestawu: $3$ , $8$ , $2$ , $9$ , $5$ , $4$ , $11$ .

Porządkuję rosnąco: $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $8$ , $9$ , $11$ .
Danych jest $7$ , więc pozycja środka to $\frac{7+1}{2} = 4$ .
Czwartym wyrazem uporządkowanego zestawu jest $5$ .
Kontrola: po lewej stronie zostają trzy liczby ( $2$ , $3$ , $4$ ), po prawej też trzy ( $8$ , $9$ , $11$ ) ✓

Odpowiedź: Mediana wynosi $5$ .

Bez uporządkowania środkowym wyrazem byłaby dziewiątka — i to jest właśnie ten błąd, który kosztuje cały punkt przy poprawnej dalszej pracy.

Przykład 2 Parzysta liczba danych

Wyznacz medianę zestawu: $12$ , $7$ , $15$ , $9$ , $20$ , $11$ .

Porządkuję rosnąco: $7$ , $9$ , $11$ , $12$ , $15$ , $20$ .
Danych jest $6$ , więc środkowe są dwa: trzeci i czwarty, czyli $11$ i $12$ .
Mediana to ich średnia: $\frac{11 + 12}{2} = 11{,}5$ .
Kontrola: po obu stronach zostają po trzy liczby ✓
Kontrola sensu: wynik leży między $11$ a $12$ , więc mieści się wewnątrz zestawu ✓

Odpowiedź: Mediana wynosi $11{,}5$ .

Mediany nie ma wśród danych i tak ma być. Odpowiedź „mediany nie da się wyznaczyć, bo danych jest parzyście” jest błędna — wtedy właśnie się uśrednia.

Przykład 3 Wartość odstająca

W zestawie $4$ , $5$ , $5$ , $6$ , $60$ oblicz medianę i średnią arytmetyczną. Która z nich lepiej opisuje typową wartość?

Dane są już uporządkowane, a jest ich $5$ , więc mediana to trzeci wyraz: $5$ .
Średnia: $\frac{4 + 5 + 5 + 6 + 60}{5} = \frac{80}{5} = 16$ .
Cztery z pięciu danych są mniejsze od $7$ , a średnia wynosi $16$ — czyli żadna dana nie leży w jej okolicy.
Mediana $5$ leży dokładnie tam, gdzie skupia się większość danych.
Kontrola wpływu: gdyby zamiast $60$ stało $600$ , mediana nadal wynosiłaby $5$ , a średnia skoczyłaby do $124$ ✓

Odpowiedź: Mediana $5$ , średnia $16$ — typową wartość lepiej opisuje mediana.

Ostatni krok jest sednem różnicy. Mediana widzi tylko, że $60$ jest największą liczbą; nie obchodzi jej, o ile największą.

Przykład 4 Mediana z tabeli liczebności

W klasie zebrano oceny: ocenę $3$ dostało czterech uczniów, ocenę $4$ — siedmiu, a ocenę $5$ — trzech. Wyznacz medianę ocen.

Sumuję liczebności: $4 + 7 + 3 = 14$ ocen. To jest $n$ , nie liczba wierszy tabeli.
Danych jest parzyście, więc sprawdzam pozycje siódmą i ósmą.
Pozycje od pierwszej do czwartej zajmują trójki, od piątej do jedenastej — czwórki.
Zarówno siódma, jak i ósma pozycja wypada wśród czwórek, więc obie wartości środkowe wynoszą $4$ .
Mediana: $\frac{4 + 4}{2} = 4$ .
Kontrola: siedem pozycji wypada przed miejscem podziału i siedem za nim ✓ Uwaga na słowo „poniżej”: ocen niższych od mediany jest cztery (same trójki), wyższych trzy (piątki), a siedem czwórek jest jej równych — przy powtarzających się danych mediana nie dzieli ich na dwie równe grupy co do wartości, tylko co do pozycji.

Odpowiedź: Mediana wynosi $4$ .

Gdy obie środkowe pozycje wypadają w tym samym wierszu tabeli, uśrednianie jest formalnością — ale warto je zapisać, żeby było widać, że parzystość została uwzględniona.

5Najczęstsze błędy

Trzy z tych błędów dotyczą samej procedury liczenia — kolejności danych, parzystości i tabeli liczebności. Dwa pozostałe biorą się z mylenia mediany ze średnią i z niezrozumienia wyniku.

Wskazanie środkowej liczby bez uporządkowania danych.

Skąd się bierze: Dane w treści zadania wyglądają jak gotowy ciąg, więc środek wydaje się widoczny od razu.

Jak zrobić dobrze: Porządkowanie jest częścią definicji mediany. Wypisz dane rosnąco, zanim cokolwiek wskażesz — nawet jeśli wydają się już ułożone.

Podanie dwóch liczb jako mediany przy parzystej liczbie danych.

Skąd się bierze: Środkowe wyrazy są dwa, więc odpowiedź „mediana to $11$ i $12$ ” wygląda naturalnie.

Jak zrobić dobrze: Mediana jest jedną liczbą — średnią z dwóch środkowych. Dla $11$ i $12$ wynosi $11{,}5$ .

Mylenie mediany ze średnią arytmetyczną.

Skąd się bierze: Obie „opisują środek”, a przy parzystej liczbie danych medianę też się uśrednia.

Jak zrobić dobrze: Średnia sumuje wszystkie dane, mediana patrzy tylko na wartość środkową. Przy zestawie z wartością odstającą różnią się bardzo wyraźnie.

Traktowanie liczby wierszy tabeli jako liczby danych.

Skąd się bierze: Tabela ma trzy wiersze, więc $n = 3$ wydaje się oczywiste.

Jak zrobić dobrze: $n$ to suma liczebności. Trzy wiersze mogą opisywać czternaście danych i to czternastka wchodzi do wzoru na pozycję środka.

Uznanie, że mediana musi być jedną z danych.

Skąd się bierze: Przy nieparzystej liczbie danych zawsze nią jest, więc reguła uogólnia się bezpodstawnie.

Jak zrobić dobrze: Przy parzystej liczbie danych mediana bywa liczbą spoza zestawu — jak $11{,}5$ dla samych liczb całkowitych. To poprawny wynik.

Zadania maturalne — mediana zestawu danych

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Mediana to wartość środkowa zestawu uporządkowanego niemalejąco — i słowo „uporządkowanego” jest tu najważniejsze, bo dane w zadaniu prawie nigdy nie są podane po kolei. Gdy liczb jest nieparzyście wiele, mediana to po prostu ta w środku. Gdy parzyście — to średnia dwóch środkowych, i wtedy mediana bywa liczbą, której w zestawie w ogóle nie ma.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 9 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 9 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

W pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.

Liczba odsłuchanych audiobooków	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$7$
Liczba uczniów	$9$	$5$	$3$	$4$	$1$	$3$

Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa

A. $3$
B. $2$
C. $1$
D. $\dfrac32$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Uwaga na pułapkę tabeli: górny wiersz to nie są dane, tylko ich rodzaje. Danymi jest tyle liczb, ile uczniów — a każdy uczeń wnosi jedną liczbę odsłuchanych audiobooków.
Ile jest wszystkich danych? Sumujemy dolny wiersz:
$\textcolor{#16A06A}{9} + \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{25}$
Liczb jest $\textcolor{#E0453A}{25}$ , czyli nieparzyście wiele, więc mediana to jedna konkretna wartość — ta na miejscu $\textcolor{#E0453A}{13}$ , bo dwanaście liczb leży przed nią i dwanaście za nią.
Tabela jest już uporządkowana rosnąco, więc wystarczy liczyć od lewej i pilnować, kiedy przekroczymy trzynastkę:
• wartość $\textcolor{#16A06A}{0}$ zajmuje miejsca $1$ – $9$ ,
• wartość $\textcolor{#16A06A}{1}$ zajmuje miejsca $10$ – $14$ ← tu wpada trzynastka,
• wartość $\textcolor{#16A06A}{2}$ zajmuje miejsca $15$ – $17$ , i tak dalej.
Na miejscu $13$ stoi więc $\textcolor{#E0453A}{1}$ .
Odpowiedź: C.
Kontrola: policzmy, ile liczb jest mniejszych od jedynki, a ile większych. Mniejszych ( $0$ ) jest $9$ ; większych ( $2$ , $3$ , $4$ , $7$ ) jest $3+4+1+3 = 11$ . Razem $20$ , a jedynek jest $5$ — więc pozycje $10$ – $14$ to jedynki i środkowa, trzynasta, na pewno wśród nich jest ✓.

💡 Wskazówka: Nie licz mediany z górnego wiersza tabeli — to byłaby mediana rodzajów odpowiedzi, a nie odpowiedzi uczniów. Najpierw ustal, ile jest w ogóle danych (suma dolnego wiersza), potem który numer jest środkowy, a dopiero potem szukaj, w którą kolumnę ten numer wpada. Sumowanie liczebności „narastająco” robi tu całą robotę.

⚠ Liczenie mediany z górnego wiersza, czyli z zestawu $\{0,1,2,3,4,7\}$ , tak jakby to były dane. Ciekawe, że ten błąd sam się ujawnia: sześć liczb daje medianę $\tfrac{2+3}{2} = 2{,}5$ , a takiej odpowiedzi wśród podanych nie ma. Jeśli wynik nie pasuje do żadnej opcji, to prawie zawsze znak, że policzyliśmy coś innego, niż trzeba. Gorsza jest wersja, która pasuje: wzięcie z górnego wiersza po prostu trzeciej liczby, czyli $2$ — to odpowiedź $B$ .

Zadanie 2 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

Ocena	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$
Liczba ocen	$2$	$3$	$5$	$5$	$1$

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa

A. $3$
B. $3{,}5$
C. $4$
D. $4{,}5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tu jest dodatkowa pułapka: tabela jest uporządkowana malejąco, od szóstki do dwójki. Mediana wymaga porządku niemalejącego, więc czytamy tabelę od prawej do lewej.
Najpierw liczymy wszystkie oceny:
$\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{16}$
Ocen jest $\textcolor{#E0453A}{16}$ , czyli parzyście wiele — mediana to średnia dwóch środkowych, na miejscach $\textcolor{#E0453A}{8}$ i $\textcolor{#E0453A}{9}$ .
Ustawiamy oceny rosnąco i liczymy miejsca narastająco:
• ocena $\textcolor{#16A06A}{2}$ — miejsce $1$ ,
• ocena $\textcolor{#16A06A}{3}$ — miejsca $2$ – $6$ ,
• ocena $\textcolor{#16A06A}{4}$ — miejsca $7$ – $11$ ← tu wpadają obie: ósemka i dziewiątka,
• ocena $\textcolor{#16A06A}{5}$ — miejsca $12$ – $14$ , ocena $\textcolor{#16A06A}{6}$ — miejsca $15$ – $16$ .
Obie środkowe oceny są równe $\textcolor{#E0453A}{4}$ , więc mediana wynosi $\dfrac{4+4}{2} = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Odpowiedź: C.
Kontrola: gdy obie środkowe wartości są takie same, mediana zawsze równa się tej wartości — i musi być liczbą z zestawu. To odróżnia ten przypadek od sytuacji, w której środkowe są różne, i wyjaśnia, dlaczego odpowiedzi $B$ i $D$ (połówki) można było odrzucić dopiero po sprawdzeniu, że miejsca $8$ i $9$ trafiają w tę samą ocenę.

💡 Wskazówka: Tabela jest ułożona od najwyższej oceny do najniższej, a mediana wymaga porządku niemalejącego — ale akurat tu nic to nie zmienia, i warto wiedzieć dlaczego. Odwrócenie zestawu uporządkowanego nie rusza jego środka: to, co przy liczeniu od lewej było ósmą i dziewiątą wartością, przy liczeniu od prawej jest dziewiątą i ósmą, czyli tą samą parą. Kierunek zaczyna mieć znaczenie dopiero wtedy, gdy dane w ogóle nie są uporządkowane — a to zdarza się w zadaniach częściej. Schemat jest zawsze ten sam: suma liczebności, numery środkowe, sumowanie narastające.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $3$ — z policzenia mediany dolnego wiersza, czyli zestawu liczebności $\{2,3,5,5,1\}$ . Po uporządkowaniu daje on $1, 2, 3, 5, 5$ , a jego środkowa to $3$ . To ta sama pomyłka co w poprzednim zadaniu, tylko z drugim wierszem tabeli: mediana dotyczy ocen, a liczebności mówią jedynie, ile razy każdą z nich powtórzyć. Drugi błąd: odpowiedź $B$ albo $D$ — z odruchu, że przy parzystej liczbie danych mediana „musi” być połówką. Połówka wychodzi tylko wtedy, gdy dwie środkowe wartości się różnią; tutaj obie są czwórkami.

Zadanie 3 (maj 2024)1 pktśrednie

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

A. $4{,}5$
B. $4$
C. $3{,}5$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Diagram to ta sama informacja co tabela liczebności, tylko narysowana. Odczytujemy wysokości słupków:
ocena $\textcolor{#16A06A}{1}$ — $\textcolor{#16A06A}{2}$ uczniów, ocena $\textcolor{#16A06A}{2}$ — $\textcolor{#16A06A}{7}$ , ocena $\textcolor{#16A06A}{3}$ — $\textcolor{#16A06A}{4}$ , ocena $\textcolor{#16A06A}{4}$ — $\textcolor{#16A06A}{3}$ , ocena $\textcolor{#16A06A}{5}$ — $\textcolor{#16A06A}{6}$ , ocena $\textcolor{#16A06A}{6}$ — $\textcolor{#16A06A}{4}$ .
Wszystkich uczniów jest $2+7+4+3+6+4 = \textcolor{#E0453A}{26}$ , czyli parzyście wiele. Mediana to średnia ocen na miejscach $\textcolor{#E0453A}{13}$ i $\textcolor{#E0453A}{14}$ .
Sumujemy narastająco, od najniższej oceny:
• ocena $1$ — miejsca $1$ – $2$ ,
• ocena $2$ — miejsca $3$ – $9$ ,
• ocena $3$ — miejsca $10$ – $13$ ← tu wpada trzynastka,
• ocena $4$ — miejsca $14$ – $16$ ← a tu czternastka.
Środkowe oceny to $\textcolor{#E0453A}{3}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{4}$ , więc mediana wynosi $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3{,}5}$ .
Odpowiedź: C.
Kontrola: dwie środkowe wartości wypadły w sąsiednich słupkach, więc mediana musi być połówką — i rzeczywiście nią jest. Gdyby obie wpadły w ten sam słupek, wyszłaby liczba całkowita. To najprostszy sposób sprawdzenia, czy przypadkiem nie pomyliliśmy się o jedno miejsce: granica między oceną $3$ a $4$ wypada dokładnie między trzynastką a czternastką.

💡 Wskazówka: Przepisz diagram na listę liczebności, zanim zaczniesz liczyć — sześć liczb w rzędzie jest znacznie łatwiejsze do sumowania narastająco niż słupki na rysunku. Potem wszystko idzie tak samo jak przy tabeli: suma, numery środkowe, szukanie, w który słupek wpadają.

⚠ Odpowiedź $D$ albo $B$ — z zatrzymania się na jednej środkowej wartości zamiast dwóch. Przy $26$ danych obie liczby, trzynasta i czternasta, wchodzą do rachunku, a wypadają w różnych słupkach. Drugi błąd: policzenie mediany wysokości słupków, czyli zestawu $\{2,7,4,3,6,4\}$ — to mediana liczebności, a nie ocen; wyszłoby wtedy $4$ , czyli odpowiedź $B$ .

Zadanie 4 (wrzesień 2022)1 pktśrednie

Firma

F

zatrudnia

160

osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano — wyrażoną w złotych — miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy

F

, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy

F

jest równa

A. $4000$ zł
B. $4800$ zł
C. $5000$ zł
D. $5500$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Odczytujemy z diagramu, ilu pracowników dostaje każdą płacę:
$\textcolor{#16A06A}{4000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{75}$ osób, $\textcolor{#16A06A}{4800}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{50}$ , $\textcolor{#16A06A}{5000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{20}$ , $\textcolor{#16A06A}{6000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{10}$ , $\textcolor{#16A06A}{7000}$ zł — $\textcolor{#16A06A}{5}$ .
Kontrola danych: $75 + 50 + 20 + 10 + 5 = \textcolor{#E0453A}{160}$ ✓ — zgadza się z liczbą pracowników podaną w treści, więc żaden słupek nie został źle odczytany.
Liczb jest $160$ , czyli parzyście wiele. Mediana to średnia płac na miejscach $\textcolor{#E0453A}{80}$ i $\textcolor{#E0453A}{81}$ .
Sumujemy narastająco, od najniższej płacy:
• $4000$ zł — miejsca $1$ – $\textcolor{#16A06A}{75}$ ,
• $4800$ zł — miejsca $76$ – $\textcolor{#E0453A}{125}$ ← tu wpadają obie: osiemdziesiątka i osiemdziesiątka pierwsza.
Obie środkowe płace są równe $\textcolor{#E0453A}{4800}$ zł, więc mediana wynosi $\textcolor{#E0453A}{4800}$ zł.
Odpowiedź: B.
Kontrola, dlaczego to nie jest średnia. Średnia płaca wynosi $\dfrac{75 \cdot 4000 + 50 \cdot 4800 + 20 \cdot 5000 + 10 \cdot 6000 + 5 \cdot 7000}{160} = \dfrac{735\,000}{160} \approx 4594$ zł — a więc mniej niż mediana, mimo że kilka osób zarabia bardzo dużo. To dobry przykład na to, że mediana i średnia odpowiadają na różne pytania.

💡 Wskazówka: Przy dużych liczbach nie ma co wypisywać zestawu — działa dokładnie ta sama metoda co przy dwudziestu danych: suma, numery środkowe, sumowanie narastające. Zauważ też, że pierwszy słupek ma $75$ osób, czyli prawie połowę wszystkich; to od razu podpowiada, że mediana wypadnie tuż za nim.

⚠ Odpowiedź $A$ — z uznania, że skoro najwięcej osób zarabia $4000$ zł, to tyle wynosi mediana. To jest dominanta, czyli wartość najczęstsza, a nie środkowa. Drugi błąd: odpowiedź $D$ , czyli $5500$ zł — liczba, której na diagramie w ogóle nie ma; bierze się z policzenia średniej ze skrajnych płac $\left(\tfrac{4000+7000}{2}\right)$ zamiast wartości środkowej zestawu.

Zadanie 5 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Średnia arytmetyczna zestawu danych:

x,\, 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, 10,\, 12,\, 14

jest równa

9

.

Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

A. $8$
B. $9$
C. $10$
D. $16$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie dwuetapowe: najpierw ze średniej wyliczamy $x$ , dopiero potem liczymy medianę. Bez pierwszego kroku nie da się zestawu uporządkować.
Krok pierwszy — z średniej. Danych jest $\textcolor{#16A06A}{8}$ , a średnia wynosi $\textcolor{#16A06A}{9}$ , więc suma wszystkich liczb to $8 \cdot 9 = \textcolor{#E0453A}{72}$ .
Suma znanych siedmiu liczb: $2+4+6+8+10+12+14 = \textcolor{#E0453A}{56}$ .
$x = \textcolor{#E0453A}{72} - \textcolor{#E0453A}{56} = \textcolor{#E0453A}{16}$
Krok drugi — mediana. Porządkujemy cały zestaw rosnąco, wstawiając szesnastkę na właściwe miejsce:
$\textcolor{#16A06A}{2},\ \textcolor{#16A06A}{4},\ \textcolor{#16A06A}{6},\ \textcolor{#16A06A}{8},\ \textcolor{#16A06A}{10},\ \textcolor{#16A06A}{12},\ \textcolor{#16A06A}{14},\ \textcolor{#E0453A}{16}$
Liczb jest osiem, czyli parzyście wiele — mediana to średnia czwartej i piątej:
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{8} + \textcolor{#E0453A}{10}}{2} = \textcolor{#E0453A}{9}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: mediana wyszła równa średniej, co przy tym zestawie ma sens — po dołożeniu szesnastki liczby tworzą ciąg $2, 4, \dots, 16$ o stałym skoku $2$ , a w takim ciągu środek i średnia zawsze się pokrywają. To dobra kontrola, ale nie skrót: gdyby $x$ wyszło inne, ta zbieżność by zniknęła.

💡 Wskazówka: Nie próbuj zgadywać mediany przed wyliczeniem $x$ — dopóki nie wiesz, jaka to liczba, nie wiesz, w którym miejscu zestawu stanie. Tutaj $x = 16$ okazuje się największa, więc trafia na koniec i nie rusza środka; gdyby wyszła mała, wskoczyłaby na początek i środek przesunąłby się o jedno miejsce.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $16$ — podanie wyliczonego $x$ zamiast mediany. To najczęstszy błąd w zadaniach dwuetapowych: pierwszy krok jest trudniejszy, więc jego wynik zostaje w pamięci jako „odpowiedź”. Drugi błąd: odpowiedź $A$ albo $C$ — wzięcie jednej z dwóch środkowych liczb zamiast ich średniej.

Zadanie 6 (grudzień 2014)1 pktśrednie

Średnia arytmetyczna zestawu danych:

3,\, 8,\, 3,\, 11,\, 3,\, 10,\, 3,\, x

jest równa

6

.

Mediana tego zestawu danych jest równa

A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok pierwszy — z średniej. Danych jest $\textcolor{#16A06A}{8}$ , średnia wynosi $\textcolor{#16A06A}{6}$ , więc suma to $8 \cdot 6 = \textcolor{#E0453A}{48}$ .
Suma znanych siedmiu liczb: $3+8+3+11+3+10+3 = \textcolor{#E0453A}{41}$ .
$x = \textcolor{#E0453A}{48} - \textcolor{#E0453A}{41} = \textcolor{#E0453A}{7}$
Krok drugi — mediana. Porządkujemy rosnąco cały zestaw, pamiętając, że trójki są cztery:
$\textcolor{#16A06A}{3},\ \textcolor{#16A06A}{3},\ \textcolor{#16A06A}{3},\ \textcolor{#16A06A}{3},\ \textcolor{#E0453A}{7},\ \textcolor{#16A06A}{8},\ \textcolor{#16A06A}{10},\ \textcolor{#16A06A}{11}$
Osiem liczb, więc mediana to średnia czwartej i piątej:
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3} + \textcolor{#E0453A}{7}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: sprawdzamy, czy uporządkowany zestaw ma nadal osiem elementów i sumę $48$ : $3+3+3+3+7+8+10+11 = 48$ ✓. Warto też zauważyć, że mediana ( $5$ ) wyszła mniejsza od średniej ( $6$ ) — bo trzy duże liczby ( $8$ , $10$ , $11$ ) ciągną średnią w górę, a mediany nie ruszają.

💡 Wskazówka: Przy porządkowaniu licz powtórzenia. Trójka występuje tu cztery razy i to ona decyduje o wyniku: zajmuje cztery pierwsze miejsca, więc czwarta liczba to jeszcze trójka, a piąta to dopiero wyliczone $x$ . Pominięcie jednej trójki przesuwa cały środek i zmienia odpowiedź.

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $7$ — podanie wyliczonego $x$ zamiast mediany, albo wzięcie tylko piątej liczby bez uśrednienia z czwartą. Drugi błąd: policzenie mediany bez $x$ , czyli z siedmiu liczb $3,3,3,3,8,10,11$ — wtedy środkową jest czwarta, czyli $3$ , i odpowiedź w ogóle nie występuje wśród podanych, co samo w sobie jest sygnałem pomyłki.

Zadanie 7 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Liczba

x

jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb:

1+x,\ 1+2x,\ 4+3x,\ 1

, jest równa

10

.

Wtedy

A. $x = 6$
B. $x = 5{,}5$
C. $x = 2{,}5$
D. $x = 1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zanim policzymy medianę, trzeba wiedzieć, w jakiej kolejności stoją te cztery liczby. Nie są podane rosnąco, ale da się to ustalić, bo treść mówi, że $x$ jest dodatnie.
Porównujemy je parami, korzystając z $x > 0$ :
• $\textcolor{#16A06A}{1}$ jest najmniejsza, bo pozostałe trzy są od niej większe o $x$ , $2x$ albo $3+3x$ ,
• $\textcolor{#16A06A}{1+x} < \textcolor{#16A06A}{1+2x}$ , bo $x < 2x$ dla dodatniego $x$ ,
• $\textcolor{#16A06A}{1+2x} < \textcolor{#16A06A}{4+3x}$ , bo prawa strona jest większa i o wyraz wolny, i o współczynnik przy $x$ .
Uporządkowany zestaw wygląda więc tak:
$\textcolor{#16A06A}{1},\ \textcolor{#16A06A}{1+x},\ \textcolor{#16A06A}{1+2x},\ \textcolor{#16A06A}{4+3x}$
Liczb jest cztery, więc mediana to średnia dwóch środkowych:
$\dfrac{(1+x) + (1+2x)}{2} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2 + 3x}}{2}$
Przyrównujemy do podanej wartości i rozwiązujemy:
$\dfrac{2 + 3x}{2} = \textcolor{#16A06A}{10} \quad\Longrightarrow\quad 2 + 3x = \textcolor{#E0453A}{20} \quad\Longrightarrow\quad x = \textcolor{#E0453A}{6}$
Odpowiedź: A.
Kontrola: wstawiamy $x = 6$ i wypisujemy cały zestaw: $1+6 = 7$ , $1+12 = 13$ , $4+18 = 22$ oraz $1$ . Po uporządkowaniu: $1,\ 7,\ 13,\ 22$ — rzeczywiście rosnąco ✓, a mediana to $\tfrac{7+13}{2} = 10$ ✓. Sprawdzamy też, czy $x = 6$ jest dodatnie, bo to warunek z treści — jest.

💡 Wskazówka: Najpierw uporządkuj wyrażenia, dopiero potem układaj równanie. Informacja „liczba $x$ jest dodatnia” jest tu daną, a nie ozdobnikiem: to dzięki niej wiadomo, że $1+x$ jest mniejsze od $1+2x$ , a więc które dwa wyrażenia są środkowe. Gdyby $x$ mogło być ujemne, kolejność by się odwróciła i trzeba by rozważać przypadki.

⚠ Ułożenie równania z liczb w podanej kolejności, czyli potraktowanie $1+2x$ i $4+3x$ jako środkowych. Wychodzi wtedy $\tfrac{5+5x}{2} = 10$ , czyli $x = 3$ — liczba, której nie ma wśród odpowiedzi, więc błąd sam się ujawnia. Drugi błąd: pominięcie jedynki na końcu listy i policzenie mediany z trzech liczb jako środkowej $1+2x$ ; wychodzi wtedy $x = 4{,}5$ , też spoza listy.

Zadanie 8 (maj 2019)1 pkttrudniejsze

Mediana zestawu sześciu danych liczb:

4,\, 8,\, 21,\, a,\, 16,\, 25

, jest równa

14

.

Zatem

A. $a = 7$
B. $a = 12$
C. $a = 14$
D. $a = 20$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tym razem zestaw nie jest uporządkowany i nie wiemy, gdzie stanie $a$ — więc zamiast zgadywać, ustawmy rosnąco to, co znamy:
$\textcolor{#16A06A}{4},\ \textcolor{#16A06A}{8},\ \textcolor{#16A06A}{16},\ \textcolor{#16A06A}{21},\ \textcolor{#16A06A}{25}$
Danych jest sześć, więc mediana to średnia trzeciej i czwartej. Skoro ma wynosić $\textcolor{#16A06A}{14}$ , to suma dwóch środkowych musi być równa $2 \cdot 14 = \textcolor{#E0453A}{28}$ .
Sprawdźmy, czy $a$ może wypaść poza środkiem. Gdyby $a$ było bardzo małe (mniejsze od $4$ ), zestaw wyglądałby tak: $a, 4, 8, 16, 21, 25$ , a środkowymi byłyby $8$ i $16$ — ich suma to $24$ , a nie $28$ ✗. Gdyby $a$ było bardzo duże, środkowymi byłyby $16$ i $21$ , czyli suma $37$ ✗.
Zatem $a$ musi wpaść w środek, między $8$ a $16$ . Wtedy zestaw to $4,\ 8,\ a,\ 16,\ 21,\ 25$ , a środkowymi są $\textcolor{#E0453A}{a}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{16}$ :
$a + \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{28} \quad\Longrightarrow\quad a = \textcolor{#E0453A}{12}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: wstawiamy $a = 12$ i porządkujemy cały zestaw: $4, 8, 12, 16, 21, 25$ . Środkowe to $12$ i $16$ , a ich średnia to $\tfrac{12+16}{2} = 14$ ✓. Sprawdzamy jeszcze, czy dwunastka rzeczywiście mieści się między ósemką a szesnastką — mieści ✓, więc założenie, na którym oparliśmy równanie, się broni.

💡 Wskazówka: Gdy niewiadoma może stanąć w różnych miejscach zestawu, najpierw ustal, gdzie musi stanąć, a dopiero potem układaj równanie. Najszybciej sprawdzić skrajne przypadki: $a$ bardzo małe i $a$ bardzo duże. Jeśli żaden nie daje wymaganej mediany, to znaczy, że $a$ jest jedną z liczb środkowych — i wtedy równanie pisze się samo.

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $a = 14$ — z założenia, że skoro mediana wynosi $14$ , to taka liczba musi być w zestawie. Przy parzystej liczbie danych mediana zwykle w zestawie nie występuje, bo jest średnią dwóch różnych liczb. Drugi błąd: ułożenie równania $\tfrac{a+21}{2} = 14$ — z policzenia miejsc w oryginalnej, nieuporządkowanej kolejności, gdzie na trzecim i czwartym miejscu stoją $21$ i $a$ .

Zadanie 9 (maj 2020)1 pktśrednie

Cztery liczby:

2

3

a

8

, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych:

5

3

6

8

2

. Zatem

A. $a = 7$
B. $a = 6$
C. $a = 5$
D. $a = 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — najpierw ten zestaw, w którym nie ma niewiadomej. Zestaw pięciu danych to $\textcolor{#16A06A}{5},\ \textcolor{#16A06A}{3},\ \textcolor{#16A06A}{6},\ \textcolor{#16A06A}{8},\ \textcolor{#16A06A}{2}$ — i nie jest uporządkowany, a mediany bez uporządkowania policzyć się nie da.
$\textcolor{#16A06A}{2},\quad \textcolor{#16A06A}{3},\quad \textcolor{#16A06A}{5},\quad \textcolor{#16A06A}{6},\quad \textcolor{#16A06A}{8}$
Danych jest pięć, czyli nieparzyście wiele, więc mediana to po prostu środkowa z nich — trzecia z kolei:
$\text{mediana} = \textcolor{#E0453A}{5}$
Krok 2 — teraz zestaw z niewiadomą. Liczby $\textcolor{#16A06A}{2},\ \textcolor{#16A06A}{3},\ a,\ \textcolor{#16A06A}{8}$ są — jak mówi treść — już uporządkowane rosnąco. To ważna informacja: dzięki niej wiadomo, że $a$ stoi na trzecim miejscu, a nie gdzie indziej.
Danych jest cztery, czyli parzyście wiele, więc mediana to średnia dwóch środkowych — drugiej i trzeciej:
$\text{mediana} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + a}{2}$
Krok 3 — przyrównanie. Obie mediany mają być równe:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + a}{2} = \textcolor{#E0453A}{5} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#16A06A}{3} + a = \textcolor{#E0453A}{10} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{7}$
Odpowiedź: A.
Kontrola — sprawdzenie wprost. Podstawiamy $a = \textcolor{#E0453A}{7}$ do pierwszego zestawu: $\textcolor{#16A06A}{2},\ \textcolor{#16A06A}{3},\ \textcolor{#E0453A}{7},\ \textcolor{#16A06A}{8}$ . Rosnąco? Tak, bo $\textcolor{#16A06A}{3} < \textcolor{#E0453A}{7} < \textcolor{#16A06A}{8}$ ✓. Mediana: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#E0453A}{7}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$ ✓ — zgadza się z medianą drugiego zestawu.
Kontrola zakresem, bez rachunku: skoro zestaw jest uporządkowany rosnąco, to $a$ musi leżeć między $\textcolor{#16A06A}{3}$ a $\textcolor{#16A06A}{8}$ . Wszystkie cztery odpowiedzi ten warunek spełniają, więc sam zakres tu nie wystarcza — ale odsiewa każdą liczbę spoza przedziału, gdyby taka się w opcjach pojawiła.

💡 Wskazówka: Dwa zestawy, dwie różne reguły — i to jest cała trudność tego zadania. Przy nieparzystej liczbie danych mediana to jedna, środkowa liczba; przy parzystej — średnia dwóch środkowych. Zanim policzysz cokolwiek, policz, ile jest danych w każdym zestawie. I pamiętaj, że przed liczeniem mediany dane muszą być uporządkowane: w drugim zestawie nie są, w pierwszym treść zapewnia, że są.

⚠ Policzenie mediany zestawu pięciu danych bez uporządkowania — wtedy jako „środkową” bierze się liczbę $6$ , która stoi w środku zapisu, i wychodzi $a = 9$ , czyli odpowiedź spoza listy. Drugi typowy błąd to potraktowanie zestawu czterech danych jak nieparzystego i wzięcie za medianę samego $a$ ; wychodzi wtedy $a = 5$ , czyli dystraktor C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. C	3. C	4. B	5. B	6. A
7. A	8. B	9. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

6Pytania i odpowiedzi

Czy dane trzeba porządkować rosnąco, czy można malejąco?

Można w dowolną stronę, byle konsekwentnie — środek zestawu jest ten sam niezależnie od kierunku. Rosnąco jest po prostu wygodniej, bo tak zapisuje się wyniki i łatwiej sprawdzić kolejność.

Co zrobić, gdy dane się powtarzają?

Nic szczególnego — powtórzone wartości wypisujemy tyle razy, ile występują, i traktujemy jak osobne dane. Zestaw $4, 5, 5, 6, 60$ ma pięć danych, nie cztery.

Czy mediana może być liczbą, której nie ma w danych?

Tak, przy parzystej liczbie danych. Dla $7, 9, 11, 12$ mediana wynosi $10$ , choć takiej liczby w zestawie nie ma — to średnia dwóch środkowych wyrazów.

Dlaczego o zarobkach podaje się medianę, a nie średnią?

Bo kilka bardzo wysokich wynagrodzeń podnosi średnią tak, że przestaje ona opisywać typowy przypadek. Mediana mówi wprost: połowa zarabia mniej, połowa więcej.

Czy mediana wystarczy do opisania danych?

Nie. Mówi, gdzie leży środek, ale nic o rozrzucie — dwa bardzo różne zestawy mogą mieć tę samą medianę. Dlatego podaje się ją razem ze średnią albo z miarą rozproszenia.

Czytaj dalej

StatystykaTrzy miary obok siebie: średnia, mediana i dominanta, oraz to, kiedy która myli.Średnia arytmetycznaMiara, z którą medianę porównuje się najczęściej — i która inaczej reaguje na dane skrajne.Odczytywanie danych z wykresuPrzydatne, gdy dane do policzenia mediany trzeba najpierw odczytać z diagramu.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.