Strona główna › Ciągi › Suma ciągu arytmetycznego

Suma ciągu arytmetycznego

Q: Który wzór na sumę wybrać?

Ten, do którego masz komplet danych. Gdy znasz ostatni wyraz — postać ze średnią z końców. Gdy znasz różnicę — postać z (n-1)r. Oba dają identyczny wynik, bo drugi powstaje przez podstawienie a_n do pierwszego.

Q: Czy suma ciągu arytmetycznego może być ujemna?

Tak, jeśli przeważają wyrazy ujemne. Suma nie musi też być monotoniczna: przy ujemnej różnicy najpierw rośnie, a po przekroczeniu ostatniego dodatniego wyrazu zaczyna maleć.

Q: Jak szybko policzyć sumę liczb od 1 do 100?

Sparować końce: 1+100, 2+99 i tak dalej. Każda para daje 101, par jest 50, więc suma wynosi 5050. To ta sama sztuczka, na której stoi cały wzór.

Q: Czym różni się suma arytmetyczna od geometrycznej?

Arytmetyczna jest przy niezerowej różnicy funkcją kwadratową liczby wyrazów i ostatecznie ucieka do nieskończoności — w górę przy dodatniej różnicy, w dół przy ujemnej — choć po drodze potrafi zmienić kierunek. Geometryczna zawiera potęgę ilorazu i przy |q| < 1 zbliża się do skończonej wartości.

Q: Co zrobić, gdy równanie na n ma dwa rozwiązania naturalne?

Sprawdzić treść. Przy ujemnej różnicy suma naprawdę może osiągnąć tę samą wartość dwukrotnie i wtedy obie liczby są poprawne. Jeśli zadanie pyta o najmniejsze n, wybieramy mniejsze.

Q: Po co liczyć sumę ciągu w zadaniach o kredycie?

Bo pytanie o „całkowity koszt kredytu” to pytanie o sumę wszystkich odsetek, a nie o odsetki w jednej racie. Przy ratach malejących odsetki tworzą ciąg arytmetyczny — maleją o stałą kwotę, bo kapitał do spłaty maleje o stałą kwotę — więc cały rachunek sprowadza się do wzoru S_n = n(a_1 + a_n)/2. Dla kredytu 24 000 zł na 24 raty przy 1% miesięcznie daje to 3000 zł.

Sumę wyrazów ciągu arytmetycznego da się policzyć bez dodawania — i to nie dlatego, że ktoś wymyślił sprytny wzór, tylko dlatego, że wyrazy z dwóch końców zawsze dają tę samą sumę. Cała reszta z tego wynika. Ta strona pokazuje sztuczkę, dwie równoważne postacie wzoru i typ zadania, w którym szukaną jest nie suma, lecz liczba wyrazów.

Dział: CiągiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 17

Przejdź od razu do zadań (17) ↓

1Sztuczka z parowaniem końców

Weźmy sumę liczb od $1$ do $100$ . Zamiast dodawać po kolei, zestawmy pierwszą z ostatnią, drugą z przedostatnią i tak dalej:

$1 + 100 = 101$
$2 + 99 = 101$
$3 + 98 = 101$

Suma każdej pary jest taka sama, bo idąc od lewej dodajemy jeden, a idąc od prawej odejmujemy jeden. Par jest $50$ , więc cała suma to $50 \cdot 101 = 5050$ .

To nie jest ciekawostka o liczbach od $1$ do $100$ — to własność każdego ciągu arytmetycznego. Skrajne wyrazy oddalają się od środka symetrycznie, więc ich suma nie zależy od tego, którą parę weźmiemy.

Dlaczego pary zawsze się równoważą

Weźmy wyraz $k$ -ty od początku, czyli $a_1 + (k-1)r$ , oraz $k$ -ty od końca, czyli $a_n - (k-1)r$ .

Ich suma wynosi $a_1 + a_n$ — składniki z $r$ znoszą się niezależnie od $k$ .

Dlatego wystarczy znać pierwszy i ostatni wyraz. Środek ciągu nie ma na sumę żadnego wpływu poza tym, ile jest wyrazów.

Stąd bezpośrednio wychodzi wzór. Przy parzystej liczbie wyrazów par jest $\frac{n}{2}$ i każda daje $a_1 + a_n$ . Przy nieparzystej par jest $\frac{n-1}{2}$ , a wyraz ze środka zostaje bez pary — równa się jednak dokładnie $\frac{a_1 + a_n}{2}$ , czyli liczy się jak pół pary, i rachunek wychodzi ten sam:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Zapis $\frac{a_1 + a_n}{2}$ warto przeczytać jako średnią z pierwszego i ostatniego wyrazu. Suma to ta średnia pomnożona przez liczbę wyrazów — dokładnie tak, jakby wszystkie wyrazy były równe tej średniej.

2Druga postać wzoru — gdy ostatniego wyrazu nie znamy

Pierwsza postać wymaga $a_n$ . Często zadanie podaje zamiast tego różnicę $r$ — wtedy zamiast liczyć $a_n$ osobno, wygodniej podstawić $a_n = a_1 + (n-1)r$ prosto do wzoru:

S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n

To ten sam wzór, nie drugi do zapamiętania. Wybór między nimi zależy wyłącznie od tego, co jest w treści zadania:

co podano	której postaci użyć
$a_1$ , $a_n$ i $n$	$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
$a_1$ , $r$ i $n$	$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$
$a_1$ , $r$ i $S_n$ , szukane $n$	druga postać, bo prowadzi do równania kwadratowego

Sam wzór na pojedynczy wyraz omawiam osobno — tutaj potrzebny jest tylko jako składnik.

Nawiasu $(n-1)$ pilnuj szczególnie w tej postaci. Wyraz $a_n$ jest oddalony od $a_1$ o $n-1$ kroków, nie o $n$ — ta jedynka jest najłatwiejsza do przeoczenia, bo wynik i tak wychodzi liczbą wyglądającą sensownie.

3Suma jako funkcja liczby wyrazów

Jeżeli w drugiej postaci wymnożymy nawiasy, zobaczymy coś, co odróżnia sumę arytmetyczną od geometrycznej:

S_n = \frac{r}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{r}{2}\right)n

Przy $r \neq 0$ suma jest funkcją kwadratową zmiennej $n$ — bez wyrazu wolnego. (Dla $r = 0$ współczynnik $\frac{r}{2}$ znika i zostaje zwykła funkcja liniowa $S_n = a_1 n$ .) Dwie rzeczy z tego wynikają i obie bywają treścią zadania.

Przy $r > 0$ i dodatnim $a_1$ suma rośnie coraz szybciej, bo dochodzą coraz większe wyrazy. Wykres jest fragmentem paraboli o ramionach w górę. Przy ujemnym $a_1$ początek wygląda odwrotnie: dla $a_1 = -100$ i $r = 1$ suma spada, aż do $S_{100} = -5050$ , i dopiero potem rośnie. Uwaga na przypadek graniczny, o którym piszę przy czwartym przykładzie: sto pierwszy wyraz tego ciągu jest zerem, więc $S_{101}$ równa się $S_{100}$ — minimum osiągają tu dwie kolejne sumy, a nie jedna.
Przy $r < 0$ i dodatnim $a_1$ suma najpierw rośnie, potem zaczyna maleć — od momentu, w którym dokładane wyrazy stają się ujemne. Jeśli już $a_1$ jest ujemne, wzrostu nie ma wcale: suma maleje od pierwszego kroku.

Drugi przypadek jest źródłem klasycznego pytania: dla ilu wyrazów suma jest największa? Odpowiedź nie wymaga rachunku pochodnych — wystarczy sprawdzić, do którego miejsca wyrazy są jeszcze dodatnie. Ostatni dodatni wyraz wyznacza koniec wzrostu sumy.

Ta obserwacja jest zarazem najkrótszym sposobem odróżnienia obu rodzajów sum. Suma ciągu geometrycznego, którą opisuję osobno, zawiera potęgę $q^n$ i potrafi zbliżać się do skończonej wartości. Suma arytmetyczna zachowuje się jak parabola i przy $r \neq 0$ zawsze ucieka do nieskończoności — w górę albo w dół.

Kontrola rzędu wielkości

Zanim uznasz wynik za gotowy, porównaj go z iloczynem $n \cdot a_{\text{środkowy}}$ .

Suma musi być bliska liczbie wyrazów pomnożonej przez wyraz ze środka ciągu — bo średnia z końców to właśnie okolica środka.

Wynik różniący się od tego szacunku dwukrotnie zwykle oznacza zgubione dzielenie przez $2$ .

4Kiedy szukaną jest liczba wyrazów

Jeśli zadanie podaje sumę, a pyta o $n$ , wzór staje się równaniem kwadratowym. Schemat jest zawsze ten sam: podstaw dane, pomnóż obie strony przez $2$ , przenieś wszystko na jedną stronę.

Otrzymane równanie ma zwykle dwa rozwiązania, ale najczęściej tylko jedno z nich jest odpowiedzią. Liczba wyrazów musi być liczbą naturalną dodatnią, więc pierwiastek ujemny lub ułamkowy odrzucamy — i warto to w rozwiązaniu napisać, bo za samo odrzucenie bywa punkt.

Jeżeli oba pierwiastki wychodzą naturalne, to nie pomyłka. Przy ujemnej różnicy suma może osiągnąć tę samą wartość dwa razy: raz w drodze w górę, raz w drodze w dół. W ciągu $10, 8, 6, 4, \ldots$ zachodzi to dla $S_1 = S_{10} = 10$ , bo wyrazy od drugiego do dziesiątego sumują się do zera. Wtedy poprawne są obie odpowiedzi, chyba że treść zawęża wybór.

Technikę rozwiązywania takich równań opisuję na stronie o równaniach kwadratowych; tutaj liczy się tylko to, żeby dobrze je ułożyć.

5Gdzie sumuje się ciąg arytmetyczny

Sam wzór jest w podstawie wymieniony wprost — dział VI. Ciągi, zakres podstawowy, punkt 5: „stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego”. Osobny punkt 7 tego samego działu odpowiada za zastosowania: „wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym”. Suma ciągu arytmetycznego pojawia się wszędzie tam, gdzie coś przyrasta lub ubywa o stałą liczbę jednostek i pytamy o łączny efekt.

Najczęstszy przypadek na maturze to kredyt z ratami malejącymi. Kapitał spłaca się w równych częściach, więc odsetki liczone od pozostałej kwoty maleją za każdym razem o tyle samo — i to właśnie one tworzą ciąg arytmetyczny.

sytuacja	co tworzy ciąg	o co pyta zadanie
kredyt z ratami malejącymi	odsetki w kolejnych ratach	łączny koszt kredytu
stos rur, każda warstwa o jedną mniej	liczba rur w warstwie	ile rur w całym stosie
pensja rosnąca co roku o stałą kwotę	zarobek w kolejnych latach	ile zarobi przez dekadę
bieg z coraz dłuższym dystansem	kilometry w kolejnych dniach	ile kilometrów łącznie

W każdym z tych zadań pułapka jest ta sama i polega na pomyleniu wyrazu z sumą. „Ile odsetek w ostatniej racie” to wyraz ciągu, a „ile odsetek zapłacimy łącznie” to suma — i te dwie liczby dzielą zwykle dwa rzędy wielkości.

Dlaczego raty malejące są tańsze

Przy kredycie $24\,000$ zł na $24$ raty i oprocentowaniu $1\%$ miesięcznie odsetki idą $240, 230, 220, \ldots, 10$ zł. To ciąg arytmetyczny o różnicy $-10$ , a jego suma wynosi $3000$ zł. Gdyby odsetki naliczano cały czas od pełnej kwoty, byłoby ich $24 \cdot 240 = 5760$ zł — prawie dwa razy więcej. Malejące raty są tańsze właśnie dlatego, że odsetki liczy się od tego, co zostało do spłaty.

6Przykłady krok po kroku

Pięć typowych sytuacji: suma z różnicy, suma z ostatniego wyrazu, szukanie liczby wyrazów, suma osiągająca maksimum i łączne odsetki kredytu.

Przykład 1 Suma z pierwszego wyrazu i różnicy

W ciągu arytmetycznym $a_1 = 3$ oraz $r = 5$ . Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów.

Znam $a_1$ , $r$ i $n$ , więc biorę drugą postać wzoru.
$S_{20} = \frac{2 \cdot 3 + 19 \cdot 5}{2} \cdot 20 = \frac{6 + 95}{2} \cdot 20$
$= \frac{101}{2} \cdot 20 = 101 \cdot 10 = 1010$
Kontrola pierwszą postacią: $a_{20} = 3 + 19 \cdot 5 = 98$ , więc $S_{20} = \frac{3 + 98}{2} \cdot 20 = 1010$ ✓
Kontrola rzędu wielkości: wyraz ze środka ciągu to około $50$ , a $20 \cdot 50 = 1000$ — wynik jest w tej okolicy ✓

Odpowiedź: $S_{20} = 1010$

Zwróć uwagę na $19$ zamiast $20$ w nawiasie. Od pierwszego do dwudziestego wyrazu wykonujemy dziewiętnaście kroków po $r$ — to ta sama jedynka, co we wzorze na $a_n$ .

Przykład 2 Suma, gdy znany jest ostatni wyraz

Ciąg arytmetyczny ma trzynaście wyrazów, pierwszy równy $-8$ , a ostatni $40$ . Oblicz sumę wszystkich wyrazów oraz różnicę ciągu.

Mam oba końce i liczbę wyrazów, więc pierwsza postać wzoru wystarczy.
$S_{13} = \frac{-8 + 40}{2} \cdot 13 = \frac{32}{2} \cdot 13 = 16 \cdot 13 = 208$
Różnica: od pierwszego do trzynastego wyrazu jest dwanaście kroków, więc $r = \frac{40 - (-8)}{12} = \frac{48}{12} = 4$ .
Kontrola drugą postacią: $\frac{2 \cdot (-8) + 12 \cdot 4}{2} \cdot 13 = \frac{-16 + 48}{2} \cdot 13 = 16 \cdot 13 = 208$ ✓
Kontrola sensu: średnia z końców wynosi $16$ , a wyraz środkowy — siódmy — to $-8 + 6 \cdot 4 = 16$ ✓ (to nie przypadek, tylko istota sztuczki z parowaniem)

Odpowiedź: $S_{13} = 208$ , $r = 4$

Przy nieparzystej liczbie wyrazów wyraz środkowy jest dokładnie równy średniej z końców. To najszybsza kontrola, jaką można zrobić w pamięci.

Przykład 3 Szukana liczba wyrazów

W ciągu arytmetycznym $a_1 = 2$ oraz $r = 3$ . Ile początkowych wyrazów trzeba dodać, żeby otrzymać $155$ ?

Podstawiam do drugiej postaci: $\frac{2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 3}{2} \cdot n = 155$ .
Upraszczam licznik: $4 + 3n - 3 = 3n + 1$ , więc $\frac{(3n+1) \cdot n}{2} = 155$ .
Mnożę obie strony przez $2$ : $3n^2 + n = 310$ , czyli $3n^2 + n - 310 = 0$ .
$\Delta = 1 + 4 \cdot 3 \cdot 310 = 3721$ , a $\sqrt{3721} = 61$ .
$n = \frac{-1 + 61}{6} = 10$ albo $n = \frac{-1 - 61}{6}$ , czyli liczba ujemna — odrzucam, bo wyrazów nie może być ujemnie wiele.
Kontrola: $a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$ , więc $S_{10} = \frac{2 + 29}{2} \cdot 10 = 155$ ✓

Odpowiedź: $n = 10$

Zapisanie, dlaczego drugi pierwiastek odpada, jest częścią rozwiązania. Samo podanie $n = 10$ bez tego zdania bywa oceniane niżej, bo nie widać, że oba rozwiązania zostały rozważone.

Przykład 4 Suma, która przestaje rosnąć

W ciągu arytmetycznym $a_1 = 27$ oraz $r = -4$ . Dla ilu początkowych wyrazów suma jest największa?

Suma rośnie tak długo, jak długo dokładane wyrazy są dodatnie.
Szukam ostatniego dodatniego wyrazu: $27 + (n-1) \cdot (-4) > 0$ .
$27 - 4n + 4 > 0$ , czyli $31 > 4n$ , a stąd $n < 7{,}75$ .
Największa liczba naturalna spełniająca ten warunek to $7$ , więc siódmy wyraz jest ostatnim dodatnim.
Sprawdzam: $a_7 = 27 + 6 \cdot (-4) = 3$ — dodatni, a $a_8 = -1$ — ujemny ✓
Kontrola sumami: $S_7 = \frac{27 + 3}{2} \cdot 7 = 105$ , natomiast $S_8 = 105 + (-1) = 104$ — mniej ✓

Odpowiedź: Suma jest największa dla $n = 7$ i wynosi $105$ .

Gdyby któryś wyraz był równy dokładnie zero, dwie kolejne sumy byłyby równe i obie odpowiedzi byłyby poprawne. Warto sprawdzić ten przypadek, zanim poda się jedną liczbę.

Przykład 5 Łączne odsetki kredytu

Kredyt $24\,000$ zł spłacany jest w $24$ ratach kapitałowych po $1000$ zł. Do każdej raty doliczane są odsetki w wysokości $1\%$ pozostałego do spłaty kapitału. Ile wyniosą łączne odsetki?

W pierwszej racie kapitał do spłaty wynosi $\textcolor{#16A06A}{24\,000}$ zł, więc odsetki to:
$a_1 = 1\% \cdot 24\,000 = \textcolor{#E0453A}{240} \text{ zł}$
Po każdej racie kapitał maleje o $1000$ zł, więc odsetki maleją o $1\%$ z tej kwoty:
$d = -1\% \cdot 1000 = \textcolor{#E0453A}{-10} \text{ zł}$
W ostatniej, dwudziestej czwartej racie zostaje do spłaty $1000$ zł:
$a_{24} = 1\% \cdot 1000 = \textcolor{#E0453A}{10} \text{ zł}$
Teraz suma — bo pytanie dotyczy łącznych odsetek:
$S_{24} = \frac{24 \cdot (240 + 10)}{2} = \frac{24 \cdot 250}{2} = \textcolor{#E0453A}{3000} \text{ zł}$

Odpowiedź: $3000$ zł odsetek, czyli $27\,000$ zł łącznie do spłaty

Sprawdziłem tę sumę drugą drogą — dodając dwadzieścia cztery raty po kolei — i wychodzi ta sama liczba. Warto zauważyć, że ciąg jest arytmetyczny nie z założenia, tylko dlatego, że kapitał maleje o stałą kwotę: wszystkie dwadzieścia trzy różnice są równe $-10$ zł.

7Najczęstsze błędy

Trzy pierwsze błędy dotyczą samego wzoru, dwa ostatnie — czytania zadania.

Wstawianie $n$ zamiast $n-1$ przy różnicy.

Skąd się bierze: „Dwadzieścia wyrazów” sugeruje dwadzieścia kroków, a kroków jest dziewiętnaście.

Jak zrobić dobrze: Policz na palcach dla trzech wyrazów: $a_1$ , $a_1+r$ , $a_1+2r$ . Trzeci wyraz ma dwa $r$ — zawsze o jeden mniej niż numer.

Pominięcie dzielenia przez $2$ .

Skąd się bierze: Wzór bywa zapamiętywany jako „suma końców razy liczba wyrazów”, a to daje wynik dwukrotnie za duży.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź rzędem wielkości: wynik powinien być bliski $n$ razy wyraz środkowy. Podwójna wartość rzuca się w oczy natychmiast.

Stosowanie wzoru na sumę do ciągu, który nie jest arytmetyczny.

Skąd się bierze: Ciąg zadany wzorem ogólnym wygląda regularnie, więc wzór bywa użyty bez sprawdzenia.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy różnica dwóch dowolnych sąsiednich wyrazów jest stała. Jeśli $a_{n+1} - a_n$ zależy od $n$ , ciąg nie jest arytmetyczny i wzór nie działa.

Podanie sumy tam, gdzie pytano o liczbę wyrazów.

Skąd się bierze: W zadaniach z równaniem kwadratowym po drodze pojawiają się obie liczby.

Jak zrobić dobrze: Zaznacz w treści, co jest szukane, zanim zaczniesz liczyć. To ten sam nawyk, co przy odczycie argumentu i wartości z wykresu.

Przyjęcie ujemnego lub ułamkowego $n$ jako rozwiązania.

Skąd się bierze: Równanie kwadratowe daje dwa pierwiastki, a mechaniczne rozwiązanie kończy się na ich wypisaniu.

Jak zrobić dobrze: Liczba wyrazów jest liczbą naturalną dodatnią. Napisz w rozwiązaniu, który pierwiastek odrzucasz i dlaczego.

Zadania maturalne — suma ciągu arytmetycznego

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Wszystkie te zadania obsługuje jeden wzór: $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ — suma to średnia pierwszego i ostatniego wyrazu, pomnożona przez ich liczbę. Warto go pamiętać właśnie w tej postaci, bo wtedy widać, dlaczego działa: wyrazy dobierają się w pary o jednakowej sumie. Gdy nie znamy

a_n

, dochodzi drugi wzór,

a_n = a_1 + (n-1)r

, i tyle wystarcza. Kierunek liczenia bywa odwrotny: czasem z sumy wyznacza się wyraz, a nie z wyrazów sumę.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2019)1 pktłatwe

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla

n \geqslant 1

, dane są dwa wyrazy:

a_1 = -11

a_9 = 5

. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $(-24)$
B. $(-27)$
C. $(-16)$
D. $(-18)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Dane są pierwszy i ostatni wyraz sumowanego fragmentu, więc wzór na sumę stosujemy wprost — różnicy ciągu wcale nie trzeba znać.
$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
$S_9 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-11} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-6}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = \textcolor{#E0453A}{-3} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = -27$
Odpowiedź: B.
Kontrola przez wypisanie ciągu. Z $a_1 = -11$ i $a_9 = 5$ mamy $8r = 16$ , czyli $r = \textcolor{#E0453A}{2}$ , a ciąg to $-11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5$ . Dodając od końców: $(-11+5) + (-9+3) + (-7+1) + (-5-1) = -6-6-6-6 = -24$ , plus środkowy wyraz $-3$ , razem $-27$ ✓
Ta kontrola pokazuje przy okazji, dlaczego wzór działa: wyrazy dobierają się w pary o jednakowej sumie, a przy nieparzystej liczbie wyrazów jeden zostaje w środku i jest równy właśnie średniej.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj wzór jako „średnia skrajnych razy liczba wyrazów” — wtedy nie ma jak pomylić kolejności działań. Tu średnia $-11$ i $5$ to $-3$ , a wyrazów jest $9$ , więc suma to $-27$ . Gdy oba skrajne wyrazy są dane, jest to najkrótsza droga w całym dziale ciągów.

⚠ Dodanie $a_1$ i $a_9$ bez dzielenia przez dwa, a potem mnożenie przez $9$ — wychodzi $-54$ , liczby spoza odpowiedzi. Groźniejsze jest pomylenie liczby wyrazów: „od $a_1$ do $a_9$ ” to dziewięć wyrazów, nie osiem. Przy ośmiu suma wyszłaby $-24$ , czyli dokładnie odpowiedź A.

Zadanie 2 (maj 2019)1 pktłatwe

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla

n \geqslant 1

, dane są dwa wyrazy:

a_1 = 7

a_8 = -49

. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $(-168)$
B. $(-189)$
C. $(-21)$
D. $(-42)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Znowu dane są oba skrajne wyrazy, więc wzór stosujemy wprost:
$S_8 = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7} + (\textcolor{#16A06A}{-49})}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-42}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{-21} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = -168$
Odpowiedź: A.
Kontrola: $7r = -49 - 7 = -56$ , więc $r = \textcolor{#E0453A}{-8}$ , a ciąg to $7, -1, -9, -17, -25, -33, -41, -49$ . Sumując parami od końców: $(7-49) + (-1-41) + (-9-33) + (-17-25) = -42 - 42 - 42 - 42 = -168$ ✓ Cztery pary po $-42$ — dokładnie tak, jak przewiduje wzór.

💡 Wskazówka: Liczba $-42$ z odpowiedzi D to suma skrajnych wyrazów, a $-21$ z odpowiedzi C to ich średnia. Oba te wyniki pojawiają się po drodze, więc trzeba doprowadzić rachunek do końca: średnią mnożymy jeszcze przez liczbę wyrazów.

⚠ Zatrzymanie się na jednym z kroków pośrednich — dokładnie dlatego odpowiedzi C i D podają $-21$ i $-42$ . Warto sobie zapisać, czego szukamy („suma ośmiu wyrazów”), zanim zacznie się liczyć. Drugi błąd: odpowiedź $-189$ powstaje z pomnożenia średniej przez $9$ zamiast przez $8$ , czyli z policzenia o jeden wyraz za dużo.

Zadanie 3 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla

n \geqslant 1

, dane są dwa wyrazy:

a_2 = 11

a_4 = 7

. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $36$
B. $40$
C. $13$
D. $20$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Tym razem żaden z danych wyrazów nie jest pierwszy, więc najpierw musimy dojść do $a_1$ . Zaczynamy od różnicy.
Różnica. Od $a_2$ do $a_4$ są dwa kroki, więc
$\textcolor{#16A06A}{2}r = \textcolor{#16A06A}{7} - \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{-4} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Pierwszy wyraz — cofamy się o jeden krok od $a_2$ :
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{11} - \textcolor{#E0453A}{(-2)} = \textcolor{#E0453A}{13}$
Suma:
$S_4 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{13} + \textcolor{#16A06A}{7}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{20}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{10} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 40$
Odpowiedź: B.
Kontrola przez wypisanie: ciąg to $13, 11, 9, 7$ , a jego suma to $13+11+9+7 = 40$ ✓ Przy czterech wyrazach wypisanie jest zresztą równie szybkie jak wzór.

💡 Wskazówka: Gdy między danymi wyrazami jest kilka kroków, policz najpierw $r$ z różnicy indeksów: od $a_2$ do $a_4$ są dwa kroki, więc dzielimy przez $2$ , a nie przez $4$ . Najczęstsza pomyłka w całym dziale to dzielenie przez sam indeks. Przy tak krótkim ciągu warto potem po prostu wypisać wszystkie cztery wyrazy — to samo w sobie jest sprawdzeniem.

⚠ Odpowiedź $20$ to suma skrajnych wyrazów $a_1 + a_4 = 13 + 7$ , czyli krok pośredni. Odpowiedź $13$ to samo $a_1$ — też liczba, która wychodzi po drodze. Oba dystraktory są ustawione na przerwanie rachunku. Trzeci błąd: policzenie $r$ jako $7 - 11 = -4$ (bez dzielenia przez dwa), co daje $a_1 = 15$ i sumę $36$ , czyli odpowiedź A.

Zadanie 4 (maj 2020)1 pktśrednie

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla

n \geqslant 1

, czwarty wyraz jest równy

3

, a różnica tego ciągu jest równa

5

. Suma

a_1 + a_2 + a_3 + a_4

jest równa

A. $(-42)$
B. $(-36)$
C. $(-18)$
D. $6$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Dane są wyraz czwarty i różnica, więc do pierwszego wyrazu trzeba się cofnąć o trzy kroki — a cofanie się oznacza odejmowanie różnicy.
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#E0453A}{15} = \textcolor{#E0453A}{-12}$
Suma:
$S_4 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-12} + \textcolor{#16A06A}{3}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-9}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{-4{,}5} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = -18$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wypisanie: $-12,\ -7,\ -2,\ 3$ — kolejne wyrazy różnią się o $5$ ✓, a ich suma to $-12-7-2+3 = -18$ ✓

💡 Wskazówka: Kluczowa jest liczba kroków: od $a_4$ do $a_1$ jest ich trzy, nie cztery. Ogólnie $a_1 = a_k - (k-1)r$ — indeks minus jeden. Przy krótkich ciągach najbezpieczniej jednak wypisać wyrazy w drugą stronę: od $3$ odejmujemy pięć trzy razy i od razu widać cały ciąg.

⚠ Cofnięcie się o cztery kroki i przyjęcie $a_1 = 3 - 20 = -17$ , co daje sumę $-28$ — liczby spoza odpowiedzi, więc błąd się ujawnia. Groźniejszy jest znak: dodanie różnicy zamiast odjęcia daje $a_1 = 18$ i sumę $42$ . Warto sprawdzić sensowność — ciąg jest rosnący ( $r > 0$ ), a czwarty wyraz to dopiero $3$ , więc pierwszy musi być ujemny.

Zadanie 5 (sierpień 2014)1 pktśrednie

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_n)

jest równa

35

. Pierwszy wyraz

a_1

tego ciągu jest równy

3

. Wtedy

A. $a_{10} = \dfrac{7}{2}$
B. $a_{10} = 4$
C. $a_{10} = \dfrac{32}{5}$
D. $a_{10} = 32$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Ten sam wzór, ale użyty w drugą stronę: znamy sumę, a szukamy ostatniego wyrazu.
$S_{10} = \dfrac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#16A06A}{35} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + a_{10}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{10}$
Zauważmy, że $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{10}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$ , więc prawa strona to po prostu $\textcolor{#E0453A}{5} \cdot (\textcolor{#16A06A}{3} + a_{10})$ :
$\textcolor{#16A06A}{35} = \textcolor{#E0453A}{5}\left(\textcolor{#16A06A}{3} + a_{10}\right)$
$\textcolor{#E0453A}{7} = \textcolor{#16A06A}{3} + a_{10} \qquad \Longrightarrow \qquad a_{10} = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: B.
Kontrola: dla $a_1 = 3$ i $a_{10} = 4$ suma wynosi $\dfrac{3+4}{2} \cdot 10 = 3{,}5 \cdot 10 = 35$ ✓
Przy okazji można policzyć różnicę: $9r = 4 - 3 = 1$ , czyli $r = \tfrac19$ . Ciąg rośnie bardzo wolno — i to jest spójne z tym, że dziesięć wyrazów sumuje się zaledwie do $35$ .

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz przekształcać, podziel liczbę wyrazów przez dwa: zamiast $\tfrac{3+a_{10}}{2}\cdot 10$ zapisz $5(3+a_{10})$ . Równanie robi się wtedy jednolinijkowe i nie ma w nim ułamków — a wszystkie trzy błędne odpowiedzi są właśnie ułamkowe albo zbyt duże.

⚠ Odpowiedź $\tfrac72$ to średnia skrajnych wyrazów, czyli $\tfrac{35}{10}$ — liczba poprawnie policzona, ale nie ta, o którą pytano; do $a_{10}$ trzeba jeszcze odjąć $a_1$ od podwojonej średniej. Odpowiedź $32$ to $35 - 3$ , czyli odjęcie pierwszego wyrazu od sumy, jakby suma była dwuwyrazowa.

Zadanie 6 (czerwiec 2016)1 pktśrednie

Ciąg

(a_n)

jest określony wzorem

a_n = 6(n - 16)

dla

n \geqslant 1

. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. $(-54)$
B. $(-126)$
C. $(-630)$
D. $(-270)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wzór ogólny jest podany, więc oba skrajne wyrazy liczymy przez podstawienie — nie trzeba szukać różnicy.
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{6}(\textcolor{#16A06A}{1} - \textcolor{#16A06A}{16}) = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-15}) = \textcolor{#E0453A}{-90}$
$a_{10} = \textcolor{#16A06A}{6}(\textcolor{#16A06A}{10} - \textcolor{#16A06A}{16}) = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-6}) = \textcolor{#E0453A}{-36}$
Suma:
$S_{10} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-90} + (\textcolor{#E0453A}{-36})}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-126}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{-63} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = -630$
Odpowiedź: C.
Warto zauważyć, że ciąg jest arytmetyczny: po rozwinięciu $a_n = 6n - 96$ , a to wzór postaci $rn + c$ , więc różnica wynosi $\textcolor{#E0453A}{6}$ . Bez tego wzór na sumę nie miałby zastosowania — i to jest cichy warunek każdego takiego zadania.
Kontrola: wszystkie dziesięć wyrazów to $-90, -84, -78, -72, -66, -60, -54, -48, -42, -36$ ; pięć par po $-126$ daje $-630$ ✓

💡 Wskazówka: Zanim użyjesz wzoru na sumę, sprawdź jednym spojrzeniem, że ciąg jest arytmetyczny: wzór ogólny musi być liniowy względem $n$ , czyli postaci $rn + c$ . Tu $6(n-16) = 6n - 96$ — jest. Gdyby w wzorze pojawiło się $n^2$ albo $2^n$ , wzoru na sumę użyć nie wolno.

⚠ Odpowiedź $-126$ to suma skrajnych wyrazów, a $-54$ to siódmy wyraz ciągu — obie liczby pojawiają się po drodze. Prawdziwa pułapka to jednak liczba $16$ ze wzoru: kto podstawi $n = 16$ zamiast $n = 10$ , dostanie $a_{16} = 0$ i pomyśli, że ciąg „kończy się” na szesnastym wyrazie. Zadanie pyta o dziesięć początkowych wyrazów i szesnastka nie ma z tym nic wspólnego.

Zadanie 7 (sierpień 2016)1 pkttrudniejsze

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej

n

suma

n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_n)

jest określona wzorem

S_n = 2n^2 + n

. Wtedy wyraz

a_2

jest równy

A. $3$
B. $6$
C. $7$
D. $10$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tu podany jest wzór na sumę, a pytanie dotyczy pojedynczego wyrazu. Klucz to jedno spostrzeżenie: skoro $S_2 = a_1 + a_2$ , a $S_1 = a_1$ , to
$a_2 = S_2 - S_1$
Ogólnie: każdy wyraz jest różnicą dwóch kolejnych sum. To działa dla dowolnego ciągu, nie tylko arytmetycznego.
$S_1 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 1^2 + 1 = \textcolor{#E0453A}{3}$
$S_2 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 2^2 + 2 = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} + 2 = \textcolor{#E0453A}{10}$
$a_2 = \textcolor{#E0453A}{10} - \textcolor{#E0453A}{3} = 7$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wyznaczenie całego ciągu. Skoro $a_1 = S_1 = 3$ , a $a_2 = 7$ , to różnica wynosi $\textcolor{#E0453A}{4}$ i ciąg to $3, 7, 11, 15, \ldots$ Sprawdźmy sumę trzech wyrazów: $3+7+11 = 21$ , a ze wzoru $S_3 = 2 \cdot 9 + 3 = 21$ ✓ Wzór na sumę jest więc spójny z tym ciągiem.
Warto zobaczyć, dlaczego $S_n$ jest tu kwadratowe względem $n$ : suma ciągu arytmetycznego to $\tfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$ , a $a_n$ jest liniowe, więc iloczyn wychodzi kwadratowy. Wzór postaci $An^2 + Bn$ zawsze opisuje sumę jakiegoś ciągu arytmetycznego.

💡 Wskazówka: Nie próbuj odgadywać $a_1$ i $r$ przez porównywanie wzorów — wystarczy policzyć dwie sumy i je odjąć. Zasada $a_n = S_n - S_{n-1}$ jest prostsza i pewniejsza, a przy okazji daje od razu $a_1 = S_1$ , bo suma jednego wyrazu to ten wyraz.

⚠ Podstawienie $n = 2$ do wzoru na sumę i podanie wyniku jako $a_2$ — czyli odpowiedź $10$ , która jest sumą dwóch pierwszych wyrazów, a nie drugim wyrazem. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dlatego $10$ stoi wśród odpowiedzi. Drugi błąd: odpowiedź $3$ , czyli podanie $S_1$ — to jest poprawne $a_1$ , ale pytanie dotyczy $a_2$ .

Zadania otwarte

Zadanie 8 (maj 2018)2 pktłatwe

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_n)

, określonego dla

n \geqslant 1

, jest równy

30

, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa

162

. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $a_1 = -3$

Mamy sumę i ostatni wyraz sumowanego fragmentu, a szukamy pierwszego — wzór na sumę wystarcza, różnicy nie trzeba wcale.
$S_{12} = \dfrac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 = \textcolor{#E0453A}{6}\left(a_1 + a_{12}\right)$
Podzielenie dwunastki przez dwa na samym początku upraszcza cały rachunek:
$\textcolor{#16A06A}{162} = \textcolor{#E0453A}{6}\left(a_1 + \textcolor{#16A06A}{30}\right)$
$a_1 + \textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{27} \qquad \Longrightarrow \qquad a_1 = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Odpowiedź: $a_1 = -3$ .
Sprawdzenie: $S_{12} = \dfrac{-3 + 30}{2} \cdot 12 = \dfrac{27}{2} \cdot 12 = 27 \cdot 6 = 162$ ✓
Można przy okazji policzyć różnicę: $11r = 30 - (-3) = 33$ , czyli $r = 3$ . Zadanie o nią nie pyta, ale jej wyliczenie to dodatkowa kontrola — wyszła liczba całkowita, co przy takich danych jest dobrym znakiem.

💡 Wskazówka: Podziel liczbę wyrazów przez dwa, zanim cokolwiek podstawisz: $\tfrac{12}{2} = 6$ . Zostaje wtedy równanie $162 = 6(a_1 + 30)$ , w którym nie ma ułamków. Pierwszy wyraz wychodzi ujemny, mimo że i suma, i ostatni wyraz są dodatnie — to normalne, gdy ciąg rośnie.

⚠ Podzielenie $162$ przez $12$ i podanie wyniku $13{,}5$ jako $a_1$ — to jest średnia wszystkich dwunastu wyrazów, czyli średnia $a_1$ i $a_{12}$ , a nie sam $a_1$ . Żeby dostać pierwszy wyraz, trzeba od podwojonej średniej odjąć ostatni: $27 - 30 = -3$ . Drugi błąd: potraktowanie $162$ jako $a_{12}$ i $30$ jako sumy — warto podkreślić w treści, która liczba jest którą.

Zadanie 9 (czerwiec 2017)2 pktśrednie

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_n)

, określonego dla

n \geqslant 1

, jest równa

30

. Ponadto

a_{30} = 30

. Oblicz różnicę tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $r = 2$

Liczby $30$ występują w treści trzy razy w trzech różnych rolach: jako liczba wyrazów, jako suma i jako wartość trzydziestego wyrazu. Warto to rozdzielić na papierze, zanim się cokolwiek policzy.
Etap 1 — pierwszy wyraz z sumy.
$S_{30} = \dfrac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{15}\left(a_1 + a_{30}\right)$
$\textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{15}\left(a_1 + \textcolor{#16A06A}{30}\right) \qquad \Longrightarrow \qquad a_1 + \textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad a_1 = \textcolor{#E0453A}{-28}$
Etap 2 — różnica. Od $a_1$ do $a_{30}$ jest $\textcolor{#E0453A}{29}$ kroków:
$\textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{-28} + \textcolor{#E0453A}{29}r \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{29}r = \textcolor{#E0453A}{58} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: $r = 2$ .
Sprawdzenie: dla $a_1 = -28$ i $r = 2$ mamy $a_{30} = -28 + 58 = 30$ ✓ oraz $S_{30} = \dfrac{-28 + 30}{2} \cdot 30 = 1 \cdot 30 = 30$ ✓
Zwróć uwagę, jak to wygląda: ciąg zaczyna się od $-28$ i rośnie do $30$ , a suma trzydziestu wyrazów wynosi tylko $30$ — bo wyrazy ujemne z początku prawie w całości znoszą dodatnie z końca.

💡 Wskazówka: Liczba $58$ w rachunku to nie przypadek — to $2 \cdot 29$ , więc różnica wychodzi całkowita. Gdy w takim zadaniu wyjdzie brzydki ułamek, warto wrócić i sprawdzić, czy liczba kroków to na pewno $29$ , a nie $30$ . To najczęstsze miejsce pomyłki.

⚠ Pomylenie roli trzech trzydziestek: podstawienie sumy w miejsce $a_{30}$ albo odwrotnie. Ponieważ obie liczby są równe, błąd nie zmienia wyniku pierwszego etapu i przechodzi niezauważony — dlatego warto wypisać dane jako trzy osobne linie ( $n = 30$ , $S_{30} = 30$ , $a_{30} = 30$ ). Drugi błąd: podzielenie $58$ przez $30$ zamiast przez $29$ , co daje $r \approx 1{,}93$ ; niecałkowity wynik jest tu sygnałem ostrzegawczym.

Zadanie 10 (maj 2024)2 pktśrednie

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

(-1)

, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

(-165)

. Oblicz różnicę tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $r = -2$

Liczba wyrazów jest nieparzysta ( $15$ ), a to otwiera skrót: suma nieparzystej liczby kolejnych wyrazów równa się liczbie wyrazów pomnożonej przez wyraz środkowy.
Środkowym z piętnastu wyrazów jest ósmy, bo $\dfrac{1 + 15}{2} = \textcolor{#E0453A}{8}$ . Zatem
$S_{15} = \textcolor{#16A06A}{15} \cdot a_8$
$\textcolor{#16A06A}{-165} = \textcolor{#16A06A}{15} \cdot a_8 \qquad \Longrightarrow \qquad a_8 = \textcolor{#E0453A}{-11}$
Teraz mamy dwa wyrazy ciągu — trzeci i ósmy — a między nimi $8 - 3 = \textcolor{#E0453A}{5}$ kroków:
$a_8 = a_3 + \textcolor{#E0453A}{5}r \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{-11} = \textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#E0453A}{5}r$
$\textcolor{#E0453A}{5}r = \textcolor{#E0453A}{-10} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Odpowiedź: $r = -2$ .
Sprawdzenie: dla $r = -2$ i $a_3 = -1$ mamy $a_1 = -1 - 2 \cdot (-2) = 3$ , więc $a_{15} = 3 + 14 \cdot (-2) = -25$ . Suma: $\dfrac{3 + (-25)}{2} \cdot 15 = -11 \cdot 15 = -165$ ✓
Skrót przez wyraz środkowy działa, bo $a_1 + a_{15} = 2a_8$ , a wtedy $\dfrac{a_1+a_{15}}{2} \cdot 15 = a_8 \cdot 15$ . Ta sama własność, którą omawiam przy trzech kolejnych wyrazach, tu oszczędza cały jeden etap.

💡 Wskazówka: Gdy liczba sumowanych wyrazów jest nieparzysta, podziel sumę przez tę liczbę — dostaniesz wprost wyraz środkowy, bez szukania $a_1$ . Numer środkowego to średnia numerów skrajnych: dla wyrazów od $1$ do $15$ jest to $8$ . Przy parzystej liczbie wyrazów ten skrót nie działa, bo środkowego wyrazu nie ma.

⚠ Rozpisanie $S_{15}$ przez $a_1$ i $r$ i rozwiązywanie układu dwóch równań — droga poprawna, ale dłuższa o dwa przekształcenia. Prawdziwy błąd to wzięcie za wyraz środkowy $a_7$ albo $a_{7{,}5}$ : przy piętnastu wyrazach środkowy jest ósmy, bo siedem stoi przed nim i siedem za nim. Kto podzieli $-165$ przez $15$ i przypisze wynik do $a_7$ , dostanie $r = -2{,}5$ .

Zadanie 11 (sierpień 2017)2 pkttrudniejsze

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_n)

, określony dla

n \geqslant 1

, w którym spełniona jest równość

a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100

. Oblicz sumę

a_{25} + a_{26}

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $a_{25} + a_{26} = 50$

Zamiast rozpisywać cztery wyrazy przez $a_1$ i $r$ , przyjrzyjmy się sumom ich numerów. W ciągu arytmetycznym suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich indeksów.
$\textcolor{#16A06A}{21} + \textcolor{#16A06A}{30} = \textcolor{#E0453A}{51} \qquad \text{oraz} \qquad \textcolor{#16A06A}{24} + \textcolor{#16A06A}{27} = \textcolor{#E0453A}{51}$
Obie pary mają tę samą sumę numerów, więc dają tę samą sumę wyrazów. Lewa strona równości z treści to zatem dwie identyczne wartości:
$a_{21} + a_{30} = a_{24} + a_{27} = \textcolor{#E0453A}{50}$ (bo razem dają $\textcolor{#16A06A}{100}$ )
A teraz najważniejsze: para z pytania też ma tę samą sumę numerów!
$\textcolor{#16A06A}{25} + \textcolor{#16A06A}{26} = \textcolor{#E0453A}{51}$
Zatem $a_{25} + a_{26}$ musi być równe tym samym $\textcolor{#E0453A}{50}$ .
Odpowiedź: $a_{25} + a_{26} = 50$ .
Sprawdzenie na konkretnym ciągu. Weźmy $a_1 = 0$ i $r = 1$ , czyli $a_n = n-1$ . Wtedy lewa strona: $20 + 23 + 26 + 29 = 98$ — nie $100$ , więc dobierzmy inaczej. Dla $a_n = n - 0{,}5$ mamy $20{,}5 + 23{,}5 + 26{,}5 + 29{,}5 = 100$ ✓, a $a_{25} + a_{26} = 24{,}5 + 25{,}5 = 50$ ✓
Sprawdźmy jeszcze przy innej różnicy: dla $r = 10$ i $a_1 = -180$ mamy $a_{21} = 20$ , $a_{24} = 50$ , $a_{27} = 80$ , $a_{30} = 110$ — suma $260$ , czyli nie te dane; ale zależność $a_{25}+a_{26} = \tfrac{1}{2}(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30})$ zachodzi: $\tfrac{260}{2} = 130$ , a $a_{25}+a_{26} = 60+70 = 130$ ✓

💡 Wskazówka: Policz sumy indeksów, zanim zaczniesz cokolwiek rozpisywać: $21+30$ , $24+27$ i $25+26$ dają to samo — $51$ . Cztery wyrazy z treści to więc dwie takie same sumy, a szukana para to trzecia taka sama. Odpowiedź jest połową danej i cały rachunek to jedno dzielenie.

⚠ Podzielenie $100$ przez cztery i podanie $25$ — to średnia z czterech wyrazów, czyli wartość jednego, a pytanie dotyczy sumy dwóch. Dane cztery wyrazy tworzą dwie pary o sumie $50$ każda, więc szukana para też ma sumę $50$ . Drugi błąd: próba wyznaczenia $a_1$ i $r$ z jednego równania — nie da się, bo jedno równanie z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań, a to samo w sobie jest podpowiedzią, że zadania nie trzeba rozwiązywać tą drogą.

Zadanie 12 (maj 2022)2 pktśrednie

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

a_1 = -1

a_4 = 8

. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $S_{100} = 14750$

Do wzoru na sumę potrzebny jest ostatni wyraz, więc najpierw różnica.
Różnica. Od $a_1$ do $a_4$ są $\textcolor{#E0453A}{3}$ kroki:
$\textcolor{#E0453A}{3}r = \textcolor{#16A06A}{8} - (\textcolor{#16A06A}{-1}) = \textcolor{#E0453A}{9} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{3}$
Setny wyraz. Od pierwszego do setnego jest $\textcolor{#E0453A}{99}$ kroków:
$a_{100} = \textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#E0453A}{99} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#E0453A}{297} = \textcolor{#E0453A}{296}$
Suma:
$S_{100} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#E0453A}{296}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{100} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{295}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{100} = \textcolor{#E0453A}{295} \cdot \textcolor{#E0453A}{50} = 14750$
Odpowiedź: $S_{100} = 14750$ .
Warto zauważyć kolejność działań w ostatnim kroku: zamiast dzielić $295$ przez $2$ (co daje ułamek), lepiej podzielić przez dwa setkę i pomnożyć $295 \cdot 50$ . Wynik ten sam, rachunek bez ułamków.

💡 Wskazówka: Przy dużej liczbie wyrazów szczególnie opłaca się najpierw skrócić liczbę wyrazów z dwójką ze wzoru: $\tfrac{100}{2} = 50$ . Zostaje $295 \cdot 50$ , czyli mnożenie, które da się zrobić w głowie ( $295 \cdot 50 = 295 \cdot 100 : 2$ ). Dzielenie $295$ przez $2$ wprowadza ułamek, którego można całkowicie uniknąć.

⚠ Policzenie różnicy jako $8 - (-1) = 9$ i przyjęcie $r = 9$ — od $a_1$ do $a_4$ są trzy kroki, więc trzeba jeszcze podzielić przez trzy. Przy $r = 9$ wyszłoby $a_{100} = 890$ i suma $44450$ . Drugi błąd, równie kosztowny: użycie stu kroków do $a_{100}$ zamiast dziewięćdziesięciu dziewięciu, co daje $a_{100} = 299$ i sumę $14900$ .

Zadanie 13 (maj 2023)2 pktśrednie

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości

8910

zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o

30

zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: pierwsza rata: $750$ zł

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r = \textcolor{#16A06A}{-30}$ (każda kolejna jest mniejsza), a ich suma to cała pożyczka. Szukamy pierwszego wyrazu.
$n = \textcolor{#16A06A}{18}, \qquad r = \textcolor{#16A06A}{-30}, \qquad S_{18} = \textcolor{#16A06A}{8910}$
Ostatnia rata wyraża się przez pierwszą — od pierwszej do osiemnastej jest $\textcolor{#E0453A}{17}$ kroków:
$a_{18} = a_1 + \textcolor{#E0453A}{17} \cdot (\textcolor{#16A06A}{-30}) = a_1 - \textcolor{#E0453A}{510}$
Podstawiamy do wzoru na sumę, od razu skracając $\tfrac{18}{2} = \textcolor{#E0453A}{9}$ :
$\textcolor{#16A06A}{8910} = \textcolor{#E0453A}{9}\left(a_1 + a_1 - \textcolor{#E0453A}{510}\right) = \textcolor{#E0453A}{9}\left(\textcolor{#E0453A}{2}a_1 - \textcolor{#E0453A}{510}\right)$
$\textcolor{#E0453A}{2}a_1 - \textcolor{#E0453A}{510} = \textcolor{#E0453A}{990} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{2}a_1 = \textcolor{#E0453A}{1500} \qquad \Longrightarrow \qquad a_1 = \textcolor{#E0453A}{750}$
Odpowiedź: pierwsza rata wynosiła $750$ zł.
Sprawdzenie: ostatnia rata to $750 - 510 = 240$ zł, a suma wszystkich osiemnastu: $\dfrac{750 + 240}{2} \cdot 18 = 495 \cdot 18 = 8910$ ✓
Warto zerknąć na sensowność wyniku: raty maleją od $750$ zł do $240$ zł, wszystkie są dodatnie, a ich średnia $495$ zł razy $18$ daje dokładnie pożyczkę. Gdyby ostatnia rata wyszła ujemna, znaczyłoby to, że dane są niespójne.

💡 Wskazówka: Słowo „mniejsza” w treści to gotowa informacja o znaku: $r = -30$ , a nie $+30$ . Zapisz to od razu z minusem, bo potem, w rachunku na $a_{18}$ , ten znak decyduje o wszystkim. Drugi nawyk wart wyrobienia: sprawdź na koniec, czy ostatnia rata jest dodatnia — to najprostsza kontrola sensowności w zadaniach o malejących ratach.

⚠ Przyjęcie $r = +30$ i policzenie $a_{18} = a_1 + 510$ , co daje $a_1 = 240$ — czyli ostatnią ratę zamiast pierwszej. Wynik jest liczbą występującą w zadaniu, więc wygląda przekonująco; rozstrzyga sprawdzenie, czy raty faktycznie maleją. Drugi błąd: użycie osiemnastu kroków zamiast siedemnastu, czyli $a_{18} = a_1 - 540$ ; wtedy $a_1 = 765$ i suma nie wyjdzie równa pożyczce.

Zadanie 14 (sierpień 2016)4 pkttrudniejsze

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

określony jest wzorem

a_n = 2016 - 3n

, dla

n \geqslant 1

. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $S = 676\,368$

Zadanie ma dwa etapy i pierwszy z nich jest właściwym wyzwaniem: trzeba ustalić, ile wyrazów jest dodatnich. Dopiero potem sumujemy.
Etap 1 — które wyrazy są dodatnie. Rozwiązujemy nierówność:
$\textcolor{#16A06A}{2016} - \textcolor{#16A06A}{3}n > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#16A06A}{3}n < \textcolor{#16A06A}{2016} \qquad \Longrightarrow \qquad n < \textcolor{#E0453A}{672}$
Ciąg jest określony dla $n$ naturalnych, więc dodatnie są wyrazy o numerach od $1$ do $\textcolor{#E0453A}{671}$ . Uwaga: $n = 672$ nie wchodzi, bo daje $a_{672} = 2016 - 2016 = \textcolor{#E0453A}{0}$ , a zero nie jest liczbą dodatnią.
Etap 2 — sumujemy $671$ wyrazów. Liczymy skrajne:
$a_1 = \textcolor{#16A06A}{2016} - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{2013}, \qquad a_{671} = \textcolor{#16A06A}{2016} - \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{671} = \textcolor{#16A06A}{2016} - \textcolor{#E0453A}{2013} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$S_{671} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2013} + \textcolor{#E0453A}{3}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{671} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2016}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{671} = \textcolor{#E0453A}{1008} \cdot \textcolor{#E0453A}{671}$
$\textcolor{#E0453A}{1008} \cdot \textcolor{#E0453A}{671} = 1008 \cdot 700 - 1008 \cdot 29 = 705\,600 - 29\,232 = 676\,368$
Odpowiedź: $S = 676\,368$ .
Kontrola sensowności: wyrazy maleją od $2013$ do $3$ co trzy, a ich średnia to $1008$ . Mnożąc średnią przez liczbę wyrazów, dostajemy $1008 \cdot 671$ — i taki właśnie iloczyn policzyliśmy. Ładna symetria: suma skrajnych wyrazów, $2016$ , jest dokładnie liczbą z wzoru.

💡 Wskazówka: Granicę „dodatniości” wyznacza nierówność ostra $a_n > 0$ , a nie równanie $a_n = 0$ — dlatego wyraz $a_{672} = 0$ nie wchodzi do sumy. Warto policzyć ten graniczny wyraz osobno i sprawdzić jego znak: jeśli wyszło zero, ostatnim dodatnim jest poprzedni. Ten jeden krok decyduje o całym wyniku.

⚠ Rozjazd między liczbą wyrazów a ostatnim wyrazem — to jedyny realny błąd w tym zadaniu i bierze się z niepewności, czy $a_{672}$ wchodzi. Kto weźmie ostatni wyraz $0$ , ale liczbę wyrazów $671$ , dostanie $\tfrac{2013}{2} \cdot 671$ , czyli liczbę niecałkowitą — i to jest sygnał ostrzegawczy. Zapisz więc trzy rzeczy osobno, zanim podstawisz do wzoru: pierwszy $2013$ , ostatni $3$ , wyrazów $671$ . Dla porządku: samo dołożenie $a_{672} = 0$ wyniku by nie zmieniło (dodajemy zero), więc wynik $676\,368$ jest odporny na tę jedną wątpliwość — ale tylko wtedy, gdy liczba wyrazów i ostatni wyraz są dobrane zgodnie.

Zadanie 15 (sierpień 2019)4 pkttrudniejsze

W ciągu arytmetycznym

(a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{39},\ a_{40})

suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa

1340

, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa

1400

. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $a_{40} = 10$

Klucz do tego zadania to spostrzeżenie, co daje różnica obu sum, a co ich suma. Oba fakty są potrzebne.
Różnica sum daje różnicę ciągu. Wyrazy parzyste i nieparzyste da się ustawić w pary sąsiadów: $(a_2, a_1)$ , $(a_4, a_3)$ , …, $(a_{40}, a_{39})$ — takich par jest $\textcolor{#E0453A}{20}$ , a w każdej różnica wynosi dokładnie $r$ :
$\textcolor{#16A06A}{1340} - \textcolor{#16A06A}{1400} = \textcolor{#E0453A}{20}r \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{20}r = \textcolor{#E0453A}{-60} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Suma sum daje sumę całego ciągu:
$S_{40} = \textcolor{#16A06A}{1340} + \textcolor{#16A06A}{1400} = \textcolor{#E0453A}{2740}$
$\textcolor{#E0453A}{2740} = \dfrac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{40} = \textcolor{#E0453A}{20}\left(a_1 + a_{40}\right) \qquad \Longrightarrow \qquad a_1 + a_{40} = \textcolor{#E0453A}{137}$
Teraz drugie równanie — z liczby kroków. Od $a_1$ do $a_{40}$ jest $\textcolor{#E0453A}{39}$ kroków:
$a_{40} = a_1 + \textcolor{#E0453A}{39} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-3}) = a_1 - \textcolor{#E0453A}{117}$
Podstawiamy do poprzedniego:
$a_1 + \left(a_1 - \textcolor{#E0453A}{117}\right) = \textcolor{#E0453A}{137} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{2}a_1 = \textcolor{#E0453A}{254} \qquad \Longrightarrow \qquad a_1 = \textcolor{#E0453A}{127}$
$a_{40} = \textcolor{#E0453A}{127} - \textcolor{#E0453A}{117} = 10$
Odpowiedź: $a_{40} = 10$ .
Sprawdzenie obu warunków z treści. Wyrazy o numerach nieparzystych to $a_1 = 127$ , $a_3 = 121$ , …, $a_{39}$ ; tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $2r = -6$ i mają $20$ wyrazów, a $a_{39} = 127 + 38 \cdot (-3) = 13$ . Ich suma: $\dfrac{127 + 13}{2} \cdot 20 = 70 \cdot 20 = 1400$ ✓
Wyrazy parzyste: od $a_2 = 124$ do $a_{40} = 10$ , też $20$ wyrazów. Suma: $\dfrac{124 + 10}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 20 = 1340$ ✓

💡 Wskazówka: Najważniejsze jest zauważenie, że każdy wyraz parzysty ma dokładnie jednego partnera o numerze o jeden mniejszym, i że w każdej takiej parze różnica wynosi $r$ . Par jest $20$ , więc różnica sum to $20r$ — jedno odejmowanie i różnica ciągu jest gotowa. Bez tego trzeba by rozpisywać dwie sumy przez $a_1$ i $r$ , co daje ten sam układ, ale znacznie dłużej.

⚠ Przyjęcie, że par jest $40$ albo $39$ — ciąg ma $40$ wyrazów, więc po $20$ każdego rodzaju, i tyle samo par. Przy $40$ parach wyszłoby $r = -1{,}5$ i dalszy rachunek by się rozjechał. Drugi błąd: odjęcie sum w odwrotnej kolejności, czyli $1400 - 1340 = 60$ , co daje $r = +3$ i ciąg rosnący; wtedy $a_{40}$ wyjdzie $127$ , a $a_1$ dziesięć — czyli odpowiedź „na odwrót”. Kontrola jest prosta: suma wyrazów parzystych jest mniejsza, a każdy z nich stoi za swoim nieparzystym partnerem, więc ciąg musi maleć.

Zadanie 16 (czerwiec 2018)4 pkttrudniejsze

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla liczb naturalnych

n \geqslant 1

, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S_{10} = \dfrac{15}{4}

. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $a_1 = -\dfrac{3}{4}$ , $r = \dfrac{1}{4}$

Pierwszy warunek wygląda niewinnie, ale prowadzi do bardzo mocnego wniosku — i to jest sedno tego zadania.
Warunek $a_6 = 2a_5$ . Z definicji ciągu $a_6 = a_5 + r$ , więc
$a_5 + r = \textcolor{#16A06A}{2}a_5 \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{a_5}$
Różnica jest równa piątemu wyrazowi. Zapiszmy teraz $a_5$ przez $a_1$ i $r$ :
$r = a_5 = a_1 + \textcolor{#E0453A}{4}r \qquad \Longrightarrow \qquad a_1 = r - \textcolor{#E0453A}{4}r = \textcolor{#E0453A}{-3}r$
Pierwszy wyraz wyraża się więc przez samą różnicę — i cały układ redukuje się do jednej niewiadomej.
Warunek na sumę. Podstawiamy $a_1 = \textcolor{#E0453A}{-3}r$ :
$S_{10} = \dfrac{2a_1 + \textcolor{#E0453A}{9}r}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{5}\left(2a_1 + \textcolor{#E0453A}{9}r\right) = \textcolor{#E0453A}{5}\left(\textcolor{#E0453A}{-6}r + \textcolor{#E0453A}{9}r\right) = \textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{3}r = \textcolor{#E0453A}{15}r$
$\textcolor{#E0453A}{15}r = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{4}} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14}$
$a_1 = \textcolor{#E0453A}{-3} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac14} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac34}$
Odpowiedź: $a_1 = -\tfrac34$ , $r = \tfrac14$ .
Sprawdzenie obu warunków. Piąty wyraz: $a_5 = -\tfrac34 + 4 \cdot \tfrac14 = \tfrac14$ . Szósty: $a_6 = \tfrac14 + \tfrac14 = \tfrac12$ — i faktycznie $\tfrac12 = 2 \cdot \tfrac14$ ✓
Suma: $a_{10} = -\tfrac34 + 9 \cdot \tfrac14 = \tfrac64 = \tfrac32$ , więc $S_{10} = \dfrac{-\frac34 + \frac32}{2} \cdot 10 = \dfrac{\frac34}{2} \cdot 10 = \tfrac38 \cdot 10 = \tfrac{30}{8} = \tfrac{15}{4}$ ✓
Zwróć uwagę, że $r = \tfrac14$ równa się wyrazowi piątemu — dokładnie tak, jak wyszło z pierwszego warunku. To dodatkowa kontrola, że rozumowanie było poprawne.

💡 Wskazówka: Nie rozpisuj obu warunków naraz. Z pierwszego wyciśnij zależność między $a_1$ i $r$ ( $a_1 = -3r$ ) i dopiero ją podstaw do wzoru na sumę — zostanie jedno równanie z jedną niewiadomą. Kluczowe jest zauważenie, że z $a_5 + r = 2a_5$ wynika po prostu $r = a_5$ : warunek „dwa razy większy” zamienia się w równość różnicy i wyrazu.

⚠ Przeczytanie „dwa razy większy” jako $a_6 = a_5 + 2$ albo $2a_6 = a_5$ — pierwsze to „większy o dwa”, drugie odwraca role wyrazów. Poprawnie: szósty jest dwa razy większy, więc $a_6$ stoi po stronie z dwójką jako iloczyn: $a_6 = 2a_5$ . Drugi błąd: użycie w sumie $10$ kroków zamiast $9$ , czyli $S_{10} = 5(2a_1 + 10r)$ ; wtedy zostaje $5(-6r+10r) = 20r$ i wychodzi $r = \tfrac{3}{16}$ — ułamek, którego już nie da się sprawdzić na pierwszym warunku.

Zadanie 17 (czerwiec 2016)5 pkttrudniejsze

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_n)

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geqslant 1

, w którym

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016

oraz

a_5 + a_6 + a_7 + \ldots + a_{12} = 2016

. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu

(a_n)

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $a_1 = 567$ , $r = -42$ , najmniejszy dodatni wyraz: $a_{14} = 21$

Zadanie jest za pięć punktów i ma trzy etapy: układ równań, jego rozwiązanie i osobne pytanie o najmniejszy dodatni wyraz. Zacznijmy od zamiany obu warunków na równania.
Pierwszy warunek to suma czterech początkowych wyrazów:
$S_4 = \dfrac{2a_1 + \textcolor{#E0453A}{3}r}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{2}\left(2a_1 + \textcolor{#E0453A}{3}r\right) = \textcolor{#16A06A}{2016}$
$2a_1 + \textcolor{#E0453A}{3}r = \textcolor{#E0453A}{1008} \qquad \text{(I)}$
Drugi warunek dotyczy wyrazów od piątego do dwunastego. Nie jest to suma początkowa, ale da się ją zapisać jako różnicę dwóch sum początkowych:
$a_5 + \ldots + a_{12} = S_{12} - S_4 = \textcolor{#16A06A}{2016} \qquad \Longrightarrow \qquad S_{12} = \textcolor{#16A06A}{2016} + \textcolor{#16A06A}{2016} = \textcolor{#E0453A}{4032}$
$S_{12} = \dfrac{2a_1 + \textcolor{#E0453A}{11}r}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{6}\left(2a_1 + \textcolor{#E0453A}{11}r\right) = \textcolor{#E0453A}{4032}$
$2a_1 + \textcolor{#E0453A}{11}r = \textcolor{#E0453A}{672} \qquad \text{(II)}$
Rozwiązujemy układ. Odejmujemy (I) od (II) — składniki $2a_1$ się skracają:
$\textcolor{#E0453A}{11}r - \textcolor{#E0453A}{3}r = \textcolor{#E0453A}{672} - \textcolor{#E0453A}{1008} \qquad \Longrightarrow \qquad \textcolor{#E0453A}{8}r = \textcolor{#E0453A}{-336} \qquad \Longrightarrow \qquad r = \textcolor{#E0453A}{-42}$
Wracamy do (I): $2a_1 = \textcolor{#E0453A}{1008} - \textcolor{#E0453A}{3} \cdot (\textcolor{#E0453A}{-42}) = \textcolor{#E0453A}{1008} + \textcolor{#E0453A}{126} = \textcolor{#E0453A}{1134}$ , czyli $a_1 = \textcolor{#E0453A}{567}$ .
Trzeci etap — najmniejszy dodatni wyraz. Zapisujemy wzór ogólny i rozwiązujemy nierówność:
$a_n = \textcolor{#E0453A}{567} + (n-1) \cdot (\textcolor{#E0453A}{-42}) = \textcolor{#E0453A}{609} - \textcolor{#E0453A}{42}n > 0$
$\textcolor{#E0453A}{42}n < \textcolor{#E0453A}{609} \qquad \Longrightarrow \qquad n < \textcolor{#E0453A}{14{,}5}$
Największe $n$ naturalne spełniające tę nierówność to $\textcolor{#E0453A}{14}$ , a szukany wyraz:
$a_{14} = \textcolor{#E0453A}{609} - \textcolor{#E0453A}{42} \cdot \textcolor{#E0453A}{14} = \textcolor{#E0453A}{609} - \textcolor{#E0453A}{588} = 21$
Odpowiedź: $a_1 = 567$ , $r = -42$ , najmniejszy dodatni wyraz to $a_{14} = 21$ .
Sprawdzenie wszystkich trzech rzeczy. Suma czterech pierwszych: wyrazy to $567, 525, 483, 441$ , a ich suma $2016$ ✓ Suma $S_{12}$ : $6(2 \cdot 567 + 11 \cdot (-42)) = 6(1134 - 462) = 6 \cdot 672 = 4032$ , więc $a_5 + \ldots + a_{12} = 4032 - 2016 = 2016$ ✓
Najmniejszy dodatni: $a_{14} = 21 > 0$ , a następny $a_{15} = 21 - 42 = -21 < 0$ ✓ — czyli $a_{14}$ jest ostatnim dodatnim, a więc i najmniejszym dodatnim, bo ciąg maleje.

💡 Wskazówka: Drugi warunek nie jest sumą początkową, więc nie ma na niego gotowego wzoru — trzeba zauważyć, że $a_5 + \ldots + a_{12} = S_{12} - S_4$ . Skoro obie sumy z treści są równe $2016$ , to $S_{12} = 4032$ , i drugi warunek zamienia się w zwykłą sumę początkową. To jedno spostrzeżenie zamienia zadanie w rutynowy układ dwóch równań.

⚠ Potraktowanie drugiego warunku jako sumy ośmiu wyrazów ciągu zaczynającego się od $a_5$ i użycie wzoru $S_8$ z pierwszym wyrazem $a_5$ — droga poprawna, ale wymaga dodatkowego przeliczenia $a_5$ przez $a_1$ i łatwo w niej zgubić krok. Drugi, poważniejszy błąd dotyczy trzeciego etapu: w ciągu malejącym najmniejszy dodatni wyraz jest ostatnim dodatnim, a nie pierwszym. Kto poda $a_1 = 567$ jako „najmniejszy dodatni”, pomyli kierunek. Kontrola jest prosta: następny wyraz musi już być ujemny.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A	3. B	4. C	5. B	6. C
7. C	8. $a_1 = -3$	9. $r = 2$	10. $r = -2$	11. $a_{25} + a_{26} = 50$	12. $S_{100} = 14750$
13. pierwsza rata: $750$ zł	14. $S = 676\,368$	15. $a_{40} = 10$	16. $a_1 = -\dfrac{3}{4}$ , $r = \dfrac{1}{4}$	17. $a_1 = 567$ , $r = -42$ , najmniejszy dodatni wyraz: $a_{14} = 21$

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Który wzór na sumę wybrać?

Ten, do którego masz komplet danych. Gdy znasz ostatni wyraz — postać ze średnią z końców. Gdy znasz różnicę — postać z $(n-1)r$ . Oba dają identyczny wynik, bo drugi powstaje przez podstawienie $a_n$ do pierwszego.

Czy suma ciągu arytmetycznego może być ujemna?

Tak, jeśli przeważają wyrazy ujemne. Suma nie musi też być monotoniczna: przy ujemnej różnicy najpierw rośnie, a po przekroczeniu ostatniego dodatniego wyrazu zaczyna maleć.

Jak szybko policzyć sumę liczb od 1 do 100?

Sparować końce: $1+100$ , $2+99$ i tak dalej. Każda para daje $101$ , par jest $50$ , więc suma wynosi $5050$ . To ta sama sztuczka, na której stoi cały wzór.

Czym różni się suma arytmetyczna od geometrycznej?

Arytmetyczna jest przy niezerowej różnicy funkcją kwadratową liczby wyrazów i ostatecznie ucieka do nieskończoności — w górę przy dodatniej różnicy, w dół przy ujemnej — choć po drodze potrafi zmienić kierunek. Geometryczna zawiera potęgę ilorazu i przy $|q| < 1$ zbliża się do skończonej wartości.

Co zrobić, gdy równanie na

n

ma dwa rozwiązania naturalne?

Sprawdzić treść. Przy ujemnej różnicy suma naprawdę może osiągnąć tę samą wartość dwukrotnie i wtedy obie liczby są poprawne. Jeśli zadanie pyta o najmniejsze $n$ , wybieramy mniejsze.

Po co liczyć sumę ciągu w zadaniach o kredycie?

Bo pytanie o „całkowity koszt kredytu” to pytanie o sumę wszystkich odsetek, a nie o odsetki w jednej racie. Przy ratach malejących odsetki tworzą ciąg arytmetyczny — maleją o stałą kwotę, bo kapitał do spłaty maleje o stałą kwotę — więc cały rachunek sprowadza się do wzoru $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ . Dla kredytu $24\,000$ zł na $24$ raty przy $1\%$ miesięcznie daje to $3000$ zł.

Czytaj dalej

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznegoSkładnik, bez którego wzór na sumę nie działa — i źródło tej samej pułapki z $(n-1)$.Suma ciągu geometrycznegoTen sam problem dla drugiego rodzaju ciągu: zamiast paraboli wchodzi potęga ilorazu.Równania kwadratowePotrzebne, gdy szukaną jest liczba wyrazów, a nie sama suma.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.