Okrąg opisany na trójkącie

Odpowiedź: C

1. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej — to wniosek z twierdzenia Talesa o kącie wpisanym opartym na średnicy. Promień jest więc połową przeciwprostokątnej i nic poza nią nie jest potrzebne.
2. Przeciwprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa:
3. $c^2 = \textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{12}^2 = 25 + 144 = \textcolor{#E0453A}{169}$, czyli $c = \textcolor{#E0453A}{13}$.
4. $R = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{13}}{2} = \textcolor{#E0453A}{6{,}5}$
5. Odpowiedź: C.
6. Kontrola sensem: średnica wynosi $13$, czyli dokładnie tyle, ile przeciwprostokątna — i tak być musi, bo przeciwprostokątna jest tu średnicą okręgu. Gdyby promień wyszedł większy od $13$, okrąg byłby za duży; gdyby mniejszy od $6$, trójkąt by się w nim nie zmieścił.
7. Warto zapamiętać trójkę $5$, $12$, $13$ — to jedna z kilku „pitagorejskich” trójek, które w arkuszach wracają regularnie, obok $3$, $4$, $5$ oraz $8$, $15$, $17$.

💡 Wskazówka: Nie szukaj wzoru na promień okręgu opisanego przez pole i boki. W trójkącie prostokątnym wystarczy przeciwprostokątna: $R = \tfrac{c}{2}$. Jedyny rachunek to Pitagoras — i to tylko wtedy, gdy przeciwprostokątna nie jest podana wprost.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $8{,}5$ — to średnia przyprostokątnych: $\tfrac{5+12}{2}$. Wzór z połową dotyczy przeciwprostokątnej, a nie sumy pozostałych boków. Odpowiedzi $A$ i $D$ to po prostu długości przyprostokątnych przepisane z treści. Warto zauważyć, że żadna z tych trzech liczb nie jest połową czegokolwiek, co w tym trójkącie ma sens geometryczny.

Odpowiedź: B

1. Ten sam schemat: przeciwprostokątna, potem połowa.
2. $c^2 = \textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{9}^2 = 144 + 81 = \textcolor{#E0453A}{225}$, czyli $c = \textcolor{#E0453A}{15}$.
3. $R = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{15}}{2}$
4. Odpowiedź: B.
5. Kontrola: $\tfrac{15}{2} = 7{,}5$, a średnica $15$ zgadza się z przeciwprostokątną ✓. To jest trójka $9$, $12$, $15$ — czyli trójka $3$, $4$, $5$ pomnożona przez trzy.
6. Skąd biorą się dwie odpowiedzi z pierwiastkiem: $\sqrt{108}$ to $\sqrt{12 \cdot 9}$, czyli średnia geometryczna przyprostokątnych zamiast pierwiastka z sumy ich kwadratów. Odpowiedź $D$ to ta sama liczba podzielona przez dwa — czyli ten sam błąd popełniony przez kogoś, kto o połowie pamiętał.

💡 Wskazówka: Pilnuj, co wchodzi pod pierwiastek: w twierdzeniu Pitagorasa sumujesz kwadraty, a nie mnożysz boki. Szybki test: wynik musi być większy od każdej przyprostokątnej z osobna, ale mniejszy od ich sumy. Tutaj $15$ leży między $12$ a $21$ ✓, a $\sqrt{108} \approx 10{,}4$ jest mniejsze od dłuższej przyprostokątnej, co samo w sobie zdradza błąd.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $15$ — podanie przeciwprostokątnej zamiast promienia, czyli zatrzymanie się jeden krok przed końcem. To najczęstszy błąd w tym typie zadania i dlatego $15$ zawsze znajdzie się wśród odpowiedzi. Odpowiedzi $A$ i $D$ biorą się z pomnożenia przyprostokątnych zamiast dodania ich kwadratów: $12 \cdot 9 = 108$.

Odpowiedź: D

1. Tu przeciwprostokątna jest podana wprost — to najdłuższy z trzech boków, czyli $\textcolor{#16A06A}{26}$. Pitagoras nie jest potrzebny w ogóle.
2. $R = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{26}}{2} = \textcolor{#E0453A}{13}$
3. Odpowiedź: D.
4. Kontrola, że trójkąt naprawdę jest prostokątny: $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$ ✓. Warto ją zrobić, bo cały wzór $R = \tfrac{c}{2}$ opiera się na tym założeniu.
5. Kontrola oszacowaniem — i to jest tu najciekawsze. Najdłuższy bok trójkąta jest cięciwą okręgu opisanego, a żadna cięciwa nie jest dłuższa od średnicy. Stąd $2R \geqslant \textcolor{#16A06A}{26}$, czyli $R \geqslant \textcolor{#E0453A}{13}$. Trzy pozostałe odpowiedzi są mniejsze od $13$, więc odpadają wszystkie naraz, zanim cokolwiek policzysz.
6. Ta obserwacja działa dla dowolnego trójkąta, nie tylko prostokątnego — i w przypadku prostokątnym daje od razu równość, bo przeciwprostokątna jest średnicą.

💡 Wskazówka: Zanim sięgniesz po wzór, sprawdź, czy przeciwprostokątna nie jest już podana. Tutaj jest — wystarczy rozpoznać ją jako najdłuższy bok. A jeśli chcesz się upewnić bez rachunku, użyj oszacowania: promień okręgu opisanego nigdy nie jest mniejszy od połowy najdłuższego boku.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $12$ — połowa dłuższej przyprostokątnej zamiast połowy przeciwprostokątnej. Liczba $24$ rzuca się w oczy bardziej niż $26$, zwłaszcza na rysunku, gdzie leży poziomo. Odpowiedzi $A$ i $B$ są jeszcze mniejsze — obie poniżej $7$ — więc łamią oszacowanie $R \geqslant 13$ o ponad połowę; przy tym zadaniu warto zacząć właśnie od tego przeglądu, bo zostawia on jedną odpowiedź.

Odpowiedź: A

1. W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego, środek okręgu wpisanego i punkt przecięcia wysokości to ten sam punkt. Dzieli on każdą wysokość w stosunku $2 : 1$, licząc od wierzchołka.
2. Dłuższa część to promień okręgu opisanego, czyli $R = \tfrac23 h$. Odwracając:
3. $h = \tfrac32 R = \tfrac32 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{18}$
4. Odpowiedź: A.
5. Kontrola drugą drogą, przez bok. Bok wiąże się z promieniem wzorem $a = R\sqrt3 = 12\sqrt3$, a wysokość trójkąta równobocznego to $h = \tfrac{a\sqrt3}{2} = \tfrac{12\sqrt3 \cdot \sqrt3}{2} = \tfrac{36}{2} = 18$ ✓. Dwie różne drogi, ten sam wynik.
6. Kontrola sensem: wysokość musi być dłuższa od promienia (bo promień to tylko dwie trzecie wysokości), ale krótsza od średnicy $24$. Jedyną liczbą spełniającą oba warunki wśród odpowiedzi jest $18$ — pozostałe albo są za duże, albo równe średnicy.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj proporcję $2 : 1$ i to, od której strony się ją liczy: dłuższy kawałek przylega do wierzchołka i to on jest promieniem okręgu opisanego. Krótszy — przylegający do boku — jest promieniem okręgu wpisanego i wynosi $\tfrac13 h$, czyli połowę $R$.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $24$ — podanie średnicy zamiast wysokości. Kusi tym mocniej, że $24$ to okrągła liczba i naprawdę występuje w tym trójkącie, tylko jako coś innego. Odpowiedzi $B$ i $C$ nie wychodzą z żadnego naturalnego rachunku — są wypełniaczami między poprawną odpowiedzią a średnicą, i to samo w sobie jest podpowiedzią, że prawdziwy wybór jest między $18$ a $24$.

Odpowiedź: C

1. Ten sam wzór co poprzednio: $h = \tfrac32 R$.
2. $h = \tfrac32 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{12}$
3. Odpowiedź: C.
4. Kontrola przez bok: $a = R\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{8\sqrt3}$, a wtedy $h = \tfrac{a\sqrt3}{2} = \tfrac{8\sqrt3 \cdot \sqrt3}{2} = \tfrac{24}{2} = 12$ ✓.
5. To zadanie warto rozebrać do końca, bo każda z czterech odpowiedzi jest w tym trójkącie czymś prawdziwym — tylko trzy z nich odpowiadają na inne pytanie. $8\sqrt3$ to bok. $4\sqrt3$ to połowa boku, czyli odcinek od spodka wysokości do wierzchołka podstawy. $6$ to połowa wysokości. A $12$ to sama wysokość — i o nią pytano.
6. Wniosek praktyczny: sprawdzenie „czy moja liczba w ogóle występuje w tym trójkącie” niczego tu nie rozstrzyga. Rozstrzyga tylko przeczytanie pytania.

💡 Wskazówka: Zanim wybierzesz, nazwij swoją liczbę: czy to bok, czy wysokość, czy jej połowa. W trójkącie równobocznym różnią się one o czynnik $\sqrt3$ albo $2$, a wszystkie trzy wyglądają w odpowiedziach równie wiarygodnie. Wysokość jest krótsza od boku — to najprostszy test.

⚠ Odpowiedź $B$, czyli $8\sqrt3$ — podanie boku zamiast wysokości. Jest to liczba około $13{,}9$, czyli większa od $12$, a wysokość trójkąta równobocznego zawsze jest od boku krótsza; sam ten warunek wystarczy, żeby $B$ odrzucić. Odpowiedź $A$ to połowa boku, $D$ — połowa wysokości; obie powstają z zatrzymania się w połowie rachunku prowadzonego przez bok.

Odpowiedź: B

1. Droga jest dwuetapowa: z pola wyznaczamy promień, a z promienia — bok. Litera $\pi$ w danych wygląda dziwnie, ale traktujemy ją jak każdą inną liczbę.
2. Z pola koła: $\pi R^2 = \textcolor{#16A06A}{\tfrac13 \pi^3}$, czyli po podzieleniu obu stron przez $\pi$:
3. $R^2 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac13 \pi^2}$, a stąd $R = \dfrac{\pi}{\sqrt3}$
4. Teraz bok. W trójkącie równobocznym $a = R\sqrt3$, więc pierwiastki się skracają:
5. $a = \dfrac{\pi}{\sqrt3} \cdot \sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{\pi}$
6. Odpowiedź: B.
7. Kontrola „do przodu”: jeśli bok wynosi $\pi$, to $R = \tfrac{a}{\sqrt3} = \tfrac{\pi}{\sqrt3}$, a pole koła to $\pi R^2 = \pi \cdot \tfrac{\pi^2}{3} = \tfrac13\pi^3$ ✓ — dokładnie to, co dane.
8. Kontrola oszacowaniem, która sama odsiewa trzy odpowiedzi. Bok trójkąta jest cięciwą koła opisanego, więc musi być dłuższy od promienia, ale krótszy od średnicy: $R < a < 2R$. Tutaj $R \approx 1{,}81$, więc bok leży między $1{,}81$ a $3{,}63$. Odpowiedź $A$ (około $1{,}05$) jest za mała, $C$ (około $5{,}44$) i $D$ (około $9{,}42$) — za duże. Zostaje jedna.

💡 Wskazówka: Nie daj się zmylić temu, że dane zawierają $\pi$. To zwykła liczba i wolno przez nią dzielić — a właśnie podzielenie obu stron przez $\pi$ upraszcza tu wszystko w jednym ruchu. Dopiero potem przechodzisz z promienia na bok wzorem $a = R\sqrt3$.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $\sqrt3\pi$ — z pomnożenia przez $\sqrt3$ dwa razy: raz przy wyciąganiu pierwiastka z $\tfrac13\pi^2$, drugi raz przy przejściu z promienia na bok. Wychodzi wtedy $3R$, a bok trójkąta równobocznego to $R\sqrt3$, czyli mniej. Drugi typowy błąd to pomylenie kierunku wzoru i podzielenie promienia przez $\sqrt3$ zamiast pomnożenia — wtedy bok wyszedłby krótszy od promienia, co jest niemożliwe dla cięciwy.