Równoległobok — wysokości, przekątne i symetria

Odpowiedź: D

1. Wzór na pole równoległoboku przez dwa boki i kąt między nimi: $P = ab\sin\alpha$.
2. $P = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{120^\circ}$
3. $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 120^\circ) = \sin 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}}$
4. $P = 12 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt3}$
5. Odpowiedź: D.
6. Kontrola rzędem wielkości: $6\sqrt3 \approx 10{,}4$. Pole musi być mniejsze od $3 \cdot 4 = 12$, bo iloczyn boków to pole prostokąta o tych bokach, czyli przypadek kąta prostego — a każdy inny kąt daje mniej. Odpowiedź $A$ ($12$) i $B$ ($12\sqrt3 \approx 20{,}8$) tego warunku nie spełniają.
7. Warto zapamiętać, że nie trzeba zamieniać kąta rozwartego na ostry. $\sin 120^\circ$ i $\sin 60^\circ$ to ta sama liczba, więc do wzoru można podstawić którykolwiek z dwóch kątów równoległoboku.

💡 Wskazówka: Podstawiaj do $P = ab\sin\alpha$ bez zastanawiania się, który kąt jest „ten właściwy” — oba dają ten sam wynik. Zapamiętaj też prosty test: pole równoległoboku jest zawsze mniejsze od iloczynu boków, chyba że kąt jest prosty; wtedy jest mu równe.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $12$ — pomnożenie samych boków, czyli potraktowanie równoległoboku jak prostokąta. Odpowiedź $B$, czyli $12\sqrt3$, to iloczyn boków pomnożony przez $\sqrt3$ zamiast przez $\tfrac{\sqrt3}{2}$ — zgubiona dwójka w mianowniku. Odpowiedź $C$, czyli $6$, to połowa iloczynu boków, czyli pole trójkąta o tych bokach i kącie prostym: prawidłowy wzór na złą figurę.

Odpowiedź: A

1. Ten sam wzór, większe liczby — i treść dodatkowo podkreśla, że $\textcolor{#16A06A}{120^\circ}$ to kąt rozwarty. Dla wzoru nie ma to znaczenia, ale warto zauważyć, dlaczego autor to napisał.
2. $P = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{10} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{120^\circ} = 60 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{30\sqrt3}$
3. Odpowiedź: A.
4. Kontrola rzędem wielkości: $30\sqrt3 \approx 51{,}96$, czyli mniej niż $6 \cdot 10 = 60$ ✓ — zgodnie z regułą z poprzedniego zadania. Odpowiedzi $C$ i $D$ są równe lub większe od iloczynu boków, więc odpadają bez rachunku.
5. Skąd wzmianka o kącie rozwartym: gdyby ktoś odjął $120^\circ$ od $180^\circ$ i podstawił $60^\circ$, dostałby tę samą odpowiedź. Informacja o rozwartości jest więc dla tego rachunku zbędna — jest tam po to, żeby jednoznacznie opisać figurę, a nie żeby coś podpowiedzieć.

💡 Wskazówka: Nie zamieniaj kąta rozwartego na ostry — to zbędny krok, w którym łatwo się pomylić. Za to zawsze porównaj wynik z iloczynem boków: jeśli wyszło więcej, gdzieś zamiast dzielić pomnożyłeś.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $60$ — sam iloczyn boków. Odpowiedź $C$, czyli $60\sqrt3 \approx 103{,}9$, to iloczyn boków pomnożony przez $\sqrt3$: pole prawie dwa razy większe od prostokąta o tych bokach, co jest geometrycznie niemożliwe. Odpowiedź $B$, czyli $30$, powstaje z użycia $\sin 30^\circ = \tfrac12$ zamiast $\sin 120^\circ$ — czyli z pomylenia kąta z jego dopełnieniem do $150^\circ$ zamiast do $180^\circ$.

Odpowiedź: A

1. Ten sam wzór, tylko niewiadomą jest teraz bok, a pole jest dane.
2. Kąt $\textcolor{#16A06A}{ABC}$ leży przy wierzchołku $B$, między bokami $BA$ i $BC$ — a to są boki o długościach $AB$ i $AD$ (bo $BC$ i $AD$ to boki przeciwległe, więc równe). Wzór stosuje się więc wprost:
3. $|AB| \cdot \textcolor{#16A06A}{10} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{135^\circ} = \textcolor{#16A06A}{40\sqrt6}$
4. $\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt2}{2}}$, więc lewa strona to $|AB| \cdot 10 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt2}{2}} = |AB| \cdot \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2}$.
5. $|AB| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{40\sqrt6}}{\textcolor{#E0453A}{5\sqrt2}} = \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \dfrac{\sqrt6}{\sqrt2} = \textcolor{#E0453A}{8}\sqrt{3}$
6. Odpowiedź: A.
7. Kontrola „do przodu”: $8\sqrt3 \cdot 10 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = 40\sqrt3 \cdot \sqrt2 = 40\sqrt6$ ✓ — dokładnie podane pole.
8. Kluczowy rachunek na pierwiastkach: $\dfrac{\sqrt6}{\sqrt2} = \sqrt{\dfrac{6}{2}} = \sqrt3$. Pierwiastki dzieli się dzieląc liczby pod nimi — i to jest jedyne miejsce, w którym w tym zadaniu można się pomylić.

💡 Wskazówka: Zapisz wzór na pole z niewiadomym bokiem i dopiero potem dziel. Przy pierwiastkach nie mnóż na siłę przez sprzężenia — wystarczy reguła $\tfrac{\sqrt m}{\sqrt n} = \sqrt{\tfrac mn}$. I sprawdź na końcu, mnożąc z powrotem: przy takich liczbach kontrola zajmuje kilka sekund.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $16\sqrt2$ — z pominięcia dwójki w $\sin 135^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}$, czyli z podzielenia przez $10\sqrt2$ zamiast przez $5\sqrt2$… a raczej odwrotnie: z pomnożenia przez dwa w złym miejscu. Odpowiedź $B$, czyli $8\sqrt2$, bierze się z pozostawienia $\sqrt2$ zamiast wykonania dzielenia $\tfrac{\sqrt6}{\sqrt2}$. Każda z tych odpowiedzi natychmiast pada przy kontroli „do przodu”: $16\sqrt2 \cdot 10 \cdot \tfrac{\sqrt2}{2} = 160$, a nie $40\sqrt6 \approx 98$.

Odpowiedź: C

1. To zadanie nie pyta o żadną wielkość — pyta, która para długości jest w ogóle możliwa. Potrzebny jest więc warunek istnienia, a nie wzór.
2. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Punkt przecięcia dzieli je na cztery odcinki: dwa po $\tfrac{p}{2}$ i dwa po $\tfrac{q}{2}$.
3. Bok równoległoboku łączy końce dwóch takich połówek, więc połowa jednej przekątnej, połowa drugiej i bok tworzą trójkąt — a w trójkącie suma dwóch boków musi być większa od trzeciego.
4. Sprawdzamy każdą parę, licząc połówki i porównując ich sumę z bokiem $\textcolor{#16A06A}{5}$:
5. A: $\tfrac42 = 2$ oraz $\tfrac62 = 3$; $2 + 3 = \textcolor{#E0453A}{5}$ — dokładnie tyle, ile bok. Trójkąt byłby zdegenerowany (płaski), więc taki równoległobok nie istnieje.
6. B: $2$ oraz $1{,}5$; $2 + 1{,}5 = \textcolor{#E0453A}{3{,}5} < 5$ — za mało, nie istnieje.
7. C: $5$ oraz $5$; $5 + 5 = \textcolor{#E0453A}{10} > 5$ ✓ — trójkąt o bokach $5$, $5$, $5$, czyli równoboczny. Istnieje.
8. D: $2{,}5$ oraz $2{,}5$; suma $= \textcolor{#E0453A}{5}$ — znowu dokładnie tyle, ile bok. Zdegenerowany, nie istnieje.
9. Odpowiedź: C.
10. Kontrola przez drugi bok: dla pary $10$ i $10$ przekątne są równe, a to znaczy, że równoległobok jest prostokątem. Prostokąt o przekątnej $10$ i boku $5$ ma drugi bok $\sqrt{100-25} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$ ✓ — figura naprawdę się domyka.
11. Warto zauważyć, że trzy z czterech odpowiedzi odpadają przez równość, a nie przez nierówność ostrą. Suma połówek równa bokowi to najczęstsza pułapka w zadaniach o istnieniu figury: liczby „prawie pasują”, a figura mimo to nie istnieje.

💡 Wskazówka: Podziel obie przekątne na pół i sprawdź nierówność trójkąta z bokiem. Nie potrzebujesz żadnego wzoru na przekątne równoległoboku — wystarczy to, że przecinają się w połowie. I pamiętaj, że nierówność musi być ostra: suma równa bokowi daje figurę płaską, czyli żadną.

⚠ Odpowiedź $A$ ($4$ i $6$) jest tu najgroźniejsza, bo połówki dają sumę dokładnie $5$ — czyli przy pobieżnym sprawdzeniu „$2 + 3$, a bok $5$, pasuje” wychodzi na zgodność. Nie pasuje: trójkąt o bokach $2$, $3$ i $5$ nie istnieje, bo dwa krótsze leżą wtedy na jednej prostej z najdłuższym. Ta sama pułapka jest w odpowiedzi $D$. Drugi typowy błąd to szukanie wzoru $p^2 + q^2 = 2(a^2+b^2)$ — działa, ale wymaga zgadnięcia drugiego boku, a nierówność trójkąta rozstrzyga wszystko od razu.