Strona główna › Geometria › Trójkąt — rodzaje, kąty i własności

Trójkąt — rodzaje, kąty i własności

Q: Ile wynosi suma kątów w trójkącie?

Zawsze 180^ , niezależnie od kształtu i wielkości. Z tego wynika, że trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych ani dwóch rozwartych, że w trójkącie prostokątnym kąty ostre dają razem 90^ , a w równobocznym każdy kąt ma 60^ .

Q: Czy z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Nie. Suma dwóch krótszych musi być większa od najdłuższego. Z odcinków 2, 3 i 10 trójkąta nie ma, bo 2 + 3 = 5, a to mniej niż 10. Gdy suma jest dokładnie równa najdłuższemu, odcinki układają się w linię prostą — też nie powstaje trójkąt.

Q: Czy trójkąt równoboczny jest równoramienny?

Tak. Definicja równoramiennego mówi o co najmniej dwóch równych bokach, a równoboczny ma trzy — spełnia warunek z nawiązką. W drugą stronę to nie działa: nie każdy równoramienny jest równoboczny.

Trójkąt jest najprostszym wielokątem, jaki da się zbudować — i właśnie dlatego wraca w całej geometrii. Kwadrat, trapez i każdy inny wielokąt można pociąć na trójkąty, więc to, co się o nich wie, przekłada się na resztę figur. Ta strona porządkuje dwie rzeczy, które uczniowie najczęściej mieszają: dwa niezależne podziały trójkątów — według boków i według kątów — oraz to, że nie z każdych trzech odcinków da się trójkąt w ogóle zbudować.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–8Zadań z matury: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Dwa podziały naraz, nie jeden

Trójkąty dzieli się na dwa niezależne sposoby. Każdy trójkąt ma nazwę z obu podziałów naraz — i to jest sedno.

podział według BOKÓW	co go wyróżnia
równoboczny	trzy boki równej długości
równoramienny	co najmniej dwa boki równe
różnoboczny	wszystkie boki różnej długości

podział według KĄTÓW	co go wyróżnia
ostrokątny	wszystkie trzy kąty ostre
prostokątny	jeden kąt prosty
rozwartokątny	jeden kąt rozwarty

Dlaczego to dwa podziały, a nie sześć rodzajów

Trójkąt równoramienny prostokątny to najzwyklejsza figura — połówka kwadratu przecięta przekątną. Ma dwa boki równe i jeden kąt prosty, więc należy do obu podziałów jednocześnie.

Tak samo różnoboczny rozwartokątny albo równoramienny ostrokątny. Nazwy się łączą, nie wykluczają.

Jedyne ograniczenie: trójkąt równoboczny jest zawsze ostrokątny, bo wszystkie jego kąty mają po $60^\circ$ . Nie istnieje trójkąt równoboczny prostokątny.

Zwróć uwagę na sformułowanie „co najmniej dwa boki równe” przy równoramiennym. Oznacza ono, że trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem równoramiennego — ma nie dwa, ale trzy równe boki, więc warunek spełnia z nawiązką. W drugą stronę to nie działa.

2Suma kątów zawsze wynosi 180°

To najważniejsza własność trójkąta i jedyna, którą trzeba znać na pamięć.

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Z niej wynika prawie wszystko inne:

trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych — dwa razy $90^\circ$ to już całe $180^\circ$ i na trzeci kąt nic nie zostaje;
nie może mieć dwóch kątów rozwartych z tego samego powodu;
w trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$ , bo kąt prosty zabiera połowę puli;
w trójkącie równobocznym każdy kąt ma $60^\circ$ , bo trzy równe kąty muszą dać $180^\circ$ , a $180 : 3 = 60$ .

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. To druga własność warta zapamiętania i wynika z symetrii: jeśli dwa boki są równe, to figura jest symetryczna względem wysokości opuszczonej na trzeci bok, a symetria zrównuje kąty po obu stronach.

Dzięki temu w trójkącie równoramiennym wystarczy znać jeden kąt, żeby wyznaczyć pozostałe dwa. Jeśli kąt przy wierzchołku ma $56^\circ$ , to na dwa kąty przy podstawie zostaje $180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$ , czyli po $62^\circ$ każdy.

Ta sama oszczędność działa przy bokach. Podstawa programowa wymaga, żeby w trójkącie równoramiennym umieć wyznaczyć „przy danych obwodzie i długości jednego boku — długości pozostałych boków”. Skoro ramiona są równe, wystarczy jedno odejmowanie: gdy dana jest podstawa $a$ , to ramię wynosi $\frac{O-a}{2}$ ; gdy dane jest ramię $b$ , to podstawa wynosi $O - 2b$ .

Jest tu jednak pułapka, której nie ma przy kątach. Zdanie „jeden bok ma $6$ cm” nie mówi, czy to podstawa, czy ramię — więc trzeba sprawdzić oba przypadki. Dla obwodu $\textcolor{#16A06A}{20}$ cm i boku $\textcolor{#16A06A}{6}$ cm wychodzą dwa różne trójkąty: $(\textcolor{#E0453A}{6},\,7,\,7)$ oraz $(8,\,\textcolor{#E0453A}{6},\,6)$ — i oba są poprawnymi odpowiedziami.

Nie zawsze jednak oba przypadki przechodzą. Dla obwodu $\textcolor{#16A06A}{20}$ cm i boku $\textcolor{#16A06A}{2}$ cm wariant „ $2$ to ramię” dawałby podstawę $16$ , a wtedy $\textcolor{#9b1c14}{2 + 2 > 16}$ jest fałszem — nierówność trójkąta, którą opisuję w następnej sekcji, odrzuca tę figurę. Zostaje jedno rozwiązanie: $(\textcolor{#E0453A}{2},\,9,\,9)$ . Dlatego po każdym wariancie trzeba sprawdzić, czy trójkąt w ogóle istnieje.

3Nierówność trójkąta — kiedy figura w ogóle powstanie

Nie z każdych trzech odcinków da się zbudować trójkąt. Weź patyki o długościach $2$ , $3$ i $10$ — dwa krótsze nie sięgną do siebie ponad tym najdłuższym. Najlepiej widać to przy konstrukcji trójkąta cyrklem: zakreślone łuki po prostu się nie przecinają.

Warunek istnienia trójkąta

Suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

Formalnie sprawdza się to dla każdej pary, ale w praktyce wystarczy jedno sprawdzenie: wybierz najdłuższy bok i sprawdź, czy dwa pozostałe dodane do siebie są od niego dłuższe. Jeśli tak, dwa pozostałe warunki są spełnione automatycznie.

Dla $2$ , $3$ , $10$ : $2 + 3 = 5$ , a $5 < 10$ — trójkąta nie da się zbudować.

Dla $6$ , $8$ , $10$ : $6 + 8 = 14$ , a $14 > 10$ — da się ✓

Przypadek graniczny jest pouczający. Gdy suma dwóch krótszych jest równa najdłuższemu — na przykład $3$ , $4$ , $7$ — odcinki układają się w linię prostą. Figura się „spłaszcza” do odcinka i trójkąta nie ma. Dlatego warunek wymaga nierówności ostrej, a nie „większa albo równa”.

Z tej samej własności wynika reguła przydatna przy zadaniach: naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt. W trójkącie o bokach $5$ , $7$ , $9$ największy kąt leży naprzeciw dziewiątki, a najmniejszy naprzeciw piątki — i nie trzeba niczego liczyć, żeby to stwierdzić.

4Wysokość — trzy różne odcinki w jednym trójkącie

Wysokość to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku (albo do jego przedłużenia).

Każdy trójkąt ma trzy wysokości — po jednej z każdego wierzchołka. To zaskakuje uczniów, którzy zapamiętali wysokość jako „tę pionową kreskę w środku”.

w trójkącie ostrokątnym wszystkie trzy wysokości leżą wewnątrz figury;
w prostokątnym dwie wysokości to po prostu przyprostokątne — są już prostopadłe do siebie nawzajem;
w rozwartokątnym dwie wysokości wypadają poza trójkątem i trzeba przedłużyć bok, żeby je narysować.

To ostatnie jest najczęstszym źródłem błędnych rysunków. Uczeń rysuje wysokość „gdzieś w środku”, bo tak wygląda w podręczniku — a w trójkącie rozwartokątnym jej tam po prostu nie ma.

Przy liczeniu pola trzeba pilnować jednej rzeczy: wysokość musi pasować do wybranej podstawy. Do boku $a$ pasuje wysokość opuszczona właśnie na $a$ , a nie dowolna z trzech.

P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a

Wszystkie sposoby liczenia pola — także wtedy, gdy zamiast wysokości znamy kąt albo trzy boki — zebrane są na stronie o wzorach na pole trójkąta.

Dla porządku zbieram tu komplet wielkości trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ . Kolumna liczbowa dotyczy trójkąta $6$ , $8$ , $10$ — tego samego, którym sprawdzaliśmy wyżej nierówność trójkąta.

wielkość	wzór	dla boków $6$ , $8$ , $10$
obwód	$Ob = a + b + c$	$24$
połowa obwodu	$p = \dfrac{a+b+c}{2}$	$12$
pole (z wysokości)	$P = \dfrac{a \cdot h_a}{2}$	$24$
pole (z trzech boków)	$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	$24$
promień okręgu wpisanego	$r = \dfrac{P}{p}$	$2$
promień okręgu opisanego	$R = \dfrac{abc}{4P}$	$5$

Dwa ostatnie wiersze i wzór Herona to materiał liceum — w szkole podstawowej wystarczą obwód i pole z wysokości. Wyprowadzenia obu promieni stoją przy okręgu wpisanym w trójkąt i okręgu opisanym na trójkącie.

Warto sprawdzić te liczby na przykładzie, bo domykają się nawzajem. Dla boków $6$ , $8$ , $10$ mamy $p = 12$ , a wzór Herona daje $\sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24$ — dokładnie tyle, ile zwykłe $\frac{6 \cdot 8}{2}$ , bo ten trójkąt jest prostokątny. Stąd $r = \frac{24}{12} = 2$ oraz $R = \frac{480}{96} = 5$ , czyli połowa najdłuższego boku — zgodnie z tym, co o trójkącie prostokątnym mówi jego własna strona.

5Gdzie trójkąty wracają w dalszej nauce

Trójkąt nie jest tematem, który się zamyka — jest narzędziem używanym przez resztę geometrii.

gdzie	do czego służy trójkąt
pola wielokątów	każdy wielokąt tnie się na trójkąty i sumuje ich pola
twierdzenie Pitagorasa	działa wyłącznie w trójkącie prostokątnym
trygonometria	sinus i cosinus definiuje się na trójkącie prostokątnym
podobieństwo	cechy podobieństwa formułuje się dla trójkątów
stereometria	ściany ostrosłupów i przekroje brył to trójkąty

Dwa szczególne trójkąty warto poznać osobno, bo wracają najczęściej: równoboczny (wszystkie kąty po $60^\circ$ , wysokość dzieli go na dwie połówki) oraz prostokątny o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ , czyli właśnie połówka równobocznego — o nim jest osobna strona.

Zadania z arkuszy CKE, w których trzeba wykorzystać własności trójkąta, znajdziesz w bloku poniżej.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wyznaczanie kątów, sprawdzanie warunku istnienia i zadanie z trójkątem równoramiennym.

Przykład 1 Wyznaczanie brakujących kątów

W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ ma $35^\circ$ , a kąt przy $B$ jest o $25^\circ$ większy. Ile ma kąt przy $C$ ? Jakiego rodzaju jest ten trójkąt?

Kąt przy $B$ : $35^\circ + 25^\circ = 60^\circ$ .
Suma wszystkich trzech to $180^\circ$ , więc kąt przy $C$ : $180^\circ - 35^\circ - 60^\circ = 85^\circ$ .
Sprawdzam rodzaj według kątów: największy z nich to $85^\circ$ , czyli mniej niż $90^\circ$ — wszystkie kąty są ostre, więc trójkąt jest ostrokątny.
Sprawdzam rodzaj według boków: wszystkie trzy kąty są różne ( $35^\circ$ , $60^\circ$ , $85^\circ$ ), a równym kątom odpowiadają równe boki — skoro żadne dwa kąty nie są równe, żadne dwa boki też nie są. Trójkąt jest różnoboczny.
Kontrola: $35 + 60 + 85 = 180$ ✓

Odpowiedź: Kąt przy $C$ ma $85^\circ$ . Trójkąt jest ostrokątny i różnoboczny.

Zadanie pyta o „rodzaj”, a odpowiedź musi obejmować oba podziały — to typowe miejsce utraty połowy punktu. Warto też zauważyć krok czwarty: rodzaj według boków dało się ustalić bez znajomości długości, wyłącznie z kątów.

Przykład 2 Czy z tych odcinków powstanie trójkąt

Czy da się zbudować trójkąt o bokach: (a) $4$ , $5$ , $8$ ; (b) $3$ , $5$ , $9$ ; (c) $6$ , $6$ , $12$ ?

(a) Najdłuższy bok to $8$ . Suma dwóch pozostałych: $4 + 5 = 9$ . Skoro $9 > 8$ — trójkąt istnieje ✓
(b) Najdłuższy to $9$ . Suma pozostałych: $3 + 5 = 8$ . Skoro $8 < 9$ — trójkąta nie da się zbudować.
(c) Najdłuższy to $12$ . Suma pozostałych: $6 + 6 = 12$ . Suma jest równa najdłuższemu, więc odcinki ułożą się w linię prostą — trójkąta nie ma.
Kontrola dla (a): sprawdzam pozostałe pary, choć nie było trzeba. $4 + 8 = 12 > 5$ ✓ oraz $5 + 8 = 13 > 4$ ✓ Wszystkie trzy warunki spełnione.
Kontrola dla (c) obrazem: dwa patyki po $6$ położone końcami na patyku długości $12$ leżą dokładnie wzdłuż niego, bez żadnego prześwitu ✓

Odpowiedź: (a) tak · (b) nie · (c) nie — przypadek graniczny, figura spłaszcza się do odcinka

Podpunkt (c) jest w zadaniu celowo. Przy warunku zapisanym jako „większa lub równa” odpowiedź byłaby błędna — dlatego nierówność musi być ostra. To najczęstsza pułapka w tym typie zadań.

Przykład 3 Trójkąt równoramienny — dwa możliwe rozwiązania

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma $56^\circ$ . Ile mogą mieć pozostałe dwa?

Uwaga: treść nie mówi, czy $56^\circ$ to kąt przy wierzchołku, czy przy podstawie. Trzeba rozpatrzyć oba przypadki.
Przypadek 1 — $56^\circ$ przy wierzchołku. Na dwa równe kąty przy podstawie zostaje $180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$ , czyli po $62^\circ$ każdy.
Sprawdzenie: $56 + 62 + 62 = 180$ ✓
Przypadek 2 — $56^\circ$ przy podstawie. Wtedy drugi kąt przy podstawie też ma $56^\circ$ , a przy wierzchołku zostaje $180^\circ - 56^\circ - 56^\circ = 68^\circ$ .
Sprawdzenie: $56 + 56 + 68 = 180$ ✓
Oba przypadki dają poprawne trójkąty, więc oba są odpowiedzią — i tym razem oba są ostrokątne, bo największy kąt to $68^\circ$ .

Odpowiedź: Albo $62^\circ$ i $62^\circ$ , albo $56^\circ$ i $68^\circ$ — obie odpowiedzi są poprawne.

To klasyczne zadanie „na dwa przypadki” i najczęściej traci się w nim punkt za podanie tylko jednej odpowiedzi. Sygnał ostrzegawczy jest zawsze ten sam: treść mówi „jeden z kątów”, a nie „kąt przy wierzchołku”.

7Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą klasyfikacji, dwa kolejne — wysokości i warunku istnienia.

Traktowanie podziału według boków i według kątów jako jednej listy

Skąd się bierze: Uczeń zapamiętuje sześć nazw jako sześć rodzajów i na pytanie „jaki to trójkąt” podaje jedną. Tymczasem to dwa niezależne podziały i każdy trójkąt ma nazwę z obu: równoramienny prostokątny, różnoboczny ostrokątny i tak dalej. Odpowiedź z jednym określeniem jest niepełna.

Jak zrobić dobrze: Przy każdym pytaniu o rodzaj odpowiadaj dwoma słowami: jedno o bokach, jedno o kątach. Jeśli danych starcza tylko na jedno — powiedz to wprost, zamiast zgadywać drugie.

„Równoramienny to trójkąt, który ma dokładnie dwa boki równe”

Skąd się bierze: Definicja mówi co najmniej dwa, więc trójkąt równoboczny również jest równoramienny. Zawężenie do „dokładnie dwóch” wyklucza go bez powodu i psuje zadania typu „ile jest trójkątów równoramiennych wśród podanych”. Odwrotnie natomiast nie jest: nie każdy równoramienny jest równoboczny.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj relację, nie samą nazwę: każdy równoboczny jest równoramienny, ale nie odwrotnie. To ta sama logika co przy kwadracie i prostokącie.

Rysowanie wysokości zawsze wewnątrz trójkąta

Skąd się bierze: W trójkącie rozwartokątnym dwie z trzech wysokości wypadają poza figurą — trzeba przedłużyć bok, żeby je w ogóle narysować. Uczeń, który rysuje je „w środku”, dostaje odcinek, który nie jest prostopadły do właściwego boku, i dalszy rachunek na polu jest fałszywy.

Jak zrobić dobrze: Zacznij od pytania: do którego boku ma być prostopadła? Potem poprowadź prostopadłą z przeciwległego wierzchołka i pozwól jej wypaść tam, gdzie wypadnie — także poza trójkątem. W razie potrzeby przedłuż bok linią przerywaną.

Warunek istnienia trójkąta z nierównością nieostrą

Skąd się bierze: Zapamiętany jako „suma dwóch boków większa lub równa trzeciemu” przepuszcza przypadki graniczne. Dla boków $6$ , $6$ , $12$ suma dwóch krótszych równa się najdłuższemu, więc odcinki układają się wzdłuż jednej prostej — figura jest spłaszczona do odcinka i nie jest trójkątem.

Jak zrobić dobrze: Nierówność musi być ostra: suma dwóch krótszych większa od najdłuższego. Przy sprawdzaniu wystarczy jedno porównanie — z najdłuższym bokiem; pozostałe dwa wychodzą wtedy same.

Zadania maturalne — trójkąt

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Trzy narzędzia wystarczają na całą tę stronę. Suma kątów trójkąta to

180^\circ

— jeśli kąty są opisane wyrażeniami, wystarczy je dodać i przyrównać. Znak cosinusa rozstrzyga o rodzaju trójkąta: z twierdzenia cosinusów

\cos\gamma = \tfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

, więc kąt jest rozwarty dokładnie wtedy, gdy

c^2 > a^2+b^2

— i wystarczy sprawdzić to dla najdłuższego boku. Wysokości wiąże z bokami stałe pole: skoro

P = \tfrac12 a h_a

dla każdego boku, to iloczyn

a h_a

jest ten sam dla wszystkich trzech — a stąd najkrótsza wysokość zawsze opada na najdłuższy bok.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2022)1 pktłatwe

W trójkącie miary kątów są równe:

\alpha

4\alpha

\alpha + 30^\circ

. Miara największego kąta tego trójkąta jest równa

A. $55^\circ$
B. $90^\circ$
C. $100^\circ$
D. $120^\circ$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trzy kąty trójkąta sumują się do $\textcolor{#16A06A}{180^\circ}$ — i to jest całe równanie.
$\alpha + 4\alpha + (\alpha + \textcolor{#16A06A}{30^\circ}) = \textcolor{#16A06A}{180^\circ}$
$6\alpha + \textcolor{#16A06A}{30^\circ} = \textcolor{#16A06A}{180^\circ} \quad\Longrightarrow\quad 6\alpha = \textcolor{#E0453A}{150^\circ} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \textcolor{#E0453A}{25^\circ}$
Teraz wszystkie trzy kąty: $\textcolor{#E0453A}{25^\circ}$ , $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{25^\circ} = \textcolor{#E0453A}{100^\circ}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{25^\circ} + 30^\circ = \textcolor{#E0453A}{55^\circ}$ .
Największy z nich to $\textcolor{#E0453A}{100^\circ}$ .
Odpowiedź: C.
Kontrola sumą: $25^\circ + 100^\circ + 55^\circ = 180^\circ$ ✓. To jedyna kontrola, jakiej to zadanie potrzebuje, i zajmuje sekundę.
Uwaga na kolejność: wyrażenie $\alpha + 30^\circ$ nie jest największe, mimo że wygląda na „powiększone”. Dopiero po wyliczeniu $\alpha$ widać, że $4\alpha = 100^\circ$ bije $\alpha + 30^\circ = 55^\circ$ . Który kąt jest największy, zależy od wartości $\alpha$ , a nie od wyglądu wzoru.

💡 Wskazówka: Nie zgaduj, które wyrażenie opisuje największy kąt — najpierw wylicz $\alpha$ , potem policz wszystkie trzy kąty i dopiero wtedy wybierz największy. Sprawdzenie sumy na końcu wyłapuje praktycznie każdą pomyłkę rachunkową.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $55^\circ$ — to naprawdę jeden z kątów tego trójkąta, tylko nie największy. Bierze się z założenia, że skoro do $\alpha$ coś dodano, to ten kąt musi być największy. Odpowiedzi $B$ i $D$ nie należą do tego trójkąta w ogóle; są tam, bo $90^\circ$ i $120^\circ$ to miary, które w zadaniach o trójkątach pojawiają się najczęściej.

Zadanie 2 (pokazowy 2023)1 pktśrednie

Dany jest trójkąt

ABC

, w którym

|AB| = 6

|BC| = 5

|AC| = 10

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Cosinus kąta $ABC$ jest równy $(-0{,}65)$ .	P	F
Trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oba stwierdzenia dotyczą tego samego rachunku, więc wystarczy zrobić go raz.
Kąt $ABC$ leży przy wierzchołku $B$ , czyli naprzeciw boku $AC$ . Twierdzenie cosinusów zapisujemy więc z $AC$ po lewej stronie:
$\textcolor{#16A06A}{|AC|}^2 = \textcolor{#16A06A}{|AB|}^2 + \textcolor{#16A06A}{|BC|}^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{|AB|} \cdot \textcolor{#16A06A}{|BC|} \cdot \cos(ABC)$
$\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{6}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \cos(ABC)$
$100 = 61 - 60\cos(ABC) \quad\Longrightarrow\quad \cos(ABC) = \dfrac{61 - 100}{60} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-39}}{60} = \textcolor{#E0453A}{-0{,}65}$
Stwierdzenie pierwsze: PRAWDA.
Cosinus wyszedł ujemny, a to znaczy, że kąt jest większy od $90^\circ$ — czyli rozwarty. Trójkąt z kątem rozwartym jest rozwartokątny.
Stwierdzenie drugie: PRAWDA.
Odpowiedź: PP.
Kontrola bez liczenia cosinusa: trójkąt jest rozwartokątny dokładnie wtedy, gdy kwadrat najdłuższego boku przekracza sumę kwadratów pozostałych. Tutaj $10^2 = 100$ , a $6^2 + 5^2 = 61$ — i $100 > 61$ ✓. Ta kontrola rozstrzyga drugie stwierdzenie w jednej linijce.
Kontrola istnienia trójkąta, o której łatwo zapomnieć: $5 + 6 = 11 > 10$ ✓ — nierówność trójkąta zachodzi, choć z niewielkim zapasem. Gdyby najdłuższy bok wynosił $11$ , trójkąta by nie było.

💡 Wskazówka: Pilnuj, który bok stoi naprzeciw szukanego kąta — to on wchodzi na lewą stronę twierdzenia cosinusów. A jeśli pytanie dotyczy tylko rodzaju trójkąta, nie licz cosinusa w ogóle: porównaj kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych.

⚠ Najczęstszy błąd to wstawienie na lewą stronę złego boku — na przykład $BC$ zamiast $AC$ — czyli policzenie cosinusa innego kąta. Wyszłoby wtedy $\cos = \tfrac{36+100-25}{2 \cdot 6 \cdot 10} = \tfrac{111}{120} = 0{,}925$ , liczba dodatnia, co prowadziłoby do błędnej odpowiedzi także w drugim stwierdzeniu. Drugi błąd to uznanie, że skoro cosinus jest ujemny, to „coś się nie zgadza” — ujemny cosinus jest w trójkącie zupełnie normalny i oznacza po prostu kąt rozwarty.

Zadanie 3 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę

120^\circ

, a najdłuższy bok ma długość

12

.

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

A. $6$
B. $2\sqrt{3}$
C. $4\sqrt{3}$
D. $6\sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw trzeba rozpoznać figurę. Kąt $\textcolor{#16A06A}{120^\circ}$ jest największy, więc leży naprzeciw najdłuższego boku — czyli naprzeciw boku o długości $\textcolor{#16A06A}{12}$ . W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami jest tym wyróżnionym, więc $\textcolor{#16A06A}{12}$ to podstawa, a ramiona są równe.
Ramię wyliczamy z twierdzenia cosinusów albo z połowy podstawy. Druga droga jest krótsza: wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt na dwa prostokątne o kącie $60^\circ$ przy wierzchołku, więc $\tfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{2} = a\sin 60^\circ$ , czyli $6 = a \cdot \tfrac{\sqrt3}{2}$ , a stąd $a = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$ .
Pole: $P = \tfrac12 a^2 \sin \textcolor{#16A06A}{120^\circ} = \tfrac12 \cdot 48 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{12\sqrt3}$ .
Teraz kluczowa obserwacja: pole jest jedno, a policzyć je można przez każdy bok. Skoro $P = \tfrac12 \cdot \text{bok} \cdot \text{wysokość}$ , to im dłuższy bok, tym krótsza opadająca na niego wysokość. Najkrótsza wysokość opada więc na bok o długości $\textcolor{#16A06A}{12}$ .
$h = \dfrac{2P}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \dfrac{2 \cdot \textcolor{#E0453A}{12\sqrt3}}{12} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$
Odpowiedź: B.
Kontrola przez drugą wysokość: na ramię $4\sqrt3$ opada wysokość $\tfrac{2 \cdot 12\sqrt3}{4\sqrt3} = 6$ . I rzeczywiście $6 > 2\sqrt3 \approx 3{,}46$ ✓ — wysokość na krótszy bok jest dłuższa, zgodnie z regułą.
Kontrola sensem: trójkąt o kącie $120^\circ$ jest bardzo „płaski”, więc jego wysokość nad długą podstawą musi być mała w porównaniu z tą podstawą. Stosunek $\tfrac{2\sqrt3}{12} \approx 0{,}29$ ✓.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj regułę, która załatwia całe pytanie: najkrótsza wysokość opada na najdłuższy bok. Wynika wprost z tego, że pole jest stałe, a $P = \tfrac12 a h_a$ . Wystarczy więc policzyć pole i podzielić przez najdłuższy bok — bez zastanawiania się, która z trzech wysokości jest która.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $6$ — to druga wysokość tego trójkąta, ta opadająca na ramię. Jest poprawnie policzona, tylko nie jest najkrótsza; wybiera ją ten, kto liczy wysokość „standardowo”, czyli z wierzchołka przy kącie ostrym. Odpowiedź $C$ , czyli $4\sqrt3$ , to długość ramienia — wielkość policzona po drodze i podana zamiast wyniku. Warto zauważyć, że $4\sqrt3 \approx 6{,}93$ jest dłuższe niż wysokość $6$ , a wysokość nigdy nie przekracza boku, z którego wychodzi.

Zadanie 4 (sierpień 2020)1 pkttrudniejsze

Przyprostokątna

AC

trójkąta prostokątnego

ABC

ma długość

6

, a wysokość

CD

dzieli go na dwa takie trójkąty

ADC

CDB

, że pole trójkąta

ADC

jest

4

razy większe od pola trójkąta

CDB

.

Przyprostokątna

BC

trójkąta prostokątnego

ABC

jest równa

A. $1{,}5$
B. $2$
C. $2{,}5$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną tworzy dwa trójkąty, z których każdy jest podobny do wyjściowego — mają ten sam zestaw kątów. Są więc podobne także do siebie nawzajem.
Trójkąt $ADC$ ma przeciwprostokątną $\textcolor{#16A06A}{AC}$ , a trójkąt $CDB$ — przeciwprostokątną $\textcolor{#16A06A}{BC}$ . To są odpowiadające sobie boki w tych dwóch podobnych trójkątach, więc skala podobieństwa wynosi $k = \dfrac{|AC|}{|BC|}$ .
W figurach podobnych pola mają się jak kwadrat skali:
$\dfrac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = k^2 = \textcolor{#16A06A}{4} \quad\Longrightarrow\quad k = \textcolor{#E0453A}{2}$
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{|AC|}}{|BC|} = \textcolor{#E0453A}{2} \quad\Longrightarrow\quad |BC| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{3}$
Odpowiedź: D.
Kontrola pełnym rachunkiem, bez podobieństwa. Przy $AC = 6$ i $BC = 3$ przeciwprostokątna $AB = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt5$ . Wysokość $CD = \tfrac{6 \cdot 3}{3\sqrt5} = \tfrac{18}{3\sqrt5} = \tfrac{6}{\sqrt5}$ . Odcinki na przeciwprostokątnej: $AD = \tfrac{36}{3\sqrt5} = \tfrac{12}{\sqrt5}$ oraz $DB = \tfrac{9}{3\sqrt5} = \tfrac{3}{\sqrt5}$ . Stosunek pól to stosunek tych odcinków (bo wysokość $CD$ jest wspólna): $\tfrac{12}{\sqrt5} : \tfrac{3}{\sqrt5} = 4$ ✓ — dokładnie tyle, ile podano.
Warto zauważyć, że pierwiastki się skróciły — stosunek pól wyszedł liczbą całkowitą, mimo że wszystkie długości po drodze były niewymierne. To typowe dla zadań o podobieństwie i dobry znak, że rachunek jest poprawny.

💡 Wskazówka: Przy wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną od razu wypisz sobie trzy podobne trójkąty: dwa małe i duży. Potem pamiętaj o jednej rzeczy — pola mają się jak kwadrat skali, więc ze stosunku pól $4$ wychodzi skala $2$ , a nie $4$ . To jest cała treść tego zadania.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $1{,}5$ — z podzielenia $6$ przez $4$ , czyli z pomylenia stosunku pól ze skalą podobieństwa. Ten błąd daje wynik dwa razy za mały i jest w tym zadaniu najczęstszy. Odpowiedzi $B$ i $C$ nie wychodzą z żadnego naturalnego rachunku; stoją tam, żeby czwórka odpowiedzi tworzyła ciąg $1{,}5$ , $2$ , $2{,}5$ , $3$ i nie podpowiadała, która wartość jest „okrągła”.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C

2. P, P

3. B

4. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jakie są rodzaje trójkątów?

Dzieli się je na dwa niezależne sposoby. Według boków: równoboczny, równoramienny, różnoboczny. Według kątów: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny. Każdy trójkąt ma nazwę z obu podziałów naraz — na przykład równoramienny prostokątny, czyli połówka kwadratu.

Ile wynosi suma kątów w trójkącie?

Zawsze $180^\circ$ , niezależnie od kształtu i wielkości. Z tego wynika, że trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych ani dwóch rozwartych, że w trójkącie prostokątnym kąty ostre dają razem $90^\circ$ , a w równobocznym każdy kąt ma $60^\circ$ .

Czy z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Nie. Suma dwóch krótszych musi być większa od najdłuższego. Z odcinków $2$ , $3$ i $10$ trójkąta nie ma, bo $2 + 3 = 5$ , a to mniej niż $10$ . Gdy suma jest dokładnie równa najdłuższemu, odcinki układają się w linię prostą — też nie powstaje trójkąt.

Czy trójkąt równoboczny jest równoramienny?

Tak. Definicja równoramiennego mówi o co najmniej dwóch równych bokach, a równoboczny ma trzy — spełnia warunek z nawiązką. W drugą stronę to nie działa: nie każdy równoramienny jest równoboczny.

Ile wysokości ma trójkąt?

Trzy — po jednej z każdego wierzchołka. W trójkącie ostrokątnym wszystkie leżą wewnątrz, w prostokątnym dwie z nich to przyprostokątne, a w rozwartokątnym dwie wypadają poza figurą i trzeba przedłużyć bok, żeby je narysować.

Który kąt w trójkącie jest największy?

Ten, który leży naprzeciw najdłuższego boku. W trójkącie o bokach $5$ , $7$ , $9$ największy kąt leży naprzeciw dziewiątki, a najmniejszy naprzeciw piątki — i nie trzeba nic liczyć, żeby to stwierdzić.

Czytaj dalej

Pola figurHub działu: wzory na pola wszystkich figur płaskich Wzory na pole trójkątaWszystkie sposoby liczenia pola w jednym miejscu Twierdzenie PitagorasaDziała wyłącznie w trójkącie prostokątnym Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°Połówka trójkąta równobocznego — wraca najczęściej Kąty w figurach na egzaminieZadania CKE z sumą kątów i własnościami trójkątów

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.